常微分方程的思想与方法
常微分方程的常见解法
# 定义网格密度
arrows=LINE,
# 定义线段类型
axes=NORMAL);
# 定义坐标系类型
在MATLAB的向量场命令为 quiver(x,y,px,py)
回车后Maple就在1 1 的网格点上画出了向量场
44
的图形，并给出了过点(-2, 2) (-2 ,1) (-2,2) 的三
条积分曲线，见下图
M (x,y)co x s2xye , y
N (x,y)co x s2xye x
M(x,y)N(x,y)
y
x
所以方程为全微分方程。
由公式F (x ,y ) 0M (s ,y )d s 0N (0 ,s )d s
x(yc o ss 2 se y)d sy2 d s
0
0
ysinxx2ey2y
或
x
y
F (x ,y )x 0M (s ,y ) d s y 0N (x 0 ,s ) d
s
例：验证方程
( y c o s x 2 x e y ) d x ( s i n x x 2 e y 2 ) d y 0
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于 M (x ,y ) y c o sx 2 x e yN (x ,y ) s in x x 2 e y 2
dx
令 zy1n,则 dz(1n)yndy
dx
dx
d z (1 n )P (x )z (1 n )Q (x )
d x
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解。
例 湖泊的污染
设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸， 这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20 立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水 中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊 中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小 时,求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量。 解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为 x ( t )
微分方程的求解方法例题
微分方程的求解方法例题1. 基础概念简介在数学中，微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的方程。
它是很多科学领域的基础理论，包括物理、工程、经济等。
求解微分方程可以帮助我们理解和预测自然界的现象。
常见的微分方程类型包括常微分方程和偏微分方程。
常微分方程仅涉及一个未知函数的变量和它的导数，而偏微分方程涉及多个未知函数和它们的偏导数。
2. 常见的求解方法2.1 分离变量法分离变量法适用于一阶常微分方程。
它的基本思想是将未知函数和它的导数分离到等式的两边，然后对两边积分。
例如，考虑一阶常微分方程 dy/dx = x/y，我们可以将其改写为y dy = x dx。
将两边同时积分得到：∫y dy = ∫x dx解这两个积分后得到：y^2/2 = x^2/2 + C其中C为常数。
2.2 变量替换法变量替换法适用于一阶或高阶常微分方程。
它的思想是通过引入新的变量替换原方程，使得新方程容易求解。
例如，考虑二阶常微分方程 y'' + y = 0，我们可以引入新变量 v = y'，得到一阶常微分方程 v' + y = 0。
我们可以用分离变量法解得v = -y + C1，再对 v = y' 进一步积分得到 y = -x + C2*e^x，其中 C1 和 C2 是常数。
2.3 特征方程法特征方程法适用于线性常系数常微分方程。
它的基本思想是将未知函数假设为指数函数形式，然后根据方程的特征求解。
例如，考虑二阶常微分方程 y'' + 3y' + 2y = 0，我们可以假设 y= e^(rx)，其中 r 是未知常数。
将这个假设带入原方程得到特征方程r^2 + 3r + 2 = 0。
