常微分方程
常微分方程基本概念
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 高阶(n)微分方程的一般形式：
F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
线性与非线性微分方程： 若方程中未知函数及其导数都是一次的，
y
x
x0
y0
二阶:
y f ( x, y, y)
y
x
x0
y0 ,
yx x0
y0
解的图象: 微分方程的特解的几何图形是一条 平面曲线，通常称为积分曲线，而通解表示一 族曲线，称为积分曲线族。
例 3 验证:函数 x C1 cos kt C2 sin kt 是微分
未知函数是一元的，称为常微分方程， 未知函数是多元的，称为偏微分方程，
微分方程中出现的未知函数的导数或微分的
最高阶数称为微分方程的阶数；
y xy,
一阶
y 2 y 3 y e x , 二阶 y(n) y 2 y e x 0, n阶
一阶微分方程的一般形式：
(2)特解: 依所给条件确定通解中任意常数
以后的解称为方程的特解.
见例一
定解条件: 用来确定通解中任意常数的条件.
常见的定解条件为初值条件
如一阶 如二阶
x x0时, y y0 x x0时, y |x x0 y0 , y |x x0 y( x0 )
一阶:
y f (x, y)
方程d 2 dt
x
2
k
2
x
0的解.
并求满足初始条件
常微分方程典型例题
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dx x 1 2ln y dy y 这是以 x 为未知函数的一阶线性方程.
对应齐次方程dx x 的通解为x C ，
dy y
y
令 x C( y)，代入原方程，得 y
C( y) y 2 y ln y ,积分得C( y) C y2 ln y.
于是通积分为x C y ln y. y
x
x
6. (xye y y2 )dx x2e y dy 0
15
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三.将方程从微商形式改为微分形式,或从微分形式改 为微商形式,有时可以把方程变为可解类型.
例 11
解方程dy dx
x y2 x y2 4
解 把方程改写为微分形式
(x y 2)dx (x y2 4)dy 0
4
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例 3 求方程dy x y 1的通解. dx
解 令 z x y 1,则 dz 1 dy , dx dx
原方程化为 dz 1 z ,通解为z 1 Cex, dx
原方程通解为 y 2 x Cex.
5
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例4 求解方程 dy 2x 3y 4 dx 4x 6 y 5
通解为z C
ln x
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12
设 z C(x)代入线性方程(1),得C(x) 1 ln x
两边积分得C(x) x C 所以，上述线性方程(1)的通解为z 1 (C x)
ln x
代回原变量，得原方程的通解cos y ln x ， Cx
此外u 0，即 y n （为整数）也是原方程的解
ln
x 2
x2
xy y
2
或 dy 2 dx
1 x
y2
常微分方程解法总结
常微分方程解法总结引言在数学领域中，常微分方程是一类以函数与其导数之间关系为描述对象的方程。
它广泛应用于物理、化学、生物等自然科学的建模和解决问题中。
常微分方程的求解有许多方法，本文将对其中一些常见的解法进行总结和讨论。
一、分离变量法分离变量法是求解常微分方程中常用的一种方法。
它的基本思想是将方程中的变量分离，将含有未知函数的项移到方程的一侧，含有自变量的项移到方程的另一侧，然后对两边同时积分，从而得到最终的解析解。
例如，考虑一阶常微分方程dy/dx = f(x)g(y)，可以将此方程改写为1/g(y)dy = f(x)dx，然后对两边同时积分得到∫1/g(y)dy =∫f(x)dx。
在对两边积分后，通过求解不定积分得到y的解析表达式。
二、常系数线性齐次微分方程常系数线性齐次微分方程是另一类常见的常微分方程。
它具有形如dy/dx + ay = 0的标准形式，其中a为常数。
这类方程的解法基于线性代数中的特征值和特征向量理论。
对于形如dy/dx + ay = 0的一阶常微分方程，可以假设其解具有形式y = e^(rx)，其中r为待定常数。
带入方程，解得a的值为r，于是解的通解即为y = Ce^(rx)，其中C为任意常数。
通过特定的初值条件，可以确定常数C的值，得到方程的特解。
三、变量分离法变量分离法是一种适用于某些特殊形式常微分方程的解法。
其基本思想是将方程中的变量进行适当的变换，从而将方程化为分离变量的形式。
例如，考虑一阶非齐次线性微分方程dy/dx = f(x)/g(y)，其中f(x)和g(y)为已知函数。
通常情况下，变量分离法需要对方程变形，将含有未知函数和自变量的项进行合并处理。
