实验设计与数据处理：8正交实验设计的方差分析(上)

第8章正交试验设计的方差分析

前面我们讨论了如何安排正交试验以及用极差分析法(即直观分析法)对试验结果进行计算分析.极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少，便于普及推广.但这种方法不能把试验中由于试验条件的改变引起的数据波动，同试验误差引起的数据波动区分开来.也就是说，不能区分因素各水平对应的试验结果间的差异，究竟是由于因素水平不同引起的，还是由于试验误差引起的，即不知道试验的精度.同时，对影响试验结果的各个因素的重要程度，既不能给出精确的定量估计，也不能提供一个标准，用来判断所考察的因素的作用是否显著.

为了弥补极差分析法的不足，对试验结果的分析可采用方差分析法.

8.1 正交试验方差分析的基本步骤

在第2章中我们已经介绍过，方差分析的基本思想是将数据的总偏差平方和(S T)分解为因素的偏差平方和(S A、S B)和误差的偏差平方和(S e)，然后将偏差平方和除以相对应的自由度(f)得到方差(V A、V B)，最后利用因素方差与误差方差之比(V A/V e，V B/V e)，作F检验，即可判断因素的作用是否显著.正交试验设计的方差分析也是按这样的步骤进行的，所不同的是这是考虑的是多因素试验的方差分析，而第2章中只考虑单因素和双因素试验的方差分析.

一、计算

1. 偏差平方和与自由度的计算

方差分析的关键是偏差平方和的分解，现在以最简单的L 4(23)正交表上安排的试验为例来说明(见表8-1，板书).不考虑哪些因素安排在哪些列上(即表头设计时)，设试验结果为x 1、x ２、x 3和x 4. 总的偏差平方和:

4

)(2

4

1

221

2

12

_T x n T x x x S i i n

i i

n

i i T -

=-

=-=∑∑∑=== T=∑=n

i i x 1

=(x 21+x 22+x 23+x 24)-4

1

(x 4321x x x +++)2 整理后可得 43

=

(24232221x x x x +++) 2

1

- (434232413121x x x x x x x x x x x x +++++) 第1列各水平偏差平方和为

S 1=22

_

21_

2

_11_

)(2)(x K x K -+-

=2[221211)4

2()42(

T

K T K -+-] =2[T K T K T K T K 2111222122114

1

41164164--+++] =22

2121141)(21T K K -+ )(211141

K K x T i i +==∑= =24321243221)(41])()[(21x x x x x x x x +++-+++

=)(2

1)(414321423241312

42322

21x x x x x x x x x x x x x x x x --+++-+++

表8-1 L 4(23)正交表及计算表

注: K ij 表示第j 列第i 水平的指标值之和；ij K __

表示第j 列第i 水平

的平均指标值；T 表示指标值总和；__

x 表示平均指标值. 同理，第2、3列各水平的偏差平方和S 2、S 3为

)(21)(4141)(21)()(232414342312124

23222122232132

__

23__

2

__

13__

3x x x x x x x x x x x x x x x x T K K x K x K S --+++-+++=-+=

-+-= 由此可得

S T =S 1+S 2+S 3 (8-1)

式(8-1)是正交表L 4(23)的总偏差平方和的分解公式，即L 4(23)的总偏差平方和等于各列偏差平方和之和.

若在L 4(23)正交表的第1列和第2列分别安排二水平因素A 、B ，在不考虑A 、B 因素间交互作用的情况下，则第3列(空列)是误差列.

)(21)(4141)(21)(2)(24231433241212423222122

222122

__

22__2

__

12__2x x x x x x x x x x x x x x x x T K K x K x K S --+++-+++=-+=

-+-=

同样也可以证明

S T =S A +S B +S e (8-2)

上式也是总偏差平方和的分解公式，即总偏差平方和等于各列因素的偏差平方和与误差的偏差平方和之和.

