四川省绵阳市高中2015届高三第二次诊断性考试数学文试题(扫描版)
四川省资阳市高中2015级第二次诊断文科数学参考答案及评分意见2015-3-2WD
资阳市高中2015级第二次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1.C2.A3.B4.D5.A6.B7.C8.B9.D 10.C 11.D 12.C 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
13. 20；14. －5；15. 12；12. 2或3． 三、解答题：共70分。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）（1）当1n =时，1122a a =-，解得12a =， 当2n ≥时，22n n S a =-，1122n n S a --=-. 所以122n n n a a a -=-，则12n n a a -=，所以{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.故112n n n a a q -==. ··············································································· 4分 （2）22log 22n n n n b n ==⋅,则231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯ ①23412122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ②①－②得：23122222nn n T n +-=++++-⨯= 12(12)212n n n +--⨯-11222n n n ++=-⋅-.所以1(1)22n n T n +=-⋅+． ······································································· 12分18．（12分）（1）由题， 3.56t 1+2+3+4+5+6==，76y 6.6+6.7+7+7.1+7.2+7.4==，61()()ii i tt y y =--∑(2.5)(0.4)(1.5)(0.3)00.50.1 1.50.2 2.50.4 2.8=-⨯-+-⨯-++⨯+⨯+⨯=， 621()ii tt =-∑222222( 2.5)( 1.5)(0.5)0.5 1.5 2.517.5=-+-+-+++=．所以 2.80.1617.5b== ，又 ay bt =- ，得 70.16 3.5 6.44a =-⨯=，所以y 关于t 的线性回归方程为0.16 6.44y t =+． ········································ 8分 （2）由（1）知0.16 6.44y t =+， 当7t =时，0.167 6.447.56y =⨯+=， 即该地区2018年该农产品的产量估计值为7.56万吨． ································· 12分 19.（12分）（1）取11AC 的中点G ，连接EG ，FG ， 由于E ，F 分别为AC ，11B C 的中点，所以FG ∥11A B ．又11A B ⊂平面11ABB A ，FG ⊄平面11ABB A ， 所以FG ∥平面11ABB A ．又AE ∥1A G 且AE ＝1A G ，所以四边形1AEGA 是平行四边形．则EG ∥1AA ．又1AA ⊂平面11ABB A ，EG ⊄平面11ABB A ， 所以EG ∥平面11ABB A ．所以平面EFG ∥平面11ABB A ．又EF ⊂平面EFG ，所以直线EF ∥平面11ABB A ． ········································································ 6分（2）四边形APQC 是梯形，其面积1()sin602S AP CQ AC =+⋅︒122sin 602=⨯⨯⨯︒=．由于BC AB =，E 分别为AC 的中点.所以BE AC ⊥．因为侧面11ACC A ⊥底面ABC ， 所以BE ⊥平面11ACC A ．即BE 是四棱锥APQC B -的高，可得1BE =．所以四棱锥APQC B -的体积为1113V ==棱柱111C B A ABC -的体积1212V =⨯⨯所以平面BPQ 分棱柱所成两部分的体积比为1:2（或者2:1）． ······················ 12分20.（12分）（1）由12e =，设椭圆的半焦距为c ，所以2a c =，因为C 过点3(1)2P ，，所以221914a b +=，又222c b a +=，解得2a b ==，所以椭圆方程为22143x y +=． ······················································································ 4分 （2） 显然两直线12l l ，的斜率存在，设为12k k ，，()()1122,,M x y N x y ，，由于直线12l l ，与圆2223(1)(0)2x y r r -+=<<相切，则有12k k =-，直线1l 的方程为()1312y k x -=-，联立方程组112232143y k x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，消去y 得()()()22211114312832120x k k k x k ++-+--=， 因为P M ，为直线与椭圆的交点，所以()11121812143k k x k -+=+，同理，当2l 与椭圆相交时()11221812143k k x k ++=+，所以112212443k x x k --=+，而()1121212112243k y y k x x k k --=--=+， 所以直线MN 的斜率121212y y k x x -==-． ······················································· 12分 21．（12分）（1）由题知()222[e (3)e ](3)e (33)e (0)x x x x x x x a x x af x x x x -+-----+--'==>． 方法1：由于233304x x -+-≤-<，e 10x -<-<，23(33)e 4xx x -+-<-，又34a >-，所以2(33)e 0x x x a -+--<，从而()0f x '<，于是()f x 为(0,＋∞)上的减函数．方法2：令2()(33)e x h x x x a =-+--，则2()()e x h x x x '=-+，当01x <<时，()0h x '>，()h x 为增函数；当1x >时，()0h x '<，()h x 为减函数． 则max ()(1)e h x h a ==--．由于34a >-，所以max ()(1)e 0h x h a ==--<，于是()f x 为(0,＋∞)上的减函数．····························································· 4分 （2）令2()(33)e x h x x x a =-+--，则2()()e x h x x x '=-+，当01x <<时，()0h x '>，()h x 为增函数；当1x >时，()0h x '<，()h x 为减函数． 当x 趋近于+∞时， ()h x 趋近于-∞，由于()f x 有两个极值点，所以()0f x '=有两不等实根，即()0h x =有两不等实数根12x x ，（12x x <）．则有(0)0,(1)0,h h <⎧⎨>⎩解得3e a -<<-．可知1(0,1)x ∈，又3322333(1)e 0()e e +30244h a h a =-->=--<-<，，则2(1)2,3x ∈，当10x x << 时，()0f x '<，()f x 单调递减；当12x x x << 时，()0f x '>，()f x 单调递增；当2x x > 时，()0f x '<，()f x 单调递减．则函数()f x 在1x x =时取极小值，()f x 在2x x =时取极大值． 即()2222(3)e ()x x af x f x x -+==极大值，而()2222222(33)e 0x x x af x x -+--'==，即2222(33)e x a x x =-+-，所以极大值()222(2)e xf x x =-．当23(1,)2x ∈时，()222(1)e 0xf x x '=-<恒成立，故()222(2)e x f x x =-为3(1,)2上的减函数，所以()32231()e 222f x f >=>． ········· 12分 （二）选考题：共10分。
四川省绵阳市高中2015届高三第一次诊断性考试数学理试题 扫描版
绵阳市高2015级第一次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．DBDAC BACDAax+对x∈R恒成立，显然a≥0，b≤1+x e-ax．10题提示：由1+x e≥b若a=0，则ab=0．若a >0，则ab ≤a 1+x e -a 2x ．设函数=)(x f x a ae x 21-+，求导求出f (x )的最小值为a a a a f ln 2)1(ln 22-=-．设)0(ln 2)(22>-=a a a a a g ，求导可以求出g(a )的最大值为32321)(e e g =， 即ab 的最大值是321e ，此时232321e b e a ==，．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．53-12．-1 13．40 14．3021 15．①③④15题提示：①容易证明正确．②不正确．反例：x x f =)(在区间[0，6]上．③正确．由定义：21020m m mx x --=--得1)1(10020+=⇒-=-x m m x x ， 又0x )11(，-∈所以实数m 的取值范围是)20(，∈m ．④正确．理由如下：由题知ab ab x --=ln ln ln 0．要证明abx 1ln 0<，即证明： b a a b ab a b a b ab a b a b -=-<⇔<--ln 1ln ln ，令1>=t ab ，原式等价于01ln 21ln 2<+-⇔-<t t t t t t ．令)1(1ln 2)(>+-=t t t t t h ，则0)1(12112)(22222<--=-+-=--='tt t t t t t t h ， 所以0)1(1ln 2)(=<+-=h tt t t h 得证．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：(Ⅰ)=)(x f 2m·n -11cos 2cos sin 22-+⋅=x x x ωωω=)42sin(22cos 2sin πωωω+=+x x x ． ……………………………6分由题意知：π=T ，即πωπ=22，解得1=ω．…………………………………7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知)42sin(2)(π+=x x f ，∵6π≤x ≤4π，得127π≤42π+x ≤43π， 又函数y =sin x 在[127π，43π]上是减函数，∴ )34sin(2127sin 2)(max πππ+==x f …………………………………10分3sin 4cos 23cos 4sin 2ππππ+==213+．…………………………………………………………12分17．解：(Ⅰ) 由题知⎩⎨⎧≥->-，，0102t t 解得21<≤t ，即)21[，=D ．……………………3分(Ⅱ) g (x )=x 2+2mx -m 2=222)(m m x -+，此二次函数对称轴为m x -=．……4分 ① 若m -≥2，即m ≤-2时， g (x )在)21[，上单调递减，不存在最小值；②若21<-<m ，即12-<<-m 时， g (x )在)1[m -，上单调递减，]2(，m -上递增，此时22)()(2min ≠-=-=m m g x g ，此时m 值不存在；③m -≤1即m ≥-1时， g (x )在)21[，上单调递增，此时221)1()(2min =-+==m m g x g ，解得m =1． …………………………11分 综上：1=m ． …………………………………………………………………12分 18．解：(Ⅰ) 51cos 5=∠=ABC AB ，，2BC =， 由余弦定理：ABC BC BA BC BA AC ∠⋅⋅-+=cos 2222=52+22-2×5×2×51=25，∴ 5=AC ． ……………………………………………………………………3分又(0,)π∠∈ABC ，所以562cos 1sin 2=∠-=∠ABC ABC ， 由正弦定理：ABC ACACB AB ∠=∠sin sin ，得562sin sin =∠⨯=∠AC ABC AB ACB ．………………………………………6分 (Ⅱ) 以BC BA ，为邻边作如图所示的平行四边形ABCE ，如图， 则51cos cos -=∠-=∠ABC BCE ，BE =2BD =7，CE =AB =5，在△BCE 中，由余弦定理：BCE CE CB CE CB BE ∠⋅⋅-+=cos 2222．即)51(5225492-⨯⨯⨯-+=CB CB ，解得：4=CB ． ………………………………………………………………10分 在△ABC 中，335145245cos 222222=⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+=ABC BC BA BC BA AC ， 即33=AC ．…………………………………………………………………12分 19．解：(Ⅰ) 由832539a a a S ⋅==，，得：⎪⎩⎪⎨⎧+⋅+=+=⨯+，，)7()2()4(9223311211d a d a d a d a 解得：121==d a ，．∴ 1+=n a n ，n n n n S n 2322)12(2+=++=． …………………………………5分(Ⅱ) 由题知=n c )12(2λ-+n n ． 