高中数学解题方法研究策略
数学题解题思路自我总结策略
数学题解题思路自我总结策略数学是高中阶段难点科目，根据本人三年学习经验总结：在学习数学过程中，学习基础理论知识后，要将相关知识应用在解题过程中。
训练解题能力，对持续练就数学逻辑思维能力及问题分析能力、问题解决能力均具有一定重要意义。
进入高中时期，若想切实增强数学解题能力，绝非采用“题海战术”就能取得预期效果的，而是要在解题过程中产生数学思想，发散数学思维，以此提高数学素养。
锻炼数学解题能力，对整个学习生涯中的数学知识学习均具有重大的价值。
一、调节头脑思绪，尽早进入数学情境在面对数学题时，需要扫出所有杂念，确保大脑进入空白且放松的状态。
设置数学情境，不断沉淀数学思维，以便能提前进入解题者的角色。
在解题过程中，要学会使用用具，避免进入解题误区，防止出现知识混淆的现象。
注重减缓压力，尤其在面对复杂的数学难题时，切记不可被“敌人”恐吓住，而要持续增加自己的信心，平稳且主动的应对数学难题。
二、集中自身精力，避免焦虑怯场问题若想成功解决数学习题，解题过程中一定要保持专注力，而且要保障自己的神经始终处于紧绷且亢奋的状态，这样才能加速神经联系，更有利于积极解题。
高度集中注意力，保持积极的思维。
然而，若过度紧张，很容易产生负面效果，出现怯场问题，焦虑现象较为普遍，会在一定程度上制约数学思维的发展。
所以，我们在解题的过程中，一定要保持清醒的头脑以及愉快的心理状态。
三、注重沉着应战，保持振奋解题精神优良的开端，是成功解题的一半，在解决数学习题的心理角度来看，这一点非常重要。
在面对数学习题时，不可急于求成，也不可立即下手解题，而是要通读习题题干，找寻高价值内容。
如果在面对一整套数学试卷时，拿到试卷后，需要摸清题情，先选择最有信心的题目进行解答，以保障自己在内心深处产生“旗开得胜”的心理意识。
只有产生良好的开端，才能持续宝保留振奋精神，更能鼓舞自己的信心，从而进入优良的解题思维状态，这样才能保证后期做一题得一题，不断激励自我，在稳步解题过程中提高解题质量。
高中数学“逆向思维”策略解题的一般规律研究
候 ，可 以选 择 逆 向思维 的策 略 ，从反 面考 虑 ，就会 得 到更捷 径 的解 前 言 在 高 中数 学 问题 的解 决和 处理 中 ，引 导学 生使 用逆 向思维 策 略 题 策 略 ，使 问题 的解 决是柳 暗 花 明。
一这里所说 的 “ 逆向思维 “ 指的 是与人们常规性 、习惯性思维相反 的一种思维模式 ，它是正向思维
３ ．正 面化归 不规 范 ，可考 虑选择逆 向思维 策略
当 出现正 面 化归 不规 范 ，不 易启 动思维 ，不 易使 问题 突 破 的时
序列 的倒 向思维 序列 ，它是发 散 思维 的一 个类 型 ，也是 培 养和 训练 候 ，特 别是 一些 含 有参 变量 的代 数 问题 ，有位 置变 化 的几何 问题 ， 学生 发 散思 维 的一种 较好 的形 式 。在 近几 年 的一线 教 学 中 ，笔 者越 从 正 面化 归不具 有某 种人 们 熟悉 的简 单可 行 的规 范程式 ，此 时可 考
如 果直 接正 面人 手 比较 困难 时 ，可 以直接 采用 逆 向思维 策略 ，采 用 当在 解决 一些 问题 的时候 ，常常会 出现 问题情 景较 多 ，单 纯从 反 证法 ，从 反 面推证 ，观效 正 面 ，得 出结 论 ，可 以说这 是突 破此 类 正 面解 题显 得无 从入 手 ，难 以找 到头 绪 ，这个 时候 可 以考 虑采 用逆 问题最 为行 之有 效 的办法 。
来越 深 切感 受到 ，在 数 学问题 解 决 和研究 中 ，对 于那 些从 正面 难 以 虑 “ 逆 向思维 ”的 策略 ，采 用角 色置 换法 ，通 过 主次变元 的对换 ， 解 决 的数 学 问题 ，拟采用 逆 向思 维策 略来 解决 就显 得是 易 如反 掌 ， 变 量 与常量 的对 换 ，动粹结 合转 换等 方法 ，迅 速获得 问题 的解 答 。
数学中的五大主要解题思路
数学中的五大主要解题思路数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
今天小编给大家讲讲数学中的五大主要解题思路，希望可以帮助到大家。
函数与方程思想函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系(或构造函数)运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题;方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程(方程组)或不等式模型(方程、不等式等)去解决问题。
利用转化思想我们还可进行函数与方程间的相互转化。
数形结合思想中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。
它既是寻找问题解决切入点的“法宝”，又是优化解题途径的“良方”，因此我们在解答数学题时，能画图的尽量画出图形，以利于正确地理解题意、快速地解决问题。
