近5年2013-2017各地高考数学真题分类专题汇总--不等式
三年高考(2015-2017)高考数学试题分项版解析 专题15 不等式 理
专题15 不等式【2017年】1.【2017课标II ，理5】设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．D ． 【答案】A 【解析】试题分析：绘制不等式组表示的可行域，目标函数即：2y x z =-+，其中表示斜率为2k =-的直线系与可行域有交点时直线的截距值， 数形结合可得目标函数在点()6,3B -- 处取得最小值12315z =--=- ，故选A 。
【考点】 应用线性规划求最值2.【2017天津，理2】设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为 （A ）23 （B ）1（C ）32（D ）3 【答案】D【解析】目标函数为四边形ABCD 及其内部，其中324(0,1),(0,3),(,3),(,)233A B C D --，所以直线z x y =+过点B 时取最大值3，选D. 【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题. 3.【2017山东，理4】已知x,y 满足x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x ，则z=x+2y 的最大值是（A ）0 （B ） 2 （C ） 5 （D ）6 【答案】C【解析】试题分析：由x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x 画出可行域及直线20x y +=如图所示，平移20x y +=发现，当其经过直线3x +y 50=+与x -3=的交点(3,4)-时，2z x y =+最大为3245z =-+⨯=，选C.【考点】 简单的线性规划4.【2017山东，理7】若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 （A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b <+<+ （C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B【解析】试题分析：因为0a b >>，且1ab =，所以221,01,1,log ()log 1,2aba b a b ><<∴<+>= 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+ ，所以选B. 【考点】1.指数函数与对数函数的性质.2.基本不等式.5.【2017课标3，理9】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．24-B ．3-C ．3D ．8【答案】A 【解析】试题分析：设等差数列的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得：2326a a a = ，即：()()()212115d d d +=++ ，整理可得：220d d += ，公差不为0 ，则2d =- ，数列的前6项和为()()()6166166166122422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=- . 故选A .【考点】 等差数列求和公式；等差数列基本量的计算【名师点睛】(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.6.【2017北京，理4】若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，， 则x + 2y 的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9 【答案】D 【解析】试题分析：如图，画出可行域，2z x y =+表示斜率为12-的一组平行线，当过点()3,3C 时，目标函数取得最大值max 3239z =+⨯=，故选D.【考点】线性规划7.【2017浙江，4】若，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z 2+=的取值范围是A ．0，6]B ．0，4]C ．6，)∞+D ．4，)∞+ 【答案】D 【解析】试题分析：如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D ．【考点】 简单线性规划8.【2017天津，理8】已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C）[- （D）39[]16-【答案】A【解析】不等式()2x f x a ≥+为()()2xf x a f x -≤+≤(*)， 当1x ≤时，(*)式即为22332x x x a x x -+-≤+≤-+，2233322x x a x x -+-≤≤-+， 又22147473()241616x x x -+-=---≤-（14x =时取等号）， 223339393()241616x x x -+=-+≥（34x =时取等号），y所以47391616a -≤≤， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+，又3232()22x x x x--=-+≤-3x =时取等号），222x x +≥=（当2x =时取等号），所以2a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ． 【考点】不等式、恒成立问题9.【2017课标3，理13】若，y 满足约束条件y 0200x x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z 34x y =-的最小值为__________. 【答案】1- 【解析】试题分析：绘制不等式组表示的可行域， 目标函数即：3144y x z =-，其中z 表示斜率为34k =的直线系与可行域有交点时直线的截距值的14-倍， 截距最大的时候目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点()1,1A 处取得最小值341z x y =-=-.【考点】应用线性规划求最值【名师点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.10.【2017天津，理12】若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.【答案】【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ，（前一个等号成立条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当2224a b ==时取等号）. 【考点】均值不等式11.【2017课标1，理13】设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为 . 【答案】5- 【解析】试题分析：不等式组表示的可行域如图所示，易求得1111(1,1),(,),(,)3333A B C ---，由32z x y =-得322zy x =-在y 轴上的截距越大，就越小所以，当直线直线32z x y =-过点A 时，取得最小值 所以取得最小值为3(1)215⨯--⨯=- 【考点】线性规划.【2016年，2015年】 1.【2016高考新课标1卷】若101a b c >><<，,则( )（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < 【答案】C 【解析】试题分析：用特殊值法,令3a =,2b =,12c =得112232>,选项A 错误,11223223⨯>⨯,选项B错误,2313log 2log 22<,选项C 正确,3211log log 22>,选项D 错误,故选C ． 考点：指数函数与对数函数的性质2.【2015高考北京，理2】若，满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．32D ．2【答案】D【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y =+，则1122y x z =-+，令0Z =，作直线12y x =-，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取得最小值2.考点定位：本题考点为线性规划的基本方法3.【2015高考广东，理6】若变量，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为（ ） A ．531 B. 6 C. 523 D. 4 【答案】C ．【解析】不等式所表示的可行域如下图所示，由32z x y =+得322z y x =-+，由上图结合题意可知当目标函数直线：322zy x =-+经过41,5A ⎛⎫⎪⎝⎭时，取得最小值即min 42331255z =⨯+⨯=，故选C【考点定位】二元一次不等式的线性规划．4.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x +y -2=0上的投影构成的线段记为AB ，则│AB │=（ ） A ．B ．4C ．D ． 【答案】C 【解析】试题分析：如图∆PQR 为线性区域，区域内的点在直线20x y +-=上的投影构成了线段''R Q ，即AB ，而''=R Q PQ ，由3400-+=⎧⎨+=⎩x y x y 得(1,1)-Q ，由20=⎧⎨+=⎩x x y 得(2,2)-R，===AB QR ．故选C ．考点：线性规划．【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据题目中的定义确定AB 的值．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．5.【2015高考山东，理5】不等式152x x ---<的解集是（ ）（A ）（-，4） （B ）（-，1） （C ）（1，4） （D ）（1，5） 【答案】A【解析】原不等式同解于如下三个不等式解集的并集;1155()()()152152152x x x I II III x x x x x x <≤<≥⎧⎧⎧⎨⎨⎨-+-<-+-<--+<⎩⎩⎩ 解（I ）得：1x < ,解（II ）得：14x ≤< ,解（III ）得：x φ∈ , 所以，原不等式的解集为{}4x x < .故选A. 【考点定位】含绝对值的不等式的解法.6.【2015高考山东，理6】已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z a x y =+的最大值为4，则a = （ ）（A ）3 （B ）2 （C ）-2 （D ）-3 【答案】B【解析】不等式组020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，若z ax y =+的最大值为4，则最优解可能为1,1x y == 或2,0x y == ，经检验，2,0x y ==是最优解，此时2a = ；1,1x y ==不是最优解.故选B. 【考点定位】简单的线性规划问题.【名师点睛】本题考查了简单的线性规划问题，通过确定参数的值，考查学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵活性，意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力.7.【2016年高考北京理数】若，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A.0B.3C.4D.5 【答案】C【解析】试题分析：作出如图可行域，则当yxz+=2经过点P时，取最大值，而)2,1(P，∴所求最大值为4，故选C.考点：线性规划.8.【2015高考陕西，理9】设()ln,0f x x a b=<<，若()p f ab=，()2a bq f+=，1(()())2r f a f b=+，则下列关系式中正确的是（）A．q r p=< B．q r p=> C．p r q=< D．p r q=>【答案】C【解析】)p f ab ab==()ln22a b a bq f++==，11(()())ln ln22r f a f b ab ab=+==()lnf x x=在()0,+∞上单调递增，因为2a bab+>()()2a bf f ab+>，所以q p r>=，故选C．【考点定位】1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．【名师点晴】本题主要考查的是基本不等式和基本初等函数的单调性，属于容易题．解题时一定要注意检验在使用基本不等式求最值中是否能够取得等号，否则很容易出现错误．本题先判断2a b+ab9.【2015高考陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元甲乙原料限额A（吨）12xyOP【答案】D【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、y 吨，则利润34z xy =+由题意可列32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，其表示如图阴影部分区域：当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，取得最大值，所以max 324318z =⨯+⨯=，故选D ． 