析因实验的方差分析-正交试验
正交试验方差解析总结报告通俗易懂
适用标准文案第十一章正交设计试验资料的方差剖析在实质工作中，经常需要同时观察3个或3个以上的试验要素，假设进行全面试验，那么试验的规模将很大，常常因试验条件的限制而难于实行。
正交设计是安排多要素试验、追求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。
第一节、正交设计原理和方法(一)正交设计的根本观点正交设计是利用正交表来安排多要素试验、剖析试验结果的一种设计方法。
它从多要素试验的所有水平组合中精选局部有代表性的水平组合进行试验，经过对这局部试验结果的剖析认识全面试验的状况，找出最优水平组合。
比方，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响：A要素是氮肥施用量，设A1、A2、A33个水平；B要素是磷肥施用量，设B1、B2、B33个水平；C要素是钾肥施用量，设C1、C2、C33个水平。
这是一个3要素每个要素3水平的试验，各要素的水平之间所有可能的组合有27种。
假设进行全面试验，能够剖析各要素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。
但全面试验包含的水平组合数许多，工作量大，因为受试验场所、经费等限制而难于实行。
假设试验的主要目的是追求最优水平组合，那么可利用正交设计来安排试验。
正交设计的根本特色是：用局部试验来取代全面试验，经过对局部试验结果的剖析，认识全面试验的状况。
正交试验是用局部试验来取代全面试验，它不行能像全面试验那样对各要素效应、交互作用一一剖析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混淆。
如关于上述3要素每个要素3水平试验，假设不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反响试验方案包含27个水平组合的全面试验的状况，找出最正确的生产条件。
一、正交设计的基来源理表11-133试验的全面试验方案出色文档适用标准文案正交设计就是从全面试验点〔水平组合〕中精选出有代表性的局部试验点〔水平组合〕来进行试验。
图1中标有‘9’个试验点，就是利用正交表L9(34)从27个试验点中精选出来的个试验点。
正交试验方差分析(通俗易懂)
正交试验方差分析(通俗易懂)第十一章正交设计试验资料的方差分析在实际工作中，常常需要同时考察 3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。
正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。
第一节、正交设计原理和方法(一) 正交设计的基本概念正交设计是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。
它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。
例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响:A因素是氮肥施用量，设A、A、A 3个水平 ; 123B因素是磷肥施用量，设B、B、B 3个水平 ; 123C因素是钾肥施用量，设C、C、C 3个水平。
123这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。
如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。
但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。
如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。
正交设计的基本特点是:用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。
正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析;当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。
4如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L(3)安排，试9验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。
一、正交设计的基本原理3表11-1 3试验的全面试验方案正交设计就是从全面试验点(水平组合)中挑选出有代表性的部分试验点(水平组合)4来进行试验。
图1中标有…9 ?个试验点，就是利用正交表L(3)从27个试验点中挑选出来的99个试验点。
正交试验的方差分析法
C×D
B×D A×D
A
B A×B C A×C D A×D
C×D
B×D
B×C
A
B A×B C A×C D
E
