简单曲线的极坐标方程练习题有答案

简单曲线的极坐标方程
1.在极坐标系中，求出满足下列条件的圆的极坐标方程
圆心位置极坐标方程图形
圆心在极点
(0，0)

半径为
r

ρ＝r

(0≤θ<2π)

圆心在点
(r，0)

半径为
r

ρ＝2rcos_θ

(－π2≤θ<π2)

圆心在点
(r，π2)

半径为
r

ρ＝2rsin_θ

(0≤θ<π)

圆心在点
ρ＝－2rcos_θ

(r，π)
半径为
r
(π2≤θ<3π2)

圆心在点
(r，3π2)

半径为
r

ρ＝－2rsin_θ

(－π<θ≤0)

圆心C(ρ0，
θ
0
)，半径为

ρ2－2ρ0ρcos(θ
－

θ0)＋ρ20－r
2
＝0.

2.在极坐标系中，求出满足下列条件的直线的极坐标方程
3.将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程
①x＋y＝0；②x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)．
(2)将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；并判定曲
线形状：

①ρcos θ＝2；②ρ＝2cos θ；③ρ2cos 2θ＝2；④
ρ
＝11－cos θ.

[思路点拨] (1)先把公式x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入
曲线(含直线)的直角坐标方程，再化简．

(2)先利用公式ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2代
入曲线的极坐标方程，再化简．

直线位置极坐标方程图形
过极点，倾斜角为α (1)θ＝α(ρ∈R) 或θ＝α＋π(ρ∈R)
(2)θ＝α(ρ≥0) 和θ＝
π＋α(ρ≥0)

过点(a，0)，且
与极轴垂直
ρcos_θ＝a




－π2<θ<
π

过点a，π2，且与
极轴平行
ρsin_θ＝a(0<θ
<π)

过点(a，0)倾斜角为α ρsin(α－θ)＝asin
α(0<θ
<π)

过点P(ρ0，θ0)，
倾斜角为
α

ρsin(α－θ
)＝

ρ0sin(α－θ
0
)．
[解] (1)①将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x＋y＝0得ρcos θ＋ρsin θ＝0，即ρ(sin θ＋cos θ)＝0， ∴tan θ＝－1，θ＝3π4(ρ≥0)和θ＝7π4(ρ≥0)， ∴直线x＋y＝0的极坐标方程为θ＝3π4(ρ≥0)和θ＝7π4(ρ≥0)． ②将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＋2ax＝0得 ρ2＋2aρcos θ＝0，∴ρ＝0或ρ＝－2acos θ. 又ρ＝0表示极点，而极点在圆ρ＝－2acos θ上 ∴所求极坐标方程为ρ＝－2acos θ (2)①∵ρcos θ＝2，∴x＝2，即直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x＝2，它表示过点(2，0)且垂直于x轴的直线， ②∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，即x2＋y2＝2x. ∴(x－1)2＋y2＝1，即ρ＝2cos θ的直角坐标方程．
它表示圆心为(1，0)，半径为1的圆．
③∵ρ2cos 2θ＝2，
∴ρ2(cos2θ－sin2θ)＝2，
即ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝2，
∴x2－y2＝2，
故曲线是中心在原点，焦点在x轴上的等轴双曲线．

④∵ρ＝11－cos θ，∴ρ＝1＋ρcos θ，
∴x2＋y2＝1＋x，
两边平方并整理得y2＝2x＋12，
故曲线是顶点为－12，0，焦点为F(0，0)，准线方程为
x
＝－1的抛物线．
4.曲线x2＋y2＝2x2＋y2的极坐标方程是____________．
解析：∵x2＋y2＝ρ2，ρ≥0，∴ρ＝x2＋y2， ∴x2＋y2＝2x2＋y2可化为ρ2＝2ρ，即ρ(ρ－2)＝0. 答案：ρ(ρ－2)＝0 5.曲线ρsinθ－π4＝0的直角坐标方程是______________．解析：∵ρsinθ－π4＝0，∴22ρsinθ－22ρcos θ＝0， ∴ρsin θ－ρcos θ＝0，即x－y＝0. 答案：x－y＝0 6.圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心坐标是( ) 解析：选D.∵ρ＝5cos θ－53 sin θ， ∴ρ2＝5ρcos θ－53ρsin θ， ∴x2＋y2＝5x－53y，
∴x－522＋y＋5322＝25，
∴圆心C52，－532，ρ＝254＋754＝5，
tan θ＝yx＝－3，θ＝
5π
3

∴圆心C的极坐标为C5，5π3.
7.极坐标方程ρ＝cos(π4－θ)表示的曲线是( )
A．双曲线 B．椭圆
C．抛物线 D．圆

解析：选D.∵ρ＝cosπ4－θ，即ρ＝22(cos θ＋sin
θ
)，

∴ρ2＝22(ρcos θ＋ρsin θ)，
∴x2＋y2＝22x＋22y，即x－242＋y－242＝14.
8.曲线的极坐标方程为ρ＝tan θ·1cos θ，则曲线的直角坐
标方程为__________．

