若 是共轭调和函数 是不是 共轭调和函数
2.2 解析函数与调和函数的关系解析
注 泊松 ( Poission ) 方程
2 2 f ( x, y) . 2 2 x y
( 算子与 算子)
4
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 一、调和函数 二 章
2018/10/7
解 析 有 函 证明 由 f ( z ) u( x, y ) i v( x, y ) 解析， 数 2 u 2v u v , , 2 2 2 yx x y x (?) u u 2 0. 2 y u v 2u 2v (?) x , , 2 y x (?) y xy
2v 2v 2 0. 同理 2 x y
5
§2.2 解析函数与调和函数的关系
2018/10/7
第 二、共轭调和函数 二 定义 设函数 u( x, y ) 及 v( x , y ) 均为区域 D 内的调和函数， 章 u v u v , 且满足 C R 方程： , 解 x y y x 析 则称 v 是 u 的共轭调和函数。 函 数 定理 函数 f ( z ) u( x, y ) i v( x, y ) 在区域 D 内解析的充要 条件是：在区域 D 内，v 是 u 的共轭调和函数。
P , x
Q
, y
R
. z
即 F { P , Q, R} {
, , }. x y z
2
§2.2 解析函数与调和函数的关系
2018/10/7
第 一、调和函数 二 章 引例 考察三维空间中某无旋无源力场(或流速场)的势函数。 设该力场为 F { P( x, y, z ) , Q( x, y, z ) , R( x, y, z ) } . 解 析 (1) 无旋场 F { P , Q, R} { , , }. 函 x y z 数 P Q R 0. (2) 无源场 散度为零，即 x y z
复变函数-第8章
设 u ( x, y ) ≡ a ∈ R, 根据C-R方程求它的共轭调和函数 v( x, y ).
∂v ∂u = = 0, ∂y ∂x ∂v ∂u =− = 0. ∂x ∂y
⇒ v ( x, y ) ≡ b ∈ R ⇒ f ( z ) ≡ a + ib.
10
§8.2 平均值定理与极值定理
1. 平均值定理
6
不唯一
例8.1.1 构造一个实部为 u ( x, y ) = x 3 − 3 xy 2 + y 的解析函数. 解: 由于
∂ 2u ∂ 2u + 2 = 6x − 6x = 0 2 ∂x ∂y
所以 u ( x, y ) 在整个平面上调和. 下面求函数 v( x, y ) , 使得函 数 u ( x, y ) 和 v( x, y ) 满足看柯西-黎曼方程. 由于
e
f (z)
=e
u ( z ) + iv ( z )
=e
u( z)
e
iv ( z )
=e
u(z)
实指数函数
再由实指数函数的单调性知 u ( z ) 的极值只能在边界上取到. 15
§8.3 泊松(Poisson)积分公式与狄利克雷 (Dirichlet) 问题
1. 泊松积分公式
u ( x, y ) = u ( z ) = u (r , θ ) = u (re iθ ) ∈ R
∂ 2u ∂ 2u 调和函数是拉普拉斯方程 + 2 = 0 的二次连续可微解. 2 ∂x ∂y
上节已经证明解析函数的实部和虚部都是调和函数. 同时也 讨论了, 给定一个调和函数如何构造其共轭调和函数. 为了 方便起见, 有时利用 u (z ) 来代替 u ( x, y ) . 定理 8.2.1 (平均值定理)如果函数 u (z ) 是圆 | z − z0 |< R 内的 一个调和函数, 在闭圆 | z − z0 |≤ R 上连续, 则
调和函数
调和函数harmonic function定义：在区域D内存在二阶连续偏导数的实函数U(x,y,z),如果在D内满足拉普拉斯方程Δu=2u/x2+2u/y2+2u/z2=0，则称U(x,y,z)为区域D上的调和函数。
调和函数-----数学物理方程如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程,则称f为区域二元函数Ω中的调和函数.满足拉普拉斯方程在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。
通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。
当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。
