高三数学复习-离散型分布列
2022年高三数学一轮复习检测第9章第七讲离散型随机变量及其分布列
第七讲 离散型随机变量及其分布列A 组基础巩固一、单选题1．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：X 0 1 2 Pa1316F (x )＝P (X ≤x )，则当x D ) A ．13B ．16C ．12D ．56[解析] ∵a ＋13＋16＝1，∴a ＝12.∵x ∈[1,2)，∴F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.2．(2019·合肥模拟)设某项试验的成功率是失败率的2倍，试验一次要么成功要么失败，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( C )A ．0B ．12C ．13D ．23[解析] X 可能取值为0或1，而P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，且P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1.所以P (X ＝0)＝13.故选C.3．(2019·陕西西安高三检测)已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<ξ≤4)等于( A )A ．316B ．14C ．116D ．15[解析] P (2<ξ≤4)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝123＋124＝316.故选A.4．(2019·孝感模拟)已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X 为取出3个球的总分值，则E (X )＝( B )A ．185B ．215C ．4D ．245[解析] 由题意知，X 的所有可能取值为3,4,5，且P (X ＝3)＝C 33C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23·C 12C 35＝35，P (X ＝5)＝C 13·C 22C 35＝310，所以E (X )＝3×110＋4×35＋5×310＝215. 5．(2020·安徽六校联考)2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”．现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为( B )A ．2764B ．916C ．81256D ．716[解析] 4名同学去旅游的所有情况有：44＝256种，恰有一个地方未被选中共有：C 14·C 24·A 33＝144种情况，∴恰有一个地方未被选中的概率：P ＝144256＝916.故选B. 二、填空题6．(2019·吉林质检)设随机变量的概率分布为则ξ的数学期望的最小值是 12.[解析] E (ξ)＝0×p 3＋1×p 3＋2×(1－2p3)＝2－p ，又∵1>p 3≥0,1≥1－23p ≥0，∴0≤p ≤32.∴当p ＝32时，E (ξ)的值最小，E (ξ)＝2－32＝12.7．(2019·泉州模拟)在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为__________.[解析]8.从一批含有13只正品，23件，则取得次品数为ξ的分布列为____________.[解析]设随机变量ξN ＝15，M ＝2，n ＝3.它的可能的取值为0,1,2，相应的概率依次为P (ξ＝0)＝C 02C 313C 315＝2235，P (ξ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235，P (ξ＝2)＝C 22C 113C 315＝135.三、解答题9．(2019·湖北模拟)随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于网购，2名倾向于实体店购物，5名女性购物者中有2名倾向于网购，3名倾向于实体店购物．(1)若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少有1名倾向于实体店购物的概率；(2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X 表示抽到倾向于网购的男性购物者的人数，求X 的分布列和数学期望．[解析] (1)设“随机抽取2名，其中男、女各一名，至少有1名倾向于实体店购物”为事件A ，则A 表示“随机抽取2名，其中男、女各一名，都倾向于网购”，则P (A )＝1－P (A )＝1－C 13×C 12C 15×C 15＝1925.(2)X 所有可能的取值为0,1,2,3，且P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，则P (X ＝0)＝724，P (X ＝1)＝2140，P (X ＝2)＝740，P (X ＝3)＝1120.所以X 的分布列为E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.10．(2019·山东临沂模拟)甲、乙两人轮流射击，每人每轮射击一次，先射中者获胜，射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束．设甲每次射击命中的概率为23，乙每次射击命中的概率为25，且每次射击互不影响，约定甲先射击．(1)求甲获胜的概率；(2)求射击结束时甲的射击次数X 的分布列和数学期望E (X )． [解析] (1)记甲第i 次射击中获胜的事件为A i (i ＝1,2,3)， 则A 1，A 2，A 3彼此互斥，甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3， P (A 1)＝23，P (A 2)＝13×35×23＝215，P (A 3)＝(13)2×(35)2×23＝275.故P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝23＋215＋275＝6275.(2)X 的所有可能取值为1,2,3. P (X ＝1)＝23＋13×25＝45，P (X ＝2)＝13×35×23＋13×35×13×25＝425，P (X ＝3)＝(13)2×(35)2×1＝125.X 的分布列为：X 1 2 3 P45425125故E (X )＝1×45＋2×425＋3×125＝3125.B 组能力提升1．(2019·西安质检)已知随机变量ξ的分布列如下：ξ 0 1 2 Pabc其中a ，b ，c ( B ) A ．16B ．13C ．12D ．56[解析] 由题意知a ，b ，c ∈[0,1]，且⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1，解得b ＝13，又函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点，故对于方程x 2＋2x ＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1， 所以P (ξ＝1)＝13.2．(2019·长沙模拟)一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n的是( D )A ．P (X ＝3)B ．P (X ≥2)C ．P (X ≤3)D ．P (X ＝2)[解析] 由超几何分布知P (X ＝2)＝(n －m )A 2mA 3n，故选D.3．(2019·吉林模拟)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球，设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P (ξ＝2)＝310. [解析] P (ξ＝2)＝C 11C 13C 12C 14＋C 23C 22C 24C 26＝310. 4．设离散型随机变量X 的分布列为则|X －1|的分布列为________.[解析] ∵0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，∴m ＝0.3， |X －1|的取值为0,1,2， P (|X －1|＝0)＝P (X ＝1)＝0.1，P (|X －1|＝1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＝0.4， P (|X －1|＝2)＝P (X ＝－1)＋P (X ＝3)＝0.5， ∴|X －1|的分布列为5.(2019·海南模拟)4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列． [解析] (1)由题意知，在7张卡片中，编号为3的卡片有2张，故所求概率为P ＝1－C 45C 47＝1－535＝67.(2)由题意知，X 的可能取值为1,2,3,4，且 P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝435，P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝47.所以随机变量X 的分布列是6.(2019·名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其中7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列．[解析] (1)所求概率P ＝C 13C 27＋C 37C 310＝4960；(2)X 的取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 36C 310＝16，P (X ＝1)＝C 14C 26C 310＝12，P (X ＝2)＝C 24C 16C 310＝310，P (X ＝3)＝C 34C 310＝130，∴随机变量X 的分布列为7.(2020·喜迎国庆”歌咏比赛活动，《歌唱祖国》《精忠报国》《我和我的祖国》等一系列歌曲深受同学们的青睐，高二某班就是否选择《精忠报国》作为本班参赛歌曲进行投票表决，投情况如下表.(1)若从第14人中至少有2人赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的概率；(2)若从第五组和第七组的同学中各随机选取2进行调查，选取的4人中不赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．[解析] (1)P 1＝1－C 23C 23＋C 14C 13C 23＋C 23C 13C 13C 27C 26＝2735. (2)各小组人员情况：X P (X ＝0)＝C 25C 24C 27C 26＝421，P (X ＝1)＝C 12C 15C 24＋C 25C 14C 12C 27C 26＝49， P (X ＝2)＝C 22C 24＋C 25C 22＋C 15C 12C 14C 12C 27C 26＝32105， P (X ＝3)＝C 22C 12C 14＋C 15C 12C 22C 27C 26＝235， P (X ＝4)＝C 22C 22C 27C 26＝1315，随机变量X 的分布列为E (X )＝0＋49＋2×32105＋3×235＋4×1315＝2621.。
高考数学一轮复习---离散型随机变量的均值与方差、正态分布
离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、基础知识1.均值一般地，若离散型随机变量X的分布列为：则称E(X)＝x1p1＋x2p2i i n n.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.,(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态.,(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加.2.方差设离散型随机变量X的分布列为：则(x i－E(X))2描述了x i(i＝)＝(x i－E(X))2p i为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差.(1)随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.D(X)越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散.反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近.,(2)方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负.3.两个特殊分布的期望与方差4.正态分布(1)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(2)正态分布的三个常用数据①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682 6；②P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)≈0.954 4；③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)≈0.997 4.二、常用结论若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 是常数，X 是随机变量，则 (1)E (k )＝k ，D (k )＝0，其中k 为常数； (2)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )； (3)E (X 1＋X 2)＝E (X 1)＋E (X 2)； (4)D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2；(5)若X 1，X 2相互独立，则E (X 1·X 2)＝E (X 1)·E (X 2).(6)若X ～N (μ，σ2)，则X 的均值与方差分别为：E (X )＝μ，D (X )＝σ2. 三、考点解析考点一 离散型随机变量的均值与方差例、为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E (ξ)，方差D (ξ).跟踪训练1.随机变量X 的可能取值为0,1,2，若P (X ＝0)＝15，E (X )＝1，则D (X )＝( )A.15B.25C.55D.1052.随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化.某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店.(1)若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率； (2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X 的分布列和数学期望.考点二 二项分布的均值与方差例、某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对其每天的用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图(单位：吨).