2018年湖南省常德市中考数学试题及参考答案案

2018年常德市初中学业水平考试数学试题卷一、选择题：（本大题共8个小题，每小题3分，满分共24分）1．(2018湖南常德中考，1，3分，★☆☆)－2的相反数是（）A．2 B．－2 C．2－1 D．－1 22.(2018湖南常德中考，2，3分，★☆☆)已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）A．1 B．2 C．8 D．113. (2018湖南常德中考，3，3分，★☆☆)己知实数a，b在数轴上的位置如图1所示，下列结论中正确的是（）图1A．a＞b B．a＜b C．ab＞0 D．－a＞b4.(2018湖南常德中考，4，3分，★☆☆)若一次函数y＝(k－2)x＋1的函数值y随x的增大而增大，则（）A．k＜2 B．k＞2 C．k＞0 D．k＜05. (2018湖南常德中考，5，3分，★☆☆)从甲、乙、内，四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是S2甲＝1.5，S2乙＝2.6，S2丙＝3.5，S2甲＝3.68，你认为派谁去参赛更合适（）A．甲B．乙C．丙D．丁6.(2018湖南常德中考，6，3分，★★☆)如图2，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CE的长为（）图2A．6 B．5 C．4 D．37. (2018湖南常德中考，7，3分，★★☆)把图3中的正方体的一角切下后摆在图4所示的位置，则图4中的几何体的主视图为（ ）图3 图4A B C D8. (2018湖南常德中考，8，3分，★★☆)阅读理解，a ，b ，c ，d 是实数，我们把符号a b c d称为2×2行列式，并且规定：a b c d ＝a×d －b×c ，例如32-1-2＝3×(－2)－2×(－1)＝－6＋2＝－4．二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解可以利用2×2阶行列式表示为（ ）x yD x D D y D ⎧⎪=⎨=⎪⎪⎪⎩：其中D ＝1122a b a b ，D x ＝1122c b c b ，D y ＝1122a c a c ． 问题：对于用上面的方法解二元一次方程组213212x y x y +=⎧⎨-=⎩时，下面说法错误的是（ ）A ．D ＝2132-＝－7 B ．D x ＝－14 C ．D y ＝27 D ．方程组的解为23x y ==-⎧⎨⎩ 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，满分24分)9. (2018湖南常德中考，9，3分，★☆☆)－8的立方根是 ．10. (2018湖南常德中考，10，3分，★★☆)分式方程12x +－234x x -＝0的解为x ＝ ． 11. (2018湖南常德中考，11，3分，★☆☆)已知太阳与地球之间的平均距离为150000000千米，用科学记数法表示为千米．12.(2018湖南常德中考，12，3分，★☆☆)一组数据3，－3，2，4，1，0，－1的中位数是．13. (2018湖南常德中考，13，3分，★☆☆)若关于x的一元二次方程2x2＋bx＋3＝0有两个不相等的实数根，则b的值可能是．(只写一个)14.(2018湖南常德中考，14，3分，★☆☆)某校对初一全体学生进行了一次视力普查，得到如下统计表，则视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频率为．视力x 频数4.0≤x＜4.3 204.3≤x＜4.6 404.6≤x＜4.9 704.9≤x≤5.2 605.2≤x＜5.5 1015.(2018湖南常德中考，15，3分，★★☆)如图5，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH＝30°，连接BG，则∠AGB＝．图516.(2018湖南常德中考，16，3分，★★☆)5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图6所示，则报4的人心里想的数是．图6 三、(本大题共2小题，每小题5分，满分10分)17．(2018湖南常德中考，17，5分，★★☆)计算：(2－π)0－321-＋12－(12)-2． 18. (2018湖南常德中考，18，5分，★★☆)求不等式组475(1)2332x x x x -<-⎧⎪-⎨≤-⎪⎩的正整数解． 四、(本大题2个小题，每小题6分，满分12分)19. (2018湖南常德中考，19，6分，★★☆)先化简，再求值：(13x +＋269x -)÷2169x x -+，其中x ＝12． 20. (2018湖南常德中考，20，6分，★★☆)如图7，已知一次函数y 1＝k 1x ＋b(k 1≠0)与反比例函数y 2＝2k x(k 2≠0)的图象交于A(4，1)，B(n ，－2)两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）请根据图象直接写出y 1＜y 2时x 的取值范围．