张云华——初中数学竞赛训练题（088）第1题解答
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第8讲由常量数学到变量数学
第八讲由常量数学到变量数学数学漫长的发展历史大概历经四个期间：以自然数、分数系统形成的萌芽期；以代数符号系统形成的常量数学期间；以函数观点产生的变量数学期间；以会合论为标记的现代数学期间．函数是数学中最重要的观点之一，它是变量数学的标记，“函数”是从量的侧面去描绘客观世界的运动变化、互相联系，从量的侧面反应了客观世界的动向和它们的互相限制性．函数的基本知识有：与平面直角坐标系有关的观点、函数观点、函数的表示法、函数图象观点及画法．在座标平面内，由点的坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”互相变换的最基本形式．点的坐标是解决函数问题的基础，函数分析式是解决函数问题的重点，因此，求点的坐标、探求函数分析式是研究函数的两大重要课题．【例题求解】【例 1】在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(2，-3)，点P在y轴上，且△ APB为直角三角形，则点P 的个数为．思路点拨先在直角坐标平面内描出 A 、 B 两点，连接 AB ，因题设中未指明△ APB 的哪个角是直角，故应分别就∠ A 、∠ B、∠ C 为直角来议论，设点 P(0， x)，运用几何知识成立 x 的方程．注：点的坐标是数与形联合的桥梁，求点的坐标的基本方法有：(1)利用几何计算求；(2)经过分析式求；(3)解由分析式联立的方程组求．【例 2】如图，向放在水槽底部的烧杯灌水(流量必定 )，注满烧杯后，持续灌水，直至注满水槽．水槽中水面上涨高度h 与灌水时间t 之间的函数关系，大概是以下图象中的()思路点拨向烧杯灌水需要时间，而且水槽中水面上涨高h0 ．注：实质生活中量与量之间的关系能够形象地经过图象直观地表现出来，如心电图、，股市行情走势图等，图象中包含着丰富的图象信息，要擅长从图象的形状、地点、发展变化趋向等有关信息中获取启迪．【例 3】南方 A 市欲将一批简单变质的水果运往 B 市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选择此中的一种，这三种运输方式的主要参照数据以下表所示：运输工具途中速度 (千米／时 )途中花费 (元／千米 )装卸花费 (元 )装卸时间 (小时 )飞机2001610002火车100420004汽车50810002若这批水果在运输(包含装卸)过程中的消耗为200 元 /小时，记 A 、B两市间的距离为x 千米．求出(1) 假如用 W l、W 2、W 3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出花费W l、W 2、W 3与小 x 间的函数关系式．(包含消耗)，(2) 应采纳哪一种运输方式，才使运输时的总支出花费最小?思路点拨每种运输工具总支出花费＝途中所需花费(含装卸花费 )+消耗资用；总支出花费随距离变化而变化，由W l— W 2＝ 0， W 2一 W 3=0，先确立自变量的特定值，经过议论选择最正确运输方式．【例 4】已知在菱形ABCD 中，∠ BAD ＝ 60°，把它放在直角坐标系中，使AD 边在 y 轴上，点 C 的坐标为 (2 3 ， 8)．(1)画出符合题目条件的菱形与直角坐标系；(2)写出 A、 B 两点的坐标；(3)设菱形 ABCD 的对角线交点为 P．问：在 y 轴上能否存在一点 F，使得点 P 与点对于菱形ABCD 的某条边所在的直线对称，假如存在，写出点 F 的坐标；假如不存在，请说明原因．F思路点拨(1)重点是探究点A 是在y 轴正半轴上、负半轴上仍是坐标原点，只须判断∠COy 与∠CAD 的大小； (2)利用解直角三角形求 A ，B 两点坐标； (3) 设轴上存在点 F(0，y)，则 P 与 F 只可能对于直线 DC 对称．注：成立函数关系式，实质上都是依据详细的实质问题和一些特别的关系、纳成立函数的模型．数据而抽象、归【例 5】如图，已知在 Rt△ ABC 中，∠ B＝ 90°， BC＝ 4cm， AB ＝ 8cm， D、 E、 F 分别为AB 、 AC 、 BC 边上的中点，若 P 为 AB 边上的一个动点， PQ∥ BC，且交 AC 于点 Q，以 PQ 为一边，在点 A 的右边作正方形 PQMN ，记 PQMN 与矩形 EDBF 的公共部分的面积为y．(1)当 AP ＝ 3cm 时，求的值；(2)设 AP=cm 时，求 y 与 x 的函数关系式；(3)当 y=2cm2，试确立点P 的地点． (2001 年天津市中考题 )思路点拨对于 (2) ，因为点P 的地点不一样， y 与 x 之间存在不一样的函数关系，故需分类议论；对于(3) ，由相应函数分析式求 x 值．注：确立几何元素间的函数关系式，第一是借助几何知识与方法把相应线段用自变量表示，再代入相应的等量关系式，需要注意的是：(1)当图形运动致使图形之间地点发生变化，需要分类议论；(2)确立自变量的几何意义，常用到运动变化、考虑极端情况、特别情况等思想方法．学力训练1．如图，在直角坐标系中，已知点A(4 ， 0)、 B(4 ， 4) ，∠ OAB ＝ 90°，有直角三角形与Rt△ ABO 全等且以AB 为公共边，请写出这些直角三角形未知极点的坐标．2．在直角坐标系中有两点A(4 ，0)， B(0 ， 2)，假如点C 在 x 轴上 (C 与 A 不重合 )，当点 C的坐标为时，使得由点B、O、C 构成的三角形与△AOB 相像 (起码找出两个知足条件的点的坐标)．3．依据指令 [S，A](S ≥ 0， 0° <A<180 ° )，机器人在平面上能达成以下动作：先原地逆时针旋转角度 A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离S．现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对 x 轴的正方向， (1)若给机器人下了一个指令[4， 60° ]，则机器人应挪动到点；(2) 请你给机器人下一个指令，使其挪动到点 ( 一 5， 5)．4．如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴的夹角为60°，且点 A 的坐标为 (一 2，0)，点 B 在 x 轴上方，设 AB ＝a，那么点 B 的横坐标为 ()A ．2aB ．2aC．2a2a 22D ．225．一天，小军和爸爸去爬山，已知山脚到山顶的行程为300 米，小军先走了一段行程，爸爸才开始出发．图中两条线段分别表示小军和爸爸走开山脚爬山的行程(米) 与爬山所用的时间( 分钟的关系 )(从爸爸开始爬山时计时)，依据图象，以下说法错误的选项是()A ．爸爸爬山时，小军已走了50 米B ．爸爸走了 5 分钟，小军仍在爸爸的前方C．小军比爸爸晚到山顶D ．爸爸前 10 分钟爬山的速度比小军慢，10 分钟以后爬山的速度比小军快6．若函数 y1的自变量 x 的取值范围为一确实数，则m 的取值范围是() 2x mx2A ． m<lB ． m=1C． m>l D． m≤ 17．如图，在直角坐标系中，已知点A(4 ，0)、点 B(0 ，3)，若有一个直角三角形与Rt△ABO 全等，且它们有一条公共边，请写出这个直角三角形未知极点的坐标(不用写出计算过程 )．8．如图，用相同规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请察看以下图形并解答有关问题：（ 1）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y ，请写出 y 与n ( n表示第n个图形 )的函数关系式；(2) 按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506 块瓷砖，求此时n 的值；(3) 若黑瓷砖每块 4 元，白瓷砖每块3元，在问题(2)中，共需花多少元钱购置瓷砖?(4) 能否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等情况?请经过计算说明为何?9．如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD ，它的 4 个极点为A(10 ，0)，B (0 ，10)，C(一 10， 0)，D(0 ，一 10)，则该正方形内及界限上共有个整点(即纵横坐标都是整数的点 )．10．如图，已知边长为l 的正方形OABC 在直角坐标系中， A 、 B 两点在第一象限内，OA 与 x 轴的夹角为30°，那么点 B 的坐标是．11．如图，一个粒子在第一象限运动，在第一分钟内它从原点运动到(1， 0)，尔后它接着按图所示在与x 轴、y轴平行的方向上往返运动，且每分钟挪动1个单位长度，那么在1989 分钟后这个粒子所处地点为．12．在直角坐标系中，已知A(1 ， 1)，在x轴上确立点P，使△ AOP 为等腰三角形，则切合条件的点 P共有()A．1个B．2个C． 3个D．4个13．已知点 P 的坐标是 ( 2 a l，2 b )，这里 a 、 b 是有理数，PA、PB分别是点P 到x轴和 y 轴的垂线段，且矩形 OAPB 的面积为2，则 P 点可能出现的象限有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个14．甲、乙二人同时从 A 地出发，沿同一条道路去 B 地，途中都使用两种不一样的速度V l与V 2(Vi<V2) ，甲用一半的行程使用速度V l、另一半的行程使用速度V 2；对于甲乙二人从A地抵达 B 地的行程与时间的函数图象及关系，有图中 4 个不一样的图示剖析．此中横轴 t表示时间，纵轴 s 表示行程，此中正确的图示剖析为()A ．图 (1)B ．图 (1) 或图 (2)C．图 (3)D．图 (4)15．依法纳税是每个公民应尽的义务．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民每个月工资、薪金收入不超出800 元，不需交税；超出 800 元的部分为全月应纳税所得额，都应交税，且依据超出部分的多少按不一样的税率交税，详尽的税率以下表：级别全月应纳税所得额税率 (％)1不超出 500 元部分52超出 500 元至 2000 元部分103超出 2000 元至 5000 元部分15(1) 某公民 2002 年 10月的总收人为 1350 元，问他应交税款多少元?(2)设表示每个月收入 (单位：元 )， y 表示应交税款 (单位：元 )，当 1300<x ≤2800 时，请写出 y 对于 x 的函数关系式；(3) 某公司高级职员2002 年 11 月应交税款55 元，问该月他的总收入是多少元?16．如图，在△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC ＝ 3，BC ＝4，点 D 是 AB 上随意一点 (A 、B 两点除外 )，过 D 作 AB 垂线与△ ABC 的直角边订交于 E，设 AD= x，△ ADE 的面积为 y ，当点 D 在 AB 上挪动时，求 y 对于x之间的函数关系式．17．现计划把甲种货物1240 吨和乙种货物880 吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A 、B 两种不一样规格的货车厢共40 节，使用 A 型车厢每节花费6000 元，使用月型车厢每节花费为 8000 元．(1)设运送这批货物的总花费为 y 万元，这列货车挂 A 型车厢x节，试写出 y 与x之间的函数关系式；(2)假如每节 A 型车厢最多可装甲种货物 35 吨和乙种货物 15 吨，每节月型 B 车厢最多可装甲种货物25 吨和乙种货物35 吨，装货时按此要求安排哪几种安排车厢的方案?A 、B 两种车厢的节数，那么共有(3)在上述方案中，哪个方案运费最高?最少运费为多少元 ?18．如图，梯形O ABC 中， O 为直角坐标系的原点，A 、 B 、C 的坐标分别为 (14， 0)， (14，3)， (4，3)．点 P、 Q 同时从原点出发，分别作匀速运动，此中点P 沿 OA 向终点 A 运动，速度为每秒 1 个单位；点Q 沿 OC、CB 向终点 B 运动，当这两点中有一点抵达自己的终点时，另一点也停止运动．(1) 设从出倡始运动了上或在 CB 上时的坐标x 秒，假如点Q 的速度为每秒(用含x的代数式表示)；2 个单位，试分别写出这时点Q 在OC(2) 设从出倡始运动了x 秒，假如点P 与点 Q 所经过的行程之和恰巧为梯形OABC 的周长的一半，①试用含x 的代数式表示这时点Q 所经过的行程和它的速度；②试问：这时直线PQ 能否可能同时把梯形OABC 的面积也分红相等的两部分?若有可能，求出相应的x 的值和P、Q 的坐标；如不行能，请说明原因．参照答案。
