离散型随机变量及其分布
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2.2 离散型随机变量及其分布
∞ k k =1
}
满足下列性质 性质: 满足下列性质:
pk ≥ 0 (k = 1,2,⋯);
概率论与数理统计 数学科学学院 徐 鑫
∑p
k =1
∞
k
常用来确定分布律中的待定参数] 常用来确定分布律中的待定参数 = 1 [常用来确定分布律中的待定参数
这两条也是非负 数列能为某随机 变量分布律的充 要条件
离散型随机变量分布列的求法 求法: 离散型随机变量分布列的求法: 利用古典概率、 利用古典概率、条件概率等计算方法及运算 性质求事件{X=x 概率; 性质求事件{X=xk}概率; 利用已知的重要分布的分布列; 利用已知的重要分布的分布列; 利用分布函数. 利用分布函数. 离散型随机变量分布列的应用 应用: 离散型随机变量分布列的应用: 确定分布列中的待定参数; 确定分布列中的待定参数; 求分布函数； 求分布函数； 求随机事件的概率. 求随机事件的概率.
概率论与数理统计 数学科学学院 徐 鑫
四、几种重要的离散型随机变量 1、(0-1)分布[两点分布] (0-1)分布 两点分布] 分布[ 定义2 定义2 设随机变量X只取0,1两值, 设随机变量X只取0,1两值,且其分布律为 0,1两值
P{X = k} = p (1 − p) (k = 0,1;0 < p < 1)
(−∞, x1 ), [ x1 , x2 ), [ x2 , x3 ) ⋯, [ xk ,+∞)
分别求出F(x)的值,即就x 分别求出F(x)的值,即就x落在上述各区间内计算 F(x)的值 {X≤x}所含可能值概率的累积和; {X≤x}所含可能值概率的累积和; 所含可能值概率的累积和 离散型随机变量X的分布函数是一个右连续的阶梯 离散型随机变量X 函数. 函数.
}
满足下列性质 性质: 满足下列性质:
pk ≥ 0 (k = 1,2,⋯);
概率论与数理统计 数学科学学院 徐 鑫
∑p
k =1
∞
k
常用来确定分布律中的待定参数] 常用来确定分布律中的待定参数 = 1 [常用来确定分布律中的待定参数
这两条也是非负 数列能为某随机 变量分布律的充 要条件
离散型随机变量分布列的求法 求法: 离散型随机变量分布列的求法: 利用古典概率、 利用古典概率、条件概率等计算方法及运算 性质求事件{X=x 概率; 性质求事件{X=xk}概率; 利用已知的重要分布的分布列; 利用已知的重要分布的分布列; 利用分布函数. 利用分布函数. 离散型随机变量分布列的应用 应用: 离散型随机变量分布列的应用: 确定分布列中的待定参数; 确定分布列中的待定参数; 求分布函数； 求分布函数； 求随机事件的概率. 求随机事件的概率.
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四、几种重要的离散型随机变量 1、(0-1)分布[两点分布] (0-1)分布 两点分布] 分布[ 定义2 定义2 设随机变量X只取0,1两值, 设随机变量X只取0,1两值,且其分布律为 0,1两值
P{X = k} = p (1 − p) (k = 0,1;0 < p < 1)
(−∞, x1 ), [ x1 , x2 ), [ x2 , x3 ) ⋯, [ xk ,+∞)
分别求出F(x)的值,即就x 分别求出F(x)的值,即就x落在上述各区间内计算 F(x)的值 {X≤x}所含可能值概率的累积和; {X≤x}所含可能值概率的累积和; 所含可能值概率的累积和 离散型随机变量X的分布函数是一个右连续的阶梯 离散型随机变量X 函数. 函数.
离散型随机变量及其分布函数_图文
5.超几何分布
设X的分布律为
说明 超几何分布在关于废品率的计件检验中常用到.
三、内容小结
1.常见离散型随机变量的分布 两点分布 二项分布 泊松分布
几何分布 超几何分布
两点分布
二项分布
泊松分布
则 X 的取值范围为 (a, b) 内的任一值.
