数学必修3教材分析与教学建议

必修三教材分析与教学建议

广州执信中学张蜀青

一、深刻理解编写意图是上好必修三的前提

1．弄清《新课程》对各章的目标和要求

1.1 算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。

随着现代信息技术的飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想也正在成为普通公民的常识，成为现代人应具备的一种基本数学素养。在“算法初步”一章中学生将学习算法的初步知识，并通过对具体算法案例的分析，体验算法在解决问题中的重要作用，培养算法基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达的能力。同时学生还将体会算法在科学技术和社会发展中的重要作用，了解以“算法”为基础的中国古代数学的辉煌成就。

1.2 “统计”一章主要介绍最基本的获取样本数据、提取信息的方法。

包括用样本估计总体分布、数字特征和线性回归等内容。从义务教育阶段来看，统计知识的教学从小学到初中分三个阶段都要学习收集、整理、描述和分析数据等处理数据的基本方法，教学要求随着学段的升高逐渐提高。在义务教育阶段的统计与概率知识的基础上，本章通过实际问题，进一步介绍随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法。

1.3 “概率”一章的教学目标是让学生了解随机现象与概率的意义，正确理解随机现象的不确定性及其频率的稳定性；了解频率与概率的关系与区别；理解古典概型、几何概型的基本特征及其公式，初步学会把一些实际问题化为古典概型；理解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；初步体会几何概型的意义；了解互斥事件的概率加法公式。

2．深刻体会各章的教学价值

2.1 第一章算法

高中数学的算法知识由下列部分组成：算法的概念，算法的三种表示和算法案例。从横向来看：这里都内含着一条主线―――算法的基本逻辑结构，这是培养学生逻辑思维能力的机会，实际上对提高学生解题能力也大有好处。例如：1.1.1节算法概念中的例1：判断7和35是否为质数。从数论角度看，学生都知道解决方法，即“用2～6除7，看是否能除尽”，但这与“算法”的要求是不一样的，因为这里给出的解法要求“傻瓜化”，也就是要给出明确、有限的步骤，并用计算机能“理解”的语言描述出来。因此，我们应该通过本例的教学，让学生自己进行算法分析，在不同表述的比较中体会算法的特征，这对培养学生的严谨性思维，培养他们的逻辑思维能力有好处。同时这种思维习惯很容易迁移到日常生活当中去，这正是数学教育所期待的。从纵向看：由自然语言到框图到程序这一逐渐精确的过程，既是完整地认识算法的过程，也是对“有序地做事”的感受，会对数学学习乃至做其它事情产生积极影响。如平时解题不一定有严格程序。因为人的思维可以有跳跃性，但要计算机做，必须严格“按部就班”，这会促进学生养成“想清解题的每一步”的习惯。

2.2 第二章统计

（1）统计的知识学生在初中小学都有学习，一定要注意初高中的区别

初中：了解频数分布的意义和作用，会列频数分布表、画频数分布直方图和频数折线图；

高中：体会分布的意义和作用，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点。

初中：会计算极差和方差，并会用它们表示数据的离散程度；能用样本的平均数、方差来估计总体的平均数和方差。

高中：理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差；在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。

（2）重视统计结果的含义

在知道了各种统计量的计算方法后，要更多地关注在计算后，让学生对结果的含义作出解释。例

如，在讲完“众数、中位数、平均数”后，课本有一个关于某企业职工工资待遇的“探究”栏目，还配了某市公路项目投资数据的利用练习。可以让学生通过讨论，感受用统计量分析数据的合理性和可行性。又如课本77页的例题2，通过计算甲乙两名工人生产的零件内径的平均数和标准差之后，作出判断，甲生产的零件质量比乙的高一些。课本紧接着又补充了一段说明：由于样本的不同，尽管总体是同一个，相应的样本频率分布和数字特征都会发生改变，这就会影响到我们对总体情况的估计。这可以让学生进一步体会统计学是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据。

