几种离散型变量的分布及其应用..共78页

几个重要的离散型随机变量的分布列

当时，即只取一次就取到合格品，故；
当时，即只取一次就取到次品，而第二次取到合格品，故
；
类似地，有
。
所以的分布列为：
1
2
3
4
10/13
5/26
5/143
1/286
（2）由于取球后放回，所以的取值为1，2，3，…，n，…，则随机变量服从几何分布。
当时，即第一次就取到合格品，故；
当时，即第一次没有到合格品，而第二次取到合格品，故；
（2）每次取出的产品都立即放回次批产品中，然后再取一件产品；
（3）每次取出一件产品后总把一件合格品放回此批产品中。
分析：（1）由于取求后不放回，每次取产品的结果互相影响；
（2）由于取球后放回，各次取产品相互独立，它是一个几何分布；
（3）有放回取且放回正品，基本事件总数发生变化。
解：（1）由题知的取值为1，2，3，4。
类似地，有 , ,
因此的分布列为:
3
4
点评:此题主要考查等可能事件的概率问题,有放回和没有放回的基本事件总数是不一样的,特别是第2问是有放回摸球问题,表示第次独立重复试验时事件第一次发生,而前次独立重复试验时,事件都没有发生,这样的独立重复试验可以无限的进行下去,因而是一个典型的几何分布问题.
解：在批量为40的多批保险丝中，某一批有10%的不合格品，因此在这一批中不合格品的根数为4，所以由超几何分布可知，抽检的4根保险丝中有1根为不合格品的概率为：
；该批被接受的概率为：
由此可见，即使不合格品为10%的一批任有64%的接受概率。
点评：在应用超几何分布时，适用的条件是从有限总体中无放回抽样问题，在解题时一定要分清是否放回，正确使用概率模型。

离散型随机变量及其分布列课件

X0
1 …m
P
C0MCNn－－0M CnN
C1MCNn－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CNn
• 辨析感悟
• 1．离散型随机变量
• (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(√)
• (2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1. (×)
• (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的． (√)
• (2)求X的数学期望E(X)．
解 (1)由题意得 X 取 3,4,5,6，
且 P(X＝3)＝CC3539＝452，P(X＝4)＝CC14·C93 25＝1201， P(X＝5)＝CC24·C93 15＝154，P(X＝6)＝CC3439＝211.
所以 X 的分布列为
X3 4 5 6
P
5 42
10 21
0
1
P 1－p p
• ，其中p＝P(X＝1)称为成功概率．
(2)超几何分布：在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其
CkMCnN－－kM 中恰有 X 件次品，则 P(X＝k)＝ CnN ，k＝0,1,2，…，m，
其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机
变量 X 服从超几何分布.
• 从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5 监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：
PM2.5 日均值( [25,3 (35,4 (45,5 (55,6 (65,7 (75,8 微克/立 5] 5] 5] 5] 5] 5]
方米)
频数 3 1 1 1 1 3
•(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；

医学统计学课件：第六章几种离散型变量的分布及其应用

2020/10/18
医学统计学第六章几种离散型变量的分布及其应用
1.52 SPSS: 常用PDF函数(23种)
11
BERNOULLI：贝努里。
BINOM：二项分布。
CHISQ：卡方分布。
第七章。
F：F分布，第四章。
NORMAL：正态分布。
POISSON：泊松分布。
下一节。
T：t分布。
UNIFORM：均匀分布。
从阳性率为的总体中随机抽取大小为 n 的
样本，则出现阳性数为 X 的概率分布呈二项分布，
记为 X~B(n,)。
2020/10/18
医学统计学第六章几种离散型变量的分布及其应用
1.2 二项分布，binomial distribution
6
用某药治疗某种疾病，其疗效分为有效或无效，每个病案的有效率相同；在动物的致死性试验中，动物的死亡或生存；接触某种病毒性疾病的传播媒介后，感染或非感染等。
X 2 X 1 X 0
n 3，( (1 ))3 3 3 2(1 ) 3 (1 )2 (1 )3
2020/10/18
XБайду номын сангаас3
X 2 X 1
X 0
医学统计学第六章几种离散型变量的分布及其应用
1.5 例6-1 二项分布概率的计算
9
某种药物治疗某种非传染性疾病的有效率为 0.70。今用该药治疗该疾病患者10人。计算10 人中有6人、7人、8人有效概率。
P(8) 10! 0.708 (1 0.70)108 0.23347 8!(10 8)!
2020/10/18
医学统计学第六章几种离散型变量的分布及其应用
1.51 SPSS: PDF函数

