2012 年一摸几何总会

合集下载

2012广州一模数学理试卷

数学（理科）试题A 第 1 页共 4 页试卷类型：A.2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2012.3注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中12nx x x x n+++= . 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．22．已知全集U =R，函数y =A ，函数()2log 2y x =+的定义域为集合B ，则集合()U A B = ðA ．()2,1--B ．(]2,1--C ．(),2-∞-D ．()1,-+∞ 3．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为12π，则ω的值为 A ．3 B ．6 C ．12D ．244．已知点()P a b ，（0ab ≠）是圆O ：222x y r +=内一点，直线l 的方程为20ax by r ++=，那么直线l 与圆O 的位置关系是A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定数学（理科）试题A 第 2 页共 4 页5．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =， ()0,2b =，则⨯a b 的值为A ．8-B ．6-C ．8D ．67．在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =，6BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．238．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(),,x y z ，若x y z ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为A ．252B ．216C ．72D ．42二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分（一）必做题（9～13题） 9．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为．10．已知()211d 4kx x +⎰2≤≤，则实数k 的取值范围为． 11．已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为．12．已知集合{}1A x x =≤≤2，{}1B x x a =-≤，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为．13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，……，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．512122图2图1 俯视图正(主)视图侧(左)视图数学（理科）试题A 第 3 页共 4 页（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦AB 的中点，3OP =cm ，弦CD 过点P ，且13CP CD =，则CD 的长为 cm ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：1,1x s y s =+⎧⎨=-⎩（s 为参数）和C ：22,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数），若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）设3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．17．（本小题满分12分）如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．（1）求a 的值；（2）求乙组四名同学数学成绩的方差；（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）．（温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明．） 18．（本小题满分14分）如图5所示，在三棱锥ABC P -中，AB BC ==平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1AD =，3CD =，PD =．（1）证明△PBC 为直角三角形；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值．图4 甲组乙组 8 9 7 a 3 5 7 9 6 6 图5PACD图3数学（理科）试题A 第 4 页共 4 页19．（本小题满分14分）等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()252123n n n b a n n +=++，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（本小题满分14分）已知椭圆2214y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，的双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ．（1）求曲线C 的方程；（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；（3）设TAB ∆与POB ∆（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且PA PB uu r uu rg ≤15，求2212S S -的取值范围．21．（本小题满分14分）设函数()e xf x =(e 为自然对数的底数)，23()12!3!!nn x x x g x x n =+++++L （*n ∈N ）．（1）证明：()f x 1()g x ≥；（2）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；（3）证明：()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤L （*n ∈N ）．·5·2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．9 10．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．3 12．[]1,2 13．35，10 14．15三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：9f π⎛⎫ ⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (1)分tantan 341tan tan34ππ+=ππ-…………………………………………………………………………3分2==-…4分（2）解：因为·6·3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………5分()tan α=+π……………………………………………………………………6分tan 2α==．……………………………………………………………………7分所以sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=． ① 因为22sin cos 1αα+=， ② 由①、②解得21cos 5α=．………………………………………………………………………………9分因为3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，所以cos α=，sin α=10分所以cos 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭cos cos sin sin 44ααππ=+ ………………………………………………………11分⎛== ⎝⎭．……………………………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）（1）解：依题意，得11(87899696)(87909395)44a ⨯+++=⨯++++，……………………………1分解得3a =................................................................................................................2分（2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为92x =. (3)分所以乙组四名同学数学成绩的方差为·7·()()()()222221879293929392959294s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦. ……………………………5分（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4416⨯=种可能的结果．……………6分所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8分由表可得1(0)16P X ==，2(1)16P X ==，1(2)16P X ==，4(3)16P X ==， 2(4)16P X ==，3(6)16P X ==，1(8)16P X ==，2(9)16P X ==.所以随机变量X 随机变量X 的数学期望为121423012346161616161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12891616+⨯+⨯…………………………11分6817164==.…………………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明1：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，AB BC =，所以AC BE ⊥．因为AB BC ==4=AC ，所以BE ===……………………………………10分3分因为PD⊥AC，所以△PCD为直角三角形．因为PD=，3CD=，所以PC===4分连接BD，在Rt△BDE中，因为BE，1DE=，所以BD===．…………5分因为PD⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，所以PD⊥BD．在Rt△PBD中，因为PD，BD=，所以PB=6分在PBC∆中，因为BC=，PB=PC=所以222BC PB PC+=．所以P∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分证明2：因为平面⊥PAC平面ABC，平面PAC I平面ABC AC=，PD⊂平面PAC，ACPD⊥，所以PD⊥平面ABC．…………………………………………………………………………………1分记AC边上的中点为E，在△ABC中，因为AB BC=，所以ACBE⊥．因为AB BC==4=AC，所以BE===………………3分连接BD，在Rt△BDE中，因为90BED∠=o，BE=，1DE=，所以B D=+4分在△BCD中，因为3CD=，BC=BD=，所以222BC BD CD+=，所以BC BD⊥．……………………………………………………………5分因为PD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以BC PD⊥．…………………………………………………………………………………………BPA CDE·8··9·因为BD PD D = ，所以BC ⊥平面PBD ．因为PB ⊂平面PBD ，所以BC PB ⊥．所以P ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分（2）解法1：过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为H ，连PH ，则APH ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．…………………………………………………………8分由（1）知，△ABC的面积12ABC S AC BE ∆=⨯⨯=．…………………………………………9分因为PD =，所以13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯13=⨯=…………………………10分由（1）知PBC ∆为直角三角形，BC =PB =所以△PBC的面积11322PBC S BC PB ∆=⨯⨯==．……………………………………11分因为三棱锥A PBC -与三棱锥P ABC -的体积相等，即A PBC P ABC V V --=，即1333AH ⨯⨯=所以3AH =．……………………………………………………………12分在Rt △PAD中，因为PD ，1AD =，所以2AP ==．………………………………………………………13分因为3sin 2AH APH AP ∠=== 所以直线AP 与平面PBC14分解法2：过点D 作DM AP ∥，设DM PC M = ，则DM 与平面PBC 所成的角等于AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………PM·10·由（1）知BC PD ⊥，BC PB ⊥，且PD PB P = ，所以BC ⊥平面PBD ．因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD ．过点D 作DN PB ⊥于点N ，连接MN ，则DN ⊥平面PBC ．所以DMN ∠为直线DM 与平面PBC 所成的角．……10分在Rt △PAD中，因为PD ，1AD =，所以2AP ==．………………………………………………………11分因为DM AP ∥，所以DM CD AP CA =，即324DM =，所以32DM =．………………………………12分由（1）知BD=，PB=PD =，所以PD BD DN PB ⨯===．……………………………………………………………13分因为2sin 332DN DMN DE ∠===，所以直线AP 与平面PBC 14分解法3：延长CB 至点G ，使得BG BC =，连接AG 、PG ，……………………………………8分在△PCG 中，PB BG BC == 所以90CPG ∠=o，即CP PG ⊥．在△PAC 中，因为PC =2PA =，4AC =，所以222PA PC AC +=，所以CP PA ⊥．因为PA PG P =I ，BP ACDEGK所以CP ⊥平面PAG ．…………………………………………………………………………………9分过点A 作AK PG ⊥于点K ，因为AK ⊂平面PAG ，所以CP AK ⊥．因为PG CP P =I ，所以AK ⊥平面PCG ．所以APK ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………………………11分由（1）知，BC PB ⊥，所以PG PC ==．在△CAG 中，点E 、B 分别为边CA 、CG 的中点，所以2AG BE ==12分在△PAG 中，2PA =，AG =PG =所以222PA AG PG +=，即PA AG ⊥．……………………………………………………………13分因为sin 3AG APK PG ∠===．所以直线AP 与平面PBC14分解法4：以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，…………………………………………………………………………………………………8分则()0,2,0A -，)B，()0,2,0C，(0,P -．于是(AP =，PB =，(0,3,PC =设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，A则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n即0,30.y y +==⎪⎩取1y =，则z =x =所以平面PBC的一个法向量为=n ．……………………………………………………12分设直线AP 与平面PBC 所成的角为θ，则sin cos 3AP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n ．所以直线AP 与平面PBC所成角的正弦值为314分若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：（1）以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，1分则)B，()0,2,0C ，(0,P -．于是(BP =- ，()2,0BC =．因为(()0BP BC =-=，所以BP BC ⊥ ．所以BP BC ⊥．所以P ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分（2）由（1）可得，()0,2,0A -．于是(AP = ，PB =，(0,3,PC =．A设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n即0,30.y y +-==⎪⎩ 取1y =，则z =x =所以平面PBC的一个法向量为=n ．……………………………………………………12分设直线AP 与平面PBC 所成的角为θ，则sin cos AP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n ．所以直线AP 与平面PBC14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，有45323224,22.a a a a a +⎧=⎪⎨⎪=⎩即3452322,2.a a a a a =+⎧⎪⎨=⎪⎩……………………………………………………………………2分所以21122112,2.a q a q a q a q a q ⎧=+⎪⎨=⎪⎩………………………………………………………………………………3分由于10a ≠，0q ≠，解之得11,21.2a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或11,21.a q ⎧=⎪⎨⎪=-⎩……………………………………………………5分又10,0a q >>，所以111,22a q ==，…………………………………………………………………6分所以数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（*n ∈N ）．…………………………………………………7分（2）解：由（1），得()()252123n n n b a n n +=⋅++()()25121232n n n n +=⋅++．………………………………8分所以21121232n n b n n ⎛⎫=-⋅⎪++⎝⎭111(21)2(23)2n nn n -=-++．…………………………………………………………………10分所以12n n S b b b =+++L()()211111113525272212232n n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⋅⋅⋅++⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ()113232nn =-+．故数列{}n b 的前n 项和()113232n nS n =-+．………………………………………………………14分 20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．…………………………………………………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，=，即2b =．所以双曲线C的方程为2214y x -=．……………………………………………………………………3分（2）证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线AP 的斜率为k （0k >），则直线AP的方程为(1)y k x =+，………………………………………………………………………4分联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩………………………………………………………………………………5分整理，得()22224240k x k x k +++-=，解得1x =-或2244k x k -=+．所以22244k x k -=+．…………………………………………………………6分同理可得，21244k x k+=-．…………………………………………………………………………………7分所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则111AP y k x =+，221AT y k x =+．…………………………………………………………………………4分因为APAT k k =，所以121211y y x x =++，即()()2212221211y y x x =++．……………………………………5分因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以221114y x -=，222214y x +=．即()221141y x =-，()222241y x =-．…………………………………………………………………6分所以()()()()22122212414111x x x x --=++，即12121111x x x x --=++．……………………………………………………7分所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法3：设点11(,)P x y ，直线AP 的方程为11(1)1y y x x =++，………………………………………4分联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………………………………………………5分整理，得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦，解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++．…………………………………………………………………6分将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++，得11x x =，即211x x =．所以121x x ⋅=．…………………………………………………………………………………………8分（3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则()111,PA x y =--- ，()111,PB x y =--．因为15PA PB ⋅≤ ，所以()()21111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．…………………………9分因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤．因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．…………………………………………10分因为1221||||||2S AB y y ==，21111||||||22S OB y y ==，所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--． (11)分由（2）知，121x x ⋅=，即211x x =．设21t x =，则14t <≤，221245S S t t-=--．设()45t t f t =--，则()()()222241t t f t t t -+'=-+=，当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<，所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减．因为()21f =，()()140f f ==，所以当4t =，即12x =时，()()2212min40S S f -==．……………………………………………12分当2t =，即1x =()()2212max21S S f -==．………………………………………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1．……………………………………………………………………14分说明：由()222212121254541S S x x x x -=-+≤-=，得()2212max1S S -=，给1分．21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）证明：设11()()()1x x f x g x e x ϕ=-=--，所以1()x x e ϕ'=-．………………………………………………………………………………………1分当0x <时，1()0x ϕ'<，当0x =时，1()0x ϕ'=，当0x >时，1()0x ϕ'>．即函数1()x ϕ在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，在0x =处取得唯一极小值，………2分因为1(0)0ϕ=，所以对任意实数x 均有 11()(0)0x ϕϕ=≥．即1()()0f x g x -≥，所以()f x 1()g x ≥．………………………………………………………………………………………3分（2）解：当0x >时，()f x >()n g x ．………………………………………………………………………4分用数学归纳法证明如下：（资料来源：中国高考吧）①当1n =时，由（1）知()f x 1()g x >．②假设当n k =（*k ∈N ）时，对任意0x >均有()f x >()k g x ，…………………………………5分令()()()k k x f x g x ϕ=-，11()()()k k x f x g x ϕ++=-，因为对任意的正实数x ，()()11()()()k kk x f x g x f x g x ϕ++'''=-=-，由归纳假设知，1()()()0k k x f x g x ϕ+'=->．…………………………………………………………6分即11()()()k k x f x g x ϕ++=-在(0,)+∞上为增函数，亦即11()(0)k k x ϕϕ++>，因为1(0)0k ϕ+=，所以1()0k x ϕ+>．从而对任意0x >，有1()()0k f x g x +->．即对任意0x >，有1()()k f x g x +>．这就是说，当1n k =+时，对任意0x >，也有()f x >1()k g x +．由①、②知，当0x >时，都有()f x >()n g x ．………………………………………………………8分（3）证明1：先证对任意正整数n ，()1e n g <．由（2）知，当0x >时，对任意正整数n ，都有()f x >()n g x ．令1x =，得()()11=e n g f <．所以()1e n g <．……………………………………………………………………………………………9分再证对任意正整数n，()1232222112341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112!3!!n =+++++ ．要证明上式，只需证明对任意正整数n ，不等式211!nn n ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭成立．即要证明对任意正整数n ，不等式1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（*）成立． (10)分以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）：方法1（数学归纳法）：①当1n =时，1111!2+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，所以不等式（*）成立．②假设当n k =（*k ∈N ）时，不等式（*）成立，即1!2kk k +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．………………………………………………………………………………………11分则()()()1111!1!1222kk k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫+=+≤+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为111101111112211121C C C 2111112k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++⎛⎫⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭==+=+++≥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭，…12分所以()11121!222k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………………………………………13分这说明当1n k =+时，不等式（*）也成立．由①、②知，对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立．……………………………………14分方法2（基本不等式法）：12n +，……………………………………………………………………………………11分12n +，……，12n +，将以上n 个不等式相乘，得1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………13分所以对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立．……………………………………14分。