若用水量不低于95吨，则称这一天的用水量超标.(1)从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天的用水量超标的概率；(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量X 为未来这3天中用水量超标的天数，求X 的分布列、数学期望和方差.[解题技法]二项分布的期望与方差(1)如果ξ ～B (n ，p )，则用公式E (ξ)＝np ，D (ξ)＝np (1－p )求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E (a ξ＋b )＝aE (ξ)＋b 以及E (ξ)＝np 求出E (a ξ＋b )，同样还可求出D (a ξ＋b ).跟踪训练1.设X 为随机变量，且X ～B (n ，p )，若随机变量X 的数学期望E (X )＝4，D (X )＝43，则P (X ＝2)＝________.(结果用分数表示)2.一个盒子中装有大量形状、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为[5,15]，(15,25]，(25,35]，(35,45]，由此得到样本的重量频率分布直方图(如图).(1)求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5,15]内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望(以直方图中的频率作为概率).考点三 均值与方差在决策中的应用例、某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p (0＜p ＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用. ①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ； ②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？[解题技法]离散型随机变量的期望和方差应用问题的解题策略(1)求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望、方差公式进行计算.(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属于二项分布，可用二项分布的期望与方差公式计算，则更为简单.(3)在实际问题中，若两个随机变量ξ1，ξ2，有E (ξ1)＝E (ξ2)或E (ξ1)与E (ξ2)较为接近时，就需要用D (ξ1)与D (ξ2)来比较两个随机变量的稳定程度.即一般地将期望最大(或最小)的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案.跟踪训练某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.考点四 正态分布例、(1)设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )A.P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B.P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C.对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D.对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t ) (2)已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (X ≥4)＝0.158 7，则P (2＜X ＜4)＝( ) A.0.682 6 B.0.341 3 C.0.460 3 D.0.920 7(3)某校在一次月考中有900人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布X ～N (90，a 2)(a ＞0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有________人.[解题技法]正态分布下2类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.跟踪训练1.已知随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，若P (ξ＜2)＝P (ξ＞6)＝0.15，则P (2≤ξ＜4)等于( ) A.0.3 B.0.35 C.0.5 D.0.72.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2). (1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. ①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得x ＝9.97，s ≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ＜Z ＜μ＋3σ)＝0.997 4.0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.课后作业1.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的期望为( )A.13B.23C.2D.832.已知随机变量X 服从正态分布N (a,4)，且P (X ＞1)＝0.5，P (X ＞2)＝0.3，则P (X ＜0)＝( ) A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.83.已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布N (100,4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有( )(附：若X 服从N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954 5) A.4 093件 B.4 772件 C.6 827件 D.8 186件4.某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是( )A.3B.83C.2D.535.某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动.参选的志愿者回答三个问题，其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设ξ为回答正确的题数，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝( )A.1B.43C.53D.26.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D (X )＝________.7.若随机变量ξ的分布列如表所示，E (ξ)＝1.6，则a －b ＝________.8.一个人将编号为1,2,3,4每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了.设放对的个数为ξ，则ξ的期望值为________. 9.某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2018年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选择的贷款期限的频数如下表：. (1)某大学2019年毕业生中共有3人准备申报此项贷款，计算其中恰有2人选择的贷款期限为12个月的概率；(2)设给某享受此项政策的自主创业人员的补贴为X 元，写出X 的分布列；该市政府要做预算，若预计2019年全市有600人申报此项贷款，则估计2019年该市共要补贴多少万元.10.某厂有4台大型机器，在一个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为13.(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%?(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资.每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润.若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值.提高练习1.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX ＝2.4，P (X ＝4)＜P (X ＝6)，则p ＝( )A.0.7B.0.6C.0.4D.0.32.设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ 没有零点的概率是12，则μ等于( )A.1B.2C.4D.不能确定 3.已知离散型随机变量X 的分布列如表所示，若E (X )＝0，D (X )＝1，则P (X ＜1)＝________.4.甲、乙两家外卖公司，元，每单送餐员抽成4元；乙公司，无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超出40单的部分送餐员每单抽成7元.假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表(1)现从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数，求这3天送餐单数都不小于40的概率.(2)若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望E(X)；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.5.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？。
高考数学-随机变量及其分布-1-离散型随机变量及其分布
专项-离散型随机变量及其分布列知识点1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：此表称为离散型随机变量P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列．(2)分布列的性质：① p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；① 11=∑=ni ip3．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布若随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称X 服从两点分布，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率． (2)超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ①N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．题型一离散型随机变量的理解【例1】下列随机变量中，不是离散型随机变量的是( ) A ．某个路口一天中经过的车辆数XB ．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度XC ．某超市一天中来购物的顾客数XD ．小马登录QQ 找小胡聊天，设X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，小胡在线0，小胡不在线【例2】写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和X ；(2)某汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y 表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数．【例3】袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示事件“放回5个红球”的是( ) A ．ξ＝4 B ．ξ＝5 C ．ξ＝6D ．ξ≤5【例4】袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，在有放回取出的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是 ( ) A ．5 B ．9 C ．10 D ．25【过关练习】1.指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． ①掷一枚质地均匀的硬币5次，出现正面向上的次数； ②掷一枚质地均匀的骰子，向上一面出现的点数； ③某个人的属相随年龄的变化； ④在标准状态下，水结冰的温度．2.某人射击的命中率为p (0<p <1)，他向一目标射击，若第一次射中目标，则停止射击，射击次数的取值是( ) A ．1,2,3，…，n B ．1,2,3，…，n ，… C ．0,1,2，…，nD ．0,1,2，…，n ，…3.同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为________．4.一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种．5．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ， (1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．题型二 离散型随机变量分布列的求法及性质【例1】某一随机变量ξ的概率分布列如表，且m ＋2n ＝1.2，则m －n2的值为( )A.－0.2 C ．0.1D ．－0.1【例2】已知离散型随机变量X 的分布列如下：则P (X ＝10)A.239 B.2310 C.139 D.1109 【例3】已知随机变量X 只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围为________．【过关练习】1.随机变量ξ的分布列如下：则ξ为奇数的概率为2.若离散型随机变量X 的分布列为：则常数c 的值为( ) A.23或13 B.23 C.13D ．13.由于电脑故障，随机变量X 的分布列中部分数据丢失，以代替，其表如下： 0.50.1根据该表可知题型三 两种特殊分布的应用【例1】某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X 表示4人中的团员人数，则P (X ＝3)＝( ) A.421 B.921 C.621 D.521【例2】一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．从中任意摸出两个球，用“X ＝0”表示两个球全是白球，用“X ＝1”表示两个球不全是白球，求X 的分布列．【过关练习】1.