定义 说明
离散型随机变量的分布律也可表示为 或
例1 设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏信号
灯.每盏灯以
的概率禁止汽车通过.以
表示汽车首次停下时已经过的信号灯盏数（信
号灯的工作是相互独立的），求 的分布律.
Байду номын сангаас
离散型随机变量的分布函数与其分布律之间的关系 ：
也就是： 分布律
分布函数
二、常见离散型随机变量的概率分布
1.两点分布
设随机变量 X 只取0与1两个值 , 它的分布律为
则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布或伯努利分布.
说明
两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
离散型随机变量及其分布函数_图文.ppt
一、离散型随机变量的分布函数
随机变量
离散型 非离散型
连续型 其它 (1)离散型 若随机变量所有可能的取值为有限个
或可列无穷个，则称其为离散型随机变量.
实例1 观察掷一个骰子出现的点数. 随机变量 X 的可能值是 : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
实例2 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命 中时的射击次数”, 则 X 的可能值是:
二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放射出的 粒子个数的情况时, 他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)，发现 放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 数X 服从泊松分布.
离散型随机变量及其分布律
解 由 0 p 1 ( k 0 , 1 , 2 , ), p 1 k k k 0 1 k ( ) a 得 k 1 即 a 3 1 ! k! k 03 k k0 1k 1 1 ( ) ae 3 3 e3 ! k 0 k
2. 离散型随机变量分布律与分布函数及 事件概率的关系 (1) 若已知 X 的分布律：
X
pk
0 1 2
1 2
1
实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,那末,若规定
1 , 取得不合格品, X 0 , 取得合格品.
X
0
190 200
1
10 200
pk
则随机变量 X 服从(0-1)分布.
说明 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
p P { X x } k k
或
F ( x ) F ( x 0 ) k k k 1 , 2 , ) F ( x ) F ( x ) ( k k 1
( P { X x } P { x X x } ) k k 1 k 注 1º 离散型随机变量X的分布函数F(x)是阶
梯函数，x1, x2,· · · ,是F(x)的第一类间断 点, 而X在xk（k=1,2, · · ·）处的概率就是
F(x)在这些间断点处的跃度.
2º P { a X b }
P { a X b } P { X a } P { X b }
[ F ( b ) F ( a )] [ F ( b ) F ( b 0 )] [ F ( a ) F ( a 0 )]
2-2离散型随机变量及其分布律
松定理（第二章）和中心极限定理（第五章），利用这些定理
可以近似计算出它们的值．
3．泊松分布
定义 2.5 如果随机变量 X 的分布律为
P{X k} k e ， k 0,1, 2,L ， 0 ，
k!
就称 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ P() ．
【注 1】 P{X
k
k}
e
0 ， k 0,1, 2,L
一般地，在随机试验 E 中，如果样本空间 只包含两个
样本点
{1,2}，且
X
0, 1,
若 =1 , 若 =2 ,
则 X ~ B(1, p) ，其中 p P{X 1} P({2}) ．
在现实生活中，0 1两点分布有着广泛的应用．例如某产品 合格与不合格；某课程的考试及格与不及格；某事件 A 发生与 不发生等许多现象都能够刻划成 0 1两点分布．
§2 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量及其分布律的概念 定义 2.1 若随机变量 X 的取值为有限个或可列无限多个，就 称 X 为离散型随机变量．
定义 2.2 设 X 为离散型随机变量，其所有可能的取值为 x1, x2 ,L , xi ,L ，且
P{X xi} pi ， i 1, 2,L ．
的概率为 0.6 ，求该射手在 4 次射击中，命中目标次数 X 的
分布律，并问 X 取何值时的概率最大． 解 将每次射击看成一次随机试验，所需考查的试验结果只
有击中目标和没有击中目标，因此整个射击过程为 4 重的贝
努里试验．故由题意知， X ~ B(4, 0.6) ，即
P{X k} C4k 0.6k 0.44k ， k 0,1, 2,3, 4 ．
P{X
10}
离散型随机变量及其分布
m>1时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,…
P{X=m+1}=P{第m+1次试验时成功并 且在前m次试验中成功了m-1次}
7
常见的离散型随机变量的分布 (1) 0 – 1 分布
X = xk 1
0
Pk
p 1-p
0<p<1
应用场合 凡试验只有两个可能的结果，常用 0 – 1分布描述，如产品是否合格、人口性别统 计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.