若使}{n c 为单调递减数列，则B CDA E=-+n n c c 1)22(21λ-++n n -)12(2λ-+n n =0)1224(2<-+-+λn n n 对一切n ∈N *恒成立， …………………8分即： max )1224(01224+-+>⇔<-+-+n n n n λλ，又1224+-+n n =322232)1)(2(22++=++=++nn n n n n n n ，……………………10分 当1=n 或2时， max )1224(+-+n n =31． ∴31>λ．………………………………………………………………………12分20．(Ⅰ)证明： 由1)(--=ax e x f x ，得a e x f x -=')(．…………………………1分由)(x f '>0，即a e x ->0，解得x >ln a ，同理由)(x f '<0解得x <ln a ， ∴ )(x f 在(-∞，ln a )上是减函数，在(ln a ，+∞)上是增函数， 于是)(x f 在a x ln =取得最小值．又∵ 函数)(x f 恰有一个零点，则0)(ln )(min ==a f x f ， ………………… 4分 即01ln ln =--a a e a ．………………………………………………………… 5分 化简得：1ln 1ln 01ln -=-==--a a a a a a a a a 于是，即，，∴ 1-=a a e a ． ………………………………………………………………… 6分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，)(x f 在a x ln =取得最小值)(ln a f ，由题意得)(ln a f ≥0，即1ln --a a a ≥0，……………………………………8分 令1ln )(--=a a a a h ，则a a h ln )(-='， 由0)(>'a h 可得0<a <1，由0)(<'a h 可得a >1．∴ )(a h 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，即0)1()(max ==h a h ， ∴ 当0<a <1或a >1时，h (a )<0，∴ 要使得)(x f ≥0对任意x ∈R 恒成立，.1=a∴a 的取值集合为{1} ……………………………13分2015高考英语签约提分，保证最低涨10-40分，不达目标全额退费，详情QQ2835745855,其它各科试题及答案登陆QQ757722345或关注微信公众号qisuen21．解：(Ⅰ)由x e n x m x f +=ln )(得xxe xmx nx m x f ln )(--='(0>x )．由已知得0)1(=-='e nm f ，解得m =n ． 又ee nf 2)1(==，即n =2，∴ m =n =2．……………………………………………………………………3分(Ⅱ) 由 (Ⅰ)得)ln 1(2)(x x x xex f x --='，令=)(x p x x x ln 1--，)0(∞+∈，x ，当x ∈(0，1)时，0)(>x p ；当x ∈(1，+∞)时，0)(<x p ，又0>x e ，所以当x ∈(0，1)时，0)(>'x f ； 当x ∈(1，+∞)时，0)(<'x f ， ∴ )(x f 的单调增区间是(0，1)，)(x f 的单调减区间是(1，+∞)．……8分(Ⅲ) 证明：由已知有)ln 1()1ln()(x x x xx x g --+=，)0(∞+∈，x ， 于是对任意0>x ，21)(-+<e x g 等价于)1()1ln(ln 12-++<--e x xx x x ，由(Ⅱ)知=)(x p x x x ln 1--，)0(∞+∈，x ，∴ )ln (ln 2ln )(2---=--='e x x x p ，)0(∞+∈，x ． 易得当)0(2-∈e x ，时，0)(>'x p ，即)(x p 单调递增；当)(2∞+∈-，e x 时，0)(<'x p ，即)(x p 单调递减． 所以)(x p 的最大值为221)(--+=e e p ，故x x x ln 1--≤21-+e ．设)1ln()(x x x q +-=，则01)(>+='x xx q ， 因此，当)0(∞+∈，x 时，)(x q 单调递增，0)0()(=>q x q ．故当)0(∞+∈，x 时，0)1ln()(>+-=x x x q ，即1)1ln(>+x x．∴ x x x ln 1--≤21-+e <)1()1ln(2-++e x x．∴ 对任意0>x ，21)(-+<e x g ． ……………………………………………14分。
四川省资阳市高中2015级第二次诊断文科数学2015-3-2W
资阳市高中2015级第二次诊断性考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合2{|20}A x x x =--<，2{|1}B x x =≤，则A B =A. {}21x x -<<B. {}21x x -<≤C. {}11x x -<≤D. {}11x x -<<2．复数z 满足(12i)32i z -=+，则z =A. 18i 55-+B. 18i 55--C. 78i 55+D. 78i 55-3．已知命题p ：0(03)x ∃∈，，002lg x x -<，则p ⌝为 A. (03)x ∀∈，，2lg x x -< B. (03)x ∀∈，，2lg x x -≥ C. 0(03)x ∃∉，，002lg x x -<D. 0(03)x ∃∈，，002lg x x -≥ 4．已知直线1:(2)20l ax a y +++=与2:10l x ay ++=平行，则实数a 的值为 A.－1或2B. 0或2C. 2D.－15．若1sin(π)3α-=，且π2απ≤≤，则sin 2α的值为A. -B. -C.D.6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 2π B. π C.23πD. 2π7．为考察A 、B 两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是A. 药物A 、B 对该疾病均没有预防效果B. 药物A 、B 对该疾病均有显著的预防效果C. 药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果D. 药物B 的预防效果优于药物A 的预防效果8．某程序框图如图所示，若输入的a b ，分别为12，30，则输出的=aA. 4B. 6C. 8D. 109．若点P 为抛物线C ：22y x =上的动点，F 为C 的焦点，则||PF 的最小值为A. 1B.12C.14D.1810．一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成（半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心），则该器皿的表面积为A. π45+B. 2π45+C. π54+D. 2π54+11．已知函数()ln f x x =，它在0x x =处的切线方程为y kx b =+，则k ＋b 的取值范围是 A. (,1]-∞-B. (,0]-∞C. [1)+∞，D. [0)+∞，12．边长为8的等边△ABC 所在平面内一点O ，满足23OA OB OC -=-0，若||OP =则||PA的最大值为A. B.C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2015资阳二诊 四川省资阳市2015届高三第二次诊断性考试数学理试题 扫描版含答案
资阳市高中2012级第二次诊断性考试 （数学学科）参考答案及评分意见（理工类）一、选择题：BACCB ，DADCC ． 二、填空题：11. －40；12. 96；13.83；14. 4；15. ②③⑤. 三、解答题：16.（本小题满分12分）解析：(Ⅰ) 22()sin 2sin cos f x x x x =-+sin 2cos 2x x =+)4x π=+， ················································································· 4分 故函数()f x 的最小正周期是π． ···················································································· 6分 (Ⅱ)由()f α=)4πα+=，得5sin(2)413πα+=-， ················· 7分 因为42ππα<<，所以35244πππα<+<，可得12cos(2)413πα+=-， ······················· 9分 则sin 2αsin[(2)]44ππα=+-))44ππαα=+-+ ································· 11分 512()()1313=--=．················································································ 12分 17.（本小题满分12分）解析：(Ⅰ)学生甲的平均成绩687679868895826x +++++==甲，学生乙的平均成绩717582848694826x +++++==乙，又22222221[(6882)(7682)(7982)(8682)(8882)(9582)]776s =-+-+-+-+-+-=甲，22222221167[(7182)(7582)(8282)(8482)(8682)(9482)]63s =-+-+-+-+-+-=乙， 则x x =甲乙，22s s >甲乙，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，则乙发挥更稳定，故应选择学生乙参加知识竞赛. ····································································································································· 6分注：(1)由茎叶图的分布可知应选择乙同学.（可给2分）(2)由茎叶图可以看到甲的平均成绩在80分左右，其分布对称，乙的平均成绩在80分左右，但总体成绩稳定性较好，故应选择乙同学.（可给4分）(Ⅱ)ξ的所有可能取值为0，1，2，则24262(0)5C P C ξ===，1142268(1)15C C P C ξ===，22261(2)15C P C ξ===，ξ的分布列为所以数学期望()012515153E ξ=⨯+⨯+⨯=． ··························································· 12分18．（本小题满分12分）解析：(Ⅰ)如图，取SD 的中点R ，连结AR 、RN ，则RN ∥CD ，且RN ＝12CD ，AM ∥CD ，所以RN ∥AM ，且RN ＝AM ，所以四边形AMNR 是平行四边形，所以MN ∥AR ，由于AR ⊂平面SAD ，MN 在平面SAD 外， 所以MN ∥平面SAD ． ·············································· 4分 (Ⅱ)解法1：取AD 的中点O ，连结OS ，过O 作AD 的垂线交BC 于G ，分别以OA ，OG ，OS 为x ，y ，z 轴，建立坐标系，(1,2,0)C -，(1,1,0)M，S ，(2,1,0)CM =-，(1,1,SM =，设面SCM 的法向量为1(,,)x y z =n ， ······················· 6分则110,0,CM SM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n有20,0,x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令1x =，1(1=n ，取面ABCD 的法向量2(0,0,1)=n ， ······················································································ 8分则121212cos ,||||⋅===⋅n n n n n n ，所以二面角S －CM －D······································································ 12分 解法2：如图，取AD 的中点O ，连结OS 、OB ，OB ∩CM ＝H ，连结SH ，由SO ⊥AD ，且面SAD ⊥面ABCD ，所以SO ⊥平面ABCD ，SO ⊥CM ， 易得△ABO ≌△BCM ，所以∠ABO ＝∠BCM ， 则∠BMH ＋∠ABO ＝∠BMH ＋∠BCM ＝90°， 所以OB ⊥CM ，则有SH ⊥CM ，所以∠SHO 是二面角S －CM －D 的平面角，设2AB =，则OB =BH =，OH =，OSSH =， 则cos ∠SHO＝OH SH =，所以二面角S －CM －D······················· 12分19.（本小题满分12分）解析：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，则由2252310,2,b S a b a +=⎧⎨-=⎩得610,34232,q d d q d ++=⎧⎨+-=+⎩解得2,2,d q =⎧⎨=⎩所以32(1)21n a n n =+-=+，12n n b -=． ······································································· 4分(Ⅱ)由13a =，21n a n =+得(2)n S n n =+， ···································································· 5分则即 ··············································· 6分 21321242()()n n n T c c c c c c -=+++++++32111111[(1)()()](222)3352121n n n -=-+-++-++++-+ ······································ 9分111,22,n n c n n -⎧-⎪=+⎨⎪⎩n 为奇数， n 为偶数， n 为奇数， n 为偶数， 12,(2)2,n n n n c -⎧⎪+=⎨⎪⎩12(14)12114n n -=-++- 22(41)213n n n =+-+． ········································································································ 12分 20.