【考点定位】线性规划．是平面区域必须作正确，且要有一定的精度；二是目标函数的几何意义必须理解正确才能正确作出答案.10. 【2016高考浙江理数】已知实数a ，b ，c （ ） A ．若|a 2+b +c |+|a +b 2+c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100 B ．若|a 2+b +c |+|a 2+b –c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100 C ．若|a +b +c 2|+|a +b –c 2|≤1，则a 2+b 2+c 2<100 D ．若|a 2+b +c |+|a +b 2–c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100 【答案】D 【解析】试题分析：举反例排除法：A.令10,110===-a b c ，排除此选项，B.令10,100,0==-=a b c ，排除此选项，C.令100,100,0==-=a b c ，排除此选项，故选D ．考点：不等式的性质．11.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812【答案】B 【解析】2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，822n m --≥-即212m n +≤.226,182m nm n mn +⋅≤≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，8122n m --≤-即218m n +≤.28129,22n m n m mn +⋅≤≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以(182)(1828)816mn n n =-<-⨯⨯=，所以最大值为18.选B..【考点定位】函数与不等式的综合应用.【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 12. 【2016年高考四川理数】设p ：实数x ，y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的( ) （A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：画出可行域（如图所示），可知命题中不等式组表示的平面区域ABC ∆在命题p 中不等式表示的圆盘内，故选A.考点：1.充分条件、必要条件的判断；2.线性规划.13. 【2015高考天津，理2】设变量,x y满足约束条件2030230xx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y=+的最大值为( )（A）3 （B）4 （C）18 （D）40 【答案】C【解析】不等式2030230xx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示，当6z x y=+所表示直线经过点(0,3)B时，有最大值18.【考点定位】线性规划.14. 【2015高考湖北，理10】设x∈R，[]x表示不超过的最大整数. 若存在实数，使得[]1t=，2[]2t=，…，[]n t n=同时成立．．．．，则正整数的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】因为[]x 表示不超过的最大整数.由1][=t 得21<≤t ，由2][2=t 得322<≤t ，由3][4=t 得544<≤t ，所以522<≤t ，所以522<≤t ，由3][3=t 得433<≤t ，所以5465<≤t ，由5][5=t 得655<≤t ，与5465<≤t 矛盾，故正整数的最大值是4.【考点定位】函数的值域，不等式的性质.【名师点睛】这类问题一般有两种：[]x 表示不超过的最大整数；{}x 表示不小于的最大整数. 应注意区别.15.【2015高考福建，理5】若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =- 的最小值等于 ( ) A ．52-B ．2-C ．32- D ．2 【答案】A【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为2y x z =-，当最小时，直线2y x z =-的纵截距最大，故将直线2y x =经过可行域，尽可能向上移到过点1(1,)2B -时，取到最小值，最小值为152(1)22z =⨯--=-，故选A ．【考点定位】线性规划．【名师点睛】本题考查线性规划，要正确作图，首先要对目标函数进行分析，什么时候目标函数取到最大值，解该类题目时候，往往还要将目标直线的斜率和可行域边界的斜率比较，否则很容易出错，属于基础题．16. 【2015湖南理2】若变量，y 满足约束条件1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =-的最小值为（ ）A.-7B.-1C.1D.2 【答案】A. 【解析】试题分析：如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线：30x y -=，平移，从而可知当2-=x ，1=y 时，min 3(2)17z =⨯--=-的最小值是7-，故选A.【考点定位】线性规划.17.【2016高考山东理数】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（ ）（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C 【解析】试题分析：不等式组表示的可行域是以A (0,-3),B (0,2),C (3,-1)为顶点的三角形区域,22x y+表示点（x ,y ）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为210OC =,故选C. 考点：简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.18.【2016高考天津理数】设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为（ ） （A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17【答案】B 【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C ，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6，选B.考点：线性规划19. 【2016高考新课标3理数】若,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =+的最大值为_____________. 【答案】32【解析】试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数z x y =+经过点1(1,)2A 时取得最大值，即max 13122z =+=．考点：简单的线性规划问题．20.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元． 【答案】216000 【解析】试题分析：设生产产品A 、产品B 分别为、y 件,利润之和为元,那么1.50.5150,0.390,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩……………① 目标函数2100900z x y =+. 二元一次不等式组①等价于3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩?…………② 作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.将2100900z x y =+变形,得73900zy x =-+,平行直线73y x =-,当直线73900z y x =-+经过点M 时, 取得最大值.解方程组10390053600x y x y +=⎧⎨+=⎩,得M 的坐标(60,100).所以当60x =,100y =时,max 210060900100216000z =⨯+⨯=. 故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元. 考点：线性规划的应用21.【2015高考新课标2，理14】若x ，y 满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，则z x y =+的最大值为____________．【答案】32【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为y x z =-+，当取到最大时，直线y x z =-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D ，则z x y =+的最大值为32．【考点定位】线性规划．【名师点睛】本题考查线性规划，要正确作图，首先要对目标函数进行分析，什么时候目标函数取到最大值，解该类题目时候，往往还要将目标直线的斜率和可行域边界的斜率比较，否则很容易出错，属于基础题．22.【2015高考新课标1，理15】若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为 . 【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.【考点定位】线性规划解法23.【2016高考江苏卷】 已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则22x y +的取值范围是 .【答案】4[,13]5【解析】由图知原点到直线220x y +-=距离平方为22x y +最小值，为245=，原点到点(2,3)距离平方为22x y +最大值，为13，因此22x y +取值范围为4[,13]5考点：线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.24. 【2015高考浙江，理14】若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是 ．【答案】.【解析】122≤+y x 表示圆122=+y x 及其内部，易得直线y x 36--与圆相离，故 y x y x 36|36|--=--，当022≥-+y x 时，2263=24x y x y x y +-+---+，如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数42+-=y x z ，则可知当53=x ，54=y 时， 3min =z ，当022<-+y x 时，2263=834x y x y x y +-+----，可行域为大的弓形 内部，目标函数y x z 438--=，同理可知当53=x ，54=y 时，3min =z ，综上所述， |36||22|y x y x --+-+.【考点定位】1.线性规划的运用；2.分类讨论的数学思想；3.直线与圆的位置关系25. 【2015高考江苏，7】不等式224x x -<的解集为________.【答案】(1,2).-【解析】由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).-【考点定位】解指数不等式与一元二次不等式【名师点晴】指数不等式按指数与1的大小判断其单调性，决定其不等号是否变号；对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的解集，先研究ac b 42-=∆，按照0>∆，0=∆，0<∆三种情况分别处理，具体可结合二次函数图像直观写出解集.26.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 ▲ .【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯，当且仅当900x x =，即30x =时等号成立.【考点】基本不等式求最值。
全国高考理科数学试题分类汇编16：不等式选讲 Word版含答案