(n 1) p 1 k (n 1) p
14
当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值
当( n + 1) p 整数时, 在 k = [( n + 1) p ]
处的概率取得最大值
对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布 固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布 趋于对称
场 ⑤ 放射性物质发出的 粒子数；
合 ⑥ 一匹布上的疵点个数；
⑦ 一个容器中的细菌数；
⑧ 一本书一页中的印刷错误数；
23
都可以看作是源源不断出现的随机 质点流 , 若它们满足一定的条件, 则称为 Poisson 流, 在 长为 t 的时间内出现的质
点数可X见t ~泊P松( 分t )布的应用是相当广泛的，
而且由下面定理可以看到二项分布与泊松
分布有着密切的联系。
泊松定理 在二项分布 B(n, pn ) 中，如果
lim npn ( 0 是常数），则成立
lim
n
Cnk
pnk
(1
P{X=m+1}=P{第m+1次试验时成功并 且在前m次试验中成功了m-1次}
7
常见的离散型随机变量的分布 (1) 0 – 1 分布
X = xk 1
0
Pk
p 1-p
0<p<1
应用场合 凡试验只有两个可能的结果，常用 0 – 1分布描述，如产品是否合格、人口性别统 计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.
(n 1) p 1 k (n 1) p
14
当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值
当( n + 1) p 整数时, 在 k = [( n + 1) p ]
处的概率取得最大值
对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布 固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布 趋于对称
场 ⑤ 放射性物质发出的 粒子数；
合 ⑥ 一匹布上的疵点个数；
⑦ 一个容器中的细菌数；
⑧ 一本书一页中的印刷错误数；
23
都可以看作是源源不断出现的随机 质点流 , 若它们满足一定的条件, 则称为 Poisson 流, 在 长为 t 的时间内出现的质
点数可X见t ~泊P松( 分t )布的应用是相当广泛的，
而且由下面定理可以看到二项分布与泊松
分布有着密切的联系。
泊松定理 在二项分布 B(n, pn ) 中，如果
lim npn ( 0 是常数），则成立
lim
n
Cnk
pnk
(1
离散型随机变量及其分布规律
解:
例5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，
已知他每发命中的概率是p，求射击次数X 的分布列.
解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ， 为计算 P(X =k )， k = 1,2, …，
设 Ak = {第k 次命中}，k =1, 2, …，
于是
P(X =1)=P(A1)=p,
P(X 2)P(A1A2 ) (1 p)p
P(X 3)P(A1A2 A3)(1 p)2p
可见 P(Xk)(1 p)k1p k1,2,
这就是所求射击次数 X 的分布列.
若随机变量X的分布律如上式， 则称X 服从
几何分布. 不难验证:
(1 p)k1p 1
k 1
几个重要的离散性随机变量模型
(0,1)分布 二项分布 波松分布
一、 (0-1)分布 （二点分布）
按Po
k
n=10 n=20 n=40 n=100 =np=1 p=0. p=0.05 p=0.02 p=0.01
0 10.349 0.3585 0.369 0.366
0
1 0.305 0.377 0.372 0.370
0
2 0.194 0.189 0.186 0.185
0
3 0.057 0.060 0.060 0.061
•• • • • • • 56 7 8 9 10
•
•
•
•
•
•
•
•
•20x
二项分布的图形特点:
X ~ Bn, p
对于固定n 及 P， 当k 增加时 , 概率P (X = k ) 先是随之增加
Pk
直至达到最大值, 随后单调减少.