（本小题满分13分）解析：(Ⅰ)由题22223,131,4a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩解得24a =，21b =． 所以椭圆Ω的方程为2214x y +=． ················································································· 4分(Ⅱ)由题意可知，直角边AM ，AN 不可能垂直或平行于x 轴，故可设AM 所在直线的方程为1y kx =+，不妨设0k >，则直线AM 所在的方程为11y x k=-+． ······························ 5分联立方程221,44,y kx x y =+⎧⎨+=⎩消去y 整理得22(14)80k x kx ++=，解得2814M k x k =-+， ···· 6分 将2814M k x k =-+代入1y kx =+可得228114M k y k -=++，故点M 22288(,1)1414k k k k --+++.所以AM = ···················································· 8分同理可得AN =AM AN =，得22(4)14k k k +=+，····························· 10分 所以324410k k k -+-=，则2(1)(31)0k k k --+=，解得1k =或k =． ········· 12分当AM 斜率1k =时，AN 斜率1-；当AM斜率k =时，AN；当AM 斜率k =时，AN．综上所述，符合条件的三角形有3个. ············································································· 13分 21.（本小题满分14分）解析：(Ⅰ) 当e a =时，()e e e x f x x =--，()e e x f x '=-， 当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．所以函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以函数()f x 在1x =处取得极小值(1)e f =-，函数()f x 无极大值． ······················ 4分(Ⅱ)由()e x f x ax a =--，()e x f x a '=-，若0a <，则()0f x '>，函数()f x 单调递增，当x 趋近于负无穷大时，()f x 趋近于负无穷大；当x 趋近于正无穷大时，()f x 趋近于正无穷大，故函数()f x 存在唯一零点0x ，当0x x <时，()0f x <；当0x x >时，()0f x >．故0a <不满足条件． ··················································· 6分 若0a =，()e 0x f x =≥恒成立，满足条件． ································································· 7分若0a >，由()0f x '=，得ln x a =，当ln x a <时，()0f x '<；当ln x a >时，()0f x '>，所以函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，所以函数()f x 在ln x a =处取得极小值(ln )f a ln e ln ln a a a a a a =-⋅-=-⋅，由(ln )0f a ≥得ln 0a a -⋅≥，解得01a <≤．综上，满足()0f x ≥恒成立时实数a 的取值范围是[0,1]． ·········································· 9分(Ⅲ)由(Ⅱ)知，当1a =时，()0f x ≥恒成立，所以()e 10x f x x =--≥恒成立，即e 1x x ≥+，所以ln(1)x x +≤，令12n x =(*n ∈N )，得11ln(1)22n n +<， ·················· 10分则有2111ln(1)ln(1)ln(1)222n ++++++211[1()]1111221()1222212n n n -<+++==-<-， ············································································································································ 12分所以2111(1)(1)(1)e 222n ++⋅⋅+<，所以211111e(1)(1)(1)222n >++⋅⋅+， 即222221212121e n n ⨯⨯⨯>+++．。
2024届绵阳二诊试题及答案、数学文
绵阳市高中2021级第二次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BACDC BACAD AB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．721014．12-15．1216．0y ±=三、解答题：本大题共6小题，共70分．（2）111111()(23)(25)22325n n a a n n n n +==-++++，······························8分∴1111111(...)257792325n T n n =-+-++-++·················································10分11=104101025n n n =-++．······················································12分18．解：（1）22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，···········································2分2100(20203030)=4>3.84160405050⨯-⨯=⨯⨯⨯······················································4分故有95%的把握认为喜欢旅游与性别有关；········································5分（2）按分层抽样喜欢旅游的男性为2人，记为A 1，A 2，女性为3人，记为B 1，B 2，B 3，····························································································6分随机抽取2人的事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，····················8分不同性别的事件为：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，···10分故两人是不同性别的概率63==105P ．···············································12分19．解：（1）∵43sin BA BC bc A⋅=⋅ ∴4cos 3sin a B b A ⋅=⋅··································································2分∴4sin cos 3sin sin A B B A =，····················································3分∴4tan 3B =，则3cos 5B =，·························································4分又∵424BA BC c ⋅= ，∴4cos 24ac B c =，·····································································5分∴cos 6a B =，∴65610cos 3a B ==⨯=；·····························································6分（2）由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-⋅，··································7分∴2210012b c c =+-，·································································8分又48a b c ++=，则38b c +=，····················································9分∴22(38)10012c c c -=+-，·······················································10分∴21c =，·················································································11分∴114102184225ABC S ac sinB =⋅=⨯⨯⨯=．··································12分20．解：（1）设),(11y x A ，),(22y x B ，联立⎩⎨⎧=-=py x kx y 222，消y 整理得：0422=+-p pkx x ，························2分所以：pk x x 221=+，p x x 421=，·················································3分22112211)22()22(22x p kx x p kx x p y x p y k k FB F A +-++-=-+-=212121))(22(2x x x x p x kx ++-=041()22(22=-=+-=p k p k k ，·············································4分∴4=p ，即抛物线E 的方程为：y x 82=；·····································5分（2）由（1）可知：k x x 821=+，1621=x x ···················································6分且064642>-=∆k ，所以：12>k ，184)(||22122121-=-+=-k x x x x x x ，······································7分直线FA 的方程为：2211+-=x x y y ，所以：11114424kx x y x x M -=-=，····8分同理：22224424kx x y x x N -=-=，所以|4444|||||2211kx x kx x x x MN N M ---=-=······················································9分|)(416)(16|2122121x x k x x k x x ++--=···································································10分1618|1|18222≥-=--=k k k ······································································11分解得：125-<≤-k 或251≤<k ．·············································12分21．解：（1）2cos )3(2x a x x f '-+=，····················································1分∴2cos (0035)f '=+=，···································································2分切线斜率为5，················································································3分曲线()f x 在x =0处的切线方程为y =5x ．···············································4分（2）解法一：①当[]0,x π∈时'()2cos 23f x x ax =-+，····················5分若0a <时，2cos 23x ax >-恒成立，若0a ≥时'()f x 在[]0,π上单调递减．················································6分∴''()()2230f x f a ππ≥=--+≥，则102a π≤≤，···························7分综上：12a π≤；··············································································8分②当,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时若0a ≥时，2cos 23x ax >-恒成立，∴'()0f x ≥恒成立，········································································9分若0a <时'()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．