D×E C×D C×E B×D B×E A×E A×B
B×C
(四) 列出试验方案
把正交表中安排原因旳各列(不包括欲考 察旳交互作用列)中旳每个数字依次换成该原 因旳实际水平，就得到一种正交试验方案。
上一张 下一张 主 页 退 出
此例不考察交互作用，可将品种(A)、 密度(B)和施氮量 (C)依次安排在L9(34)旳第1、 2、3列上，第4 列 为空列，见表2-4。
表11-4 表头设计
列号 1 2 3 4 因素 A B C 空
原因 数 2 3
4
L9（34）表头设计
列
号
1
2
3
4
A A B×C1
C 3 1(3) 2(5) 3(8) 2(5) 3(8) 1(3) 3(8) 1(3) 2(5)
上一张 下一张 主 页 退 出
第二节 正交试验资料旳方差分析
若各号试验处理都只有一种观察值，则称 之为单个观察值正交试验；
若各号试验处理都有两个或两个以上观察 值，则称之为有反复观察值正交试验。
上一张 下一张 主 页 退 出
A原因是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平 ； B原因是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平 ； C原因是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。 这是一种3原因每个原因3水平旳试验 ，各原因旳 水平之间全部可能旳组合有27种。
上一张 下一张 主 页 退 出
假如进行全方面试验 ，能够分析各原因 旳效应 ，交互作用，也可选出最优水平组合。
方差分析析因、正交、重复测量
23
（一）正交试验设计基本方法
1、正交表——是正交设计的核心，是试验设计中合理安
排试验并进行统计分析的主要工具。
常用的正交表：L4(23)， L8(27)，L9(34)， L8(41×24)，等。
L8(27)正交表
列
号
试验号 1 2 3 4 5 6 7
表 5.22 L4(23)交互作用表
列
号
列号
1
2
3
1
3
2
2
1
表 5.21 L4(23)正交表
列号
试验号
1
2
3
1
1
1
1
2
1
2
2
3
2
1
2
4
2
2
1
27
表 5.23 L8(27)交互作用表
列
号
列号 1
2
3
4
5
6
7
1
325476
2
16745
3
7654
4
123
5
32
6
1
L8(27)正交表
列
号
试验号 1 2 3 4 5 6 7
11
4. 交互效应（interaction)： 因素之间联合对观察指标产生的影响。当某
因素的各单独效应随另一因素变化而变化时，则 称这两个因素间存在交互效应。
12
4. 交互效应（interaction)：
因素之间联合对观察指标产生的影响。当某因素的各
单独效应随另一因素变化而变化时，则称这两个因素间存
正交试验方差分析(通俗易懂)
第十一章正交设计试验资料的方差分析在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。
正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。
第一节、正交设计原理和方法(一) 正交设计的基本概念正交设计是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。
它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。
例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响：A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平；B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平；C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。
这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。
如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。
但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。
如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。
正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。
正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。
如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。
一、正交设计的基本原理表11-1 33试验的全面试验方案正交设计就是从全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。