2013年全国高考理科数学试题分类汇编16：不等式选讲一、填空题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若关于实数x 的不等式53x x a -++<无解,则实数a 的取值范围是_________【答案】(],8-∞2 ．（2013年高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2,则(am +bn )(bm +an )的最小值为_______.【答案】23 ．（2013年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________【答案】[]0,44 ．（2013年高考湖北卷（理））设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,23x y z ++=,则x y z ++=_______.二、解答题5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））选修4—5;不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥. 【答案】6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））选修4-5:不等式选讲已知函数()f x x a =-,其中1a >.(I)当=2a 时,求不等式()44f x x ≥=-的解集;(II)已知关于x 的不等式()(){}222f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤,求a 的值.【答案】7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））不等式选讲:设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ,且32A ∈,12A ∉. (1)求a 的值; (2)求函数()2f x x a x =++-的最小值.【答案】解:(Ⅰ)因为32A ∈,且12A ∉,所以322a -<,且122a -≥ 解得1322a <≤,又因为*a N ∈,所以1a = (Ⅱ)因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤,即12x -≤≤时取得等号,所以()f x 的最小值为38 ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.已知b a ≥>0,求证:b a ab b a 223322-≥-[必做题]第22、23题,每题10分,共20分.请在相应的答题区域内作答,若多做,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【答案】D 证明:∵=---b a ab b a 223322()=---)(223223b b a ab a ())(22222b a b b a a ---())2)()(()2(22b a b a b a b a b a --+=--=又∵b a ≥>0,∴b a +>0,0≥-b a 02≥-b a ,∴0)2)()((≥--+b a b a b a∴0222233≥---b a ab b a∴b a ab b a 223322-≥-9 ．（2013年高考新课标1（理））选修4—5:不等式选讲 已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.(Ⅰ)当a =2时,求不等式()f x <()g x 的解集;(Ⅱ)设a >-1,且当x ∈[2a -,12)时,()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 【答案】当a =-2时,不等式()f x <()g x 化为|21||22|30x x x -+---<,设函数y =|21||22|3x x x -+---,y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩, 其图像如图所示从图像可知,当且仅当(0,2)x ∈时,y <0,∴原不等式解集是{|02}x x <<. (Ⅱ)当x ∈[2a -,12)时,()f x =1a +,不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+, ∴2x a ≥-对x ∈[2a -,12)都成立,故2a -≥2a -,即a ≤43, ∴a 的取值范围为(-1,43].10．（2013年高考湖南卷（理））在平面直角坐标系xOy 中,将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N 的一条“L 路径”.如图6所示的路径1231MM M M N MN N 与路径都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)A B C -处.现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心.(I)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明);(II)若以原点O 为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区,请确定点P 的位置,使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小.【答案】解: .0),,(≥y y x P 且设点(Ⅰ) d L A P 路径”的最短距离的“到点点)20,3(,|20 -y | + |3 -x |=+d 垂直距离，即等于水平距离,其中.,0R x y ∈≥(Ⅱ)本问考查分析解决应用问题的能力,以及绝对值的基本知识.点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v.且h 和v 互不影响.显然当y=1时,v = 20+1=21;时显然当]14,10[-∈x ,水平距离之和h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| 24≥,且当x=3时, h=24.因此,当P(3,1)时,d=21+24=45.所以,当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和d 的最小值为45.。
2011-2017全国1卷分类汇编 不等式
2012-2017全国高考选做——不等式【2012年全国】（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|||2|f x x a x =++-。
（Ⅰ）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（Ⅱ）若()|4|f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。
【2013年全国】（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g(x )=x +3.（Ⅰ）当a =-2时，求不等式f (x )＜g(x )的解集；（Ⅱ）设a ＞－1，且当x ∈[－a 2，12)时，f (x )≤g(x )，求a 的取值范围.【2014年全国】24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若0,0a b >>，且11a b +=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.【2015年全国】（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )=|x +1|-2|x -a |，a >0.（Ⅰ）当a =1时，求不等式f (x )>1的解集；（Ⅱ）若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围【2016年全国】（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )= ∣x +1∣-∣2x -3∣.（I ）在答题卡第（24）题图中画出y= f (x )的图像；（II ）求不等式∣f (x )∣﹥1的解集。
【2017年全国】23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）已知函数2–4()x ax f x =++，11()x x g x =++-||||.（1）当a =1时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.。
近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编14 不等式选讲
近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编十四、不等式选讲一、解答题1．（2021·全国高考真题（理））已知函数()3f x x a x =-++． （1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集; （2）若()f x a >-，求a 的取值范围．2．（2021·全国高考真题（文））已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像； （2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围．3．（2020·全国高考真题（理））已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集； （2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.4．（2020·全国高考真题（理））已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．5．（2019·江苏高考真题）设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -. 6．（2019·全国高考真题（理））设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=. （1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-. 7．（2019·全国高考真题（文））已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.8．（2019·全国高考真题（文））已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 9．（2018·江苏高考真题）若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值． 10．（2018·全国高考真题（理）） 设函数()211f x x x =++-． （1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求+a b 的最小值．11．（2018·全国高考真题（文））已知()11f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围. 12．（2018·全国高考真题（文））设函数()52f x x a x =-+--. （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围.13．（2017·全国高考真题（理））已知函数()f x =│x +1│–│x –2│. （1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x ≥x 2–x +m 的解集非空，求实数m 的取值范围.14．（2017·全国高考真题（文））已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．15．（2017·全国高考真题（理））已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围． 16．（2017·全国高考真题（理））已知0a >，0b >，332a b +=，证明： (1)()()554a b a b++≥；(2)2a b +≤.17．（2017·江苏高考真题）已知a,b,c,d 为实数，且a 2+b 2=4,c 2+d 2=16,证明ac+bd ≤8.18．（2016·全国高考真题（文））选修4-5：不等式选讲 已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+.19．（2016·全国高考真题（文））已知函数()|2|f x x a a =-+. （1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编十四、不等式选讲（答案解析）1．（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围. 【解析】（1）当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.（2）依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+, 故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<， 解得32a >-.所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【小结】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的x 的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件. 2．（1）图像见解析；（2）112a ≥ 【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将()y f x =向左平移可满足同角，求得()y f x a =+过1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭时a 的值可求. 