人教版八年级上册数学解答题专题训练50题-含答案
人教版八年级上册数学解答题专题训练50题含答案一、解答题1．化简： (1)2221211x x x x x x+-+--；(2)(221a a b a b --+)÷b b a -.2．甲、乙两地相距300km ，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用0.5h ，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的1.5倍，求特快列车平均行驶的速度．经检验，x=200是原方程的解，且符合题意．答：特快列车平均行驶的速度为200km/h ．【点睛】本题考查的知识点是分式方程的实际应用，读懂题意，找出题目中的等量关系式是解此题的关键．3．先化简，再求值：（x +3）（x ﹣3）﹣x （2x +3）+（x +2）2，其中x ＝﹣2． 【答案】5x -，-7【分析】直接利用单项式乘多项式，乘法公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．【详解】解：()()()()233232x x x x x +--+++=22292344x x x x x ---+++=5x -当x =-2时，原式=-2-5=-7．【点睛】此题主要考查了整式的混合运算-化简求值，正确运用整式的混合运算法则是解题关键．4．如图，在ABC ∆中，AB AC =，DAC ∠是ABC ∆的一个外角．实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）（1）作DAC ∠的平分线AM ；（2）作线段AC 的垂直平分线，与AM 交于点F ，与BC 边交于点E ，连接,AE CF ； （3）在（1）和（2）的条件下，若15BAE ∠=︒，求B ∠的度数．(3)AB AC=B ACB∴∠=∠AM∠平分DAC∠=∠B CAM∴∠=∠EF垂直平分AE CE∴=DAM∠+DAM∴∠B55∴∠=【点睛】本题是对平行四边形知识的考查，熟练掌握尺规作图和平行四边形知识是解决本题的关键5．先化简，再求值222112211mm m m m m⎛⎫--÷⎪-+--⎝⎭，其中m满足2260m m+-=．22m m +22m m ∴+∴原式=62【点睛】本题考查了分式的化简求值；掌握好分式的运算法则，注意到代数式、方程的结构特征是解决本题的关键．6．解下列方程：（1）153x x =+； （2）32122x x x =---； （3）2212141x x =--； （4）2231022x x x x-=+-； （5）131x x x x +=--； （6）33122x x x -+=--； （7）221566x x x x +=++； （8）31523162x x -=--．7．列方程解应用题今年1月下旬以来，新冠肺炎疫情在全国范围内迅速蔓延，而比疫情蔓延速度更快的是口罩恐慌．企业复工复产急需口罩，某大型国有企业向生产口罩的A、B两厂订购口罩，向A厂支付了1.32万元，向B厂支付了2.4万元，且在B厂订购的口罩数量是A长的2倍，B厂的口罩每只比A厂低0.2元．求A、B两厂生产的口罩单价分别是多少元？8．已知3a b +=，1ab =，求：(1)22a b +的值；(2)a b -的值．9．计算4xy 2•（﹣2x ﹣2y ）2．10．计算（1）2(2)(2)a a a ⋅--- （2）()()344325321510205x y x y x y x y --÷-【答案】（1）26a -；（2）32324y xy -++【分析】（1）先计算单项式乘法，幂的乘方和积的乘方，再合并；（2）直接利用多项式除以单项式法则计算．【详解】解：（1）2(2)(2)a a a ⋅---=2224a a --=26a -；（2）()()344325321510205x y x y x y x y --÷-=32324y xy -++【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 11．如图，在∠ABC 中，AD 平分∠BAC ，点P 为线段AD 上的一个点，PE ∠AD 交BC 的延长线于点E ．若∠B ＝35°，∠ACB ＝85°，求∠BAD 和∠E 的度数．12．如图，线段AD 、CE 相交于点B ，BC BD =，AB EB =，求证：ACD EDC ≌．【答案】证明见详解【分析】由BC=BD ，可得∠ADC=∠ECD ，再证明CE=DA ．而CD 边公共，根据SAS 即可证明∠ACD∠∠EDC ．【详解】证明：∠BC=BD ， ∠∠ADC=∠ECD ，又AB=EB ，∠BC+EB=BD+AB ，即CE=DA ．在∠ACD 与∠EDC 中DA CE ADC ECD CD DC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝ ∠∠ACD∠∠EDC （SAS ）．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．13．已知x+y=xy ，求代数式（222x x y x y x y ---）÷2222x xy x xy y --+的值． 【答案】0【分析】先把除法变成乘法，变形后整体代入，即可求出答案，需要用的公式是22x y -=（x-y ）（x+y ），222x xy y -+=2x y -（）．【详解】原式=[﹣]•=[﹣]•=1﹣，把x+y=xy 代入得：原式=1﹣1=0．【点睛】灵活运用两个数的平方差和完全平方式．14．先化简23939x x x x --+-，再选择一个合适的x 代入求值．15．（1）计算：10211)(1)4-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ （2）化简：2(21)(44)a a a +-+16．（1）计算：（2）求的值： 【答案】（1）－1；（2）x=4或－2【详解】试题分析：（1）先将所给的各式求值，然后加减计算即可；（2）利用平方根的意义可求出x 的值．试题解析：（1）=-2-1+2=-1；（2）因为，2(3)9±=，所以13x -=±，所以13x =±，所以x=4或－2． 考点：实数的计算、平方根．17．解方程：（1）231x x =+ （2）31144x x x--=--18．已知：如图，点A 、B 、C 在同一直线上，AD∠CE ，AD=AC ，∠D=∠CAE.求证：DB=AE.【答案】证明见解析.【详解】试题分析：由平行的性质得到∠DAB=∠C ，从而由ASA 证明∠ABD∠∠CEA ，进而根据全等三角形边相等的性质得到DB=AE.试题解析：∠AD∠CE ，∠∠DAB=∠C,在∠ABD 和∠CEA 中，{D CAEAD AC DAB C∠=∠=∠=∠，∠∠ABD∠∠CEA(ASA).∠DB=AE.考点：1.平行的性质；2.全等三角形的判定和性质.19．如图，已知AO ＝DO ，∠OBC ＝∠OCB .求证：∠1＝∠2.【答案】见解析.【详解】分析：(1)、根据∠OBC=∠OCB 得出OB=OC ，然后根据SAS 证明∠AOB 和∠DOC 全等，从而得出答案．详解：证明：∠∠OBC ＝∠OCB ，∠OB ＝OC .在∠AOB 和∠DOC 中，OA=OD ，∠AOB=∠DOC ，OB=OC ，∠∠AOB∠∠DOC (SAS)， ∠∠1＝∠2.点睛：本题主要考查的是三角形全等的判定与性质，属于基础题型．根据题意得出OB=OC 是解决这个问题的关键．20．如图是由边长相等的小正方形组成的网格，要求仅用无刻度的直尺在给定的网格中按步骤完成下列画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．（1）在图1中，∠作出ΔABC 的高AH ；∠作出点B 关于AH 的对称点P ；（2）在图2中，∠过BC 上一点D 作DE ∠AB ，使四边形ABDE 为平行四边形；∠在平行四边形ABDE 中，作出∠BDE 的平分线DF ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据SAS 判定ADF BEC ，再根据相似三角形的对应角相等得到AFD BCE ∠=∠，结合等角的余角相等可得90B BCE B AFD ∠+∠=∠+∠=︒，继而得到AH BC ⊥，延长AH 至格点即可；∠点B 关于AH 的对称点即在AH 的右侧，取BH=HP 即可；（2）∠根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，作出线段DE ，且DE =AB ，即可得到平行四边形ABDE ；∠以E 为圆心，DE 为半径作弧，交AE 边于点F ，可知DE =EF ，由等边对等角性质，得到∠=∠EFD EDF ，再由两直线平行，内错角相等性质可得EFD FDB ∠=∠，由此得到EDF FDB ∠=∠，即DF 是∠BDE 的平分线．【详解】解：（1）∠如图1所示，AH 即为所求；∠点P 即为所求的对称点；（2）∠如图1所示，DE 即为所求；∠DF 即为所求的角平分线；【点睛】本题考查尺规作图，涉及相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、角平分线的性质、等边对等角等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．21．因式分解：(1)229x y -；(2)2()3()x a b b a ---；(3)322363x x y xy -+-． 【答案】(1)(3)(3)x y x y +-(2)()(23)a b x -+(3)23()x x y --【分析】（1）根据平方差公式进行因式分解；（2）提取公因式(a -b )，从而得出答案；（3）首先提取公因式-3x ，然后再利用完全平方公式进行因式分解．（1）原式=()()33x y x y +-；（2）原式=()()23x a b a b -+-=()()23a b x -+；（3）原式=()2232x x xy y --+=()23x x y --． 【点睛】本题考查了因式分解，熟知提公因式法和公式法是解题的关键．22．图，四边形ABCD 中，AD ∠BC ，∠A ＝90°，CE ∠BD ，垂足为E ，BE ＝DA ．求证：AB ＝EC ．【答案】证明见解析【分析】由“ASA ”可证∠ABD ∠∠ECB ，可得AB ＝CE ．【详解】证明：∠AD ∠BC ，∠∠ADB ＝∠EBC .∠CE ∠BD ，∠∠CEB ＝∠A ＝90°，在∠ABD 和∠EBC 中，A BEC AD BEADB DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠ABD ∠∠ECB （ASA ），∠AB ＝CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活选择判定定理是解题的关键． 23．先化简，再求值：（1）（x ＋1）2﹣（x ＋2）（x ﹣3），其中x ＝3（2）已知2a 2＋3a ﹣6＝0，求代数式3a （2a ＋1）﹣（2a ＋1）（2a ﹣1）的值． 【答案】（1）3x ＋7，16；（2）2a 2＋3a ＋1；7【分析】（1）先进行完全平方运算和多项式乘法，再合并同类项，最后代入求值，即可解答；（2）先将2a 2＋3a ﹣6＝0变形为2a 2＋3a ＝6，再化简代数式，代入即可求解．【详解】解：（1）原式＝（x 2＋2x ＋1）﹣（x 2﹣x ﹣6）＝x 2＋2x＋1﹣x 2＋x ＋6＝3x ＋7，当x ＝3时，原式＝337⨯+= 9＋7＝16；（2）∠2a 2＋3a ﹣6＝0，即2a 2＋3a ＝6，∠原式＝6a 2＋3a ﹣（4a 2﹣1）＝6a 2＋3a ﹣4a 2＋1＝2a 2＋3a ＋1＝6＋1＝7．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的四则运算法则是解题的关键．24．如图，已知△ABC 和△ADE ，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠CAE ，AC ＝AE ，AD 与BC 交于点P ，点C 在DE 上．求证：BC ＝DE ．【答案】见解析【分析】先证∠BAC =∠DAE ，再证△ABC ∠∠ADE （ASA ），即可得出结论．