图1中标有‘9 ’个试验点，就是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。
即：(1)A1B1C1(2)A1B2C2(3)A1B3C3(4)A2B1C2(5)A2B2C3 (6)A2B3C1(7)A3B1C3(8)A3B2C1(9)A3B3C2上述选择，保证了A因素的每个水平与B因素、C 因素的各个水平在试验中各搭配一次。
正交试验方差分析(通俗易懂)
第十一章正交设计试验资料的方差分析在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。
正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。
第一节、正交设计原理和方法(一) 正交设计的基本概念正交设计是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。
它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。
例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响：A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平；B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平；C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。
这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。
如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。
但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。
如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。
正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。
正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。
如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。
一、正交设计的基本原理表11-1 33试验的全面试验方案正交设计就是从全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。
图1中标有‘9 ’个试验点，就是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。
即：(1)A1B1C1(2)A1B2C2(3)A1B3C3(4)A2B1C2(5)A2B2C3 (6)A2B3C1(7)A3B1C3(8)A3B2C1(9)A3B3C2上述选择，保证了A因素的每个水平与B因素、C 因素的各个水平在试验中各搭配一次。
正交试验的方差分析
x 1 4
20 K 1
5 l 1
xkl
1 4
4 K 1
xk
4.2
• 依次求出Q、f、S2、F,与F表比较 2 Q1=10 (xi1 x )2 i 1 =10×[(3.65-4.2)2+(4.75-4.2)2]=6.05
• 其余Qj （j=2,3）同理可求
45
Qr
(xkl xk )2
产率
产率
﹪
-55
xK
50
-5
59
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
56
1
58
3*
55
0
58
3
47
-8
52
-3
x = -5/8
(1)方差分析 • 依次求出Q、f、S2、F，与F表比较
第1列差方和：
2
Q1=4 (xi1 x )2 i 1 = 4{[3/4-(-5/8)]2+[(-2)-(-5/8)]2} = 121/8
• 其余Qj（j=2…7）同理可求
9-3-2 关于Qr的计算 一 表头留出空白列
其它的列若与空白列的Q值相近，加起来共同作 为Qr的估计值，可以提高方差分析检验的灵敏度(自 由度增大了)
二 无空白列
1 根据以往资料
若已知 2 ，可认为fr=∞，此时
F
Q因子 / f因子
2
，查表 Fα (f因子,∞)
2 选更大的正交表，从而留出空白列
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
3
2
-12
-12
-4
-5
正交试验方差分析(通俗易懂)