特殊与一般的思想用这种思想解选择题有时特别有效，这是因为一个命题在普遍意义上成立时，在其特殊情况下也必然成立，根据这一点，我们可以直接确定选择题中的正确选项。
不仅如此，用这种思想方法去探求主观题的求解策略，也同样精彩。
(某些选择题的最佳方法) 极限思想解题步骤极限思想解决问题的一般步骤为：(1)对于所求的未知量，先设法构思一个与它有关的变量;(2)确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;(3)构造函数(数列)并利用极限计算法则得出结果或利用图形的极限位置直接计算结果。
分类讨论思想我们常常会遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行下去，这是因为被研究的对象包含了多种情况，这就需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳得解，这就是分类讨论。
引起分类讨论的原因很多，数学概念本身具有多种情形，数学运算法则、某些定理、公式的限制，图形位置的不确定性，变化等均可能引起分类讨论。
在分类讨论解题时，要做到标准统一，不重不漏。
新高考数学多选题解题方法探究策略
新高考数学多选题解题方法探究策略【摘要】随着高考改革的推进，包括多选题、结构不良题型在内的更多新的题型出现在高考数学考卷中。
多选题具有更强的选拔功能，能有效提高试卷的区分度，在新高考全国卷的选择题中有一定比例。
本文将分析数学新高考中多选题的解法方法及命制策略。
【关键词】数学;新高考;多项选择题;解题方法;命制一、研究背景(一)高考引入多选题的改革背景十八届三中全会审议通过的《中共中央关于全面深化改革若干重大问题的决定》中提出:逐步推行普通高校基于统一高考和高中学业水平考试成绩的综合评价多元录取机制，探索全国统考减少科目、不分文理科、外语等科目社会化考试一年多考。
这一政策的提出开启了高考改革的征程，在新高考文理不分科的大背景下，对以往区分文理的数学科目提出了更高的选拔区分要求。
因此，新高考背景下的数学命题需要创新试题形式、优化试题结构以适应不分文理条件下的数学选拔功能。
(二)多选题的特点和功能多选题是对传统单选题的优化创新，在同样无需解题过程的前提下，每个多选题还具有比单选题更大的考查容量，更丰富的数学思想考查，需要更广的解题思路，综合性加强，难度增大，一道多选题就可以对学生进行层次的区分，具有更强的选拔功能，能有效提高试卷的区分度。
(三)多选题引入对学生的影响多选题的考试说明中明确提出“有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得3分”。
因此，多选题的引入，一方面，为不同层次数学基础的学生均提供了发挥空间，使能力较弱的考生也能通过“部分选对”得到3分，降低了不分文理对偏文科学生的影响;另一方面，由于多选题对学生能力的考查更加深入，对学生的推理、运算、应用等各方面能力都具有较高的要求，学生需要有完备的知识体系、活跃的思维能力、细心的计算习惯才有可能拿到满分，对于尖子生是把双刃剑，是好事，也是坏事，可能稍有不慎就可能5分变0分。
二、多选题命题策略(一)命题方向数学多选题的命制以高考评价体系为导向，以考查4类学科素养(理性思维、数学应用、数学探究、数学文化)、5种关键能力(逻辑思维、运算求解、空间想象、数学建模、创新)为目标，以《普通高中数学课程标准(2017年版)》为线索，将高中数学中预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动这几个重要主题中的若干核心概念、基本原理、基本方法进行系统考查。
高妙数学第一章：更高更妙的高中数学解题策略
第一章 更高更妙的高中数学解题策略深化能力立意，突出能力与素质的考查始终是高考数学命题的导向与主题,数学《考试大纲》明确要求:“在考试中创设新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题时，要注重问题的多样化，体现思维的发散性;精心设计考查数学主体内容、体现数学素质的试题;也要有反映数、形运动变化的试题以及研究型、探索型、开放型等类型的试题”.综观近几年高考的数学试卷，我们也可以发现这样一个共同的特征:每份试卷在保证一定量的基础题的同时，也加大了能力题的考查.笔者认为，这也将成为今后命题的一大趋势，因为如此设计的优势在于可以让大部分学生获得基础分数，保证全省高考平均分达到一定的标准，又可满足部分优秀学生“英雄有用武之地”，冲击高分，脱颖而出.因此，要冲击一流大学，必须搞定能力题.关于能力题似乎没有一个标准的定义，一般认为，一份试卷中最后两题就是能力题，有时也称把关题、综合题.从高考试卷分布来看，能力题一般占全卷总分值的五分之一.能力题往往具有知识容量大、能力要求高等特点，它能够综合考查数学知识、数学思想与数学方法、对考生灵活运用所学知识解决实际问题的能力以及创新能力的要求较高.因此，解高考能力题没有一种“放之四海而皆准”的统一方法.