假设存在一个新的变量z(x) = g(y)，则dy/dx = (dy/dz)*(dz/dx) = (1/g'(y))*(dz/dx)。
将dy/dx和f(x)分别代入原方程，进而可以求得dz/dx。
对dz/dx进行积分后，可以得到z(x)的解析表达式。
如何求解常微分方程
如何求解常微分方程求解常微分方程是微积分中的重要内容，常微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的方程。
常微分方程的求解方法有多种，下面我将从多个角度进行全面的回答。
1. 分离变量法，对于可分离变量的一阶常微分方程，可以通过将变量分离并进行积分来求解。
首先将方程中的未知函数和导数分离到方程的两侧，然后进行变量的移项和积分，最后得到未知函数的表达式。
2. 齐次方程法，对于一阶常微分方程，如果可以通过变量的替换将其转化为齐次方程，即方程中的未知函数和导数的比值只与自变量有关，可以使用齐次方程法求解。
通过引入新的变量替换和代换，将齐次方程转化为可分离变量的形式，然后进行求解。
3. 线性方程法，对于一阶线性常微分方程，可以使用线性方程法求解。
线性方程的特点是未知函数和其导数的一次项系数是常数，通过引入一个积分因子，将线性方程转化为可积分的形式，然后进行求解。
4. 变量替换法，对于某些形式复杂的常微分方程，可以通过引入新的变量替换，将其转化为更简单的形式，然后进行求解。
常见的变量替换包括令导数等于新的变量，令未知函数等于新的变量的幂函数等。
5. 微分方程的特殊解法，对于一些特殊的常微分方程，可以使用特殊解法求解。
例如，对于一些常见的一阶常微分方程，如指数函数、对数函数、三角函数等形式，可以直接猜测其特殊解，然后验证是否满足原方程。
6. 数值解法，对于一些无法通过解析方法求解的常微分方程，可以使用数值解法进行近似求解。
常见的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等，这些方法将微分方程转化为差分方程，通过迭代计算得到近似解。
总结起来，求解常微分方程的方法包括分离变量法、齐次方程法、线性方程法、变量替换法、特殊解法和数值解法。
根据不同的常微分方程形式和条件，选择合适的方法进行求解。
希望这些解答对你有帮助。
常微分方程的常见解法
实例解析
实例1
求解一阶线性常微分方程 $y' + p(x)y = q(x)$，通过引入参数 $lambda$，可以将方程转化为 $lambda y = q(x)$，从而简化求解过程。
实例2
求解二阶常微分方程 $y'' + y' + y = 0$，通过引入参数 $lambda$，可以将方程转化为 $lambda^2 + lambda + 1 = 0$，从而求解出 $lambda$ 的值，进一步得到原方程的解。
当 (M(x)) 和 (N(x)) 均为非零函数时，该方法适用。
实例解析
1. 确定积分因子
选择积分因子为 (e^x)
5. 解出原方程
将 (e^x y = frac{1}{3} e^{3x} + C) 代入 原方程，解得 (y = frac{1}{3} x^2 + Ce^{-x})
4. 解方程
对两边积分，得到 (e^x y = frac{1}{3} e^{3x} + C)
04 积分因子法
定义与特点
定义
积分因子法是一种通过引入一个因子来简化微分方程的方法。
特点
通过乘以一个适当的因子，可以将微分方程转化为可分离变量的形式，从而简化求解过程。
适用范围
适用于形如 (M(x)y' + N(x)y = f(x)) 的线性微分方程，其中 (M(x)) 和 (N(x)) 是 已知函数，(f(x)) 是给定的函数。
实例2
考虑一阶常微分方程 (dy/dx = xy)，其中 (x > 0) 且 (y > 0)。通过分离变量法， 我们可以得到 (dy/y = xdx)，进一步求解得到 (ln|y| = frac{1}{2}x^2 + C)，其 中 (C) 是积分常数。
常微分方程奇异解
常微分方程奇异解在介绍常微分方程的奇异解之前，我们先来回顾一下常微分方程的基本概念。
常微分方程是一种描述函数关系的数学工具，它包含未知函数及其导数或高阶导数。
一般的常微分方程可以表示为dy/dx=f(x,y)，其中y 是未知函数，f(x,y)是已知函数。
在求解常微分方程时，我们通常希望找到满足特定条件的解。
例如，我们可以通过给定的初值条件，求解方程在其中一点上的解。
这种解称为常微分方程的初值问题解。
另外，我们还可以寻找常微分方程的通解，它是满足方程所有可能条件的解。
然而，除了初值问题解和通解之外，常微分方程还存在一些特殊的解，即奇异解。
奇异解是指在常微分方程的解集中，具有特殊性质的解。
与一般的解不同，奇异解通常具有一些特殊的约束条件或额外的性质。
奇异解不仅在理论研究中有重要的意义，而且在实际问题的建模和求解中也有广泛的应用。
下面，我们通过一些具体的例子来介绍常微分方程的奇异解。
首先，考虑一个简单的一阶常微分方程dy/dx=0。
该方程描述了一个常数函数，其导数恒为零。
可以看出，对于此方程，y=c（c为常数）是方程的一个解。