第十一章正交设计试验资料的方差分析之袁州冬雪创作在实际工作中，常常需要同时考查 3个或3个以上的试验因素，若停止全口试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施.正交设计是安插多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法.第一节、正交设计原理和方法(一) 正交设计的基本概念正交设计是操纵正交表来安插多因素试验、分析试验成果的一种设计方法.它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合停止试验，通过对这部分试验成果的分析懂得全口试验的情况，找出最优水平组合.例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响：A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平；B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平；C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平.这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可以的组合有27种.如果停止全口试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合.但全口试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施 .如果试验的主要目标是寻求最优水平组合，则可操纵正交设计来安插试验.正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全口试验，通过对部分试验成果的分析，懂得全口试验的情况.正交试验是用部分试验来代替全口试验，它不成能像全口试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可以出现交互作用的混杂.如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不思索交互作用，可操纵正交表L9(34)安插，试验方案仅包含9个水平组合，就可以反映试验方案包含27个水平组合的全口试验的情况，找出最佳的生产条件.一、正交设计的基来历根基理表11-1 33试验的全口试验方案正交设计就是从全口试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来停止试验.图1中标有‘9 ’个试验点，就是操纵正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点.即：(1)A1B1C1 (2)A1B2C2 (3)A1B3C3(4)A2B1C2 (5)A2B2C3 (6)A2B3C1(7)A3B1C3 (8)A3B2C1 (9)A3B3C2上述选择，包管了A因素的每个水平与B因素、 C 因素的各个水平在试验中各搭配一次.从图1中可以看到，9个试验点分布是平衡的，在立方体的每个平面上有且唯一3个试验点；每两个平面的交线上有且唯一1个试验点.9个试验点平衡地分布于整个立方体内，有很强的代表性，可以比较全面地反映全口试验的基本情况.二、正交表及其特性(一) 正交表表 11-2 是L8(27)正交表，其中“L”代表正交表；L 右下角的数字“8”暗示有8行，用这张正交表安插试验包含8个处理 (水平组合) ；括号内的底数“2” 暗示因素的水平数，括号内 2的指数“7”暗示有7列，用这张正交表最多可以安插7个2水平因素.表11-2 L8(27)正交表2水平正交表还有L4(23)、L16(215)等；3水平正交表有L9(34)、L27(313) 、…、等.(二) 正交表的特性1、任一列中，分歧数字出现的次数相同例如L8(27)中分歧数字只有1和2，它们各出现4次；L9(34)中分歧数字有1、2和3，它们各出现3次 .2、任两列中，同一横行所组成的数字对出现的次数相同例如 L8(27)的任两列中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各出现两次；L9(34)任两列中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出现1次.即每个因素的一个水平与另外一因素的各个水平互碰次数相等，标明任意两列各个数字之间的搭配是平均的.用正交表安插的试验，具有平衡分散和整齐可比的特点.平衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素水平组合在全部水平组合中的分布是平衡的.由图11-1可以看出，在立方体中，任一平面内都包含 3 个试验点，任两平面的交线上都包含1个试验点.整齐可比是指每个因素的各水平间具有可比性.因为正交表中每因素的任一水平下都平衡地包含着别的因素的各个水平，当比较某因素分歧水平时，其它因素的效应都彼此抵消.如在A、B、C 3个因素中，A因素的 3 个水平 A1、A2、A3条件下各有 B、C 的 3 个分歧水平，即：在这9个水平组合中，A因素各水平下包含了B、C因素的3个水平，虽然搭配方式分歧，但B、C皆处于同等地位，当比较A因素分歧水平时，B因素分歧水平的效应相互抵消，C因素分歧水平的效应也相互抵消.