但即使这样，我们还是可以从把握热点、突破难点、夯实基础、消除思维定式与适当延伸拓展等方面对其进行研究，从而掌握解决策略，增强应试信心.1.1 夯实基础知识，争取“拾级而上”夯实基础知识，掌握基本方法是解决能力题的前提.但夯实基础并不意味着搞题海战术.有人认为，数学教学最简单的方法是把大量的复习资料抛给学生，让学生在解题中自我领悟，教师只需评判结果，对对答案.笔者认为这是一种不负责任的教法，实践也证明了这是一种收效甚微的低水平的教学，是应该摒弃的.2003年的高考数学被认为是十几年来综合题最多、最难的.然而，笔者的一位女学生却考了满分(当年全省仅有三位同学获得高考数学满分).她在高三复习时并没有做大量的课外习题，而是非常认真地拿起教材，逐字逐句地阅读，一道一道地解决书本上的题目.这种学习方法值得我们深思与借鉴.因为很多时候，我们是“只在此山中，云深不知处”.另外，复习中我们发现很多同学数学成绩徘徊不前的一个重要原因就是“急功近利”，不能沉下心来认真研读教材，从教材中明了数学概念，领会数学思想，掌握数学方法.事实上，即使是高考试题中的能力题也不是空中楼阁，命题者往往会“心太软”，特意设计一些“梯子”，只要熟练掌握教材内容，熟悉常用方法，解答时就可“拾级而上”，甚至渐入佳境，直捣黄龙.2017年高考浙江卷的第15题是一道向量题，也是一道能力题，基础扎实的同学可以借助多种知识与方法来解决. 【例1】（2017年高考浙江卷第15题）已知向量a ，b 满足1a =，2b =，求a b a b ++-的最小值和最大值． 解法一 运用坐标与三角换元的思想来解．不妨设()1,0a =，()2cos ,2sin b θθ=，则a b a b ++-==令u =[]21016,20u =+．所以a b a b ++-的最小值是4，最大值是 解法二 借助最值函数与绝对值不等式的性质．()()()(){}max,4a b a b a b a b a b a b ++-≥++-+--=，当且仅当a ，b 共线时等号成立． 由Cauchy 不等式有()()()222222420a b a b a b a ba b++-≤++-=+=，a b a b ++-≤a b a b +=-时等号成立．解法三 线性规划法．为了方便，可先做个代换，设a b m +=，a b n -=，则已知条件等价于：[]()2210,1,3m n m n +=∈，求m n+的取值范围．这是一个线性规划问题，易求得4,m n ⎡+∈⎣．解法四 先做变换．设a b x +=，a b y -=，则原题等价于： 已知2x y +=，4x y -=，求x y +的最值．{}max ,4x y x y x y +≥+-=．又因为()22222x y x y x y ++-=+，所以()22220x yx y x y +≤++-=．所以x y +最小值和最大值分别是4，评注 解法二、四中用到了Cauchy 不等式，平行四边形对角线平方和等于2倍的相邻边平方和等结论．2013年高考浙江卷理科第16题被认为是全卷得分率最低的一道题．很多考生不知从何入手，真的有那么难吗？事实上，只要准确把握问题本质，就可以从不同角度得到多种解法．【例2】（2013年高考浙江卷理科第16题）在ABC △中，90C ∠=︒，M 是BC 的中点．若1sin 3BAM ∠=，则sin BAC ∠=______．解法一 建立如图1-1-1所示的直角坐标系． 设(),0A a ，()0,2B ，()0,1M ，则2AB k a=-，1MA k a =-，2212tan 221a a a BAM a a-+∠==++，因为1sin 3BAM ∠=，所以1tan 22BAM ∠=，所以21222a a =+，即22220a a -+=，解得2a =， 所以2tan 2BAC a ∠==，由此易得6sin 3BAC ∠=． 解法二 如图1-1-2所示，过点B 作BD AM ⊥交AM 延长线于点D ，令1BD =，BM x =，()>0,>0AC y x y =．因为1sin 3BAM ∠=，所以3AB =， 由BDM ACM △∽△知，221AC y AM xx y ==+，所以2222x y x y =+．又因为在Rt ABC △中，可得2249x y +=，两式消去y ，得()22229494x x x x -=+-，可解得232x =，即62x =，所以26sin 33x BAC ∠==． 解法三 如图1-1-3所示，记BAC α∠=，BAM β∠=， 由12ABM ABC S S =△△得 1sin sin 2AB AM AB AC βα••=••，()cos AC AM αβ=•-，代入化简可得()2sin cos 3ααβ•-=． 同理，由ABM ACM S S =△△化简可得()1cos sin 3ααβ•-=， 将上两式相加得()sin 21αβ-=，注意到α，β的范围，可得22παβ-=，即22παβ=+，所以1cos 2sin 3αβ=-=-．由此解得6sin 3α=，即6sin 3BAC ∠=． 解法四 如图1-1-4所示，过点M 作MD AB ⊥交AB 于D 点， 令1MD =，则3AM =，22AD =． 