解这个特征方程得到 r1 = -1 和 r2 = -2。
因此，通解可以表示为 y = C1*e^(-x) + C2*e^(-2x)，其中 C1 和 C2 是常数。
2.4 数值方法数值方法适用于无法用解析方法求解的微分方程。
微分方程几种求解方法
微分方程几种求解方法微分方程是数学中重要的概念之一，用于描述变量之间的函数关系。
求解微分方程是数学和工程中的常见问题。
根据问题的性质和条件，有多种方法可以用来求解微分方程，下面将介绍几种常见的求解方法。
1.变量分离法：变量分离法是求解一阶常微分方程的常用方法。
它的基本思想是将微分方程中的变量分离，然后进行积分。
具体步骤是将微分方程写成形式dy/dx=f(x)g(y)，然后将方程变换为g(y)dy=f(x)dx，再两边同时积分，即可得到方程的解。
这种方法适用于一阶常微分方程，如y'=f(x)。
2.齐次方程方法：齐次方程是指微分方程中不包含任意常数项的方程。
对于齐次方程可以使用变量代换法进行求解。
具体的步骤是将微分方程中y的函数形式换成u，然后进行代换，将微分方程变为可分离变量的形式。
然后用变量分离法来求解，最后再进行反代还原，得到原方程的解。
这种方法适用于一阶齐次常微分方程，如dy/dx=f(y/x)。
3.线性方程方法：线性微分方程是指微分方程中只有一阶导数，并且函数关系是线性的。
线性方程可以使用常数变易法或者待定系数法来进行求解。
常数变易法的基本思想是假设方程的解具有特定的形式，然后将其带入方程，通过确定待定的常数来求解。
待定系数法的基本思想是假设方程的解是一组形式已知的函数的线性组合，然后通过确定待定系数来求解。
这些方法适用于一阶线性常微分方程，如dy/dx+a(x)y=b(x)。
4.积分因子法：积分因子法是一种用于求解一阶非齐次线性常微分方程的方法。
它的基本思想是通过引入一个合适的因子，将一阶非齐次线性微分方程转化为恰当微分方程，从而利用变量分离法来求解。
具体步骤是先将非齐次方程写成标准形式dy/dx+p(x)y=q(x)，然后通过选择合适的积分因子μ(x)来将方程转为恰当微分方程（即满足(dμ(x)/dx)y+p(x)μ(x)=q(x)），再对该恰当微分方程进行积分，即可得到原方程的解。
常微分方程的数值解法
常微分方程的数值解法1. 引言常微分方程是自变量只有一个的微分方程，广泛应用于自然科学、工程技术和社会科学等领域。
由于常微分方程的解析解不易得到或难以求得，数值解法成为解决常微分方程问题的重要手段之一。
本文将介绍几种常用的常微分方程的数值解法。
2. 欧拉方法欧拉方法是最简单的一种数值解法，其具体步骤如下：- 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上假设解函数为线性函数，即通过给定的初始条件在每个子区间上构造切线；- 使用切线的斜率（即导数）逼近每个子区间上的解函数，并将其作为下一个子区间的初始条件；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
3. 改进的欧拉方法改进的欧拉方法是对欧拉方法的一种改进，主要思想是利用两个切线的斜率的平均值来逼近每个子区间上的解函数。
具体步骤如下： - 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上构造两个切线，分别通过给定的初始条件和通过欧拉方法得到的下一个初始条件；- 取两个切线的斜率的平均值，将其作为该子区间上解函数的斜率，并计算下一个子区间的初始条件；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
4. 二阶龙格-库塔方法二阶龙格-库塔方法是一种更为精确的数值解法，其基本思想是通过近似计算解函数在每个子区间上的平均斜率。
具体步骤如下： - 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上计算解函数的斜率，并以该斜率的平均值近似表示该子区间上解函数的斜率；- 利用该斜率近似值计算下一个子区间的初始条件，并进一步逼近解函数；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
5. 龙格-库塔法（四阶）龙格-库塔法是目前常用的数值解法之一，其精度较高。
