八年级下册数学期末考试常见动点问题复习进程

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初二数学动点问题解题技巧

初二数学动点问题解题技巧数学中的动点问题是初中阶段数学中的重要内容，也是学生们比较难理解和掌握的部分。

动点问题涉及到时间、空间、速度等多个变量，需要综合考虑各种因素。

本文将介绍初二数学动点问题解题技巧，希望能够帮助学生们更好地掌握这一难点。

一、了解基本概念在学习动点问题之前，我们需要了解一些基本概念。

首先是速度，即单位时间内的位移量。

其次是位移，即一个物体在一段时间内所移动的距离和方向。

还有一个重要的概念是相对速度，即两个物体之间的速度差。

这些基本概念是理解动点问题的基础。

二、掌握常见类型在解动点问题时，需要掌握常见类型。

根据动点的运动方式，可以将动点问题分为两类：匀速直线运动和匀加速直线运动。

匀速直线运动是指动点在运动过程中速度不变，即速度恒定。

这种情况下，动点的位移可以用位移公式求解。

位移公式是S=vt，其中S表示位移，v表示速度，t表示时间。

匀加速直线运动是指动点在运动过程中速度不断变化，即加速度恒定。

这种情况下，动点的位移可以用加速度公式求解。

加速度公式是S=vt+1/2at，其中a表示加速度。

三、综合应用在解决动点问题时，需要根据题目的具体情况，综合应用上述知识点。

下面以一个例题为例，介绍具体的解题思路。

【例题】甲、乙两人从相距100米的地点同时向同一方向奔跑，已知甲的速度为5米/秒，乙的速度为7米/秒，问甲跑出100米后，乙跑多少米时能追上甲？解题思路：1. 确定题目类型：这是一个匀速直线运动的问题。

2. 确定变量及其含义：设甲跑了t秒后跑了100米，此时乙跑了x米。

则甲的位移为100米，速度为5米/秒，乙的位移为x米，速度为7米/秒。

3. 根据题目条件列方程：根据甲、乙两人奔跑的速度和距离，可以列出以下两个方程：甲：100=5t乙：x=7t4. 解方程：将甲的方程中的t代入乙的方程中，得到x=7×20=140。

5. 确定答案：乙跑了140米时能追上甲。

以上就是解决动点问题的基本思路和方法。

你知道初中动点问题的公式和答题思路以及过程吗

你知道初中动点问题的公式和答题思路以及过程吗
动点问题一直是近几年中考的高频考点，也是中考试题中的难点。

图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

现在数学测试卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．
常见方法
1.特殊探究，一般推证。

2.动手实践，操作确认。

3.建立联系，计算说明。

解题关键：动中求静。

八年级数学动点问题专题

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解决动点问题的主要步骤
认真审题作出图形，如果涉及特定的时刻，
化动为静
就作出特定时刻的图形
利用题目中的几何条件，建立几何等量关系
用s=vt表示所需要的线段长
列出方程或函数表达式
对号入座，代入几何等量关系
17
4、△ABC中，∠B=90°,AB=5cm, BC=7cm,P从A沿AB向B以1cm/s的速度移动，Q从B沿BC向C以2cm/s的速度移动。 (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于4cm2； C
当点P在CD上运动时，设运动时间为t，求AP、DP和CP的长
B
C
P
A
D
3
如图：梯形ABCD中，AD//BC， AD=9cm,BC=6cm，点P从点A出发，沿着AD的方向向终点D以每秒一个单位的速度运动，当点P在AD上运动时，设运动时间为t，求当t为何值时，四边形APCB为平行四边形
B
C
A
A.10
B.12
C.14
D.16
D
C
P
A
B
练习2、如图已知 ABCD中，AB=7，BC=4， ∠A=30°
(1)点P从点A沿AB边向点B运动，速度为1cm/s。
若设运动时间为t(s)，连接PC,当t为何值时， △PBC为等腰三角形？
D
A 30° 7P
若△PBC为等腰三角形
C
则PB=BC
4 B
∴7-t=4
5
变式1：如图：梯形ABCD中，AD//BC，
AD=9cm,BC=6cm，梯形的高为5cm.点P
从点A出发，沿着AD的方向向终点D以每
秒一个单位的速度运动，当点P在AD上运

