数理方程试题(4)

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2010年数理方程期末试题

一、填空题（24分，每题4分）

1、数学物理方程中三类典型的偏微分方程是：扩散方程、、和。

2、波动方程的定解条件包括和两部分。

3、分离变量法是人们基于两个重要事实提出来的，它们分别是：波动现象的解可以写成时间函数和位置函数分离结构的乘积形式和。

4、一长为l的细杆，其在x=0保持绝热，x=l端永远保持温度u0，初始温度分布为

已知函数)(x

ϕ，试写出杆的温度函数u(x, t)所满足的定解问题是：

5、对于函数(,,,)

u x y z t，其球面平均函数的定义为：

6、三维Laplace方程的基本解是：

二、选择题（24分，每题4分）

1、固有值问题

''0

(0)'()0

X X

X X L

λ

+=

⎧

⎨

==

⎩

的解为（）：

A ．2,/,1,2,

sin k k k k k w w k L k X w x λπ==== B ．212,()/,0,1,2, sin k k k k k w w k L k X w x λπ==+==

C ．2,/,1,2,

cos k k k k k w w k L k X w x λπ==== D ．212,()/,0,1,2,

cos k k k k k w w k L k X w x λπ==+== E ．以上都不对

2．以下关于调和函数的描述不正确的是 （ ）

A ．调和函数在区域内任意一点的函数值，可用区域边界上的函数值表达

B ．调和函数的法向导数沿着区域的边界积分为零。

C ．调和函数在球心的值，等于其在球面上的算术平均值

D ．调和函数的最大和最小值发生在区域的内部

E ．以上都不对

3．方程0t tt yy u u ye

---=是（ ）

A ．波动方程

B ．热传导方程

C ．稳态方程

D ．以上都不对

4．方程4370xx yy xy u u u +-=是 （ ）

A ．双曲型方程

B ．抛物型方程

C ．椭圆型方程

D ．以上都不对

5．设函数),(0M M G 在Ω内除 0M 点外满足Laplace 方程，且0=ΓG ，Γ为Ω的

边界，则000(,)1

1()((,)()(())44G M M u M G M M M dV f M dS n

ϕππΩΓ∂=-

∂⎰⎰⎰⎰⎰是定解问题( )的解

A. ⎪⎩

⎪⎨⎧=∂∂==∆ΓΓ)(),(0M f n u M u u ϕ

B. )(),(0M n u M f u u ϕ=⎪⎩

⎪⎨⎧∂∂==∆ΓΓ

C. ⎩⎨⎧==∆Γ)

()(M f u M u ϕ

D. ⎩⎨⎧==∆Γ

)()(M u M f u ϕ E ．以上都不对

6．定义函数的Fourier 正变换为[]111()()()i F f x f e d g λξξξλ+∞

--∞

==⎰，

[]222()()()i F f x f e d g λξξξλ+∞--∞=

=⎰，则有关函数Fourier 变换性质的描述不正确

的是：（ ）

A ．[]1212()()()()F f x f x g g λλ+=+

B ．211()()F f x g λλ⎡⎤''=⎣⎦

C ．[]1212()()()()F f x f x g g λλ*=⨯

D ．111[()]()F f kx g k k

λ= E ．以上都不对

三、试建立一端固定、一端自由的均匀细杆的纵向振动方程。其中，设 u (x , t ) 表

示任意时刻偏离静止位置的偏位移，ρ为杆的密度，E 为弹性模量，振动过程中杆内张力服从Hooke 定律。 （12分）

四、采用分离变量法求解下列定解问题：

()222, (0,0)(,0)()(0,)0, (,)0U U a f x t x l t t x U x x U t U l t ϕ⎧∂∂=+<<<⎪∂∂⎪⎨=⎪⎪==⎩

（15分）

五、采用行波法（分步积分）求解下列定解问题：（15分）

2220

1, cos y x u x y x y u x u y ==⎧∂=⎪∂∂⎨

⎪==⎩

六、采用Green 函数法求解半空间上Laplace 方程第一边值问题：

03,,(,,3)(,)u z x y u x y x y ϕ∆=>-∞<<+∞⎧⎨=⎩

（10分）