解析：∵ρ＝tan θ·1cos θ，
∴ρcos 2θ＝sin θ，∴ρ2cos2θ＝ρsinθ，
∴x2＝y.
答案：x2＝
y
9.直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ
相交的弦长为

________．

[解析] (1)由公式x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得直线
2ρcos θ＝1的直角坐标方程为2x＝1，

圆ρ＝2cos θ⇒ρ2＝2ρcos θ的直角坐标方程为x2＋
y
2
－2x＝0⇒(x－1)2＋y2＝1，

由于圆心(1，0)到直线的距离为1－12＝12，所以弦长为
21－122＝3.

10.已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极
坐标为4，π3，则|CP|＝________．

(2)由圆的极坐标方程ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，
化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，
所以(x－2)2＋y2＝4，
所以圆心C(2，0)，半径r＝|OC|＝2，
如图，在△OCP中，

∠POC＝π3，|OP|＝4.
由余弦定理，得|PC|2＝|OP|2＋|OC|2－2|OP||OC|·cos ∠
POC
＝42＋22－2×4×2cos π3＝12，

所以|PC|＝23.
[答案] (1)3 (2)23
11.(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝
－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的
正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C1，C2的极坐标方程；

(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的
交点为M，N，求△C2MN的面积．
[解] (1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐
标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－
4ρsin θ＋4＝0.

(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得
ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ
2
＝2.

故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝2.
由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为12.

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人教版高中数学选修4-4检测：第一讲三简单曲线的极坐标方程