四阶龙格-库塔法是其中较为常用的一种，其具体步骤如下：- 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上进行多次迭代计算，得到该子区间上解函数的近似值；- 利用近似值计算每个子区间上的斜率，并以其加权平均值逼近解函数的斜率；- 计算下一个子区间的初始条件，并进一步逼近解函数；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
常微分方程的化归思想
２ 一 阶微分 方程初等 解法 中的化归
．
在一 阶常微分方 程 的五种常见类 型—— 变 量分 离 方程 、齐次 方 程 、线性 方 程 、伯 努 利方 程 和 恰 当 方 程 中，实际上 作为基 础的不外 是变 量分离方 程和恰 当方 程 ，其 他类 型的方程 均可借 助变量 变换或 积分 因子化 为
［ 关键词 】常微分方程；化归 ；求解 ［ 中图分类号】Ｏ７ １ ５ １ 引 言 ［ 文献标识码】Ａ ［ 文章编号】１ ８ ７Ｘ２０）４ （２－３ ０ —１ （ ７０ 一￣ ４ ０ ８ ０ ０
微 分方 程是在 解决 实际 问题 的过程 中产生 的 ，对它 的研究 又促进 了实际 问题 的解决 ，同时 也促进 了其他
这两 种类型 。这种转 化 ，正是 化归思 想 的体现 。
， Ｊ １ ＾ １ ＾
例１ 求方程 ： 争
【 收稿 日期 ］２Ｏ —０ —１ Ｏ７ ２ ２
的解。
［ 金项 目】新世纪广西高等教 育教 学改革工程 “ 基 十一五”精品课程改革与建设项 目， 学建模课程的改革与建设 （０６７） 数 ２００２
面分析法等 ，都是 用联 系 、变化 的观点 ，有意识地 将 问题 化繁 为简 ，化 归解决 的。非齐 次方 程问题 化为 齐次 方程 问题 ，一 阶线 性方程 组化 为一阶线性方 程 问题 ，高 阶方 程 问题化为低 阶方程 问题 。常 系数 非齐次 线性微 分方 程 ，经 采用 欧拉待定 指数 函数法 ，将 求解 问题化归 为代数方 程根 的问题 ，从 而省去 了积分 运算 ；皮 卡逼
首 证 求 分 程的 值问 解 价于 积分 程Ｙ Ｙ＋Ｊ （，） 的 续 然后 明 先， 明 微 方 初 题的 等 求 方 ： ｏ 二 Ｙｄ 连 解， 去证 积分 厂 ｘ
二阶线性常微分方程求解
二阶线性常微分方程求解
二阶线性常微分方程是一种重要的微分方程，它是一个双重阶的微分方程，包含一个高阶导数和一个一阶导数，可以用来描述物理过程中特定变量之间的变化。
它可以用来描述复杂系统的行为，从而为我们提供一种有效的解决方法。
二阶线性常微分方程的一般形式为：y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)，其中y是一个未知函数，P(x)和Q(x)是确定的函数，f(x)是给
定的函数。
二阶线性常微分方程的解法有多种，但是最常用的是牛顿迭代法。
牛顿迭代法是一种迭代法，它可以解决二阶线性常微分方程。
牛顿迭代法的基本思想是：将二阶线性常微分方程分解为两个一阶线性常微分方程，然后采用牛顿迭代法迭代求解。
牛顿迭代法的步骤如下：（1）确定初值，即设定y(x0)和
y'(x0)的初始值；（2）求解y'(x0)的值，即求解一阶线性常微
分方程；（3）求解y(x0)的值，即求解二阶线性常微分方程；（4）将求得的y(x0)和y'(x0)作为下一次迭代的初始值，重复
步骤（2）和（3），直到满足给定精度要求为止。
二阶线性常微分方程在工程学和物理学中都有着广泛的应用，例如，可以用它来模拟物理系统的运动，从而获得精确的解决方案；也可以用它来解决水利工程中的洪水问题，从而获得最优的解决方案。
总之，二阶线性常微分方程可以用来模拟各种复杂物理过程，牛顿迭代法是一种有效的解决方法，它可以帮助我们获得更准确的解决方案。
微分方程解法总结
微分方程解法总结微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于自然科学和工程技术领域。
解微分方程的方法繁多，但主要可以归纳为以下几种常见的解法：分离变量法、齐次方程法、一阶线性常微分方程法、常系数线性齐次微分方程法、变量可分离的高阶微分方程法和常系数高阶线性齐次微分方程法等。
一、分离变量法分离变量法是解微分方程最基本的方法之一，适用于可以把方程中的变量分离开的情况。