当 n 1p 不为整数时， n 1p 二项概率 PX k
第二节 离散型随机变量及其分布
说明： 1) 泊松分布与二项分布的关系：这两个分布的数学模 型都是Bernoulli概型。Poisson分布是二项分布当n很大 p 很小时的近似计算。 2) Poisson分布主要用于描述一些稀有事件，如地震、 火山爆发、特大洪水等等。
例3.1.3 (进货问题）由某商店过去的销售记录知
道，海尔彩电每月的销售数可用参数为λ =5的泊 松分布来描述，为了以95%以上的把握保证月底不 脱销，问商店在月底至少应进多少台？ 解：设每月的销售数为X，月底进N台，则
其概率分布为 P ( X 1) 3 10 即X服从两点分布。
7 P( X 0) 10
(2) 二项分布 B ( n, p )
背景：n 重Bernoulli 试验中，每次试验感兴 趣的事件A 在 n 次试验中发生的次数 —— X是一离散型随机变量
若P ( A ) = p , 则
Pn ( k ) P ( X k ) C p (1 p)
P{ X 1} 1 P{ X 0} =1 0.99
成功次数服从二项概率
400
0.9820
B(400, 0.01)
有百分之一的希望，就要做百分之百的努力!
(3) Poisson 分布 ( ) 或 P ( )
k! 其中 0 是常数，则称 X 服从参数为 的Poisson 分布，记作 ( ) 或 P ( )
k n k
n k
, k 0,1,, n
称 X 服从参数为n, p 的二项分布(也叫Bernolli 分布).记作
X ~ B( n, p)
0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布.
例3.1.1 一大批产品的次品率为0.1，现从中取
出15件．试求下列事件的概率： B ={ 取出的15件产品中恰有2件次品 } C ={ 取出的15件产品中至少有2件次品 }
例3.1.3 (进货问题）由某商店过去的销售记录知
道，海尔彩电每月的销售数可用参数为λ =5的泊 松分布来描述，为了以95%以上的把握保证月底不 脱销，问商店在月底至少应进多少台？ 解：设每月的销售数为X，月底进N台，则
其概率分布为 P ( X 1) 3 10 即X服从两点分布。
7 P( X 0) 10
(2) 二项分布 B ( n, p )
背景：n 重Bernoulli 试验中，每次试验感兴 趣的事件A 在 n 次试验中发生的次数 —— X是一离散型随机变量
若P ( A ) = p , 则
Pn ( k ) P ( X k ) C p (1 p)
P{ X 1} 1 P{ X 0} =1 0.99
成功次数服从二项概率
400
0.9820
B(400, 0.01)
有百分之一的希望，就要做百分之百的努力!
(3) Poisson 分布 ( ) 或 P ( )
k! 其中 0 是常数，则称 X 服从参数为 的Poisson 分布，记作 ( ) 或 P ( )
k n k
n k
, k 0,1,, n
称 X 服从参数为n, p 的二项分布(也叫Bernolli 分布).记作
X ~ B( n, p)
0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布.
例3.1.1 一大批产品的次品率为0.1，现从中取
出15件．试求下列事件的概率： B ={ 取出的15件产品中恰有2件次品 } C ={ 取出的15件产品中至少有2件次品 }
第二节 离散性随机变量及其分布
X 0 0.1 1 0.6
。 。 。
1
2 0.3
解： F ( x )＝P{ X x }
0, 0.1, ＝ 0.7, 1, x0 0 x1 1 x 2 x2
1
Pk
F ( x)
0
2
x
0, 0.1 , F ( x )＝ 0.7 , 1,
k!
,
k =0,1,2, …,
0
解: 依据概率分布的性质: P{X =k}≥0,
P{ X k } 1
k 0
这里用到了幂级数 展开式
欲使上述函数为概率分布
a≥0
a
k 0
k
k!
e
ae 1
k!
k 0
k
从中解得
ae
。
3. 利用分布律求事件概率 离散型随机变量的分布律不仅给出了{X=xk }
x0 0, F ( x )＝P{ X x }＝ x, 0 x 1 1, x1
1
x
0
1
用分布函数描述随机变量不如分布律直观， 对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？
a
b
P{a X b} ?
的概率，而且通过它可以求事件{a X b}, a b 发生的概率。 由概率的有限可加性有
P{a X b}
a xk b
P{ X xk }
a xk b
pk
例2.3 设袋中有5只球，其中有2只白3只红。现从
中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概
注:
1. 这里分布函数的定义对任何随机变量都适用。 2. 分布函数F(x)＝P {Xx} 是一个普通的函数，它 的自变量是全体实数。掌握了X的分布函数就掌 握了X在(－∞, +∞)上的概率分布情况。
。 。 。
1
2 0.3
解： F ( x )＝P{ X x }
0, 0.1, ＝ 0.7, 1, x0 0 x1 1 x 2 x2
1
Pk
F ( x)
0
2
x
0, 0.1 , F ( x )＝ 0.7 , 1,
k!