第一讲坐标系三、简单曲线的极坐标方程A 级基础稳固一、选择题1．极坐标方程 ρcos θ＝－ 6 表示 ( )A ．过点 (6，π)垂直于极轴的直线B ．过点 (6，0)垂直于极轴的直线C ．圆心为 (3，π)，半径为 3 的圆D ．圆心为 (3，0)，半径为 3 的圆分析：将 ρcos θ＝－ 6 化为直角坐标方程是： x ＝－ 6，它表示过点(6，π)垂直于极轴的直线．答案： A2．圆 ρ＝ 2(cos θ＋sin θ)的圆心的极坐标是 ( )，π B. 1，π A. 1 42 4C. 2，πD. 2，π44 分析：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程是 x 2＋ y 2－ 2x － 22 21， π y ＝0，圆心的直角坐标是2 ， 2 ，化为极坐标是 4 .答案： A3．在极坐标系中与圆 ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为 () A ．ρcos θ＝2 B ．ρsin θ＝2 C ．ρ＝4sin θ＋ πD ．ρ＝4sin θ－ π33分析：将圆ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即 x2＋－2＝4，它与直线 x－2＝0 相切，将 x－2＝0 化为极坐标方程为(y2)ρcos θ＝ 2.答案： A4．已知点 P 的极坐标是 (1，π)，则过点 P 且垂直于极轴的直线的方程是 ()A．ρ＝1B．ρ＝cosθ11C．ρ＝－cosθD．ρ＝cosθ分析：设 M 为所求直线上随意一点(除 P 外)，其极坐标为 (ρ，θ)，OPM 中(O 为极点)，ρcos|π－θ|＝1，即ρ＝－1 .经 cosθ查验， (1，π)也合适上述方程．答案： C5．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()πA．θ＝0(ρ∈R) 和ρcosθ＝2B．θ＝2(ρ∈R)和ρcos θ＝2πC．θ＝2(ρ∈R)和ρcosθ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝ 1分析：由ρ＝2cosθ，得ρ＝22ρcosθ，化为直角坐标方程为2x＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝ 1，其垂直于极轴的两条切线方程为x＝0和 x＝ 2，相应的极坐标方程为πθ＝2(ρ∈R) 和ρcosθ＝2.答案： B二、填空题π6．在极坐标系中，圆ρ＝4 被直线θ＝4分红两部分的面积之比是________．π分析：由于直线 θ＝ 4 过圆 ρ＝4 的圆心，所以直线把圆分红两部分的面积之比是 1∶1.答案： 1∶1 ．圆心为 C3，π，半径为 3 的圆的极坐标方程为 ___________．7 6分析：将圆心的极坐标化为直角坐标为3 3 32 ，2 .由于圆的半径为 3，故圆的直角坐标方程为－3 322＋ y －3＝9，化为极坐标方x2 2π程为 ρ＝6cos θ－ 6 .π答案： ρ＝6cos θ－6π8．在极坐标系中，圆 ρ＝4sin θ的圆心到直线 θ＝ 6 (ρ∈ R)的距离是 ________．分析：极坐标系中的圆 ρ＝4sin θ转变为平面直角坐标系中的一般方程为 x 2＋ y 2＝4y ，即 x 2＋(y －2)2＝4，其圆心为 (0，2)．直线 θ＝ π 在直角坐标系中的方程为y ＝3，即－＝，63 x3x 3y 0所以圆心 (0，2)到直线 3x －3y ＝0 的距离为|0－3×2|＝ 3.3＋9答案： 3三、解答题． ·江苏卷已知圆22ρsin θ－ πC 的极坐标方程为 ρ＋29 (2015 )4－4＝0，求圆 C 的半径．解：圆C 的极坐标方程可化为2ρ＋2 2ρ22 sinθ－22 cos θ－4＝0，2θθ化简，得ρ＋2ρsin－2ρcos－4＝0.则圆 C 的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝ 0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝ 6，所以圆 C 的半径为 6.10．已知圆 C：x2＋y2＝4，直线 l：x＋y＝2，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取同样的单位长度成立极坐标系．(1)将圆 C 和直线 l 方程化为极坐标方程；(2)P 是 l 上的点，射线 OP 交圆 C 于点 R，又点 Q 在 OP 上且满足|OQ| ·|OP|＝ |OR|2，当点 P 在 l 上挪动时，求点 Q 轨迹的极坐标方程．解：(1)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ分别代入圆 C 和直线 l 的直角坐标方程得其极坐标方程为 C：ρ＝2，l：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设，，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)(ρ，2θ)，P Q22则|OQ| ·|OP|＝|OR| 得ρρ＝1ρ2.22ρ又ρ＝22，ρ1＝cosθ＋sinθ，所以cosθ＋sinθ＝4，故点 Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝ 2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．B 级能力提高π1．在极坐标方程中，曲线 C 的方程是ρ＝4sinθ，过点 4，6作曲线 C 的切线，则切线长为 ()A．4 B. 7 C．2 2D．2 3分析：ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，点 4，π6化为直角坐标为 (23，2)．切线长、圆心到定点的距离及半径组成直角三角形，由勾股定理，得切线长为（2 3）2＋（ 2－2）2－22＝2 2.答案： C2．在极坐标系 (ρ，θ)(0 ≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－ 1 的交点的极坐标为 ________．θ2θ分析：由ρ＝2sin，得ρ＝2ρsin，其直角坐标方程为x2＋y2＝2y.ρcosθ＝－1的直角坐标方程为x＝－ 1.2＋y2＝2y，x ＝－，x1联立解得x＝－ 1，y＝ 1.3π点(－1，1)的极坐标为2，4.3π答案：2，4π3．在极坐标系中，已知直线ρ的极坐标方程为ρsinθ＋4＝1，π圆 C 的圆心的极坐标是 C 1，4，圆的半径为 1.(1)求圆 C 的极坐标方程；(2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长．解： (1)设 O 为极点， OD 为圆 C 的直径， A(ρ，θ)为圆 C 上的ππ一个动点，则∠AOD＝4－θ或∠AOD＝θ－4，ππOA ＝ODcos 4 －θ或 OA ＝ODcos θ－ 4 ，π 所以圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ－ 4 .(2) 由 ρ θ＋π ＝1，得 2ρ(sin θ＋cos θ)＝1， sin 42所以直线 l 的直角坐标方程为 x ＋y － 2＝0，2 2又圆心 C 的直角坐标为 2 ， 2 ，知足直线 l 的方程，所以直线 l 过圆 C 的圆心．所以直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 2.。

2017春数学选修4-4课后练1.3 简单曲线的极坐标方程课末含答案

第一讲 1.3
1．在极坐标系中,圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是（B）A．错误!B．错误!
C．（1，0）D．（1,π）
解析：因为该圆的直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，即为x2＋（y＋1)2＝1，圆心的直角坐标方程为（0，－1)，化为极坐标可以为（1，－错误!），故选B．
2．（2016·湖北黄冈中学检测)极坐标方程4ρsin2错误!＝5表示的曲线是（D）
A．圆B．椭圆
C．双曲线D．抛物线
解析：已知即错误!＝5，即2错误!－2x＝5，化简即得y2＝5x＋错误!，选D．
3．（2016·江西高二检测)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为x2＋y2－4x－2y＝0。

解析：由ρ＝2sin θ＋4cos θ得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ,又x＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以该曲线的直角坐标方程为x2＋y2－4x－2y＝0。

4．在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1。

以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为(1,1)．
解析:将曲线C1的方程ρsin2θ＝cos θ化为直角坐标方程为y2＝x,将曲线C2的方程ρsin θ＝1化为直角坐标方程为y＝1.由错误!解得错误!故曲线C1和C2交点的直角坐标为（1,1）．。