这个解是奇异解，因为它满足方程的所有条件，但不符合通解的形式。
其次，考虑一个二阶常微分方程d^2y/dx^2+y=0。
该方程描述了一个谐振子的运动。
我们知道，该方程的通解为y=A*cos(x)+B*sin(x)（A和B为常数）。
然而，在一些特定的边界条件下，方程也有奇异解。
例如，当边界条件为y(0)=1和y(π)=0时，方程的解为y=-sin(x)。
可以看出，该解满足方程的边界条件，但不能表示为通解中的形式。
因此，该解是方程的奇异解。
奇异解在物理学中也有广泛应用。
例如，考虑一个具有摩擦的运动的质点。
该运动可以用二阶常微分方程描述。
在一些情况下，方程的解中可能存在奇异解，即表示质点停止运动的解。
除此之外，奇异解还有许多其他的应用。
例如，在电路理论中，通过求解常微分方程可以得到电路中电流和电压的变化关系。
常微分方程
f (0) 1, f (0) 1
答案：
1 2 x 1 x f ( x) e e e 3 3 例6 设f(x)为可导函数，且满足
2x
求f ( x).
x
0
f(x - t )dt f(x) e x sin x
八、微分方程与其它知识点的结合
例 全国第二届非数学类预赛题
例
例 全国第四届非数学类预赛题
例 考研题
导出f(u)满足的常微分方程为
f (u) f (u) 0
可见f(u)满足二阶常系数齐次微分方程，解得
f (u) C1e C2e
u
u
其中C1，C2为任意常数。
例 全国第一届非数学类预赛题
y e rx 是二阶常系数线性齐次 微分方程 y py qy 0 的解 r是方程 r 2 pr q 0的解 例如 y e x (c1 sin x c2 cos x)(c1 , c2 )是二阶常系数线性齐次 微分方程通解， 则该微分方程为 y －2 y 2 y 0
四、线性微分方程解的性质与结构
例
C
五、二阶和某些高阶常系数线性齐次方程
n阶常系数线性齐次方程
六、二阶常系数非齐次线性方程与欧拉方程
f ( x) e x [P ( x)cos x Qm ( x)sin x] n
若 i 不是特征根，则 若
y e x [Rl ( x)cos x Sl ( x)sin x] y xe x [Rl ( x)cos x Sl ( x)sin x]
九、 微分方程的应用 微分方程在几何中的应用
例
微分方程在力学中的应用
常微分方程解法大全
常微分方程解法大全在数学中，常微分方程是研究微积分的一个重要分支，常微分方程解法是数学中常见的问题之一。
通过对常微分方程解法的研究，可以帮助我们更好地理解数学中的微分方程。
在本文中，我们将探讨一些常见的常微分方程解法方法，帮助读者更好地理解和掌握这一领域。
常微分方程的定义在开始讨论常微分方程的解法之前，我们首先来了解一下常微分方程的定义。
常微分方程是指包含未知函数及其导数的方程，其中未知函数是一个变量，其导数是这个变量的函数。
通常常微分方程的一般形式可以表示为：F(x,y,y′,y″,...,y(n))=0其中，y是未知函数，y′是y的一阶导数，y″是y的二阶导数，n是常微分方程的阶数。
常微分方程的解法方法常微分方程的解法方法包括但不限于以下几种常见方法：1. 分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程的常用方法之一。
当常微分方程可以写成形式dy/dx=f(x)g(y)时，就可以使用分离变量法。
2. 含参微分法含参微分法是求解一阶常微分方程的一种方法。
当常微分方程可以写成形式dy/dx+P(x)y=Q(x)时，就可以使用含参微分法。
3. 齐次方程法齐次方程法是求解一阶常微分方程的一种方法。
当常微分方程可以写成形式dy/dx=f(y/x)时，就可以使用齐次方程法。
4. 一阶线性微分方程法一阶线性微分方程法是求解一阶常微分方程的一种方法。
当常微分方程可以写成形式dy/dx+P(x)y=Q(x)时，可以使用一阶线性微分方程法。
5. 求解高阶微分方程除了以上几种方法外，还有很多其他方法可以用来求解高阶常微分方程，例如特征方程法、常数变易法等。
结语通过本文的介绍，相信读者对常微分方程的解法有了更深入的了解。
常微分方程解法作为数学中一个重要的研究领域，有着广泛的应用。
希望读者通过学习本文，可以更好地掌握常微分方程的解法方法，提升自己在数学领域的能力。
如果读者对常微分方程解法还有其他疑问或想要了解更多相关知识，可以继续深入学习或咨询数学相关的专业人士。
一阶常微分方程公式大全
一阶常微分方程公式大全一、一阶线性常微分方程。
1. 标准形式。
- 一阶线性常微分方程的标准形式为y'+p(x)y = q(x)。
2. 通解公式。
- 其通解公式为y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。
- 推导过程：- 先求对应的齐次方程y'+p(x)y = 0的通解。
- 分离变量得(dy)/(y)=-p(x)dx。
- 两边积分∫(dy)/(y)=-∫ p(x)dx，得到ln y =-∫ p(x)dx + C_1，即y = Ce^-∫p(x)dx（C = e^C_1）。
- 然后用常数变易法，设原非齐次方程的解为y = C(x)e^-∫ p(x)dx。
