磁场：安培力(上)教材

1.电生磁的判定，“比萨”定律。

2.安培力

3.磁力矩

本讲例题不多，请大家把注意多集中在知识的理解与应用方法的总结上。

1） 引入

人类很早就分别认识到电现象与磁现象，但是把这两个看起来毫不相干的现象联系起来是近代物理发展起来后的事情。从奥斯特发现电流磁现象开始，人类用了近100年进入了电气化的时代，我们现代社会绝大部分的应用科技都与电磁学的发现有关。学习电磁学，虽然数学用的很深很多让初学的同学倍感不适应，但是求知欲会驱动着我们去克服这些不适应。电磁学的高度应用化可以让我们同学深刻体会到学习的乐趣与满足感，当然首先是需要我们去开动脑筋思考物理原理的内涵与应用关键。

一．毕奥－萨伐尔定律

1.磁现象：天然磁石或永久磁铁都有吸引铁、钴、镍等物质的磁性，这个性质称为磁性。磁铁上磁性特别强的两端，称为磁极，中间没有磁性的区域叫中性区。

磁极有自动指南指北的性质。指北的一极称为北极，用N 表示；指南的一极称为南极，用S 表示。磁体之间存在相互作用，同名磁极相斥，异名磁极相吸，此作用称为磁力

2.磁现象的本质： 1820年丹麦物理学家奥斯特发现电流的磁效应后，人们才逐渐认识到电现象与此现象的内在联系。

1822年安培提出分子电流的假说，他认为一切磁现象起源于电流，磁性物质的分子中，存在环形电流，成为分子电流。当分子电流在一定程度上规则排列时，物质便显示出磁性。安培分子电流的假说从物质的微观结构上揭示了物质的磁性。实际上，分子电流相当于分子中电子绕原子核的转动和电子本身的自旋运动。这样，磁铁与磁铁、电流与电流、磁铁与电流间的相互作用都可归结为运动电荷（或电流）间的相互作用。 3.毕奥－萨伐尔定律 1820年10月30日（在距奥斯特报道电流磁效应不到三个月），法国的毕奥和萨伐尔在法国科学院发表文章，从实验中分析了电流和磁效应之间的关系。如图所示，小磁针转动强弱反应该点磁感应强度的大小。 实验发现：

第1讲 磁场与磁力

本讲导学

知识点睛

1.a 大，B 小，a B /1∝（反比于距离）

2.I 大，B

大，I B ∝ （正比于电流）

结论：a

I k

B ＝ 不久，拉普拉斯假定，电流由电流元l Id

组成：

●

l Id 产生的磁感应强度B d

与I 成正比；

● 磁感应强度B d

的大小与电流元l Id 的表观长度θsin dl 成正比；

● 磁感应强度B d

的大小与r 的平方成反比。

在实验上基础上经科学抽象得到：在载流导线上取电流元l Id

，空间任一点P ，该点的磁感应强度为B d ，l Id 与矢径r

的夹角为θ，实验表明，真空中

2

sin r Idl k

dB θ

= k=μ0/4π，其中μ0=4π×10-7N·A -2为真空磁导率。故 2

0s i n 4r

I d l dB θ

πμ=

B d

的方向：即r l Id ?的方向(右手螺旋法则确定),写成矢量形式为 3

04r r l Id B d

?=πμ

电流元所产生的磁感强度

【总结】在计算任意带电体在空间某点的电场强度时，可把带电体分成无限多个电荷元，先求出每个电荷元在该点产生的电场强度，再按场强叠加原理就可以计算出带电体再该点产生的电场强度。对于稳恒电流产生磁场的计算问题，可把稳恒电流分成无限多个电流元，先求出每个电流元在该点产生的磁感应强度，再按场强叠加原理就可以计算出带电体再该点产生的磁感应强度。 附录：运动电荷激发的磁场