例如，n=2时,调和函数u(x,y)在某平面区域内满足方程若所考虑的区域包含一个闭圆域，例如x+y≤R，则有下列关于调和函数的平均值公式：即u(x,y)在圆心的值等于圆周上的积分平均值。
更一般地，圆内任何一点x=rcosφ，y=rsinφ(0≤r<R)处调和函数u＝u(r, φ)的值可以由下列泊松公式给出：拉普拉斯方程1拉普拉斯方程2形如上式右端的积分称作泊松积分。
设u(x,y)为平面区域G中的调和函数,且在G的闭包上连续,则借助于平均值公式可以证明,它不能在G 的内部取其最大值与最小值，除非它恒等于一常数。
这就是调和函数的最大、最小值原理。
由泊松积分出发可解决下列狄利克雷问题：在区域G的边界嬠G上给定一连续函数ƒ(x,y)，要求给出G中的调和函数u(x,y)，使其在嬠G上取ƒ(x,y)的值，即拉普拉斯方程，在G的边界嬠G满足一定的条件下,这个问题的解存在且惟一。
对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。
二维调和函数与解析函数论有着密切联系。
在某区域内的调和函数一定是该区域内某解析函数(可能多值)的实部或虚部；反之，某区域内的解析函数其实部与虚部都是该区域内的调和函数，并称其虚部为实部的共轭调和函数。
用复数z=x+iy的记法,将u(x,y)写成u(z),若u(z)在│z│<R内调和，在│z│≤R上连续，则泊松公式就成为(0≤r＜R)。
复变函数3.4解析函数与调和函数的关系
由 f (0) 0,
得 c 0,
z
所求解析函数为 f ( z ) ze (1 i )z.
15
例3.18 求 k 值, 使 u x 2 ky2 为调和函数. 再求v , 使
f ( z ) u iv 为解析函数, 并求 f ( i ) 1 的 f ( z ).
(3x2 3 y 2 )dy C 3x 2 y y 3 C
故： f ( z ) u iv x3 3xy 2 i 3x 2 y y 3 C
x iy iC z 3 iC
3
再由 f(0)=i,得出 C＝1，故 f(z)=z3+i 方法二：两次积分法：首先由C-R条件得： vy=ux=3x2-3y2
( x iy )e
x iy
1 i
e z ze z 1 i ,
f ( z ) V ( z )dz (e z ze z 1 i )dz
ze z (1 i )z c. (c 为任意实常数)
20
例3.22 已知 u v ( x y )( x 2 4 xy y 2 ) 2( x y ),
第四节 解析函数与调和函数 的关系
3.4.1 调和函数的定义 3.4.2 解析函数与调和函数的关系 3.4.3由调和函数构造解析函数
3.4.4 小结与思考
3.4.1 调和函数的概念
定义3.5 如果二元实函数H(x,y)在区域D内有 二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯方程:即：
2 H 2 H 2 0 2 x y
10
若已知 v,可用类似的方法求 u
v v u( x , y ) dx dy C ( x0 , y0 ) y x 例3.16 验证v(x,y)=arctan(y/x)(x>0)再由半平面内 是调和函数,并求以此为虚部的解析函数f(z)
复变函数 (2)
习题二解答A 类1．下列函数何处可导？何处解析？（1）()y x z f i 2-= （2）()y x xy z f 22i +=（3）()2222iy x yx y x y x z f +-+++=（4）()z z f Im =解 （1）由于1,0,0,2-=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂y vx v y u x x u在z 平面上处处连续，且当且仅当21-=x 时，u ,v 才满足C-R 条件，故()yx v u z f i i -=+=仅在直线21-=x 上可导，在z 平面上处处不解析。
（2）由于2y x u =∂∂，xy y u 2=∂∂，xyx v 2=∂∂，2x y v =∂∂在z 平面上处处连续，且当且仅当z =0时，u ,v 才满足C-R 条件，故()y x xy z f 22i +=仅在点0=z 处可导，在z 平面处处不解析。
（3）()()[]y x y x y x y x y x y x y x z f i i i 1i 222222-+-+=+-+++=()z zz zi 1i 1+=+=且故()z f 在除原点外的z 平面上处处可导，处处解析。