从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，随机变量ξ的概率分布列如下：则x 1，x 2，x 3的值分别为________．2.在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列．课后练习【补救练习】1．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1,2,3,4,5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X ，则X 所有可能值的个数是( ) A ．6 B ．7 C ．10D ．252.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________．3.在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X 的分布列．【巩固练习】1.设实数x ∈R ，记随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈(0，＋∞)，0，x ＝0，－1，x ∈(－∞，0).则不等式1x≥1的解集所对应的ξ的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．1或02.若P (ξ≤n )＝1－a ，P (ξ≥m )＝1－b ，其中m ＜n ，则P (m ≤ξ≤n )等于( ) A ．(1－a )(1－b ) B ．1－a (1－b ) C ．1－(a ＋b )D ．1－b (1－a )3.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)4.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分ξ的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab ，则这名运动员投中3分的概率是________5.在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场． (1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和； (2)若胜场次数为X ，求X 的分布列．【拔高练习】1.随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝n )＝an (n ＋1)，n ＝1,2,3,4，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<ξ<52的值为( ) A.23 B.34 C.45D.562.小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1 000元，3 000元，6 000元的奖品(不重复设奖)，每个问题回答正确与否相互之间没有影响，用X 表示小王所获奖品的价值，写出X 的所有可能取值及每个值所表示的随机试验的结果．。
高三数学考点-离散型随机变量及其分布列
10．6离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量的概念(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个随着试验结果变化而变化的变量来表示，那么这样的变量叫做____________，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量所有取值可以__________的随机变量，称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列(1)分布列设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1，2，…，n)的概率P(X ＝x i)＝p i，则称表为随机变量X的______________，简称为X的分布列．有时为了简单起见，也可用P(X＝x i)＝p i，i＝1，2，…，n表示X的分布列．(2)分布列的性质①________________________；②________________________.3．常用的离散型随机变量的分布列(1)两点分布(又称0－1分布、伯努利分布)随机变量X的分布列为(0<p<1)则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．(2)二项分布如果随机变量X的可能取值为0，1，2，…，n，且X取值的概率P(X＝k)＝__________(其中k＝0，1，2，…，则称X服从二项分布，记为____________．(3)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为__________________(k＝0，1，2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此时称随机变量X的分布列为超几何分布列，称随机变量X服从______________．自查自纠1．(1)随机变量(2)一一列出2．(1)概率分布列(2)①p i≥0，i＝1，2，3，…，n②i＝1np i＝13．(1)1－p(2)C k n p k q n－k C k n p k q n－k X～B(n，p)(3)C k M C n－kN－MC n N超几何分布某射手射击所得环数X的分布列为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为()A．0.28 B．0.88C．0.79 D．0.51解：P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.故选C.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C47C68C1015的是()A．P(X＝2) B．P(X≤2)C．P(X＝4) D．P(X≤4)解：X服从超几何分布P(X＝k)＝C k7C10－k8C1015，故k＝4.故选C.随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，则a的值为() A.1110 B.155C．110 D．55解：因为随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，所以a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，则55a＝1，即a＝155.故选B.已知X的分布列为X－101P1216a设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)的值是________．解：由分布列的性质，a ＝1－12－16＝13，所以E (X )＝－1×12＋0×16＋1×13＝－16，因此E (Y )＝E (2X ＋1)＝2E (X )＋1＝23.故填23.从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布列为________．解：依题意，随机变量X 的可能取值为0，1，2. 则P (X ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3，故X 的分布列为X 0 1 2 P0.10.60.3故填X 0 1 2 P0.10.60.3类型一 随机变量的概念与性质(1)设离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P0.20.10.10.3m求：(Ⅰ)2X ＋1的分布列； (Ⅱ)|X －1|的分布列． 解：由分布列的性质知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，解得X 0 1 2 3 4 2X ＋1 1 3 5 7 9 |X －1|1123从而由上表得所求分布列如下． (Ⅰ)2X ＋1的分布列：2X ＋1 1 3 5 7 9 P0.20.10.10.30.3(Ⅱ)|X －1|的分布列：|X －1| 0 1 2 3 P0.10.30.30.3(2)随机变量ξ的分布列如下：ξ－1 0 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|ξ|＝1)＝____________，公差d 的取值范围是____________． 解：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|ξ|＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d ≤13.故填23；⎣⎡⎦⎤－13，13. 【点拨】①研究随机变量的取值，关键是准确理解所定义的随机变量的含义．明确随机变量所取的值对应的试验结果是进一步求随机变量取这个值时的概率的基础．②注意离散型随机变量分布列的两个性质：p i ≥0，i ＝1，2，…，n ；∑i ＝1np i ＝1.③随机变量可能取某一区间内任意值，无法一一列出，则称这样的随机变量为连续型随机变量，如“长江水位”“灯管寿命”等；正态分布即是一种重要的连续型随机变量的分布．设随机变量X 等可能取值1，2，3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么n ＝________．解：由于随机变量X 等可能取1，2，3，…，n .所以取到每个数的概率均为1n .所以P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n＝0.3，因此n ＝10.故填10.类型二 求离散型随机变量的分布列袋子中有1个白球和2个红球．(1)每次取1个球，不放回，直到取到白球为止，求取球次数X 的分布列；(2)每次取1个球，有放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次，求取球次数X 的分布列； (3)每次取1个球，有放回，共取5次，求取到白球次数X 的分布列．解：(1)X ＝1，2，3.P (X ＝1)＝13；P (X ＝2)＝A 12A 33＝13；P (X ＝3)＝A 22A 33＝13.所以X 的分布列是X 12 3 P13 13 13(2)X ＝1，2，3，4，5.P (X ＝k )＝⎝⎛⎭⎫23k －1×13，k ＝1，2，3，4. P (X ＝5)＝⎝⎛⎭⎫234. 故X 的分布列为X 1 2 3 4 5 P13294278811681(3)因为X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，所以X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k⎝⎛⎭⎫235－k，其中k ＝0，1，2，3，4，5.【点拨】求随机变量的分布列，一要弄清什么是随机变量，建立它与随机事件的关系；二要把随机变量的所有值找出，不要遗漏；三是准确求出随机变量取每个值的概率，确定概率和为1后写出分布列．对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别．一般地，无放回抽样由排列数公式求随机变量对应的概率，放回抽样由分步计数原理求随机变量对应的概率．(2017·天津)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解：(1)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＝1124， P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫1－12×13×14＋12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＋12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以，随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P14112414124随机变量X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0) ＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148. 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.类型三 超几何分布(2015·天津)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 故事件A 发生的概率为635.(2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4.P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1，2，3，4)． 故随机变量X 的分布列为X 12 3 4 P1143737114故随机变量X 的数学期望E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.【点拨】①超几何分布的概率计算公式从古典概型的角度加以理解更易记忆：P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC nN，即恰取了k 件次品的概率＝次品中取了k 件×正品中取了n －k 件N 件产品中任取n 件.②当n 较小，N 较大时，超几何分布的概率计算可以近似地用二项分布来代替．也就是说虽然超几何分布是不放回抽样，二项分布是放回抽样，但是当n 较小而产品总数N 很大时，不放回抽样近似于放回抽样．③超几何分布在产品检验中经常用到．(2017·山东)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率；(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望E (X )．解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，则P (M )＝C 48C 510＝518.(2)由题意知X 可取的值为：0，1，2，3，4，则P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142，X 0 1 2 3 4 P1425211021521142X 的数学期望是E (X ) ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0＋1×521＋2×1021＋3×521＋4×142＝2.1．求离散型随机变量的分布列的步骤(1)明确随机变量的所有可能取值，以及每个值所表示的意义，判断一个变量是否为离散型随机变量，主要看变量的值能否按一定的顺序一一列出．(2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率．对于古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率等，都要能熟练计算． (3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质∑i ＝1np i ＝1验证．2．分布列的结构为两行，第一行为随机变量X 所有可能的取值，第二行是对应于随机变量X 的值的事件发生的概率．