,
k =0,1,2, …,
0
解: 依据概率分布的性质: P{X =k}≥0,
P{ X k } 1
k 0
这里用到了幂级数 展开式
欲使上述函数为概率分布
a≥0
a
k 0
k
k!
e
ae 1
k!
k 0
k
从中解得
ae
。
3. 利用分布律求事件概率 离散型随机变量的分布律不仅给出了{X=xk }
x0 0, F ( x )＝P{ X x }＝ x, 0 x 1 1, x1
1
x
0
1
用分布函数描述随机变量不如分布律直观， 对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？
a
b
P{a X b} ?
的概率，而且通过它可以求事件{a X b}, a b 发生的概率。 由概率的有限可加性有
P{a X b}
a xk b
P{ X xk }
a xk b
pk
例2.3 设袋中有5只球，其中有2只白3只红。现从
中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概
注:
1. 这里分布函数的定义对任何随机变量都适用。 2. 分布函数F(x)＝P {Xx} 是一个普通的函数，它 的自变量是全体实数。掌握了X的分布函数就掌 握了X在(－∞, +∞)上的概率分布情况。
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（0－1）分布的分布律用表格表示为：
X0 1
P 1-p p
0
易求得其分布函数为： F (x) 1 p
1
x0 0 x 1
x 1
2.二项分布（binomial distribution)： 定义：若离散型随机变量X的分布律为
PX k Cnk pkqnk k 0,1,L , n
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项
下面我们看一个应用的例子.
例7 为保证设备正常工作，需要配备适量的 维修人员 . 设共有300台设备，每台独立工作， 且发生故障的概率都是0.01。若在通常的情况 下，一台设备的故障可由一人来处理 ， 问至 少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生 故障时不能及时维修的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析：
§2.2 离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量及其分布律
1．离散型随机变量的定义 设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值
是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离 散型随机变量(discrete random variable)。
设X是一个离散型随机变量，它可能取的值 是 x1, x2 , … .为了描述随机变量 X ，我们不仅 需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取 每个值的概率.
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变 量X所取的一切可能值，称等式
P(X xk) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率函数或分布律， 也称概率分布.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
（2） pk1
k
k=1,2, …
用这两条性质判断 一个函数是否是
1/4。
P
1
-1 0 1 2 3 x
于是
P2 X 3 PX 2 PX 3 1 1 3
24 4
P
3 2
X
5
2
PX
2
1 2
P1
1 4
二、三种常用离散型随机变量的分布 1.（0－1）分布：
设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布 律为 P{X=k}=pk(1-p)1-k , k=0，1. (0<p<1) 则称X服从（0－1）分布,记为X（0－1）分布。
n大,p小,np=3, 用 λ=np=3 的泊松近似
我们求满足 3k e3 0.01 的最小的N.
k N 1 k!
查泊松分布表得
e33k 0.0038 ,
k9 k!
e33k 0.012 , k8 k!
N+1 9, 即N 8
即至少需配备8个维修人员.
例8 设有80台设备, 每台设备情况如上例。 （1） 若由一个人负责维修20台设备，求这80台设备发 生故障，而不能及时修理的概率； （2）若由三个人共同负责维修80台，求设备发 生故障不能及时修理的概率。
解：设X为300台设备同时发生故障的台数， X~B(n,p)，n=300, p=0.01
设需配备N个维修人员， 所求的是满足
P(X>N) < 0.01的最小的N.
300
P(X>N)
Ck 300
(0.01)
k
(0.99)300k
kN 1
300 3k e3
kN 1 k!
3k e3
kN 1 k!
解: （1）由分布律的性质可知
1a1 1 1 4 2 12
即可求得a=1/6。
（2）P X
1
2
PX
0
PX
3
PX
5
11 1 3 6 2 12 4
例2. 设随机变量X的概率函数为：
P( X k) a k , k =0,1,2, …, 0
k! 试确定常数a .
解: 依据概率函数的性质:
P(X =k)≥0,
很小时有以下近似式：
Cnk
pk
(1
p)nk k e
k!
