岩土力学教案第4章

55 第四章 土中应力计算 § 4.1 概 述 一、土中应力计算的目的 建筑物、构筑物、车辆等的荷载，要通过基础或路基传递到土体上。在这些荷载及其它作用力（如渗透力、地震力）等的作用下，土中产生应力。土中应力的增加将引起土的变形，使建筑物发生下沉、倾斜以及水平位移；土的变形过大时，往往会影响建筑物的安全和正常使用。此外，土中应力过大时，也会引起土体的剪切破坏，使土体发生剪切滑动而失去稳定。为了使所设计的建筑物、构筑物既安全可靠又经济合理，就必须研究土体的变形、强度、地基承载力、稳定性等问题，而不论研究上述何种问题，都必须首先了解土中的应力分布状况。只有掌握了土中应力的计算方法和土中应力的分布规律，才能正确运用土力学的基本原理和方法解决地基变形、土体稳定等问题。因此，研究土中应力分布及计算方法是土力学的重要内容之一。

二、土中应力计算的方法 目前计算土中应力的方法，主要是采用弹性理论，也就是把地基土视为均质的、连续的、各向同性的半无限空间线弹性体。事实上，土体是一种非均质的、各向异性的多相分散体，是非理想弹性体，采用弹性理论计算土体中应力必然带来计算误差，对于一般工程，其误差是工程所允许的。但对于许多复杂工程条件下的应力计算，弹性理论是远远不够的，应采用其他更为符合实际的计算方法，如非线性力学理论、数值计算方法等等。 56

三、土中一点的应力 在土中任取一单元体，如下图所示。

作用在单元体上的3个法向应力（正应力）分量分别为zyx,,　，六个剪应力分量分别为xzzxzyyzyxxy,,。剪应力的脚标前面一个表示剪应力作用面的法线方向，后一个表示剪应力的作用方向。 应特别注意的是，在土力学中法向应力以压应力为正，拉应力为负，这与一般固体力学中的符号规定有所不同。剪应力的正负号规定是：以外法线与坐标轴方向一致的面为正面，反之为负面；在正面上剪应力与坐标方向相反者为正，反之为负；在负面上剪应力与坐标方向相同者为正，反之为负。 四、土中应力的种类 （1）自重应力：由土体重力引起的应力称为自重应力。自重应力一般是自土形成之日起就在土中产生，因此也将它称为长驻应力。 （2）附加应力：由于外荷载（如建筑物荷载、车辆荷载、土中水的渗透力、地震力等）的作用，在土中产生的应力增量。 自重应力存在于任何土体中，附加应力则存在于受荷载影响的那部分 57

土层中。 修建建筑物前，土中应力属于自重应力；修建建筑物后，土中的应力为自重应力和附加应力之和，称为总应力，即 加应力总应力＝自重应力＋附

§4.2 土中自重应力的计算 一、均质地基自重应力场 假设：（1）天然地表为无限大的水平面，即假定地基是半无限空间体，如下图所示。 （2）土质均匀，其重度为。

在地面下深度z处，任取一单元体，其上的自重应力分量为：竖向自重应力cz；水平自重应力cycx；不存在着剪应力，即0cyxcxy；0czycyz

；0cxzczx。

1．竖向自重应力 竖向自重应力，等于单位面积上土柱体的重力W，如上图所示。当地基是均质土体时，在深度z处土的竖向自重应力为： zFzFFWcz

58

式中：——土的天然重度，kN/m3； W——土柱体重力，kN； F——土柱体截面积。

由上式可见，自重应力随深度Z线形增加，呈三角形分布，如上图所示。 2．水平自重应力 由于假设地表为无限大的水平面，因此，在自重作用下只能产生竖向变形，而不能产生侧向变形，即：0cycx，且cycx。根据广义虎克定律，有 czcycxcxE



1

将侧限条件代入上式，得 czcycx1

令10K，称为土的侧压力系数或静止土压力系数，则 zKKczcycx00 土的侧压力系数反映了水平应力与竖向应力的比值。不同的土体，该值有所不同，一般情况下应采用实测法确定该值的大小。无实测资料时，也可近似采用经验值，见P49表3－1。 从上面的分析可以看出，自重应力包括三个应力分量，但对于地基自重应力场的分析与计算，主要针对竖向自重应力cz。 二、成层土竖向自重应力的计算 天然地基土一般都是 59