- 对y求导得y'=C'(x)e^-∫ p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫ p(x)dx。
- 将y和y'代入原方程y'+p(x)y = q(x)，可得C'(x)e^-∫ p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫p(x)dx+p(x)C(x)e^-∫ p(x)dx=q(x)。
- 化简得C'(x)e^-∫ p(x)dx=q(x)，即C'(x)=q(x)e^∫ p(x)dx。
- 再积分C(x)=∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C，所以原方程的通解为y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。
二、可分离变量的一阶常微分方程。
1. 标准形式。
- 可分离变量的一阶常微分方程的标准形式为g(y)dy = f(x)dx。
2. 通解求法。
- 对g(y)dy = f(x)dx两边分别积分，得到∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C，其中C为任意常数。
- 例如，对于方程(dy)/(dx)=(x)/(y)，可化为ydy = xdx。
- 两边积分∫ ydy=∫ xdx，即frac{y^2}{2}=frac{x^2}{2}+C，整理得y^2-x^2=C_1（C_1 = 2C）。
常微分方程的基本概念与解法
常微分方程的基本概念与解法常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述变化规律的方程中出现的微分项。
本文将介绍常微分方程的基本概念和解法。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数和自变量之间的关系方程。
一般形式可以表示为：\[F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0\]其中，y为未知函数，x为自变量，y'，y''，...，y^(n)为y的一阶、二阶，...，n阶导数，n为正整数。
常微分方程的阶数指的是方程中最高阶导数的阶数。
例如一阶常微分方程只包含y'，二阶常微分方程包含y'和y''，依此类推。
常微分方程可以分为常系数微分方程和变系数微分方程。
常系数微分方程中的系数是常数，变系数微分方程中的系数可以是关于自变量x 的函数。
二、常微分方程的解法常微分方程的解法可以分为初值问题和边值问题。
1. 初值问题初值问题是指在方程中给定自变量x的某个初始值和未知函数y在该点的初值。
对于一阶常微分方程，求解初值问题的基本步骤如下：(1) 将一阶常微分方程改写成dy/dx = f(x, y)的形式；(2) 使用分离变量、全微分或变量代换等方法将方程转化为可分离变量的形式；(3) 对变量进行积分，得到通解；(4) 将初始条件代入通解中，求解常数，得到特解。
对于高阶常微分方程，可以通过转化为一阶常微分方程组的形式，然后利用类似的方法求解。
2. 边值问题边值问题是指在方程中给定自变量x在两个不同点上的值，要求找到满足这些条件的未知函数y。
对于二阶线性常微分方程的边值问题，可以使用常数变易法或格林函数法等求解方法。
三、常微分方程的应用常微分方程在科学和工程领域中具有广泛的应用。
以下是常见的几个应用领域：1. 物理学常微分方程在描述物理系统的运动规律中起着重要的作用。
例如，牛顿第二定律可以表示为二阶线性常微分方程。
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1 《 常微分方程 》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：110044 课程名称：常微分方程 英文名称：Ordinary Differential Equation 课程类别：专业必修课 学 时：45 学 分：2.5 适用对象: 信息与计算科学本科 考核方式：考试
先修课程：数学分析、高等代数
二、课程简介 本课程是信息与计算科学专业的专业必修课程。常微分方程（ODE）涉及经济学、管理学、生物学、工程技术等很多学科，是各学科紧密相连综合交叉的一门新学科。 This course is information and the professional professional required course of calculation science. Often the differential calculus square distance(ODE) involve economics, management to learn, biology, engineering technique's etc. is a lot of academicses, is each academics is close and conjoint comprehensive cross of a new academics.