在每一列中，上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．3．可用超几何分布解决的题目涉及的背景多数是生活、生产实践中的问题，且往往由明显的两部分组成，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男生和女生等．注意弄清楚超几何分布与二项分布的区别与联系．1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能取值的个数是( ) A ．5 B ．9 C ．10 D ．25解：X 的所有可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．故选B. 2．下列表中可以作为离散型随机变量分布列的是( )解：A 中ξ的取值出现了重复性；B 中P (ξ＝0)＝－14<0；C 中∑i ＝13P (ξi )＝15＋25＋35＝65>1.故选D.3．(2015·合肥模拟)设某项试验的成功率是失败率的2倍，试验一次要么成功要么失败，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0 B.12 C.13 D.23解：X 可能取值为0或1，而P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，且P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1.所以P (X ＝0)＝13.故选C.4．(2015·安徽模拟)一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，所有的球除颜色外完全相同．连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，则下列概率等于（n －m ）A 2mA 3n 的是( ) A ．P (X ＝3) B ．P (X ≥2) C ．P (X ≤3) D ．P (X ＝2)解：由超几何分布知该式对应取球3次，第3次才取到黑球的概率，所以P (X ＝2)＝A 1n －m A 2mA 3n ＝（n －m ）A 2m A 3n.故选D.5．设ξξ－1 0 1 P121－2qq 2则q 的值为( ) A ．1 B ．1±22C ．1＋22 D ．1－22解法一：由分布列的性质，有 ⎩⎪⎨⎪⎧1－2q ≥0，q 2≥0，12＋1－2q ＋q 2＝1，解得q ＝1－22. 解法二：由1－2q ≥0q ≤12，可排除A 、B 、C ，故选D. 6．若P (ξ≤x 2)＝1－β，P (ξ≥x 1)＝1－α，其中x 1<x 2，则P (x 1≤ξ≤x 2)等于( ) A ．(1－α)(1－β) B ．1－(α＋β) C ．1－α(1－β)D ．1－β(1－α)解：由分布列性质可有：P (x 1≤ξ≤x 2)＝P (ξ≤x 2)＋P (ξ≥x 1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)．故选B. 7．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P (ξ＝2)＝____________． 解：ξ的可能取值为0，1，2，3，所以P (ξ＝2)＝C 13C 12C 14＋C 23C 22C 24C 26＝2790＝310.故填310. 8．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200投资成功 投资失败 192例8例则该公司一年后估计可获收益的期望是____________元．解：由题意知，一年后获利6 000元的概率为0.96，获利－25 000元的概率为0.04，故一年后收益的期望是6 000×0.96＋(－25 000)×0.04＝4 760(元)．故填4 760.9．某高校的一科技小组有5名男生，5名女生，从中选出4人参加全国大学生科技大赛，用X 表示其中参加大赛的男生人数，求X 的分布列． 解：依题意随机变量X 服从超几何分布，所以P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 5C 410(k ＝0，1，2，3，4)．所以P (X ＝0)＝C 05C 45C 410＝142，P (X ＝1)＝C 15C 35C 410＝521，P (X ＝2)＝C 25C 25C 410＝1021，P (X ＝3)＝C 35C 15C 410＝521，P (X ＝4)＝C 45C 05C 410＝142，所以X 的分布列为10.(2017·湖北荆门调考)某市每年中考都要举行实验操作考试和体能测试，初三某班共有30名学生，下表为该班学生的这两项成绩，例如表中实验操作考试和体能测试都为优秀的学生人数为6人．由于部分数据丢失，只知道从这班30人中随机抽取一个，实验操作成绩合格，且体能测试成绩合格或合格以上的概率是15.(1)试确定a 、b 的值；(2)从30人中任意抽取3人，设实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.解：由表格数据可知，实验操作成绩合格、且体能测试成绩合格或合格以上的学生共有(4＋a )人，记“实验操作成绩合格、且体能测试成绩合格或合格以上”为事件A ，则P (A )＝4＋a 30＝15，解得a ＝2，所以b ＝30－24－a ＝4.所以a 的值为2，b 的值为4.(2)由于从30位学生中任意抽取3位的结果数为C 330，其中实验操作成绩和体能测试成绩都是良好或优秀的学生人数为15人，从30人中任意抽取3人，其中恰有k 个实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的结果数为C k 15C 3－k 15，所以从30人中任意抽取3人，其中恰有k 人实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的概率为：P (ξ＝k )＝C k 15C 3－k15C 330，(k ＝0，1，2，3)，ξ的可能取值为0，1，2，3， 则P (ξ＝0)＝C 015C 315C 330＝13116，P (ξ＝1)＝C 115C 215C 330＝45116，P (ξ＝2)＝C 215C 115C 330＝45116，P (ξ＝3)＝C 315C 015C 330＝13116，所以ξ的分布列为P13116 45116 45116 13116Eξ＝0×13116＋1×45116＋2×45116＋3×13116＝174116＝32.11．(2015·陕西)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T (分钟) 25 30 35 40 频数(次)20304010(1)求T 的分布列与数学期望E (T )；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 解：(1)由统计结果可得T T (分钟) 25 30 35 40 频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T 的分布列为T 25 30 35 40 P0.20.30.40.1从而E (T )＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)．(2)设T 1，T 2分别表示往、返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同．设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”．解法一：P (A )＝P (T 1＋T 2≤70)＝P (T 1＝25，T 2≤45)＋P (T 1＝30，T 2≤40)＋P (T 1＝35，T 2≤35)＋P (T 1＝40，T 2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.解法二：P (A )＝P (T 1＋T 2>70)＝P (T 1＝35，T 2＝40)＋P (T 1＝40，T 2＝35)＋P (T 1＝40，T 2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09， 故P (A )＝1－P (A )＝0.91.已知一个口袋中装有n 个红球(n ≥1且n ∈N *)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则为中奖，否则不中奖．(1)当n ＝3时，设三次摸球(每次摸球后放回)中奖的次数为ξ，求ξ的分布列； (2)记三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P ，当n 取多少时，P 最大． 解：(1)当n ＝3时，每次摸出两个球，中奖的概率P ＝C 13C 12C 25＝35.由题意知ξ的可能值为0，1，2，3， 故有P (ξ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫253＝8125；P (ξ＝1)＝C 13×35×⎝⎛⎭⎫252＝36125； P (ξ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫352×25＝54125；P (ξ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫353＝27125.ξ的分布列为ξ0 1 2 3或P (ξ＝i )＝C i 3×⎝⎛⎭⎫35i ×⎝⎛⎭⎫253－i ，i ＝0，1，2，3. (2)设每次摸球中奖的概率为p ，则三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P (ξ＝2)＝C 23·p 2·(1－p )＝－3p 3＋3p 2，0<p <1，由P ′＝－9p 2＋6p ＝－3p (3p －2)知，在⎝⎛⎭⎫0，23上P 为增函数，在⎝⎛⎭⎫23，1上P 为减函数，所以当p ＝23时，P 取得最大值．又p ＝C 1n ·C 12C 2n ＋2＝4n （n ＋1）（n ＋2）＝23，即n 2－3n ＋2＝0，解得n ＝1或n ＝2. 所以当n 取1或2时，P 最大．。
高中数学离散型随机变量的分布列教案新人教A版选修
一、教案简介本教案为人教A版高中数学选修课程《离散型随机变量的分布列》的教学设计，主要针对高中学生，旨在帮助学生理解离散型随机变量的概念，掌握分布列的性质及其计算方法，培养学生的数学思维能力和实际应用能力。
二、教学目标1. 理解离散型随机变量的定义及其性质。
2. 掌握离散型随机变量的分布列的概念及其计算方法。
3. 能够运用分布列解决实际问题，提高数学建模能力。
三、教学内容1. 离散型随机变量的定义及其性质。
2. 分布列的概念及其计算方法。
3. 常用离散型随机变量的分布列（如伯努利分布、二项分布、几何分布等）。
4. 离散型随机变量分布列的应用。
四、教学过程1. 引入新课：通过实例介绍离散型随机变量的概念，引导学生思考其分布规律。
2. 讲解离散型随机变量的定义及其性质，让学生理解并掌握基本概念。
3. 讲解分布列的概念及其计算方法，让学生能够自行求解离散型随机变量的分布列。
4. 通过例题讲解常用离散型随机变量的分布列及其应用，让学生能够解决实际问题。
5. 课堂练习：让学生运用所学知识解决实际问题，巩固课堂所学。
五、教学评价1. 课堂问答：检查学生对离散型随机变量及其分布列的基本概念的理解。
2. 课堂练习：评估学生运用分布列解决实际问题的能力。
3. 课后作业：巩固学生对离散型随机变量分布列的知识，提高学生的数学应用能力。
六、教学策略1. 实例引入：通过生活中的实际例子，激发学生的学习兴趣，引导学生思考离散型随机变量的分布规律。
2. 互动教学：在讲解过程中，鼓励学生积极参与，提问解答，增强课堂的互动性。
3. 分层教学：针对学生的不同层次，给予适当的引导和辅导，使所有学生都能跟上教学进度。
4. 实践操作：通过大量的例题和练习，让学生在实践中掌握离散型随机变量的分布列的计算方法及其应用。
七、教学资源1. PPT课件：制作精美的PPT课件，直观展示离散型随机变量的分布列的性质和计算方法。
2. 教学案例：收集与离散型随机变量分布列相关的实际案例，用于引导学生思考和巩固所学知识。
【高中数学】离散型随机变量及分布列
【高中数学】离散型随机变量及分布列【知识总结】1．随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做__ ______. 常用希腊字母ξ、η等表示. 说明：(1)随机试验中，可能出现的结果都可以用一个数表示，如掷一枚硬币，“正面向上”用数字“1”表示，即X =1； (2)这个数在随机试验前是无法预先确定的，在不同的随机试验中，结果可能有变化，说明随机试验的结果可以用一个变量来表示。
如某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，…命中10环等结果，即可能结果用0，1，2，…，10这11个数表示；(3)所谓随机变量不过是建立起基本事件空间与实数的一个对应关系。
如设随机变量X 为骰子掷出的点数，于是X =1，2，3，4，5，6，或者说X 的值域为{}1,2,3,4,5,6；(4)随机变量是把随机试验的结果映射为实数，函数是把实数映射为实数，与函数概念本质上是相同的。
在函数的概念中，函数()f x 的自变量是实数x ，随机变量的概念中，随机变量X 的自变量是随机试验的结果。
2. 离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做_____________. 说明：随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量，我们只研究离散型随机变量。
3. 连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做_____________.4. 分布列：设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表ξx 1 x 2 … x i … PP 1 P 2 … P i …为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.5. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1。
由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：(1) .(2)________ _____.特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和.即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ注意：(1)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，ξ=0，表示正面向上，ξ=1，表示反面向上(2)若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量6．求离散型随机变量X 的分布列的步骤： (1)确定X 的可能取值i x （i =1，2，…，n ）； (2)求出相应的概率()i i P X x p ==； (3)列成表格的形式.7．如果随机变量X 的分布列为：X 01P1-pp称为两点分布。
2021高考数学一轮复习第十二章概率随机变量及其分布123离散型随机变量的分布列均值与方差课件理新
(2)该顾客获得的奖品总价值X元的分布列.
