组合数的运算公式
高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识.doc
高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识高中数学排列组合公式大全1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2) (n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列(Pnm(n为下标，m为上标))Pnm=n (n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n组合(Cnm(n为下标，m为上标))Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m高中数学排列组合公式记忆口诀加法乘法两原理，贯穿始终的法则。
与序无关是组合，要求有序是排列。
两个公式两性质，两种思想和方法。
归纳出排列组合，应用问题须转化。
高中数学同步教学课件 组合数公式
(4)有序均匀分组问题．在(3)的基础上再分配给 3 个人，共有分配方式 C26·AC2433·C22·A33＝C26·C24·C22＝90(种)． (5)无序部分均匀分组问题． 共有分配方式C46·AC1222·C11＝15(种)． (6)有序部分均匀分组问题． 在(5)的基础上再分配给 3 个人，共有分配方式C46·AC1222·C11·A33＝90(种)．
3．将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里， 使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球 方法有___1_0____种．
【解析】有两种放球方案： ①1 号中 1 个，2 号中 3 个，有 C14C33＝4(种)； ②1 号中 2 个，2 号中 2 个，有CA24C22 22·A22＝6(种)． ∴共有 10 种不同的放球方法．
由分类加法计数原理，共有 30＋15＋15＝60(种)选法. 法二(间接法)：不考虑条件，共有 C42C26＝90(种)方法， 其中 A、B 均不被选中，有 C23C25＝30(种)方法， 故 A、B 中至少有一个被选中共有 90－30＝60(种)选法． 【答案】60 种
方法技巧 均匀分组与不均匀分组的问题处理
(1)解：00≤≤338n－≤n2≤1＋3nn，， 即012≤9≤nn≤≤2231.8，
∴129≤n≤221，∵n∈N*，∴n＝10， ∴C338n－n＋C321n＋n＝C2380＋C3301＝C230＋C311＝320××129＋31＝466.
(2)证明：∵Ckn·Cmn－－kk＝k！nn！－k！·m－kn！－kn！－m！ ＝k！m－kn！！n－m！. Cmn ·Ckm＝m！nn！－m！·k！mm！－k！ ＝k！n－mn！！m－k！， ∴Ckn·Cmn－－kk＝Cmn ·Ckm.
组合数 近似公式
组合数近似公式
组合数是数学中的一个概念，表示从n个不同元素中选取r个元素的组合方式的数量。
用符号C(n,r)来表示。
对于较小的n和r，可以直接使用组合数公式计算，即C(n,r) = n! / (r!(n-r)!),其中"!"表示阶乘。
然而，当n和r很大时，计算阶乘的运算量非常大，很难直接计算。
在这种情况下，可以使用近似公式来计算组合数。
常见的近似公式之一是斯特林公式（Stirling's approximation），即：
n! ≈ √(2πn)(n/e)^n
根据斯特林公式，可以得到组合数的近似公式：
C(n,r) ≈ √(2πn)(n/e)^n / [√(2πr)(r/e)^r * √(2π(n-r))((n-r)/e)^(n-r)]
这个近似公式可以用于估算组合数的值，特别是当n和r都很大时。
需要注意的是，这个近似公式只是提供了一个近似的数量级，不是准确的计算结果。
对于精确的计算，应使用精确的组合数公式。
拓展：
除了斯特林公式外，还有其他的组合数近似公式。
其中，包括高斯近似公式、泊松分布近似等等。
这些公式都是为了在计算复杂的组合数时提供一个近似的解决方案。
同时，还可以结合计算机编程以及算法优化等方法，来提高组合数计算的效率。
组合与组合数公式
组合与组合数公式从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．组合数公式：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，称之，用符号表示，如从6个元素中取出2个元素的组合数为.【评述】区分一个排列与一个组合的关键是：该问题是否与顺序有关，当取出元素后，若改变一下顺序，就得到一种新的取法，则是排列问题；若改变顺序，仍得原来的取法，就是组合问题．求从个不同元素中取出个元素的排列数，可分为以下两步：第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数为；第2步，求每一个组合中个元素的全排列数为．根据分步计数原理，得到公式1：公式2：组合数的两个性质(1)m n C =mn n C - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+. 注:规定10=n C .例1 在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4。