三、课程性质与教学目的 通过本课程的理论学习和实践训练，提高学生的常微分方程水平，加深微积分训练，加强与其他数学课、物理、化学、生态学等方面的横向联系，能够全面正确地分析常微分方程在几何、物理、化学等学科应用过程中所出现的问题。培养学生初步建模的能力，为后续课程的学习打下良好的基础，将来能综合运用所学知识解决问题。
四、教学内容及要求 第一章 初等积分法 （一）目的与要求 介绍常微分方程的相关概念，阐述其基本功能、相应的解法和应用等。 1．掌握常微分方程的基本概念； 2．掌握可分离变量方程、齐次方程的概念及它们的联系和解法； 2
3．掌握一阶线性微分方程、伯努利方程的概念及它们的联系和解法； 4. 掌握全微分方程与积分因子的概念和解法； 5. 掌握可降阶的二阶微分方程的解法； 6. 掌握微分方程的应用方法，能建立一些简单的模型。 （二）教学内容 第一节 基本概念 1．主要内容 介绍微分方程(组)的定义和分类及一般形式；微分方程解的概念和形式，特解、通解及初值问题的概念，解的存在唯一性定理，微分方程作为解决工程技术问题的工具这一要求的研究主要步骤。 2．基本概念和知识点 微分方程(组)；常微分方程；偏微分方程；解；特解；通解；初值条件；初值问题。 3．问题与应用（能力要求） 要求学生掌握微分方程相关概念和研究方法步骤。 第二节 可分离变量方程、齐次方程 1．主要内容 介绍可分离变量方程的概念和解法，零齐次方程的概念和变量变换解法及零齐次方程与可分离变量方程的关系。 2．基本概念和知识点 可分离变量方程的概念；齐次方程，变量变换法。 3．问题与应用（能力要求） 要求学生掌握可分离变量方程、齐次方程的概念及关系和解法。 第三节 一阶线性微分方程、伯努利方程 1．主要内容 介绍一阶线性微分方程的定义、一般形式及齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的概念及这类方程的变动任意常数解法；伯努利方程的概念及与线性微分方程的关系及解法。 2．基本概念和知识点 一阶线性微分方程，齐次线性微分方程，非齐次线性微分方程，变动任意常数法，伯努利方程。 3．问题与应用（能力要求） 要求学生掌握一阶线性微分方程、伯努利方程的定义和解法及关系。 第四节 全微分方程与积分因子 1．主要内容 3
全微分方程、原函数与积分因子的概念、全微分方程的判别及求解方法，积分因子的充要条件及求法。 2．基本概念和知识点 全微分方程，积分因子，原函数，全微分方程判别定理，积分因子的充要条件。 3．问题与应用（能力要求） 要求学生掌握全微分方程与积分因子的定义、判别和解法。 第六节 可降阶的二阶微分方程 1．主要内容 三种特殊形式的二阶微分方程及高阶方程的降阶方法和解法。 2. 基本概念和知识点 二阶微分方程及高阶方程的降阶方法和解法。 3. 问题与应用（能力要求） 要求学生掌握二阶微分方程及高阶方程的降阶方法和解法。 第七节 微分方程的应用 1．主要内容 几何问题、变化率问题、物理问题与化学反应问题。 2. 基本概念和知识点 几何问题，变化率问题、物理问题与化学反应问题的建模方法与解法。 3. 问题与应用（能力要求） 要求学生掌握几何问题，变化率问题、物理问题与化学反应问题建模方法。 （三）课后练习 Page56：4、5、6、7、8、11、13、14、16、18、19、20、24、25、27、28、31、33、44、45、43、53、63、64、65、69、75、78、81。 （四）教学方法与手段 以课堂讲授为主，辅之习题课、课外辅导，注重理论联系实际，借助于计算机辅助教学。
第二章 线性微分方程 （一）目的与要求 1．掌握线性微分方程解的一般理论、相关定理、推论、引理； 2．掌握常系数线性微分方程的概念及解法步骤； 3．掌握一般线性微分方程的变量变换和变动任意常数解法。 （二）教学内容 4