解 依题意可知，X的所有可能取值为0,10,20,50,60， 且 P(X＝0)＝CC40C21026＝13，P(X＝10)＝CC31C21016＝52， P(X＝20)＝CC21230＝115，P(X＝50)＝CC11C21016＝125，P(X＝60)＝CC11C21013＝115. 所以X的分布列为
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.
(√) (2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × ) (3)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.( √ )
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.
思维升华
SI WEI SHENG HUA
离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略 (1)求离散型随机变量的均值与方差.可依题设条件求出离散型随机变量的分布 列，然后利用均值、方差公式直接求解. (2)由已知均值或方差求参数值.可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数 的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值. (3)由已知条件，作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义，对实际问 题作出判断.
跟踪训练1 在一次购物抽奖活动中，假设某10张劵中有一等奖券1张，可获 价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有 奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率；
解 该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能 地抽取， 所以该顾客中奖的概率 P＝C14CC16＋210 C42＝3405＝23. 或用间接法，即P＝1－CC12260＝1－1455＝23.
2020年高考数学专题复习离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果的变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及其性质(1)概念：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则下表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时为了表达简单，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0(i ＝1，2，…，n )；②∑ni ＝1p i ＝1． 3．常见的离散型随机变量分布列 (1)两点分布若随机变量X 服从两点分布，则其分布列为其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． (2)超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0，1，2，…，m ，即：其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．( ) (2)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．( )(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( ) (6)由下表给出的随机变量X 的分布列服从两点分布．( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)×(教材习题改编)设随机变量X 的分布列如下表所示，则p 4的值是( )A.1 B ．12 C ．14D ．18解析：选D.由分布列的性质，得12＋14＋18＋p 4＝1，所以p 4＝18.设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k 15，k ＝1，2，3，4，5，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝________．解析：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝115＋215＝15. 答案：15在含有3件次品的10件产品中任取4件，则取到次品数X 的分布列为________． 解析：由题意知，X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝4，所以分布列为P (X ＝k )＝C k3·C 4－k7C 410，k ＝0，1，2，3.答案：P(X ＝k )＝C k 3·C 4－k7C 410，k ＝0，1，2，3离散型随机变量的分布列的性质设离散型随机变量X 的分布列为求：(1)2X ＋1的分布列； (2)|X －1|的分布列．【解】 由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1， 解得m ＝0.3. (1)2X ＋1的分布列为(2)|X －1|的分布列为在本例条件下，求P (1<X ≤4)． 解：由本例知，m ＝0.3，P (1<X ≤4)＝P (X ＝2)＋(X ＝3)＋P (X ＝4)＝0．1＋0.3＋0.3＝0.7.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值；(2)若X 为随机变量，则2X ＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．1．设随机变量X 等可能地取1，2，3，…，n ，若P (X ＜4)＝0.3，则n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．10D ．不确定解析：选C.“X ＜4”的含义为X ＝1，2，3，所以P (X ＜4)＝3n＝0.3，所以n ＝10.2．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________． 解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d≤13. 答案：23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13离散型随机变量的分布列(高频考点)离散型随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)用频率代替概率的离散型随机变量的分布列； (2)古典概型的离散型随机变量的分布列；(3)与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法．(下一讲内容)角度一 用频率代替概率的离散型随机变量的分布列某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列． 【解】 (1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X 的可能取值为2，3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X 的分布列为角度二 古典概型的离散型随机变量的分布列(2019·浙江省名校协作体高三联考)一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红色球4个，编号分别为1，2，3，4；白色球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同)．(1)求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率；(2)在取出的3个小球中，小球编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列． 【解】 (1)“设取出的3个小球中，含有编号为4的小球”为事件A ， P (A )＝C 12C 24＋C 22C 14C 36＝45，所以取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率为45. (2)X 的可能取值为3，4，5.P (X ＝3)＝1C 36＝120；P (X ＝4)＝C 12C 23＋C 22C 13C 36＝920； P (X ＝5)＝C 35C 36＝12，所以随机变量X 的分布列为离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义． (2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率． (3)画表格：按规范要求形式写出分布列．(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．[提醒] 求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8且n ∈N *)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X ，求X 的分布列． 解：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n －6C 16C 2n ＝12（n －6）n （n －1），则12（n －6）n （n －1）≥12，化简得n 2－25n ＋144≤0，解得9≤n ≤16， 故n 的最大值为16.(2)由题意得，X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 26C 212＝522，P (X ＝1)＝C 16C 16C 212＝611，P (X ＝2)＝C 26C 212＝522，X 的分布列为超几何分布一个袋中有大小相同的黑球和白球共10个．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列． 【解】 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝3， P (X ＝k )＝C k 5C 3－k5C 310，k ＝0，1，2，3.于是可得其分布列为在本例条件下，若从袋中任意摸出4个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列．解：X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝4， P (X ＝k )＝C k 5C 4－k5C 410，k ＝0，1，2，3，4，于是可得其分布列为超几何分布的特点(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出．(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列． 解：(1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以，事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4. P (X ＝k )＝C k 5C 4－k3C 48(k ＝1，2，3，4)．所以，随机变量X 的分布列为对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率．易错防范(1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的． (2)对于分布列易忽视其性质p 1＋p 2＋…＋p n ＝1及p i ≥0(i ＝1，2，…，n )，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．[基础达标]1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0B ．12C ．13D ．23解析：选C.设X 的分布列为即“X ＝0”表示试验失败，“X ＝1”表示试验成功．由p ＋2p ＝1，得p ＝13，故应选C.2．(2019·绍兴调研)在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)解析：选C.X 服从超几何分布，P (X ＝k )＝C k 7C 10－k8C 1015，故k ＝4，故选C.3．设随机变量Y 的分布列为则“32≤Y ≤72”的概率为( )A ．14B ．12C ．34D ．23解析：选C.依题意知，14＋m ＋14＝1，则m ＝12.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤Y ≤72＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＝12＋14＝34.4．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：若F (x )＝P (X ≤x )，则当x 的取值范围是[1，2)时，F (x )等于( ) A ．13 B ．16 C ．12D ．56解析：选D.由分布列的性质，得a ＋13＋16＝1，所以a ＝12.而x ∈[1，2)，所以F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.5．已知离散型随机变量X 的分布列为则P (X ∈Z )＝( ) A ．0.9 B ．0.8 C ．0.7D ．0.6解析：选A.