八年级数学全等三角形中的动点问题压轴题汇总

八年级数学全等三角形中的动点问题压轴题汇总八年级数学全等三角形中的动点问题汇总教学重点难点是如何利用熟悉的知识点解决陌生的问题。

解决这类问题的思路如下：1.利用图形想到三角形全等；2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程和速度；3.结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据；4.分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏；5.动点一般都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路；6.动点类问题一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论。

典型例题】例1.在△ABC中，∠XXX为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。

如果AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上运动时（与点B不重合），如图，线段CF、BD之间的位置关系为何，数量关系为何？请利用图2或图3予以证明（选择一个即可）。

例 2.在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE，连接DE、DF、EF。

1）求证：△ADF≌△CEF。

2）试证明△DFE是等腰直角三角形。

3）在此运动变化的过程中，四边形CDFE的面积是否保持不变？试说明理由。

4）求△CDE面积的最大值。

变式如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE。

连接DE、DF、EF。

在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8.其中正确的结论是（）A．①②③B．①③C．①③④D．②③④例3.正方形ABCD和正方形AEFG有一公共点A，点G．E分别在线段AD、AB上（如图（1）所示），连接DF、BF。

1）求证：DF=BF。

2021年人教版数学八年级下册期末专题复习《动点问题》(含答案)

