数值分析试题库与答案解析

模 拟 试 卷（一）一、填空题（每小题3分，共30分）1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.2．设152210142-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，342⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭x ，则 ∞A = .， 1x = ______.3．已知y =f (x )的均差（差商）01214[,,]3f x x x =，12315[,,] 3f x x x =，23491[,,]15f x x x =，0238[,,] 3f x x x =, 那么均差423[,,]f x x x = .4．已知n =4时Newton －Cotes 求积公式的系数分别是：,152,4516,907)4(2)4(1)4(0===C C C 则)4(3C ＝ .5．解初始值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进的Euler 方法是 阶方法；6．求解线性代数方程组123123123530.13260.722 3.51x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩的高斯—塞德尔迭代公式为 ，若取(0)(1,1,1)=-x, 则(1)=x .7．求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 . 8．1(), (),, ()n x x x 是以整数点01, ,, ,n x x x 为节点的Lagrange 插值基函数，则()n kjk k xx =∑= .9．解方程组=Ax b 的简单迭代格式(1)()k k +=+xBx g 收敛的充要条件是 .10．设(-1)1,(0)0,(1)1,(2)5f f f f ====，则()f x 的三次牛顿插值多项式为 ，其误差估计式为 .二、综合题（每题10分，共60分）1．求一次数不超过4次的多项式()p x 满足：(1)15p =，(1)20p '=，(1)30p ''=(2)57p =，(2)72p '=.2．构造代数精度最高的形式为10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰的求积公式，并求出 其代数精度.3．用Newton 法求方程2ln =-x x 在区间) ,2(∞内的根, 要求8110--<-kk k x x x .4．用最小二乘法求形如2y a bx =+的经验公式拟合以下数据：5．用矩阵的直接三角分解法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡71735 30103421101002014321x x x x .6 试用数值积分法建立求解初值问题0(,)(0)y f x y y y '=⎧⎨=⎩的如下数值求解公式1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++，其中(,),1,,1i i i f f x y i n n n ==-+.三、证明题（10分）设对任意的x ，函数()f x 的导数()f x '都存在且0()m f x M '<≤≤,对于满足20Mλ<<的任意λ，迭代格式1()k k k x x f x λ+=-均收敛于()0f x =的根*x .参考答案一、填空题1．5； 2. 8, 9 ; 3.9115； 4. 1645； 5. 二； 6. (1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(330.1)/5(220.7)/6(12)*2/7k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪=+-⎨⎪=--⎩, (0.02，0.22，0.1543) 7. 1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-; 8. j x ; 9. ()1B ρ<; 10.32(4)11,()(1)(1)(2)/24(1,2)66x x x f x x x x ξξ+-+--∈-二、综合题 1．差商表：233234()1520(1)15(1)7(1)(1)(2)5432p x x x x x x x x x x =+-+-+-+--=++++其他方法：设233()1520(1)15(1)7(1)(1)()p x x x x x ax b =+-+-+-+-+ 令(2)57p =，(2)72p '=，求出a 和b. 2．取()1,f x x =，令公式准确成立，得：0112A A +=,011123A A +=, 013A =, 116A =. 2()f x x =时，公式左右14=；3()f x x =时，公式左15=, 公式右524=∴ 公式的代数精度2=.3．此方程在区间) ,2(∞内只有一个根s ，而且在区间（2，4）内。

设2ln )(--=x x x f则x x f 11)('-=， 2''1)(x x f = ，Newton 法迭代公式为 1)ln 1(/112ln 1-+=----=+k k k k k k k k x x x x x x x x ， ,2,1,0=k取30=x ，得146193221.34=≈x s 。