（4）由于0,1,0=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂y v x v y u x u可知u 、v 在z 平面上处处不满足C-R 条件，故()z f 在z 平面上处处不可导，处处不解析。
2．试确定下列函数的解析区域和奇点，并求出导数。
（1）()()()3122+-=z z z f ； （2）()z z z f i 23+=；（3）()112-=z z f ； （4）()1123++=z z z f解 （1）由于()()()()()()[]131********2-++-=-++-='z z z z z z z z z f ()()32122+--=z z z故()z f 在z 平面上处处可导，处处解析。
（2）由于()i 232+='z z f ，知()z f 在z 平面上处处可导，处处解析。
解析函数与调和函数
2v 2v 0 x2 y 2
故 u是全平面上的调和函数，v除原点外在全平面上 调和。但 u v,不满足C-R条件，所以 f z 不是
解析函数。x y
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
u 例3 证明：若 为调和函数且不等于常数，
则 u 2 不是调和函数。
例4求形如 ax3 bx2 y cxy2 dy3的最一般的调和函数。
并求其共轭调和函数及其对应的解析函数。
解：因为 u ax3 bx2 y cxy2 dy3,所以
2u 6ax 2by, 2u 6dy 2cx.
x 2
y 2
令
2u 2u (6a 2c)x (6d 2b) y 0
u yy vxy
uxx u yy 0 . 同样可得 vxx vyy 0 .
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
注：逆定理显然不成立，即
对区域D内的任意两个调和函数 u，v，
f (z) u iv及（ f z） v iu
不一定是解析函数 .
例如： f z z2 x2 y2 i2xy是解析函数，
故u，v是调和函数，但
f z v iu 2xy i x2 y2
不再是解析函数
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
定义2 若u与v是区域D内的调和函数且满足C R方程 ux =v y，uy =-v x，则称v为u的共轭调和函数。
( f 0 0 c 0)
复变函数与积分变换
例2
Complex Analysis
第三章第四节 解析函数与调和函数
②刻划解析函数又一等价条件
f ( z) u iv在区域D内解析
定理3.18
定理 3.19
在区域D内,v是u 的共轭调和函数.
注7 由于任一二元调和函数都可作解析函数的实 部(或虚部),由解析函数的任意阶导数仍解析知,任 一二元调和函数的任意阶偏导数也是调和函数.
虽然在直线x 0上满足Laplace方程, 但直线不是区域,
即在z平面的任一区域, xy 2不能作为解析函数的实部.
y 例2 证明 : u( x, y) x y , v( x, y) 2 都是 2 x y
2 2
调和函数, 但f ( z ) u( x, y) iv( x, y)不是解析函数.
使u iv在D内解析.
u u 2 0, 方法一: 应用曲线积分 由于 2 x y u u 即 - 与 在D内具有连续的一阶偏导数, y x
2 2
u u u u 且 , 记 P , Q , 则Py Qx , y y x x y x
( x, y )
注4
对(3.22)分别对x, y求偏导数, 得
u v u v , x y y x
由定理3.15知, u iv在D内解析.
注5 (3.21)可由下式简便记忆
v v dv( x, y ) dx dy x y
C R方程
u u dx dy y x
第三章 复变函数的积分
第十二讲
第四节 解析函数与调和函数
1. Laplace算子与共轭调和函数 2. 解析函数的等价刻画 3. 调和函数的平均值定理与极值原理
2.3调和函数
定义1 实函数u(x, y)为区域D内的调和函数： u(x, y)在区域D内有二阶连续偏导数，
且满足 u uxx uyy 0
(称为调和方程或Laplace方程)
定理1： f (z) u(x, y) iv(x, y)是区域D内的解析函数 u与v是区域D内的调和函数
2
2
f
z
x2
y2
xy
i
1 2
y2
2xy
1 2
x2
c
f (z) 1 (2 i)z2 ic, 这里c是任意实常数。 2
即为所求解析函数。
（法三）
f z ux ivx ux iuy 2x y i 2y x
2x i2y y ix 2 x iy i x iy
v为u的共轭调和函数 .