由分布列性质得0.5＋1－2q ＋13q ＝1，解得q ＝0.3，所以P (X ∈Z )＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9，故选A.6．抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)＝________． 解析：抛掷2颗骰子有36个基本事件，其中X ＝2对应(1，1)；X ＝3对应(1，2)，(2，1)；X ＝4对应(1，3)，(2，2)，(3，1)．所以P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝136＋236＋336＝16.答案：167．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．解析：设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，所以a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，得－13≤d ≤13.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，138．若离散型随机变量X 的分布列为则常数c ＝________，P (X ＝1)＝________． 解析：依分布列的性质知，⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ≥0，3－8c ≥0，9c 2－c ＋3－8c ＝1，解得c ＝13，故P (X ＝1)＝3－8×13＝13.答案：13 139．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X 的分布列为________．解析：X 的所有可能值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (X ＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (X ＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.所以X 的分布列为答案：10.(2019·温州市高考模拟)袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是________，设摸取的这三个球中所含的黑球数为X ，则P (X ＝k )取最大值时，k 的值为________．解析：袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是：n ＝C 26C 13＝45.设摸取的这三个球中所含的黑球数为X ，则X 的可能取值为0，1，2，3， P (X ＝0)＝C 33C 39＝184，P (X ＝1)＝C 16C 23C 39＝1884，C 984P (X ＝3)＝C 36C 39＝2084，所以P (X ＝k )取最大值时，k 的值为2. 答案：45 211．抛掷一枚质地均匀的硬币3次． (1)写出正面向上次数X 的分布列； (2)求至少出现两次正面向上的概率． 解：(1)X 的可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝C 0323＝18；P (X ＝1)＝C 1323＝38；P (X ＝2)＝C 2323＝38；P (X ＝3)＝C 3323＝18.所以X 的分布列为(2)至少出现两次正面向上的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝38＋18＝12. 12．(2019·台州高三质检)在一次购物活动中，假设每10张券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获得价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张券中任取2张．(1)求该顾客中奖的概率；(2)求该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列． 解：(1)该顾客中奖的概率P ＝1－C 04C 26C 210＝1－1545＝23.(2)X 的所有可能取值为0，10，20，50，60，且 P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，C 1015故X 的分布列为[能力提升]1．(2019·浙江高中学科基础测试)一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5；4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．(1)求取出的3个球编号都不相同的概率；(2)记X 为取出的3个球中编号的最小值，求X 的分布列．解：(1)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ，则P (B )＝C 14C 17C 39＝2884＝13，所以P (A )＝1－P (B )＝23.(2)X 的取值为1，2，3，4，P (X ＝1)＝C 12C 27＋C 22C 17C 39＝4984，P (X ＝2)＝C 12C 25＋C 22C 15C 39＝2584， P (X ＝3)＝C 12C 23＋C 22C 13C 39＝984，P (X ＝4)＝1C 39＝184. 所以X 的分布列为2.(2019·惠州市第三次调研考试)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3. P (X ＝k )＝C k4·C 3－k6C 310(k ＝0，1，2，3)． 所以随机变量X 的分布列为3.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)，这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28(种)，当X ＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27. (2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0，1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为4.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用X 表示终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数； (2)求随机变量X 的分布列； (3)求甲取到白球的概率． 解：(1)设袋中原有n 个白球，由题意知17＝C 2nC 27＝n （n －1）27×62＝n （n －1）7×6，所以n (n －1)＝6，解得n ＝3或n ＝－2(舍去)． 即袋中原有3个白球．(2)由题意知X 的可能取值为1，2，3，4，5.P (X ＝1)＝37； P (X ＝2)＝4×37×6＝27； P (X ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P (X ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (X ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以取球次数X 的分布列为(3)因为甲先取，所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球． 设“甲取到白球”的事件为A ， 则P (A )＝P (X ＝1或X ＝3或X ＝5)．因为事件“X ＝1”“X ＝3”“X ＝5”两两互斥，所以P (A )＝P (X ＝1)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝37＋635＋135＝2235.。
高中数学离散型随机变量的分布列、均值与方差
离散型随机变量的分布列、均值与方差 结 束
抓高考命题的“形”与“神” 离散型随机变量均值与方差的计算
1．均值与方差的一般计算步骤 (1)理解X的意义，写出X的所有可能取的值； (2)求X取各个值的概率，写出分布列； (3)根据分布列，由均值的定义求出均值E(X)，进一步由公
n
式D(X)＝ xi－EX2pi＝E(X2)－(E(X))2求出D(X)．
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[易错提醒] 利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此 时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
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求离散型随机变量的分布列 [例2] 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
i＝1
了随机变量X与其均值E(X)的_平__均__偏__离__程__度__，其算术平方根 DX为随机变量X的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝_a_E__(X__)＋__b__， (2)D(aX＋b)＝_a_2_D_(_X_)_ (a，b为常数)．
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考点贯通
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求 随机变量X的分布列．
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[解] (1)由已知，有P(A)＝C31CC41＋120 C23＝13.
所以事件A发生的概率为13.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝C23＋CC21320＋C24＝145，
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高考数学一轮复习离散型随机变量的均值与方差
第8节离散型随机变量的均值与方差最新考纲了解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念口归敦材，夯实:基础IS础诊断知识梳理i. 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为(1)均值称E (X)= X]p]+ X?02+…+ X]p i+…+ X n P n为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差n称D (X)=£_(x i — E (X)) 2p丄为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与i = 1其均值E (X)的平均偏离程度，其算术平方根 D (X)为随机变量X的标准差.2. 均值与方差的性质(1) E (aX+ b)= aE (X)+ b.(2) D (aX+ b)= a2D (X) (a, b 为常数).3. 两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E (X)= p, D (X)= p (1 —p).(2)若X〜B (n, p)，则 E (X)= np，D (X)= np (1 —p).[常用结论与微点提醒]1. 已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数丫= aX+ b的均值、方差和标准差，可用均值、方差的性质求解；2. 如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解.诊断自测1•思考辨析（在括号内打“/或“ X”） （1） 期望值就是算术平均数，与概率无关•（）（2）随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量 .（）（3） 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度， 方差 或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.（）（4） 均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事 （ ） 解析均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散 型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故（1）（4）均 不正确.答案（1）X （2）V2. （选修2-3P68T1改编）设丫二2X + 3,则E (丫)的值为( )A.3B.4C.-1D.111 1 解析 E (x )= — 2+ g =-3，（3）V（4）X4. (2017全国U 卷)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件, 有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则 D (X )= _____________ 解析 有放回地抽取，是一个二项分布模型，则 X 〜B (100，0.02)，所以 D (X )= np (1 — p )= 100X 0.02X 0.98=1.96.答案 1.96则a= _________ ，数学期望E (X )= _____________49 25 9 1 65E (X )=1X 84+ 2X 84+ 3X 84+ 4X 84=42. 