6，8中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数．分析：因为零不能作首位数，所以是特殊元素，因此可以根据选零不选零为分类标准。
解：第一类：五位数中不含数字零。
第一步：选出5个数字，共有种选法．第二步：排成偶数—先排末位数，有 种排法，再排其它四位数字，有种排法．∴（个）第二类：五位数中含有数字零．第一步：选出5个数字，共有种选法。
第二步：排顺序又可分为两小类；（1）末位排零，有种排列方法；（2）末位不排零．这时本位数有种选法，而因为零不能排在首位，所以首位有种排法，其余3个数字则有种排法．∴∴符合条件的偶数个数为（个）说明：本题也可以用间接法（即排除法）来解．请读者自行完成．例2有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷也会划右舷。
现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？分析：设集合A={只会划左舷的3个人}，B={只会划右舷的4个人}，C={既会划左舷又会划右舷的5个人}先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A中有3人；②A中有2人；C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人。
排列数和组合数的计算公式
排列数和组合数的计算公式1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个宝鸡博瀚教育元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个相同元素中，余因子m(m≤n)个元素并成一组，叫作从n个相同元素中抽出m 个元素的一个女团;从n个相同元素中抽出m(m≤n)个元素的所有女团的个数，叫作从n个相同元素中抽出m个元素的女团数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分为k类，每类的个数分别就是n1,n2,...nk这n个元素的全排序数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排序(pnm(n为负号，m为上标))pnm=n×(n-1)....(n-m+1);pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;pn1(n为下标1为上标)=n女团(cnm(n为负号，m为上标))cnm=pnm/pmm ;cnm=n!/m!(n-m)!;cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;cn1(n为下标1为上标)=n;cnm=cnn-m1. 掌控分类计数原理与分步计数原理，并会用它们分析和化解一些直观的应用领域问题。
2. 理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。
3. 认知女团的意义，掌控女团数计算公式和女团数的性质，并会用它们化解一些直观的应用领域问题。
排列组合的运算法则
排列组合的运算法则排列组合是数学中的一个重要概念，它用于描述一组对象的不同排列或组合方式。
在实际应用中，排列组合常常用于解决问题，例如在概率和统计、组合数学、计算机科学、经济学和工程学等领域。
本文将介绍排列组合的基本概念和运算法则，以及相关的参考内容。
一、基本概念：1. 排列：指从n个不同元素中选取m个元素进行排序。
排列通常用P(n, m)来表示，其中n为总的元素个数，m为选取的元素个数。
排列的计算公式为P(n, m) = n! / (n-m)!2. 组合：指从n个不同元素中选取m个元素，不考虑其排序。
组合通常用C(n, m)来表示，其中n为总的元素个数，m为选取的元素个数。
组合的计算公式为C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)3. 阶乘：指从1到某个正整数n的连续整数相乘的结果。
阶乘通常用n!来表示，其中n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1。
二、运算法则：排列组合的运算法则主要包括加法法则、乘法法则和递推法则。
1. 加法法则：对于排列和组合来说，加法法则指的是将问题分解为多个独立的情况，并将它们的结果相加。
例如，要从10个不同的球中选取3个球，有两种情况：第一种情况是选取了红球，第二种情况是选取了蓝球。
根据加法法则，这两种情况下的选球数相加即为总的结果：C(10,3) =C(5,3) + C(5,3) = 10.2. 乘法法则：对于排列和组合来说，乘法法则指的是将多个步骤的结果相乘。
例如，从4个不同的元素中选取2个进行排列，有两个步骤：第一步是选取第一个元素，有4种情况；第二步是选取第二个元素，有3种情况。
根据乘法法则，这两个步骤的结果相乘即为总的排列数：P(4,2) = 4 * 3 = 12.3. 递推法则：递推法则是一种利用已知结果推导出未知结果的方法。
例如，计算组合数C(n, m)时，可以利用以下递推关系：C(n, m) = C(n-1, m) + C(n-1, m-1)。
c语言求组合数的计算公式
c语言求组合数的计算公式
组合数计算公式是一种用来计算两个集合中元素的组合数量的方法。
在数学中，组合数是指从一个集合中取出一定数量的元素，使元素之间的关系不变的组合的数量。
C语言中的组合数计算公式可以用下面的公式来表示：
C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!)