2012-2021高考真题数学汇编：立体几何初步(2)(教师版)

2012-2021高考真题数学汇编：立体几何初步（2）一．选择题（共14小题）1．（2016•全国）正四棱锥的各棱长均为1，则它的体积是（）A．B．C．D．2．（2016•上海）半径为1的球的表面积为（）A．πB．C．2πD．4π3．（2016•浙江）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n⊥β，则（）A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n4．（2016•新课标Ⅱ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12πB．πC．8πD．4π5．（2016•新课标Ⅰ）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．6．（2016•新课标Ⅲ）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，AA1＝3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．7．（2016•上海）设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么（）A．直线l平行于直线mB．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点D．直线l与直线m不垂直8．（2015•上海）底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为（）A．2πB．C．D．9．（2015•新课标Ⅰ）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛10．（2015•山东）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．2πD．4π11．（2015•新课标Ⅱ）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π12．（2015•山东）在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．2π13．（2015•广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于514．（2014•全国）平面ax+by+z+1＝0和x+2y﹣z+3＝0互相垂直，且其交线经过点（1，﹣1，2），则a+b＝（）A．B．C．﹣D．﹣二．填空题（共14小题）15．（2017•新课标Ⅰ）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为．16．（2017•新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，△DBC，△ECA，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，CA，AB为折痕折起△DBC，△FAB，使得D、E、F重合，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为．17．（2016•全国）在空间直角坐标系中，若直线＝＝与平面x﹣2y+z＝5平行．18．（2016•全国）已知B﹣AC﹣D为直二面角，Rt△ABC≌Rt△ADC，且AB＝BC．19．（2016•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，AD＝，∠ADC＝90°，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是．20．（2016•浙江）如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，满足PD＝DA，PB＝BA．21．（2016•上海）已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为．22．（2015•全国）在空间直角坐标系中，过原点作平面2x﹣z﹣2＝0的垂线，垂足为．23．（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a＝．24．（2015•上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．25．（2015•四川）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，设M，N，P分别是AB，B1C1的中点，则三棱锥P﹣A1MN的体积是．26．（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．27．（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，点M，N分别是AD，则异面直线AN，CM 所成的角的余弦值是．28．（2015•四川）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，E、F分别为AB、BC 的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ．三．解答题（共32小题）29．（2017•新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD AD，∠BAD＝∠ABC＝90°．（1）证明：直线BC∥平面PAD；（2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．30．（2017•江苏）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合），BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．31．如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为10，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．32．（2017•北京）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．33．（2017•新课标Ⅰ）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为34．（2017•新课标Ⅲ）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，求四面体ABCE与四面体ACDE 的体积比．35．（2017•山东）由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，A1E⊥平面ABCD，（Ⅰ）证明：A1O∥平面B1CD1；（Ⅱ）设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1．36．（2017•上海）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝3．（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．37．（2016•上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小．38．（2016•新课标Ⅱ）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，AE＝CF，EF交BD 于点H（Ⅰ）证明：AC⊥HD′；（Ⅱ）若AB＝5，AC＝6，AE＝，求五棱锥D′﹣ABCFE体积．39．（2016•山东）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．（Ⅰ）已知AB＝BC，AE＝EC，求证：AC⊥FB；（Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．40．（2016•上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为π，，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．41．（2016•新课标Ⅲ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，AM＝2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．42．（2016•新课标Ⅰ）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA＝6，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．43．（2016•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．44．（2016•四川）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝（Ⅰ）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；（Ⅱ）证明：平面PAB⊥平面PBD．45．（2016•江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB＝6m，PO1＝2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？46．（2016•上海）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC1与AC所成的角的大小．47．（2015•上海）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，C为半圆弧的中点的中点，已知PO＝2，求三棱锥P﹣AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小．48．（2015•新课标Ⅰ）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为49．（2015•重庆）如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，点D、E在线段AC上，且AD＝DE＝EC＝2，点F在线段AB上，且EF∥BC．（Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长．50．（2015•陕西）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝a，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值．51．（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．52．（2015•新课标Ⅰ）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，AE ⊥EC．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．53．（2015•四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．54．（2015•福建）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB＝1，（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值；（Ⅲ）若BC＝，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值．55．（2015•新课标Ⅱ）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝101＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．56．（2015•北京）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB；（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．57．（2015•山东）如图，三棱台DEF﹣ABC中，AB＝2DE，G，BC的中点．（1）求证：BD∥平面FGH；（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．58．（2015•安徽）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝1，AC＝2（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求59．（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，且PD＝CD，点E是PC的中点（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是；（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值．60．（2015•湖南）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．2012-2021高考真题数学汇编：立体几何初步（2）参考答案一．选择题（共14小题）1．（2016•全国）正四棱锥的各棱长均为1，则它的体积是（）A．B．C．D．【分析】根据正四棱锥的结构特征计算棱锥的高，代入体积公式计算即可得答案．【解答】解：设正四棱锥的底面中心为O，连结OP，∵底面四边形ABCD是正方形，AB＝1，∴AO＝．∴OP＝＝．∴正四棱锥的体积V＝＝．故选：C．【点评】本题考查了正四棱锥的结构特征，棱锥的体积计算，属于中档题．2．（2016•上海）半径为1的球的表面积为（）A．πB．C．2πD．4π【分析】利用球的表面积公式S＝4πR2解答即可求得答案．【解答】解：半径为1的球的表面积为4π×52＝4π，故选：D．【点评】本题考查了球的表面积公式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．3．（2016•浙江）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n⊥β，则（）A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n【分析】由已知条件推导出l⊂β，再由n⊥β，推导出n⊥l．【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，n满足m∥α，∴m∥β或m⊂β或m与β相交，l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l．故选：C．【点评】本题考查两直线位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4．（2016•新课标Ⅱ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12πB．πC．8πD．4π【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为＝4，即为球的直径，所以半径为，所以球的表面积为＝12π．故选：A．【点评】本题考查学生的空间想象能力，体积与面积的计算能力，是基础题．5．（2016•新课标Ⅰ）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABA7B1＝n，可知：n∥CD1，m∥B2D1，∵△CB1D2是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1＝60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．6．（2016•新课标Ⅲ）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，AA1＝3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB＝6，∴AC＝10．故三角形ABC的内切圆半径r＝＝2，又由AA4＝3，故直三棱柱ABC﹣A1B4C1的内切球半径为，此时V的最大值＝，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．7．（2016•上海）设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么（）A．直线l平行于直线mB．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点D．