（3） 第三节变量间的相关关系体现了数学的应用价值。

重点落在学习两个变量的线性相关，应突出偶然现象中的必然规律，体会用“确定性数学”来研究“不确定性数学”的统计思想。在教学时有几个问题需要注意：

Q1．如何寻找回归直线的过程不能省略，引导学生思考寻找的方向、怎么操作、是否可行可靠？ Q2．课本88页写到：我们可以用点(,)i i x y 与这条直线上横坐标为i x 的点之间的距离来刻画点(,)i i x y 到直线的远近。为什么不用点到直线的距离公式有的学生可能会感到不理解，教师应在这里讲清楚为什么要这样转化和为什么可以这样转化。

Q3．回归方程中a ，b 的值的推导必修三中没有介绍（在选修2-3上有），可以根据学生接受程度选择是否补充。书本上的推导方法学生不易理解（详见选修2-3第92至93页）建议采用以下方法：

211(,)()n

i i Q a b y bx a ==--∑ （看成关于a 的函数）

2

2112(())()n

i i i i i i na y bx a y bx ===--+-∑∑ 当1()n i i i y bx a y bx n =-=

=-∑时，(,)Q a b 有最小值为22111()(())n n

i i i i i n y bx y bx n ==---∑∑（看成关于b 的函数）。 （4） 以往的统计课程比较偏重于现成书本知识，如比较详细地介绍随机抽样、分层抽样、系统抽样等抽样方法的定义，各种统计量的计算公式，统计图表的制作方法和步骤等。人教A 版必修三的“统计味”很浓，重视让学生展开真实的统计活动，应用这些知识去解决具体问题，解决有真实背景的问题。从而提高学生的动手操作能力，更能让学生体会数学的实用性。例如：一般学校都有本届学生入学的成绩，取出两科成绩，让学生进行研究性学习。要求随机抽取指定数量的成绩，用样本估计总体、求某两科成绩的线性回归方程。这能使学生经历抽样、画频率分布直方图、计算样本数字特征、求线性回归方程、估计和推断等统计过程，还能通过与原始成绩的数字特征，线性回归方程等的比较（用Excel 很容易得到）体会统计思想、样本作用等。

2.3 第三章 概率

二、准确把握两个数学思想是上好必修三的关键

1．以算法思想、概率统计思想贯穿始终

我们讲授必修三时，应至始至终把握让学生初步体会算法思想和概率统计思想才是教学的最终目标。例如在算法一章的教学中要防止把算法的教学变成程序语言和程序设计的教学。在统计一章的教学中要

(,)i i x y

防止变成讲授各种统计量（平均数、标准差、回归方程等）的计算课，而应更多地关注在“计算”后，让学生对结果的含义作出解释。在概率一章的教学中要防止把重点放在“如何计数”上，变成排列组合的计算课，而应引导学生认识随机现象、了解概率的意义、理解概率的定义上。

2．以典型案例为载体讲述知识和思想

我们很难用语言明确地给出算法思想、统计思想的定义，因此，通过实例引导学生体会算法思想、统计思想是教学的主要手段。本书的三章内容都具有很强的实践性，知识点不多但思想深刻。这类内容的教学应当与代数、几何内容的教学有所区别，特别需要强调给学生提供实际操作的机会，以使他们更好地体会相应的数学思想。所以本书的教学中，典型案例的使用非常重要。

2.1 用好课本的典型例题

第一章的最后一节讲述了三个案例：辗转相除法、秦九韶算法和进位制。教材上说通过案例进一步体会算法的思想。怎样进一步体会呢？在讲解三个案例时应突出它们的运算规律，即这些数学问题的操作方式都是单一的、重复的，所以我们可以程序化并将它交给计算机去完成。例如案例二：秦九韶算法 怎样求多项式5432()1f x x x x x x =+++++当5x =时的值呢？

方法一：把5代入多项式，计算各项的值，然后加起来。

方法二：先计算2x 的值，然后依次计算2x x ?，2()x x x ??，2(())x x x x ???的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果。

将此题由特殊推广到一般，方法二就是秦九韶算法。分析比较两种方法突出两点：第一，方法二把求n 次多项式的值转化为求n 个一次多项式的值。这种操作方式是同样的、重复的、单一的。第二，算法不惟一，从运算次数上可以在一定程度上衡量一个算法的好坏。