我们可以把上例推广到一般情况:

用饱和正交表L n (m k )安排试验(见表8-2，p160)，总的试验次数为n ，每个因素的水平数为m ，则每个水平作r 次试验，r=m

n

. 试验结果为x 1，x 2，x 3，…，x n .令

∑∑∑=======n

i i T n

i i n

i i x Q x n x n

T CT x T 1

21

__

2

1,

1,

,

则总偏差平方和为

CT Q n T x x x S T n

i i

n

i i T -=-=-=∑∑==2

1

2

12

__

)( (8-3)

列偏差平方和为

)

,,2,1(1)(2

121

2

__

k i CT Q n T K r x K r S j m i ij m

i ij j =-=-

=-=∑∑== (8-4) 其中∑==m i ij j K r Q 1

2

1

特别地， 当m=2(即二水平)时， 式(8-4)可表示成:

2212212221221222122

221)(1

)(1)(2)(1)()(1j j j j j j j j j j j j j K K n

K K n K K n K K n K K n m n T K K r S -=+-+=+-+=-

+= (8-5) 列偏差平方和S j 是第j 列中各水平对应的试验数据平均值与总平均值的偏差平方和，它反映了该列水平变动所引起的试验数据的波动.若该列安排的是因素，就称S j 为该因素的偏差平方和；若该列安排的是交互作用，就称S j 为该交互作用的偏差平方和；若该列为空列，则S j 表示由于试验误差和未被考察的某些交互作用或某些条件因素所引起的波动.在正交试验设计中，通常把空列的偏差平方和作为试验误差的偏差平方和，虽然它属于模型误差，一般比试验误差大（当作安全系数考虑），但用它作为试验误差进行显著性检验，可使检验结果更可靠些。

总偏差平方和的自由度： f T =n-1 第j 列偏差平方和的自由度： f j =m j -1 （m j ：第j 列水平数） 此外，可以证明：

S T =∑=k

j j S 1=∑因k j S +∑交k j S +∑空

k j S （8-6）

f T =∑=k j j f 1

=∑因k j f +∑交k j f +∑空

k j f （8-7）

式中k 因、k 交和k 空分别为试验因素、试验考察的交互作用和空列在正交表中所占的列数。并且 k=k 因+k 交+k 空

注意：

（1）当某个交互作用占有正交表的某几列时，该交互作用的偏差平方和就等于所占各列偏差平方之和，其自由度也等于所占各列的自由度之和；

（2）误差的偏差平方和（S e ）等于所占有空列的偏差平方和之和， 其自由度等于所有空列的自由度之和，即：

e k j

S S

=∑空

， e k j f f =∑空

（3）上面讨论的虽然是等水平饱和正交表L n (m k )的情况，但是对于饱和的混合型正交表L n （m 1k1×m 2k2）也适用，不过要换上相应的m 和k 值。（有关“饱和正交表”与“不饱和正交表”的概念，请参见第6节（p191）！）

2、方差的计算（V 因，V 交，V e ）

方差等于各偏差平方和除以相应的自由度，即平均偏差平方和。

V 因=

因

因f S V 交=

交

交f S

V e =

e

e f S

二、显著性检验

数学上可以证明：在“假设H 0：某因素或某交互作用对试验结果影响不显著”成立时，统计量F ][e e

f f f F V V V F ），（或～）

（或交因交因α=

（8-9） 服从第一自由度为f 因（或f 交），第二自由度为f e 的F 分布。

对于给定的显著性水平α，查F 分布表得临界值F α，若计算出的F 值F 0＞F α 则拒绝原假设，认为该因素或该交互作用对试验的结

果有显著影响；若计算出的F 值F 0≤F α，则接受原假设，认为该因素或该交互作用对试验结果无显著影响。

经显著性检验后，可把检验结果列出方差分析表，如表8-3所示

表8-3 正交试验方差分析表

在进行正交试验方差分析时，应注意以下几点： （1）进行F 检验时，要用到S e 和f e ，而

S e =∑空

k j S ， f e =∑空

k j f

所以，为进行方差分析，选正交表时应留出一定的空列。当无空列时，则应进行重复试验，以便求得S e2的值(见p181第5节)。 （2）误差自由度f e 一般不应小于2，即f e ≥2，否则F 检验的灵敏度很低，有时即使因素对试验指标有影响，用F 检验也判断不出来。 （3）如果f e ＝1，为了增大f e ，提高F 检验的灵敏度， 在进行显著性检验之前，先比较V 因和V 交与V e 之间的差异程度。如果与误差方差V e 的大小相近，说明该因素或该交互作用对试验结果的影响微乎其微，其偏差平方和是由于随机误差引起的。因此，可并入误差偏差平方和S e 中.通常把满足 V 因(或V 交)＜2V e 的那些因素或交互作用的偏

差平方和，并入误差的偏差平方和S e 中，从而得到新的误差偏差平方和S ∆e ，相应的自由度也并入f e 中，从而得到f ∆e ，然后用

] [ ），（或～）

（或交因交因∆∆

=e e

f f f F V V V F α (8-10) 其中，校正后的误差方差为

∆∆

∆=e

e e

f S V

对其他因素或交互作用进行检验，这样使自由度f e 扩大到f ∆

e ， 故可以提高F 检验的灵敏度.