直线l与直线m不垂直【分析】由已知中直线l与平面α平行，直线m在平面α上，可得直线l与直线m异面或平行，进而得到答案．【解答】解：∵直线l与平面α平行，直线m在平面α上，∴直线l与直线m异面或平行，即直线l与直线m没有公共点，故选：C．【点评】本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平行之间的位置关系，难度中档．8．（2015•上海）底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为（）A．2πB．C．D．【分析】求出圆锥的高，然后求解圆锥的体积．【解答】解：底面半径为1，母线长为2的圆锥的高为：．底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为：＝．故选：D．【点评】本题考查几何体的体积的求法，是基础题．9．（2015•新课标Ⅰ）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r＝8，解得r＝，故米堆的体积为××π×（）2×5≈，∵1斛米的体积约为1.62立方尺，∴÷1.62≈22，故选：B．【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．10．（2015•山东）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．2πD．4π【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．【解答】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．V＝2×S•h＝2×2•h＝2×π×（）5×＝．故选：B．【点评】本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力．是基础题．11．（2015•新课标Ⅱ）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，设球O的半径为R O﹣ABC＝V C﹣AOB＝＝＝36，则球O的表面积为4πR2＝144π，故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．12．（2015•山东）在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．2π【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，几何体的体积为：＝．故选：C．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．画出几何体的直观图是解题的关键．13．（2015•广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．【解答】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，成立；4个点两两距离相等，三个点在圆上，圆上的点到圆心的距离都相等；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，成立；若n＞4，由于任三点不共线，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，且球的半径不等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合，但显然球的半径不等于棱长，故不成立；同理n＞7，不成立．故选：B．【点评】本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题．14．（2014•全国）平面ax+by+z+1＝0和x+2y﹣z+3＝0互相垂直，且其交线经过点（1，﹣1，2），则a+b＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】由平面ax+by+z+1＝0和x+2y﹣z+3＝0互相垂直，且其交线经过点（1，﹣1，2），列出方程组，求出a，b，由此能求出a+b的值．【解答】解：∵平面ax+by+z+1＝0和x+4y﹣z+3＝0互相垂直，且其交线经过点（7，2），∴，解得a＝﹣，b＝．∴a+b＝﹣．故选：C．【点评】本题考查两数和的求法，考查平面与平面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想，是基础题．二．填空题（共14小题）15．（2017•新课标Ⅰ）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为36π．【分析】判断三棱锥的形状，利用几何体的体积，求解球的半径，然后求解球的表面积．【解答】解：三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，SA＝AC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r，可得，解得r＝3．球O的表面积为：8πr2＝36π．故答案为：36π．【点评】本题考查球的内接体，三棱锥的体积以及球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．16．（2017•新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，△DBC，△ECA，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，CA，AB为折痕折起△DBC，△FAB，使得D、E、F重合，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为4cm3．【分析】法一：由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG＝BC，设OG＝x，则BC＝2x，DG＝5﹣x，三棱锥的高h＝，求出S△ABC＝3，V＝＝，令f（x）＝25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）＝100x3﹣50x4，f（x）≤f（2）＝80，由此能求出体积最大值．法二：设正三角形的边长为x，则OG＝，FG＝SG＝5﹣，SO＝h＝＝＝，由此能示出三棱锥的体积的最大值．【解答】解法一：由题意，连接OD，由题意得OD⊥BC BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG＝x，则BC＝6x，三棱锥的高h＝＝＝，＝3，则V＝＝＝，令f（x）＝25x4﹣10x6，x∈（0，），f′（x）＝100x3﹣50x4，令f′（x）≥3，即x4﹣2x8≤0，解得x≤2，则f（x）≤f（2）＝80，∴V≤＝43，∴体积最大值为8cm3．故答案为：4cm7．解法二：如图，设正三角形的边长为x，∴FG＝SG＝5﹣，SO＝h＝＝＝，∴三棱锥的体积V＝＝＝，令b（x）＝2x4﹣，则，令b′（x）＝0，则4x8﹣＝4，∴（cm3）．故答案为：6cm3．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．17．（2016•全国）在空间直角坐标系中，若直线＝＝与平面x﹣2y+z＝5平行1．【分析】求出直线＝＝的方向向量和平面x﹣2y+z＝5的法向量，由二者乘积为0，能求出c．【解答】解：∵直线＝＝的方向向量为（3，2，平面x﹣2y+z＝3的法向量为（1，﹣2，∴（7，2，c）•（1，8）＝3﹣4+c＝8，解得c＝1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与平面平行的性质等基础知识，考查运算求解能力、考查函数与方程思想，是基础题．18．（2016•全国）已知B﹣AC﹣D为直二面角，Rt△ABC≌Rt△ADC，且AB＝BC．【分析】分别取AD、BD、AC的中点E、F、G，连结EF、EG、BG、DG推导出△EFG是等边三角形，EF∥AB，EG∥DC，∠FEG是异面直线AB与CD所成角，由此能求出异面直线AB与CD所成角．【解答】解：分别取AD、BD、F、G，连结EF、EG、DG，设AB＝BC＝2，则AD＝CD＝2AB＝1，BG⊥AC，DG⊥AC，∵B﹣AC﹣D为直二面角，∴∠BGD＝，∴BD＝＝2，∴△EFG是等边三角形，∵EF∥AB，EG∥DC，∵，∴异面直线AB与CD所成角为．故答案为：．【点评】本题考查立体几何中异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，是中档题．19．（2016•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，AD＝，∠ADC＝90°，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是．【分析】如图所示，取AC的中点O，AB＝BC＝3，可得BO⊥AC，在Rt△ACD′中，AC＝．作D′E⊥AC，垂足为E，D′E＝．CO＝，CE＝＝，EO＝CO﹣CE＝．过点B作BF∥AC，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与BD′所成的角．则四边形BOEF为矩形，BF＝EO＝．EF＝BO＝．则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ．利用余弦定理求出D′F2的最小值即可得出．【解答】解：如图所示，取AC的中点O，∴BO⊥AC，在Rt△ACD′中，＝．作D′E⊥AC，垂足为E＝．CO＝，CE＝＝＝，∴EO＝CO﹣CE＝．过点B作BF∥AC，作FE∥BO交BF于点F．连接D′F．则四边形BOEF为矩形，∴BF＝EO＝．EF＝BO＝＝．则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ．则D′F3＝+﹣2×﹣5cosθ≥．∴D′B的最小值＝＝5．∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值＝＝＝．也可以考虑利用向量法求解．故答案为：．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．20．（2016•浙江）如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，满足PD＝DA，PB＝BA．【分析】由题意，△ABD≌△PBD，可以理解为△PBD是由△ABD绕着BD旋转得到的，对于每段固定的AD，底面积BCD为定值，要使得体积最大，△PBD必定垂直于平面ABC，此时高最大，体积也最大．【解答】解：如图，M是AC的中点．①当AD＝t＜AM＝时，如图，也就是A到BD的距离，DM＝﹣t，可得，V＝＝，t∈（0，）②当AD＝t＞AM＝时，如图，也就是A到BD的距离，DM＝t﹣，由等面积，∴，∴h＝，∴V＝＝，t∈（，7）综上所述，V＝，2）令m＝∈[7，则V＝，V max＝．另解：由于PD＝DA，PB＝BA，则对于每一个确定的AD，都有△PDB绕DB在空间中旋转，则PD⊥AC时体积最大，则只需考察所有PD⊥AC时的最大，设PD＝DA＝h，则V＝S底h＝h•﹣h）•2，二次函数求最值可知h＝时体积最大为．故答案为：．【点评】本题考查体积最大值的计算，考查学生转化问题的能力，考查分类讨论的数学思想，对思维能力和解题技巧有一定要求，难度大．21．（2016•上海）已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为50π．【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算．【解答】解：∵圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，∴圆锥的底面半径为5，∴圆锥的侧面积为π×5×10＝50π．故答案为：50π．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，圆锥的侧面积计算，属于基础题．22．（2015•全国）在空间直角坐标系中，过原点作平面2x﹣z﹣2＝0的垂线，垂足为（，0，﹣）．【分析】空间解析几何中，面Ax+By+Cz＝0的法向量＝（A，B，C），由此求出平面2x﹣z﹣2＝0的法向量，从而能求出过原点作平面2x﹣z﹣2＝0的垂线，垂足的坐标．【解答】解：过原点作平面2x﹣z﹣2＝3的垂线，设垂足为（a．b，∵平面2x﹣z﹣2＝5的法向量＝（2，0，∴（5，0，0）﹣（a，b，7，﹣1），解得（a，b，c）＝（﹣2λ，2．∵（﹣2λ，0，λ）在平面6x﹣z﹣2＝0内，∴﹣5λ﹣λ﹣2＝0，解得λ＝﹣，∴垂足的坐标为（，0，﹣）．故答案为：（，3，﹣）．【点评】本题考查垂足坐标的求法，考查平面的法向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．23．（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a＝4．【分析】由题意可得（•a•a•sin60°）•a＝16，由此求得a的值．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形•a•a•sin60°，∴（•a•a•sin60°）•a＝16，故答案为：4．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．24．（2015•上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．【分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，可得l＝2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：rh，∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，∴l＝2h，设母线与轴的夹角为θ，则cosθ＝＝，故θ＝，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键．25．（2015•四川）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，设M，N，P分别是AB，B1C1的中点，则三棱锥P﹣A1MN的体积是．【分析】判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥P﹣AMN的体积即可．【解答】解：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1，底面积为，三棱锥底面积是三棱柱底面三角形的，所求三棱锥P﹣A7MN的体积是M﹣NAA1的体积，也是A1﹣AMN的体积：＝．故答案为：．【点评】本题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．26．（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．【分析】由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．【解答】解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．【点评】本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．27．（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，点M，N分别是AD，则异面直线AN，CM 所成的角的余弦值是．【分析】连结ND，取ND的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC通过解三角形，求解即可．【解答】解：连结ND，取ND的中点为：E，则ME∥AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN＝2，∴ME＝＝EN，又∵EN⊥NC，∴EC＝＝，∴cos∠EMC＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．28．（2015•四川）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，E、F分别为AB、BC 的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ．【分析】首先以AB，AD，AQ三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长为2，M（0，y，2），从而可求出向量的坐标，由cosθ＝得到，对函数求导，根据导数符号即可判断该函数为减函数，从而求出cosθ的最大值．【解答】解：根据已知条件，AB，AQ三直线两两垂直，y，z轴，设AB＝2A（0，6，0），0，3），1，0）；M在线段PQ上，设M（4，y，0≤y≤2；∴；∴cosθ＝＝；设f（y）＝，；函数g（y）＝﹣2y﹣6是一次函数，且为减函数；∴g（y）＜0在[0，7]恒成立；∴f（y）在[0，2]上单调递减；∴y＝8时，f（y）取到最大值．故答案为：．。