【解析】 （1）可得，画出图像如下：，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a +=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到，则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >，当()y f x a =+过1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去）， 则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移112个单位，112a ∴≥.【小结】关键小结：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解. 3．（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.【分析】 （1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果.【解析】 （1）当2a =时，.当时，，解得：；当时，，无解； 当时，，解得：；综上所述：的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x a x a aa a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.【小结】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型. 4．（1）解析解析；（2）7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x 的解析式，作出图象； （2）作出函数()1f x +的图象，根据图象即可解出． 【解析】（1）因为，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由，解得．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭． 【小结】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．5．1{|1}3x x x <->或. 【分析】由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解集. 【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <–13： 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或. 【小结】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力． 6．(1)43；(2)见解析. 【分析】(1)根据条件1x y z ++=，和柯西不等式得到2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，再讨论,,x y z 是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的,,x y z代入原不等式，便可得到参数a 的取值范围. 【解析】 (1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z -++++++≥-++++=+++=故2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥等号成立当且仅当111x y z -=+=+而又因1x y z ++=，解得时等号成立所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43. (2)因为 (x 2)2 ( y 1)2 (z a)2 1 ，所以.3 x2a 32根据柯西不等式等号成立条件，当x2y 1za，即 y1a 32时有 zaa 32[(x 2)2 ( y 1)2 (z a)2](12 12 12) (x 2 y 1 z a)2 (a 2)2 成立.所以 (a 2)2 1 成立，所以有 a 3 或 a 1 .【小结】 两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.7．（1） (,1) ；（2）[1,)【分析】（1）根据 a 1 ，将原不等式化为| x 1| x | x 2 | (x 1) 0 ，分别讨论 x 1，1 x 2 ， x 2 三种情况，即可求出结果； （2）分别讨论 a 1 和 a 1 两种情况，即可得出结果.【解析】（1）当 a 1 时，原不等式可化为| x 1| x | x 2 | (x 1) 0 ；当 x 1时，原不等式可化为 (1 x)x (2 x)(x 1) 0 ，即 (x 1)2 0，显然成立，此时解集为 (,1) ；当1 x 2 时，原不等式可化为 (x 1)x (2 x)(x 1) 0 ，解得 x 1，此时解集为空集；当 x 2 时，原不等式可化为 (x 1)x (x 2)(x 1) 0 ，即 (x 1)2 0，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为 (,1) ；（2）当 a 1 时，因为 x (,1) ，所以由 f (x) 0 可得 (a x)x (2 x)(x a) 0 ，即 (x a)(x 1) 0 ，显然恒成立；所以 a 1 满足题意；7当a 1 时，f(x) 2(x a), a 2(x a)(1 x 1 x), x a，因为ax 1时，f (x) 0显然不能成立，所以 a 1 不满足题意；综上， a 的取值范围是[1,).【小结】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.8．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用 abc 1将所证不等式可变为证明：a2 b2 c2 bc ac ab ，利用基本不等式 可证得 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac ，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得a b3 b c3 c a3 3a bb cc a ，再次利用基本不等式可将式转化为a b3 b c3 c a3 24 abc2 ，在取等条件一致的情况下，可得结论.【解析】（1） abc 11 a1 b1 c 1 a1 b1 c abcbcacab 2 a2 b2 c2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 2ab 2bc 2ac当且仅当 a b c 时取等号 2 a2 b2 c22 1 a1 b1 c ，即：a2b2c2≥1 a1 b1 c（2） a b3 b c3 c a3 3a bb cc a ，当且仅当 a b c 时取等号又 a b 2 ab ， b c 2 bc ， a c 2 ac （当且仅当 a b c 时等号同时成立）a b3 b c3 c a3 3 2 ab 2 bc 2 ac 24 abc2 又 abc 1 a b3 b c3 c a3 24【小结】 本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能 力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.89．4 【解析】分析：根据柯西不等式 (x2 y2 z2)(a2 b2 c2) (ax by cz)2 可得结果. 解析：证明：由柯西不等式，得 x2 y2 z2 12 22 22 x 2 y 2z 2 ．因为 x 2 y 2z=6 ，所以 x2 y2 z2 4 ，当且仅当 x y z 时，不等式取等号，此时 x 2 ，y 4 ，z 4 ，122333所以 x2 y2 z2 的最小值为 4．小结：本题考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力.柯西不等式的一般形式：设 a1， a2，…，an，b1，b2，…，bn 为实数，则(a ＋a ＋…＋a )(b ＋b ＋…＋b )≥(a1b1＋a2b2＋… ＋anbn)2，当且仅当 bi＝0 或存在一个数 k，使 ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立． 10．（1）见解析（2） 5【解析】 分析：（1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可． （2）结合（1）问可得 a，b 范围，进而得到 a+b 的最小值 3x, x 1 , 2解析：（1）fx x2, 1 2x 1,y f x 的图像如图所示． 3x, x 1.9（2）由（1）知， y f x 的图像与 y 轴交点的纵坐标为 2 ，且各部分所在直线斜率的最大值为 3 ，故当且仅当 a 3 且 b 2 时， f x ax b 在0, 成立，因此 a b 的最小值为 5 ．小结：本题主要考查函数图像的画法，考查由不等式求参数的范围，属于中档题．11．（1） xx1 2 ；（2）0,2【解析】分析：(1)将 a 1 代入函数解析式，求得 f x x 1 x 1 ，利用零点分段将解析式化为 2, x 1,f x 2x, 1 x 1, ，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式 f x 1的解集为 2, x 1.x x1 2 ；(2)根据题中所给的 x 0,1，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式 f x x 可以化为x 0,1时 ax 1 1，分情况讨论即可求得结果. 2, x 1,解析：（1）当 a 1时， f x x 1 x 1 ，即 f x 2x, 1 x 1, 2, x 1.10故不等式fx1的解集为 xx1 2 ．（2）当 x 0,1时 x 1 ax 1 x 成立等价于当 x 0,1时 ax 1 1成立．若 a 0 ，则当 x 0,1时 ax 1 1；若 a 0 ， ax 1 1的解集为 0 x 2 ，所以 2 1 ，故 0 a 2 ．aa综上， a 的取值范围为 0, 2．小结：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成 立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从 而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所 给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.12．(1)；(2).【解析】 分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得 a 的取值范围．解析：（1）当 a 1 时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以 a 的取值范围是．小结：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值 的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与 函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活11应用，这是命题的新动向．13．（1）；（2）.【分析】（1）由于 f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，解不等式 f（x）≥1 可分﹣1≤x≤2 与 x＞2 两类讨论即可解得不等式 f（x）≥1 的解集； （2）依题意可得 m≤[f（x）﹣x2+x]max，设 g（x）＝f（x）﹣x2+x，分 x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2 三类讨论，可求得 g（x）max ，从而可得 m 的取值范围． 【解析】解：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，f（x）≥1，∴当﹣1≤x≤2 时，2x﹣1≥1，解得 1≤x≤2； 当 x＞2 时，3≥1 恒成立，故 x＞2； 综上，不等式 f（x）≥1 的解集为{x|x≥1}． （2）原式等价于存在 x∈R 使得 f（x）﹣x2+x≥m 成立， 即 m≤[f（x）﹣x2+x]max，设 g（x）＝f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x），当 x≤﹣1 时，g（x）＝﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为 x1，∴g（x）≤g（﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；当﹣1＜x＜2 时，g（x）＝﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为 x ∈（﹣1，2），∴g（x）≤g（ ）1；当 x≥2 时，g（x）＝﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为 x2，∴g（x）≤g（2）＝﹣4+2+3＝1；12综上，g（x）max ，∴m 的取值范围为（﹣∞， ]． 