答案25 65答案 84 42 6. (2018湖州调研)甲、乙两人被随机分配到 A ，B ，C 三个不同的岗位(一个人只能去一个工作岗位).记分配到A 岗位的人数为随机变量X ,则随机变量X 的数 学期望E (X )= _____________ ，方差D (X )= _____________ .0 OA解析 由题意可得X 的可能取值有0，1, 2，P (X = 0)= 亍 =9 P (X = 1)3X 3 9C 2X 2 4 11^44 12 =3X 3 = 9,P (X= 2) = 3X 3=9，则数学期望 E (X )= 0X 9+ 1X9+ 2X 9= 3,已知随机变量X 的分布列如下: 5. (2018金华十校联考)解析 由分布列的性质可得:49 9 1 84+ a + 84+ 84= 1,解得a = 2584.考克突破分类讲竦，以例求试考点一 一般分布列的均值与方差方差D (X )224=0—3 X 9+21-3X 4+ 2-22 43 X9=9.【例3】(3)(2038浙江三市联考)已知某口袋中有3个白球和a 个黑球(a € N ), 现从中随机取出一球，再放回一个不同颜色的球(即若取出的是白球，则放回一 个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球)，记换好球后袋中白球的个数是 E若 E (— 3,则 D (5 = ( )3 3 A.|B.3C.|D.2(2) (2038浙江五校联考)从装有大小相同的3个红球和6个白球的袋子中，不 放回地每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球时试验结束，则第一次 试验恰摸到一个红球和一个白球的概率是 ___________________ ;若记试验次数为X ，则X 的 数学期望E (X )= ___________ .3a解析(3)由题意，知 5= 2 或 4，P ( 5= 2)=， P ( 5= 4)= ，则 E a + 3 a + 3 3 a (5 = 2X ------- + 4X ------ = 3,解得 a = 3，a + 3a + 33 3 22••• P ( 5= 2)= P ( = 4)= 2,则 D (5 = $ (2-3) 2+(4-3) 2] = 3. c !c 3 3(2)第一次试验恰摸到一个红球和一个白球的概率是p=-c£=2；若记试验次数为X ,则X = 3, 2, 3, 4,于是c l c 4 C 2C 3+ C 2 93P ( x =3)= C 9C 4—^1 二 84二 l8，P(X = 4) = C l C 4 C |=需,则 X 的数学期望 E(X ) = 3 X -32+ I X 84+ 3x 18+ 4X 84 65 =4I .答案(3) B (I ) 3 45P (X = 3)c 3c 3 + c i 7 —c —=32,P (X = 2)2629c 「c25一规律方法(3)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能(2) (2018温州九校联考)将四位同学等可能地分到甲、乙、丙三个班级，则甲 班级至少有一位同学的概率是 _________________ ，用随机变量a 表示分到丙班级 的人数，则E ( a = _____________ .1 1 1 解析 (1)由已知，得1+3+ p = 1,所以p =6, 且 E (X ) — 2X 1+ O X 1+ 1X 1一 6, ••• E (Y )= E (2X + 3)= 2E (X ) + 3 = 2X 1 + 1 + C 4 + C 4 + C 4 16 =81,所以甲班级至少有一位同学的概率为1-81=H •随机变量a 的可能取值为【例2】(1)已知随机变量X 服从二项分布B (n , p ),若E (X )= 30, D (X ) =20」p = (2)(一题多解)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时, 就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 _____________ 解析 (1)依题意可得 E (X )= np = 30,且 D (X )= np (1 — p )= 20,解得 p4- 3 --3+(2 )甲班级没有分到同学的概率为0, 1, 2, 3, 4,则 P (E=0)=話 P ( E= 1)=C 4 ( 1 + 1 + C 3+ C 3)32= P 81’ P(V 2)=C 2 (1 + 1+ 2)3 24 C 4X 2 8 21, P (= 3)= 丁=81, P (片4)24 8 1 4 +2X 81+3X 81+4X 81=3. 答案(1) 1 3(2) 8? 4考点二与二项分布有关的均值、方差=扛81,于是E (a =0X 暮+1X 32值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算则 p = ________ ;若 Y = 2X + 3,贝U E (Y )= __________ .1=3.1 3(2)法一由题意可知每次试验不成功的概率为4,成功的概率为4,在2次试验中成功次数X的可能取值为0，1, 2,则1 1 1 3 3P (X=o)= 16, P(x= 1)= C2X4X4二8,29P(X= 1 2 = 4 =所以在2次试验中成功次数X的分布列为则在2次试验中成功次数X的均值为1 3 9 3E (X)二o x 16+ 1X8+2X—=^.3法二此试验满足二项分布，其中p= 4,所以在2次试验中成功次数X的均值为3 3E (X)= np= 2X4 = 21 3答案(1) 3 (2) 3规律方法二项分布的期望与方差(1)如果E〜B (n, p),则用公式E (B = np；D ( $ = np (1 —p)求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用 E (a& b)= aE ( $ + b以及E ( $ = np求出 E (a& b),同样还可求出D (a& b).【训练2】(1)有10道数学单项选择题，每题选对得4分，不选或选错得0分.1已知某考生能正确答对其中的7道题，余下的3道题每题能正确答对的概率为-.假设每题答对与否相互独立，记E为该考生答对的题数，n为该考生的得分，则P (E= 9)= ________ , E ( n) = _________ .(2) (2018杭州学军中学模拟)商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖•每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出1个球.在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖，则顾客抽奖1次能获奖的概率是 __________ ;若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,贝U E (X)= ____________ .2解析(1) P ( 9)= C3x 1 x 1 —£= |.由题意可得：E 7，8，9，10，n= 4g 且(E—7)〜B$, 3 4j.3P ( &7)= C3x 1—3 二27，2P ( &8)= C1X3X 1—3 二9，22 Q 2 2P ( E9)= C3X 3 x3二9，31、 1P( 10)= c3x 3 = 27.••• E的分布列为：8 4 2 1E ( 0 = 7X27+ 8X9+ 9X9+ 10X27 = 8.E (n) = E (4 0 = 4E (0 = 32.2 3(2 )由题得，在甲箱中抽中红球、白球的概率分别为5，5,在乙箱中抽中红球、3 7 2 1 13 1 3 13白球的概率分别为2 2.抽奖一次不获奖的概率为£x?=10，所以其(对立事件)获奖的概率为1-10二缶.因为每次获得一等奖的概率为2x 1 = 1, 3次抽奖相互独、” 1 3立，故 E (X)= np= 3x5= 5.2 7 3答案(1)9 32 (2)和 5I课乍业另层训练，提升能右基础巩固题组一、选择题1.已知离散型随机变量X的概率分布列为则其方差D (X) = ( )A.1B.0.6C.2.44D.2.4解析由0.5+ m+ 0.2= 1 得m= 0.3,二 E (X)= 1 x 0.5+ 3X 0.3+ 5X 0.2= 2.4,2 2 2••• D (X) = ( 1-2.4) X 0.5+( 3-2.4) X 0.3+( 5-2.4) X 0.2= 2.44.答案C2. (2018稽阳联谊学校联考)随机变量E的分布列如下，且满足E ( $ = 2,则E (a + b)的值为( )A.0B.1C.2D.无法确定，与a, b有关解析E ( $) = 2,贝U a + 2b+ 3c= 2,又a+ b+ c= 1,由两式可得a= c, 2a + b=1,二 E (a $+ b)= aE ( $ + b = 2a + b= 1.答案B2 13. (2018绍兴检测)设X是离散型随机变量，P (X= X1)=彳P (X= X2) = 3,4 2且X1V X2，若 E (X)= 3, D (X)= 9，则X1 + X2=( )2 1 43x1 + 3x2=3,由已知得12( 4、2 1( 4、2 23x1 3 + 3x2 3 _9,答案 D4•已知随机变量X + n= 8,若X 〜B (10, 0.6),则E ( n, D ( n 分别是( )A.6, 2.4 C.2, 5.6解析 由已知随机变量X + n= 8,所以有n= 8— X. 因此，求得 E ( n) = 8— E (X )= 8— 10X 0.6 = 2, D ( n) = (— 1) 2D (X )= 10X 0.6X 0.4= 2.4. 答案 B5. 某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了 1 000粒，对于没有发芽的种子， 每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ,则X 的数学期望为( )A.100B.200C.300D.400解析 设没有发芽的种子有E 粒，则 〜B (1 000, 0.1)，且X = 2E, ••• E (X )= E (2$ = 2E ( 5 = 2X 1 000 X 0.1 = 200. 答案 B6. 口袋中有5只球，编号分别为1, 2, 3, 4, 5,从中任取3只球，以X 表示取 出的球的最大号码，贝U X 的数学期望E (X )的值是( )A.4B.4.5C.4.75D.51 1 解析 由题意知，X 可以取3, 4, 5, P (X = 3) = & = 10,A ・| D.3解析 |xi = 1, 解得 1x2= 2 LX 1 = 或 X 2 = 5 3,2 3, x1 =1,因为X 1V X 2，所以所以X 1 + x 2= 1 + 2= 3. X 2二 2,B.2, 2.4 D.6, 5.6C s 3 C2 6 3 P (X= 4) = C3= 10，P (X= 5) = C5= 10=5，13 3所以 E (X )= 3X 10 + 4X 10+ 5X 5= 4.5. 答案 B7. (2017浙江卷)已知随机变量&满足P (E = 1)= P i , 1P (&= 0)= 1 — p i , i = 1, 2.若 0v p i <p 2V 2，则( )A. E ( gi)v E (切，D ( &)< D (切B. E ( &)< E ( £>) , D ( 8)> D ( ^2)C. E ( gi)> E (切，D ( &)< D (动D. E ( &)> E (切，D( 8)> D ( ®解析 由题设可知E ( gi)= p 1， E ( $)= p 2，从而 E (8)< E (色)，而 D ($)= p 1 (1 — p 1)，D (&) =p 2 ( 1 — P 2)，所以 D (&)— D (&)<0，即 D (@)< D (切.答案 A甲、乙两人轮流从袋中取球，甲先取，个球，取后不放回，直到其中有一人取出白球时终止•用X 表示取球终止时取球的 总次数，则X 的数学期望E (X ) = ( )A.9B.学C^6 2 3X 6 1 3X 2X 6 1 3X 2X 1 X 6="=9 = 3；P ( X =5 6 = 9X 8 = 4；P ( X = 7= 9^X7=X = 8= 9X 8X 7X 65 2 1 1 1 10 =84所以 E (X )= 1X 3+2X 4+3X 初+4X 84=〒. 答案 B 二、填空题9. (2018湖州调研)设X 为随机变量，X 〜Bn , 3，若随机变量X 的数学期望=(P 1 — P 2)( 1 — P 1 —)9个，从中任取2个都是白球的概率为寻.现 乙后取，然后甲再取，……，每次取出 8.袋中装有大小相同的黑球和白球共 ‘ 12 D.〒解析 易得袋中白球的个数为6•则由题意得, X 的可能取值为1, 2，3, 4.P (XE (X)= 2,则P (X = 2)= ____________ ; D (X)= ___________ .解析由X〜B n, 3 , E (X)= 2,得np=罗=2, •••n = 6,则P (X= 2)=43 二243, D（X）二np（—P）二6x卜3二4.10. 某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖）且相应奖项获奖的4- 3概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是7 000元、5 600元、4 200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是_________ 元.1 1 解析由题意知a+ 2a + 4a= 1, • a = 7, •获得一、二、三等奖的概率分别为7,2 4 1 2 47, 7，•所获奖金的期望是E（ X）二7X 7 000+ 7X 5 600+7X 4 200= 5 000 （元）答案 5 00011. （2018嘉兴测试）已知随机变量E的分布列如下.