2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)7：立体几何

2012高考真题分类汇编：立体几何一、选择题1.【2012高考真题新课标理7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3，所以几何体的体积为93362131=⨯⨯⨯⨯=V ,选B.2.【2012高考真题浙江理10】已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2。

将△沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中。

A.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直.B.存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直.C.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.D.对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直【答案】C【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C 是正确的．3.【2012高考真题新课标理11】已知三棱锥S A B C -的所有顶点都在球O 的求面上，A B C ∆是边长为1的正三角形，S C 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（）()A 6()B6()C3()D 2【答案】A【解析】A B C ∆的外接圆的半径3r =，点O 到面ABC的距离3d ==,S C 为球O 的直径⇒点S 到面ABC的距离为23d =此棱锥的体积为11233436ABC V S d ∆=⨯=⨯=另：1236ABC V S R ∆<⨯=排除,,B C D ,选A.4.【2012高考真题四川理6】下列命题正确的是（）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】A.两直线可能平行，相交，异面故A 不正确；B.两平面平行或相交；C.正确；D.这两个平面平行或相交.5.【2012高考真题四川理10】如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径C D 作平面α成45 角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠= ，则A 、P两点间的球面距离为（）A 、arccos 4R B 、4RπC 、arccos 3R D 、3Rπ【答案】A【解析】根据题意，易知平面AOB ⊥平面CBD,BOP AOB AOP ∠⋅∠=∠∴cos cos cos422122=⋅=,42arccos =∠∴AOP ，由弧长公式易得，A 、P 两点间的球面距离为a r c c o s 4R .6.【2012高考真题陕西理5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12C A C C C B ==，则直线1BC 与直线1A B 夹角的余弦值为（）A.5B.3C.5D.355.【答案】A.【解析】设a CB =||，则a CC CA 2||||1==，),2,0(),0,2,0(),,0,0(),0,0,2(11a a B a C a B a A ， ),2,0(),,2,2(11a a BC a a a AB -=-=∴，55,cos 111111=>=<∴BC AB ，故选A.7.【2012高考真题湖南理3】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型. 8.【2012高考真题湖北理4】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．8π3B ．3πC ．10π3D ．6π【答案】B【解析】显然有三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选B.9.【2012高考真题广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为A ．12π B.45π C.57π D.81π 【答案】C【解析】该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，根据三视图中的数量关系，可得πππ57533-53312222=⨯⨯+⨯⨯⨯=+=圆柱圆锥V V V ．故选C ．10.【2012高考真题福建理4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是A.球B.三棱柱C.正方形D.圆柱【答案】D.【命题立意】本题考查了空间几何体的形状和三视图的概念，以及考生的空间想象能力，难度一般.【解析】球的三视图全是圆；如图正方体截出的三棱锥三视图全是等腰直角三角形；正方体三视图都是正方形.可以排除ABC ，故选Ｄ．11.【2012高考真题重庆理9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1和a ，且长为aa 的取值范围是（A ）（B ）(0, （C ）（D ）【答案】A 【解析】因为22211)22(12=-=-=BE 则BE BF <，222=<=BE BF AB ，选A ，12.【2012高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（）A. 28+65B. 30+65C. 56+ 125D. 60+125【答案】B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。