【详解】∠BAD CAE ∠=∠，∠BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠，在ABC 和ADE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()ABC ADE SAS △≌△，∠BC DE =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ABC ∠∠ADE 是解题的关键． 25．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x 为4时，求最后输出的结果y 是多少？26．已知228=0x x --，求()()241223x x x ---+的值．【答案】23【分析】原式利用完全平方公式及单项式乘以多项式法则计算，整理后将已知等式变形代入计算即可求出值．【详解】解：原式=22484243x x x x -+-++2247x x =-+()2227x x =-+，当228=0x x --，即228x x -=时，原式16723=+=．【点睛】本题考查了完全平方公式及单项式乘以多项式化简求值，整体代入是解题的关键．27．已知△ABC 是等边三角形，点D 是直线AB 上一点，延长CB 到点E ，使BE ＝AD ，连接DE ，DC ，（1）若点D 在线段AB 上，且AB ＝6，AD ＝2（如图∠），求证：DE ＝DC ；并求出此时CD 的长；（2）若点D 在线段AB 的延长线上，（如图∠），此时是否仍有DE ＝DC ？请证明你的结论；（3）在（2）的条件下，连接AE ，若23AB AD =，求CD ：AE 的值．AB228．如图所示，小刚家门口的商店在装修，他发现工人正在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得R＝7dm，r＝1.5dm，他想知道剩余阴影部分的面积，你能利用所学过的因式分解的知识帮助小刚计算吗？请写出求解过程（结果保留π）．【答案】40πdm 2.，见解析【分析】可利用大圆的面积减去四个小圆的面积列式计算可求解． 【详解】解：∠R ＝7dm ，r ＝1.5dm ，∠阴影部分的面积为：πR 2﹣4πr 2＝π（R 2﹣4r 2）＝π（R ＋2r ）（R ﹣2r ）＝π（7＋2×1.5）（7﹣2×1.5）＝10×4π＝40π（dm 2），故剩余阴影部分的面积为40πdm 2.．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，根据题意列算式是解题的关键． 29．计算：（1）()3231(2)22m n mn m ⎛⎫-⋅-÷ ⎪⎝⎭； （2）2(2)(3)(3)a b a b a b --+-．30．计算题：(1)(﹣1)23×(π﹣3)0﹣(﹣12) ﹣3； (2)a •a 2•a 3+(﹣2a 3)2﹣a 8÷a 2；(3)(x +4)2﹣(x +2)(x ﹣2)；(4)(a +2b ﹣3c )(a ﹣2b +3c )．31．计算：（1）21(2021)|3|2π-⎛⎫-+---⎪⎝⎭（2）()3212816(4)x x x x-+÷-【点睛】此题考查了实数的混合运算和整式的混合运算，熟记零指数幂、负整数指数幂等运算法则是解题的关键．32．有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A 区就会自动加上2a ，同时B 区就会自动减去3a ，且均显示化简后的结果．已知A ，B 两区初始显示的分别是25和－16，如图．如，第一次按键后，A ，B 两区分别显示：（1）从初始状态按2次后，分别求A ，B 两区显示的结果；（2）从初始状态按4次后，计算A ，B 两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由． 【答案】（1）2252a +；166a --；（2）24a 12a+9－；和不能为负数，理由见解析．【分析】（1）根据题意，每按一次按键，屏幕的A 区就会自动加上2a ，B 区就会自动减去3a ，可直接求出初始状态按2次后A ，B 两区显示的结果．（2）依据题意，分别求出初始状态下按4次后A ，B 两区显示的代数式，再求A ，B 两区显示的代数式的和，判断能否为负数即可．【详解】解：（1）A 区显示结果为：22225+a +a =25+2a ，B 区显示结果为：163a 3a=166a ﹣－－﹣－；（2）初始状态按4次后A 显示为：2222225+a +a +a a 254a +=+B 显示为：163a 3a 3a 3a=1612a ﹣－－－－﹣－∠A+B=225+4a +(-1612a)-=24a 12a+9－=2(2a 3)－∠2(2a 3)0≥－恒成立，∠和不能为负数．【点睛】本题考查了代数式运算，合并同类项，完全平方公式问题，解题关键在于理解题意，列出代数式进行正确运算，并根据完全平方公式判断正负．33．计算并验证：（1）()()232a b a b ++=_____________________；（2）请用图形证明上面等式． 【答案】（1）22672a ab b ++；（2）作图见详解．【分析】（1）利用多项式乘以多项式化简即可；（2）作一个边长为()2a b +和()32a b +的矩形即可．【详解】（1）解：232a b a b226432a ab ab b22672a ab b （2）如图示，作一个边长为()2a b +和()32a b +的矩形，则矩形内个矩形的面积如下图示，即有：232a b a b 22672a ab b【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的计算与证明，能作出相应的图形，利用面积来证明是解题的关键．34．如图，在Rt∠ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝3，AD 是∠ABC 的角平分线，DE ∠AB 于点E ，连接CE ．求CE 的长；【答案】3【分析】只要证明ACE △为特殊三角形，则CE 的长度可求，因为60BAC ∠=︒，猜测ACE △为等边三角形，只要AC AE =即可，而通过已知条件可知AED ACD ≅，所以AE AC =，则ACE △为等边三角形，CE 的长度可求.【详解】∠AD 平分∠BAC ，∠∠EAD ＝∠CAD ． ∠∠ACB ＝90°，DE ∠AB ，∠∠ACD ＝∠AED ．又∠AD ＝AD ，∠∠ACD ∠∠AED ．∠AE ＝AC ．∠∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，∠∠BAC ＝60°．∠∠ACE 为等边三角形， ∠CE ＝AC ＝3．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，能够证明是等边三角形是解题的关键.35．如图，已知点M 、N 和∠AOB ，用尺规作图作一点P ，使P 到点M 、N 的距离相等，且到∠AOB 两边的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法进而求出其交点即可．【详解】解：（1）作∠AOB 的平分线，（2）作MN 的中垂线，两线相交于点P ，点P 即为所求【点睛】此题主要考查了复杂作图，熟练掌握角平分线以及线段垂直平分线的作法是解题关键．36．如图，已知∠A=∠F，AB∠EF，BC=DE，请说明AD∠CF.【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得到∠B=∠E，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠FCE，由平行线的判定定理即可得到结论．【详解】证明：∠BC=DE,∠BD=EC，∠AB∠EF，∠∠B=∠E，在∠ABD与∠FEC中,A FB EBD CE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABD∠∠FEC，∠∠ADC=∠FCE，∠AD∠FC.【点睛】此题主要考查全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键.37．求证：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．【答案】答案见解析【分析】根据题意得出三角形全等，再根据全等三角形的性质作出证明即可.【详解】解：如图，已知AD是BC的垂直平分线，∠AD∠BC，DB=CD∠在∠ADB和∠ADC中AD=ADADB=ADCBD=DC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∠∠ADB∠∠ADC（SAS）∠AB=AC故线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，弄清楚此性质的来源是解题的关键. 38．我们学过三角形的相关知识，在“信息技术应用”——画图找规律的实践学习中，我们发现了几个基本事实：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条角平分线交于一点，三角形的三条高所在的直线交于一点．请根据以上的基本事实，解决下面的问题．如图，钝角三角形ABC中，AD，BE分别为BC，CA边上的高．(1)请用无刻度直尺画出AB边上的高CF（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，若4AB=，2AC=，求高CF与BE的比是多少？【答案】(1)见解析(2):1:2CF BE=【分析】（1）延长DA交BE的延长线于点G，连接CG交BA延长线于F，即可得出分别是ABC 的边ABC S =12ABC S AC BE =⋅AB CF ⋅4AB =39．（1）先化简，再求值：，其中.（2）已知，，求的值. 【答案】（1）1；(2)32【详解】(1)先根据完全平方公式、平方差公式以及多项式乘多项式把括号展开，再合并同类项，最后把a 、b 的值代入即可求值；（2）把原式变为含有（a-b ）、ab 的式子，然后代入求值.（1）（2x+3）（2x ﹣3）+（x ﹣2）2-3x （1﹣x ）=4x 2﹣9+x 2-4x+4+3x ﹣3x 2=2x 2 – x-5，当x=2时，原式=1．（2）a 2+b 2=(a-b)2+2ab=(-4)2+2×8=32．40．某农场开挖一条长960米的渠道，开工后工作效率比原计划提高50%，结果提前4天完成任务．问原计划每天挖多少米渠道？41．如图，点A ，E ，F ，B 在直线l 上，AE BF =，//AC BD ，且AC BD =，求证：ACF BDE ≅△△．【答案】见解析【分析】先证明AF BE =，然后根据平行线的性质得到∠CAF=∠DBE ，用SAS 即可证明∠ACF∠∠BDE ．【详解】证明：AE BF =，AE EF BF EF ∴+=+，即AF BE =；//AC BD ，CAF DBE ∴∠=∠在ACF △与BDE △中，AC BD CAF DBE AF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ACF BDE ∴≅．【点睛】本题考查的是全等三角形的SAS 判定、平行线的性质，掌握SAS 判定是解题的关键．42．已知 3m a =，3n b =，分别求：(1)3m n +．(2)233m n +．(3)2333m n + 的值． 【答案】(1)ab (2)23a b(3)23a b +【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算计算法则求解即可；（2）根据同底数幂乘法和幂的乘方的逆运算计算法则求解即可；（3）根据幂的乘方的逆运算计算法则求解即可．(1)解：∠3m a =，3n b =，∠=333m n n m ab +⋅=；(2)解：∠3m a =，3n b =，∠()()2322323233=33333m n m n n m a b a b +⋅=⋅=⋅=；(3)解：∠3m a =，3n b =，∠()()223233+3=333n m n m a b +=+．【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．43．计算：2136b a ab-．4412121)16(2--+45．