运动的电荷也是一个等效电流，类似的，其激发的磁场为

3

04r r

v q B ?=πμ

二．磁感线 磁通量

在静电场中，我们曾用电场线直观形象地描绘静电场中各处E

的分布，同样在磁场中，也可以引入一些假象的曲线来描绘磁场中各处B

的分布，这些曲线称为磁感线。为使磁感线能形象地反映出B

的大小和方向，特规定：（1）磁感线上任一点的切线方向与该点的磁感强度方向一致；（2）通过磁场中某点处磁感线疏密程度等与该点处磁感强度B

的大小。下图分别为几种不同形状的电流周

围磁场的磁感线。

几种形状的电流的磁感线

磁感线具有如下特点：（1）磁场中任意两条磁感线不相交，这是因为磁场中每一点的磁感强度都具有唯一确定的方向；（2）每一条磁感线都是闭合的，没有起点和终点。（3）磁感线的疏密表示

磁感强度B 的大小，磁感线密处，磁感强度B 大；稀疏处，磁感强度B

小。

磁通量

与电通量相似，引入磁通量的概念，通过磁场中给定面的磁感线的总条数，称为通过该面的磁通量，简称磁通。通常用Φ表示。

如图（7—6）所示，S 为非匀强磁场中某一曲面，在S 上任取一面元dS ，此面元所在处的磁感强度B

与面元的法向n e

之间的夹角为θ，根据磁通量的定义，通过面元dS 的磁通量为：

S d B BdS d

?=?=Φθcos

则通过有限面积S 的磁通量为

???=Φ=ΦS

S

S d B d

在SI 中，磁通量的单位为韦（伯），符号为Wb 。

任意曲面的磁通量

三．高斯定理 安培环路定理

1.磁场的高斯定理:穿过任何闭合曲面的磁通量为零。

?=?S

S d B 0

。

这个定理表明：闭合曲面S 的磁通量为零，自然界中不存在自由磁荷（磁单极）。因稳恒电流本身是闭合的（

?

=?S

S d j 0

）

，故闭合电流与闭合B 线相互套链。高斯定理也表明，磁力线是无头无尾的闭合线，磁场是无源场。

高斯定理可从毕奥－萨伐尔定律严格证明， (1) 首先考虑单个电流元l Id

之场中

以l Id 为轴线取一磁力线元管，其上磁场2

04sin r Idl dB πθ

μ=处处相等；再取任意闭曲面S ，若S 与

之交链，则一进一出，0=Φm d ；若S 与之不交链，仍0=Φm d ；再展扩至整体S 面上，得0=Φm 。 (2) B 然后再考虑任意回路之总场是各电流元之场的叠加，因l Id

是任一电流元，故对整体考虑，其结论不变

2.安培环路定理

取积分回路L （称之为安培环路）沿B 线，因B 线闭合，且B

与l d 的夹角为零，而有

∑?=?)

(0内L L

I l d B μ

，

其中右侧为穿过闭路L 的电流之代数和，按右手定则规定，参见下图：

I

I

L （正）

L （负） 右手定则 → →

θ

d n ds s

=

Id l

θ r

d B

闭面S

4、定理证明：该定理可由毕奥－萨伐尔定律证明，下面先看l d B ?，再计算??L

l d B

，最后再

用叠加原理。

如图，L －安培环路，L '－载流回路，作一负l d

位移后成L ''。

(1) 计算l d B

?

∵?

'

?'=

L r

r l d I B 2

04 π

μ

∴l d r r

l d I l d B L

??'=

??')?(42

0πμ ＝?'

?'-?L r

r l d l d I

20

?)(4

π

μ 如图s d l d l d

=-?)(，则

Ω-=-?-=?=?-?'d r r s d r r s d r r l d l d 2

22)

()(

为对P 点所张元立体角，从而

Ω-

=Ω-=??

'

π

μπ

μ4400

I

d I l d B L Ω代表L '回路作位移l d

-所扫过带状面S 对P 点所张立体角。

S ″

L ″(后) S S ′

L ′（前）

I 载流回路L ′

r

P

d l

积分回路L

位移-d l

-r ? d s

-d l

(2) 再用叠加原理

以上为单回路L '，若多载流回路，则从叠加原理知，每一回路均有上述结论，进而有一般式：

?