又如“统计”一章，因为统计属于“不确定性数学”，学生要对统计的思想方法有好的理解有一定困难，其实教师自己也不一定能真正理解到位。因此通过案例化解困难的观点是正确的，案例教学是统计教学的基本方式，教科书安排了丰富的案例，引导学生通过大量的具体案例来体会、理解统计知识，并从具体案例中总结、归纳出有关统计知识和方法，把统计思想渗透其中。比如通过引导学生讨论1936年兰顿总统选举失败的民意调查的例子，分析导致统计推断失败的原因（因为当时有电话、有车的只是少数富人，只能代表富人的观点），学生就较好地理解了强调样本的代表性的重要性。另外，让学生解决一些真实的问题也是案例教学的一种重要形式，这样能落实“课标”提出的让学生经历较为系统的数据处理全过程的要求。

2.2 适当铺垫，突破难点

例如算法教学的第一课是算法概念。教材中所举的例子不够生动，学生理解有困难，我们可以换一些有趣的例题做引导，在结合教材中的例题进行分析。

例1．把大象装进冰箱总共分几步？第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上。本例通过提问引起学生的兴趣，体会算法的概念。

例2．有一个农夫带一条狼狗、一只养和一筐白菜过河。如果没有农夫看管，则狼狗要吃羊，羊要吃白菜。但是船很小，只够农夫带一样东西过河。问农夫该如何解决？第一步：带羊到对岸，返回；第二步：带菜到对岸，并把羊带回；第三步：带狼狗到对岸，返回；第四步：带羊到对岸。本例使学生体会算法的概念，认识算法的形成是需要智慧的，从而引起学生的重视。

又如程序框图是算法教学的重点，课本在讲解程序框图这部分内容时，开篇便是一个复杂的流程图，既有顺序结构，又有条件结构、循环结构。这会使学生看得“一头雾水”，弄不清楚。讲授时可先介绍程序框，然后处理三个问题：问题1，设计一个求两直角边分别为3、4的直角三角形面积的流程图；问题2，设计一个求实数a 值的流程图；问题3，设计一个计算124816????的流程图。接着根据它们的流程图写出其程序框图，引出顺序结构、循环结构、条件结构，分析它们各自的特点。这三个简单的问题分别对应算法中的三种基本逻辑结构，通过这三个问题让学生既熟悉程序框又能理解三种基本逻辑结构。

2.3 引导学生从特殊推广到一般

我们重视案例教学是为了强调通性通法而不是所涉及的问题本身；是为了让学生通过典型案例初步体会算法思想和概率统计思想。因此在重视处理案例的基础上还要让学生做好推广到一般的工作。

三、认真分析教材特点是上好必修三的途径

1．合理使用信息技术

本书所包含的三部分内容与信息技术有着密切的联系，有条件的学校应当给学生提供使用信息技术的机会。

资料表明，信息技术可以促进算法学习。无论学生用自然语言、程序框图或用伪代码表示算法，都很难发现自己设计中的错误，尤其在初学阶段。而在程序设计平台上，程序的任何疏漏或错误都将导致算法的失败，因此让学生上机尝试，可以给他们提供检验、修改完善自己算法设计的机会，使之进一步的条理化、精确化和逻辑化。不仅如此，上机还能极大提高学生学习算法的兴趣，学生通过改进算法、优化算法引起对算法的更深入思考。

统计需要搜集、处理大量数据，概率中随机模拟试验需要产生大量的随机数，同时又要统计试验结果。运用计算器和计算机来处理数据可以使学生把更多的时间与精力用在体会统计思想，设计数据处理的方法，以及探究事物的统计规律上。