所以A因素3个水平间具有可比性.同样，B、C因素3个水平间亦具有可比性.(三) 正交表的种别1、相同水平正交表各列中出现的最大数字相同的正交表称为相同水平正交表.L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大数字为2，称为两水平正交表；L9(34)、L27(313)等各列中最大数字为3，称为3水平正交表.2、混合水平正交表各列中出现的最大数字不完全相同的正交表称为混合水平正交表.L8(41×24)表中有一列最大数字为4，有4列最大数字为2. 也就是说该表可以安插1个4水平因素和4个2水平因素.L16(44×23)，L16(4×212)等都混合水平正交表.三、正交设计方法【例11·1】某水稻栽培试验选择了3个水稻优良品种(A)：二九矮、高二矮、窄叶青， 3种密度(B)： 15、20、25（万苗/666.7m2）；3种施氮量(C)：3、5、8（kg/666.7m2），试采取正交设计安插一个试验方案. (一) 确定试验因素及其水平, 列出因素水平表表11-3 因素水平表(二) 选用合适的正交表根据因素、水平及需要考查的交互作用的多少来选择合适的正交表.选用正交表的原则是：既要能安插下试验的全部因素(包含需要考查的交互作用)，又要使部分水平组合数（处理数）尽量地少.一般情况下，试验因素的水平数应恰好等于正交表记号中括号内的底数；因素的个数（包含需要考查交互作用）应不大于正交表记号中括号内的指数；各因素及交互作用的自由度之和要小于所选正交表的总自由度，以便估计试验误差.若各因素及交互作用的自由度之和等于所选正交表总自由度，则可采取有重复正交试验来估计试验误差.此例有3个3水平因素，若不考查交互作用，则各因素自由度之和为因素个数× (水平数-1) = 3 × (3-1) =6，小于L9(34)总自由度 9-1=8，故可以选用L9(34)；若要考查交互作用，则应选用L27(313)，此时所安插的试验方案实际上是全口试验方案.(三) 表头设计表头设计就是把挑选出的因素和要考查的交互作用分别排入正交表的表头适当的列上.在不考查交互作用时，各因素可随机安插在各列上；若考查交互作用，就应按该正交表的交互作用列表安插各因素与交互作用.此例不考查交互作用，可将品种(A)、密度(B)和施氮量 (C)依次安插在L9(34)的第1、2、3列上，第4 列为空列，见表2-4.表11-4 表头设计L9（34）表头设计L8(27) 表头设计(四) 列出试验方案把正交表中安插因素的各列(不包含欲考查的交互作用列)中的每个数字依次换成该因素的实际水平，就得到一个正交试验方案.表11-5 正交试验方案第二节正交试验资料的方差分析若各号试验处理都只有一个观测值，则称之为单个观测值正交试验；若各号试验处理都有两个或两个以上观测值，则称之为有重复观测值正交试验.一、单个观测值正交试验资料的方差分析对【例11-1】用L9(34)安插试验方案后，各号试验只停止一次，试验成果列于表2-6.试对其停止方差分析.表11-6 正交试验成果计算表T i为各因素同一水平试验指标之和，T为9个试验号的试验指标之和；x为各因素同一水平试验指标的平均数.该试验的9个观测值总变异由A因素、B因素、C因素及误差变异4部分组成，因而停止方差分析时平方和与自由度的分解式为：SS T = SS A + SS B + SS C+SSedf T = df A + df B + df C + dfe用n暗示试验(处理)数；a、b、c暗示A、B、C因素的水平数；k a、k b、k c暗示A、B、C因素的各水平重复数.本例，n=9、a=b=c=3、k a=k b=k c=3.1、计算各项平方和与自由度改正数C = T2/n = 37112/9 = 1530169.00总平方和SST =Σx2-C=22+ (2)=21238.00A因素平方和SS A=Σ2T/k a-CA=222B因素平方和SS B= Σ2T/k b-CB222C因素平方和SS C=Σ2T/k c-CC222=5492.17误差平方和SS e=SS T-SS A-SS B-SS C==3062.16总自由度df T=n-1=9-1=8A因素自由度df A=a-1=3-1=2B因素自由度df B=b-1=3-1=2C因素自由度df C=c-1=3-1=2误差自由度df e= df T-df A-df B-df C= 8-2-2-2 = 22、列出方差分析表，停止F检验表11-7方差分析表F 检验成果标明，三个因素对产量的影响都不显著.究其原因可以是本例试验误差大且误差自由度小(仅为2)，使检验的活络度低，从而掩盖了考查因素的显著性.由于各因素对增重影响都不显著，不必再停止各因素水平间的多重比较.此时，可从表11-6中选择平均数大的水平A2、B3、C3组合成最优水平组合 A2B3C3.若F检验成果3个因素对试验指标的影响显著或极显著，停止各因素水平间多重比较常采取SSR法.