【小结】 本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论 思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．14．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）分，， 三种情况解不等式 f (x) g(x) ；（2）f (x) g(x) 的解集包含，等价于当时，所以且，从而可得．试题解析：（1）当 a 1 时，不等式等价于.①当时，①式化为，无解；当时，①式化为，从而；当 时，①式化为，从而.所以的解集为.（2）当时，.所以的解集包含，等价于当时.又 f x 在 的最小值必为与之一，所以且.所以 a 的取值范围为.小结:形如(或 )型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为，得，，13(此处设)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)图像法：作出函数和的图像，结合图像求解．15．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）分，， 三种情况解不等式 f (x) g(x) ；（2）f (x) g(x) 的解集包含，等价于当时，所以且，从而可得．试题解析：（1）当 a 1 时，不等式等价于.①当时，①式化为，无解；当时，①式化为，从而；当 时，①式化为，从而.所以的解集为.（2）当时，.所以的解集包含，等价于当时.又 f x 在 的最小值必为与之一，所以且，得.所以 a 的取值范围为.小结:形如(或 )型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为，，(此处设)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．14(2)图像法：作出函数 16．(1) 见解析(2) 见解析 【分析】 （1）由柯西不等式即可证明，和的图像，结合图像求解．（2）由 a3+b3＝2 转化为ab，再由均值不等式可得：ab≤，即可得到 （a+b）3≤2，问题得以证明． 【解析】 证明：（1）由柯西不等式得： ＝b＝1 时取等号；（2）∵a3+b3＝2， ∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2， ∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2， ∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2，∴ab，当且仅当 ab5＝ba5，即 a由均值不等式可得：ab≤∴（a+b）3﹣2，∴ （a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当 a＝b＝1 时等号成立． 【小结】 本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题． 17．见解析 【解析】试题分析：由柯西不等式可得，代入即得结论．15试题解析：证明：由柯西不等式可得：，因为所以，因此.18．（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得 ；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当 a ， 时，a b 1 ab ．试题解析：（I）当时，由 f (x) 2 得解得；当时， f (x) 2 ；当时，由 f (x) 2 得解得 .所以 f (x) 2 的解集.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，从而，因此【考点】绝对值不等式，不等式的证明.【名师小结】形如（或 ）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为，，（此处设）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．1617 （2）图象法：作出函数和的图象，结合图象求解． 19．（1）；（2）． 【解析】试题分析：（1）当2a =时；（2）由 ()()3f x g x +≥等价于，解之得.试题解析： （1）当2a =时，.解不等式，得.因此，()6f x ≤的解集为.（2）当x ∈R 时，， 当时等号成立，所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于. ① 当时，①等价于，无解. 当时，①等价于，解得. 所以a 的取值范围是. 考点：不等式选讲.。
【备战2013年】历届高考数学真题汇编专题16 不等式选讲 理
【2012年高考试题】1.【2012高考真题新课标理24】（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲 已知函数()2f x x a x =++-（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值X 围.2.【2012高考真题某某理15】A.（不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值X 围是.3.【2012高考真题某某理24】(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知()|1|()f x ax a R =+∈，不等式3)(≤x f 的解集为}12{≤≤-x x 。
(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若k xf x f ≤-)2(2)(恒成立，求k 的取值X 围。
【答案】4.【2012高考真题某某理16】（不等式选做题）在实数X 围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为___________。
③当21>x 时，不等式等价为3)21()21(≤++-x x ，即32≤x ，23≤x ，此时2321≤<x ， 综上不等式的解为2323≤≤-x ，所以不等式的解集为}2323{≤≤-=x x A 。
方法（2）利用绝对值的几何意义，不等式32121≤++-x x 的几何意义是数轴上的点x 到点21,21-的距离之和小于等于3的解。
当23-=x 或23=x 时有32121=++-x x ，所以32121≤++-x x 的解为2323≤≤-x ，所以不等式的解集为}2323{≤≤-=x x A 。
5.【2012高考真题某某理10】不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.6.【2012高考真题某某理23】（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f （x ）=m-|x-2|，m ∈R ，且f （x+2）≥0的解集为[-1,1]. （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若a ，b ，c ∈R ，且【答案】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查基本运算能力，以及化归与转化思想.【2011年高考试题】 一、选择题:1. (2011年高考某某卷理科4)不等式|5||3|10x x -++≥的解集为 （A ）[-5.7] （B ）[-4,6] （C ）(,5][7,)-∞-⋃+∞ （D ）(,4][6,)-∞-⋃+∞3. (2011年高考某某卷理科9)不等式130x x +--≥的解集是______. 【解析】}1|{≥x x 。
最新-2017年高考数学全国卷试题汇编(不等式选讲部分)
2010-2017年高考数学全国卷试题汇编（不等式选讲部分）1.【2010年新课标】设函数()241f x x =-+.（Ⅰ）画出函数()y f x =的图像；（Ⅱ）若不等式()f x ≤ax 的解集非空，求a 的取值范围.2.【2011年新课标】设函数()3f x x a x =-+,其中0a >. （Ⅰ）当1a =时,求不等式()32f x x ≥+的解集； （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤-,求a 的值.3.【2012年新课标】已知函数()2f x x a x =++- （Ⅰ）当3a =-时,求不等式()3f x ≥的解集；（Ⅱ）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2],求a 的取值范围.4.【2013年新课标1】已知函数a x x x f ++-=212)(,3)(+=x x g . （Ⅰ）当2-=a 时求不等式)()(x g x f <的解集；（Ⅱ）设1->a 且当)21,2[a x -∈时)()(x g x f ≤求a 的取值范围.5.【2013年新课标2】设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:（Ⅰ）13ab bc ca ++≤； （Ⅱ）2221a b c b c a++≥.6.【2014年新课标1】若,0,0>>b a 且ab ba =+11（I ）求33b a +的最小值； （II ）是否存在b a ,,使得632=+b a ？并说明理由.7.【2014年新课标2】设函数()f x =1(0)x x a a a ++->.（Ⅰ）证明:()2f x ≥； （Ⅱ）若()35f <,求a 的取值范围.8.【2015年新课标1】已知函数()12,0f x x x a a =+-->. （I ）当1a =时,求不等式()1f x >的解集；（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.9.【2015年新课标2】设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+.证明： （I ）若ab cd >>（II>a b c d -<-的充要条件.10.【2016年新课标1】 已知函数()123f x x x =+--. （I ）画出()y f x =的图像； （II ）求不等式()1f x >的解集．11.【2016年新课标2】已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集.（I ）求M ； （II ）证明：当,a b M ∈时，|||1|a b ab +<+.12.【2016年新课标3】已知函数()|2|f x x a a =-+． （I ）当2a =时，求不等式()6f x ≤的解集；（II ）设函数()|21|g x x =-.当x R ∈时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．13.【2017年新课标1】已知函数2()4f x x ax =-++，()|1|1g x x x =++-.（I ）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（II ）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围.14.【2017年新课标2】已知220,0,2a b a b >>+=，证明： （I ）()()334a b a b ++≥； （II ）2a b +≤．15.【2017年新课标3】已知函数|2||1|)(--+=x x x f ．(I)求不等式1)(≥x f 的解集；(II)若不等式m x x x f +-≥2)(的解集非空，求m 的取值范围．。
近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编14 不等式选讲【含答案】
又 在 的最小值必为 与 之一，所以 且 ，得 .
所以 的取值范围为 .
小结:形如 (或 )型的不等式主要有两种解法：
(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为 ， ， (此处设 )三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．
（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）＝f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max ，从而可得m的取值范围．
【解析】
解：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2| ，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；
【解析】
（1）当 时， .
当 时， ，解得： ；
当 时， ，无解；
当 时， ，解得： ；
综上所述： 的解集为 或 .
（2） （当且仅当 时取等号），
，解得： 或 ，
的取值范围为 .
【小结】
本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.
4．（1）解析解析；（2） .
【分析】
【解析】
（1）
当且仅当 时取等号
，即：
（2） ，当且仅当 时取等号
又 ， ， （当且仅当 时等号同时成立）
又
【小结】
本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.
9．4
【解析】
分析：根据柯西不等式 可得结果.