2.必要的操作试验不可省

概率是随机事件发生的可能性的度量，而事件发生的可能性大小的度量，直观看不见，也无法感知，所以非常抽象。同时，随机事件发生的可能性大小问题既有随机性，又有随机性中表现出的规律性。这都是学生理解的难点，突破难点的最好办法是给学生亲自动手操作的机会，使学生在实践过程中形成对随机事件的随机性以及随机性中表现出的规律性的直接感知。所以“掷硬币试验”虽然初中做过，在这里仍然有要学生亲自动手试验的必要。试验中引导学生把注意力集中在“从中体会随机事件发生的不确定性和频率的稳定性”上，让学生对试验的结果进行解释，这是与初中抛硬币试验不同的。

3.恰当的类比很有效

概率与频率的关系比较抽象，我们可以用某物体长度真值和测量值来类比。比如：

黑板的长度a是客观存在的，但未知。可以通过测量来了解；而测量结果总会有误差，为减少误差，可以用多次测量值的平均数估计。事件的概率p是客观存在的，但未知。可以通过频率来了解；而频率具有不确定性，估计的误差不可避免，为减少误差，可以增加重复试验的次数。

4.明确案例的价值是关键

3.1.2概率的意义一节，教材非常重视，课本列举了6个案例，只有明确了它们的价值，学生学完后才会有收获。第一个案例：概率的正确解释，是通过试验模拟等方法澄清日常生活中对概率的错误认识。其价值是通过两个问题再次揭示了概率的内含，即：频率的稳定值。第二、三、四个案例是应用概率解决实际问题的几个例子，包括游戏的公平性，决策中的概率思想，天气预报的概率解释等等，体现了概率的应用价值。第五个和第六个案例是孟德尔的遗传分离定律，这个内容在高一下学期的生物课上学生已经学过。在生物课教学的具体情况是：首先介绍孟德尔通过大量的豌豆试验，观察发现到规律，然后讲解他猜想的遗传定律，最后是孟德尔再用另一组试验验证自己的猜想。生物课侧重的是讲解试验、发现过程以及所得到的这个遗传定律。我们侧重的应该是：一、这些数据体现的就是统计规律；二、概率理论是统计学的基础，这里用概率的理论解释了试验结果的统计规律；三、让学生了解在科学发现中，试验、观察、猜想、找规律等方法十分重要，希望学生善于发现问题和解决问题。

5. 随机模拟要重视

新课程增加的随机模拟这部分虽然不太可能出现在考卷中，但它其实是比较重要的一个内容，值得我们认真对待。它不仅可以使学生解决更广泛的实际问题，体现信息技术的优越性，而且还可以使学生从中进一步体会统计思想和概率的意义。这块内容的教学主要分为两部分：第一部分是在学生学了古典概型后，引入“整数值随机数的产生”，使学生学会用计算器或计算机来产生随机数，并体会如何用模拟的方法估计概率，了解通过随机模拟可以避免枯燥的大量重复试验；第二部分是在几何概型后引入均匀随机数的概念，重点是让学生进一步掌握用随机模拟的方法估计概率，并在随机模拟的过程中进一

步体会频率的随机性和规律性。课本上有很多例题让学生体会如何用模拟的方法估计概率，对于如何用计算机产生随机数，学生是很快就能掌握的。因此这类问题的关键和价值就是数学建模的第一步：设计概率模型。

例如课本132页例6：天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40％，这三天中恰有两天下雨的概率大概是多少？首先是要模拟每一天下雨的概率为40％，有多种方法。例如：我们利用计算机可以产生0至9之间（取整数值）的随机数，我们先可以约定其中4个表示下雨，其它6个表示不下雨，这样可以体现下雨的概率是40％。其次，问题是模拟三天的下雨情况，所以连续产生的三个随机数为一组，作为三天的模拟结果。

一开始学生会感到很难，我们可以从简单的实例入手，让学生模仿、操作，在过程中逐步提高学生独立进行随机模拟的能力，体会数学建模思想。

四．严格保障必修三的教学时间

必修三与其它模块十分不同，很多内容都是需要学生经历全过程才能初步、逐渐体会本章的数学思想和意义。如果老师一带而过，可能就是讲了也等于没讲。教师用书建议必修三共36课时，具体内容是：第一章算法初步（12课时）

第二章统计（16课时）

第三章概率（8课时）