本例是选用相同水平正交表 L9(34)安插的试验，A、B、C 因素各水平重复数相同，即k a=k b=k c=3，它们的尺度误相同，即单个观测值正交试验资料的方差分析，其误差是由“空列”来估计的.然而“空列”其实不空，实际上是被未考查的交互作用所占据.这种误差既包含试验误差，也包含交互作用，称为模子误差.若交互作用不存在，用模子误差估计试验误差是可行的；若因素间存在交互作用，则模子误差会夸张试验误差，有可以掩盖考查因素的显著性.试验误差应通过重复试验值来估计.所以，停止正交试验最好能有二次以上的重复.正交试验的重复，可采取完全随机或随机区组设计.二、有重复观测值正交试验资料的方差分析【例11·4】为了探讨花生锈病药剂防治效果的好坏，停止了药剂种类（A）、浓度（B）、剂量（C）3因素试验，各有3个水平，选用正交表L9(342)见表11—10，对试验成果停止方差分析.用r暗示试验处理的重复数(区组数)；n，a、b、c，k a、k b、k c的意义同上.此例 r=2； n=9， a=b=c=3， k a=k b=k c=3.表11-10 防治花生锈病药剂种类、浓度、剂量正交试验方案及成果计算表T i为各因素同一水平试验指标之和，T为9个试验号的试验指标之和；x为各因素同一水平试验指标的平均数.对于有重复、且重复采取随机区组设计的正交试验，总变异可以划分为处理间、区组间和误差变异三部分，而处理间变异可进一步划分为A因素、B因素、C因素与模子误差变异四部分.此时，平方和与自由度分解式为：SS T=SS t+SSr+SS e2df T = df t + df r + df e2而SS t=SS A+SSB+SS C+SS e1df t = df A + df B + df C + df e1于是SS T= SS A+SS B+SS C+SS r+SS e1+ SS e2df T = df A + df B + df C + df r + df e1 + df e2其中：SS r为区组间平方和；SS e1为模子误差平方和；SS e2为试验误差平方和；SS t为处理间平方和； df r、df e1、df e2、df t 为相应自由度.注意，对于重复采取完全随机设计的正交试验，在平方和与自由度划分式中无 SS r、df r项.1、计算各项平方和与自由度改正数C =T2/ r n =2/（2×总平方和SS T=Σx2-C=22+ (2)区组间平方和SS r=ΣT2r /n-C=22处理间平方和SS t = ΣT2t / r - C22+ (2)A因素平方和SS A = ΣT2A / k a r - C= 222)/(3×=B因素平方和SS B=ΣT2B / k b r - C222)/(3×=45.24C因素平方和SS C= ΣT2C / k c r - C=222)/(3×2) -16744.50=78.77模子误差平方和SS e1= SS t– SS A– SS B - SS C=245.96- 25.72- 45.24.- 78.77= 96.23试验误差平方和SS e2=SS T– SS r - SS t=246.62- 0.22- 245.96= 0.44总自由度 df T=rn-1=2×9-1=17区组自由度df r=r-1=2-1=1处理自由度df t=n-1=9-1=8A因素自由度df A=a-1=3-1=2B因素自由度df B=b-1=3-1=2C因素自由度df C=c-1=3-1=2模子误差自由度 df e1 = df t-df A-df B-df C= 8-2-2-2= 2试验误差自由度df e2=df T-df r-df t=17-1-8 = 82、列出方差分析表，停止F检验表11-10 有重复观测值正交试验资料的方差分析表首先检验MS e1与MS e2差别的显著性，若经F检验不显著，则可将其平方和与自由度分别合并，计算出合并的误差均方，停止F检验与多重比较，以提高分析的精度；若F 检验显著，说明存在交互作用，二者不克不及合并，此时只能以MS e2停止F检验与多重比较.本例MS e1 / MS e2=802.00** ，模子误差均方MS e1与试验误差均方MS e2 差别极显著，说明试验因素间交互作用极显著，只能以试验误差均方MS e2停止F检验与多重比较.F检验成果标明，药剂种类（A）、浓度（B）、剂量（C）3 因素对花生产量都有极显著影响；区组间差别不显著.3、多重比较(1) 若模子误差显著，说明试验因素间存在交互作用，各因素所在列有可以出现交互作用的混杂，此时各试验因素水平间的差别已不克不及真正反映因素的主效，因而停止各因素水平间的多重比较无多大实际意义，但应停止试验处理间的多重比较，以寻求最处理，即最优水平组合.停止各试验处理间多重比较时选用试验误差均方MS e2.模子误差显著，还应进一步试验，以分析因素间的交互作用.(2) 若模子误差不显著，说明试验因素间交互作用不显著，各因素所在列有可以未出现交互作用的混杂，此时各因素水平间的差别能真正反映因素的主效，因而停止各因素水平间的多重比较有实际意义，并从各因素水平间的多重比较中选出各因素的最优水平相组合，得到最优水平组合.