（2）若不等 的解集包含[–1，1]，求 的取值范围．
三年高考(2015-2017)高考数学试题分项版解析 专题12 不等式 文
专题12 不等式【2017高考题】1.【2017课标1，文7】设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【考点】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0≥++C By Ax 转化为b kx y +≤（或b kx y +≥），“”取下方，“”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．2.【2017课标II ，文7】设,x y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最小值是A.15-B.9-C. D 【答案】A绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点()6,3B -- 处取得最小值12315z =--=- .故选A.【考点】线性规划【名师点睛】点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.3.【2017课标3，文5】设x，y满足约束条件3260x yxy+-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y=-的取值范围是（）A．–3,0] B．–3,2] C．0,2] D．0,3] 【答案】B【考点】线性规划【名师点睛】点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.4.【2017北京，文4】若,x y满足3,2,,xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y+的最大值为（A）1 （B）3（C）5 （D）9【答案】D【解析】试题分析：如图，画出可行域，【考点】线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如z ax by =+.求这类目标函数的最值常将函数z ax by=+转化为直线的斜截式：a zy xb b=-+，通过求直线的截距zb的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如()()22z x a y b=-+-；（3）斜率型：形如y bzx a-=-，而本题属于截距形式.5.【2017山东，文3】已知x,y满足约束条件250302x yxy-+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z=x+2y的最大值是A.-3B.-1C.1D.3 【答案】D当其经过直线250x y -+=与2y =的交点(1,2)-时,2z x y =+最大为1223z =-+⨯=,故选D.【考点】线性规划【名师点睛】(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组,则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；当不等式中带等号时,边界为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.(2)利用线性规划求目标函数最值的步骤：①画出约束条件对应的可行域；②将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解对应的点；③将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值．6.【2017浙江，4】若，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z 2+=的取值范围是A ．0，6]B ．0，4]C ．6，)∞+D ．4，)∞+ 【答案】D 【解析】试题分析：如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D ．【考点】 简单线性规划【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0≥++C By Ax 转化为b kx y +≤（或b kx y +≥），“”取下方，“”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．7.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 ▲ . 【答案】30【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8.【2017天津，文13】若a ，b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 .【答案】 【解析】试题分析：44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ，两次等号成立的条件是y22214a b ab ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得：22a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或22a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩当且仅当21a b ==时取等号.【考点】基本不等式求最值【名师点睛】本题使用了两次基本不等式，要注意两次使用的条件是不是能同时成立，基本不等式的常用形式包含()222,a b ab a b R +≥∈，),a b a b R ++≥∈，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，22222a b a b++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭等，基本不等式可以证明不等式，也可以求最值，再求最值时，注意“一正，二定，三相等”的条件，是不是能取得，否则就不能用其求最值，若是使用2次，更要注意两次使用的条件是不是能同时成立. 9.【2017山东，文】若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞ 过点（1,2）,则2a +b 的最小值为 . 【答案】【考点】基本不等式10.【2017天津，文16】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.（I ）用，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （II ）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？【答案】(Ⅰ)见解析（Ⅱ）电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多. 【解析】试题解析：（Ⅰ）解：由已知，,x y 满足的数学关系式为7060600,5530,2,0,0,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩即7660,6,20,0,0,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎪-≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：（Ⅱ）解：设总收视人次为万，则目标函数为6025z x y =+. 考虑6025z x y =+，将它变形为12525z y x =-+，这是斜率为125-，随变化的一族平行直线.25z 为直线在y 轴上的截距，当25z取得最大值时，的值最大.又因为,x y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线6025z x y =+经过可行域上的点M 时，截距25z最大，即最大.解方程组7660,20,x y x y +=⎧⎨-=⎩得点M 的坐标为(6,3).所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多. 【考点】1.不等式组表示的平面区域；2.线性规划的实际问题.【名师点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如z ax by =+.求这类目标函数的最值常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a zy x b b=-+，通过求直线的截距z b的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如()()22z x a y b =-+- ；（3）斜率型：形如y bz x a-=-，而本题属于截距形式，但要注意实际问题中的最优解是整数. 【2016，2015，2014高考题】1. 【2016高考山东文数】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则x 2+y 2的最大值是（ ）（A ）4（B ）9（C ）10（D ）12 【答案】C考点：简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.2.【2015高考广东，文4】若变量，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A．10 B． C． D．【答案】C【解析】作出可行域如图所示：【考点定位】线性规划．【名师点晴】本题主要考查的是线性规划，属于容易题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．3. 【2014高考广东卷.文.4】若变量.y满足约束条件280403x yxy+≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩,则2z x y=+的最大值等于( )A. B. C.10 D.11【答案】C【解析】作出不等式组280403x yxy+≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩所表示的可行域如下图所示,直线4x =交直线28x y +=于点()4,2A ,作直线:2l z x y =+,则为直线在y 轴上的截距,当直线经过可行域上的点A 时,直线在y 轴上的截距最大,此时取最大值,即max 24210z =⨯+=,故选C .【考点定位】本题考查线性规划中线性目标函数的最值,属于中等题.【名师点晴】本题主要考查的是线性规划，属于中等题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误． 4. 【2015高考湖南，文7】若实数,a b满足12a b+=ab 的最小值为( ) A、2 C 、D 、4 【答案】C【考点定位】基本不等式【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．5. 【2015高考湖南，文4】若变量x y ，满足约束条件111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为( )A 、1-B 、0C 、1D 、2 【答案】A 【解析】由约束条111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩作出可行域如图，由图可知，最优解为A ，联立()100,111x y x A y x y +=⎧∴∴⎨-⎧=⎩⎨⎩＝＝ ,∴2z x y =-在点A 处取得最小值为1-．故选：A ．【考点定位】简单的线性规划【名师点睛】求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ax by =+，求这类目标函数的最值常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：1,(0)a y x z b b b =-+≠，通过求直线的截距zb的最值间接求出的最值． (2)距离型：形如22()()z x a y b =-+-. (3)斜率型：形如y bz x a-=-.注意：转化的等价性及几何意义6. 【2014山东.文10】 已知,x y 满足约束条件10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩，当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为（ ）D.2 【答案】B考点：简单线性规划的应用，二次函数的图象和性质.【名师点睛】本题考查简单线性规划、二次函数的图象和性质.此类问题的基本解法是“图表法”，即通过画可行域及直线ax ＋by =0，平移直线ax ＋by =0，观察其在y 轴的纵截距变化情况，得出最优解，得到a,b的关系.要注意y的系数正负不同时，结论恰好相反.本题属于小综合题，由以往单纯考查线性规划问题，转变成此类题，增大了解题的难度，也给人耳目一新的感觉.7. 【2016高考浙江文数】若平面区域30,230,230x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）【答案】B考点：线性规划.【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据可行域的特点确定取得最值的最优解，代入计算．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．8. 【2015高考陕西，文11】某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元.4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元【答案】D当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，取得最大值324318z =⨯+⨯=， 故答案选D 。