全国各地市2012届高三数学模拟试题分类解析汇编 8 圆锥曲线

勾股定理可知：m-(m-d)=2a,m+d=2c, (m-d)2+m 2=(m+d)2,解得 m=4d=8a,∴ e = = 2= 5全国各地市2012年模拟试题分类解析汇编：圆锥曲线【江西省泰和中学 2012 届高三 12 月周考】已知抛物线 y 2 = 2 px 上一点 M （1，m ）到其焦点的距离为 5，则该抛物线的准线方程为（）A ．x=8B ．x=-8C ．x=4D ．x=-4【答案】D【解析】由题意得1 + p 2= 5 ，故 p = 8 ,所以准线方程为 x = -4【山东省微山一中 2012 届高三 10 月月考数学（文）】10．设 M （ x ，y ）为抛物线 C ：x 2 = 8 y上一点，F 为抛物线 C 的焦点，以 F 为圆心、 FM 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交，则 y 的取值范围是（）A ．（0，2）B ．[0，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）【答案】C【解析】由题意只要 FM > 4 即可，而 FM = y + 2,∴ y > 2, 所以，简单考查抛物线的方0 0程、直线与圆的位置关系、抛物线的定义及几何性质，是简单题。

【山东实验中学 2012 届高三第一次诊断性考试理】12.点 P 在双曲线上•，是这条双曲线的两个焦点，，且的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是(A) .2 (B) .3 (C) .4 (D) .5【答案】D【解析】解：设|PF 2|,|PF 1|，|F 1F 2|成等差数列，且分别设为 m-d,m,m+d,则由双曲线定义和5d c a d2故选项为 D【山东省微山一中2012届高三10月月考理】8. 若双曲线x 2 y 2 - a 2 b 2= 1 (a > 0, b > 0) 上不存在点P使得右焦点F 关于直线OP （O 为双曲线的中心）的对称点在y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为（）A ． ( 2, +∞)B ． [ 2, +∞)C ． (1, 2]D ． (1, 2)答案:C解析:这里给出否定形式,直接思考比较困难,按照正难则反,考虑存在点P 使得右焦点F 关于直线OP （O 为双曲线的中心）的对称点在y 轴上,因此只要在这个双曲线上存在点P 使得OP 斜率为1即可,所以只要渐进线的斜率大于1,也就是离心率大于 2 ,求其在大于1的补集;该题通过否定形式考查反证法的思想,又考查数形结合、双曲线的方程及其几何性质,是中档题.A．23D．5【2012江西师大附中高三下学期开学考卷文】设F、F分别是椭圆E:x2+12y2b2=1(0<b<1)的左、右焦点，过F的直线与E相交于A、B两点，且AF，AB,BF成等差数列，122则AB的长为（）3B．1C．43【答案】C【解析】本题主要考查椭圆的定义、标准方程、直线与椭圆的位置关系，等差中项的计算.属于基础知识、基本运算的考查.椭圆E:x2+y2b2=1(0<b<1)，a=1，∵AF+BF=2a=1,AF+BF=1，相加得1122AF+BF+AF+BF=21122AF+BF=2-AF+BF=2-|AB|2211AF，AB,BF成等差数列，2AB=AF+BF=2a=1 2222于是2AB=2-AB，∴AB=2 3【2012年石家庄市高中毕业班教学质检1文】曲线y=x3在点(1，1)处的切线方程是A．x+y-2=0B．3x+y-2=0C．3x-y-2=0D．x-y+2=0【答案C【解析】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系、导数.属于基础知识、基本运算的考查.点(1，1)在曲线y=x3上，切线的斜率就是曲线的导数，y'=3x2，斜率k＝3由点斜式方程得切线方程为y-1=3(x-1)，即3x-y-2=0【2012唐山市高三上学期期末统一考试文】已知双曲线的渐近线为y=±3x，焦点坐标为（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．x2y2-=1824B．x2y2x2y2-=1C．-=1124248D．x2y2-=1412【答案】D【解析】本题主要考查双曲线的简单几何性质.属于基础知识、基本运算的考查.5C ． 10A ． 10B ．10( )双曲线的渐近线为 y = ± 3x ，焦点在 x 轴上，双曲线方程设为 x 2 -y 23= λ(λ > 0)即 x 2 y 2- = 1 ， a 2 = λ, b 2 = 3λ ，∵焦点坐标为（-4，0），（4，0）∴ c = 4λ 3λx 2 y 2c 2 = a 2 + b 2 = 4λ = 16 ⇒ λ = 4∴双曲线方程为 -4 12= 1【2012 年石家庄市高中毕业班教学质检 1 文】双曲线x 2 4 - y 2=1 的离心率是A ．1 23 5B ．C ．D ． 32 2【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的标准方程和简单几何性质. 属于基础知识、基本运算的考查.双曲线双曲线 x 2 4x 24 - y 2=1 中， a 2 = 4, b 2 = 1 ⇒ c 2 = a 2 + b 2 = 5 ，c 5 - y 2 =1 的离心率是 e = =a 2【 2012 金华十校高三上学期期末联考文】过双曲线 x 2 y 2 - a 2 b 2= 1(a > 0, b > 0) 的左焦点F (-c,0)( c > 0) ，作圆 x 2 + y 2 = a 2 4的切线，切点为 E ，延长 FE 交曲线右支于点 P ，若2OE =1 (OF + OP )，则双曲线的离心率为（）2D ．2【答案】 C【解析】本题主要考查双曲线的定义、直线与圆的位置关系、中点公式、双曲线的简单几何性质. 属于基础知识、基本运算的考查.a 2 a 1 圆的 x 2 + y 2 = 半径为，由 OE = 4 2 2OF + OP 知，E是FP的中点，如图，设F'(c,0)，由于O是FF'的中点，所以，OE PF',O E=1PF'⇒PF'=2OE=a 2由双曲线定义，FP=3a，因为FP是圆的切线，切点为E，所以FP⊥OE，从而∠FPF'=90︒，由勾股定理FP2+F'P2=FF'2⇒9a2+a2=4c2⇒e=10 2【2012年石家庄市高中毕业班教学质检1文】已知抛物线y2=2px，直线l经过其焦点且与x 轴垂直，并交抛物线于A、B两点，若|AB|=10，P为抛物线的准线上一点，则△ABP的面积为A．20B．25C．30D．50【答案】B【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、通径的概念、抛物线的简单几何性质.属于基础知识、基本运算的考查.抛物线y2=2px，直线l经过其焦点且与x轴垂直，并交抛物线于A、B两点，则|AB|＝2p，|AB|=10，所以抛物线方程为y2=10x，P为抛物线的准线上一点，P到直线AB的距离为p＝5，1则△ABP的面积为⨯10⨯5=252【2012三明市普通高中高三上学期联考文】若双曲线距离为8,则点P到它的左焦点的距离是x2y2-=1上的一点P到它的右焦点的412A．4B．12C．4或12D．6【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的定义、双曲线的标准方程，属于基础知识、基本方法的考查.设双曲线的两个焦点分别A,B，由定义，||P A|-|PB||=4，|8-|PB||=4，|PB|=4或者|PB|=12【2012黄冈市高三上学期期末考试文】设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA+FB+FC=0，则|FA|+|FB|+|FC|= A．9B．6C．4（）D．3【答案】B【解析】本题主要考查抛物线的定义和标准方程、向量共线的知识.属于基础知识、基本运算的考查.2 B ．5 2 2C ． 5 22D ． 5 212 + 12 = 2设 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，抛物线焦点坐标 F(1，0)，准线方程：x=-1∵ FA + FB + FC = 0∴点 F 是△ABC 重心则 x 1+x 2+x 3=3， y 1+y 2+y 3=0 而|FA|=x 1－(－1)=x 1＋1 |FB|=x 2－(－1)=x 2＋1|FC|=x 3－(－1))=x 3+1∴|FA|+|FB|+|FC|=x 1+1+x 2+1+x 3+1=(x 1+x 2+x 3)+3=3+3=6【 2012 武昌区高三年级元月调研文】已知抛物线方程为 y 2 = 4 x ，直线 l 的方程为x - y + 4 = 0 ，在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d ，P 到直线 l 的距离为 d ，则1 2d + d 的最小值为12（）A ．52 + 2 + 1 - 22- 1【答案】D【解析】本题主要考查抛物线定义以及点到直线的距离公式以及最值问题以及转化的思想 .属于基础知识、基本运算、基本能力的考查.由抛物线的定义，PF ＝ d + 1， d = PF - 11 1d + d = d + PF - 1，显然当 PF 垂直于直线1 22x - y + 4 = 0 时，d + d 最小。