成层的，而且每层的重力密度也不同，如下图所示。 则竖向自重应力计算公式为： niiinnczhhhh12211

式中：n--深度z范围内的土层总数； ih----第i层土层厚。当地下水位面位于同一土层时，地下水位面也应作为分界面； i----第i层土的重度，地下水位以下取浮重度i。 从上面公式可以看出，这里计算的自重应力是指有效自重应力，按上述计算出的四层土的竖向自重应力分布如上图所示。

三、下埋不透水层时自重应力的计算 在地下水位线以下存在不透水层时，由于不透水层不存在浮力，所以，层面及层面以下自重应力应按上覆土层的水土总重计算，如上图所示。

§4.3 基底压力分布及简化计算 60

基底压力：基础底面与地基间的接触压力称为基底压力。 为了计算上部荷载在地基中引起的附加应力，应首先研究基底压力的大小及分布规律。

一、基底压力的实际分布规律 1．柔性基础 若一个基础作用着均布荷载，并假设基础是由许多小块组成，如下图所示，各小块之间光滑而无摩擦力，则这种基础即为理想柔性基础（即基础的抗弯刚度0EI），基础上的荷载通过小块直接传递到地基土上，基础随着地基一起变形，基底压力均匀分布，但基础底面的沉降则各处不同，中央大而边缘小。

对于路基、坝基及薄板基础等柔性基础，其刚度很小，可近似地看成是理想柔性基础。此时，基底压力分布与作用的荷载分布规律相同，如由土筑成的路基，可以近似地认为路堤本身不传递剪力,那么它就相当于一种柔性基础,路堤自重引起的基底压力分布就与路堤断面形状相同是梯形分布，如上图所示。 2．刚性基础 是指基础刚度大大超过地基刚度，理论与实测证明，在中心受压时，刚性基础的接触压力为马鞍形分布，如下图所示。 61

当上部荷载加大，基础边缘土中产生塑性变形区，边缘应力不再增大，应力分布变为抛物线形。当荷载继续增加接近地基的破坏荷载时，应力分布变成钟形。 从上面有分析可以看出，对于柔性基础在中心荷载作用下，基底压力一般均匀分布。而对于刚性基础，基底压力一般不是均匀分布，但为便于计算，一般也简化成均匀分布考虑。虽然不够精确，但这种误差也是工程所允许的。 二、基底压力简化计算法 1．中心荷载作用下的基底压力 对于中心荷载作用下的矩形基础，如下图a、b所示，此时基底压力均匀分布，其数值可按下式计算，即

AGFp

式中：p——基底（平均）压力，kPa； F——上部结构传至基础顶面的垂直荷载，kN；

G——基础自重与其台阶上的土重之和，一般取20GkN/m3计算，kN； A——基础底面积，lbA，m2。 62

对于条形基础（bl10），则沿长度方向取1m来计算。此时上式中的F、G代表每延米内的相应值，如上图c所示。 2．偏心荷载作用下的基底压力 （1）单向偏心荷载作用下的矩形基础 这是一个矩形基底，受偏向荷载（F＋G）的作用，偏心距为e,如用一等代力系代替，将（F＋G）移到中心，同时应有一力距eGFM)(。此时，基底压力分布应按左图所示，其最大值为maxp,最小值为minp。根据材料力学公式有：

WMAGFpp





minmax

式中：A——基底面积，A＝bl； M ——偏心矩， eGFM； W——基底抵抗矩，261blW。 则



leAGFpp61

minmax

从上式可以看出：（1）当e<6l 时，minp> 0 ,基底压力呈梯形分布； （2）当e=6l时，minP= 0 ,基底压力呈三角形分布； （3）当e>6l时 ，minP< 0 ,也即产生拉应力。 但基底与土之间是不能承受拉应力的，这时产生拉应力部分的基底将 63

与土脱开，而不能传递荷载，基底压力将重新分布，如下图所示。 最大压力用maxP表示，根据静力平衡条件有： GFkbP32

1

max

belGFkbGFP)2(3)(23)(2max

在实际工程设计中，应尽量避免大偏心，此时基础难于满足抗倾覆稳定性的要求，建筑物易倾倒，造成灾难性的后果。 (2）偏心荷载作用下的条形基础 对于条形基础（bl10），偏心荷载在基础宽度b方向的基底压力计算，只需取1lm作为计算单元即可，即



beAGFpp61

minmax

式中：F——上部结构传至每延米长度基础上的垂直荷载，kN/m； G——每延米长度的基础自重与其台阶上的土重之和，取20G

kN/m3计算，kN/m。

(3)双向偏心荷载作用下的矩形基础 若矩形基础受双向荷载作用，如下图所示。