其中，n 是集合中元素的总数，m 是从集合中取出元素的数量，C(n,m) 表示取出 m 个元素的组合数。
组合数计算公式是一种非常有用的工具，它可以帮助我们快速计算出两个集合中元素的组合数量。
它可以帮助我们解决各种数学相关的问题，比如排列组合，概率计算等。
例如，如果你要从一个集合中取出 3 个元素，那么可以使用组合数计算公式来求解：
C(n,3)=n!/(3!*(n-3)!)
这样就可以快速计算出 n 个元素中取出 3 个元素的组合数了。
以上就是c 语言中组合数计算公式的介绍，它是一种非常有用的工具，可以帮助我们快速计算出两个集合中元素的组合数量。
如果你遇到数学相关的问题，可以试着使用它，也许会有意想不到的效果。
组合数的性质(2)
（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；
（5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；
（6）分给5个人，每人至少一本； （7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。
练习： (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1 件,另一份4件, 有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每 人二件有多少种分法?
C C C C 14
1 2 3 4 2 2 2 4
C C C 1 14
4 6 4 4 2 6
二、多面手问题 例2.现有8名青年，其中有5名胜任英语翻译工作， 有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年 两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承 担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从 事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
计 C C C C 算
2 2 2 3 2 4
2 10
有简洁明快的计算方法吗？
新课教学：
引例1：某小组有7人: ⑴选出3人参加植树劳动,可以有多少种不同的 3 选法? C 7 35 ⑵选出4人参加清扫校园劳动,可以有多少种不 4 同的选法? C 35
7
即选出3人参加植树劳动或选出4人参加清扫校 园劳动都有35种不同的选法. 思考一:为何上面两个不同的组合数其结果相同? 这一结果的组合的意义是什么？
思考：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？
一般地，从a1 , a2 , , an1这n 1个不同的元素中取
m 出m个元素的组合数是Cn1， 这些组合可分成两类：一类含有a1，一类不含有a1，
含有a1的组合是从a2 , a3 , , an1这n个元素中取出
组合数 指数 求和
组合数指数求和【引言】在数学中，组合数和指数是两个重要的概念。
组合数是指在一组元素中选择若干个元素的不同方式的个数，而指数是指数与底数之间的幂运算。
对于这两个概念的求和问题，我们可以通过生动的例子和全面的解释来进行阐述，帮助读者更好地理解和运用这些概念。
【正文】一、组合数的概念与求和在组合数中，我们需要考虑的是从某个集合中选择一定数量的元素，而不考虑元素的顺序。
比如说，从一个集合中选择两个人参加活动，我们不关心谁在前谁在后，而只关心选出的两个人是谁。
组合数通常用C(n, m)或者nCm来表示，其中n代表集合中的元素数量，m代表选择的元素个数。
组合数的计算公式为：C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)，其中n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2)* ... * 2 * 1。
在实际生活中，组合数可以有很多应用。
比如排列座位次序、分配任务、选课等等。
我们可以通过将组合数的计算应用到具体问题中，来解决这些实际问题。
当我们需要计算多个组合数的和时，可以使用组合数性质来简化计算。
例如，当我们需要计算C(n, m) + C(n, m+1) + ... + C(n, k)时，可以利用组合数的性质C(n, m+1) = C(n, m) * (n-m) / (m+1)，从而将求和问题转化为了一个简单的乘法问题。
二、指数的概念与求和指数是一个数与自己相乘若干次得到的结果，即底数的幂运算。
指数的定义包括正指数、零指数和负指数。
正指数表示底数要与自身相乘的次数；零指数表示底数要与自身相乘的次数为0，结果为1；负指数表示底数要与自身相乘的次数为负数，结果是倒数。
比如2的3次方表示2与自身相乘3次，结果为8；2的0次方表示2与自身相乘0次，结果为1；2的负3次方表示2与自身相乘3次的倒数，结果为1/8。
求和的指数可以运用在各种数列的求和问题中。
比如等比数列的求和，可以通过指数的方式来进行简化。
组合数的两个性质
组合数的两个性质组合数的两个性质一、复习知识1、一般地,从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合2、从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数。
用符号m n C 表示3、组合数的公式(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+== 或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且二、新课讲解练习:计算 310C 和710C问题1:为何上面两个不同的组合数其结果相同怎样对这一结果进行解释从10个元素中取出7个元素后,还剩下3个元素,就是说,从10个元素中每次取出7个元素的一个组合,与剩下的(10-7)个元素的组合是一一对应的。