图7五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21. (2018湖南常德中考，21，7分，★★☆) 某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克．6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元千克，乙种水果20元/千克．（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？22.(2018湖南常德中考，22，7分，★★☆)如图8是一商场的推拉门，已知门的宽度AD ＝2米，且两扇门的大小相同(即AB＝CD)，将左边的门ABB1A绕门轴AA1向里面转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图9，求此时B与C之间的距离(结果保留一位小数)．参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，2≈1.4)图8 图9六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23. (2018湖南常德中考，23，8分，★★☆) 某校体育组为了解全校学生“最喜欢的项球类项目”，随机抽取了部分学生进行调查，下面是根据调查结果绘制的不完整的统计图：图10 图11请你根据统计图回答下列问题：（1）喜欢乒乓球的学生所占的百分比是多少？并请补全条形统计图（图11）；（2）请你估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有多少名？（3）在扇形统计图中，“篮球”部分所对应的圆心角是多少度？（4）篮球教练在制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人进行个别座谈，请用列表法或树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．24.(2018湖南常德中考，24，8分，★★☆)如图12，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）求证：BD＝CF．图12七、(本大题2个小题，每小题10分，满分20分)25. (2018湖南常德中考，25，10分，★★★)如图13，已如二次函数的图象过点O(0，0)，A(8，4)，与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x＝3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．图1326. (2018湖南常德中考，26，10分，★★★)已知正方形ABCD中，AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH 交AC于N．（1）如图14，当M在线段BO上时，求证：MO＝NO；（2）如图15，当M在线段OD上，连接NE，当EN∥BD时，求证：BM＝AB；（3）在图16，当M在线段OD上，连接NE，当ME⊥EC时，求证：AN2＝MC．AC图 14 图15 图162018年常德市初中学业水平考试数学试卷答案全解全析1.答案：A解析：根据相反数的意义，-2的相反数是2．故选A.考查内容：相反数.命题意图：本题考查利用定义求一个数的相反数，难度较小.2.答案：C解析：设三角形第三边的长为x，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得7﹣3＜x＜7+3，即4＜x＜10，故选C．考查内容：三角形三边关系．命题意图：本题考查利用三角形的三边关系，确定第三边的取值范围，难度较小.3.答案：D解析：由数轴可得，﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1，∴a＜b，选项A错误；|a|＞|b|，选项B错误；ab＜0，选项C错误；﹣a＞b，选项D正确，故选D．考查内容：实数与数轴.命题意图：本题考查利用数轴判断实数的正负和大小，注意数形结合思想的运用，难度较小.4.答案：B解析：因为一次函数y＝kx＋b的函数值y随x的增大而增大，所以k－2＞0，解得k＞2．考查内容：一次函数的性质.命题意图：本题考查利用一次函数的性质，判定比例系数的符号，难度较小.5.答案：A解析：在平均数一致的条件下，方差越小，成绩越稳定，∵1.5＜2.6＜3.5＜3.68，∴甲的成绩最稳定，∴派甲去参赛更好，故选A．考查内容：方差．命题意图：本题主要考查利用方差的意义进行决策的能力，难度较小.6.答案：D解析：∵ED是BC的垂直平分线，∴BE＝CE，CD＝DB，∴∠C=∠DBC．∵BD是△ABC的角平分线，∴DE＝AD＝3，∠ABD＝∠DBC，∴∠DBC＝∠C＝∠ABD．∵∠BAC ＝90°，∴∠C ＝30°．