2021年人教版数学八年级下册期末专题复习《动点问题》一、选择题1.如图,正方形ABCD的边长为2cm,动点P从点A出发,在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止,设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（）A. B. C. D.2.如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=1，AF=3，P为BD上一动点，则线段EP+FP的长最短为（）A.3B.4C.5D.63.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点．PC＋PD值最小时点P的坐标为( )A.(-3，0)B.(-6，0 )C.(-1.5，0)D.(-2.5，0)4.如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一动点,矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A.4.8B.5C.6D.7.25.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A.5个B.4个C.3个D.2个6.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点(且点P不与点B、C重合)，PE ⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点.设AM的长为x，则x的取值范围是( )A.4≥x＞2.4B.4≥x≥2.4C.4＞x＞2.4D.4＞x≥2.47.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB 边上一动点，以PA，PC为边作□PAQC，则对角线PQ长度的最小值为（）A.6B.8C.2 2D.4 28.将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是( )A． B．﹣1 C． D．9.如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE=1，则EF的长为（）A.1.5B.2.5C.2.25D.310.如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半.这样的图形有（）A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题11.无论m取什么实数，点A（m+1，2m-2）都在直线l上，若点B（a，b）是直线l上的动点，则(2a-b-6)3的值等于12.如图，在正方形ABCD中，AB=，点P为边AB上一动点（不与A、B重合），过A、P在正方形内部作正方形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三角形时，AP= ．13.矩形ABCD中，AB=10，BC=4，Q为AB边的中点，P为CD边上的动点，且△AQP是腰长为5的等腰三角形，则CP的长为．14.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为OB边的中点，E是OA边上的一个动点，当△CDE的周长最小时，E 点坐标为．15.如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AE=3,P是AC上一动点,则PB+PE最小值是．16.如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD交于点O．若E，F分别是边AB，BC上的动点，且OE⊥OF，则△OEF周长的最小值是．17.如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB=4，BC=8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①CQ=CD；②四边形CMPN是菱形；③P，A重合时，MN=2；④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5．其中正确的是(把正确结论的序号都填上)．18.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B 落在点B′处.当△CEB′为直角三角形时，BE的长为.三、解答题19.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角角平分线于点F.(1)求证：OE=OF；(2)若CE=12，CF=5，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.20.如图，己知直线l：y=x+1（k≠0）的图象与x轴、y轴交于A、B两点．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）若P是x轴上的一个动点，求出当△PAB是等腰三角形时P的坐标；（3）在y轴上有点C（0，3），点D在直线l上．若△ACD面积等于4．请直接写出D的坐标．21.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式+的最小值．22.长方形ABCD中，AD=10，AB=8，将长方形ABCD折叠，折痕为EF.（1）当A′与B重合时（如图1），EF= ；（2）当直线EF过点D时（如图2），点A的对应点A′落在线段BC上，求线段EF的长；（3）如图3，点A的对应点A′落在线段BC上，E点在线段AB上，同时F点也在线段AD上，则A′在BC上的运动距离是；0.答案解析1.A2.B3.C4.A5.C6.D7.答案为：D8.答案为：A.解：连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，如图：由折叠可知点P、H、F、M四点共线，且PH=MF，设正方形ABCD的边长为2a，则正方形ABCD的面积为4a2，∵若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等∴由折叠可知正方形EFGH的面积=×正方形ABCD的面积=，∴正方形EFGH的边长GF==∴HF=GF=∴MF=PH==a∴=a÷=9.B10.C11.答案为：-8.12.13.答案为：2、7或8．14.答案为：(1、0) ；15.答案为：.16.答案为:；17.答案为：②③．解：如图1，∵PM∥CN，∴∠PMN=∠MNC，∵∠MNC=∠PNM，∴∠PMN=∠PNM，∴PM=PN，∵NC=NP，∴PM=CN，∵MP∥CN，∴四边形CNPM是平行四边形，∵CN=NP，∴四边形CNPM是菱形，故②正确；∴CP⊥MN，∠BCP=∠MCP，∴∠MQC=∠D=90°，∵CP=CP，若CQ=CD，则Rt△CMQ≌△CMD，∴∠DCM=∠QCM=∠BCP=30°，这个不一定成立，故①错误；点P与点A重合时，如图2，设BN=x，则AN=NC=8﹣x，在Rt△ABN中，AB2+BN2=AN2，即42+x2=(8﹣x)2，解得x=3，∴CN=8﹣3=5，AC=，∴，∴，∴MN=2QN=2．故③正确；当MN过点D时，如图3，此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S=，当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S=，∴4≤S≤5，故④错误．18.答案为：1.5或3.19. (1)证明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，∴∠ACF=∠FCD=∠CFO.∴OF=OC，同理可证：OC=OE，∴OE=OF.(2)由(1)知：OF=OC，OC=OE，∴∠OCF=∠OFC，∠OCE=∠OEC.∴∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC，而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180°，∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90°，∴EF=13.∴OC=0.5EF=6.5.(3)当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形.理由：由(1)知OE=OF，当点O移动到AC中点时有OA=OC，∴四边形AECF为平行四边形.又∵∠ECF=90°，∴四边形AECF为矩形.20.解：（1）当y=0时， x+1=0，解得x=﹣2，则A（﹣2，0），当x=0时，y=x+1=1，则B（0，1）；（2）AB==，当AP=AB时，P点坐标为（﹣，0）或（，0）；当BP=BA时，P点坐标为（2，0）；当PA=PB时，作AB的垂直平分线交x轴于P，连结PB，如图1，则PA=PB，设P（t，0），则OA=t+2，OB=t+2，在Rt△OBP中，12+t2=（t+2）2，解得t=﹣，此时P点坐标为（﹣，0）；（3）如图2，设D（x， x+1），当x＞0时，∵S△ABC+S△BCD=S△ACD，∴•2•2+•2•x=4，解得x=2，此时D点坐标为（2，2）；当x＜0时，∵S△BCD﹣S△ABC=S△ACD，∴•2•（﹣x）﹣•2•2=4，解得x=﹣6，此时D点坐标为（﹣6，﹣2），综上所述，D点坐标为（2，2）或（﹣6，﹣2）．故答案为（﹣2，0），（0，1）；（2，2）或（﹣6，﹣2）．21.解：（1）AC+CE=+；（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；（3）如右图所示，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，设BC=x，则AE的长即为代数+的最小值．过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，所以AE===13，即+的最小值为13．故代数式+的最小值为13．22.。