计算：22353339m m m m +⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭．46．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题．例题：求代数式248y y ++的最小值．解：22248444(2)4y y y y y ++=+++=++∠()220y +≥∠()2244y ++≥∠代数式248y y ++的最小值为4．(1)求代数式222x x --的最小值.(2)若269|1|0a a b -+++=，则b a =_________.(3)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m ）的空地上建一个长方形花园ABCD ，花园一边靠墙，另三边用总长为20m 的栅栏围成．如图，设()m AB x =，请问：当x 取何值时，花园的面积最大?最大面积是多少?由题意可得，花园的面积为：()()()2222022202102550x x x x x x x -=-+=--=--+， ∠()2250x --≤，∠当x ＝5时，花园的面积取得最大值，此时花园的面积是50，BC 的长是20−2×5＝10＜15，答：当x 取5时，花园的面积最大，最大面积是50m 2．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形及应用，非负数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．47．计算: (2)(2)a b c a b c -+--.【答案】22244a ab b c -+-【详解】试题分析：利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开即可得到结果． 试题解析：()()22a b c a b c -+--=（2a-b ）2-c 2=22244a ab b c -+-48．因式分解：（1）m 4-81；（2）22363x xy y -+- 【答案】（1）原式2(9)(3)(3)m m m =++-；（2）原式23()x y =--【详解】试题分析：试题分析：（1）用“平方差公式”连续分解两次即可；（2）先提“公因式”，再用“完全平方公式”分解即可.试题解析：（1）原式()()()()()22299933m m m m m =+-=++-； （2）原式()()222323x xy y x y =--+=--. 49．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：()()221x y x y ++++．解：将“x y +”看成整体，设x y A +=，则，原式()22211A A A =++=+．再将“A ”还原，得原式()21x y =++．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：(1)因式分解：()()44a b a b ++-+；(2)求证：若n 为正整数，则式子()()()21231n n n n ++++的值一定是某一个整数的平方． 【答案】(1)()22a b +-(2)证明见解析【分析】（1）把a+b 看作一个整体，去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解；（2）将原式转化为()()223231n n n n ++++，进一步整理为2231n n ，根据n 为正整数得到2231n n 也为正整数，从而说明原式是整数的平方．(1)解：设A a b =+，则原式()()2244442A A A A A =-+=-+=-，所以()()()2442a b a b a b ++-+=+-；(2)证明：()()()()()()212313121n n n n n n n n ⎡⎤++++=++++⎣⎦ ()()223321n n n n =++++，设23B n n =+，原式()()()22222121131B B B B B n n =++=++=+=++． ∠n 为正整数，∠231n n ++也为正整数，∠式子()()()21231n n n n ++++的值一定是某一个整数的平方．【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．50．若x 满足()()944x x --=，求()()2249x x -+-的值． 解：设9x a -=，4x b -=，则()()944x x ab --==，()()945a b x x +=-+-=， ∠()()()22222942522413x x a b a b ab -+-=+=+-=-⨯=请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x 满足()()522x x --=，求()()2252x x -+-的值． （2）若x 满足()()631x x --=，求代数式92x -的值．（3）已知正方形ABCD 的边长为x ，E ，F 分别是AD 、DC 上的点，且2AE =，5CF =，长方形EMFD 的面积是48，分别以MF 、DF 作正方形，求阴影部分的面积．∠（x-2）•（x-5）=48，∠（x-2）-（x-5）=3，∠阴影部分的面积=FM2-DF2=（x-2）2-（x-5）2．设（x-2）=a，（x-5）=b，则（x-2）（x-5）=ab=48，a-b=（x-2）-（x-5）=2，∠a=8，b=6，a+b=14，∠（x-2）2-（x-5）2=a2-b2=（a+b）（a-b）=14×2=28．即阴影部分的面积是28．【点睛】本题考查了完全平方公式和几何图形面积,解决本题的关键是要应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义．。
初中数学竞赛专项训练(不等式)
初中数学竞赛专项训练（不等式与不等式组）及参考答案1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（ ）整除。
A. 111 B. 1000C. 1001D. 11112、若2001119811198011⋯⋯++=S ，则S 的整数部分是____________________3、设有编号为1、2、3……100的100盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有100个学生，第1个学生进来时，凡号码是1的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是2的倍数的开关拉一下，第n 个（n ≤100）学生进来，凡号码是n 的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。
4、某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 （ ） A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m·a%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元5、如果a 、b 、c 是非零实数，且a+b+c=0，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为（ ）A. 0B. 1或-1C. 2或-2D. 0或-26、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B ＝60°，则bc ab ac +++的值为 （ ）A. 21B. 22C. 1D.27、设a ＜b ＜0，a 2+b 2=4ab ，则ba ba -+的值为（ ）A.3B.6C. 2D. 38.已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3cAB Cab9、已知abc ≠0，且a+b+c ＝0，则代数式ab c ca b bc a 222++的值是 （ ）A. 3B. 2C. 1D. 010、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为＿＿＿＿＿11、已知实数z 、y 、z 满足x+y=5及z 2=xy+y-9，则x+2y+3z=_______________12.气象爱好者孔宗明同学在x （x 为正整数）天中观察到：①有7个是雨天；②有5个下午是晴天；③有6个上午是晴天；④当下午下雨时上午是晴天。
初中数学竞赛专项训练之三角形的四心及性质、平移、旋转、覆盖附答案
初中数学竞赛专项训练之三角形的四心及性质、平移、旋转、覆盖一、填空题：1、G 是△A BC 的重心，连结AG 并延长交边BC 于D ，若△ABC 的面积为6cm 2， 则△BGD 的面积为（ ）A. 2cm 2B. 3 cm 2C. 1 cm 2D. 23 cm 22、如图10-1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，∠C 的平分线与∠B 的外角的平分线交于E 点，则∠AEB 是（ ） A. 50° B. 45° C. 40° D. 35°3、在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝20°，如图10-2，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转角α到∠A ’C ’B ’的位置，其中A ’、B ’分别是A 、B 的对应点，B 在A ’B ’上，CA ’交AB 于D ，则∠BDC 的度数为（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°4、设G 是△ABC 的垂心，且AG ＝6，BG ＝8，CG ＝10，则三角形的面积为（ ） A. 58 B. 66 C. 72 D. 845、如图10-3，有一块矩形纸片AB CD ，AB ＝8，AD ＝6，将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，△CEF 的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 86、在△ABC 中，∠A ＝45°，BC ＝a ，高BE 、CF 交于点H ，则AH ＝（ ）A.a 21 B. a 22C. aD. a 2 7、已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A 1、B 1、C 1分别是点I 关于BC 、CA 、AB 的对称点，若点B 在△A 1B 1C 1的外接圆上，则∠ABC 等于（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°8、已知AD 、BE 、CF 是锐角△ABC 三条高线，垂心为H ，则其图中直角三角形的个数是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12二、填空题1、如图10-4，I 是△ABC 的内心，∠A ＝40°，则∠CIB ＝＿＿2、在凸四边形ABCD 中，已知AB ∶BC ∶CD ∶DA ＝2∶2∶3∶1，且∠ABC ＝90°，则∠DAB 的度数是＿＿＿＿＿3、如图10-5，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12，将矩形ABCD 沿对角线对折，图10-1B 图10-2 D A EB C AD E B C F图10-3 图10-4A BCD E D ’图10-5然后放在桌面上，折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是＿＿＿＿＿＿＿4、在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的旋转中心）若现在时间恰好是12点整，则经过＿＿＿＿秒钟后，△OAB 的面积第一次达到最大。
初中数学奥林匹克训练题8试卷
初中数学奥林匹克训练题（8）第一试一、填空题16=的实数解的个数为 。
2、正2007边形P 被它的一些不在P 内部相交的对角线分割成若干个区域，每个区域都是三角形，则锐角三角形的个数为 。
3、已知关于参数()0a a >的二次函数()2211344y ax a a x R a=+--+∈的最小值是关于a 的函数()f a ，则()f a 的最小值为 。