其基本思想是将微分方程两边进行分离，将含有未知函数和其导数的项移到方程的一边，含有自变量的项移到另一边，并对两边同时进行积分。
最后，再通过反函数和常数的替换，得到完整的解。
二、齐次方程法齐次方程法适用于微分方程中，当未知函数和其导数之间的比值是关于自变量的函数时，可以通过引入新的变量进行转换，将微分方程转化为可分离变量或者常微分方程的形式。
三、一阶线性常微分方程法一阶线性常微分方程可以表示为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。
解这类方程需要使用一阶线性常微分方程解的通解公式，即y=e^(-∫p(x)dx)*∫[e^(∫p(x)dx)]q(x)dx。
通过对p(x)和q(x)的积分以及指数函数的运用，可以得到最终的解。
四、常系数线性齐次微分方程法常系数线性齐次微分方程可以表示为ay'' + by' + cy = 0，其中a、b、c为常数。
解这类方程需要使用特征根的方法。
通过假设y=e^(mx)的形式，将其带入方程中，并解出方程的特征根m1和m2，再根据数学推导，可以得到最终的通解。
五、变量可分离的高阶微分方程法变量可分离的高阶微分方程适用于可以将高阶微分方程转化为一阶微分方程的情况。
其基本思想是对微分方程两边进行合理的转化和变量替换，将高阶微分方程转化为一阶微分方程的形式，然后使用分离变量法进行求解。
六、常系数高阶线性齐次微分方程法常系数高阶线性齐次微分方程可以表示为ay^n + by^(n-1) + ... + cy = 0，其中a、b、c为常数。
常微分方程中的解析近似解法
常微分方程中的解析近似解法常微分方程（ODE）是解决许多问题的基础数学理论。
从物理领域的经典力学、电磁学到生物学中的生命过程，常微分方程在描述现实世界中的许多现象上都有着广泛的应用。
然而，由于许多常微分方程没有显式解，解析近似方法是其中一个重要的研究方向。
本文将介绍一些解析近似方法，以及它们如何在不同的ODE问题中应用。
1. 常微分方程的解析近似ODE通常被定义为一个形式为$f(x,y,y',...,y^{(n)})=0$的函数关系，其中$f$是一个已知的函数，$y$是未知函数，$y',...,y^{(n)}$是$y$的各微分阶。
在解决某些ODE问题时，解析方法是解决问题的首选方法之一。
解析方法的基本思想是通过一些简单的求导运算来确定$y$的解析表达式。
2. 马克西米安近似常微分方程中的解析近似方法可以分为两组：一组是基于非线性ODE所执行的，另一组是基于线性ODE所执行的。
马克西米安近似是一种非线性ODE近似的方法，它通常用于解决末端边界的问题。
该方法的基本思想是将$y$展开成一个级数，并将级数的每一项插入到原方程中，然后通过简单的计算找到每一项的系数。
最终，我们得到一个级数解析解$y=\sum c_n y_n$，其中$y_n$是$y$的单项表达式，并且$c_n$是它的相应系数。
马克西米安方法适用于很多的非线性ODE问题，尤其是一些弱非线性的ODE问题。
3. 零阶逼近另一种常见且简单的解析方法是零阶逼近法，它通常用于解决线性ODE问题。
该方法的基本思想是假设$y$的形式并将其标准化为一个简单的形式$y=Ae^{\lambda x}$。
将其代入ODE，我们可以得到$\lambda$的值，并进而推导出$y$的形式。
零阶逼近方法只能提供线性ODE的局部解，它通常用于解决上下文具有相对明确边界的机械工程应用，如模拟建筑物上的结构问题。
4. 奇异摄动法奇异摄动法是一种用于求解高阶线性ODE的解析方法。
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第四讲常微分方程的思想方法三、常微分方程的思想方法数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点, 它在认识活动中被反复运用, 带有普遍的指导意义, 是建立数学以及应用数学解决问题的指导思想。
数学方法是指提出问题、解决问题过程中所采用的各种方式、手段、途径等, 二者的紧密联系即数学思想方法。
由此可见, 数学思想方法是以具体的教学内容为载体, 又高于具体数学内容的一种指导思想和大范围普遍适用的方法, 是数学的灵魂.（1）挖掘、提炼和概括教材知识中的数学思想，实现由隐到显，体现规律性一般来说, 由于教材的编排必须考虑学科内容的内在联系及逻辑系统性，故数学思想只能从相关内容中去体现，具有隐形态。