初中数学动点问题归纳

初中数学动点问题归纳动点问题是数学中常见的问题类型之一，它涉及到点在一定规律下的运动轨迹及相关的计算。

在初中数学学习过程中，学生们大多会接触到动点问题，并掌握解决此类问题的方法和技巧。

本文将对初中数学动点问题进行归纳总结，帮助初中学生更好地理解和解决这类问题。

1. 直线运动问题直线运动问题是最基本的动点问题之一。

在这类问题中，点按照直线路径运动，常涉及到时间、距离和速度的关系。

解决直线运动问题时，可以使用速度等于位移除以时间的公式来计算，即 v = s/t。

例子1：小明从家里骑自行车到学校，全程15公里，用时1小时。

求小明的平均速度。

解析：根据公式，平均速度 v = s/t = 15/1 = 15 km/h例子2：小红开车从A市到B市，全程200公里，平均时速60km/h。

求小红从A市到B市的行驶时间。

解析：根据公式，时间 t = s/v = 200/60 = 3.33 小时≈ 3小时20分2. 圆周运动问题圆周运动问题中，点按照圆形轨迹运动。

这类问题通常涉及到半径、圆周长和角度的计算与关系。

解决圆周运动问题时，需要掌握圆周长的计算公式，即 c = 2πr，其中 r 为半径。

例子1：一个半径为5米的圆，它的周长是多少？解析：根据公式，周长c = 2πr = 2 × 3.14 × 5 ≈ 31.4米例子2：一辆汽车在圆形赛道上行驶，赛道半径为100米，驾驶员开车一圈需要用时50秒。

求汽车的平均速度。

解析：首先计算圆周长c = 2πr = 2 × 3.14 × 100 = 628米然后计算平均速度v = c/t = 628/50 ≈ 12.56 m/s3. 直角三角形运动问题直角三角形运动问题是指点在直角三角形内运动，涉及到时间、速度和直角三角形边长的关系。