4、已知,a b 为正整数，a b ≤，实数,x y满足4x y +=，若x y +的最大值为40，则满足条件的数对(),a b 的数目为 。
5、定义区间()[)(][],,,,,,,c d c d c d c d 的长度均为d c -，其中d c >。
已知实数a b >，则满足111x a x b +≥--的x 构成的区间的长度之和为 。
6、若关于,x y 的方程组221,10ax by x y +=⎧⎨+=⎩有解，且所有的解都是整数，则有序数对(),a b 的数目为 。
7、方程2232007x y +=的所有正整数解为 。
8、若D 是边长为1的正三角形ABC 的边BC 上的点，ABD ∆与ACD ∆的内切圆半径分别为12,r r ，若12r r +=，则满足条件的点D 有两个，分别设为12,D D ，则12,D D 之间的距离为 。
9、方程()()()()()()()()()33333333149214911493149x x x x x x x x x x x x ⎛⎫---++++++= ⎪ ⎪++++++⎝⎭的不同非零整数解的个数为 。
10、设集合{}{}222221234512345,,,,,,,,,A a a a a a B a a a a a ==，其中12345,,,,a a a a a 是五个不同的正整数，{}123451414,,,10a a a a a A B a a a a <<<<=+=，若A B 中所有元素的和为246，则满足条件的集合A 的个数为 。
北师大初二数学8年级下册 第1章(三角形的证明)经典好题专题训练(含答案)
北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明经典好题专题训练（附答案）1．如图，在△ABC中，DE为线段AB的垂直平分线．若△ABC的周长为18，线段AE的长度为4，则△BCD的周长为（ ）A．10B．11C．12D．142．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）A．25°B．25°或40°C．25°或35°D．40°3．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（ ）A．αB．4α﹣360°C．α+90°D．180°﹣α4．设等腰△的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（ ）A．15B．20C．25D．20或255．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是线段AB的垂直平分线与BC的交点，连接AD．若CD＝2，BD＝4，则AC的长为（ ）A．4B．3C．2D．6．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（ ）个．A．7B．8C．9D．107．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是点A（﹣3，0）、点B（﹣1，2）、点C（3，2），则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标是（ ）A．（0，﹣1）B．（0，0）C．（1，﹣1）D．（1，﹣2）8．如图，已知OA＝OB＝OC，BC∥AO，若∠A＝36°，则∠B等于（ ）A．54°B．60°C．72°D．76°9．如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，下列结论正确的是（ ）A．AP平分BC B．AP平分∠CAB C．AP平分∠CPB D．AP⊥BC10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB、AC于点D、E．若AB＝5，AC＝4，则△ADE的周长是（ ）A．9B．10C．12D．1411．如图所示，在△ABC中，DE，MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，若AB＝8，AC＝9，设△AEN周长为m，则m的取值范围为 ．12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线交BC于点E、交AC于点D，若BE ＝DE，DC＝3，则AE的长为 ．13．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B＝50°，∠FAE ＝20°，则∠C＝ 度．14．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线交于点O，若∠BOC＝80°，则∠A ＝ ．15．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝86°，则∠CAD 的度数是 ．16．如图，在△ABC中，∠BAC＝124°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM，PN，垂足分别是点M，N．以下说法正确的是 （填序号）．①∠P＝56°；②∠EAF＝68°；③PE＝PF；④点P到点B和点C的距离相等．17．如图，已知点D为△ABC内一点，AD平分∠CAB，BD⊥AD，∠C＝∠CBD．若AC＝10，AB＝6，则AD的长为 ．18．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD ＝10，则点P到BC的距离是 ．19．如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5cm，BC＝6cm，则AC＝ ，DE＝ ．20．如图所示，在△ABC中，DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，且DE和MN交于点F．（1）若∠B＝20°，则∠BAE＝ ；（2）若∠EAN＝40°，则∠F＝ ；（3）若AB＝8，AC＝9，设△AEN周长为m，则m的取值范围为 ．21．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝35°，则∠BAE的度数为 °．22．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD．（1）求证：△DEC是等腰三角形．（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．23．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．（1）求∠PAQ的度数．（2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．24．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．25．如图，在平面直角坐标系中，已知等边△ABO的顶点A（2，0），经过点A的直线垂直于OB，交OB点C，交y轴于点E．（1）求线段OC的长度；（2）求点E的坐标；（3）确定直线AE的解析式．26．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BG平分∠ABC，交AD于点E，交AC于点G（1）求证：AE＝AG；（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，若∠C＝30°，求证：AG＝GF＝FC．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为角平分线．（1）如图1，已知AB＝13，BC＝10．求△ABC的面积；（2）在（1）的条件下，AC垂直平分线与AD交于点E，画图并求AE的长．（3）如图2，若△ABC为等边三角形，M，N分别为边AB，AC上的动点，且满足∠MDN ＝90°．设BM＝a，CN＝b，MN＝c，请用等式表示a，b，c之间的数量关系，并说明理由．参考答案1．解：∵△ABC的周长为18，∴AC+BC+AB＝18，∵DE为线段AB的垂直平分线，AE＝4，∴AB＝2AE＝8，DA＝DB，∴AC+BC＝10，∴△BCD的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝10，故选：A．2．解：当50°为底角时，∵∠B＝∠ACB＝50°，∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；当50°为顶角时，∵∠A＝50°，∴∠B＝∠ACB＝65°，∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．故选：B．3．解：连接CO并延长至D，∵∠AIB＝α，∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α，∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°，∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，∴OA＝OC，OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∵∠AOD是△AOC的一个外角，∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，同理，∠BOD＝2∠OCB，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°，故选：B．4．解：分两种情况：当腰为5时，5+5＝10，所以不能构成三角形；当腰为10时，5+10＞10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5＝25．故选：C．5．解：∵点D是线段AB的垂直平分线与BC的交点，BD＝4，∴AD＝BD＝4，在Rt△ACD中，CD＝2，AD＝4，∴AC＝＝＝2，故选：C．6．解：如图所示：①AB为等腰三角形的底边，符合条件的点C的有5个；②AB为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C的有3个．所以符合条件的点C共有8个．故选：B．7．解：∵点P到△ABC三个顶点距离相等，∴点P是线段BC、AB的垂直平分线的交点，由图可知，点P的坐标为（1，﹣2），故选：D．8．解：∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝36°，∵BC∥AO，∴∠BCA＝∠A＝36°，∴∠BCO＝72°，∵OB＝OC，∴∠B＝72°．故选：C．9．解：过点P作PF⊥AC交AC的延长线于点F，PG⊥BC于点G，PH⊥AB交AB的延长线于点H，∵CP平分∠BCF，PF⊥AC，PG⊥BC，∴PF＝PG，∵CP平分∠ABC，PG⊥BC，PH⊥AB，∴PH＝PG，∴PF＝PH，∴AP平分∠CAB，故选：B．10．解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠BCF＝∠EFC，∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，∴DB＝DF，EF＝EC，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DF+EF+AE＝AD+BD+EC+AE＝AB+AC＝5+4＝9．故选：A．11．解：∵DE，MN是边AB、AC的垂直平分线，∴EA＝EB，NC＝NA，∴△AEN周长为m＝EA+EN+NA＝EB+EN+NC＝BC，在△ABC中，9﹣8＜BC＜9+8，∴1＜m＜17，故答案为：1＜m＜17．12．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵BE＝DE，∠B＝90°，ED⊥AC，∴∠EAC＝∠BAE，∴∠EAC＝∠C＝∠BAE＝30°，在Rt△CED中，EC＝＝2，∴AE＝2，故答案为：2．13．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝∠FAE+∠CAE＝20°+∠C，由三角形内角和定理得，∠B+∠BAC+∠C＝180°，即50°+20°+∠C+20°+∠C+∠C＝180°，解得，∠C＝30°，故答案为：30．14．