2012年北京市丰台区中考一模数学试卷

2012年北京丰台中考一模数学一、选择题（共8小题；共40分）1. 的相反数是 ( )A. B. C. D.2. 据统计，今年北京市中考报名确认考生人数是人，用科学记数法表示为 ( )A. B. C. D.3. 下列图形中，是正方体的平面展开图的是 ( )A. B.C. D.4. 在一个不透明的口袋中，装有个红球和个白球，它们除颜色外完全相同，从口袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率是 ( )A. B. C. D.5. 如图，是的弦，是的半径，于点，若，，则的半径等于 ( )A. B. C. D.6. 2012年4月21日8时北京市部分区县的可吸入颗粒物数值统计如下表：则这A. 和B. 和C. 和D. 和7. 若抛物线的最低点的纵坐标为，则的值是 ( )A. B. C. D.8. 如图，矩形中，，，点是边上的一个动点（点不与点，重合），现将沿直线折叠，使点落到点处；作的角平分线交于点．设，，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是 ( )A. B.C. D.二、填空题（共4小题；共20分）9. 如果若分式的值为，那么的值等于．10. 如果一个正多边形的一个外角是，那么这个正多边形的边数是．11. 分解因式：．12. 在数学校本活动课上，张老师设计了一个游戏，让电动娃娃在边长为的正方形的四个顶点上依次跳动．规定：从顶点出发，每跳动一步的长均为．第一次顺时针方向跳步到达顶点，第二次逆时针方向跳步到达顶点，第三次顺时针方向跳步到达顶点，第四次逆时针方向跳步到达顶点，，以此类推，跳动第次到达的顶点是，跳动第次到达的顶点是．三、解答题（共13小题；共169分）13. 计算：．14. 解不等式组：15. 已知，求代数式的值．16. 已知：如图，，，点，在线段上，且．求证：．17. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点，与反比例函数（）的图象相交于点．（1）求的值和一次函数的解析式；（2）结合图象直接写出：当时，不等式的解集；18. 超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路的距离为米的点处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从处行驶到处所用的时间为秒且，．（1）求，之间的路程；（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时千米的限制速度?（参考数据：，）．19. 如图，在平行四边形中，过点作，在上取点，连接交的延长线于点．（1）求证：；（2）如果，，于点，，求的长．20. 如图，四边形内接于，是的直径，于点，平分．（1）求证：是的切线；（2）如果，，求的半径．21. 某学校为了解九年级学生的体育达标情况，从九年级学生中随机抽取若干名学生进行体育测试，根据收集的数据绘制成如下统计图（图1、图2），请根据图中的信息解答下列问题：（1）补全图1与图2；（2）若该学校九年级共有名学生，根据统计结果可以估计九年级体育达标优秀和良好的学生共有名．22. 将矩形纸片分别沿两条不同的直线剪两刀，可以使剪得的三块纸片恰能拼成一个等腰三角形（不能有重叠和缝隙）．小明的做法是：如图1所示，在矩形中，分别取，，的中点，，，并沿直线，剪两刀，所得的三部分可拼成等腰三角形（如图2）．（1）在图3中画出另一种剪拼成等腰三角形的示意图；（2）以矩形的顶点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系（如图4），矩形剪拼后得到等腰三角形，点在边上（不与点，重合），点，在轴上（点在的左边）．如果点的坐标为，直线的解析式为，则所有满足条件的的值为．23. 已知：关于的一元二次方程：．（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线与轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持能够不变，得到图形，将图形向右平移一个单位，得到图形，当直线（）与图形恰有两个公共点时，写出的取值范围．24. 已知：和是两个不全等的等腰直角三角形，其中，，连接，取的中点，连接和．（1）如图1，如果点，分别在边，上，那么，的数量关系与位置关系是；（2）将图1中的绕点旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．25. 已知：如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心的圆与轴相切于点，与轴相交于，两点（点在点的左边）．（1）求经过，，三点的抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上是否存在点，使的面积是菱形面积的．如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果若不存在，请说明理由；（3）如果一个动点自点出发，先到达轴上的某点，再到达轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点处，求使点运动的总路径最短的路径的长．答案第一部分1. C2. A3. B4. A5. B6. C7. C8. D 【解析】如图，连接，是沿折叠得到，，平分，，，是直角三角形，，，，，，，在中，，在中，，在中，，在中，，则，整理得，，，由函数图象判断可得，只有D选项符合．第二部分9.10.11.12. ；【解析】由题意可知，第一次是：，第二次是：，第三次是：，第四次是：，第五次是：，第六次是：，第七次是：，第八次是：，第九次是：，，每八次一个循环，第次是：，跳动到第次到达的顶点是，跳动第次到达的顶点是：，是点．第三部分原式13.14.由得由得原不等式组的解集为原式15.，，原式．16. ，，即．，．在和中，．．17. （1）反比例函数（）的图象经过点，将坐标代入反比例函数解析式得，一次函数的图象经过点，两点，将和坐标代入一次函数解析式得解得一次函数的解析式为．（2）由图象可知，当时，不等式的解集为．18. （1）在中，，，，．在中，，，．，（米）．（2）此车的速度为米秒，千米小时米秒．米秒米秒，此车没有超过限制速度．19. （1）连接交于点．四边形是平行四边形，．，．（2），，，．是的中位线，．，．四边形是平行四边形，．，．20. （1）连接．，．平分，．．．，，．，即．点在上，是的切线．（2）是的直径，．，．，．．，，．在中，根据勾股定理，得．半径为．21. （1）根据两种统计图知及格的有人，占，故总人数为（人）；不及格的人数有（人）；良好的人数有（人）；优秀率为；良好率为；补全统计图如下：（2）【解析】优秀率和良好率分别为和，．体育达标优秀和良好的学生共有名．22. （1）如图．（2）或或．【解析】取，的中点，．点的坐标为，四边形是矩形，，．（i）如图，若，则．将点，的坐标分别代入直线的解析式为，得解得（ii）如图，若，则，所以，，在中，根据勾股定理知，．将点，的坐标分别代入直线的解析式为，得解得（iii）如图，若，则，所以．，在中，根据勾股定理知，．将点，的坐标分别代入直线的解析式为，得解得综上所述，或或．23. （1）．该方程总有两个不相等的实数根．（2）由题意可知轴是抛物线的对称轴，，解得．此抛物线的解析式为．（3）如图，当直线经过时，可得．又因为，故可知在的下方，当直线经过点时，，则．由图可知符合题意的的取值范围为时，直线（）与此图象有两个公共点．24. （1）且【解析】在中，为中点，，，同理可得，，，．，，．（2）成立．理由如下：延长至点，使，连接，，．则．，．，，且，，．．，，．又．．，．．，且．25. （1）连接，，，过点作于点．与轴相切于点，轴，，，．．．，．，．，，．根据题意设二次函数解析式为，，解得．二次函数的解析式为．（2）存在．点的坐标为，，，．【解析】由点坐标可得直线的解析式为：，过点平行于的直线解析式为：，过点平行于的直线解析式为：，由，解得，，从而得到满足要求的点的坐标为、．由，解得，，从而得到满足要求的点的坐标为、．（3），抛物线的顶点．作点关于轴的对称点，则．连接，则是最短总路径，根据勾股定理，可得．。

(完整版)—高考全国卷Ⅰ文科数学立体几何专题复习(附详细解析)

2012-2018年新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编立体几何一、选择题【2017，6】如图，在下列四个正方体中,A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ,Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是（）【2016，7】如图所示,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（） A ．17π B ．18π C ．20π D ．28π【2016，11】平面α过正方体1111ABCD A BC D -的顶点A ,α∥平面11CB D ，α平面ABCD m =，α平面11ABB A n =,则,m n 所成角的正弦值为(）A ．3 B ．22C ．3D ．13【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委M 依垣内角,下周八尺，高五尺，问”积及为M 几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放M （如图,M 堆为一个圆锥的四分之一)，M 堆底部的弧长为8尺,M 堆的高为5尺，M 堆的体积和堆放的M 各位多少？”已知1斛M 的体积约为1．62立方尺,圆周率约为3，估算出堆放的M 有（ ) A ．14斛 B ．22斛 C ．36斛 D ．66斛【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r =( ) B A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【2015，11】【2014，8】【2013,11】【2012，7】【2014，8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱【2013，11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）．A ．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为A ．6B ．9C ．12D ．15【2012，8】平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2,则此球的体积为（）A ．6πB ．43πC ．46πD ．63π【2018，5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1,O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,该圆柱的表面积为A. 12π B. 12π C. 8π D. 10π【2018，9】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图,圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为A 。