其中 np
也就是，n很大时，B(n,p) ≈P(np)
实际计算中，
n 100, np 10 时近似效果就很好
当 n很大时，p不是很小，而是很大( 接 近于1)时， 能否应用二项分布的泊松近似？
容易理解，当p不是很小，而是很大( 接 近于1)，可将问题略为转换一下，仍然可以 应用泊松近似.
k4 k!
结论：（1）>>（2），说明尽管情况2任务重了（一
个人修27台），但工作质量提高了，也说明，概率
方法可用来讨论国民经济中某些问题，以使达到更
有效地使用人力、物力、资源的目的，这是运筹学
的任务，概率论是解决运筹学问题的有力工具。
解：（1）设X为1个人负责的20台设备中发生故障的
机器数,则X~B(20，0.01)。 因为一人只能修一台机器，
故这20台设备发生故障不能及时维修的概率为：
20
20
P{X 2} P{X k} C2k0 (0.01)k (0.99)20k
k 2
2
20 (0.2)k e0.2 (0.2)k 0.0175
欲使上述函数为概率函数
P( X k) 1 应有
k
从中解得 a e
a≥0
a k ae 1
k0 k!
这里用到了常见的 幂级数展开式
e k
k0 k!
2、表示方法 （1）列表法：分布律可以用表格的形式表示：xn
一般从小到大排列。 X x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn …
300台设备，独立工作，出故障概率都是 0.01 . 一台设备故障一人来处理.
问至少配备多少维修人员，才能保证当设 备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
设X为300台设备同时发生故障的台数， X~B(n,p)，n=300, p=0.01
设需配备N个维修人员， 则要求的是满足
的最小的N.
下面给出正式求解过程：
解：设每次试验事件A出现的概率为p,若当第k 次试验时，事件A出现r次，则前k-1次试验事 件A出现r-1次，于是
P{X
k}
C r1 k 1
pr
1q k
1r 1
p
C r1 k 1
pr
qk
r
k= r, r+1,…
称X服从Pascal分布。当r=1时，
P{X k} pqk1 k 1,2, X服从几何分布。
..
0
n=13,p=0.5
..n
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值.
课下请自行证明上述结论.
3、泊松分布的定义及图形特点
设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：
P( X k) e k , k0,1,2, ,
k!
其中 λ >0 是常数,则称 X 服从参数为λ 的 泊松分布,记作X~P(λ ).
泊松分布的图形特点： X~P(λ )
n重Bernoulli试验模型是经常遇到的试 验模型。但当试验次数n很大时，二项概率 的计算非常麻烦，如
P(
X
5000
5)
k6
P(
X
k
)5k0060C5k000(10100)k
②已知随机变量X的分布律, 亦可求任意随 机事件的概率。
例如，求事件｛X∈B｝（B为实轴上的 一个区间）的概率P{ X∈B}时，只需将属于B 的X的可能取值找出来，把X取这些值的概率 相加，即可得概率P{ X∈B}，即
PX B pk xk B
因此，离散型随机变量的分布律完整地描述 它的概率分布情况。 （2）已知随机变量X的分布函数，可求出X 的分布律：
P
3 2
X
5 2
,
P
X
1
2
解: 由概率的有限可加性，得所求分布函数为
0 x 1
F
(
x)
1
4 1
1
4 1
2 1
1
2 1
x2 x3 x3
即
4 2 4
0
1
F
(
x)
4 3
4
1
x 1 1 x 2
2 x3 x3
F（x）的图形如下图所示，它是一条阶梯形的曲线，
在x＝－1，2，3处有跳跃点，跳跃值分别为1/4，1/2，
，其中
Cnk pk qnk
k0
恰为二项式 p qn 的一般项，故称为二项分布。
（3）当n=1时，二项分布为（0－1）分布，即 Xb(１,p)。
（4）二项分布分布律的图形为：
P
x
二项分布的图形特点： X~B(n,p)
对于固定n及p，当k增
Pk
加时 ,概率P(X=k) 先是随
之增加直至 达到最大值,
P(
X
3)P(
A1 A2
A3)(1
p)2p
可见 P(Xk)(1 p)k1p k1,2,
这就是求所需射击发数X的概率函数.