第一节 线性微分方程解的一般理论 1．主要内容 线性微分方程、齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程的概念，初值问题的解的存在唯一性定理，齐次线性微分方程通解的结构定理，非齐次线性微分方程通解的结构定理，线性无关、线性相关、朗斯基行列式、基本解组。 2．基本概念和知识点 线性微分方程、齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程、线性无关、线性相关、朗斯基行列式、基本解组、齐次线性微分方程通解的结构定理，非齐次线性微分方程通解的结构定理。 3．问题与应用（能力要求） 要求学生掌握线性微分方程、齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程、线性无关、线性相关、朗斯基行列式、基本解组概念，齐次线性微分方程通解的结构定理，非齐次线性微分方程通解的结构定理。 第二节 常系数线性微分方程的解法 1．主要内容 常系数二阶齐次线性微分方程的解法，常系数高阶齐次线性微分方程的解法，常系数非齐次线性微分方程的解法。 2．基本概念和知识点 常系数二阶齐次线性微分方程的解法，常系数高阶齐次线性微分方程的解法，常系数非齐次线性微分方程的解法 3．问题与应用（能力要求） 要求学生掌握常系数二阶齐次线性微分方程的解法，常系数高阶齐次线性微分方程的解法，常系数非齐次线性微分方程的解法。 第四节 一般线性微分方程的一些解法 1．主要内容 变量变换法，变动任意常数法。 2．基本概念和知识点 变量变换法将某些特殊类型的变系数线性微分方程化成常系数线性方程，然后进行降阶解题，欧拉方程，变动任意常数法。 3．问题与应用（能力要求） 要求学生掌握变量变换法将某些特殊类型的变系数线性微分方程化成常系数线性方程，然后进行降阶解题，变动任意常数法求非齐次线性方程的解。 （三）课后练习 5
Page113：2，4，5，6、7、8、9、10、11、12、13、15、18、20、22、26、27、31、33、34、50、51、54、58、59。 （四）教学方法与手段 以课堂讲授为主，辅之习题课、课外辅导，注重理论联系实际，借助于计算机辅助教学。
第三章 线性微分方程组 （一）目的与要求 1．掌握微分方程组与线性微分方程组的一般概念； 2．掌握线性微分方程组解的一般理论、相关定理、推论和引理； 3．掌握常系数线性微分方程的概念及解法步骤。 （二）教学内容 第一节 微分方程组与线性微分方程组 1．主要内容 一阶微分方程组的标准形式、初值条件、一阶微分方程组的初值问题和通解、通积分，线性微分方程组的概念及标准形式，齐次线性微分方程组、向量函数。 2基本概念和知识点 一阶微分方程组的标准形式、初值条件、一阶微分方程组的初值问题和通解、通积分，线性微分方程组的概念及标准形式，齐次线性微分方程组、向量函数。 4．问题与应用（能力要求） 要求学生掌握一阶微分方程组的标准形式、初值条件、一阶微分方程组的初值问题和通解、通积分，线性微分方程组的概念及标准形式，齐次线性微分方程组、向量函数。 第二节 常系数线性微分方程的解法 1．主要内容 线性微分方程组初值问题解的存在唯一性定理及零解、平凡解等概念，齐次线性微分方程组的通解结构定理，非齐次线性微分方程组通解的结构定理，线性无关、线性相关、朗斯基行列式、基本解组，基解矩阵。 2．基本概念和知识点 零解、平凡解，齐次线性微分方程组的通解结构定理，非齐次线性微分方程组通解的结构定理，线性无关、线性相关、朗斯基行列式、基本解组、基解矩阵。 3．问题与应用（能力要求） 要求学生掌握线性微分方程组初值问题解的存在唯一性定理及零解、平凡解等概念，齐次线性微分方程组的通解结构定理，非齐次线性微分方程组通解的结构定理，线性无关、线性相关、朗斯基行列式、基本解组、基解矩阵。