∴''()()302f x f a ππ≥-=+≥，则30a π-≤<，······························10分∴3a π≥-，··················································································11分综上所述：312a ππ-≤≤．·································································12分解法二：由（1）可知23=5>0(0)f +'=，∴()f x 在[]2ππ-，上必是单调递增函数，···············································5分令2cos )3(2x a x x f '-+=，则()302≥a f ππ'-=+，()120f a ππ'=-≥，··············································6分∴312a ππ-≤为()f x 在[]2ππ-上是增函数成立的必要条件，···················7分令2cos )3(2x a x x f '-+=，下证：当312a ππ-≤≤时，()≥0f x '对任意[]2，x ππ∈-恒成立，···················8分①当102a π≤≤时，[]2x ππ∈-，则11[42，ax ∈-，12[1]2，ax -∈-，∴2cos 2312(0)≥≥x ax a f x x -+-'=；·····················································9分②当30a π-<≤时，[0]，x π∈，20ax ->，很显然()2cos 30f x x '>+>；[0]2，x π∈-，()f x '为增函数，()()302≥≥≥f x f a ππ''-+；·························10分∴当312a ππ-≤≤时，()≥0g x 对任意[]2，x ππ∈-恒成立，·························11分∴312a ππ-≤，使得()f x 在[]2，ππ-上是单调函数．·····························12分22．（1）由题意：11)2()32222=+-=+t t y x （，且0132≥-=t x ，··················2分∴曲线C 的普通方程为：)0(14922≥=+x y x ·························································3分∴曲线C 的极坐标方程为14sin 9cos 2222=+θρθρ（22πθπ≤≤-），即θρ22sin 5436+=（22πθπ≤≤-）；··················································5分（2）由（1）得θρ22sin 5436+=，因为且OA ⊥OB ，不妨设)(1θρ，A ，)2(2πθρ+，B ，·····························6分∴θρ221sin 5436+=，······································································7分∴2222)2(sin 5436πθρ++==θ2cos 5436+，··········································8分∴2211OB OA +222211ρρ+=····················································································9分36cos 54sin 5422θθ+++=3658+=3613=．·········································10分23．（1）证明：因为))(11(22by ax b a ++2222y aby b ax x +++=a by b ax y x 22222⋅++≥222)(2y x xy y x +=++=，············3分∴()ba by ax y x 11222+≤++，·······································································4分当且仅当aby b ax 22=，即by ax =时，等号成立；·····································5分（2）函数245144)(22++++=x x x x x f 245)12(22+++=x x x []222)1(23)1(+⋅+⋅++=x x x x ·························7分根据（1）的结论，[]652131)1(23)1(222=+≤+⋅+⋅++x x x x ，··································8分当且仅当)1(23+=x x ，即2=x 时，等号成立．·····································9分∴函数)0(245144)(22>++++=x x x x x x f 的最大值为65，此时x =2．·····················10分。
四川省绵阳市2023届高三第二次诊断性考试数学(文)试题(1)
一、单选题二、多选题1. 已知，，，则、、的大小关系是（ ）A．B．C．D．2. 在中，，，，若，，且，则的值为( )A．B．C．D．3. 设集合，，若，则（ ）A．B．C．D．4. 已知F 2，F 1是双曲线的上，下两个焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为A ．2B．C ．3D．5.若函数在上的图象与直线恰有两个交点.则的取值范围是A．B．C．D．6. 已知集合，，若，则A ．1B ．2C ．3D ．57. 函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，得到的图象，则（ ）A．B ．C．D．8. 设全集，，，则（ ）A．B．C．D．9. 从某校男生中随机抽取100人测量他们的身高，发现他们的身高都在之间，将统计得到的原始数据进行分组，得到如图所示的频率分布直方图（每组均为左闭右开区间）（）A ．已知该校一共有1500名男生，该校身高在内的男生人数约为450人B．该校男生身高的分位数约为178.3（结果精确到0.1）C ．将身高不低于的男生称为“高个子”，低于的男生称为“非高个子"．已知在原始数据中，高个子男生的身高的平均数为177，方差为10，所有这100名男生的身高的平均数为168，方差为64，则非高个子男生的身高的方差为10D ．据此估计该校男生的平均身高一定是168.610. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）四川省绵阳市2023届高三第二次诊断性考试数学（文）试题(1)四川省绵阳市2023届高三第二次诊断性考试数学（文）试题(1)三、填空题四、解答题A．B ．在上单调递增C．的解集为．D．的图象的对称轴方程为11.设函数，则（ ）A ．在单调递增B．的值域为C．的一个周期为D ．的图像关于点对称12. 已知函数，若存在满足，，下列结论正确的是（ ）A ．若，则B．C．D．13. 已知抛物线C ：的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点.点D为的中点，B ，D 在y 轴上的投影分别为P ，Q，则的最小值是___________.14. 已知椭圆的左右焦点分别为，，过且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B两点，直线与椭圆的另一个交点为C ，若，则椭圆的离心率为______．15. 在半径为5的球面上有不同的四点A 、B 、C 、D，若，则平面BCD 被球所截面图形的面积为________.16. 已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)当时，求函数的最小值；(3)证明：17. 已知椭圆C ：的离心率为，上顶点为，下顶点为，，设点在直线上，过点的直线分别交椭圆于点和点，直线与轴的交点为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若的面积为的面积的2倍，求t 的值.18. 世界那么大，我想去看看，每年高考结束后，处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出（单位:百元）的情况，相关部门随机抽取了某市的1000名毕业生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：组别[0,20）[20,40）[40,60）[60,80）[80,100）频数22504502908（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；（2）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布，若该市共有高中毕业生35000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在 8100元以上；（3）已知样本数据中旅游费用支出在[80,100）范围内的8名学生中有5名女生，3名男生，现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为，求的分布列与数学期望.附:若，则，19. 已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点.(1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；(3)在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上.20. 在四棱锥中，四边形为平行四边形，是等边三角形，.(1)证明：；(2)若，，求二面角的正弦值.21. 设函数，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.。
2020届四川省绵阳市高中高三第二次诊断性测试理科数学试卷(原卷版+解析版)(1)
绵阳市高中2017级第二次诊断性考试(原卷版）理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}|0U x x =>，{}2|1xM x e e=<<，则UCM =( )A. ()1,2B. ()2,+∞C. (][)0,12,+∞UD. [)2,+∞2.已知i 虚数单位，复数z 满足12z i i ⋅=+，则z =( )A. 2i -B. 2i +C. 12i -D. 2i -3.已知两个力()11,2F =u u r ，()22,3F =-u u r作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力3F u u r，则3F =u u r ( )A. ()1,5-B. ()1,5-C. ()5,1-D. ()5,1-4.甲、乙、丙三位客人在参加中国(绵阳)科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为( ) A.18B.14C.38D.125.已知α为任意角，则“1cos 23α=”是“sin 3α=”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要6.若51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中含3x 项的系数为( ) A. -80B. -10C. 10D. 807.已知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为 6.59yx =+，则下列说法中错误的是( )A. 产品的销售额与广告费用成正相关 B. 该回归直线过点()2,22C. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D. m 的值是208.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB (O 为坐标原点)的面积为bc ，则双曲线的离心率为( ) A.B. 2C.D. 39.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为X ，则X 的期望为( ) A. 1B. 2C. 3D. 410.已知圆C ：2268110x y x y +---=，点M ，N 在圆C 上，平面上一动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥，则PC 的最大值为( )A. 4B. C. 6D. 11.已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()31cos sin 3x x x f x x =-+，则满足不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的实数m 的取值范围为( )A. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭B. ()0,2C. ()10,1,22⎛⎫⎪⎝⎭U D. ()2,+∞12.函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点，则实数a的取值范围是( )A. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭B. [)3,+∞C. ()[)1,23,+∞UD. [)2,3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线l ：()110ax a y -+-=与直线4630x y -+=平行，则实数a 的值是______.14.