概率第五讲——离散型随机变量的常见分布

概率第五讲——离散型随机变量的常见分布我们之前介绍了离散型随机变量，本节我们将介绍几种常用的离散分布。

1、两点分布例1 100件产品中有95件正品，5件次品，现从中任取1件，考查取出的次品数。

试用变量描述该试验的结果并写出概率分布。

一般地，只取两个可能值 x1，x2 的随机变量 X，其概率分布可写为称 X服从两点分布。

特别地，若x1=0，x2=1，这时称X服从0-1分布。

0-1分布描述只有两个可能的结果的随机试验，0-1分布的概率分布一般写为其中参数p:0<p<1.若以概率分布表表示，则为注：两点分布用于描述只有两种对立结果的随机试验。

2、二项分布(the Binomial Distribution)（记住这个英文单词，后面要考的）其中n是试验独立重复的次数， p是每一次基本试验中事件A发生的概率。

随机变量 X 指n 次试验中事件A发生的次数。

注：二项分布的试验背景是n重Bernoulli试验模型：例2 设张三做某事的成功率为1%，他重复努力 100次，则至少成功1次的概率为多少？这说明，有百分之一的希望，就要做百分之百的努力。

这里，小伙伴会问了，这里的二项分布表达式如此复杂，该怎么计算呢？我们可以借助Excel软件来计算。

操作方法如下：打开Excel→公式→插入函数（统计）BINOM.DIST（你一定发现了，这就是前面提到的二项分布的单词前面几个字母）例3 设一批产品共10000个，其中废品数为500个，现从这批产品中任取10个，求10个产品中恰有2个废品的概率。

3、泊松分布引例观察下列随机试验：(1)某地区某一时间间隔内发生的交通事故的次数；(2)北京某医院一天内的急诊人数；(3)放射性物质在单位时间内的放射次数；(4)《新编线性代数与概率统计》教材一页中印刷错误数；(5)北京地区居民中活到百岁的人数。

这些试验有一个共同点：描述在单位时间(空间)中随机事件的发生次数。

它们都服从或近似服从泊松分布。

常见离散型随机变量的分布

P(X
k)
C
k n
pk (1
p)nk
k 0,1, 2, ..., n
称X所服从的分布为二项分布. 记为 X~B(n,p)或X~b(n,p).
二项分布X的分布列表（q=1-p)
X0
1
k
n
P qn Cn1 pqn1
Cnk pk qnk
pn
说明：若X ~ B(n, p),则
二项分布 n 1 两点分布
28
EX E( X1 X 2 X n ) EX1 EX 2 EX n np DX D( X1 X 2 X n ) DX1 DX 2 DX n np(1 p) npq 注：利用方差和的性质时要注意相互独立的条件。
例2 设X表示 10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4, 则X2的数学期望E(X2)=( 18.4 )
k 0
k0 k !
e
k 1
k1 (k 1)!
ee
E(X )
D(X )
E( X 2 ) k 2P{X k} [k (k 1) k ] k e
k 0
k 0
k!
2e
k 2
E(X )
k2 (k 2)!
2ee 2
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 2 2
P ( X 3 ) P ( A1 A2 A3 ) (1 p)2 p
所求射击次数X的概率分布为：
P ( X k ) (1 p )k1 p k 1, 2,
四、几何分布
在独立重复伯努利试验中，若成功率（事件A发生的概率）为p，如果X为首次成功（事件A首次发生）时的试验次数，X的分布列为
例4、设随机变量 X 服从参数为λ的泊松分布，且已知