解决直角三角形运动问题时，可以利用勾股定理或三角函数来计算相关的未知量。

例子1：一个直角三角形的两条边长分别为3米和4米，角度为90度。

八年级数学下册专题复习：动点与几何图形的面积

八年级数学下册专题复习：动点与几何图形的面积编写：赵化中学郑宗平例.在梯形ABCD 中，AB CD,B 90∠=o P ,动点P 从B 出发，沿梯形的边B → C → D → A 运动.设点P 运动路程为x ，△ABP 的面积为y ，把y 看作是x 的函数，函数的图象如图(2)所示，试求当0x 9≤≤时y 与x 的函数关系式.分析：要求y 与x 的函数关系式，关键是抓住y 表示△ABP 的面积的变化规律，代表点P 的运动路程x 的变化规律.本题首先要结合在动点的运动中△ABP 的面积变化（见图⑴）所描绘的函数图象（见图⑵）来读出梯形和计算出ABCD 中各边的长：①.动点P 在B → C 运动时，△ABP 的面积为y 是从小增大，所以此时函数的图象在0x 4≤≤范围内，相对应的梯形的BC 4=;②.动点P 在C → D 运动时，△ABP 的面积为y 是不变的，所以此时函数的图象在4x 9≤≤范围内，相对应的梯形的DC 945=-=;③. 动点P 在D → A 运动时，△ABP 的面积为y 是由大变小，所以此时函数的图象在9x 14≤≤范围内，相对应的梯形的DA 1495=-=.要表示△ABP 的面积为y 我们要抓住在P 点的运动过程中，底边AB 是不变的，所以过点D 作边AB 的高线DE 可以利用矩形的性质和勾股定理把AB 求出来，然后利用三角形的面积公式可以整理出y 与x 的函数关系式.略解：结合图⑴和图⑵可以得出BC 4=,DC 945=-=,DA 1495=-=. 过点D 作边AB 的高线DE ,垂足为E ，根据梯形的形性质和矩形的判定可以得出四边形DEBC 是矩形，所以DE BC 4BE DC 5，====.∵DE AB ⊥ ∴DEA 90∠=o ∴222EA DE AD +=∴EA 3= ∴AB EA BE 358=+=+=根据本题条件，动点P 运动路程为x 在0x 9≤≤范围要分两段来讨论：①.动点P 在B → C 运动时，即0x 4≤≤范围内.S △ABP =11AB BP 8x 4x 22⋅=⨯⋅=. 即y 4x =.②.动点P 在C → D 运动时，即4x 9≤≤范围内.S △ABP =11AB BC 841622⋅=⨯⋅=. 即y 16=.(因为P 点在C → D 运动过程中，△ABP 的高也没有发生变化,都等于BC 的长度).点评：“动点与几何图形面积”这类题型，由于存在面积和“运动路程”两个变量，所以常与函数的知识点联系在一起，在八年级下册的数学中常与一次函数相联系.这类题在建立函数的过程中要先从面积入手切入，然后用自变量（“动点的运动路程”）表示与函数（面积）相关的元素是关键. “动点与几何图形面积”这类题型还要注意在动点在运动过程中的不同情况.(1)(2)(1)课堂练习：1、如图，已知△ABC 中，AB AC 13==，高AD 12=，P 是AD 上的一动点；若设PD x =，△PBC 的面积为y . ⑴.求y 与x 的函数关系式及x 的取值范围； ⑵.求出当x 5=时y 的值.2、如图，在边长为4的正方形ABCD 的一边BC 上，一点P 从点B 运动到点C ,设BP x =,四边形APCD 的面积为y .⑴.求y 与x 的函数关系式及x 的取值范围； ⑵.是否存在点P ,使四边形APCD 的面积为5.5，请解答说明.3、矩形的周长是16cm ，设矩形的一边长为xcm ，另一边长为ycm ⑴.求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； ⑵.作出函数的图象；⑶.若(),C x y 点是该图象上的一动点，点B 的坐标为(),60，设△OBC 的面积为S ,用含x 的解析式表示S .4、已知矩形ABCD 中，AB 16cm AD 12cm ==，；P Q 、分别是矩形ABCD 的边AD AB 、的动点，P 点以1cm /秒的速度由A 向D 匀速运动，Q 点同时以2cm /秒的速度由A 向B 匀速运动;若设P Q 、运动的时间为t （秒）,四边形PAQC (图中的阴影部分)面积为()2S cm . ⑴.求S 与t 的函数关系式及t 的取值范围； ⑵. P Q 、出发多少秒后四边形PAQC 的面积为272cm ？。

八年级下册数学期末考试常见动点问题

八年级下册数学期末考试常见动点问题1、在矩形ABCD 中，204AB cm BC cm ==，，点P 从A 开始沿折线A B C D →→→以4/cm s 的速度运动，点Q 从C 开始沿CD 边以1/cm s 的速度移动，如果点P Q 、分别从A C 、同时出发，当其中一点到达点D 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为()t s ， t 为何值时，四边形APQD 也为矩形？2、如图，四边形OABC 中,OA ∥CB ， O 为直角坐标系的原点, A B C 、、的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）点P Q 、同时从原点出发，分别作匀速运动，点P 沿OA 以每秒1个单位向终点A 运动，点Q 沿OC CB 、以每秒2个单位向终点O 运动。