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2017年高考数学试题分类汇编--- 不等式1（2017北京文）已知0x ≥¸0y ≥¸且x +y =1¸则22x y +的取值范围是__________．2（2017浙江）已知a ∈R ¸函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1¸4]上的最大值是5¸则a 的取值范围是___________．З（2017新课标Ⅲ文数）[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()f x =│x +1│–│x –2│. （1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x ≥x 2–x +m 的解集非空¸求实数m 的取值范围.4（2017新课标Ⅲ理数）．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空¸求m 的取值范围． 5（2017新课标Ⅱ文）[选修4−5：不等式选讲]（10分） 已知330,0,2a b a b >>+=.证明： （1）55()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤.б（2017新课标Ⅱ理）[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知330,0,2a b a b >>+=．证明： （1）55()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．7（2017新课标Ⅰ文数）[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=–x 2+ax +4¸g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时¸求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1¸1]¸求a 的取值范围. 8（2017新课标Ⅰ理数）设x 、y 、z 为正数¸且235x y z ==¸则Α．2x <Зy <5zΒ．5z <2x <ЗyC ．Зy <5z <2xD ．Зy <2x <5z9（2017新课标Ⅰ理数）．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=–x 2+ax +4¸g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时¸求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1¸1]¸求a 的取值范围.10（2017天津文）若a ¸b ∈R ¸0ab >¸则4441a b ab++的最小值为 .11（2017天津理）若,a b ∈R ¸0ab >¸则4441a b ab++的最小值为___________.12（2017山东文）若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞ 过点（1,2）,则2a +b 的最小值为 .（7）（2017山东理）若0a b >>¸且1ab =¸则下列不等式成立的是 （Α）()21log 2a b a a b b +<<+ （Β）()21log 2a b a b a b<+<+ （C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<1З（2017江苏）某公司一年购买某种货物б00吨¸每次购买x 吨¸运费为б万元/次¸一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小¸则x 的值是 ▲ ．14［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知,,,a b c d 为实数¸且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤15（2017北京理）能够说明―设a ¸b ¸c 是任意实数．若a ＞b ＞c ¸则a +b ＞c ‖是假命题的一组整数a ¸b ¸c 的值依次为______________________________．201б年高考数学试题分类汇编及答案解析--- 不等式1、（201б年山东高考）若变量x ¸y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则x 2+y 2的最大值是（Α）4（Β）9（C ）10（D ）12 【答案】C2、（201б年浙江高考）若平面区域30,230,230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间¸则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ） ΑΒ【答案】ΒЗ、（201б年浙江高考）已知a ¸b >0¸且a ≠1¸b ≠1¸若4log >1b ¸则（ ） Α.(1)(1)0a b --< Β. (1)()0a a b --> C. (1)()0b b a --<D. (1)()0b b a -->【答案】D二、填空题1、（201б年北京高考）函数()(2)1xf x x x =≥-的最大值为_________. 【答案】22、（201б江苏省高考） 已知实数x ¸y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩¸则x 2+y 2的取值范围是▲ . 【答案】4[,13]5З、（201б年上海高考）设x ∈R ¸则不等式31x -<的解集为_______. 【答案】)4,2(4、（201б上海高考）若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩则2x y -的最大值为_______.【答案】2-5、（201б全国I 卷高考）某高科技企业生产产品Α和产品Β需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品Α需要甲材料1.5 kg ¸乙材料1 kg ¸用5个工时；生产一件产品Β需要甲材料0.5 kg ¸乙材料0.З kg ¸用З个工时¸生产一件产品Α的利润为2100元¸生产一件产品Β的利润为900元。
该企业现有甲材料150 kg ¸乙材料90 kg ¸则在不超过б00个工时的条件下¸生产产品Α、产品Β的利润之和的最大值为 元. 【答案】216000б、（201б全国II 卷高考）若x ¸y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩¸则2z x y =-的最小值为__________ 【答案】5-7、（201б全国III 卷高考）若,x y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则235z x y =+-的最大值为_____________. 【答案】10-8、（201б年浙江高考）11、（201б江苏省高考）函数y的定义域是 ▲ . 【答案】[]3,1- 三、解答题1、（201б年天津高考）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料¸需要Α,Β,C 三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有Α种原料200吨¸Β种原料Зб0吨¸C 种原料З00吨¸在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料¸产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料¸产生的利润为З万元.分别用x,y 表示生产甲、乙两种肥料的车皮数. (Ⅰ)用x,y 列出满足生产条件的数学关系式¸并画出相应的平面区域；(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮¸能够产生最大的利润？并求出此最大利润.（Ⅰ）解：由已知y x ,满足的数学关系式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+003001033605820054y x y x y x y x ¸该二元一次不等式组所表示的区域为图1中的阴影部分.(1)（Ⅱ）解：设利润为z 万元¸则目标函数y x z 32+=¸这是斜率为32-¸随z 变化的一族平行直线.3z 为直线在y 轴上的截距¸当3z取最大值时¸z 的值最大.又因为y x ,满足约束条件¸所以由图2可知¸当直线y x z 32+=经过可行域中的点M 时¸截距3z的值最大¸即z 的值最大.解方程组⎩⎨⎧=+=+30010320054y x y x 得点M 的坐标为)24,20(M ¸所以112243202max =⨯+⨯=z .答：生产甲种肥料20车皮¸乙种肥料24车皮时利润最大¸且最大利润为112万元.2015年高考数学试题分类汇编及答案解析--- 不等式1.（15北京理科）若x ¸y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为Α．0 Β．1 C ．32D ．2【答案】D【解析】试题分析：如图¸先画出可行域¸由于2z x y =+¸则1122y x z =-+¸令0Z =¸作直线12y x =-¸在可行域中作平行线¸得最优解(0,1)¸此时直线的截距最大¸Z 取得最小值2.考点：线性规划；2.（15北京文科）如图¸C ∆AB 及其内部的点组成的集合记为D ¸(),x y P 为D 中任意一点¸则23z x y =+的最大值为 ．【答案】7考点：线性规划.З．（15年广东理科）若变量x ¸y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为Α．531 Β. б C. 523 D. 4 【答案】C ．【解析】不等式所表示的可行域如下图所示¸由32z x y =+得322z y x =-+¸依题当目标函数直线l ：322z y x =-+经过41,5A ⎛⎫⎪⎝⎭时¸z 取得最小值即min 42331255z =⨯+⨯=¸故选C 【考点定位】本题考查二元一次不等式的线性规划问题¸属于容易题．4.（15年广东文科）若变量x ¸y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩¸则23z x y =+的最大值为（ ）Α．10 Β．8 C ．5 D ．2 【答案】C考点：线性规划．5.（15年广东文科）不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示） 【答案】()4,1- 【解析】试题分析：由2340x x --+<得：41x -<<¸所以不等式2340x x --+>的解集为()4,1-¸所以答案应填：()4,1-． 考点：一元二次不等式．5.б.（15年安徽文科）已知x ¸y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩¸则z=-2x+y 的最大值是( )（A ）-1 （Β）-2 （C ）-5 （D ）1 【答案】Α 【解析】试题分析：根据题意作出约束条件确定的可行域¸如下图：令y x z +-=2⇒z x y --=2¸可知在图中)1,1(A 处¸y x z +-=2取到最大值-1,故选Α. 考点：简单的线性规划.7.（15年福建理科）若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =- 的最小值等于 ( ) Α．52-Β．2- C ．32- D ．2 【答案】Α 【解析】试题分析：画出可行域¸如图所示¸目标函数变形为2y x z =-¸当z 最小时¸直线2y x z =-的纵截距最大¸故将直线2y x =经过可行域¸尽可能向上移到过点1(1,)2B -时¸z 取到最小值¸最小值为 152(1)22z =⨯--=-¸故选Α． 