解：连接OA，∵∠BOC＝80°，∴∠OBC+∠OCB＝100°，∴∠OAB+∠OBA+∠OAC+∠OCA＝80°，∵AB、AC的垂直平分线交于点O，∴AO＝BO，AO＝CO，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∴∠A＝∠OAB+∠OAC＝40°，故答案为：40°．15．解：∵C、D两点在线段AB的中垂线上，∴CA＝CB，DA＝DB，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝∠ACB＝×50°＝25°，∠ADC＝∠ADB＝×86°＝43°，当点C与点D在线段AB两侧时，∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣25°﹣43°＝112°，当点C与点D′在线段AB同侧时，∠CAD′＝∠AD′C﹣∠ACD′＝43°﹣25°＝18°，故答案为：18°或112°．16．解：∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，∴∠PMA＝∠PNA＝90°，∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣124°＝56°，①说法正确；∵∠BAC＝124°，∴∠B+∠C＝180°﹣124°＝56°，∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，∴EC＝EA，FB＝FA，∴∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，∴∠EAF＝∠BAC﹣∠EAC﹣∠FAB＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝124°﹣56°＝68°，②说法正确；△ABC不一定是等腰三角形，∴PE与PF的大小无法确定，③说法错误；连接PC、PA、PB，∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，∴PC＝PA，PB＝PA，∴PB＝PC，即点P到点B和点C的距离相等，④说法正确，故答案为：①②④．17．解：如图，延长BD交AC于E，∵BD⊥AD，∴∠ADE＝∠ADB＝90°，∵AD平分∠CAB，∴∠EAD＝∠BAD，∴∠AED＝∠ABD，∴AE＝AB＝6，∴DE＝BD，∵AC＝10，∴CE＝10﹣6＝4，∵∠C＝∠CBD，∴BE＝CE＝4，∴BD＝BE＝2，由勾股定理得：AD＝＝＝4．故答案为：4．18．解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，AD⊥AB，∴AD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD⊥AB，AD⊥CD，PE⊥BC，∴PA＝PE＝PD，∵AD＝10，∴PE＝5，即点P到BC的距离是5，故答案为：5．19．解：∵BC＝6cm，∴BD＝DC＝3（cm），∵AD⊥BC，BD＝DC，AB＝5cm，∴AC＝AB＝5（cm），∵点C在AE的垂直平分线上，∴EC＝AC＝5（cm），∴DE＝DC+EC＝8（cm），故答案为：5cm；8cm．20．解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠BAE＝∠B＝20°；（2））∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，∴AE＝BE，AN＝CN，∴∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C，∵∠EAN＝40°，∠B+∠BAE+∠EAN+∠CAN+∠C＝180°，∴∠BAE+∠CAN＝70°，∴∠BAC＝∠BAE+∠CAN+∠EAN＝110°，∵∠ADF＝∠AMF＝90°，∴∠F＝360°﹣∠ADF﹣∠AMF﹣∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°；（3）∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，∴AE＝BE，AN＝CN，∴△AEN的周长＝AE+EN+AN＝BE+EN+CN＝BC，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∴9﹣8＜BC＜9+8，∴1＜m＜17．故答案为：（1）20°；（2）70°；（3）1＜m＜17．21．解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠C＝35°，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠C＝55°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝20°．故答案为：20．22．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，∴∠E＝∠DCE，∴DE＝DC，∴△DEC是等腰三角形；（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，∴α＝15°，∴∠E＝∠DCE＝45°，∴∠EDC＝90°，如图，过D作DH⊥CE于H，∵△DEC是等腰直角三角形，∴∠EDH＝∠E＝45°，∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4，∴△EDC的面积＝EC•DH＝8×4＝16．23．解：（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴AP＝PB，AQ＝CQ，∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，∵∠BAC＝80°，∴∠B+∠C＝100°，即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°，∴x＝20°，∴∠PAQ＝20°；（2）∵△APQ周长为12，∴AQ+PQ+AP＝12，∵AQ＝CQ，AP＝PB，∴CQ+PQ+PB＝12，即CQ+BQ+2PQ＝12，BC+2PQ＝12，∵BC＝8，∴PQ＝2．24．（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAD＝100°，∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，∴EF＝EG，∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，∴EF＝EH，∴EG＝EH，∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴DE平分∠ADC；（3）解：∵S△ACD＝15，∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，解得，EG＝EH＝，∴EF＝EH＝，∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×7×＝．25．解：（1）∵A（2，0），∴OA＝2，∵△ABO是等边三角形，∴OB＝OA＝2，∠AOB＝60°，∴∠COE＝30°，∵AE⊥OB，∴OC＝OB＝1；（2）∵AE⊥OB，∠COE＝30°，∴CE＝OC＝，OE＝2CE＝，∴点E的坐标为（0，）；（3）设直线AE的解析式为y＝kx+b，由题意得：，解得：，∴直线AE的解析式为y＝﹣x+．26．证明：（1）∵∠BAC＝90°，∴∠AGB+∠ABG＝90°，∵AD⊥BC，∴∠BED+∠DBE＝90°，又∵BG平分∠ABC，∴∠ABG＝∠DBE，∴∠AGB＝∠BED，∵∠BED＝∠AEG，∴∠AGB＝∠AEG，∴AE＝AG；（2）∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，∴∠ABC＝60°，∵AD⊥BC，∴∠BAD＝30°，∵BG平分∠ABC，∴∠ABG＝∠CBG＝30°，∴∠CBG＝∠C，∠BAD＝∠ABG，∠AGB＝90°﹣30°＝60°，∴BG＝CG，AE＝BE，由（1）得：AE＝AG，∴△AEG是等边三角形，∴AG＝GE＝AE＝BE，又∵EF∥BC，∴∠GEF＝∠CBG＝30°，∠GFE＝∠C＝30°，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∴GE＝BE＝FC＝GF，∴AG＝GF＝FC．27．解：（1）∵AB＝AC，AD为角平分线．∴BD＝CD＝BC＝5，由勾股定理得，AD＝＝＝12，∴△ABC的面积＝×BC×AD＝×10×12＝60；（2）画图如图所示，∵AC垂直平分线与AD交于点E，∴EA＝EC，设AE＝CE＝x，则DE＝12﹣x，在Rt△CDE中，CE2＝DE2+CD2，即x2＝（12﹣x）2+52，解得，x＝，即AE＝；（3）延长MD至G，使DG＝MD，连接GN、GC，作GH⊥AN交AN的延长线于H，在△BDM和△CDG中，，∴△BDM≌△CDG（SAS），∴CG＝BM＝a，∠BCD＝∠B＝60°，∴∠GCH＝60°，∴∠CGH＝30°，∴CH＝a，由勾股定理得，GH＝＝a，∵MD＝DG，ND⊥MG，∴GN＝MN＝c，在Rt△NGH中，GN2＝GH2+NH2，即c2＝（a）2+（b+a）2，整理得，a2+ab+b2＝c2．。
第初中数学竞赛五讲有条件的分式的化简与求值(含答案)
第五讲 有条件的分式的化简与求值给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:1．恰当引入参数；2．取倒数或利用倒数关系； 3．拆项变形或拆分变形； 4．整体代入；5．利用比例性质等． 例题求解 【例1】若a d d c cb b a ===，则dc b a dc b a +-+-+-的值是 ． (第12届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 引入参数，利用参数寻找a 、b 、c 、d 的关系． 注：解数学题是运用巳知条件去探求未知结论的一个过程．如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提，对巳知条件的运用有下列途径： (1)直接运用条件； (2) 变形运用条件； (3) 综合运用条件； (4)挖掘隐含条件．在解某些含多个字母的代数式问题时，如果已知与未知之间的联系不明显，为了沟通已知与未知之间的联系，则可考虑引入一个参数，参数的引入，可起到沟通变元、消元的功能．【例2】如果11=+b a ，12=+c b ，那么ac 2+等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2002年全国初中数学联赛武汉选拔赛) 思路点拨 把c 、a 用b 的代效式表示．【例3】已知1=xyz ，2=++z y x ，16222=++z y x ，求代数式yzx x yz z xy 212121+++++的值． (2003年北京市竞赛题)思路点拨 直接通分，显然较繁，由x+y+z=2，得z=2－x －y ，x=2－y －z ，z ＝2－x －y ，从变形分母入手．【例4】不等于0的三个数a 、b 、c 满足cb ac b a ++=++1111，求证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数．(天津市竞赛题)思路点拨 要证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数，即要证明(a+b)(b+c)(c+a)＝0，使证明的目标更加明确．【例5】 (1)已知实数a 满足a 2－a －1=0，求487-+a a 的值．(2003年河北省竞赛题) (2)汜知1325))()(())()((=+++---a c c b b a a c c b b a ，求ac cc b b b a a +++++的值． (“北京数学科普日”攻擂赛试题) 思路点拨 (1)由条件得a 2=a+1，11=-aa ，通过不断平方，把原式用较低的多项式表示是解题的关键．(2)已知条件是b a b a +-、cb c b +-、a c ac +-三个数的乘积，探求这三个数的和与这三个数的积之间的关系，从而求出b a b a +-+c b c b +-+ac ac +-的值是解本例的关键．