当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动 ⑴设从出发起运动了x 秒，Q 点的坐标；⑵当x 等于多少时，四边形OPQC 为平行四边形？⑶设四边形OPQC 的面积为y ,求出当 2.5x >时y 与x 的函数关系式；并求出y 的最大值；OA(14,0)x②AD CBQPABCD①3．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P 从点B 出发沿折线段BA ﹣AD 以每秒5个单位长的速度向点D 匀速运动；点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长的速度向点B 匀速运动；点P 、Q 同时出发，当点P 与点D 重合时停止运动，点Q 也随之停止，设点P 的运动时间为t 秒．（1）点P 到达点A 、D 的时间分别为 _________ 秒和 _________ 秒；（2）当点P 在BA 边上运动时，过点P 作PN ∥BC 交DC 于点N ，作PM ⊥BC ，垂足为M ，连接NQ ，已知△PBM 与△NCQ 全等．①试判断：四边形PMQN 是什么样的特殊四边形？答： _________ ； ②若PN=3PM ，求t 的值；（3）当点P 在AD 边上运动时，是否存在PQ=DC ？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．4、操作：将一把三角尺放中正方形ABCD 中，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q ，正方形边长为1，探究： ①当点Q 在DC 上时，线段PQ 与线段PB 之间有怎样的大小关系？试说明你观察到的结论； ②当点Q 在DC 的延长线上时，①中你观察到的结论还成立吗？说明理由.另外当点Q 在DC 的延长线上时△PCQ 是否可能成为等腰三角形?如果可能,求出此时AP 的值；如不可能,试说明理由.5、已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．6、如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P从A出发沿A→B→C→D的路线移动，设点P移动的路线为x，△PAD的面积为y．（1）写出y与x之间的函数关系式．（2）求当x=4和x=18时的函数值．（3）当x取何值时，y=20，并说明此时点P在矩形的哪条边上．7、如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ．（1）求直线AC 的解析式；（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；8、已知：如图，△ABC 是边长3cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动，它们的速度都是点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动．设点P 的运动时间为t （s 解答下列问题：（1）当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形? （2）设四边形APQC 的面积为y （cm 2），求y 与t 的关系式；是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积是△ABC 面积的三分之二？如果存在，求出相应的t 值；不存在，说明理由；。

初二数学动点问题总结

初二动点问题1. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q 从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．2. （1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？3. （2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？4. （3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？分析：（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．解答：解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形∴PD=CQ∴24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．（2）过D作DE⊥BC于E则四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm∴EC=BC-BE=2cm∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．（3）由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2解得：t=6.5（s）即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形．点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．5.如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．分析：（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的性质解答．解答：解：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO=CO，EO=FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ACB，同理，∠ACF=∠ACG，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACG）=×180°=90°，∴四边形AECF是矩形．（3）△ABC是直角三角形∵四边形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，∵MN∥BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．点评：本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．6.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC 于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A 点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．分析：（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；（3）可先根据QN平分△ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值．②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．综上所述可得出符合条件的t的值．解答:解：（1）∵AQ=3-t∴CN=4-（3-t）=1+t在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42∴AC=5在Rt△MNC中，cos∠NCM==，CM=．（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形∴PC=QD，即4-t=t解得t=2．（3）如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即：（1+t）+1+t=（3+4+5）解得：t=（5分）而MN=NC=（1+t）∴S△MNC=（1+t）2=（1+t）2当t=时，S△MNC=（1+t）2=≠×4×3∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．（4）①当MP=MC时（如图1）则有：NP=NC即PC=2NC∴4-t=2（1+t）解得：t=②当CM=CP时（如图2）则有：（1+t）=4-t解得：t=③当PM=PC时（如图3）则有：在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2而MN=NC=（1+t）PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3∴[（1+t）]2+（2t-3）2=（4-t）2解得：t1=，t2=-1（舍去）∴当t=，t=，t=时，△PMC为等腰三角形点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．7.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．分析：以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值．以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N 的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．解答：解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1=-1，x2=--1（舍去）．因为BQ+CM=x+3x=4（-1）＜20，此时点Q与点M不重合．所以x=-1符合题意．②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5．此时DN=x2=25＞20，不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求x的值为-1．（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由20-（x+3x）=20-（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2．当x=2时四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时，由20-（x+3x）=（2x+x2）-20，解得x1=-10（舍去），x2=4．当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x＞x，所以点E一定在点P的左侧．若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即2x-x=x2-3x．解得x1=0（舍去），x2=4．由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．点评：本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．8.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？（2）当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？分析：（1）根据平行四边形的性质，对边相等，求得t值；（2）根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可．解答：解：（1）∵MD∥NC，当MD=NC，即15-t=2t，t=5时，四边形MNCD是平行四边形；（2）作DE⊥BC，垂足为E，则CE=21-15=6，当CN-MD=12时，即2t-（15-t）=12，t=9时，四边形MNCD是等腰梯形点评：考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容．9.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（s）．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？分析：（1）若过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s=PM×QB=96-6t；（2）本题应分三种情况进行讨论，①若PQ=BQ，在Rt△PQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出；②若BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出；③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出．解答：解：（1）过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．∴PM=DC=12，∵QB=16-t，∴s=?QB?PM=（16-t）×12=96-6t（0≤t≤）．（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得；②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，此方程无解，∴BP≠PQ．③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得，t2=16（不合题意，舍去）．综上所述，当或时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．10.直线y=-34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O?B?A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S=485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．分析：（1）分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标；（2））因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O 到A的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出，当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于点D，由相似三角形的性质，得PD=48-6t5，利用S=12OQ×PD，即可求出答案；（3）令S=485，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标．解答：解：（1）y=0，x=0，求得A（8，0）B（0，6），（2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10．∵点Q由O到A的时间是81=8（秒），∴点P的速度是6+108=2（单位长度/秒）．当P在线段OB上运动（或O≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2．当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，如图，做PD⊥OA于点D，由PDBO=APAB，得PD=48-6t5．∴S=12OQ?PD=-35t2+245t．（3）当S=485时，∵485＞12×3×6∴点P在AB上当S=485时，-35t2+245t=485∴t=4∴PD=48-6×45=245，AD=16-2×4=8AD=82-(245)2=325∴OD=8-325=85∴P（85，245）M1（285，245），M2（-125，245），M3（125，-245）点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．。