极坐标系及简单曲线的极坐标方程练习

极坐标系及简单曲线的极坐标方程练习选修 4-4 极坐标练习题1、在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（﹣1，1），若取原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则在下列选项中，不是点 P极坐标的是（）A. ( 2 , 3π )4选修 4-4 极坐标练习题1、在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（﹣1，1），若取原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则在下列选项中，不是点 P 极坐标的是（）A. ( 2 , 3π )4B. ( 2 ,− 5π )4C. ( 2 , 11π )4D. ( 2 ,− π )4B. ( 2 ,− 5π )4C. ( 2 , 11π )4D. ( 2 ,− π )42、设点 P 对应的复数为﹣3+3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点 P的极坐标为（）A. (3 2 , 3π )42、设点 P 对应的复数为﹣3+3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，点 P 的极坐标为（） A. (3 2 , 3π )4则B. (−32 , 5π )4C. (3, 5π )4D. (−3, 3π )4B. (−3 2 , 5π )4C. (3, 5π )4D. (−3,3π )43、在极坐标系中，圆心坐标是（a，π）（a＞0），半径为 a 的圆的极坐标方程是（ A、ρ=﹣2acosθ（π ≤ θ13、（2002• 江苏）极坐标方程ρ=cos θ 与ρcos θ = 1 的图形是（ 2 A 、 B、C、 D）、 A 13、（2002• 江苏）极坐标方程ρ=cos θ 与ρcos θ = 1 的图形是（ 2 、 B、 C、 D、）14、已知椭圆的极坐标方程是ρ = A. 1035 ，那么它的短轴长是（ 3 − 2 cos θ） 14、已知椭圆的极坐标方程是ρ = A. 103B. 5C. 2 5D. 2 35 ，那么它的短轴长是（ 3 − 2 cos θ）D．ρ cos θ = −4 16、（2019• 江西）若曲线的极坐标方程为p=2sinθ+4cosθ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为___________ 17、（2019• 广东）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1 的交点的极坐标为 _______________ π 18、在极坐标系中，点 M 到直线 l：(4, ) ρ（2cosθ+sinθ）=4的距离d=_______315、在极坐标系中，与圆ρ = 4 sin θ 相切的一条直线方程为 C．ρ cos θ = 4 A．ρ sin θ = 2 B．ρ cosθ = 2B. 5C. 2 5D. 2 319、在极坐标中，方程 20、曲线的极坐标方程π ρ sin(θ − ) = 241 cos θ的直角坐标方程是_____________________ 则曲线的直角坐标方程为____________________15、在极坐标系中，与圆ρ = 4 sin θ 相切的一条直线方程为 A．ρ sin θ = 2 B．ρ cosθ = 2 C．ρ cos θ = 4 D．ρ cos θ = −4 16、（2019• 江西）若曲线的极坐标方程为p=2sinθ+4cosθ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为___________ 17、（2019• 广东）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcos θ =-1 的交点的极坐标为_______________ π 18、在极坐标系中，点 M 到 (4, ) 直线 l：（2cosθ+sinθ）ρ =4的距离d=_________3ρ = tan θ ⋅19、在极坐标中，方程 20、曲线的极坐标方程π ρ sin(θ − ) = 24的直角坐标方程是________________ 则曲线的直角坐标方程为_______________21、圆 p=-4sinθ的圆心的直角坐标是_________；若此圆与直线pcosθ=1相交于点 M、N，则|MN|=____________ 22、在极坐标中， P 点 _______________ 23、极坐标系下，直线11π (2, ) 6ρ = tan θ ⋅1 cos θ到直ρ sin(θ − ) = 1 线6π的距离等于21、圆 p=-4sinθ的圆心的直角坐标是_________；若此圆与直线pcosθ=1相交于点 M、N，则|MN|=____________11π ) 22、在极坐标中， P (2, 点 6 于____________ρcos( θ −π4到直π ρ sin(θ − ) = 1 线6的距离等)=2与圆ρ=2的公共点个数是______________(3, ) (4, )24、在极坐标系中，已知两点 A、的极坐标分别为 B 则△AOB（其中 O 为 6 3 极点）的面积为 ___________________ 25、（2019• 江西）在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 正半轴为极轴建立π ρ cos( θ − ) = 1 极坐标系， 3 曲线 C 极坐标方程为 M，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点．（1）写出 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标；（2）设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程．ππ23、极坐标系下，直线ρ cos( θ −π4)=2与圆ρ=2的公共点个数是______________(3, ) (4, ) 6 324、在极坐标系中，已知两点 A、B 的极坐标分别ππ为则△AOB 其（中 O 为极点）的面积为 ___________________ 25、（2019• 江西）在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 正半轴为极π 轴建立极坐标系，曲ρcos( θ − 3 ) = 1 线 C 极坐标方程为 M，分 N 别为 C 与 x 轴，y 轴的交点．（1）写出 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标；（2）设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程．。