法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法——随机投针法，受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数的平方和小于1的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值.已知某同学一次试验统计出156m =，则其试验估计π为______.15.函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，则()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为______.16.过点()1,0M -的直线l 与抛物线C ：24y x =交于A ，B 两点(A 在M ，B 之间)，F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：5NA AF =u u u r u u u r，则ABF ∆与AMN ∆的面积之和的最小值是______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分.17.每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生(其中男生45名)，统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t (小时)的频率分布直方图如图所示：(1)求样本学生一个月阅读时间t 的中位数m .(2)已知样本中阅读时间低于m 的女生有30名，请根据题目信息完成下面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.22⨯列联表男 女 总计 t m ≥<t m总计附表：()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.050k2.072 2.7063.841其中：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++. 18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足120a a +=，624S =.各项均为正数的等比数列{}n b 满足1241b b a +=+，34b S =.(1)求n a 和n b ；(2)求和：()()()1121211111n n T b b b b b b -=+++++++++++L L .19.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知()()()sin sin sin sin A B a b c C B +-=+. (1)求A ；(2)若D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，BC =，求sin B .20.已知椭圆C ：2212x y +=，直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.(1)若点()1,1P -满足0OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r r(O 为坐标原点)，求弦AB 的长；(2)若直线l 的斜率不为0且过点()2,0，M 为点A 关于x 轴的对称点，点(),0N n 满足MN NB λ=u u u u r u u u r，求n 的值.21.已知函数()212ln 2x f x ax x =+-，其中a R ∈. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若3a ≥，记函数()f x 的两个极值点为1x ，2x (其中21x x >)，当()()21f x f x -的最大值为32ln 22-时，求实数a 的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩(0r >，ϕ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点2,3P π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线2C 的直角坐标方程为221x y -=.(1)求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的极坐标方程；(2)若()1,A ρα，2,6B πρα⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线2C 上两点，当0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求2211OA OB +的取值范围. 23.已知关于x 的不等式12121log x x a +--≤，其中0a >.(1)当4a =时，求不等式的解集； (2)若该不等式对x ∈R 恒成立，求实数a 取值范围.绵阳市高中2017级第二次诊断性考试（解析版）理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}|0U x x =>，{}2|1xM x e e=<<，则UCM =( )A. ()1,2B. ()2,+∞C. (][)0,12,+∞UD. [)2,+∞【答案】D 【解析】 【分析】先确定集合M 的元素，再由补集定义求解．【详解】由题意2{|1}{|02}x M x e e x x =<<=<<，∴{|2}U C M x x =≥．故选：D ．【点睛】本题考查补集的运算，解题时需确定集合的元素后才能进行集合的运算．本题还考查了指数函数的单调性．2.已知i 为虚数单位，复数z 满足12z i i ⋅=+，则z =( ) A. 2i - B. 2i + C. 12i - D. 2i -【答案】A 【解析】 【分析】由除法计算出复数z ．【详解】由题意122iz i i+==-． 故选：A ．【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题．3.已知两个力()11,2F =u u r ，()22,3F =-u u r作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力3F u u r，则3F =u u r ( )A. ()1,5-B. ()1,5-C. ()5,1-D. ()5,1-【答案】A 【解析】 【分析】根据力的平衡条件下,合力为0r,即可根据向量的坐标运算求得3F u u r . 【详解】根据力的合成可知()()()12+1,22,31,5F F =+-=-u u r u u r因为物体保持静止,即合力为0r,则123+0F F F +=u u r u u r u u r r 即()31,5F =-u u r故选:A【点睛】本题考查了向量的运算在物理中的简单应用,静止状态的条件应用,属于基础题.4.甲、乙、丙三位客人在参加中国(绵阳)科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为( ) A.18B.14C.38D.12【答案】B 【解析】 【分析】可用列举法写出三人选择景点的各种情形．然后计数后可概率．【详解】两景点用1，2表示，三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ，甲1乙1丙2 ，甲1乙2丙1 ，甲2乙1丙1 ，甲2乙2丙1 ，甲2乙1丙2 ，甲1乙2丙2 ，甲2乙2丙2 共8种，其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种，所以概率为2184P ==． 故选：B ．【点睛】本题考查古典概型，解题时可用列举法写出所有的基本事件．5.已知α为任意角，则“1cos 23α=”是“sin 3α=”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要【答案】B 【解析】 【分析】说明命题1cos 23α=⇒sin α=和sin α=⇒1cos 23α=是否为真即可．【详解】21cos 212sin 3a α=-=，则sin α=，因此“1cos 23α=”是“sin 3α=”的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，只要命题p q ⇒为真，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．6.若51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中含3x 项的系数为( )A. -80B. -10C. 10D. 80【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式定理展开式的各项系数和为1,即可得参数a 的值.由二项展开式的通项即可求得3x 项的系数.【详解】因为51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1令1x =代入可得()511a -=,解得2a =即二项式为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含3x 的项为()()41143355122180C x C x x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭所以展开式中含3x 项的系数为80- 故选:A【点睛】本题考查了二项定理展开式的简单应用,指定项系数的求法,属于基础题. 7.已知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为 6.59y x =+，则下列说法中错误的是( ) A. 产品的销售额与广告费用成正相关 B. 该回归直线过点()2,22C. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D. m 的值是20 【答案】C 【解析】 【分析】根据回归直线方程中x 系数为正，说明两者是正相关，求出x 后，再由回归方程求出y ，然后再求得m ，同样利用回归方程可计算出10x =时的预估值．【详解】因为回归直线方程中x 系数为6.5＞0，因此，产品的销售额与广告费用成正相关，A 正确； 又0123425x ++++==，∴ 6.52922y =⨯+=，回归直线一定过点(2,22)，B 正确；10x =时， 6.510974y =⨯+=，说明广告费用为10万元时，销售额估计为74万元，不是一定为74万元，C 错误； 由10153035225m y ++++==，得20m =，D 正确．故选：C ．【点睛】本题考查回归直线方程，回归直线方程中x 系数的正负说明两变量间正负相关性，回归直线一定过中心点(,)x y ，回归直线方程中计算的值是预估值，不是确定值．8.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB (O 为坐标原点)的面积为bc ，则双曲线的离心率为( )B. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】把四边形OAFB 面积用,,a b c 表示出来，它等于bc ，变形后可求得离心率． 【详解】由题意(c,0)F ，渐近线方程by x a =±，不妨设AF 方程为()b y x c a=--， 由()b y x c a b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即(,)22c bc A a ，同理(,)22c bc B a -， ∴21(2)222OAFBbc bc S c a a =⨯⨯⨯=，由题意22bc bc a=，∴2c a =．故选：B ．【点睛】本题考查求双曲线的离心率．求离心率关键是找到关于,,a b c 的一个等式，本题中四边形OAFB 的面积是bc 就是这个等式，因此只要按部就班地求出其面积即可得．9.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为X ，则X 的期望为( ) A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型概率求法,列举出现的所有可能.由离散型随机变量的概率求法,可得小明得分的对应的概率与分布列,即可求出得分之和的期望.【详解】进行“手心手背”游戏,3人出现的所有可能情况如下所示:(心,心,心), (心,心,背),(心,背,心),(背,心,心) (心,背,背),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背) 则小明得1分的概率为34,得0分的概率为14进行4次游戏,小明得分共有5种情况:0分,1分,2分,3分,4分 由独立重复试验的概率计算公式可得:()4041104256P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ()13143112144256P XC ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22243154244256P XC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()313431108344256P XC ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()44438144256P XC ⎛⎫===⎪⎝⎭则得分情况的分布列如下表所示:则X 的期望()154108811+2+3+4=3256256256256E X =⨯⨯⨯⨯ 故选:C【点睛】本题考查了离散型随机变量的概率分布及期望的求法,属于基础题.10.已知圆C ：2268110x y x y +---=，点M ，N 在圆C 上，平面上一动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥，则PC 的最大值为( )A. 4B.C. 6D. 【答案】D【解析】 【分析】根据几何意义可知动点P 位于以MN 为直径的圆上,由正弦定理即可求得PC 的最大值. 