简单曲线的极坐标方程练习题有答案

简单曲线的极坐标方程

1.在极坐标系中，求出满足下列条件的圆的极坐标方程

圆心位置

极坐标方程

图 形

圆心在极点(0，0) 半径为r

ρ＝r

(0≤θ<2π)

圆心在点(r ，0) 半径为r

ρ＝2r cos_θ (－π2≤θ<π2

)

圆心在点(r ，π2)

半径为r

ρ＝2r sin_θ

(0≤θ<π)

圆心在点ρ＝－2r cos_θ

(r ，π) 半径为r

(π2≤θ<3π2

) 圆心在点

(r ，3π

2)

半径为r

ρ＝－2r sin_θ

(－π<θ≤0)

圆心C (ρ0，

θ0)，半径为r

ρ2－2ρ0ρcos(θ－

θ0)＋ρ20－r 2

＝0.

2.在极坐标系中，求出满足下列条件的直线的极坐标方程

3.将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程

①x＋y＝0；②x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)．

(2)将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；并判定曲线形状：

①ρcos θ＝2；②ρ＝2cos θ；③ρ2cos 2θ＝2；④ρ

＝

1

1－cos θ

.

[思路点拨] (1)先把公式x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入

曲线(含直线)的直角坐标方程，再化简．

(2)先利用公式ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2代入曲线的极坐标方程，再化简．直线位置极坐标方程图形

过极点，

倾斜角为α

(1)θ＝α(ρ∈R) 或θ＝

α＋π(ρ∈R)

(2)θ＝α(ρ≥0) 和θ＝

π＋α(ρ≥0)

过点(a，0)，且

与极轴垂直

ρcos_θ＝a

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

－

π

2

<θ<

π

2

过点

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

a，

π

2

，且与

极轴平行

ρsin_θ＝a(0<θ<π)

过点(a，0)倾斜角为

α

ρsin(α－θ)＝a sin

α(0<θ<π)

过点P(ρ0，θ0)，

倾斜角为α

ρsin(α－θ)＝

ρ0sin(α－θ0)．

[解] (1)①将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x ＋y ＝0得ρcos θ＋ρsin θ＝0，

即ρ(sin θ＋cos θ)＝0，

∴tan θ＝－1，θ＝3π4(ρ≥0)和θ＝7π

4(ρ≥0)，

∴直线x ＋y ＝0的极坐标方程为θ＝3π4(ρ≥0)和θ＝

7π

4(ρ≥0)．

②将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2ax ＝0得

ρ2

＋2aρcos θ＝0，∴ρ＝0或ρ＝－2a cos θ.

又ρ＝0表示极点，而极点在圆ρ＝－2a cos θ上 ∴所求极坐标方程为ρ＝－2a cos θ

(2)①∵ρcos θ＝2，∴x ＝2，即直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，

它表示过点(2，0)且垂直于x 轴的直线，

②∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x .

∴(x －1)2＋y 2＝1，即ρ＝2cos θ的直角坐标方程． 它表示圆心为(1，0)，半径为1的圆． ③∵ρ2cos 2θ＝2， ∴ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝2， 即ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝2， ∴x 2－y 2＝2，

故曲线是中心在原点，焦点在x 轴上的等轴双曲线． ④∵ρ＝1

1－cos θ，∴ρ＝1＋ρcos θ，

∴x 2＋y 2＝1＋x ，

两边平方并整理得y 2

＝2⎝

⎛⎭⎪⎫

x ＋12，

故曲线是顶点为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－12，0，焦点为

F (0，0)，准线方程为x

＝－1的抛物线．

4.曲线x 2＋y 2＝2x 2＋y 2的极坐标方程是____________．

解析：∵x 2＋y 2＝ρ2，ρ≥0，∴ρ＝x 2＋y 2，

∴x 2＋y 2＝2x 2＋y 2可化为ρ2＝2ρ，即ρ(ρ－2)＝0. 答案：ρ(ρ－2)＝0

5.曲线ρsin ⎝

⎛⎭⎪⎫

θ－π4＝0的直角坐标方程是______________．

解析：∵ρsin ⎝

⎛⎭⎪⎫θ－π4＝0，∴22ρsin θ－22ρcos θ＝

0，

∴ρsin θ－ρcos θ＝0，即x －y ＝0. 答案：x －y ＝0

6.圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心坐标是( )

解析：选D.∵ρ＝5cos θ－5 3 sin θ， ∴ρ2＝5ρcos θ－53ρsin θ，

∴x 2＋y 2＝5x －53y ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝

⎛⎭⎪⎪

⎫y ＋5322＝25， ∴圆心C ⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫52，－532，ρ＝254＋75

4

＝5， tan θ＝y x ＝－3，θ＝5π

3

∴圆心C 的极坐标为C ⎝

⎛⎭⎪⎫

5，5π3.

7.极坐标方程ρ＝cos(π

4

－θ)表示的曲线是( )

A ．双曲线

B ．椭圆

C ．抛物线

D ．圆

解析：选 D.∵ρ＝cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π4－θ，即

ρ＝2

2

(cos θ＋sin

θ)，

∴ρ2

＝2

2

(ρcos θ＋ρsin θ)，