陕西省西安铁一中2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)

2020学年度第一学期期中质量检测

高一数学试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）

1．集合{0,2,}A a =，2{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B =U ，则a 的值为（ ）．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．4

【答案】D

【解析】集合{0,2,}A a =，2{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B =U ， 可得4a =． 故选D ．

2．设集合A 与集合B 嗾使自然数集N ，映射:f A B →把集合A 中的元素n 映射到集合B 中为元素2n n +，则在映射f 下，像20的原像是（ ）．

A ．2

B ．3

C ．4

D ．4或5-

【答案】C

【解析】由220n n +=求n ，用代入验证法可知4n =． 故选C ．

3．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)

()1

f x

g x x =-的定义域是（ ）．

A ．[0,1]

B ．[0,1)

C ．[0,1)(1,4]U

D ．(0,1)

【答案】B

【解析】∵函数()f x 的定义域是[0,2]， ∴函数(2)f x 的定义域是[0,1]． ∵函数(2)

()1

f x

g x x =

-，∴1x ≠， 综上01x <≤． 故选B ．

4．已知2()(1)33f x m x mx =-++为偶函数，则()f x 在区间(4,2)-上为（ ）．

A ．增函数

B ．减函数

C ．先递增再递减

D ．先递减再递增

【答案】C

【解析】因为2()(1)33f x m x mx =-++为偶函数，所以()()f x f x -=， 所以2(1)33(1)23m x mx m x mx 2--+=-++， 即30m =，所以0m =， 即2()3f x x =-+， 由二次函数的性质可知，

2()3f x x =-+在区间(4,0)-上单调递增，在(0,2)递减．

故选C ．

5．三个数20.3a =，2log 0.3b =，0.32c =之间的大小关系是（ ）．

A ．a c b <<

B ．a b c <<

C ．b a c <<

D ．b c a <<

【答案】C

【解析】由对数函数的性质可知：2log 0.30b =<， 由指数函数的性质可知：01a <<，1c >， ∴b a c <<． 故选C ．

6．函数3()f x x x =+的图像关于（ ）．

A ．y 轴对称

B ．直线y x =-对称

C ．坐标原点对称

D ．直线y x =对称

【答案】C 【解析】

7．已知01a <<，则方程|||log |x x

a a =的实根个数是（ ）．

A ．2

B ．3

C ．4

D ．与a 值有关

【答案】A

【解析】作出||x y a =和|log |a y x =的函数图象如图所示：

由图象可知两函数图象有两个交点，故方程|||log |x a a x =的有两个根． 故选A ．

8．在下列四个图中，二次函数2

y ax bx =+与指数函数x

b y a ??

= ???

的图像只可能为（ ）．

A

．

B

．

C

．

D

．

【答案】C 【解析】

9．设25a b m ==，且11

2a b

+=，则m 等于（ ）．

A

B ．10

C ．20

D ．100

【答案】A 【解析】

11

log 2log 5log 102m m m a b

+=+==， ∴210m =， 又∵0m >，

∴m 故选A ．

10．已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x

-+??

=?>??≤是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）．

A ．(0,3)

B ．(0,3]

C ．(0,2)

D ．(0,2]

【答案】D

【解析】因为()f x 为R 上的减函数， 所以1x ≤时，()f x 递减，即30a -<，①

1x >时，()f x 递减，即0a >，②

且2(3)151

a

a -?+≥

，③ 联立①②③解得，02a <≤． 故选D ．

11．方程3log 30x x +-=的解所在的区间是（ ）．

A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ．(2,3)

D ．(3,4)

【答案】C 【解析】

12．某购物网站在2016年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，它最多需要下的订单张数为（ ）．

A ． 1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C

【解析】∵原价是：48422016?=（元），

20160.61209.6?=（元）．

∵每张订单金额（6折后）满300元时可减免100，

∴若分成10，10，11，11， 由于4810480?=，4800.6288?=， 达不到满300元时可减免100， ∴应分成9，11，11，11． ∴只能减免3次．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．函数2(2)2x f x x =-，则(1)f =__________． 【答案】0 【解析】

14．log (23)a y x =-恒过定点P ，P 在幂函数()f x 图像上，(9)f =__________． 【答案】1

3

【解析】

15．若一次函数()f x ax b =+有一个零点2，那么2()g x bx ax =-的零点是__________．

【答案】0或1

2

-

【解析】由题意可得2b a =-得0a ≠，由()2g x =-，

20ax ax -=，得0x =或1

2

x =-．

16．已知()f x 是定义在[2,0)(0,2]-U 上的奇函数，当0x >时，()f x 的图象如图所示，那么()f x 的值域是__________．

【答案】

【解析】由图象可得：当(0,2]x ∈时， ()(2,3]f x ∈．

又∵()f x 是定义在[2,0)(0,2]-U 上奇函数， 故当[2,0)x ∈-时，()[3,2)f x ∈--． 故()f x 的值域是[3,2)(2,3]--U ．

三、解答题（本大题共6个小题，共52分）

17．（本题8分）某质点在30s 内运动速度v 是时间t 的函数，它的图象如图，解析法表示出这个函数，并求出9s 时质点的速度．

【答案】

【解析】（1）根据折线为直线，可设v kt b =+，图中点的坐标： (0,10)，(5,15)，(20,30)，(25,0)，

代入解析式得：

当05t <<时，10v t =+， 当510t <≤时，3v t =，

当1020t <≤时，30v =， 当2025t ≤≤时，6150v t =-+， 所以：10,053,510()30,10206150,2025

t t t t v t t t t <

=?