∑=?L

L I l d B )

(0内μ

以上是比较严密的证明，看得眼晕的同学也可以直接由无穷长直导线周围磁场得出结论，再定

性拓展到一般情况。

环路定理方便计算一条线上磁场处处相等的情况，与静电场中的高斯定理使用方法类似。

【例1】 图所示，两互相靠近且垂直的长直导线，分别通有电流强度1I 和2I 的电流，试确定磁场为

零的区域。

【例2】 下面我们运用毕——萨定律，来求一个半径为R ，载电流为I 的圆电流轴线上，距圆心O

为χ的一点的磁感应强度

【例3】 如图所示，将均匀细导线做成的圆环上任意两点A 和B 与固定电源连接起来，计算由环

上电流引起的环中心的磁感强度。

例题精讲

A I

B I

O

x y Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ

【例4】 利用环路定理计算：

1）无穷宽导电板周围的磁场，已知垂直电流方向上，导体板内单位长度电流强度为I 0（电磁炮内部磁场）。

2）无穷长线排周围磁场，单位长度导线数为n ，每根导线内电流为I 0。 3）无穷匝线圈内部磁场强度，已知单位长度上匝数为n ，没匝电流为I 0。

4）一半径为R 的长圆柱导线内均匀分布电流I ，计算内部的磁场（不考虑导线的磁介质影响）

【总结】磁场的思维比电场麻烦，原因是磁场是空间问题，想象起来复杂一点，不过适应了也就好了。

二．安培力

对直导体，矢量式为 F

=B L I ?；或表达为大小关系式 F = BILsinθ再结合“左手定则”解决方

向问题（θ为B 与L 的夹角）。

弯曲导线的有效长度L ，等于两端点所连线段的长度；相应的电流方向，沿L 由始端流向末端．因为任意形状的闭合线圈，其有效长度0L =，所以闭合通电线圈在匀强磁场中，受到安培力的矢量和一定为零．

如图所示，甲、乙、丙三段导线的形状和长度不等，但两端点a b 、之间的有效直线距离相等，当通以相同的电流时，在同样的磁场中安培力大小相等，而丁图中导线圈闭合，则其安培力合力为零．

公式的适用条件：一般只适用于匀强磁场．一般的磁场取电

流源做积分即可。

知识点睛

三．安培力矩

如右图，很容易推导，放于匀强磁场中单匝矩形线圈的安培力力矩为θ=sin BIS M （注意θ为磁场与线圈法线的夹角）

我们称面积很小的载流线圈为磁偶极子，用磁偶极矩m P 来描绘它。其磁偶极矩的大小为平面线圈的面积与所载电流的电流强度之乘积，即IS P m =，其方向满足右手螺旋法则，即伸出右手，四指绕电流流动方向旋转，大拇指所指方向即为磁偶极矩的方向，如图中n 的方向，则θ角即为磁偶极矩m P 与磁感应强度B 的正方向的夹

角。这样，线圈所受力矩可表为

θ=sin B P M m

我们从矩形线圈推出的公式对置于均匀磁场中的任意形状的平面线圈都适合。 注意电流表表头内部磁场如图

所以线圈面一直是和磁场平行的力矩,其磁力矩 M=nBIS （n 为匝数）

【例5】 下图中，无限长竖直向上的导线中通有恒定电流0I ，已知由0I 产生磁场的公式是

r I k

B 0

=，k 为恒量，r 是场点到0I 导线的距离。边长为2L 的正方形线圈轴线O O '与0I 导线

平行。某时刻线圈的ab 边与0I 导线相距2L 。已知线圈中通有电流I 。求此时刻线圈所受的磁场力矩。

1

L 2

L a

d

c

I

I

n

ab f cd

f b

B

θ

I 0 2L

O O '

I

a

b c

d

2L

【例6】 质量分布均匀的细圆环，半径为R ，总质量为m ，让其均匀带正电，总电量为q ，处在

垂直环面的磁感强度为B 的匀强磁场中。令圆环绕着垂直环面并过圆心的轴转动，且角速度为ω ，转动方向和磁场方向如图所示。求因环的旋转引起的环的张力的增加量。

【例7】 一根截面积为2mm 2 、密度为2.7×103kg/m 3的均质铝线，被弯曲成型三边等长U 形状，并

可绕水平轴OO′转动，整体处在竖直方向的匀强磁场中。当导体通以4A 的电流时，框绕轴发生转动，并最终停在偏离竖直面θ = 30°的位置，则匀强磁场的磁感强度大小为多少？