P(Xk)(1 p)k1p k1,2,
若随机变量X的概率函数如上式，则 称X具有几何分布.
不难验证:
(1 p)k1p 1
k 1
例4 重复独立的进行贝努力试验，直到事件A 出现r (r1)次为止，求试验次数X的分布律.
概率函数
分布律的性质的证明
证明:非负性显然，下证规范性。设离散型
r.v. X的取值为x1,…,xn,… 则事件组{X=x1}，…，{X=xn}，…构成
了的一个划分。
pk
P( X xk ) P X xk 1
k 1
k 1
k1
例1 已知随机变量X的分布律为
X0 1
P 1-p p
0
易求得其分布函数为： F (x) 1 p
1
x0 0 x 1
x 1
2.二项分布（binomial distribution)： 定义：若离散型随机变量X的分布律为
PX k Cnk pkqnk k 0,1,L , n
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项
下面我们看一个应用的例子.
例7 为保证设备正常工作，需要配备适量的 维修人员 . 设共有300台设备，每台独立工作， 且发生故障的概率都是0.01。若在通常的情况 下，一台设备的故障可由一人来处理 ， 问至 少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生 故障时不能及时维修的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析：
§2.2 离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量及其分布律
1．离散型随机变量的定义 设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值
是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离 散型随机变量(discrete random variable)。
设X是一个离散型随机变量，它可能取的值 是 x1, x2 , … .为了描述随机变量 X ，我们不仅 需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取 每个值的概率.
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变 量X所取的一切可能值，称等式
P(X xk) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率函数或分布律， 也称概率分布.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
（2） pk1
k
k=1,2, …
用这两条性质判断 一个函数是否是
1/4。
P
1
-1 0 1 2 3 x
于是
P2 X 3 PX 2 PX 3 1 1 3
24 4
P
3 2
X
5
2
PX
2
1 2
P1
1 4
二、三种常用离散型随机变量的分布 1.（0－1）分布：
设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布 律为 P{X=k}=pk(1-p)1-k , k=0，1. (0<p<1) 则称X服从（0－1）分布,记为X（0－1）分布。
n大,p小,np=3, 用 λ=np=3 的泊松近似
我们求满足 3k e3 0.01 的最小的N.
k N 1 k!
查泊松分布表得
e33k 0.0038 ,
k9 k!
e33k 0.012 , k8 k!
N+1 9, 即N 8
即至少需配备8个维修人员.
例8 设有80台设备, 每台设备情况如上例。 （1） 若由一个人负责维修20台设备，求这80台设备发 生故障，而不能及时修理的概率； （2）若由三个人共同负责维修80台，求设备发 生故障不能及时修理的概率。
解：设X为300台设备同时发生故障的台数， X~B(n,p)，n=300, p=0.01
设需配备N个维修人员， 所求的是满足
P(X>N) < 0.01的最小的N.
300
P(X>N)
Ck 300
(0.01)
k
(0.99)300k
kN 1
300 3k e3
kN 1 k!
3k e3
kN 1 k!
解: （1）由分布律的性质可知
1a1 1 1 4 2 12
即可求得a=1/6。
（2）P X
1
2
PX
0
PX
3
PX
5
11 1 3 6 2 12 4
例2. 设随机变量X的概率函数为：
P( X k) a k , k =0,1,2, …, 0
k! 试确定常数a .
解: 依据概率函数的性质:
P(X =k)≥0,
很小时有以下近似式：
Cnk
pk
(1
p)nk k e
k!
其中 np
也就是，n很大时，B(n,p) ≈P(np)
实际计算中，
n 100, np 10 时近似效果就很好
当 n很大时，p不是很小，而是很大( 接 近于1)时， 能否应用二项分布的泊松近似？
容易理解，当p不是很小，而是很大( 接 近于1)，可将问题略为转换一下，仍然可以 应用泊松近似.
k4 k!