【详解】圆C ：2268110x y x y +---= 化成标准方程可得()()223436x y -+-= 所以圆C 的半径为6r =因为点M ,N 在圆C 上,动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥ 所以P 位于以MN 为直径的圆上,位置关系如下图所示:则PMC PNC ∆≅∆,即45MPC NPC ∠=∠=o 在三角形PMC ∆中,由正弦定理可得sin sin 45MC PCPMC=∠osin 22PC PMC =∠则62PC PMC =∠ 因为sin 1PMC ∠≤ 所以PC 的最大值为62故选:D【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化,圆的几何性质,正弦定理的简单应用,属于中档题. 11.已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()31cos sin 3x x x f x x =-+，则满足不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的实数m 的取值范围为( )A. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭B. ()0,2C. ()10,1,22⎛⎫⎪⎝⎭U D. ()2,+∞【答案】A 【解析】 【分析】由偶函数性质把不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭化为2(log )(1)f m f <，由导数确定函数()f x 在[0,)+∞上的单调性，利用单调性解不等式．【详解】∵()f x 是偶函数，∴12222(log )(log )(log )(log )f m f m f m f m =-==，则不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭可化为22(log )2(1)f m f <，即2(log )(1)f m f <，0x ≥时，31()cos sin 3f x x x x x =-+，2'()cos sin cos (sin )f x x x x x x x x x =--+=-，令()sin g x x x =-，则'()1cos 0g x x =-≥，∴()g x 是R 上的增函数，∴当0x >时，()(0)0g x g >=， ∴0x ≥时，'()0f x ≥，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数， ∴由2(log )(1)f m f <得2log 1m <，即21log 1m -<<，122m <<． 故选：A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解对数不等式．此各种类型不等式的解法是：本题这种类型的不等式有两种，一种是奇函数，不等式为12()()0f x f x +>，转化为12()()f x f x >-，一种是偶函数，不等式为12()()f x f x >，转化为12()()f x f x >，然后由单调性去函数符号“f ”．12.函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭B. [)3,+∞C. ()[)1,23,+∞UD. [)2,3【答案】D 【解析】【分析】根据函数零点存在定理可求得a 的取值范围.并根据区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点,分析可知当3a =时函数有两个零点,不符合要求,即可求得最终a 的取值范围.【详解】函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点,则()l g 21o 0a f =-,lo 1g 31a f a ⎛⎫⎪=-⎝⎭由二次函数的图像与对数函数的图像可知,函数零点至多有两个.且因为恰有一个零点,所以满足()()110log 2log 3a a --≤且1log 20a -=与1log 30a -=在10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不同时成立.解不等式()()110log 2log 3a a --≤可得23a ≤≤当3a =时,函数()()()2361log 32f x x x =--+,区间为10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦且满足()301log 20f =->,310046log f =-⎛⎫< ⎪⎝⎭,311303log f =-⎛⎫= ⎪⎝⎭所以在10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭内有一个零点, 13x =为一个零点.故由题意可知,不符合要求 综上可知, a 的取值范围为[)2,3 故选:D【点睛】本题考查了函数零点存在定理的综合应用,根据零点个数求参数的取值范围.需要判断零点个数及检验参数是否符合题目要求,属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线l ：()110ax a y -+-=与直线4630x y -+=平行，则实数a 的值是______. 【答案】2. 【解析】 【分析】由两直线平行的条件判断．【详解】由题意(1)1 463a a-+-=≠-，解得2a=．故答案为：2．【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，两直线111A xB y C++=和222A xB y C++=平行，条件1221A B A B-=是必要条件，不是充分条件，还必须有1221AC A C-≠或1221B C B C-≠，但在222A B C≠时，两直线平行的充要条件是111222A B CA B C=≠．14.法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法——随机投针法，受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y；再统计两数的平方和小于1的数对(),x y的个数m；最后再根据统计数m来估计π的值.已知某同学一次试验统计出156m=，则其试验估计π为______.【答案】3.12【解析】【分析】横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y构成第一象限内的一个正方形,两数的平方和小于1的数对(),x y为单位圆在第一象限的部分.由几何概型概率的计算公式,及试验所得结果,即可估计π的值.【详解】横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y构成第一象限内的一个正方形,两数的平方和小于1的数对(),x y为单位圆在第一象限的部分.其关系如下图所示:则阴影部分与正方形面积的比值为1:14π由几何概型概率计算公式可知115642001π=解得15643.12200π⨯== 故答案为: 3.12【点睛】本题考查了几何概型概率的求法,根据题意得各部分的关系是解决问题的关键,属于基础题. 15.函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，则()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为______.【答案】23π. 【解析】 【分析】先求出周期，确定ω，再由点(,1)6π确定ϕ，得函数解析式，然后可求出[,]-ππ上的所有零点．【详解】由题意411()3126T πππ=⨯-=，∴22πωπ==，又sin(2)16πϕ⨯+=且2πϕ<，∴6π=ϕ，∴()sin(2)6f x x π=+．由sin(2)06x π+=得26x k ππ+=，212k x ππ=-，k Z ∈， 在[,]-ππ内有：7511,,,12121212ππππ--，它们的和为23π．【点睛】本题考查三角函数的零点，由三角函数图象求出函数解析式，然后解方程()0f x =得出零点，就可确定在已知范围内的零点．本题也可用对称性求解，由函数周期是π，区间[,]-ππ含有两个周期，而区间端点不是函数零点，因此()f x 在[,]-ππ上有4个零点，它们关于直线6x π=对称，由此可得4个零点的和．16.过点()1,0M -的直线l 与抛物线C ：24y x =交于A ，B 两点(A 在M ，B 之间)，F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：5NA AF =u u u r u u u r，则ABF ∆与AMN ∆的面积之和的最小值是______. 【答案】8 【解析】 【分析】根据直线l 过点()1,0M -,设出直线l 的方程.联立抛物线后可表示出A 、B 两点的纵坐标,利用5NA AF =u u u r u u u r可表示出点N 的纵坐标.由三角形面积公式可表示出ABF ∆与AMN ∆的面积之和.对表达式求导,根据导数即可求得面积和的最小值.【详解】根据题意,画出抛物线及直线方程如下图所示:因为直线l 过点()1,0M - 设直线的方程为1x ty =-则241y xx ty ⎧=⎨=-⎩,化简可得2440y ty -+= 因为有两个不同交点,则216160t ∆=->,解得1t >或1t <- 不妨设1t >,则解方程可得22221,221A B y t t y t t =--=+-因为5NA AF =u u u r u u u r ,则6NF AF =u u u r u u u r所以2612121,N A y y t t ==-- 所以()122ABF MBF AMF B A B A S S S y y y y ∆∆∆=-=⨯⨯-=- ()122AMN FMN AMF N A N A S S S y y y y ∆∆∆=-=⨯⨯-=-则ABF AMN B A N A S S y y y y ∆∆+=-+-222221121212221t t t t t t ⎛=+----- ⎝21061t t =--,(1t >)令()21061f t t t=--则()2'101f tt=--令()2'1001f tt=-=-解得54t=当514t<<时, ()'0f t<,所以()f t在51,4⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减当54t>时, ()'0f t>,所以()f t在5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭内单调递增即当54t=时()f t取得最小值.所以21061ABF AMNS S t t∆∆+=--2551061844⎛⎫=⨯--=⎪⎝⎭故答案为:8【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,抛物线中三角形面积的求法,利用导数求函数的最值的应用,综合性强,属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17.每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生(其中男生45名)，统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t(小时)的频率分布直方图如图所示：(1)求样本学生一个月阅读时间t的中位数m.(2)已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.22⨯列联表附表：.其中：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d-=++++. 【答案】(1)10；(2)不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关. 【解析】【分析】(1)频率为0.5对应的点的横坐标为中位数；(2)100名学生中男生45名，女生55名，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m的人数为50人，小于m的也有50人，阅读时间低于m的女生有30名，这样可得列联表中的各数，得列联表，依据2K公式计K，对照附表可得结论．算2【详解】(1)由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为⨯+⨯=.0.0450.0650.5m=.所以阅读时间的中位数10(2)由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m 的人数为1000.550⨯=人， 故列联表补充如下：2K的观测值()2100253025201005050455599k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯ 1.01 2.706≈<，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查独立性检验．正确认识频率分布直方图是解题基础．18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足120a a +=，624S =.各项均为正数的等比数列{}n b 满足1241b b a +=+，34b S =.(1)求n a 和n b ；(2)求和：()()()1121211111n n T b b b b b b -=+++++++++++L L .【答案】(1) 23n a n =-.2nn b =. (2) 122n n T n +=--【解析】 【分析】(1)根据等差数列与等比数列的通项公式,可得方程组,解方程组即可求得数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式. (2)根据等比数列{}n b 的前n 项和公式,可先求得1211n b b b -+++⋅⋅⋅+的通项公式,进而根据分组求得即可求得n T .【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q .