三、最优条件的确定

根据显著性检验结果，可以确定各因素对试验指标影响的主次顺序(通常根据F 的大小判断)，对于显著性因素，若不考虑交互作用或交互作用不显著，则可通过比较该因素各水平对应的数据和(K ij )的大小，确定最优水平，各因素的优水平组合即为该试验的最佳水平组合，即最优条件；对于交互作用显著的某二个因素，必须先通过比较这二个因素各水平组合下试验数据之和的大小(即相当于极差分析中的二元表或搭配表)，然后再确定其最佳水平组合.

最后，在最优工艺条件下进行验证实验。

8.2 不考虑交互作用的等水平正交试验方差分析

8.2.1 二水平正交试验的方差分析（因学时有限，不讲解！只讲解三水平情况，因为三水平会，二水平自然就会！）

例8-1在双歧杆菌酸奶研制中，为选择最佳发酵条件，用L8(27)正交表安排了正交试验，试验因素与水平表见表8-4，试验方案及结果见表8-5。试对试验结果进行方差分析。

表8-4 试验因素水平表

∵是六因素二水平试验，且不考虑交互作用，∴用L8(27)最好！

表8-5 试验方案及结果分析

一、计算

1、计算各列各水平的K ij 值（K 1j 和K 2j ）

各列各水平的试验数据（即指标值）之和K 1j 、K 2j 以及（K 1j -K 2j ）

的值，填入表8-5中, 如

K 1c =7.580+2.477+6.602+2.000=18.659

K 2c =2.699+7.568+2.477+7.531=20.275 2、计算各列的偏差平方和S j 及其自由度f j

由式（8-5）知，S j =n 1 (K 1j -K 2j )2

S A =S 1=81

×1.7142=0.367

S B =S 2=81

×1.1962=0.179

S C =S 3=81

×(-1.616)2=0.326

S e =S 4=8

1

×(-0.218)2=0.00594

…… f j =m-1=2-1=1 f T =n-1=8-1=7 f e =∑空

k f j =f 4=1

将求得的S j 值也填入表8-5中。为了判断是否计算有误，进行以

下验算： ① S T 的验算 T=∑=8

1

i i x =38.934，CT=n T 2 =81

×38.9342=189.482

Q T =∑=8

1

2i i x =57.456+6.136+……+4.000=238.589

S T =Q T -CT=238.589-189.482=49.107

另外 S T =∑=k

j j S 1

=S A +S B ……+S e

=0.367+0.179+…+0.00594=49.107

② f T 的验算

f T =∑=k

j j f 1 =f A +f B +……+f e =1+1+……+1=7

另外 f T =n-1=8-1=7 ∴S T 和f T 均计算无误。 3、计算方差

V A =S A /f A =0.367/1=0.367 V B =S B /f B =0.179/1=0.179

……

V e =S e /f e =0.00594/1=0.00594

注意：

∵ f e =1＜2， F 检验的灵敏度低！

∴ 需要校正f e --→ f ∆

e 、S e --→S ∆e 、V e --→V ∆e

二、显著性检验

根据上述计算结果，进行显著性检验，列出方差分析表，如表8-6所示.