知识教学虽然蕴含了思想方法，但是如果没有有意识地被数学思想方法作为教学对象，学生学习数学知识时并不一定注意到数学思想方法。
因此教师应当以数学知识为载体，有意识地引导学生将隐藏在知识背后的数学思想挖掘、提炼、概括出来，使之由隐形态变为显形态，使学生对由对数学知识、数学方法的朦胧感受、死记硬背转化为明晰的理解、掌握和灵活运用，最终完成对数学知识、数学方法的本质认识。
（2）抓住课程中知识发生的过程，及时强化数学思想数学知识的发现过程，实际上也是数学思想方法的发生过程，但对于学生来说，这种发现或发生过程，往往被教材浓缩，甚至隐去。
数学知识的教学是数学认识活动结果的教学，具有静态点型，重在记忆理解；数学思想方法的教学是数学活动过程的教学，呈动态线型，重在思辨操作。
所谓数学活动过程是指：数学概念的形成过程，数学结论的推导过程，数学方法的思考过程，数学规律的被揭示过程，这些过程是数学思想的体现并受某种数学思想的指导，离开数学活动过程，思想方法也就无从谈起。
（3）把握知识的内在联系，注意数学思想方法的内在结构，使之系统化数学思想方法的教学与具体的数学知识的教学一样，只有成为系统，建立自己的结构，才能发挥它的整体效益。
同时，系统的数学思想体系是良好的数学观念形成的物质基础。
教材中的许多知识，从思想方法角度去分析，更容易把握其本质联系，是原来看似孤立和静止的知识点成为有机联系的动态的知识发展过程。
因此在教学过程中，应突出数学思想，把对方法的认识提升到数学思想运用的高度，这有利于沟通知识联系，把握方法本质，是学生从整体结构上，从更深层次上，从事物内在的本质联系上，去把握知识，形成系统、完成的知识结构。
（4）加强应用，内化数学思想应用数学知识解决问题的过程是诸多数学思想方法中和运用的过程。
一方面应把重点放作应用数学思想方法解决数学本身的问题；另一方面应该注意它的实际背景和应用，应用数学思想方法解决实际问题，逐渐将从数学知识挖掘出来的数学思想加以内化。
方程的思想方程，尤其是目的在于求出解的方程，最初是作为解决实际问题的数学模型出现的，即用来表达“数量关系”，这时方程思想的基本点。
常微分方程的思想方法是代数方程思想方法的发展，但其基本点是一致的，即把问题归结为求未知量。
用含未知量的式子建立等量关系，由此求得未知量。
方程的基础是平衡原理。
⏹模型化思想许多类型的常微分方程的发现都遵循这样的一个过程: (1) 在工程或自然科学研究中发现问题、提出问题; (2) 对实际问题进行分析, 提炼出数学模型, 建立目标函数的关系式, 提出相应的定解条件; (3) 求这个方程的解析解或数值解, 或对方程的形态进行分析; (4) 用所得的结果解释实际现象, 或对问题的发展变化趋势进行预测. 这个过程就是数学建模的过程. 数学建模思想是常微分方程发展史所反映出的最重要的数学思想. 常微分方程自诞生之日起, 就是模型化的产物.⏹抽象化思想“量”和“形”作为数学中抽象的材料, 在两个研究对象具有相同的量和形时, 便可使用相同的方法处理, 由此决定了数学抽象性. 此外, 概念和规律的抽象也决定了数学内容的抽象性. 数学的抽象化是从简单到到复杂的逐步深化的过程, 常微分方程的发展也是抽象化的过程, 通过抽象, 理论意义进一步增强.常微分方程的抽象化主要体现在两个方面, 一是研究领域的抽象化, 即从相平面到环面、到柱面、到一般的欧氏空间；从有限维欧氏空间到无穷维的Banach空间，到一般微分流形上，研究范围不断抽象；另一方面是研究对象的抽象化，从低阶方程到高阶方程、从线性方程到非线性方程、从一个方程到方程组、从自治系统到非自治系统。
⏹分类思想求解方程的分类；轨线的分类；⏹换元思想解Bernoulli方程、⏹化归的思想数学中的化归思想，是指在研究数学问题时，把未解决的问题通过某种转化过程归结到另一类已经解决或者相对更容易解决的问题中去，最终使原问题得到解决的一种思维方法。
化归思想方法的主要特点在于它具有很强的目的性、方向性和概括性，就是希望通过由已知到未知、由难到易、由繁到简的化归来达到解决问题的目的。
化归思想应用的关键在于如何实现由所要解决的问题向已经解决的或较易解决的问题的转化。