简单曲线的极坐标方程习题课ppt课件

3
2．在极坐标系 (, ) (0 2 ) 中,曲线 (cos sin ) 1 与 (cos sin ) 1的交点的极坐标为__( 1_,_2__) ___.
3．直线 2 cos 1与圆 2cos 相交的弦长为_____3 _____.
4．在极坐标系中,圆 4sin 的圆心到直线 ( R) 的距离是____3 __.
6
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程” 。
经典习题
5．在极坐标系中,直线 ρsin(θ+ π )=2 被圆 ρ=4 截得的弦长为__4___3__
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程” 。
经典习题
1．过点 (2, ) 且平行于极轴的直线的极坐标方程为__s_i_n_____3_.
4
6．在极坐标中,圆 =4cos 的圆心 C 到直线
sin( +4 )=2 2 的距离为_ 2
7．在极坐标系中,直线 l 过点 (1, 0) 且与直线 ( R )垂直,
则直线 l 极坐标方程为
2sin( ) 1
6

“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程” 。

简单曲线的极坐标方程课件

ρ＝0，极角 θ 可取任意角．
由极径的意义可知 ρ≥0，当极角 θ 的取值范围是 [0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0) 建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径 ρ＝0，极角 θ 可取任意角．
3．坐标之间的互化
(1)点的极坐标和直角坐标的互化以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图)．平面内任意一点 P 的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ， θ)，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：
∴ρ＝a·cos 12ωt，……② θ
由①②消去 t，得 ρ＝acos 3 ，这就是点 M 轨迹的极坐标方程．
【点评】求曲线的极坐标方程的两个基本方法是直接法和待定系数法，极坐标系中用直接法求点的轨迹方程时常用“三角形法”，它通过找出一个三角形，利用三角形中的边角关系，求得轨迹的极坐标方程．
ρ02－r2＝0.
一、平面直角坐标系中的伸缩变换及应用例1在同一平面直角坐标系中，曲线 C 经过伸缩变
换xy′′＝＝y 3x，后变为曲线 C′：x′2＋9y′2＝9.在以此直角坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，动
点 M 的极坐标(ρ，θ)满足方程 ρsinθ＋π4＝3，设点 P 为曲线 C 上一动点，则|PM|的最小值是___2____．
(0<θ<π)
(2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线 l 经过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为 α，直线 l 的极坐标方程为：
_______s_i_n___________0 _si_n_______0 _____．
5．半径为 r 的圆的极坐标方程
(1)特殊位置的圆的极坐标方程：