考点：线性规划．8.（15年福建理科）已知1,,AB AC AB AC t t⊥==¸若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点¸且4AB ACAP AB AC=+¸则PB PC ⋅ 的最大值等于（ ）Α．1З Β．15 C ．19 D ．21 【答案】Α考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式． 9.（15年福建文科）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)¸则a b +的最小值等于（ ） Α．2 Β．З C ．4 D ．5 【答案】C考点：基本不等式．10.（15年福建文科）变量,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩¸若2z x y =-的最大值为2¸则实数m 等于（ ）Α．2- Β．1- C ．1 D ．2【答案】C 【解析】–1试题分析：将目标函数变形为2y x z =-¸当z 取最大值¸则直线纵截距最小¸故当0m ≤时¸不满足题意；当0m >时¸画出可行域¸如图所示¸ 其中22(,)2121mB m m --．显然(0,0)O 不是最优解¸故只能22(,)2121m B m m --是最优解¸代入目标函数得4222121mm m -=--¸解得1m =¸故选C ． 考点：线性规划．11.（15年新课标1理科）若x,y 满足约束条件则yx的最大值为 . 【答案】З【解析】作出可行域如图中阴影部分所示¸由斜率的意义知¸yx是可行域内一点与原点连线的斜率¸由图可知¸点Α（1,З）与原点连线的斜率最大¸故yx的最大值为З.12.（15年新课标2理科）若x ¸y 满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，¸则z x y =+的最大值为____________． 【答案】32xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234DCBO1З.（15年新课标2文科）若x ,y 满足约束条件50210210x y x yx y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z =2x +y 的最大值为 ． 【答案】8考点：线性规划14.（15年陕西理科）设()ln ,0f x x a b =<<¸若p f =¸()2a bq f +=¸1(()())2r f a f b =+¸则下列关系 式中正确的是（ ）Α．q r p =< Β．q r p => C ．p r q =< D ．p r q => 【答案】C考点：1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．15.（15年陕西理科）某企业生产甲、乙两种产品均需用Α¸Β两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示¸如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为З万元、4万元¸则该企业每天可获得最大利润为（ ） Α．12万元 Β．1б万元 C ．17万元 D ．18万元【答案】D 【解析】试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨¸则利润34z x y =+由题意可列32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩¸其表示如图阴影部分区域：当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时¸z 取得最大值¸所以max 324318z =⨯+⨯=¸故选D ．考点：线性规划．1б.（15年陕西文科）某企业生产甲乙两种产品均需用Α¸Β两种原料¸已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示¸如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为З万元、4万元¸则该企业每天可获得最大利润为（ ）Α．12万元Β．1б万元 C ．17万元 D ．18万元【答案】D当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时¸z 取得最大值324318z =⨯+⨯= 故答案选D 考点：线性规划.17.（15年天津理科）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩¸则目标函数6z x y =+的最大值为（Α）З （Β）4 （C ）18 （D ）40 【答案】C考点：线性规划.18.（15年天津文科）设变量,y x 满足约束条件2020280x x y x y ì-?ïï-?íï+-?ïî,则目标函数3y z x =+的最大值为（ ）(Α) 7 (Β) 8 (C) 9 (D)14 【答案】C考点：线性规划19.（15年天津文科）设x R Î,则“12x <<”是“|2|1x -<”的（ ） (Α) 充分而不必要条件 (Β)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】Α 【解析】试题分析：由2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<,可知“12x <<”是“|2|1x -<”的充分而不必要条件,故选Α.考点：1.不等式；2. 充分条件与必要条件.20.（15年天津文科）已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值. 【答案】4 【解析】试题分析：()()()()22222222log log 211log log 2log 2log 164,244a b a b ab +⎛⎫⋅≤===⎪⎝⎭当2a b =时取等号,结合0,0,8,a b ab >>=可得4, 2.a b ==考点：基本不等式.21.（15年湖南理科）执行如图1所示的程序框图¸如果输入3n =¸则输出的S =( ) Α.67 Β.37 C.89 D.491=y 时¸y x z -=3的最小值是7-¸故选Α.考点：线性规划. 22.（15年山东理科）不等式|1||5|2x x ---<的解集是(Α)(,4)-∞ (Β) (,1)-∞ (C) (1,4) (D) (1,5)解析：当1x <时¸1(5)42x x ---=-<成立；当15x ≤<时¸1(5)262x x x ---=-<¸解得4x <¸则14x ≤<；当5x ≥时¸1(5)42x x ---=<不成立.综上4x <¸答案选(Α)2З.（15年山东理科）已知,x y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为4¸则a =(Α)3 (Β) 2 (C) 2- (D)3-解析：由z ax y =+得y ax z =-+¸借助图形可知：当1a -≥¸即1a ≤-时在0x y ==时有最大值0¸不符合题意；当01a ≤-<¸即10a -<≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==¸不满足10a -<≤；当10a -<-≤¸即01a <≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==¸不满足01a <≤；当1a -<-¸即1a >时在2,0x y ==时有最大值24,2a a ==¸满足1a >；答案选(Β) 24.（15年江苏）不等式224x x-<的解集为________.【答案】(1,2).- 【解析】试题分析：由题意得：2212x x x -<⇒-<<¸解集为(1,2).- 考点：解指数不等式与一元二次不等式2014年高考数学试题分类汇编--- 不等式一、选择题1.（2014陕西文1）设集合{}{}2|0|1M x x x N x x x =∈=<∈R R ≥，，，¸则M N = （ ）. Α.[]0,1 Β.()0,1 C.(]0,1 D. [)0,12.（2014四川文1）已知集合()(){}120A x x x =+-…¸集合B 为整数集¸则A B =（ ）.Α.{}1,0- Β.{}0,1 C.{}2,1,0,1-- D.{}1,0,1,2-З.（2014大纲文З）不等式组(2)0||1x x x +>⎧⎨<⎩的解集为（ ）.Α．{|21}x x -<<- Β．{|10}x x -<< C ．{|01}x x << D ．{|1}x x > 4.（2014江西文2）设全集为R ¸集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤¸则()A C B =R ( )Α.(3,0)- Β.(3,1)-- C.(3,1]-- D.(3,3)- 5.（2014辽宁文З）已知132a -=¸21log 3b =¸121log 3c =¸则（ ） Α．a b c >> Β．a c b >> C ．c b a >> D ．c a b >>б.（2014山东文2）设集合{}{}220,14A x x x B x x =-<=剟¸则A B = （ ）. Α. (]0,2Β. ()1,2C. [)1,2D. ()1,47. （2014山东文5）已知实数,x y 满足()01xya a a <<<¸则下列关系式恒成立的是（ ）. Α. 33x y >Β. sin sin x y >C. ()()22ln 1ln 1x y +>+D.221111x y >++ 8.（2014四川文5）若0a b >>¸0c d <<¸则一定有（ ）.Α.a b d c > Β.a b d c < C.a b c d > D.a b c d< 9.（2014天津文4）设2212log π,log π,π,a b c -===则（ ）.A.c b a >> Β.c a b >> C.b c a >> D.a b c >>10.（2014天津文2）设变量,x y 满足约束条件20201x y x y y +-⎧⎪--⎨⎪⎩………¸则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）.A.2 Β. 3 C. 4 D. 511.（2014福建文11）已知圆()()22:1C x a y b -+-=¸平面区域70,30,0.x y x y y Ω+-⎧⎪=-+⎨⎪⎩≤≥≥¸若圆心C Ω∈¸且圆C 与x 轴相切¸则22a b +的最大值为（ ） Α.5 Β.29 C.37 D. 4912.（2014广东文4）若变量,x y 满足约束条件280403x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩…剟剟¸则2z x y =+的最大值等于（ ）. Α. 7 Β. 8 C. 10 D. 111З.（2014四川文б）执行如图所示的程序框图¸如果输入的,x y ∈R ¸那么输出的S 的最大值为（ ）.Α.0 Β.1 C.2 D.3结束输出S S 输入x ，y开始14.（2014重庆文9）若42log 34log a b a b +=+（）的最小值是（ ）. A.326+ Β.327+ C.346+ D.347+15. （2014辽宁文10）已知()f x 为偶函数¸当0x ≥时¸1cos ,0,2()121,,2x x f x x x ⎧⎡⎤π∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪-∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩¸则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ）Α．1247,,4334⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Β．3112,,4343⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．1347,,3434⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．3113,,4334⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1б.（2014辽宁文12）当[2,1]x ∈-时¸不等式32430ax x x -++≥恒成立¸则实数a 的取值范围是（ ）Α．[]5,3-- Β．96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]6,2--D ．[]4,3-- 17.（2014湖北文4）若变量,x y 满足约束条件4200x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩，，，，……厖 错误！未找到引用源。