在Rt △CED 中，∵tan ∠C=DE CE， ∴CE=tan DE C ∠=D ． 考查内容：线段垂直平分线的性质；角平分线的性质；锐角三角函数.命题意图：本题考查利用线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、直角三角形的性质熟练计算的能力，难度中等.7.答案：D解析：将正方形的一角切下后，从放置中的虚线判断PSQ 面朝下POQ 面朝前放置，所以该几何体的主视图为等腰三角形， OS 为等腰三角形的高，且要画成虚线，故选D ． 考查内容：截一个几何体；简单几何体的三视图．命题意图：本题考查的是判定几何体的三视图形状，难度较小.8.答案：C解析：因为213212x y x y +=⎧⎨-=⎩，所以D ＝1122a b a b ＝2132-＝2×(－2)－3×1＝－7， D x ＝1122c b c b ＝11122-＝1×(－2)－1×12＝－14，D y ＝1122a c a c ＝21312＝2×12－1×3＝21， 因为14272137x y D x D D y D -===-===--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，所以方程组的解为23x y ==-⎧⎨⎩，所以说法错误的是C ，故选C ．考查内容：二元一次方程组的解；新定义题.命题意图：本题考查利用新定义求二元一次方程组的解的能力，难度中等.9.答案：－2解析：因为(－2)3＝－8，所以－8的立方根是－2．考查内容：立方根.命题意图：本题考查利用立方根的概念求一个数的立方根，难度较小.10.答案：x ＝－1解析：去分母，得x －2－3x ＝0． 解方程，得x ＝－1．经检验x ＝－1是原分式方程的解， 所以分式方程的解为x ＝－1．考查内容：解分式方程．命题意图：本题考查解分式方程的一般步骤，注意解完要检验，难度中等．.11.答案：1.5×108解析：根据科学计数法的表示方法，150 000 000=1.5×108.考查内容：科学记数法表示较大的数.命题意图：本题考查科学记数法的表示方法，关键是正确确定a与n的值，难度较小. 12.答案：1解析：将数据从小到大排列为：－3，－1，0，1，2，3，4，处于最中间位置的数是1，所以中位数是1．考查内容：中位数.命题意图：本题考查利用中位数的定义计算一组数据的中位数的能力，难度较小.13.答案：6（答案不唯一）解析：因为2x2＋bx＋3＝0有两个不相等的实数根，所以△＝b2－4×2×3＝b2－24＞0，解得b2＞24，此题答案不唯一，如b＝6或b＝－6等．考查内容：一元二次方程根的判别式．命题意图：本题考查利用一元二次方程根的情况，确定方程组未知系数的值的能力，难度中等.14.答案：0.35解析：视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频数为60+10=70，根据“频率=频数数据总数”，得视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频率为7020+40+70+60+10=70200=0.35．考查内容：频数（率）分布表.命题意图：本题考查利用频率的定义，计算频率的能力，难度较小.15.答案：75°解析：由折叠的性质可知，∠EGH=∠ABC=90°，GE=BE．∵∠DGH＝30°，∴∠AGE＝60°，∴∠AEG＝30°．∵EG＝EB，∴∠EGB＝∠EBG =12∠AEG =15°，∴∠AGB＝∠AGE＋∠BGE＝60°＋15°＝75°．考查内容：矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．命题意图：本题考查利用翻折变换的性质，解决折叠问题的能力，难度中等.16.答案：9解析：设报1的人想的数是a ，报2的人想的数是b ，报3的人想的数是c ，报4的人想的数是d ，报5的人想的数是e ，则a ＋c ＝4①， b ＋d ＝6②， c ＋e ＝8③， d ＋a ＝10④， e ＋b ＝2⑤，①+②+③+④+⑤，得2a+2b+2c+2d+2e=30，所以a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝15⑥，⑥－⑤－①，得d ＝9，所以报4的人心里想的数是9．考查内容：阅读理解题； 平均数.命题意图：本题考查阅读理解题的解决能力，用字母表示未知的数，根据题意建立多个方程，采用加减消元法和整体思想求得结果是常用方法，难度中等.17.解析：原式=1－（1）＋－4=1－1＋－4＝－2．考查内容：实数的计算；零指数幂；负整数指数幂；绝对值.命题意图：本题主要考查实数的综合运算能力，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算是正确解答的关键，难度不大.18.解析：475(x 1)2332x x x -<-⎧⎪⎨-≤-⎪⎩①②，解不等式①，得x ＞﹣2，解不等式②，得x ≤245， 所以不等式组的解集是﹣2＜x ≤245，不等式组的正整数解是1，2，3，4． 