2012年高考必做客观题——立体几何题

就是我们所研究几何体 “ 寄居 ” 壳 ★★ ★）做２用单位正方体必
搭几何体．它的主视图和俯视图如使
５；中间一列最多都是二层有６，个个
三棱柱沿阴影部分所示平面截去一个三棱锥后得到，体积为ＶＶ一其＝Ｖ＝
面，图６则圆锥的高 — 一十。如，＝ｒ圆
ｓｎｉ０
９
精妙解法法１由已知！盯：Ｒ
ｊ
锥底半为ｔ（＋。的面径Ｒ．ｒａ）ｎ
Ｃ
ｔ：ａ
图５
．．以Ｉ百ｒ所＝：
４／盯，所以＝Ｘ３
齐、宽相等 ” ．
图２
必做客观题
ＢＩＵＯＫＧＵＺＥＡＮＴ》
空间几何体的表面积和体积
髓０黼好ｌ霸ｉ整管《鞘鹾黪《０《鹅《鹞辩鹾曹ｉ《
（ ★★ ★ ）做３如Ｆ所示． ★ 必Ｊ４
．设Ｅ为球的
３盯ｒＣＳ０・ｉ０所以：３Ｏ２ｓｎ．：
直径．故ＤｊＤＡ＿０Ｄ－Ｅ，ＥＬ】．设Ｄ＝
．
极速突击方法１法寻求正四设
Ｖ２６
以Ａ。－＝
孚埘￣－１ｔ了ａ＝ｏ、一，２＝０Ｒ２Ｅ／
－
ｌ｜
●
ｖ
必撇客观题
÷－体几ｆ立可题
０浙江宁波北仑中学
●
邬坚耀
空间几何体的直观图与三视图

2012江西各地市高考数学联考试题分类篇：08立体几何(精)

08立体几何一、选择题：5．(江西省师大附中、鹰潭一中2012年4月高三联考文科)某圆柱被一平面所截得到的几何体如图（1）所示，若该几何体的正视图是等腰直角三角形，俯视图是圆（如右图），则它的侧视图是（ D ）8．（江西省南昌市2012届高三第一次模拟理科）已知a 、b 、c 是三条不同的直线，命题“a ∥b 且a ⊥c ⇒b ⊥c ”是正确的，如果把a 、b 、c 中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C6．（江西省九江市2012届高三下学期第一次模拟理科）一个物体的底座是两个相同的几何体，它的三视图及其尺寸（单位：dm ）如图所示，则这个物体的体积为（ A ）A ．3(12016)dm π+B ．3(1208)dm π+C ．3(1204)dm π+D ．3(608)dm π+7．(江西省六校2012届高三联考理科)如果空间三条直线a, b, c 两两成异面直线，那么与a, b, c 都相交的直线有（ D ） A ．0条B ．1条C ．多于1条但为有限条D ．无数条3. （2012届江西省八所重点中学高三联合考试文科）底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其在主视图有最大面积时，其左视图的面积为（）A .B . 3C .D . 4二、填空题：14．(江西省师大附中、鹰潭一中2012年4月高三联考文理科)已知三棱锥O ABC -，OA OB OC 、、两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在OBC ∆内运动（含边界），则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面O AB O BC O AC 、、围成的几何体的体积为．6π三、解答题：18．(江西省师大附中、鹰潭一中2012年4月高三联考文科)（本小题满分12分）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=．点E F 、分别在边CD CB 、上，点E 与点C D 、不重合，,EF AC EF AC O ⊥=．沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆的位置，使平面PEF ⊥平面ABFED ．（1）求证：BD ⊥平面POA ；（2）当PB 取得最小值时，求四棱锥P BDEF -的体积．18．解：（1）证明：∵ 菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥，∴BD AO ⊥， ∵ E F A C ⊥，∴PO EF ⊥．∵ 平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF 平面ABFED EF =，且PO ⊂平面PEF ，∴ PO ⊥平面ABFED , ∵ BD ⊂平面ABFED ，∴ PO BD ⊥．O AB MN CP ∙∵ A O P OO =，∴ BD ⊥平面POA ．……………………………… 4分（2）如图，设.AO BD H = 因为60DAB ∠=︒，所以BDC ∆为等边三角形，故4BD =，2,23HB HC ==．又设PO x =，则23OH x =-，43OA x =-．由OH BD ⊥，则222(23)2OB x =-+，又由（Ⅰ）知，PO ⊥平面,BFED 则PO OB ⊥所以2222(23)22(3)10PB x x x =-++=-+，当3x =时，min 10PB =．此时3PO =，………………………………8分所以221133(42)333344P BFED BFED V S PO -=⋅⋅=⋅⨯-⨯⨯=四棱锥梯形．……………12分设点Q 的坐标为(),0,a c ，由（1）知，3OP =，则(33,0,0)A ，(3,2,0)B ，(3,2,0)D -，3)P ．所以()33,0,AQ a c =-，()3QP a c =-，∵AQ=QP λ， ∴33,3a a c cλλλ⎧-=-⎪⎨-⎪⎩⇒．19．（江西省南昌市2012届高三第一次模拟理科）(本小题满分12分)如图，已知E ，F 分别是正方形ABCD 边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点O ，P A ，NC 都垂直于平面ABCD ，且P A ＝AB ＝4，NC ＝2，M 是线段P A 上的一动点．(1)求证：平面P AC ⊥平面NEF ；(2)若PC ∥ 平面MEF ，试求PM ∶MA 的值； (3)当M 的是P A 中点时，求二面角M －EF －N 的余弦值．19. 解：法1：（1）连结BD ，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA BD ⊥，……………………… 1分又∵BD AC ⊥，AC PA A =，∴BD ⊥平面PAC ，…………………. 2分又∵E ，F 分别是BC 、CD 的中点， ∴//EF BD ，………………………….3分 ∴EF ⊥平面PAC ，又EF ⊂平面NEF ， ∴平面PAC ⊥平面NEF ；……………4分（2）连结OM ，∵//PC 平面MEF ，平面PAC 平面MEF OM =， ∴//PC OM ， ∴14PM OC PA AC ==，故:1:3PM MA = ………………………………………8分（3）(4,4,2)N ，则(0,2,2)EN =，设平面NEF 的法向量为(,,)m x y z =，则00m EN m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220y z x y +=⎧⎨-+=⎩，………9分令1x =，则1y =，1z =-，即(1,1,1)m =-，……………………………10分当M 是PA 中点时，2m =，则(1,1,3)n =，∴cos ,m n <>== ∴二面角M EF N --的余弦值为．……12分19．（江西省南昌市2012届高三第一次模拟文科）(本小题满分12分)在三棱锥P-ABC 中，△PAC 和△PBC 都是边长为 2 的等边三角形，AB=2，O,D 分别是AB,PB 的中点. (1) 求证:OD ∥平面PAC (2) 求证:OP ⊥平面ABC (3) 求三棱锥P-ABC 的体积18．(江西省六校2012届高三联考理科)（12分）如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形（尺寸如图所示），E 为VB 的中点． (1)求证：VD ∥平面EAC ；(2)求二面角A —VB —D 的余弦值．P O D C B A解：(1)由正视图可得：平面VAB ⊥平面ABCD ，连接BD 交AC 于O 点，连EO ，由已知可得BO=OD ，VE=EB∴ VD ∥EO ………………2分又VD ⊄平面EAC ，EO ⊂平面EAC∴ VD ∥平面EAC ………………5分(2)设AB 的中点为P ，则由题意可知VP ⊥平面ABCD ，建立如图所示坐标系设=(x,y,z)是平面VBD 法向量，BD =(-2,2,0) )3,0,1(-=VB)0,1,0(=PO由BD n ⊥，VB n ⊥∴⎩⎨⎧=-=+-03022z x y x∴)1,3,3(=n …………10分 ∴二面角A —VB —D 的余弦值721cos ==θ …12分 18. (江西省六校2012届高三联考文科)（本小题满分12分）如图：C 、D 是以AB 为直径的圆上两点，==AD AB 232，BC AC =，F 是AB 上一点，且AB AF 31=，将圆沿直径AB 折起，使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上. （1）求证：⊥AD 平面BCE ；（2）求证：//AD 平面CEF ；（3）求三棱锥CFD A -的体积．18.（本小题满分12分）（1）证明：依题意：⊥AD BD⊥CE 平面ABD ∴⊥CE AD BD E CE =∴⊥AD 平面BCE ． ………………………4分 (2).证明：ABD Rt ∆中，32=AB ，3=AD ∴3=BD ．连接AE 在R t △ACE 和BCE Rt ∆中,AC BC CE CE ==，Rt ACE Rt BCE ∴∆≅∆,AE BE ∴=设DE=x,则AE=BE=3-x,222Rt ADE AD DE AE ∆+=在中，,223(3),1x x x ∴+=-=解得18. （2012届江西省八所重点中学高三联合考试文科） (本小题12分)如图，把边长为2的正六边形ABCDEF 沿对角线BE折起，使AC = （1）求证：面ABEF ⊥面BCDE ；BB（2）求五面体ABCDEF的体积。