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八年级下册数学期末考试常见动点问题
1、梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点
A开始，沿AD边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB
边，以3厘米/秒的速度向B点运动。
已知P、Q两点分别从A、C同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之
停止运动。假设运动时间为t秒，问：
（1）t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？
（2）在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形吗？为什么？
（3）t为何值时，四边形PQCD是直角梯形？
（4）t为何值时，四边形PQCD是等腰梯形？

2、. 如右图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点
P从A开始沿折线A—B—C—D以4cm/s的速度运动，点Q从C
开始沿CD边1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时
出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动
时间为t(s)，t为何值时，四边形APQD也为矩形？

3、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，cmBCAD5,AB=12 cm,CD=6cm ,
点P从A开始沿AB边向B以每秒3cm的速度移动，点Q从C开始沿CD边向
D以每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分别从A、C
同时出发，当其中一点

到达终点时运动停止。设运动时间为t秒。

（1）求证：当t=23时，四边形APQD是平
行四边形；

（2）PQ是否可能平分对角线BD？若能，求
出当t为何值时PQ平分BD；若不能，请说
明理由；
（3）若△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，
求t的值

A
B
C
D
P

A
B
C D
Q
P
A
CQB
P

4、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,且AD>BC，BC=6cm，P、Q分
别从A,C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s
的速度由C向B运动，几秒后四边形ABQP是平行四边形？

5、已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q
同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们
的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设
点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?
（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的
关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC
面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说
明理由；

6、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，DC//AB，BC=3，DC=4，AD=5.动点
P从B点出发，由B→C→D→A沿边运动，则△ABP的最大面积为（）
A.10 B.12 C.14 D.16
7、如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的动点，且AE=AF.
(1)在运动过程中，△CEF始终是等腰三角形吗？
(2) △CEF能否运动成等边三角形？若能，请说明理由。若不能，还需对四边形
ABCD添加怎样的限定条件？

8、如图，O为△ABC的边AC上一动点,过点O的直线MN∥BC，
设MN分别交∠ACB的内、外角平分线于点E、F。（1）求证：OE=OF

（2）当点O在何处时，四边形AECF是矩形？
（3）请在ABC中添加条件，使四边形AECF变为正方形，
并说明你的理由。