考查内容：一元一次不等式组的整数解.命题意图：本题考查求一元一次不等式组的正整数解，难度不大.19.解析：原式=[ 3(3)(3)x x x -+-+ 6(3)(3)x x +-]×（x ﹣3）2= 3(3)(3)x x x ++-×（x ﹣3）2=x ﹣3．当x= 12时，原式= 12﹣3=52-． 考查内容：分式的化简求值．命题意图：本题考查利用分式的化简求值步骤计算的能力，难度中等.20.解析：（1）将A(4，1)代入y 2＝2k x ，得k 2＝4，所以反比例函数的解析式为y 2＝4x ． 将B(n ，－2)代入y 2＝4x，得n ＝－2，所以点B 坐标为(－2，－2)． 将A(4，1)，B(－2，－2)代入y 1＝k 1x ＋b ，得114122k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==1211b k ，所以一次函数解析式为y1＝12x－1．（2）根据两函数的图像可以看出，当x＜﹣2和0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象下方，∴y1＜y2时x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜4．考查内容：待定系数法；反比例函数与一次函数的交点问题．命题意图：本题考查用待定系数法确定函数解析式，根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集，难度中等.21.解析：（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据题意得818170010201700300x yx y+=⎧⎨+=+⎩，解得：10050xy==⎧⎨⎩．答：该店5月份购进甲种水果100千克，购进乙种水果10千克．（2）设该店6月份购进乙种水果m千克，则购进甲种水果(120－m)千克，购进这两种水果将花费w元，由题意，得120－m≤3m，解得m≥30．易得W＝10(120－m)＋20m＝10m＋1200．∵k=10＞0，∴w随m值的增大而增大，∴当m=30时，w最小，为10×30+1200=1500.故该店6月份购进这两种水果最少花费1500元．考查内容：二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．命题意图：本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．难度中等．22.解析：如图，连接BC，过点B作BE⊥AD于E，过点C作CF⊥AD于F，CG⊥BE交BE延长线于G．∵AD＝2米，∴AB＝CD＝1米．在Rt△ABE中，∵sinA＝BEAB，cosA＝AEAB，∴BE＝ABsinA=sin37°×1≈0.6米，AE＝ABcosA=cos37°×1≈0.8米.在Rt△CDF中，CF=DF＝CDcosD=cos45°×1＝2×1≈0.7米，∴BG＝BE＋EG＝BE＋CF＝1.3米，GC＝EF＝AD－AE－DF＝2－0.8－0.7＝0.5米．由勾股定理得BC 1.4（米）．答：此时点B与点C之间的距离约是1.4米．考查内容：解直角三角形的应用.命题意图：本题考查利用解直角三角形知识解决实际问题的能力，难度中等.23.解析：（1）调查的总人数为8÷16%=50（人），喜欢乒乓球的人数为50﹣8﹣20﹣6﹣2=14（人），所以喜欢乒乓球的学生所占的百分比=5014×100%=28%，补全条形统计图如下：（2）估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有500×12%=60（名）；（3）“篮球”部分所对应的圆心角度数是360×40%=144°；（4）由题意画树状图为由树状图可知共有12种等可能的结果数，其中抽取的两名同学恰好是甲和乙的结果有2种， 故所求概率=122=16． 考查内容：扇形统计图；条线统计图；列举法求概率.命题意图：本题考查从扇形统计图和条线统计图获取信息，利用列表法或树状图法求概率的能力，难度适中.24.解析：（1）连接AO ，并延长AO 交BC 于M ．∵△ABC 为等边三角形，∴AB=AC ，∴AB AC ，∴AM ⊥BC ．∵AE ∥BC ，∴OM ⊥AE ，∴EA 是⊙O 的切线．（2）∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝∠BCA=60°，AB ＝AC ，∴∠BDC ＝∠BDA ＝60°， ∴∠ADF ＝180°﹣∠BDC ﹣∠BDA ＝60°．∵DA ＝DF ，∴△ADF 为等边三角形，∴∠DAF ＝60°，AD ＝AF ，∴∠BAC+∠CAD =∠DAF+∠CAD ，即∠BAD ＝∠CAF ，∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴BD ＝CF ．考查内容：等边三角形的性质；垂径定理；切线的判定定理；全等三角形的判定与性质. 