高中数学第一讲坐标系1.3简单曲线的极坐标方程练习(含解析)新人教A版选修44

高中数学第一讲坐标系1.3简单曲线的极坐标方程练习（含解析）新人教A版选修44课时过关·能力提升基础巩固1极坐标方程cos θ≥0)表示的曲线是()A.余弦曲线B.两条相交直线C.一条射线D.两条射线解析∵cosθ∈Z).又ρ≥0,∴cosθ.答案D2极坐标方程ρ=7cos θ表示的圆的半径是()A答案D3在极坐标系中,点A(1,π)到直线ρcos θ=2的距离是()A.1B.2C.3D.4解析点A(1,π)化为直角坐标为(-1,0),直线ρcosθ=2化为直角坐标方程为x=2.因为点A(-1,0)到直线x=2的距离为3,所以点A(1,π)到直线ρcosθ=2的距离为3.答案C4在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标可能是()AC.(1,0)D.(1,π)解析因为该圆的直角坐标方程为x2+y2=-2y,即为x2+(y+1)2=1,圆心的直角坐标为(0,-1),化为极坐标可以B.答案B5在极坐标系中,过点A.ρcos θB.ρsin θC.ρD.ρ解析设直线与极轴的交点为A,则|OA|=|OP|·co又设直线上任意一点M(ρ,θ)(除点P外),则|OM|·cosθ=|OA|,即ρcosθ因为,所以所求的直线方程为ρcosθ答案A6在极坐标系中,与圆ρ=6cos θ相切的一条直线方程为()A.ρsin θ=6B.ρcos θ=3C.ρcos θ=6D.ρcos θ=-6解析圆的极坐标方程可化为直角坐标方程(x-3)2+y2=9,四个选项所对应的直线方程分别为y=6,x=3,x=6,x=-6,易知x=6满足题意.故选C.答案C7圆心在点(-1,1)处,且过原点的圆的极坐标方程是()A.ρ=2(sin θ-cos θ)B.ρ=2(cos θ-sin θ)C.ρ=2sin θD.ρ=2cos θ解析如图,圆的半径所以圆的直角坐标方程为(x+1)2+(y-1)2=2,即x2+y2=-2(x-y).将其化为极坐标方程,为ρ2=-2(ρcosθ-ρsinθ).因为圆过极点,所以方程可简化为ρ=2(sinθ-cosθ).答案A8(2018·天津模拟)在极坐标系中,解析(1,1),直线ρcosθ-ρsinθ-1=0的直角坐标方程为x-y-1=0,点到直线的距离答案9在极坐标系中,点解析在相应的平面直角坐标系中,点P的坐标为(0,-2),直线l的方程为3x-4y-3=0,所以点P到直线l的距离d答案110在极坐标系中,曲线C1为ρ解析ρθ+sinθ)=1,θ+ρsinθ=1对应的直角坐标方程x2+y2=a2.,令y=0,得x x2+y2=a2,得a答11求过点解如图,在直线l上任意取除点A外的一点M(ρ,θ),连接OA,OM,过点M作极轴的垂线交极轴于点H.因|MH|=2si在Rt△OMH中,|MH|=|OM|sinθ,即ρsinθ.故过ρsinθ12在圆心的极坐标为A(4,0),半径为4的圆中,求过极点O的弦的中点的轨迹.解设M(ρ,θ)(ρ≠0)是所求轨迹上的任意一点.连接OM并延长交圆A于点P(ρ0,θ0),则有θ0=θ,ρ0=2ρ.由圆心为(4,0),半径为4的圆的极坐标方程,得ρ0=8cosθ0.所以2ρ=8cosθ,即ρ=4cosθ.故所求轨迹方程是ρ=4cosθ(ρ≠0).它表示以(2,0)为圆心,2为半径的圆(不含极点).能力提升1极坐标方程ρ2cos θ-ρ=0的直角坐标方程为()A.x2+y2=0或y=1B.x=1C.x2+y2=0或x=1D.y=1解析∵ρ(ρcosθ-1)=0,∴ρρcosθ=x=1.答案C2极坐标方程分别为ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是()A.2 B解析如图,两圆的圆心的极坐标分别答案D3在极坐标系中,曲线ρ=4siA.直线θB.直线θC.D.极点中心对称解析把原方程化为直角坐标方程,得(x圆心为(故选B.答案B4(2018·北京朝阳区二模)在极坐标系中,直线l:ρcos θ+ρsin θ=2与圆C:ρ=2cos θ的位置关系为()A.相交且过圆心B.相交但不过圆心C.相切D.相离解析由直线l:ρcosθ+ρsinθ=2,可知直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.由圆C:ρ=2cosθ,可知圆C的直角坐标方程为x2+y2=2x,整理得(x-1)2+y2=1.所以圆心(1,0)到直线x+y-2=0的距离d因此直线与圆相交但不过圆心.答案B5已知曲线C1:ρ=解析将方程ρ=ρco x2+y2=(x-y-2=0,则C1是圆心在坐标原点,半径,C2是直线.因为圆心到直线x-y-2=0的距离3.答案36在极坐标系中,定点≥0,θ∈[0,2π))解析将ρcosθ+ρsinθ=0化为直角坐标方程为x+y=0,A(0,1).如图,过点A作AB⊥直线l于点B,因为△AOB为等腰直角三角形,又因为|OA|=1,则|OB|∠BOx故点B的极坐标答7已知曲线C的极坐标方程为ρ=2(0≤θ<2π),曲线C在解析根据极坐标与直角坐标的互化公式可得ρ=2可化为x2+y2=4,因为x2+y2=4上,故圆在x+y-x+y-答案x+y-8圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过圆O1、圆O2的交点的直线的直角坐标方程.解以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.(1)由ρ=4cosθ,得ρ2=4ρcosθ.根据x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得x2+y2-4x=0,故圆O1的直角坐标方程为x2+y2-4x=0.同理可得圆O2的直角坐标方程为x2+y2+4y=0.(2)即圆O1、圆O2相交于点(0,0)和(2,-2),过两圆的交点的直线的直角坐标方程为y=-x.★9在极坐标系中,已知圆C的圆心(1)求圆C的极坐标方程;(2)若点P在直线OQ上,解(1)将圆C的圆心的极坐标化为直角坐标C的直角坐标方程将其化为极坐标方程为ρ2-6ρco(2)设点P的坐标为(ρ,θ),点Q的坐标为(ρ0,θ0),则由题意可因为点Q在圆C上,所以点Q的坐标适合圆C的方程,代入P 的轨迹的极坐标方程为ρ2-15ρco。

