运筹学课程设计

《管理运筹学》

课

程

设

计

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二○一○年一二月

运筹学与系统分析课程设计

摘要：通过图论的方法建立数学模型，求解纯净水公司分销点决策问题，最终求解得到选址在V9更合适

关键词：最短路，最大流，最小费用最大流, MATLAB，Excle软件的运用

案例六

纯净水公司分销点决策问题

某纯净水公司除总部外（v1）已在老城区建立了6个分销点（v2，v 3，v4，v5，v6，v7）。现城区拓展，政府已规划建立一个新区。公司决定建立一个新的分销点，可供选择的地点有两个（v8，v 9）。

对于公司而言，市场销量的增加意味着利润的增长。请为纯净水公司建立数学模型，拟定一个投资决策，使纯净水从总部出发，到达新区的运输量最大？并做相关分析。

一．假设将分销点建立在v8位置上

一共有15条弧，每条弧相关的括号中，第一个数据表示该条弧的容量，第二个数据表示该条弧的流量，最大流必须满足下述条件的限制：

（1）.可行性条件

Xi≥0,i=1,2,…15,

X1≤5,X2≤7,X3≤6,X4≤7,X5≤3,X6≤8,X7≤5,X8≤8,X9≤5,X10≤6, X11≤6,X12≤5,X13≤0,X14≤7,X15≤0.

（2）.始点V1和终点V8容量要求

X1+X2≤12，X12+X14 ≤12

（3）.流量平衡要求

总流入量和总流出量相同

X1+X2-X12-X14=0

内节点流入量和流出量相同

V2: X1 -X3 -X4=0

V3: X2 -X5 -X6=0

V4: X3 +X5 -X7 -X8=0

V5: X4 +X6 -X9 -X10=0V6: X7 +X9 -X12- X13 -X14=0

V7: X8 +X10 +X11 -X12 -X15=0

因此我们可以构建下求解最大流的线性规划模型：

Max z=X1+X2

ST: X1 -X3 -X4=0,

X2 -X5 -X6=0,

X3 +X5 -X7 -X8=0,

X4 +X6 -X9 -X10=0,X7 +X9 -X12- X13 -X14=0,

X8 +X10 +X11 -X12 -X15=0,

X1+X2≤12,

X12+X14 ≤12,

X1≤5,X2≤7,X3≤6,X4≤7,X5≤3, X6≤8,X7≤5,X8≤8,X9≤5,X10≤6, X11≤6,X12≤5,X13≤0,X14≤7,X15≤0.

Xi≥0,i=1,2,…15.

将上述模型转变成为MA TLAB形式的数学模型，得

Min z’= - X1 - X2

ST: X1 -X3 -X4=0,

X2 -X5 -X6=0,

X3 +X5 -X7 -X8=0,

X4 +X6 -X9 -X10=0,X7 +X9 -X12- X13 -X14=0,

X8 +X10 +X11 -X12 -X15=0,

X1+X2-X12-X14=0,

X1+X2≤12,

X12+X14 ≤12,

X1≤5,X2≤7,X3≤6,X4≤7,X5≤3, X6≤8,X7≤5,X8≤8,X9≤5,X10≤6, X11≤6,X12≤5,X13≤0,X14≤7,X15≤0.

Xi≥0,i=1,2,…15.

将上述文件模型存放在文件名为“3-1”的Excel文件中，在MA TLAB中调入上述数据，并使用命令：

[x,fval]=linprog(c,A,b,[ ],[ ],lb,ub)

得到结果为：

x =

5.0000

7.0000

3.5306

2.1913

2.2651

5.3708

3.8334

2.5886

4.3823

3.5356

0.4234

3.8905

6.8021

fval = -12.0000

二．假设将分销点建立在v9位置上

一共有15条弧，每条弧相关的括号中，第一个数据表示该条弧的容量，第二个数据表示该条弧的流量，最大流必须满足下述条件的限制：

（1）.可行性条件

Xi≥0,i=1,2,…15,

X1≤5,X2≤7,X3≤6,X4≤7,X5≤3,X6≤8,X7≤5,X8≤8,X9≤5,X10≤6, X11≤6,X12≤0,X13≤8,X14≤0,X15≤7.

（2）.始点V1和终点V9容量要求

X1+X2≤12，X13+X15≤15

（3）.流量平衡要求

总流入量和总流出量相同

X1+X2-X13-X15=0

内节点流入量和流出量相同

V2: X1 -X3 -X4=0

V3: X2 -X5 -X6=0

V5: X4 +X6 -X9 -X10=0V6: X7 +X9 -X12- X13 -X14=0

V7: X8 +X10 +X11 -X12 -X15=0

因此我们可以构建下求解最大流的线性规划模型：

Max z=X1+X2

ST: X1 -X3 -X4=0,

X2 -X5 -X6=0,

X3 +X5 -X7 -X8=0,

X4 +X6 -X9 -X10=0,X7 +X9 -X12- X13 -X14=0,

X8 +X10 +X11 -X12 -X15=0,

X1+X2-X13-X15=0,

X1+X2≤12,

X13+X15≤15,

X1≤5,X2≤7,X3≤6,X4≤7,X5≤3, X6≤8,X7≤5,X8≤8,X9≤5,X10≤6, X11≤6,X12≤0,X13≤8,X14≤0,X15≤7.

Xi≥0,i=1,2,…15.

将上述模型转变成为MA TLAB形式的数学模型，得

Min z’= - X1 - X2

ST: X1 -X3 -X4=0,

X2 -X5 -X6=0,

X3 +X5 -X7 -X8=0,

X4 +X6 -X9 -X10=0,X7 +X9 -X12- X13 -X14=0,

X8 +X10 +X11 -X12 -X15=0,

X1+X2-X13-X15=0,

X1+X2≤12,

X13+X15≤15,

X1≤5,X2≤7,X3≤6,X4≤7,X5≤3, X6≤8,X7≤5,X8≤8,X9≤5,X10≤6, X11≤6,X12≤0,X13≤8,X14≤0,X15≤7.

Xi≥0,i=1,2,…15.

将上述文件模型存放在文件名为“3-2”的Excel文件中，在MA TLAB中调入上述数据，并使用命令：

[x,fval]=linprog(c,A,b,[ ],[ ],lb,ub)

得到结果为：

x =

5.0000

7.0000

3.2712

2.0227

2.1424

5.2577

3.0885

2.6904

3.9553

3.5801

0.1997

7.6381

6.7872

fval = -12.0000

综上可得：

若选址在v8位置，最大运输量为12

若选址在v9位置，最大运输量为12

结论

最大流原则下，选址在V8或V9对运输量没有影响