9s 时速度为27cm/s ．

18．（本题8分）

已知函数()f x A ，函数2

2()31m x x g x --=-的值域为集合B ，

且A B B =U ，求实数m 的取值范围． 【答案】

【解析】12

10log (1)0x x ->??

?-??≥，得12x <≤，

即(1,2]A =，

又2

2

2(1)1()3131m x x x m g x ---=-=-+++， 即1(0,31]m B =-+． ∵A B B =U ，∴A B ?， ∴1312m -≥+解得0m ≥， ∴m 的取值范围为[0,)∞+．

19．（本题8分）是否存在实数a ，使函数221x x y a a =+-（0a >且1a ≠）在[1,1]-上的最大值是14？ 【答案】

【解析】设x t a =，则22()21(1)2y f t t t t ==-=-++， 当1a >时，10a t a -<≤≤，此时2max 21y a a =-+， 由题设22114a a -=+得3a =或5a =-， 由1a >，知3a =；

当01a <<时，1[,]t a a -∈，此时21max (1)21y a a -=--+．

由题设212114a a ---=+得13a =或1

5a =-，

由01a <<，知1

3

a =，

故所求的a 的值为3或1

3

．

20．（本题8分）设U =R ，集合2{320}A x x x =++=，2

{(1)0}B x x m x m =+++=．若()u A B =?I e，

试求实数m 的值． 【答案】

【解析】∵()u A B =?I e， ∴B A ?．

根据题意2

{320}A x x x ==++，则A 的子集有?，{1}，{2}，{1,2}，

若B =?，即2(1)0x m x m =+++无解， 而22(1)4(1)0m m m -=-≥+，

即2(1)0x m x m =+++必有解，则B =?不成立．

若{1}B =，2(1)0x m x m =+++有两个相等的实根1，则有12m =+，1m =，解可得1m =． 若{2}B =，2(1)0x m x m =+++有两个相等的实根2，则有14m =+，2m =无解． 若{1,2}B =，2(1)0x m x m =+++有两个实根1或2，则有13m =+，2m =，解可得2m =． 综合可得：1m =或2m =．

21．（本题10分）已知定义域为R 的函数12()2x x b

f x a

+-+=+是奇函数．

（1）求a ，b 的值．

（2）若对任意的t ∈R ，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围． 【答案】

【解析】（1）因为()f x 为R 上的奇函数，

所以(0)0f =，即

102b

a

-=++，解得1b =， 由(1)(1)f f -=-，得1022121

22a a

---=-++++，解得2a =， 所以2a =，1b =．

（2）因为()f x 为奇函数，

所以22(2)(2)0f t t f t k --<+可化为222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<-=-． 又由（1）知()f x 为减函数，

所以2222t t k t ->-，即232t t k ->恒成立， 而2

2

11

132333

3t t t ??-=--- ???≥，

所以1

3

k <-．

22．（本题10分）设函数1

()1

ax f x x -=

+，其中a ∈R ． （1）若1a =，()f x 的定义域为区间[0,3]，求()f x 的最大值和最小值．

（2）若()f x 的定义域为区间(0,)+∞，求a 的取值范围，使()f x 在定义域内是单调减函数． 【答案】 【解析】1

()1

ax f x x -=

+ (1)1

1a x a x --=

++

1

1

a a x =-

++． 设1x ，2x ∈R ， 则122111

()()11

a a f x f x x x -=

-++++ 1212(1)()

(1)(1)

a x x x x -=

+++．

（1）当1a =时，2

()11

f x x =-

+，设1203x x <≤≤， 则1212122()

()()(1)(1)

x x f x f x x x --=

++．

又120x x -<，110x >+，210x >+， ∴12()()0f x f x -<，∴12()()f x f x <． ∴()f x 在[0,3]上是增函数， ∴max 21

()(3)142

f x f ==-

=，min ()(0)f x f =． （2）设120x x >>，则120x x ->，110x >+，210x >+． 若使()f x 在(0,)∞+上是减函数，只要12()()0f x f x -<，而 121212(1)()

()()(1)(1)

a x x f x f x x x --=

+++，

∴当10a <+，即1a <-时，有

12()()0f x f x -<， ∴12()()f x f x <．

∴当1a <-时，()f x 在定义域(0,)∞+内是单调减函数．