命题意图：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形及切线的判定定理等知识点的综合运用，难度中等.25.解析：（1）因为二次函数图象的对称轴为x ＝3，设抛物线解析式为y ＝a （x-3）2+c ，将点O （0，0）和A(8，4)代入，得⎩⎨⎧=+=+42509c a c a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==4941c a ，所以二次函数解析式为y ＝14(x －3)2-49=14x 2－32x ． （2）设点M 的坐标为(m ，0)，直线AB 解析式为y ＝kx ＋b ，由抛物线的对称性，得B （6，0），把B （6，0）和A (8，4)代入y ＝kx ＋b ，得8460k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得212k b =⎧⎨=-⎩，所以直线AB 解析式为y ＝2x －12．∵MN ∥AB ，∴设MN 解析式为y ＝2x ＋h ，把点M(m ，0)代入y ＝2x ＋h ，得0=2m+h ，h=﹣2m ，∴直线MN 表达式为y=2x ﹣2m ．易得直线OA 的解析式为y ＝12x ，解方程组2212y x m y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，，得4323x m y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，∴点N 坐标为(34m ，32m)． ∴S △AMN ＝S △AOM －S △OMN ＝12×4m －12×m×32m ＝－31m 2+2m ＝－31(m －3)2＋3， ∵－31＜0，∴当m ＝3，S △AMN 最大，此时点M 坐标为(3，0)． （3）设点P 坐标为(n ，0)，则点Q 坐标为(n ，14n 2－32n)，分以下两种情况讨论：①当△OAC ∽△OQP 时，OC:AC ＝OP:PQ ＝2，即OP ＝2PQ ，∴n ＝221342n n -，解得n 1＝8，n 2=0（不合题意，舍去），n 3=4，∴点P 坐标为(8，0)或（4，0）；②当△OAC ∽△QOP 时，OC: AC ＝PQ:OP ＝2，即PQ ＝2OP ，所以21342n n -＝2n ，解得n 4＝14，n 5=0（不合题意，舍去），n 6=－2，∴点P 坐标为(－14，0)或（－2，0）； 综上，点P 的坐标为(8，0)，（4，0），(－14，0)，（－2，0）.考查内容：待定系数法；相似三角形的性质；二次函数的性质.命题意图：本题考查待定系数法确定函数关系式，灵活运用相似比表示线段之间的关系，及二次函数的性质解决问题的能力，注意分类讨论思想及数形结合思想的运用，难度大. 一题多解：本题第（1）小题还可以用以下方法求解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c ，根据题意，得3264840b a a b c c ⎧-=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪=⎪⎩，，，解方程组，得14320a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，，，故该二次函数的解析式为y ＝14x 2－32x ． 26.解析：证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，OD ＝OA ，∴∠ODA+∠DAO=90°.∵DH ⊥AE ，∴∠HDA+∠DAH=90°，∴∠ODA+∠DAO=∠HDA+∠DAH ，即∠ODH+∠HDA+∠DAO=∠HDA+∠DAO+∠OAH ，∴∠ODH=∠OAH ．又∠DON=∠AOM ，∴△DON ≌△AOM ，∴OM ＝ON ．（2）∵BD ⊥AC ，EN ∥BD ，∴EN ⊥AC ，∠DNE ＝∠NDO ．∵∠ADC=900，∴D ，A ，N ，E 四点共圆，∴∠DAE=∠DNE ＝∠NDO ．∵DN ⊥AE ，∴∠HDM+∠ HMD=90°，又∵∠DAM+∠MAB=90°，∴∠BAM=∠DMH ＝∠BMA ，∴MB ＝AB ；（3）连接NM 并延长，交AD 于点G ，由（1）同理可得OM ＝ON ，∴MN ∥DC ，∴△AGN 为等腰直角三角形，∴AN 2＝2GN 2=2DE 2．∵DN ⊥AE ，EN ⊥CD ，BD ⊥AC ，∴△DEH ∽△DNE ，且O ，N ，H ，M 四点共圆，∴DE ∶DN ＝DH ∶DE ，∴DE 2＝DN ·DH 易得△DMH ∽△DNO ，∴DM ∶DN =DH ∶DO ，∴DN ·DH= DM ·DO ，∴DE 2＝＝DM·DO ，∴2DE 2＝DM ·2DO ＝CN ·AC ，即AN 2＝CN ·AC ．考查内容：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质。