由题意,得1120656242a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得112a d =-⎧⎨=⎩, ∴23n a n =-∵等比数列{}n b 的各项均为正数由112168b b q b q +=⎧⎨=⎩解得1122b q =⎧⎨=⎩或121823b q =⎧⎪⎨=-⎪⎩(舍)∴1222n n n b -=⨯=(2)由(1)得,211211122221n nn b b b --+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=-()()()1121211111n n T b b b b b b -=++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()()231212121n =+-+-++-L ()()()()12321212121n =-+-+-++-L()12122212n n n n +-=-=---.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列通项公式的求法,等比数列前n 项和公式的简单应用,属于基础题. 19.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知()()()sin sin sin sin A B a b c C B +-=+. (1)求A ；(2)若D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，BC =，求sin B . 【答案】(1)23A π=；(2)12.【解析】 【分析】(1)由正弦定理把角的关系转化为边的关系，再由余弦定理可求得A ；(2)把ABC ∆的面积用两种方法表示建立AD与三角形各边的关系，由BC =，即即AD =入可得23a bc =，再代入余弦定理2222cos a b c bc A =+-中可求得b c =，从而可得6B C π==，于是得sin B 的值．【详解】(1)在ABC ∆中，由正弦定理得()()()a b a b c c b +-=+，即222ab c bc =++.由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-， 结合0A π<<，可知23A π=.(2)在ABC ∆中，11sin 22ABC S AB AC BAC BC AD ∆=⋅∠=⋅a AD =⋅.由已知BC =，可得AD =在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos120a b c bc =+-︒， 即223bc b c bc =++，整理得()20b c -=，即b c =， ∴6A B π==.∴1sin sin62B π==. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，第(2)问解题关键是把三角形面积用两种方法表示而建立等式：11sin 22ABC S bc A BC AD ∆==⋅． 20.已知椭圆C ：2212x y +=，直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.(1)若点()1,1P -满足0OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r r(O 为坐标原点)，求弦AB 的长；(2)若直线l 的斜率不为0且过点()2,0，M 为点A 关于x 轴的对称点，点(),0N n 满足MN NB λ=u u u u r u u u r，求n 的值.【答案】(1) (2) 1n = 【解析】 【分析】(1)设出A ,B 两点的坐标,结合关系式0OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r r,即可得线段AB 的中点坐标.利用点差法可求得直线AB 的斜率,根据点斜式求得直线AB 的方程.再结合弦长公式即可求得弦AB 的长; (2)设出直线AB 的方程,根据M 的坐标及MN NB λ=u u u u r u u u r可知MN MB k k =.由两点的斜率公式,可得()121121y x x n x y y -=++,将A ,B 两点的坐标代入直线方程后,整理代入n 的表达式,联立圆的方程,即可得关于y 的方程.进而用韦达定理求得n 的值即可.【详解】(1)设()11,A x y ,()22,B x y由0OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r r,且点()1,1P -,得121x x =+,121y y +=-.① ∴线段AB 的中点坐标为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭,其在椭圆内 由222222111212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得2222212102x x y y -+-=,整理得2221222112y y x x -=--,即()()()()2121212112y y y y x x x x +-=-+-. 将①代入,得212112AB y y k x x -==-.∴直线AB 方程为111222y x ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即2430x y --=.联立22122430x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩消去x 得2242410y y ++=,由韦达定理得121y y +=-,12124y y =. ∴6AB ==. (2)设直线AB 的方程为2x ty =+,由题意得()11,M x y -,由已知MN NB λ=u u u u r u u u r,可知M ,N ,B 三点共线,即MN MB k k =.∴()()1211210y y y n x x x ----=--,即121121y y y n x x x +=--,解得()121121y x x n x y y -=++.将112x ty =+,222x ty =+,代入得121222ty y n y y =++.②联立222202x y x ty ⎧+-=⎨=+⎩消去x 得()222420t y ty +++=由韦达定理得12242t y y t -+=+,12222y y t =+.③ 将③代入②得到1n =【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系,点差法在求直线方程中的应用,弦长公式的用法,综合性较强,属于难题.21.已知函数()212ln 2x f x ax x =+-，其中a R ∈. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若3a ≥，记函数()f x 的两个极值点为1x ，2x (其中21x x >)，当()()21f x f x -的最大值为32ln 22-时，求实数a 的取值范围.【答案】(1)当a ≤时,()f x 在()0,∞+上单调递增；当a >时,()f x在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增,在⎝⎭上单调递减. (2) [)3,+∞【解析】 【分析】(1)先求得()f x 的导函数()'f x ,并令()22g x x ax =-+.通过对判别式及a 的讨论,即可判断单调性.(2)根据(1)可知当a >,()f x 有两极值点1x ,2x ,且两个极值点为()220x a g x x =-+=的两根.进而可得两个极值点间的关系.利用作差法可得()()21f x f x -的表达式,并令()211x t t x =>,及()()()2112ln f x f x h t t t t -==-+.进而通过求导得()h t 的单调性,进而根据最大值可求得t 的值.解得1x ,2x 的值.即可得a 的取值范围.【详解】(1)()()2'220x ax x a x x xf x -+=+-=>.令()22g x x ax =-+,则28a ∆=-.①当0a ≤或0∆≤,即a ≤时,得()'0f x ≥恒成立, ∴()f x 在()0,∞+上单调递增.②当00a >⎧⎨∆>⎩,即a >, 由()'0f x >,得0x <<或x >由()'0f x <,得22a a x -+<<.∴函数()f x在0,2a ⎛ ⎪⎝⎭和,2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增,在⎝⎭上单调递减. 综上所述,当a ≤,()f x 在()0,∞+上单调递增；当a >,()f x 在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增,在⎝⎭上单调递减. (2)由(1)得,当a >,()f x 有两极值点1x ,2x (其中21x x >). 由(1)得1x ,2x 为()220x a g x x =-+=的两根,于是12x x a +=,122x x =.∴()()()()222212121112ln2x f x f x x x a x x x -=+--- 222222122111122ln 2ln 2x x x x x x x x x x --=-=-2211122lnx x x x x x =-+. 令()211x t t x =>,则()()()2112ln f x f x h t t t t-==-+. ∵()()22222121211'0t t t t t t th t ---+-=--==<, ∴()h t 在()1,+∞上单调递减.由已知()()()21h f x t f x -=的最大值为32ln 22-, 而()132ln 22l 2222n 2h =-+=-. ∴2t =.设t 的取值集合为T ,则只要满足[)2,T ⊆+∞且T 中的最小元素为2的T 集合均符合题意.又()()221212122x x a t t T x x t+==++∈,易知()12x t t ϕ=++在[)2,+∞上单调递增,结合a >可得a 与t 是一一对应关系.而当2t =,即212x x =时,联合122x x =, 解得22x =,11x =,进而可得3a =. ∴实数a 的取值范围为[)3,+∞.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的综合应用,分类讨论判断函数的单调区间,构造函数法判断函数的单调性及参数的取值范围,综合性强,是高考的常考点和难点,属于难题.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，曲线1C 参数方程为1cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩(0r >，ϕ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点2,3P π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线2C 的直角坐标方程为221x y -=.(1)求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的极坐标方程；(2)若()1,A ρα，2,6B πρα⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线2C 上两点，当0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求2211OA OB +的取值范围. 【答案】(1)()2213x y -+=，2cos 21ρθ=；(2)2⎛ ⎝.【解析】 【分析】(1)由22cos sin 1ϕϕ+=消元后得普通方程，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直角坐标方程可得极坐标方程；(2)直接把,A B 两点的极坐标代入曲线2C 的极坐标方程，得2212,ρρ，这样2211OAOB+就可转化为三角函数式，利用三角函数知识可得取值范围．【详解】(1)将1C 的参数方程化为普通方程为()2221x y r -+=. 由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为(，代入1C ，得23r =， ∴曲线1C 的普通方程为()2213x y -+=.2C 可化为2222cos sin 1ρθρθ-=，即()222cos sin 1ρθθ-=，∴曲线2C 的极坐标方程为2cos 21ρθ=. (2)将点()1,A ρα，2,6B πρα⎛⎫-⎪⎝⎭代入曲线2C 的极坐标方程， 得21cos 21ρα=，22cos 213πρα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴22222111cos 2cos 1123OAOBπααρρ⎛⎫=++-+= ⎪⎝⎭3cos 22223πααα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.由已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得52,336πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，23πα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭⎝. 所以2211OAOB +的取值范围是2⎛ ⎝. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化．消元法和公式法是解决此类问题的常用方法．23.已知关于x 的不等式12121log x x a +--≤，其中0a >.(1)当4a =时，求不等式的解集；(2)若该不等式对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)2|43x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或；(2)04a <≤【解析】 【分析】(1)用分类讨论的方法去绝对值符号后再解不等式，最后要合并(求并集)；(2)设()121f x x x =+--，同样用分类讨论去绝对值符号化函数为分段函数，求得()f x 的最大值，解相应不等式可得a 的范围． 【详解】(1)由4a =时，12log 2a =-.原不等式化为1212x x +--≤-，当12x ≥时，()1212x x +--≤-，解得4x ≥，综合得4x ≥； 当112x -<<时，1212x x ++-≤-，解得23x ≤-，综合得213x -<≤-；当1x ≤-时，()1212x x -++-≤-，解得0x ≤，综合得1x ≤-. ∴不等式的解集为2|43x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或.。