化归的思想，从宏观上讲，它是数学家区别于一般科学家的分水岭，是发现问题、分析问题、解决问题，形成数学构想的方法论依据。
大致一门学科，一项思维的总体构思，小至一个基本问题的解决，无不由于化归思想的作用。
从微观上看，数学问题的解决过程就是不断发现问题、分析问题，将之归结为熟知问题的过程。
从常微分方程发展历程来看，化归是常微分方程的重要数学思想方法。
下面仅举几例，这几个例子都是用连续、变化的观点，有意识地将问题化繁为简，划归解决的，都符合“化难为易、化未知为已知、化繁为简的化归原则。
●一阶常微分方程初等解法用初等积分法求解一阶显方程，常用的处理方法有两种：一是以变量分离方程为基础，通过适当的变量代换，将非变量可分离方程转化为变量可分离方程来求解；二是以恰当方程为基础，选择适当的积分因子，将非恰当方程转化为恰当方程来求解。
● 高阶方程的降阶法对于高阶方程，常常选用适当的变量代换转化为低阶方程来解。
特别是对于线性齐次方程，若已知它的K 个线性无关解，则可通过一系列同类型的变换，使方程降低K 阶。
● 常系数线性齐次方程（组）的特征值法特征值法本质上是将求常系数线性微分方程（组）的解的问题转化为高等代数中的求代数方程的特征值问题（特征值、特征向量）加以解决，从而省去了积分运算。
待定系数法和幂级数解法的思想也是把积分运算化归为代数运算。
● 非齐次线性方程（组）的常数变易法在已知非齐次线性微分方程相应其次线性方程的基本解组的条件下，求解非齐次线性微分方程（组）的常数变易法，本质上是通过一个变量代换，将其转化为易于求解的方程（组）来求解。
● 一阶常微分方程的解的存在唯一性的证明首先将常微分方程的初值问题化归为等价积分方程的初值问题，而相应的积分方程的解的存在性又是通过逐次逼近法，进而将其化归为逐次逼近函数列的一致收敛问题来证明的。
利用逐次逼近法通常需要经过以下几步:(1) 初值问题等价于积分方程0()(,()),tt x t x f s x s ds =+⎰ 0.t t h-≤(2) 作等价积分方程的Picard 近似解序列{}()n t ϕ:00x ϕ=, 001()(,()),tk k t t x f s s ds ϕϕ-=+⎰ 0,t t h-≤ 1,.k =⋅⋅⋅(3) 证明近似解序列{}()n t ϕ在0t t h -≤上一致收敛.(4) 证明()lim ()n n t t ϕϕ→+∞=为积分方程的解, 从而是()的解. (5) 利用同一法证明解的唯一性.● 非线性系统的稳定性非线性系统的零解的问题性可以转化为线性系统进行研究。
例如： 考虑系统(,),xAx g t x =+ 其中(,0)0,(,)g t g t x =在0[,)n t R +∞⨯连续, 对x 足Lipschitz 条件, 且对t 一致的有 0(,)lim 0,x g t x x →=则当A 没有零实部的特征值时, 此系统的零解的稳定性与其线性化系统xAx 具有相同的稳定性.● Laplace 变换法首先通过作Laplace 变换，将线性非齐次常微分方程求解问题划归为以未知函数的Laplace 变换为未知变量的代数方程的求解问题，求得此代数方程的解后，再应用Laplace 反演变换将代数方程的解翻译成原常微分方程的解。
应用Laplace 变换法解方程，作为化归的一种情形，体现了RMI 原则（关系relationship 、映射mapping 、反演inversion 原则），充分利用了关系映射的确定性。
⏹ 数形结合的思想数形结合化抽象为具体、化深奥为浅显，可以生动形象地揭示问题的本质。
例如：常微分方程中的线素和线素场，对于不可积的方程，可依据线素场研究解的性质，从而构成了常微分方程近似解法和定性理论的基本思想。
研究自治系统引入相平面和轨线，又使解的研究易于积分曲线的研究。
数形结合的思想在常微分方程中得到了充分的应用。
⏹ 逼近的思想Euler 折线法、逐次逼近法、线性系统逼近非线性系统等。
参 考 文 献1. Kline M. Mathematical Thought from Ancient to Modern Time, Oxford UniversityPress ,1990. 中译本：古今数学思想，上海科学技术出版社，2002.2. 亚历山大洛夫 A D. 数学-它的内容、方法和意义, 科学出版社，2001.3. 李文林. 数学史概论（第二版），高等教育出版社，北京，2004.。