学历训练1．已知032=-+x x ，那么1332---x x x = ． (2003年淄博市中考题)2．已知712=+-x x x ，则1242++x x x = ．3．若a 、b 、c 满足a+b +c=0，abc>0，且c c b b a a x ++=，y=)11()11()11(ba c a cbc b a +++++，则xy y x 32++= ． (“祖冲之杯”邀请赛试题) 4．已知43322a c c b b a -=-=+，则ba cb a 98765+-+= ．(第12届“五羊杯”竞赛题) 5．已知a 、b 、c 、d 都是正数，且d c b a <，给出下列4个不等式：①d c c b a a +>+；②dc cb a a +<+；③d c d b a b +>+；④ dc db a b +<+，其中正确的是( ) (2002年山东省竞赛题) A ．①③ B ．①④ C ．②④ D ．②③ 6．设a 、b 、c 是三个互不相同的正数，如果abb ac b c a =+=-，那么( ) A ． 3b=2c B ．3a=2b C ．2b=c D ．2a=b. (“祖冲之杯”邀请赛试题) 7．若4x —3y 一6z=0，x+2y －7z=0(xyz ≠0)，则代数式222222103225z y x z y x ---+的值等于( )．A ． 21-219- C ．－15 D ． －13. (2003年全国初中数学竞赛题) 8．设轮船在静水中速度为v ，该船在流水(速度为u <v )中从上游A 驶往下游B ，再返回A ，所用时间为T ，假设u =0，即河流改为静水，该船从A 至B 再返回B ，所用时间为t ， 则( )A ．T=tB ．T<tC ．T>tD ．不能确定T 、t 的大小关系9．(1)化简，求值：24)44122(22+-÷++--+-a a a a a a a a ，其中a 满足0122=-+a a ； (2002年山西省中考题)(2)设0=++c b a ，求abc c ac b b bc a a +++++222222222的值．10．已知xz z y y x 111+=+=+，其中x 、y 、z 互不相等，求证：x 2y 2z 2=1．11．若0≠abc ，且b ac a c b c b a +=+=+，则abca c cb b a ))()((+++= ． 12．已知a 、b 、c 满足1222=++c b a ，3)11()11()11(-=+++++ba c c abc b a ，那么 a+b+c 的值为 ． 13．已知1=+y x xy ，2=+z y yz ，3=+xz zx，则x 的值为 ． 14．已知x 、y 、z 满足41=+y x ，11=+z y ，371=+x z ，则xyz 的值为 ． (2003年全国初中数学竞赛题)15．设a 、b 、c 满足abc ≠0，且c b a =+，则abc b a ca b a c bc a c b 222222222222-++-++-+的值为A ．－1B ．1C ．2D ．3 (2003年南通市中考题) 16．已知abc=1，a+b+c=2，3222=++c b a ，则111111-++-++-+b ca a bc c ab 的值为( ) A ．－1 B ．21-C ．2D ．32- (大原市竞赛题) 17．已知—列数1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 、7a ，且1a =8，7a =5832，766554433221a a a a a a a a a a a a =====，则5a 为（ ） A ．648 B ． 832 C ．1168 D ．194418．已知0199152=--x x ，则代数式)2)(1(1)1()2(24----+-x x x x 的值为( )A ．1996B ．1997C ．1998D ．1999 19．（1）已知ac b =2，求)111(333333222cbacb ac b a ++⋅++的值；(2)已知x 、y 、z 满足1=+++++y x z x z y z y x ，求代数式yx z x z y z y x +++++222的值． (2002年北京市竞赛题)20．设a 、b 、c 满足c b a c b a ++=++1111，求证：当n 为奇数时，n n n n n n cb ac b a 1111++=++ (波兰竞赛题)21．已知012=--a a ，且1129322322324-=-++-axa a xa a ，求x 的值． (2000年上海市高中理科班招生试题)22．某企业有9个生产车间，现在每个车间原有的成品一样多，每个车间每天生产的成品也一样多，有A，B两组检验员，其中A组有8名检验员，他们先用2天将第一、第二两个车间的所有成品(指原有的和后来生产的)检验完毕后，再检验第三、四两个车间的所有成品，又用去了3天时间，同时，用这5天时间，B组检验员也检验完余下的5个车间的所有成品．如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a件，每个车间每天生产b件成品．(1)试用a、b表示B组检验员检验的成品总数；(2)求B组检验员的人数．(2001年天津市中考题) 答案：。
数学初中竞赛 方程和不等式 专题训练(含答案)
数学初中竞赛方程与不等式专题训练一．选择题1．方程x2+2xy+3y2＝34的整数解（x，y）的组数为（）A．3 B．4 C．5 D．62．已知两块边长都为a厘米的大正方形，两块边长都为b厘米的小正方形和五块长、宽分别是a厘米、b厘米的小长方形（a＞b），按如图的方式正好不重叠地拼成一个大长方形，若已知拼成的大长方形周长为78厘米，四个正方形的面积和为242平方厘米，则每个小长方形的面积为（）A．11平方厘米B．12平方厘米C．24平方厘米D．48平方厘米3．球赛入场券有10元、15元、20元三种票价，老师用480元买了40张入场券，其中票价为10元的比票价为20元的多的张数是（）A．12 B．16 C．20 D．244．由方程组消去y后化简得到的方程是（）A．2x2﹣2x﹣6＝0 B．2x2+2x+5＝0 C．2x2+5＝0 D．2x2﹣2x+5＝0 5．某班将举行“庆祝建党95周年知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，如图是小明买回奖品时与班长的对话情境：请根据如图对话信息，计算乙种笔记本买了（）A．25本B．20本C．15本D．10本6．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的“算筹”．算筹是古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图）．当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推．例如3306用算筹表示就是，则2022用算筹可表示为（）A．B．C．D．7．如图是某汽车公司销售点的环形分布图．公司在年初分配给A、B、C、D四个销售点某种汽车各50辆．在销售前发现需将A、B、C、D四个销售点的这批汽车分别调整为40、45、54、61辆，但调整只能在相邻销售点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动辆次n为（一辆汽车从一个销售点调整到相邻销售点为一次）（）A．15 B．16 C．17 D．188．已知在代数式a+bx+cx2中，a、b、c都是整数，当x＝3时，该式的值是2008；当x＝7时，该式的值是2009，这样的代数式有（）A．0个B．1个C．10个D．无穷多个9．对于任意的有理数a，方程2x2+（a+1）x﹣（3a2﹣4a+b）＝0的根总是有理数，则b的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．010．已知关于x的方程（x﹣a）（x﹣b）﹣1＝0（a＜b）的两根为p、q（p＜q，且pq＞0），则一定有（）A．a＜p＜q＜b B．＞C．＜＜＜D．＜＜＜11．为了预防甲流，某班级准备300元钱，计划购入一批体温计．已知有两种体温计可供选购，其中水银体温计3元/支，电子体温计10元/支，由于水银体温计容易破裂且水银具有毒性，所以希望尽可能多地购买电子体温计．如果该班级共53名同学，且要求每位同学有一支体温计，则最多可购买电子体温计（）支．A．20 B．21 C．30 D．3312．初二（1）班有48名同学，其中有男同学n名，将他们编成1号、2号、…，n号．在寒假期间，1号给3名同学打过电话，2号给4名同学打过电话，3号给5名同学打过电话，…，n号同学给一半同学打过电话，由此可知该班女同学的人数是（）A．22 B．24 C．25 D．26二．填空题13．已知p，q都是正整数，方程7x2﹣px+2009q＝0的两个根都是质数，则p+q＝．14．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为．15．初三某班共有60名同学，学号依次为1号，2号，…，60号，现分成A，B，C三个小组，每组人数若干，若将B组的小俊（27号）调整到A组，将C组的小芸（43号）调整到B组，此时A，C两组同学学号的平均数都将比调整前增加0.5，B组同学学号的平均数将比调整前增加0.8，同时B组中的小营（37号）计算发现，她的学号数高于调整前B 组同学学号的平均数，却低于调整后的平均数．请问调整前A组共有名同学．16．“十一”国庆期间，某一商品搞清仓促销活动，从10月2日起每天比前一天降价50元，每一天的销售量比前一天增加50件，若“十一”期间7天这种商品的销售共收入308700元，则10月4日这一天收入元．17．某小区打算购买100盆花装饰花园，20人分三组刚好搬完（假设每人都需要搬），每组人的搬花量如下表，请问第一组可能有人．组别第一组第二组第三组每人搬花盆数 5 4 1018．在车站开始检票时，有a（a＞0）名旅客在候车室等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放个检票口．19．某中学有九百多名师生外出参加社会实践活动，准备租某种客车若干辆．如果每辆车刚好坐满（即每个人都刚好有一个座位），就会余下14个人；如果多准备一辆车，那么每辆车刚好都空1个座位，则这种客车每辆的乘客座位有个．20．甲、乙两商店某种铅笔标价都是1元，一天，让学生小王欲购这种铅笔，发现甲、乙两商店都让利优惠：甲店实行每买5枝送1枝（不足5枝不送）；乙店实行买4枝或4枝以上打8.5折，小王买了13枝这种铅笔，最少需要花元．三．解答题21．解方程组：22．已知关于x的一元二次方程x2+2（k+1）x+k2+2＝0有两个实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若|x1|﹣|x2|＝2，求k的值．23．将一个三位数分成4个数，使得第一个数乘以2，第二个数除以2，第三个数减1，第四个数加2，得到的结果相等，若该三位数比这四个数中最大的数的2倍大59，求这三位数．24．a、b、c为正整数，关于x的方程ax2+bx+c＝0的两实根的绝对值都小于，求a+b+c 的最小值．25．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．例如，ab＝1求证：＝1证明：原式＝＝＝1波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．阅读材料二：基本不等式（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+有最小值，最小值是多少？解：∵x＞0，＞0∴，即x，∴当且仅当x＝，即x＝1时，x+有最小值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题：（1）已知ab＝1，求下列各式的值：＝；②＝．（2）若abc＝1，解方程＝1（3）若正数a、b满足ab＝1，求M＝的最小值．参考答案一．选择题1．解：方程变形得：（x+y）2+2y2＝34，∵34与2y2是偶数，∴x+y必须是偶数，设x+y＝2t，则原方程变为：（2t）2+2y2＝34，∴2t2+y2＝17，它的整数解为，则当y＝3，t＝2时，x＝1；当y＝3，t＝﹣2时，x＝﹣7；当y＝﹣3，t＝2时，x＝7；当y＝﹣3，t＝﹣2时，x＝﹣1．∴原方程的整数解为：（1，3），（﹣7，3），（7，﹣3），（﹣1，﹣3）共4组．故选：B．2．