几种离散型变量的分布及其应用

二项分布有两个参数：
总体率

n
样本含量
记作：X～B(n，π)
在n个独立的个体中出现X个阳性的概率可由下式求出：
n! P( X ) X (1 )n X X !(n X )!
P( X )
X 0,1, 2, , n
实际上就是二项函数 (1 )n 展开式中的通项，式中的
P(X k) P( X )
X 0
k
k
X 0
n! X (1 ) n X X !( n X )!
（2）出现“阳性”的次数至少为k次的概率为
P(X k) P( X )
X k
n
n
X k
n! X n X (1 ) X !(n X )!
阳性数X
图 6-2.
=0.4 时，不同 n 值下的二项分布图
二、二项分布的应用 (一)总体率的区间估计 1. 查表法 2. 正态近似法

1. 查表法对于n 50的小样本资料，直接查附表 6 百分率的 95% 或 99% 可信区间表，即可得到其总体率的可信区间。例6-2 在对13名输卵管结扎的育龄妇女经壶腹部- 壶腹部吻合术后，观察其受孕情况，发现有6人受孕，据此资料估计该吻合术妇女受孕率的95%可信区间。
n n! 称为二项系数。总有： P ( X ) 1 。 X ! ( n X )! x0
例6-1 某种药物治疗某种非传染性疾病的有效率为 0.70 。今用该药治疗该疾病患者 10 人，试分别计算这10人中有6人、7人、8人有效的概率。本例 n=10 ， π=0.70 ， X=6 ， 7 ， 8 。按公式（6-1）计算相应的概率为

常见的离散型随机变量的分布

30台设备发生故障不能及时维修为事件 Ai
则
P( Ai )
P(Y
2)
k 2
e0.3 0.3k k!
0.0369 i 1,2,3
三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时
维修为事件 A1 A2 A3 3
PA1 A2 A3 1 P( Ai )
i1
1 (1 0.0369)3 0.1067 0.013459
例1 独立射击5000次，每次的命中率为0.001, 求 (1) 最可能命中次数及相应的概率；
(2) 命中次数不少于2 次的概率.
解 (1) k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] = 5
P5000(5) C55000(0.001)5 (0.999)4995 0.1756
0 1 2 34 5 6 7 8
.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000
P 0.273•
由图表可见 , 当 k 2或3 时，分布取得最大值
P8(2) P8(3) 0.273 此时的 k 称为最可能成功次数
•••••••••
012345678
(1) 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
(2) 问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？
解 (1) 设需要配备 N 个维修工人,设 X 为90 台
设备中发生故障的台数，则 X ~ B( 90, 0.01)
90
P( X N ) C9k0 (0.01)k (0.99)Nk
k N 1
令 90 0.01 0.9

第六章几种离散型变量的分布及其应用(正式)

n−x
× × 死 0.2×0.2×0.8=0.032
3 × × 生 0.2×0.8×0.2=0.032 p (x = 1 ) = (1 )π 1 (1 − π )2 = 0.096
2
1
生死生
× × 生 0.8×0.2×0.2=0.032 × × 死 0.2×0.8×0.8=0.128 × × 死 0.8×0.2×0.8=0.128 p (x = 2 ) = ( 3 )π 2 (1 − π )1 = 0 .384 2 × × 生 0.8×0.8×0.2=0.128 × × 死 0.8×0.8×0.8=0.512 p(x = 3) =
25
10
10
结论：结论：水准，按α=0.05水准，拒绝 0，接受H1，水准拒绝H 接受认为实施峡部-峡部吻合术妇女的受孕率认为实施峡部峡部吻合术妇女的受孕率要高于壶腹部-壶腹部吻合术妇女的受孕要高于壶腹部壶腹部吻合术妇女的受孕率。
26
直接法(双侧检验直接法双侧检验) 双侧检验回答的是“有无差别” 回答的是“有无差别”，所要计算的双侧检验概率P值应为实际样本(记“阳性” 检验概率值应为实际样本记阳性” 值应为实际样本次数为k次)出现的概率与更背离无效假设数为次出现的概率与出现的概率的极端样本(“阳性次数i≠k)出现的概阳性” 的极端样本阳性”次数出现的概率之和。率之和。
n=3,π=0.5的二项分布的二项分布
0.4 0.3 pX () 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X
n=10,π=0.5的二项分布的二项分布
0.5 0.4 pX () 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X