高二坐标系与简单曲线的极坐标方程练习题

高二坐标系与简单曲线的极坐标方程练习题1.极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( )A. 两个圆B. 两条直线C. 一个圆和一条射线D. 一条直线和一条射线2．在平面直角坐标系xOy 中, 点P 的直角坐标为(1, － )．若以原点O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 则点P 的极坐标可以是( )A.⎝⎛⎭⎫1，－π3 B.⎝⎛⎭⎫2，4π3 C.⎝⎛⎭⎫2，－π3 D.⎝⎛⎭⎫2，－4π3 3. 在直角坐标系xOy 中, 已知点C(－3, － ), 若以O 为极点, x 轴的正半轴为极轴, 则点C 的极坐标(ρ, θ)(ρ>0, －π<θ<0)可写为________.4. 设直线过极坐标系中的点M(2,0), 且垂直于极轴, 则它的极坐标方程为________.5．在极坐标系中, 直线ρsin ＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．6. 设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为________.7. 在极坐标系中, 已知两点A.B 的极坐标分别为 , , 则△AOB(其中O 为极点)的面积为________.8. 在极坐标系中, 直线θ＝截圆ρ＝2cos (ρ∈R)所得的弦长是________.9. 直线2x ＋3y －1＝0经过变换可以化为6x ＋6y －1＝0, 则坐标变换公式是________.10．在极坐标系(ρ, θ)(0≤θ<2π)中, 曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．11. 求极坐标方程ρ＝cos 所表示的曲线.12.（惠州市2013届高三上学期期末）在极坐标系中, 已知两点、的极坐标分别为 , , 则△ （其中为极点）的面积为 .13、（江门市2013届高三上学期期末）在极坐标系（）中, 直线被圆截得的弦的长是．14.（广州市2013届高三上学期期末）已知圆的参数方程为为参数), 以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 直线的极坐标方程为 , 则直线截圆所得的弦长是 .15.、（东莞市2013届高三上学期期末）在直角坐标系中, 圆以C 的参数方程是 ( 为参数), 以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 则圆心C 的极坐标是 .16.、（佛山市2013届高三上学期期末）在极坐标系中, 直线过点且与直线（）垂直, 则直线极坐标方程为．17.、（茂名市2013届高三上学期期末）已知曲线C的参数方程为 (θ为参数), 则曲线C上的点到直线3x-4y+4=0的距离的最大值为。

高中数学选修4-4同步练习题库：简单曲线的极坐标方程(简答题：容易)

简单曲线的极坐标方程（简答题：容易）1、在极坐标系中，圆的极坐标方程为．现以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；（Ⅱ）若圆上的动点的直角坐标为，求的最大值，并写出取得最大值时点P的直角坐标．2、在极坐标系中，已知点，直线为.（1）求点的直角坐标与直线的普通方程；（2）求点到直线的距离.3、[选修4-4：坐标系与参数方程]已知极坐标系中的曲线与曲线交于，两点，求线段的长．4、（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知点的极坐标为，圆的极坐标方程为，试判断点和圆的位置关系5、（本小题满分10分）选修；坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知某圆的极坐标方程为：．（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；（Ⅱ）若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．6、（本小题满分10分）已知圆C的极坐标方程为=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，若直线与圆C相切.求（1）圆C的直角坐标方程；（2）实数k的值.7、求经过点，且平行于极轴的直线的极坐标方程.8、（本小题满分10分）求圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程。

9、（1）在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求a的值；（2）设矩阵，求点P(2,2)在A所对应的线性变换下的象。

10、求过圆的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程。

11、求过圆的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程。

12、求由三条直线2x+5y-10=0,2x-3y+6=0,2x+y-10=0围成的三角形外心的坐标。

13、自极点O作射线与直线相交于点M，在OM上取一点P，使得，求点P的轨迹的极坐标方程．参考答案1、（Ⅰ），即．（Ⅱ）取得最大值为，P的直角坐标为．2、（1）x+y- ="0" （2）33、4、点在圆外5、（Ⅰ）；（Ⅱ）最大值4，最小值06、（1）（2）7、.8、9、（—2，6）10、11、12、（13、【解析】1、试题分析：（Ⅰ），两端同乘以，并将极坐标与直角坐标的互化公式代入即得. （Ⅱ）将圆C的方程化为参数方程将表示成三角函数式，确定得到的最大值及点P的直角坐标.试题解析：（Ⅰ）由，得，所以圆的直角坐标方程为，即． 3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆C的参数方程为（为参数）.所以， 5分因此当，时，取得最大值为，且当取得最大值时点P的直角坐标为． 7分考点：1、直角坐标方程与极坐标方程的互化，2、参数方程的应用，3、正弦型函数的性质.2、试题分析：（1）根据极坐标与直角坐标互化公式可得，点的直角坐标为；（2）首先将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，即，于是问题转化为求点A到直线的距离，根据点到直线距离公式可求.试题解析：（1）点化成直角坐标为.直线，化成直角坐标方程为，即.（2）由题意可知，点到直线的距离，就是点到直线的距离，由距离公式可得.3、试题分析：由将极坐标方程及化为直角坐标方程，，联立方程组解得交点坐标，，根据两点间距离公式求线段的长．试题解析：曲线化为；…………………………………4分同样可化为，…………………………8分联立方程组，解得，，所以．所以（），解得（负值已舍）．………………10分考点：极坐标方程化为直角坐标方程4、试题分析：先根据将点的极坐标化为直角坐标为，圆的极坐标方程化为直角坐标方程为，再根据点A到圆心距离得点在圆外．试题解析：解：点的直角坐标为，圆的直角坐标方程为，则点到圆心的距离，所以点在圆外．考点：极坐标方程化为直角坐标方程5、试题分析：（Ⅰ）利用ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，即可得到圆的普通方程为；由(x－2)2＋y2＝2 ，设(α为参数)，所以，所以x＋y的最大值4，最小值0试题解析：（Ⅰ）ρ2＝x2＋y2ρcosθ＝x，ρsinθ＝y∴圆的普通方程为 5分（Ⅱ）由(x－2)2＋y2＝2 7分设(α为参数)所以x＋y的最大值4，最小值0 10分考点：圆的参数方程及其应用6、试题分析：（1）由得：，所以圆C的直角坐标方程为，（2）因为直线与圆C相切，所以圆C到直线距离等于半径，即试题解析：解：（1）； 5分（2） 10分考点：直线与圆位置关系7、试题分析：利用题意首先确定直线经过点，据此求得极坐标方程为.试题解析：点到极轴的距离为，即直线经过点又因为直线平行于极轴，所以直线的极坐标方程是8、本试题主要是考查了极坐标方程的求解。