【例8】 相距为1m L =的平行金属导轨放在高0.8m h =的水平桌面上，

一根质量为3g m =的金属棒ab 垂直地跨在导轨上，匀强磁场的磁

感应强度0.1T B =竖直向上，如图所示，当S 接通时，金属棒因受到磁场力的作用而被水平抛出，落地点与抛出点之间的水平距离2m s =，求S 接通后，通过金属棒的总电荷量．（取

210m /s g =）

【例9】 距地面h 高处1水平放置距离为L 的两条光滑金属导轨，跟导轨正交的水平方向的线路上

依次有电动势为ε的电池，电容为C 的电容器及质量为m 的金属杆，如图，单刀双掷开关S 先接触头1，再扳过接触头2，由于空间有竖直向下的强度为B 的匀强磁场，使得金属杆水平向右飞出做平抛运动。测得其水平射程为s ，问电容器最终的带电量是多少？

S

εm

C

L

B

h

s

12

你知道么？

超导体

在温度和磁场都小于一定数值的条件下，许多导电材料的电阻和体内磁感应强度都突然变为零的性质。具有超导性的物体叫做“超导体”。1911年荷兰物理学家卡曼林-昂尼斯（1853～1926年）首先发现汞在4.173K以下失去电阻的现象，并初次称之为“超导性”。现已知道，许多金属（如锡、铝、铅、钽、铌等）、合金（如铌—锆、铌—钛等）和化合物（如Nb3Sn、Nb3Al等）都是可具有超导性的材料。物体从正常态过渡到超导态是一种相变，发生相变时的温度称为此超导体的“转变温度”（或“临界温度”）。现有的材料仅在很低的温度环境下才具有超导性，其中以Nb3Ge薄膜的转变温度最高（23.2K）。1933年迈斯纳和奥森费耳德又共同发现金属处在超导态时其体内磁感应强度为零，即能把原来在其体内的磁场排挤出去；这个现象称之为迈斯纳效应。当磁场达到一定强度时，超导性就将破坏，这个磁场限值称为“临界磁场”。目前所发现的超导体有两类。第一类只有一个临界磁场（约几百高斯）；第二类超导体有下临界磁场Hc1和上临界磁场Hc2。当外磁场达到Hc1时，第二类超导体内出现正常态和超导态相互混合的状态，只有当磁场增大到Hc2时，其体内的混合状态消失而转化为正常导体。现在已制备上临界磁场很高的超导材料（如Nb3Sn的Hc2达22特斯拉，Nb3Al0.75Ge0.25的Hc2达30特斯拉），用以制造产生强磁场的超导磁体。超导体的应用目前正逐步发展为先进技术，用在加速器、发电机、电缆、贮能器和交通运输设备直到计算机方面。1962年发现了超导隧道效应即约瑟夫逊效应，并已用于制造高精度的磁强计、电压标准、微波探测器等。近两年来，中国、美国、日本在提高超导材料的转变温度上都取得了很大的进展。1987年研制出YBaCuO体材料转变温度达到90～100K，零电阻温度达78K，也就是说过去必须在昂贵的液氦温度下才能获得超导性，而现在已能在廉价的液氮温度下获得。1988年又研制出CaSrBiCuO体和CaSrTlCuO体，使转变温度提高到114～115K。近两三年来，超导方面的工作正在突飞猛进。

学习效果反馈：

代课教师：

通过今天学习，你觉得：

1.本讲讲义内容设置：

A．太难太多，吃不透

B．难度稍大，个别问题需要下去继续思考

C．稍易，较轻松

D．太容易，来点给力的

2.本节课老师讲解你明白了：

A .40%以下

B .40%到80%

C .80%以上但不全懂

D .自以为都懂了

3．有什么东西希望老师下节课再复习一下么？（可填题号，知识点，或者填无）