∵ V E =0.0125最小， V E /V e =0.0125/0.00594=2.10

∴因素E 对试验指标的影响可忽略，故将其偏差平方和S E 并入误差平方和S e 中，即

S∆

e =S e+S E=0.00594+0.0125=0.01844，f∆

e

=f e+f E=1+1=2

V∆

e =S∆

e

/f∆

e

=0.01844/2=0.00922

1.计算F j

F A=V A/V∆

e

=0.367/0.00922=39.8，

F B=V B/V∆

e

=0.179/0.00922=19.4

F C=V C/V∆

e

=0.326/0.00922=35.4，

F D=V D/V∆

e

=0.0588/0.00922=6.38

F F=V F/V∆

e

=48.157/0.00922=5223.1

2. 查Fα

Fα(f，f∆

e

)= Fα(1，2)

当α=0.05时，查F分布表(p324)得F0.05(1，2)=18.51 当α=0.01时，查F分布表(p326)得F0.01(1，2)=98.50 3. 显著性检验

∵ F F＞F0.01（1，2）

∴ F因素高度显著（用**表示）；

又∵ F0.05(1，2)＜F A＜F0.01(1，2)，

F0.05(1，2)＜F B＜F0.01(1，2)，

F0.05(1，2)＜F C＜F0.01(1，2)，

∴因素A、B、C均为显著(用*表示)；

又∵ F D＜ F0.05(1，2)，

∴ D因素不显著(不用记号表示).

由 F值大小可知，各因素对试验指标影响的主次顺序为:

F A C B D E

4.列出方差分析表

表8-6 方差分析表

三、最佳条件的确定.

本例中，指标值越大越好，由K1j和K2j的大小，按各因素的主次顺序选优水平如下：F 选F1 ，A 选A1，C 选C2，B 选B1.对于不显著因素D 和E，可视具体情况而定，D 选D2(即不充气)为好，E选E1(10%)可降低成本。所以，最优工艺条件为A1 B1 C2 D2 E1 F1 (或 A1 B1 C2 E1 F1)，即……

最后，在最优工艺条件下进行验证实验。

8.2.2 三水平正交试验的方差分析（重点讲解！三水平掌握了，二水平自然就会！）

例8-2自溶酵母提取物是一种多用途食品配料。为探讨外加中性蛋白酶方法中啤酒酵母的最适合自溶条件，安排了三因素三水平试验。

试验指标是自溶液中蛋白质含量（％）。试验因素水平表见表8-7，试验方案及试验结果见表8-8。试对试验结果进行方差分析。

表8-7 因素水平表

本例是三因素三水平试验(见表8-7)，且不考虑因素间的交互作用，所以用L9(3 4)正交表安排试验最合适.试验方案和试验结果分析见表8-8.

表8-8 试验方案及结果分析

一、 计算

1. 计算各列各水平的K ij 值(K 1j 、K 2j 和K 3j )

各列各水平对应的试验指标之和K 1j 、K 1j 和K 1j 及其平方K 21j 、K 22j 和

K 2

3j

，列于表8-8中。 例如：

K 1C =6.25+5.50+10.9=22.65， K 1C 2=22.652=513.02 K 2C =4.97+7.53+8.95=21.45， K 2C 2=21.452=460.10 K 3C =4.54+5.54+11.4=21.48， K 3C 2=21.482=461.39 2. 计算各列的偏差平方和S j 及其自由度f j

根据式(8-4)可知， S j =

r

1

∑=m

i ij

K

1

2-CT ， r=n/m=9/3=3

CT=T 2/n=65.582/9=477.86

S A =S 1=(K 2

11+ K 221+ K 231)/r-CT

=(248.38+344.84+976.56)/3-477.84=45.4 同理可知，S B =S 2=6.49， S C =S 3=0.31，S e =S 4=0.83 ∵f j =m-1， ∴f A =f B =f C =f e =3-1=2 验算:

1. Q T =∑=n

i i x 12=6.252+4.972+……+8.952=530.89

S T = Q T -CT=530.89-477.86=53.03 另外， S T =∑=k

j j S 1 =S A + S B + S C + S e

=45.4+6.49+0.31+0.83=53.03

f T =n-1=9-1=8

另外， f T =∑=k

j j f 1 =f A +f B + f C +f e =2×4=8

∴计算正确无误。 3. 计算方差

V A = S A /f A =45.4/2=22.7， V B = S B /f B =6.49/2=3.25，

V C = S C /f C =0.31/2=0.155， V e = S e /f e =0.83/2=0.415，

∵ V C ＜2 V e

∴ 因素C 的偏差平方和S C 是由于随机误差引起的，说明因素C 对试验结果的影响可忽略，故将S C 并入S e 中，得 S e △=S e +S c =0.83+0.31=1.14 f e △=f e +f c =2+2=4， V e △= S e △/f e △=1.14/4=0.285

二、显著性检验 1．计算F j

==∆e A A V V F / 22.7/0.285=79.6

==∆e B B V V F / 3.25/0.285=11.4

2．查F α

当α=0.05时，查F分布表得Fα(f因，f

)=F0.05(2，4)=6.94

e

当α=0.01时，同理查得F0.01(2，4)=18.00.