简单曲线的极坐标方程课时作业2

(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列各点中与(2，π6)不表示极坐标系中同一个点的是( ) A ．(2，－116π) B ．(2，136π) C ．(2，116π)D ．(2，－236π)【解析】与极坐标(2，π6)相同的点可以表示为(2，π6＋2k π)(k ∈Z )，只有(2，116π)不适合．【答案】 C2．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( ) A ．(π，0) B ．(π，2π) C ．(－π，0)D ．(－2π，0)【解析】 x ＝πcos(－2π)＝π，y ＝πsin(－2π)＝0，所以点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为(π，0)．【答案】 A3．在极坐标系中，已知A (2，π6)、B (6，－π6)，则OA 、OB 的夹角为( ) A.π6 B ．0 C.π3D.5π6【解析】如图所示，夹角为π3.【答案】 C4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是( )A ．(2，－π3) B ．(2，4π3) C ．(1，－π3)D ．(2，－4π3)【解析】极径ρ＝12＋(－3)2＝2，极角θ满足tan θ＝－31＝－3， ∵点(1，－3)在第四象限，所以θ＝－π3. 【答案】 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．平面直角坐标系中，若点P (3，7π2)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13y 后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于________．【解析】 ∵点P (3，7π2)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13y 后的点为Q (6，7π6)，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于6|sin 7π6|＝3.【答案】 36．极坐标系中，点A 的极坐标是(3，π6)，则 (1)点A 关于极轴的对称点的极坐标是________； (2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________．(本题中规定ρ>0，θ∈[0,2π))【解析】点A (3，π6)关于极轴的对称点的极坐标为(3，11π6)；点A 关于极点的对称点的极坐标为(3，7π6)；点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标为(3，5π6)．【答案】 (1)(3，11π6) (2)(3，7π6) (3)(3，5π6) 三、解答题(每小题10分，共30分)7．已知点P 的直角坐标按伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2xy ′＝3y 变换为点P ′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ<2π时，求点P 的极坐标．【解】设点P 的直角坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧6＝2x ，－3＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－3，∴点P 的直角坐标为(3，－3)， ρ＝32＋(－3)2＝23，tan θ＝－33， ∵0≤θ<2π，点P 在第四象限， ∴θ＝11π6，∴点P 的极坐标为(23，11π6)． 8．(1)已知点的极坐标分别为A (3，－π4)，B (2，2π3)，C (32，π)，D (－4，π2)，求它们的直角坐标．(2)已知点的直角坐标分别为A (3，3)，B (0，－53)，C (－2，－23)，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．【解】 (1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得A (322，－322)，B (－1，3)，C (－32，0)，D (0，－4)(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x 得A (23，π6)，B (53，3π2)，C (4，4π3)． 9．在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A (2，π3)，B (2，π)，C (2，5π3)．(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．【解】 (1)如图所示，由A (2，π3)，B (2，π)，C (2，5π3)得|OA |＝|OB |＝|OC |＝2，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3. ∴△AOB ≌△BOC ≌△AOC ， ∴AB ＝BC ＝CA ，故△ABC 为等边三角形． (2)由上述可知，AC ＝2OA sin π3＝2×2×32＝2 3. ∴S △ABC ＝34×(23)2＝33(面积单位)．教师备选10．某大学校园的部分平面示意图如图：用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB |＝|BC |，|OC |＝600 m ．建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0))．【解】以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系，由|OC|＝600 m，∠AOC＝π6，∠OAC＝π2，得|AC|＝300 m，|OA|＝300 3 m，又|AB|＝|BC|，所以|AB|＝150 m.同理，得|OE|＝2|OG|＝300 2 m，所以各点的极坐标分别为O(0,0)，A(3003，0)，C(600，π6)，D(300，π2)，E(3002，3π4)，F(300，π)，G(1502，34π)．。