四川省绵阳市2018届高三数学第二次诊断考试试题 文(扫描版)
四川省绵阳市2018届高三数学第二次诊断考试试题文（扫描版）绵阳市高2015级第二次诊断性考试数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．DDCAC CCBBA BD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．95 14．106.5 15．416．34三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解：（Ⅰ）已知C B A tan 31tan 21tan ==，∴ tan B =2tan A ，tan C =3tan A ， 在△ABC 中，tan A =-tan(B +C )=AAA CBC B 2tan 61tan 3tan 2tan tan 1tan tan -+-=-+-， ……3分 解得tan 2A =1，即tan A =-1，或tan A =1． ……………………………………4分 若tan A =-1，可得tanB =-2，则A ，B 均为钝角，不合题意． ……………5分 故tan A =1，得A =4π． …………………………………………………………6分 （Ⅱ）由tan A =1，得tan B =2，tan C =3，即sin B =2cos B ，sin C =3cos C ，…………………………………………7分结合sin 2B +cos 2B =1，sin 2C +cos 2C =1， 可得sin B =52，sin C =103， (负值已舍) ……………………………………9分在△ABC 中，由BbA a sin sin =，得b =10252252sin sin =⨯=⋅a A B ， …………11分 于是S △ABC =21ab sin C =15103102521=⨯⨯⨯． ……………………………12分18．解：（Ⅰ）根据题意得：a =40，b =15，c =20，d =25，∴ 879.7249.845554060)20152540(10022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ， ……………………………4分∴ 在犯错误的概率不超过0.005的前提下可以认为网购与年龄有关． ……5分 （Ⅱ）根据题意，抽取的6人中，年轻人有=⨯660404人，分别记为A 1，A 2，A 3，A 4，中老年人=⨯660202人，分别记为B 1，B 2．…………………………7分 则从这6人中任意选取3人的可能有(A 1，A 2，A 3)，(A 1，A 2，A 4)，(A 1，A 2，B 1)，(A 1，A 2，B 2)，(A 1，A 3，A 4)， (A 1，A 3，B 1)，(A 1，A 3，B 2)，(A 1，A 4，B 1)，(A 1，A 4，B 2)，(A 2，A 3，A 4)， (A 2，A 3，B 1)，(A 2，A 3，B 2)，(A 2，A 4，B 1)，(A 2，A 4，B 2)，(A 3，A 4，B 1)， (A 3，A 4，B 2)，(A 1，B 1，B 2)，(A 2，B 1，B 2)，(A 3，B 1，B 2)，(A 4，B 1，B 2)， 共20种，…………………………………………………………………………9分 其中，至少一个老年人的有(A 1，A 2，B 1)，(A 1，A 2，B 2)，(A 1，A 3，B 1)，(A 1，A 3，B 2)，(A 1，A 4，B 1)，(A 1，A 4，B 2)， (A 2，A 3，B 1)，(A 2，A 3，B 2)，(A 2，A 4，B 1)，(A 2，A 4，B 2)， (A 3，A 4，B 1)， (A 3，A 4，B 2)，(A 1，B 1，B 2)，(A 2，B 1，B 2)，(A 3，B 1，B 2)， (A 4，B 1，B 2)，(A 1，A 2，B 1)，(A 1，A 2，B 2)，(A 1，A 3，B 1)，(A 1，A 3，B 2)， (A 1，A 4，B 1)，共16种， ………………………………………………………………………11分 ∴ 所求的概率为542016=． ……………………………………………………12分 19．解：（Ⅰ）∵ b n+1)1(log 1))1(4[log )1(log 4414-+=-=-=+n n n a a a =1+b n ，∴ b n+1-b n =1(常数)， …………………………………………………………3分∴ 数列{b n }是以b 1=log 44=1为首项，1为公差的等差数列，∴ b n =1+(n -1)×1=n ． …………………………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知b n =n ，于是2)1(+=n n S n ， ………………………………6分 于是(-1)nkb n <2S n +n +4等价于(-1)nkn <n 2+2n +4， 即等价于(-1)n24++<nn k ．……………………………………………………7分 ∵ n 为正奇数，∴ 原式变为2)4(-+->nn k 令函数f (x )=2)4(-+-x x ，x 2)2)(2(x x x +--， 当x ∈(0，2)时，0)(>'x f 0)(<x ， 即f (x )在(0，2) 由f (1)=-7<f (3)=319-，即f (n )≥319-(n 为奇数)， ∴ k >319-． ……………………………………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）设M (x ，y )，P (x 0，y 0)， 则D (x 0，0)，∴ =(0，y 0)，DM =(x -x 0，y )，由DP =，得0=2(x -x 0)，y 0=y 2，即y y x x 200==，， ………2分 又点P 在圆x 2+y 2=8上，代入得x 2+2y 2=8，∴ 曲线C 的方程为：14822=+y x ． …………………………………………4分（Ⅱ）假设存在满足题意的点Q (x Q ，0) ．设直线AB 的方程为y =k (x -2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程组得：⎩⎨⎧=-+-=，，082)2(22y x x k y 整理得(2k 2+1)x 2-8k 2x +8k 2-8=0， ∴ x 1+x 2=12822+k k ，x 1x 2=128822+-k k ， …………………………………………8分∵ k QA +k QB =02211=-+-QQ x x y x x y ，将y 1=k (x 1-2)，y 2=k (x 2-2)代入整理得：2x 1x 2-(x Q +2)(x 1+x 2)+4x Q =0， …………………………………………10分即12161622+-k k -(x Q +2)×12822+k k +4x Q =0，化简得x Q =4，故此时存在点Q (4，0)使得直线AQ ，BQ 的斜率之和为0．………………12分 21．解：（Ⅰ）对)(x f 求导可得a e x f x -=')(． …………………………………1分∵ a >1，于是由0)(>'x f 解得a x ln >，由0)(<'x f 解得a x ln <，∴ )(x f 在(∞-，a ln )上单调递减，在(a ln ，+∞)上单调递增， …………3分 ∴ )(x f min =)(ln a f =1ln --a a a =1-2ln2． 令2ln 22ln )(+--=a a a a g ，则a a g ln )(-='， 由a >1知)(a g '<0，于是函数)(a g 在(1，+∞)单调递减， 又0)2(=g ，∴ a 的值是2．…………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知a =2，2)(-='x e x f ，故03)2)(21(03)()21(<++--⇔<++'-x e k x x x f k x x ，变形得2321-+>x xe xe k ．……………………………………………………………8分令函数h (x )=)1(2321>-+x e xe x x ，则2)2()421()(---='x x x e x e e x h ． 令函数)1(421)(>--=x x e x x ϕ，则)1(0121)(>>-='x e x x ϕ，又0621)2(2<-=e ϕ，0721)3(3>-=e ϕ，∴ 存在t ∈(2，3)，使得0)(=t ϕ．当x ∈(0，t )，0)(<x ϕ，故0)(<'x h ，)(x h 在(1，t )单调递减； 当x ∈(t ，+∞)，0)(>x ϕ，故0)(>'x h ，)(x h 在(t ，+∞)单调递增．故)()(min t h x h ==2321-+t te te ． …………………………………………………10分又0421)(=--=t e t tϕ，故82+=t e t ，故)()(min t h x h ==)1(21)3(2)3)(1(62342823)82(2123212+=+++=+++=-+++=-+t t t t t t t t t t e te t t ，又t ∈(2，3)，故)223()1(21，∈+t ，故正整数k 的最小值是2．……………………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）将直线l 的参数方程消去参数得31=+xy ， 即l 的普通方程为013=--y x ．将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2+y 2-2x -2y +1=0． …………5分（Ⅱ）将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==，，t y t x 23121代入C ：x 2+y 2-2x -2y +1=0中，整理得04)132(2=++-t t ，由韦达定理：132121⋅+=+t t t ，8分)(11112122212221222122=⋅+=+=+t t t t t t t t PBPA故165341122+=+PBPA． …………………………………………………10分 23．解：(Ⅰ) m =1，212)(++-=x x x f当x ≤21时，f (x )=3-x ，由f (x )<6解得x >-3，综合得-3<x ≤21， 当x >21时，f (x )=3x +1，由f (x )<6解得x <35，综合得21<x <35，所以f (x )<6的解集是)353(，-． ………………………………………………5分（Ⅱ）当x >21时，f (x )=(2+m )x +1．当x ≤21时，f (x )=(m -2)x +3，要使得f (x )有最小值，则⎩⎨⎧≤-≥+，，0202m m解得-2≤m ≤2，且由图像可得，f (x )在x =21时取得最小值21m +2．y =-x 2+x +1在x =21时取得最大值45，方程f (x )=-x 2+x +1有两个不等实根，则21m +2<45，解得m <-23．综上所述，m 的取值范围为-2≤m <-23． ……………………………………10分。
四川省资阳市2015届高三第二次诊断性考试数学理试题 Word版含答案
资阳市高中2012级第二次诊断性考试数 学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数21(1)i m m -++是纯虚数，则实数m 的值为(A)－1 (B)1 (C)1±(D)2±2．集合{|(1)(2)0}M x x x =--<，{|}N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是(A)[2,)+∞ (B)(2,)+∞ (C)[1,)+∞(D)(1,)+∞3．“2a =”是“直线2()10a a x y -+-=和210x y ++=互相平行”的(A) 充要条件(B)必要不充分条件 (C)充分不必要条件(D)既不充分又不必要条件4．设抛物线24y x =上的一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离为(A)3 (B)4 (C)5(D)65．有5名同学站成一排照相，则甲与乙且甲与丙都相邻的不同排法种数是 (A)8 (B)12 (C)36(D)486．在不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域内任取一点P ，若点P 的坐标(x ,y )满足y kx ≥的概率为34，则实数k ＝(A) 4 (B)2 (C)23(D)127．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为(C) 0(D)8．已知 a 、b 为平面向量，若a ＋b 与a 的夹角为3π，a ＋b 与b 的夹角为4π，则||||=a b(A)9．已知F 1、F 2是双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)的左、右焦点，点F 1关于渐近线的对称点恰好落在以F 2为圆心，|OF 2|为半径的圆上，则该双曲线的离心率为(C) 2(D) 310．定义在R 上的函数()f x 满足1(2)()2f x f x +=，当[0,2)x ∈时，231||212,01,2()2,1 2.x x x f x x --⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤<⎩函数32()3g x x x m =++．若[4,2)s ∀∈--，[4,2)t ∃∈--，不等式()()0f s g t -≥成立，则实数m 的取值范围是 (A) (,12]-∞- (B)(,4]-∞- (C)(,8]-∞(D)31(,]2-∞第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。