$ 012P b 2 a1a22则E （ $的最小值为___________ ，此时b= __________ .解析由题意得E （ $ = 0X b+ 1 X a2+ 2X号一2 = a2-a+ 1 = g —舟了+弓，所以E （$的最小值为4，此时a = 2，又因为b+ a2+1—1,所以b= —a2+1+舟=12.3 1答案3112. （2018杭州高级中学模拟）已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到白球的个数为$则随机变量$的均值是________________________ ;方差是___________ .解析由题可得，$的所有可能取值分别为0, 1, 2.且P （ $= 0）= 2Q=5,2 1 1 2八C4C2 12 3 , / " c、C4C2 4 1 比「、十八升知斗P （$=1）=CCT=12=5, P （= 2）= "CT二20=1.所以其分布列为$ 0 1 2 P1 3 1 555”、「 1 3 1 2 1 2 3 所以 E ( o = O X 5+ 1X 5+ 2X 5 = 1； D ( $ = ( 0— 1) X 5+( 1- 1) X-5 +2 1 2(2-1) X厲2 答案1 2 513.某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢 玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止.设甲每次击中的概率为p (p M 0)，射击次数为 Y ,若Y 的数学期望E (Y ) #，则p 的取值范围是 ______________ . 解析 由已知得 P (丫= 1)= p ， P (丫= 2) = ( 1 — p ) p ， P (Y = 3) = ( 1 — p ) 2，227则 E (Y )= p + 2 (1 — p ) p + 3 (1 — p ) = p — 3p + 3>4又 E (X )= = 3,二 m = 2,m + 3答案 BA.5解析 由题X 〜B 5,3、m + 3 /i 3、则 X 〜B 5, 5，故 D (X )642-X3- 5X15. 袋中装有大小完全相同，标号分别为 1, 2, 3,…，9的九个球.现从袋中随机 取出3个球.设E 为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为 3, 4, 3, 4和4, 5,此时9的值是2),则随机变量9的均值解析 依题意得，9的所有可能取值是0, 1, 2.口 C 7 5且 P (片 o )= &= 12, P (E = 1) c j 丄P (E 2)= C 9=12，… 5 1 1 2 因此 E ( 9 = o x 12+1 x 2+ 2x 12= 3. 答案 D16. (2018北京海淀区模拟)赌博有陷阱.某种赌博游戏每局的规则是：参与者从 标有5, 6, 7, 8, 9的小球中随机摸取一个(除数字不同外，其余均相同)，将小 球上的数字作为其赌金(单位：元)，然后放回该小球，再随机摸取两个小球，将 两个小球上数字之差的绝对值的 2倍作为其奖金(单位：元).若随机变量X 和Y 分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赎金与奖金，则 E (X )— E (Y )=元.1解析 根据题意可得P (X = k )= 5 (k = 5, 6, 7, 8, 9), 1 一可得 E (X )= 5X (5+ 6+ 7 + 8+ 9)= 7 (兀).丫的取值可能为2, 4, 6, 8,其中23115,则有两组相邻的标号A.61- 2 --P (Y = 4)= P (Y = 6)= P (Y = 8)=310155丄10 - - -- 3&2& 注)P (Y = 2)所以E (丫)= 2x5+ 4X10 + 6X5 + 8X —= 4 (元) 故E (X)—E (Y)= 7—4= 3 (元)答案 317. (2018衢州质检)一个袋中装有质地均匀、大小相同的 2个黑球和3个白球, 从袋中一次任意摸出2个球，则恰有1个是白球的概率为 ____________;从袋中一 次任意摸出3个球，摸出白球个数的数学期望 E ( 0 = _____________ . 解析 由题意得从5个小球中任意摸出2个共有C 2= 10种取法，其中满足恰有 一个白球的取法有c 2c 3=6种，所以恰有一个白球的概率为10=&.任意摸出3个C 2C 1 小球，设其中白球的个数为 0贝U 0的可能取值为1, 2, 3,且P ( 0= 1)=-(育 3 c 2c 2 3 c 3 1 十“3 3=10； P ( 0= 2)= c 3 = 5； P ( 0= 3)=况=10,所以 E ( 0 = 1 X 1o + 2X 5 +27E (Y )= E (2X + 3)= 2E (X ) + 3= — 3+ 3=?. 答案 A13X10 18. (2018金华一中模拟)有甲、乙两个盒子，甲盒子中装有 3个小球，乙盒子 中装有5个小球，每次随机取一个盒子并从中取一个球，则甲盒子中的球被取完 时，乙盒子中恰剩下2个球的概率为 _____________ ;当取完一个盒子中的球时，另一 个盒子恰剩下0个球，则0的期望为 _________ . 解析 甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下 2个球的概率P =1-221-1 52 = 32；由题意，知曲勺可能取值为1, 2, 3, 4, 5,因为7 7 P ( & 1)= C 6 2 + C 62 二 64, 1- 22^-1164--4526 -743 2lQ 3⑴」P (E= 4)= C 3 2 = 16，P (E 5)= 2 = 8,所以 E ( 0二 1X65 + 2X 64+ 3X 32 + 4X 老 + 5X 基器答案5 17532 643. _______ 设随机变量X的分布列为P (X= k)= 5 (k= 2, 4, 6, 8，10)，则D (X)等于 ____ .1解析••• E (X)= 5 (2+ 4+ 6+ 8+ 10)= 6，••• D (X)= |[ (- 4) 2+(- 2 ) 2+ 02+ 22+ 42] = 8.答案85 1解得p>2或p<2，又p€ (0，1)，所以p€ 0, 2 .答案0, 1能力提升题组14. 从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X,已知E (X)= 3,则D (X)=。
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浙江省平阳县第三中学高三数学复习 离散型分布列
一、知识要点：
⑴随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：pi≥0,i=1,2,…； p1+p2+…=1;
②离散型随机变量：
X x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
期望：EX＝ x1p1 + x2p2 + … + xnpn + … ;
方差：DX＝nnpEXxpEXxpEXx2222121)()()( ;
注：DXabaXDbaEXbaXE2)(;)(；
③超几何分布：
N个球中有M个红球，从中任取n个，其中含有k个红球的概率：nNk-nM-NkMCCC)(kXP
④二项分布（独立重复试验）：
若在第一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为：
knkknppCkXP
)1()(
注：若X～B（n,p）,则EX＝np, DX＝np（1- p）
⑤互斥事件至少有一个发生的概率：P(A+B)=P(A)+ P(B)
⑥独立事件同时发生的概率：P(AB)=P(A)P(B)。
二、典例分析
例1、（组合型）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中女生的人
数.
（1）求ξ的分布列；（2）求ξ的数学期望；（3）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.
练习：在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，
每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖。某顾客从此10张券中任抽2张，求：
(1) 该顾客中奖的概率； (2) 该顾客获得的奖品总价值 (元)的概率分布列和期望E。
例2、（排列型）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到ABCD，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一
名志愿者．
（1）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（2）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（3）设随机
变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求的分布列．
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例3、（独立型）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为0．5与p，且乙投球2次
均未命中的概率为1/16．
（Ⅰ）求乙投球的命中率p；（Ⅱ）求甲投球3次，至少命中1次的概率；
（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，记两人共命中的次数X，求随机变量X的分布列及EX．
例4、（求参数）为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙
柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望3E，标准差为2/3。
（Ⅰ）求n,p的值并写出的分布列；
（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率。
练习：袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一
球.表示所取球的标号.
（Ⅰ）求的分布列，期望和方差；（Ⅱ）若ab, 1E,11D,试求a,b的值.
高考题及模拟题训练
1.设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为：
则q等于 ( )
A．1 B．1±22 C．1－22 D．1＋22
2．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝12k，k＝1,2，…，则P(2＜X≤4)等于( )
A.316 B.14 C.116 D.516
3.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球
个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为 ( )
A.1220 B.2755 C.27220 D.2125
ξ －1 0
1
P 0.5 1－2q q
2
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4.设ξ是服从二项分布B(n，p)的随机变量，又E(ξ)＝15，D(ξ)＝454，则n与p的值为( )
A．60，34 B．60，14 C．50，34 D．50，14
5.抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝________.
6．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于____.
7．一个袋中装有10个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋
中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.
①求白球的个数；②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X分布列及EX.
8.[2012·浙江卷] 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现
从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．(1)求X的分
布列；(2)求X的数学期望E(X)．
9.[2012·山东卷] 现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；
向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立，
假设该射手完成以上三次射击．
(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.
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10.[2012·天津卷] 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，
约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出
点数大于2的人去参加乙游戏．
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学
期望Eξ.