停止各因素水平间的多重比较时，用合并的误差均方MSe=（SS e1+ SS e2）/（df e1+ df e2）此时可不停止试验处理间的多重比较.本例模子误差极显著，说明因素间存在交互作用，不必停止各因素水平间的多重比较，应停止试验处理间的多重比较，以寻求最处理，即最优水平组合.为了让读者懂得多重比较的方法，下面仍对各因素水平间、各试验处理间停止多重比较.（1）A、B、C因素各水平平均数的多重比较表11-12 A因素各水平平均数的多重比较表(SSR法)表11-13 B因素各水平平均数的多重比较表(SSR法)表11-14 C因素各水平平均数的多重比较表(SSR法)因为由df e=8和k=2, 3, 查得SSR值并计算出LSR值列于表11-15.表11-15 SSR值与LSR值表多重比较成果标明：A因素各水平平均产量间、B因素各水平平均产量间、C因素各水平平均产量间差别显著或极显著.各因素的最优水平为A1、B1、C2.注意，本例模子误差显著，试验因素间存在交互作用，不宜从各因素水平间的多重比较中选出各因素的最优水平相组合来得到最优水平组合.（2）各试验处理平均数间的多重比较表11-16 各试验处理平均数多重比较表(LSD法)因为由df e=8, 查得t0.05(8)=2.306，t0.01(8)=3.355，计算出LSD值为：LSD0.05=××0.245=0.565LSD0.01=××0.245=0.822各试验处理间平均数多重比较成果，除第2号试验处理与第7号试验处理、第3号试验处理与第 6 号试验处理平均产量差别不显著外，其余各试验处理平均产量间差别极显著或显著，最优水平组合为第 2 号试验处理A1B2C2（或第7号试验处理A3B1C3）本例模子误差显著，试验因素间存在交互作用，应以试验处理间的多重比较寻求的最优水平组合，即第2号试验处理 A1B2C2（或第7号试验处理 A3B1C3）为该试验的最优水平组合.。
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析因实验的方差分析
主效应、交互效应都是影响观察值的原因，即引起变异的原因，统称为变因。
凡是能够研究全部变因效应的多因素试验设计，均称为析因试验设计。
第一节正交试验的统计分析
一、正交表及其表头
正交试验：正交试验就是用正交表来安排和设计试验。
正交表及其表头设计举例：
表1
()4
9
3
L正交表
表2 ()493L 表头设计
L 表示正交表，9表示这张表有9行即9个处理，4表示正交表有4列，最多可以安排4个因素，3表示参试因素皆3水平，与此相呼应的是每列皆有1、2、3三个数码，表示列因素的三个水平，如表2所示表头设计，第一列安排A ，则第一列的1、2、3分别表示A1、A2、A3；第二列安排B ，则第二列的1、2、3、分别表示B1、B2、B3……，第四列安排因素D ，则第四列的1、2、3分别表示D1、D2、D3。
常用的正交表有：()()()()()()374155134891616272,2,3,2,43L L L L L L
二、正交试验举例 正交试验1
影响洗涤细胞转化生成共轭亚油酸（CLA ）的因素很多。
为了研究亚油酸（LA ）浓度、洗涤细胞浓度和反应温度对实验结果的影响，设计了以下正交试验。
选取正交表L 9(34)， 考察的指标为反应液中共轭亚油酸的生成量，其试验因素水平表及试验结果如下，请进行统计分析。
表1 试验因素水平表
表2 正交试验方案及结果
（1）直观分析
该例方差分析线性模型为：
ijk i j k ijk x m a b q e =++++，
,i j k a b q 和分别为Ai 、Bj 和Ck 的主效应，ijk e 相互独立且均服从
()20,N s 。
从极差可以看出：各因素对指标影响的顺序为C>A>B ，从平均值看A 以A2为好，B 以B2为好，C 以C2为好，因此综合起来，A2B2C2的组合为最好，但这个处理未做试验，故还需作必要的验证工作。
（2）方差分析
由上述线性模型可得如下参数估计：
总平均： ...
...ˆ9
T x m == Ai 的平均：.........ˆ,3i i i i T x a x x ==-
Bj 的平均：.........ˆ
,3j j j j T x x x b ==- Ck 的平均：.........ˆ
,3
k k k k T x x x q ==- 由于各因素的..i T ，..j T
和
..k T 均用K1，K2，和K3表示，..i x ，
..j x ，..k x 均用k1, k2, k3 表示，故：
总平方和用下式计算： SS T =∑∑∑x 2ijk -C, C=T 2…/9 A,B,C 的平方和用下式计算： SS=1/3(K 12+K 22+K 32)-C
第四列未安排试验因素，也可用上面公式计算SS 空，作为误差项用。
计算得：C=282.77 SS T =11.53， SS A =3.64， SS B =3.55， SS C =4.40， SS e =0.18
其方差分析表如下：
分析结果表明，A ，B ，C 均显著，其中A 以A2好，B 以B2好，C 以C2好，因此综合起来，A2B2C2的组合为最好，但这个处理未做试验，故还需作必要的验证工作。