结论：（1）>>（2），说明尽管情况2任务重了（一
个人修27台），但工作质量提高了，也说明，概率
方法可用来讨论国民经济中某些问题，以使达到更
有效地使用人力、物力、资源的目的，这是运筹学
的任务，概率论是解决运筹学问题的有力工具。
解：（1）设X为1个人负责的20台设备中发生故障的
机器数,则X~B(20，0.01)。 因为一人只能修一台机器，
故这20台设备发生故障不能及时维修的概率为：
20
20
P{X 2} P{X k} C2k0 (0.01)k (0.99)20k
k 2
2
20 (0.2)k e0.2 (0.2)k 0.0175
欲使上述函数为概率函数
P( X k) 1 应有
k
从中解得 a e
a≥0
a k ae 1
k0 k!
这里用到了常见的 幂级数展开式
e k
k0 k!
2、表示方法 （1）列表法：分布律可以用表格的形式表示：xn
一般从小到大排列。 X x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn …
300台设备，独立工作，出故障概率都是 0.01 . 一台设备故障一人来处理.
问至少配备多少维修人员，才能保证当设 备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
设X为300台设备同时发生故障的台数， X~B(n,p)，n=300, p=0.01
设需配备N个维修人员， 则要求的是满足
的最小的N.
下面给出正式求解过程：
解：设每次试验事件A出现的概率为p,若当第k 次试验时，事件A出现r次，则前k-1次试验事 件A出现r-1次，于是
P{X
k}
C r1 k 1
pr
1q k
1r 1
p
C r1 k 1
pr
qk
r
k= r, r+1,…
称X服从Pascal分布。当r=1时，
P{X k} pqk1 k 1,2, X服从几何分布。
..
0
n=13,p=0.5
..n
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值.
课下请自行证明上述结论.
3、泊松分布的定义及图形特点
设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：
P( X k) e k , k0,1,2, ,
k!
其中 λ >0 是常数,则称 X 服从参数为λ 的 泊松分布,记作X~P(λ ).
泊松分布的图形特点： X~P(λ )
n重Bernoulli试验模型是经常遇到的试 验模型。但当试验次数n很大时，二项概率 的计算非常麻烦，如
P(
X
5000
5)
k6
P(
X
k
)5k0060C5k000(10100)k
②已知随机变量X的分布律, 亦可求任意随 机事件的概率。
例如，求事件｛X∈B｝（B为实轴上的 一个区间）的概率P{ X∈B}时，只需将属于B 的X的可能取值找出来，把X取这些值的概率 相加，即可得概率P{ X∈B}，即
PX B pk xk B
因此，离散型随机变量的分布律完整地描述 它的概率分布情况。 （2）已知随机变量X的分布函数，可求出X 的分布律：
P
3 2
X
5 2
,
P
X
1
2
解: 由概率的有限可加性，得所求分布函数为
0 x 1
F
(
x)
1
4 1
1
4 1
2 1
1
2 1
x2 x3 x3
即
4 2 4
0
1
F
(
x)
4 3
4
1
x 1 1 x 2
2 x3 x3
F（x）的图形如下图所示，它是一条阶梯形的曲线，
在x＝－1，2，3处有跳跃点，跳跃值分别为1/4，1/2，
，其中
Cnk pk qnk
k0
恰为二项式 p qn 的一般项，故称为二项分布。
（3）当n=1时，二项分布为（0－1）分布，即 Xb(１,p)。
（4）二项分布分布律的图形为：
P
x
二项分布的图形特点： X~B(n,p)
对于固定n及p，当k增
Pk
加时 ,概率P(X=k) 先是随
之增加直至 达到最大值,
P(
X
3)P(
A1 A2
A3)(1
p)2p
可见 P(Xk)(1 p)k1p k1,2,
这就是求所需射击发数X的概率函数.
P(Xk)(1 p)k1p k1,2,
若随机变量X的概率函数如上式，则 称X具有几何分布.
不难验证:
(1 p)k1p 1
k 1
例4 重复独立的进行贝努力试验，直到事件A 出现r (r1)次为止，求试验次数X的分布律.
概率函数
分布律的性质的证明
证明:非负性显然，下证规范性。设离散型
r.v. X的取值为x1,…,xn,… 则事件组{X=x1}，…，{X=xn}，…构成
了的一个划分。
pk
P( X xk ) P X xk 1
k 1
k 1
k1
例1 已知随机变量X的分布律为