3.显著性检验

∵F A＞F0.01；∴因素A高度显著，用**表示之。

又∵F0.05＜F B＜F0.01；∴因素B显著，用*表示之。

当然，因素C是不显著的。

因素作用的主次顺序为：A B C

4．方差分析表

表8-9 方差分析表

三、最优工艺条件

本例试验的指标值越大越好。对因素A和B，通过比较K ij可知，优水平为 A3和B1，对因素C，取C1有利于节省原料。故最优水平组合为A3B1C1，即……

最后，在最优工艺条件下进行验证实验。

因为因素 C对试验指标几乎无影响，且因素C为加酶量，而酶的价格通常较高。所以最好在加酶量更低时，再次进行正交试验，以便确定最经济合理的加酶量。

8.3 考虑交互作用的正交试验设计的方差分析

8.3.1 考虑交互作用的二水平正交试验的方差分析（重点讲解！二水平掌握了，三水平自然也会！）

如前所述，因素间的交互作用在多因素试验设计中是经常碰到的，在一般试验中，在采取一些措施后，多数交互作用可略去。但为了使试验做得更精确，表头设计得更合理，收到更好的效果，在正交试验设计的方差分析中也要考虑因素间的交互作用。现在实例说明之。

例8-3 试对例7-4（p150～154）的试验结果进行方差分析。

表8-10 试验方案及结果分析

一、计算

书上为了便于计算，将试验数据x 。放大10倍，即令x i `=10x i ，变换后的数据如表8-10所示。（这种变换实际上是没有必要的，因为大家现在都用计算器或是计算机进行计算，而不是用对数计算尺进行计算！）

1.计算各列各水平的K ij 值（K 1j ，K 2j ）

各列各水平对应的试验数据之和 K 1j 和K 2j ，以及（K 1j -K 2j ）列于表8-10中

2.计算各列的偏差平方和（S j ）和自由度（f j ） 对于二水平正交试验，由式（8-5）可知

S j =Q j -CT=

r

1∑=m

i ij

K 1

2

-n T 2

或S j =n

1(K 1j -K 2j )2 ,

r=n/m=8/2=4,

S A =S 1==-

+8

21.20)31.109.9(4122

20.021； 同理 S B =S 2=0.235； S A ×B =S 3=0.00551 S C =S 4=0.00781 S A ×C =S 5=0.00911， S B ×C =S 6=0.000113， S e =S 7=0.00361 f j =m-1=2-1=1 即f A =f B =f A ×B =f C =f A ×C =f B ×C =f e =2-1=1 验算： ① S T 的验算

CT=n T 2=8

1

×20.212=51.056

Q T =∑=8

1

2i i x =2.422+2.242+…+2.762=51.337

S T =Q T -CT=51.337-51.056=0.281

另外S T =∑=7

1j j S =0.021+0.235+…+0.00361=0.281

② f T 的验算 f T =n-1=8-1=7

另外f T =∑f j =7×1=7 ∴计算无误。 3．计算方差

V A =S A /f A =0.021/1=0.021， V B =S B /f B =0.235/1=0.235，

V A ×B =S A ×B /f A ×B =0.00551/1=0.00551， V C =S C /f C =0.00781， V A ×C =S A ×B /f A ×C =0.00911， V B ×C =S B ×C /f B ×C =0.00013， V e =S e /f e =0.00361，

f e =1＜2，F 检验的灵敏度低！ V A ×B /V e =0.00551/0.00361=1.53， V C /V e =0.00781/0.00361=2.16 V A ×C /V e =0.00911/0.00361=2.52， V B ×C /V e =0.000113/0.000361=0.0313 ∵V A ×B ＜2V e ， V B ×C ＜2V e

∴交互作用A ×B 和B ×C 对试验指标的影响可以忽略， S A ×B 和S B ×C 主要是由于随机误差而引起的。因此，将S A ×B 和S B ×C 并入S e 中，得