因此,从10个元素中取7个元素的组合,与从这10个元素中取出(10-7)个元素的组合是相等的。
问题2:上述情况加以推广可得组合数怎样的性质一般地,从n 个不同元素中取出m 个元素后,剩下n - m 个元素.因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合,与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应,所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数。
组合数的性质1:m n nm n C C -= 证明:∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=- 又 )!(!!m n m n C m n -= ∴m n n m n C C -= 说明:1、当2n m >时,计算m n C 可变为计算m n n C -,能够使运算简化. 2、我们规定10=n C3、y n x n C C =y x =?或n y x =+组合数性质2引例一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球①从口袋里取出3个球,共有多少种取法②从口袋里取出3个球,使其中含有一个黑球,有多少种取法③从口袋里取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法引导学生发现:=38C +27C 37C .为什么呢我们可以这样解释:从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以分为两类:一类含有1个黑球,一类不含有黑球.因此根据分类计数原理,上述等式成立.一般地,从121,,,+n a a a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是m n C 1+,这些组合可以分为两类:一类含有元素1a ,一类不含有1a .含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的,共有1-m n C 个;不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m 个元素组成的,共有m n C 个.根据分类计数原理,可以得到组合数的另一个性质.组合数的性质2:m n C 1+=m n C +1-m nC . 证明:)]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m nn )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1+= ∴m n C 1+=m n C +1-m nC . 说明:1、公式特征:下标相同而上标差1的两个组合数之和,等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数2、此性质的作用:恒等变形,简化运算.在今后学习“二项式定理”时,我们会看到它的主要应用.小结:组合数的性质1:m n nm n C C -= 组合数的性质2:m n C 1+=m n C +1-m nC常用的组合数性质公式还有:子子宫子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子了解三、例题分析例1、计算例2、解方程或不等式7234135n n n C A ---=、62213132n n C C +-=、456113m m m m C C C --->+、例3、证明111111m m m m n n n n C C C C --+--=++、1112n n n n n n n m n m C C C C ++++++++= 、例4、在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件(1)一共有多少种不同的抽法(2)抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种(3)抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种四、小结通过这一节课的学习我们要进一步熟悉组合数的公式;了解组合数性质推导时的思维方法,掌握组合数的两个性质五、作业优化设计:P84强化训练:6、8、10;P86强化训练:7相关文档：••••••••••更多相关文档请访问：。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
组合数的运算公式
组合数的运算公式
在数学中，组合数是一个非常重要的概念。
它描述了从n个元素中选择k个元素的不同方式的数量。
组合数可以用以下公式表示：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
其中n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*1。
这个公式可以帮助我们计算从n个元素中选择k个元素的不同方式的数量。
例如，如果我们想要从5个元素中选择3个元素，我们可以使用上述公式来计算组合数：
C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!)
首先计算阶乘：
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
3! = 3 * 2 * 1 = 6
然后计算分子和分母：
120 / (6 * 6) = 120 / 36 = 10/3
所以，从5个元素中选择3个元素的不同方式有10/3种。
这个结果是一个整数，但实际上我们得到的结果是一个分数。
这是因为组合数不是唯一的，当k大于n时，没有有效的组合可以满足条件。
因此，我们需要对结果进行取整操作。