解析函数的虚部为实部的共轭调和数
已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另 一个，从而构成一个解析函数。
例题1 已知一调和函数 u x, y x2 y2 xy ,
求一解析函数f(z)=u+iv
解：（法一） ux 2x y , uy 2 y x
2 i z
f
z
1
i 2
z
2
c.
注意到u(x,y)不包含任意常数,所以c为纯虚数,即 c=ic1,这里c1是任意实数.
C R方程 f 0, f (z) u(x, y) iv(x, y)仅与z有关。 z
令z x i0,则f (z) f (x i0) f (x).
课件：调和函数
例2 已知 v( x, y) e x ( y cos y x sin y) x y 为调和函数, 求一解析函数 f (z) u iv, 使 f (0) 0.
解 v e x ( y cos y x sin y sin y) 1, x v e x (cos y y sin y x cos y) 1, y
zez (1 i)z c,
由 f (0) 0 c 0
所求解析函数为 f (z) zez (1 i)z.
例2中虚部v( x, y) e x ( y cos y x sin y) x y.
f (z)
f (z) V (z) vy ivx e x (cos y y sin y x cos y) 1
三、 由调和函数构造解析函数
如果已知一个调和函数 u, 那么就可以利用柯 西－黎曼方程求得它的共轭调和函数v, 从而 构成一个解析函数u+vi.
1. 偏积分法
若已知实部u u( x, y)，利用C R方程先求 得虚部v的偏导数 v u
y x
两边对y积分得v
u dy
x
g(
x
)
再由 v u , 可得 x y
(c 为任意实常数)
练习 1. 用不定积分法求解例1,2 中的解析函数
2. 证明 u( x, y) x3 6 x2 y 3 xy2 2y3 为调和函数, 并求其共轭调和函数 .
答案 v( x, y) 3x2 y 6xy2 y3 2x3 c. (c 为任意常数)
若已知虚部 v 求 f (z), 则
f (z) vy ivx V (z) f (z) V (z)dz c,
例1 证明 u( x, y) y3 3x2 y 为调和函数, 并求其共轭调和函数 v( x, y) 和由它 们构成的解析函数.
第二章 解析函数Analyticfunction第一讲
第二章解析函数（Analytic function）第一讲授课题目：§2.1解析函数的概念§2.2解析函数与调和函数的关系教学内容：复变函数的导数、解析函数的概念与求导法则、函数解析的充分必要条件、调和函数的概念、共轭调和函数、解析函数与调和函数的关系.学时安排：2学时教学目标：1、切实理解掌握解析函数的概念2、掌握函数解析的充分必要条件，判断函数的解析性3、了解复变函数导数的定义教学重点：函数解析的充分必要条件教学难点：解析函数与调和函数的关系教学方式：多媒体与板书相结合P思考题：1、2、习题二：1-12作业布置：51板书设计：一、解析函数的概念二、函数解析的充分必要条件三、解析函数与调和函数的关系参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版.3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月.课后记事：1、解析函数的概念基本掌握2、函数解析的充分必要条件掌握不太好3、已知调和函数，求作解析函数的方法不灵活4、加强课后辅导教学过程：§2.1 解析函数的概念(The conception of analytic function )一、复变函数的导数（Derivative of complex function ） 定义（Definition ）2.1 设)(z f w =是在0z 的某邻域内有定义，对于邻域内任一点z z ∆+0.如果zz f z z f o z ∆-∆+→∆)()(lim 00 存在有限的极限值复数A ，则称)(z f 在0z 处可导，极限A 称为)(z f 在0z 处的导数，记作)('0z f ，或0z z dz dw=. 即z z f z z f z f z ∆∆∆)()(lim )('0000-+=→0)z ( |)(|)('0→+=∆∆∆∆z o z z f w 由此可得()()()dzz f z df z z f z z f z z f 00000 )()(''=记作处可微。