4． 2{1,}span x Φ=，2222111119253038T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，19.032.349.073.3T ⎡⎤=⎣⎦y .解方程组TT =A AC A y ，其中3330433303416082T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A A ， 解得： 1.416650.0504305⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C所以0.9255577a =， 0.0501025b =.5．解 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡443433242322434241323121020111113010342110100201u u u u u ul l l l l l 由矩阵乘法可求出ij u 和ij l⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡10101211011111434241323121l l l l l l⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡21210102010201443433242322u u u u u u解下三角方程组 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡7173510101211014321y y y y 有51=y ，32=y ，63=y ，44=y .再解上三角方程组 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡463521************x x x x 得原方程组的解为11=x ，12=x ，23=x ，24=x . 6 解 初值问题等价于如下形式11()()(,())n xn x y x y x f x y x dx --=+⎰，取1n x x +=，有1111()()(,())n n x n n x y x y x f x y x dx +-+-=+⎰， 利用辛卜森求积公式可得1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-≈+++. 三、证明题证明 将()0f x =写成()()x x f x x λϕ=-，由于 ()[()]1()x x f x f x ϕλλ'''=-=-，所以|()||1()|1x f x ϕλ''=-<所以迭代格式1()k k k x x f x λ+=-均收敛于()0f x =的根*x .模 拟 试 卷（二）一、填空题（每小题3分，共30分）1．分别用2.718281和2.718282作数e 的近似值，则其有效位数分别有 位和 位 ；2． 设102110382-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，131-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦x ，则 1A = ________， 2x = .3．对于方程组⎩⎨⎧=-=-341015 22121x x x x , Jacobi 迭代法的迭代矩阵是J G =________.4．设1)(3-+=x x x f ，则差商[]3 ,2 ,1 ,0f =__________，[]0, 1, 2, 3,4f =_______. 5．已知1201⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A , 则条件数()Cond ∞A _________. 6．为使两点的数值求积公式1011()()()f x dx f x f x -=+⎰具有最高的代数精确度，则其求积基点应为0x =__________， 1x =__________7．解初始值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩近似解的梯形公式是1k y +≈8．求方程()0f x =根的弦截法迭代公式是 9.计算积分1⎰，取4位有效数字，用梯形公式计算求得的近似值是 ， 用辛卜生公式计算的结果是10．任一非奇异矩阵A 的条件数()Cond A ＝ ，其()Cond A 一定大于等于二、综合题（每题10分，共60分）1 证明方程1sin x x -=在区间[0,1]有且只有一个根，若利用二分法求其误差不超过41102-⨯近似解，问要迭代多少次？ 2 已知常微分方程的初值问题：,1 1.2,(1)2dy xx dx yy ⎧=<<⎪⎨⎪=⎩试用改进的Euler 方法计算(1.2)y 的近似值，取步长0.2h =.3 用矩阵的T LDL 分解法解方程组 1233351035916591730x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.4 用最小二乘法求一个形如1y=的经验公式，使它与下列数据拟合.5 设方程组0.40.410.40.820.40.83x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯－赛德尔迭代法的收敛性。

6 按幂法求矩阵411132123-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 的按模最大特征值的近似值，取初始向量(0)(1,0,0)T =x ，迭代两步求得近似值(2)λ即可.三、证明题（10分）已知求)0(>a a 的迭代公式为：2,1,00)(2101=>+=+k x x a x x kk k证明：对一切1,2,,k =k x ≥ 且序列kx 是单调递减的，从而迭代过程收敛.参考答案一、填空题1．6， 7； 2. 9,3 . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡05.25.20; 4. 1, 0; 5. 9; 6.7. 11[(,)(,)]2k k k k k hy f x y f x y ++++; 8. 111()()()()k k k k k k k f x x x x x f x f x +--=--- ； 9. 0.4268, 0.4309; 10. 1-A A , 1二、综合题1 解 令()1sin f x x x =--，则(0)10f =>，(1)sin10f =-<，且()1cos 0f x x '=--< 故1sin x x -=在区间[0,1]内仅有一个根*x .利用二分法求它的误差不超过41102-⨯的近似解，则 *41111||1022k k x x -++-≤≤⨯ 解此不等式可得 4ln1013.2877ln 2k ≥= 所以迭代14次即可. 2、解：1002101(,)0.5,(,)0.571429,k f x y k f x y hk ===+=1012()20.1(0.50.571429) 2.10714292hy y k k =++=+⨯+=3 解 设3112132221331323351135911591711l d l l d l d l l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦利用矩阵乘法可求得13d =，22d =，323d =，211l =， 3153l =，322l = 解方程组 1231101116530321y y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦得123410,6,3y y y ===，再解方程组 111122133531110126413d x d x d x ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦得1231,1,2x x x ==-=.4 解 令1Y y=，则Y a bx =+容易得出正规方程组 5916.971917.835.3902a b ⎛⎫⎡⎤⎡⎤= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，解得 2.0535, 3.0265a b =-=. 故所求经验公式为 12.05353.0265y x=-+.5 解（1）由于30.40.4()0.40.80.960.2560.40.8J f λλλλλλ==-+(1)10.980.2560J f -=-++>，(2)8 1.960.2560J f -=-++<所以()0J f λ=在(2,1)--内有根i λ且||1i λ>，故利用雅可比迭代法不收敛.（2）由于20.40.4()0.40.8(0.8320.128)0.40.8G f λλλλλλλλλλ==-+所以()0.832G ρ<，故利用高斯－赛德尔迭代法收敛. 6 解 因为(0)[1,0,0]T =x ，故(0)1∞=x ，且[](1)(0)4,1,1T==-yAx ，(1)(1)max()4y λ==.从而得(1)(1)(1)11/[1,,]44T ∞==-x y y ，(2)(1)999[,,]244T ==-y Ax ，(2)(2)9max()2y λ==.三、证明题 证明: 由于 11()0,1,2,2k k kax x k x +=+≥=故对一切k，k x ≥，又1211(1)(11)122k k k x a x x +=+≤+= 所以 1k k x x +≤，即序列{}k x 是单调递减有下界，从而迭代过程收敛.模 拟 试 卷（三）一、填空题（每小题3分，共30分）1．设 2.40315a =是真值 2.40194x =的近似值，则a 有 位有效位数，相对误差限为 ；2． 若用二分法求方程()0f x =在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 次。