解：依题意，得：，整理，得：，（①2﹣②）÷2，得：ab＝24．故选：C．3．解：分别设三种票买了x、y、z张．则根据题意，得，由②，得：y＝40﹣x﹣z，③将③代入①，得：x﹣z＝24．故选：D．4．解：，由①，得x＝y+1③，将③代入②，得（x﹣1）2+x2+4＝0，化简，得2x2﹣2x+5＝0，故选：D．5．解：设甲种笔记本买了x本，甲种笔记本的单价是y元，则乙种笔记本买了（40﹣x）本，乙种笔记本的单价是（y+3）元，根据题意，得：，解得：，答：甲种笔记本买了25本，乙种笔记本买了15本．故选：C．6．解：∵各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，∴2022用算筹可表示为故选：C．7．解：根据题意可得：互不相邻两点B、D，B处至少调动5辆次，D处至少调入11辆次，两处之和至少16辆次，因而四个销售点调动至少16辆次，又A、B的数量减少，C、D的数量增加，所以从A调11辆到D，从B调1辆到A，调4辆到C，共调整了11+1+4＝16辆．综上，最少调动16辆次．故选：B．8．解：根据题意，得，由②﹣①，得4b+40c＝1，③∵a、b、c都是整数，∴③的左边是4的倍数，与右边不等，所以，这样的代数式不存在；故选：A．9．解：∵方程的△＝（a+1）2+8（3a2﹣4a+b）＝（5a﹣3）2+8b﹣8≥0，∴当8b﹣8≥0时，必定△≥0，即方程必有实根，∴b≥1，当b＝1时，3a2﹣4a+1＝（3a﹣1）（a﹣1），∴十字因式分解得方程为（x﹣a+1）（2x+3a﹣1）＝0，∴b＝1成立，当b＝2时，3a2﹣4a+b＝3a2﹣4a+2不能因式分解，∴方程有可能为无理数解，同理可得b＝﹣1以及0时，方程有可能为无理数解，故b的值为1．故选：A．10．解：设y＝（x﹣a）（x﹣b），则此二次函数开口向上，当（x﹣a）（x﹣b）＝0时，即函数与x轴的交点为：（a，0），（b，0），当（x﹣a）（x﹣b）＝1时，∵p、q是关于x的方程（x﹣a）（x﹣b）﹣1＝0的两实根，∴函数与y＝1的交点为：（p，1），（q，1），根据二次函数的增减性，可得：当a＜b，p＜q时，p＜a＜b＜q，故＜＜＜当p，q同为负数不合题意，故＞不成立，故选：C．11．解：设可购买电子体温计x支，则需买水银体温计（53﹣x）支，由题意，得．10x+3×（53﹣x）≤300．解得：x≤20∴最多可购买电子体温计20支，故选：A．12．解：一半同学是48÷2＝24人，1号给3＝2+1名打电话，2号给4＝2+2名打电话，3号给5＝2+3名打电话，…n号给2+n＝24名打电话，所以n＝22，48﹣22＝26，该班有女生26名，故选：D．二．填空题（共8小题）13．解：x 1+x2＝x 1x2＝＝287q＝7×41×qx 1和x2都是质数则只有x1和x2是7和41，而q＝1所以7+41＝p＝336所以p+q＝337故填：33714．解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒，∵每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，∴0＜x＜10，0＜y≤11，0＜z≤15，且x，y，z都是整数，则10x+9y+6z＝108，∴x＝＝，∵0＜x＜10，且为整数，∴36﹣3y﹣2z是10的倍数，即：36﹣3y﹣2z＝10或20或30，当36﹣3y﹣2z＝10时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴26﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝（舍）或z＝10或z＝（舍）或z＝7或z＝（舍）或z＝4或z＝（舍）或z＝1，当z＝10时，y＝2，x＝3，当z＝7时，y＝4，x＝3，当z＝4时，y＝8，x＝3当z＝1时，y＝8，x＝3，当36﹣3y﹣2z＝20时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴16﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝（舍）或z＝5或z＝（舍）或z＝2或z＝（舍）当z＝5时，y＝2，x＝6，当z＝2时，y＝4，x＝6，当36﹣3y﹣2z＝30时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴6﹣2z＝3，∴z＝（舍）即：满足条件的不同的装法有6种，故答案为6．15．解：设A，B，C组调整前的人数分别是n A，n B，n C，则A，B，C调整后的人数分别是n A+1，n，n C﹣1，B设A，B，C组调整前各组的号码之和分别为w A，w B，w C，则A，B，C调整后各组的号码之和分别为w A+27，w+16，w C﹣43，B根据题意得：由③得，n B＝20∴36.2＜＜37，即724＜w B＜740又∵n A+n B+n C＝60∴n C＝40﹣n A④整理得：由①得∴w C+w A＝2500﹣56n A又∵∴w B＝1830﹣（2500﹣56n A）＝﹣670+56n A∴724＜﹣670+56n A＜740解得∵n A为正整数，所以n A＝25所以本题答案为2516．解：设10月1日这种商品每件x元，销售量为a件，由题意，得ax+（x﹣50）（a+50）+（x﹣100）（a+100）+（x﹣150）（a+150）+（x﹣200）（a+200）+（x﹣250）（a+250）+（x﹣300）（a+300）＝308700，化简整理，得7ax+1050x﹣1050a﹣227500＝308700，两边除以7，得ax+150x﹣150a﹣32500＝44100，所以（x﹣150）（a+150）＝54100．即10月4日这一天收入54100元．故答案为：54100．17．解：设第一组x人，第二组y人，第三组（20﹣x﹣y）人，由题意得：5x+4y+10（20﹣x﹣y）＝100∴x＝∵x，y为正整数，∴100﹣6y为5的整数倍，∴y＝5或10或15∴x＝14或8或2故答案为：14或8或218．解：设一个窗口每分检出的人是c，每分来的人是b，至少要开放x个窗口；a+30b＝30c①，a+10b＝2×10c②，a+5b≤5×x×c，由①﹣②得：c＝2b，a＝30c﹣30b＝30b，30b+5b≤5×x×2b，即35b≤10bx，∵b＞0，∴在不等式两边都除以10b得：x≥3.5，答：至少要同时开放4个检票口．19．解：设准备客车x辆，每辆客车有座位x个，根据题意知：xy+14＝（x+1）y﹣x﹣1，得y＝x+15，又知xy＞900，即x（x+15）＞900，x2+15x﹣900＞0，解得：x＞或x＜（舍去）即x＞23.43，当x ＝24时，y ＝39，xy ＝936，当x ＝25时，y ＝40，xy ＝1000（不符合题意）即这种客车每辆的乘客座位有39个，故答案为：39．20．解：因为甲店实行每买5枝送1枝，所以小王先到甲店花5元钱买了6枝，剩下7枝到乙店购买，用去了7×0.85＝5.95，所以小王一共花了：5+5.95＝10.95元．故填：10.95．三．解答题（共5小题）21．解：由①得，（ x +y ）2＝9，则x +y ＝3或x +y ＝﹣3， 与②组成方程组和， 解得，，， 所以原方程组的解为，．22．解：（1）∵原方程有两个实数根，∴△＝[2（k +1）]2﹣4（k 2+2）＝8k ﹣4≥0，解得k ≥．（2）∵x 1、x 2是方程x 2+2（k +1）x +k 2+2＝0有两个实根，k ≥，∴x 1+x 2＝﹣2（k +1）＜0，x 1x 2＝k 2+2＞0，∴（|x 1|﹣|x 2|）2＝x 12﹣2|x 1•x 2|+x 22＝x 12+2x 1x 2+x 22﹣4x 1x 2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝（2）2＝20，∴[﹣2（k +1）]2﹣4（k 2+2）＝20，即8k ﹣24＝0，解得：k ＝3．故k 的值为3．23．解：设这个相等的结果为x ，则由三位数分成的四个数分别为：、2x 、x +1、x ﹣2，则这个三位数为：+2x +（x +1）+（x ﹣2）＝﹣1 ∴100≤﹣1＜1000 ∴≤x ＜∴四个数、2x 、x +1、x ﹣2中，2x 最大，由题意得：﹣1＝2×2x +59 ∴＝60∴x ＝120 ∴这个三位数为：×120﹣1＝539答：这个三位数为539．24．解：由于a ，b ，c 是正整数，关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两个实数根， 则判别式△＝b 2﹣4ac ≥0，若方程的两根设为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则由题设可得x 1+x 2＝﹣，x 1x 2＝， 则﹣＜x 1≤x 2＜0．令f （x ）＝ax 2+bx +c ，即有f （﹣）＞0， 即﹣b +c ＞0，且﹣＜﹣＜0．整理可得：2a ＞3b ，且a +9c ＞3b ，且b 2＞4ac即有2a ＞3b ＞18c ．结合前者，可知，最小为a ＝16，b ＝9，c ＝1．则a +b +c 的最小值为26．25．解：（1）①∵ab ＝1∴a＝∴原式＝+＝+＝1故答案为：1②∵ab＝1∴a＝原式＝+＝1故答案为：1（2）∵＝1，且abc＝1，∴+＝15x＝1x＝（3）∵正数a、b满足ab＝1∴b＝，a＞0，b＞0，∴a+＝（﹣）2+2≥2∵M＝＝＝＝1﹣∴当a+＝2时，M的值最小，∴M最小值＝1﹣＝2﹣2。
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5 .6 . 面+应—而—妊Vio+Vi4+Vi5+V2i7 . 化简：J16—6”一J1 6+6A/74 . 南苑中学八年级数学竞赛辅导训练题（一）2006.2班级学号姓名得分1.直角三角形的一条直角边的长是13,另外两边长都是整数，则此三角形的斜边长是2. 四边形ABCD中，已知AB ： BC： CD： DA = 2： 2 ： 3 ： 1, RZB= D90°,则ZBAD=___________ 度.3. 设Q= ---------- ，则Q，+3Q2+ I + 2 的值是______________1+V2如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和5,那么阴影部分的面积为=2003 X 2004 X 2005 X 2006 +18. ( A/2 + \/3 + y/~5 ) ( V2 + A/3—y/~5 ) ( V2 — V3 + y/5 ) (—A/2+s/3 + V5 )=它有一定的规律性，9,已知m 是2003的算术平方根的整数部分，n 是1991的算术平方根的小数部分，则化 (7181+4711) 10. F 是矩形 A3CD 内一点，已知 B4 = 2, PB = 3, PC=4,则PD=.古希腊数学家把数1，3, 6, 10, 15, 21,…叫做三角形数,100个三角形数与第102个三角形数的差为 12. 如图，矩形ABCD 中，AB=4, BC=8,现将A 、C 重合，使 纸片折叠压平，设折痕为EF,则ZXAEF 的面积=.13. 如图，Rt/XABC 中，ZC=RtZ, AC=5, BC=\2.把△ABC 平移至△&&&,使AiG 经过BC 的中点。
，则 梯形AB }C }C 的面积是.14. F 为正三角形 ABC 内一点，ZAPB= 123°, ZBPC=111°.以AP, BP 、CP 为边可以构成一个三角形，则所构成的三角形 的最小内角的度数是 度.15.如图，菱形 ABCD 中，AB=6, ZBAD=60°, E 是 A3 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小B值是•16.若V3 =a, A/30=b,那么J2.7 =.17.AABC中，BC=4, AC=3,以AB为边向/XABC外作等边左ABD,则C、。
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张云华——初中数学竞赛训练题（088）第1题解答
作者简介
张云华，全国优秀教师，四川省特级教师，四川省教书育人名师，
中国数学会会员，四川省初等数学研究会成员。从事高中数学教学和
解题，有文字在报纸和刊物和网站和博客和微博和微信群(公众号)上发
表，建了张云华名师工作室博客(微博)。
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