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若是共轭调和函数是不是共轭调和函数
若是共轭调和函数是不是共轭调和函数
在数学中，函数的共轭是一种重要的概念。
通常情况下，我们所熟知
的共轭函数指的是复数域中的共轭，也就是一个复数的实部不变，虚
部取负。
然而，在某些特定的数学领域中，共轭函数的定义可能会有
所不同。
在本文中，我们将讨论共轭调和函数及其是否属于共轭函数
的范畴。
让我们回顾一下调和函数的定义。
调和函数是一个在某个区域上无穷
次可微并满足拉普拉斯方程的函数。
对于一个二维区域上的调和函数，它的二阶偏导数在该区域内满足齐次线性偏微分方程∇²u = 0。
调和
函数在物理学、工程学和数学分析等领域中都有着广泛的应用。
接下来，我们来讨论共轭调和函数。
共轭调和函数（conjugate harmonic function）是一个与调和函数相关的概念。
具体而言，如果在一个区域上的调和函数u的共轭函数v也是调和函数，并且满足某
些特定的条件，那么v就被称为u的共轭调和函数。
共轭调和函数在
解析函数论、复变函数和流体力学等领域都有着广泛的应用。
现在让我们来考虑“若是共轭调和函数是不是共轭调和函数”这个问
题。
从直观上看，这个问题似乎是一个自明的命题，因为共轭调和函
数本身就是调和函数的一种特殊情况。
然而，在更深入地探讨这个问
题之前，我们需要对共轭调和函数的性质有更清晰的认识。
根据共轭调和函数的定义，如果u是一个二维区域上的调和函数，那
么它的共轭调和函数v满足以下条件：
1. 共轭调和函数v也是调和函数。
2. 共轭调和函数v的共轭是u（即v的共轭函数就是u）。
基于这个定义，我们可以得出一个结论：若函数u是一个共轭调和函数，那么它的共轭调和函数一定是u本身。
一个共轭调和函数的共轭
就是它本身，即u的共轭调和函数就是u。
我们可以回答“若是共轭
调和函数是不是共轭调和函数”的问题，若一个函数是共轭调和函数，那么它也是共轭调和函数。
这样的结论并不奇怪，因为共轭调和函数是调和函数的特殊情况。
调
和函数具有一些非常重要的性质，比如在一个连通区域内调和函数的
实部和虚部构成调和共轭函数对。
共轭调和函数也将满足这些性质。
总结起来，共轭调和函数是调和函数的一个特殊子集，它的定义与调
和函数的定义非常相似，但有一些特定的条件。
共轭调和函数在数学
的多个领域中都有着广泛的应用，包括解析函数论、复变函数和流体
力学等。
由于共轭调和函数本身就是调和函数的一种特殊情况，因此
一个共轭调和函数也一定是共轭调和函数。
个人观点和理解：
共轭调和函数作为调和函数的特例，是一个非常有趣且重要的数学概念。
通过研究共轭调和函数，我们可以更深入地理解调和函数的性质和行为。
共轭调和函数在物理学、工程学和数学分析等领域中都有着广泛的应用。
在复变函数理论中，共轭调和函数与全纯函数的共轭几乎是一一对应的，这为研究全纯函数提供了一个有力的工具。
共轭调和函数也在流体力学中有着重要的应用，特别是在无粘性流体的研究中。
通过对共轭调和函数的研究，我们可以更好地理解和分析这些问题。
共轭调和函数是调和函数的一个重要特例，具有广泛的应用领域。
它的定义和性质使得我们可以更深入地研究调和函数，并在其他数学领域中应用它的概念和方法。
通过对共轭调和函数的研究，我们可以更好地理解和解决一些实际问题，同时也为数学理论的发展提供了新的思路和工具。