【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编立体几何大题(原卷版)

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编立体几何大题（原卷版）1．(2021年高考全国甲卷理科)已知直三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA B B 为正方形,2AB BC ==,E ,F 分别为AC 和1CC 中点,D 为棱11A B 上地点．11BF A B ⊥(1)证明：BF DE ⊥。

(2)当1B D 为何值时,面11BB C C 与面DFE 所成地二面角地正弦值最小?2．(2021年高考全国乙卷理科)如图,四棱锥P ABCD -地底面是矩形,PD ⊥底面ABCD ,1PD DC ==,M 为BC 地中点,且PB AM ⊥．(1)求BC 。

(2)求二面角A PM B --地正弦值．3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)如图,D 为圆锥地顶点,O 是圆锥底面地圆心,AE 为底面直径,AE AD =．ABC 是底面地内接正三角形,P 为DO 上一点,PO =．的(1)证明：PA ⊥平面PBC 。

(2)求二面角B PC E --地余弦值．4．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)如图,已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1地底面是正三角形,侧面BB 1C 1C 是矩形,M ,N 分别为BC ,B 1C 1地中点,P 为AM 上一点,过B 1C 1和P 地平面交AB 于E ,交AC 于F ．(1)证明：AA 1∥MN ,且平面A 1AMN ⊥EB 1C 1F 。

(2)设O 为△A 1B 1C 1地中心,若AO ∥平面EB 1C 1F ,且AO =AB ,求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角地正弦值．5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,点,E F 分别在棱11,DD BB 上,且12DE ED =,12BF FB =．(1)证明：点1C 平面AEF 内。

(2)若2AB =,1AD =,13AA =,求二面角1A EF A --地正弦值．6．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)图1是由矩形ADEB ,Rt △ABC 和菱形BFGC 组成地一个平面图形,其中AB =1,BE =BF =2,∠FBC =60°,将其沿AB ,BC 折起使得BE 与BF 重合,连结DG ,如图2．(1)证明：图2中地A ,C ,G ,D 四点共面,且平面ABC ⊥平面BCGE 。

2012年高考真题汇编——理科数学：立体几何1

2012高考真题分类汇编：立体几何一、选择题1.【2012高考真题新课标理7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）D18C12()B9()A6()()【答案】B2.【2012高考真题浙江理10】已知矩形ABCD，AB=1，BC=2。

将△沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中。

A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直.B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直.C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直【答案】C3.【2012高考真题新课标理11】已知三棱锥S ABC∆-的所有顶点都在球O的求面上，ABC 是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且2SC=；则此棱锥的体积为（）DB()C()()A()【答案】A4.【2012高考真题四川理6】下列命题正确的是（）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C7.【2012高考真题湖南理3】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】D8.【2012高考真题湖北理4】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为B．3πA．8π3C．10πD．6π3【答案】B9.【2012高考真题广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为A ．12π B.45π C.57π D.81π 【答案】C10.【2012高考真题福建理4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是A.球B.三棱柱C.正方形D.圆柱【答案】D.12.【2012高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（）A. 28+65B. 30+65C. 56+ 125D. 60+125 【答案】B13.【2012高考真题全国卷理4】已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1= E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A 2B CD 1【答案】D二、填空题14.【2012高考真题浙江理11】已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积等于________cm 3.【答案】115.【2012高考真题四川理14】如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

一摸几何证明题汇编一 22．问题背景（1）如图1，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，过点D作DF∥AC交BC于点F．请按图示数据填空：四边形DFCE的面积S ， △DBF的面积1S

，

△ADE的面积2S

．

探究发现（2）在（1）中，若BFa，FCb，DＧ与BC间的距离为h．直接写出2S （用含S、1S的代数式表示）．

拓展迁移（3）如图2，□DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为4、8、1，试利用．．（2．）中．

的结论．．．求□DEFG的面积，直接写出结果．

25．问题：如图1，在Rt△ABC中，90C，30ABC，点D是射线CB上任意一点，△ADE是等

边三角形，且点D在ACB的内部，连接BE．探究线段BE与DE之间的数量关系．

请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明. （1）当点D与点C重合时（如图2），请你补全图形．由BAC的度数为，点E落在，容易得出BE与DE之间的数量关系为；（2）当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．

BC(D)图3图2

24.如图1，已知：等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），求证：BD+DC > AD 下面的证法供你参考：

把ACD绕点A瞬时间针旋转60得到ABE，连接ED，则有ABEACD,DC=EB ∵AD=AE,60DAE ∴ADE是等边三角形 ∴AD=DE 在DBE中，BD+EB > DE 即：BD+DC>AD

ABD图1 一摸几何证明题汇编二实践探索：（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：

如图2，点D是等腰直角三角形△ABC中BC边上的点（点D不与B、C重合），求证：BD+DC>2AD

（2）如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时，BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系？直接写出结论. 创新应用：（3）已知：如图3，等腰△ABC中， AB=AC，且∠BAC=（为钝角）， D是等腰△ABC外一点，且∠BDC+∠BAC =180º， BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明. 24．如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线ACBD相交于O. （1）如图1，设 E、F分别是AD、AB上的点，且 ∠EOF=90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图2，设 E、F分别是AB上不同的两个点，且 ∠EOF=45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明.

25．已知抛物线2142yxbx上有不同的两点

E2(3,1)kk和F2(1,1)kk（2k）．（1）求抛物线的解析式．（2）如图，抛物线2142yxbx与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C， MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．（3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F． 22．阅读下面材料：如图1，已知线段AB、CD相交于点O，且AB=CD，请你利用所学知识把线段AB、CD转移到同一三角形中．小强同学利用平移知识解决了此问题，具体做法：如图2，延长OD至点E，使DE=CO，延长OA至点F，使AF=OB，联结EF，则△OEF为所求的三角形．请你仔细体会小强的做法，探究并解答下列问题：

CABD

图2

AB图3

B A M C

D O P

Q x

y 一摸几何证明题汇编

三图1ABC图2DA

如图3，长为2的三条线段AA′，BB′，CC′交于一点O，并且∠B′OA=∠C′OB=∠A′OC=60°；（1）请你把三条线段AA′，BB′，CC′ 转移到同一三角形中．（简要叙述画法）（2）联结AB′、BC′、CA′，如图4，设△AB′O、△BC′O、 △CA′O的面积分别为S1、S2、S3，

则S1+S2+S3 3（填“>”或“<”或“=” ）．

25．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5，以点B为圆心，以2为半径作圆. ⑴设点P为☉B上的一个动点，线段CP绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CD，联结DA，DB，PB，如图2．求证：AD=BP； ⑵在⑴的条件下，若∠CPB=135°，则BD=___________； ⑶在⑴的条件下，当∠PBC=_______° 时，BD有最大值，且最大值为__________；当∠PBC=_________° 时，BD有最小值，且最小值为__________．

25．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线MN经过点O，设锐角∠DOC=∠，

图2 一摸几何证明题汇编

四将△DOC以直线MN为对称轴翻折得到△D’OC’，直线A D’、B C’相交于点P．（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想A D’、B C’的数量关系以及∠APB与∠α的大小关系；（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论还成立吗？（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，∠APB与∠α有怎样的等量关系？请证明．

图3图2图1DCBANC'

D'D

CBANC'OMPD'D'PMOC'NABC

24.已知：在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD交线段AB于点E．（1）如图l，当∠ACB=90°时，直接写出线段DE、CE之间的数量关系；（2）如图2，当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE；（3）如图3，在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，△DKG和△DBG关于直线DG对称（点B的对称点是点K），延长DK交AB于点H．若BH=10，求CE的长.

24．已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

24．在□ABCD中，∠A =∠DBC, 过点D作DE=DF, 且

图 1EDA

CB图 2

CBFG

图 3E

DCBAEM

BCD一摸几何证明题汇编五 ∠EDF=∠ABD , 连接EF、 EC, N、P分别为EC、BC的中点，连接NP．（1）如图1，若点E在DP上, EF与DC交于点M, 试探究线段NP与线段NM的数量

关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2，若点M在线段EF上, 当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论.

22. 阅读下列材料： (2) 如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=132，PB=4，PC=2，则∠BPC的度数为，正六边形ABCDEF的边长为．

图1 图2 图3 24．已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F． (1) 求证：BF∥AC； (2) 若AC边的中点为M，求证：2DFEM； (3) 当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论．

图1 图2

M B

C F E

N P P

A E F