又令CM MB x ==，则21BD x =-，29AC x =-．因为222AB AC BC =+， 所以()()222222194x x x +-=-+，解得3x =．所以22236sin 3222221BC x BAC AB x ∠====++-． 另解 216sin cos 3BDx BAC B BMx -∠====．解法五 如图1-1-5所示，过B 作BD AB ⊥交AM 的延长线于D 点，令1BD =，则3AD =．设BM x =，AM y =．284sin sin AC x BMD AMC y y -∠=∠==，22sin 3D =， 所以在BDM △中，由正弦定理知1sin sin xBMD D=∠，即222843yxx =-，得2229848y x x =-． 又因为在Rt ACM △中，22228483y x x x =+-=-， 代入①式，得()()222883849x x x -=-，解得243x =．所以26sin 322x BAC ∠==． 解法六 如图1-1-6所示，设1AM =，()sin 0<<1CAM k k ∠=， 则CM BM k==，21AC k =-，22213AB AC CB k =+=+，在ABM △中，由余弦定理，得()22213122cos 3213k k BAM k ++-∠==+，可解得213k =， 即33k =，所以2363sin 32BC BAC AB∠===．解法七 利用向量知识求解．设AB a =，AC b =，且a x =，b y =，则由90C ∠=︒知()0a b b -•=,所以22a b b y •==．因为()()1222cos 132a b a BAM a b a +∠==+， 所以2222222222323a b a y x a a b b a x x y •++==+•+•+，所以223x y =，即3AB AC =，所以6sin 3BAC ∠=． 2008年浙江省的高考数学试卷被认为是浙江省独立命题以来较难的．然而作为“最难”试卷的压轴题，真的像传说中的那么“恐怖”吗？其实也并非如此．【例3】已知数列{}n a ，0n a ≥，10a =，()22111n n n a a a n Z++++-=∈．记12nn Sa a a =++⋅⋅⋅+，()()()()()11212111111111n n T a a a a a a =++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+．求证：当n Z +∈时，（1）1<n n a a +；（2）>2n S n -； （3）<3n T ．讲解 第（1）小题要证明1<n n a a +，实质上是比较两数大小，教材中关于比较两数大小的思路最典型的是：作差比较与作商比较，对于本题两种方法都可顺利实现．（1）证法一 （作差比较）由于0n a ≥，因此，只要证明221<n n a a +，即221>0n n a a +-． 而由已知条件知22111n n n a a a ++-=-，所以只要证明1<1n a +．注意到()()()()22221111111212111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++++-=⇔+-=-⇔+-=-+，因此，11n a +-与1n a -同号，也与111a -=-同号， 因此，1<1n a +，得证．证法二 （作商比较）因为0n a ≥，所以要证明1<n n a a +，只要证1<1nn a a +． 注意到22211221111111111111n n n nn n n n n a aa a a a a a a +++++++⎛⎫+-=⇔=+-=+- ⎪⎝⎭，因此，也只要证明1<1n a +，由证法一可知成立．如果以上两种方法都想不到，运用数学归纳法也可大功告成． 证法三 （数学归纳法）用数学归纳法证明．①当1n =时，因为2a 是方程210x x +-=的正根，所以12<a a ． ②假设当()n k k Z+=∈时，1<kk aa +．因为()()()()2222122112121111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a +++++++++-=+--+-=-++，所以12<k k a a ++，即当1n k =+时，1<n n a a +也成立． 根据①和②，可1<n n a a +知对任何n Z +∈都成立．有了第（1）小题作为基础，第（2）小题只要反复运用已知的递推关系式即可． （2）证法一 欲证>2n S n -，只需证()()()12111>2n a a a -+-+⋅⋅⋅+--．而由已知条件知22111n n n a a a ++-=-，所以()()()2222222121223111111n n n n a a a a a a a a a a --+-+⋅⋅⋅+-=-+-+-+⋅⋅⋅+-=--，由（1）知<1n a ，从而2>1n a --，所以>2n S n -，得证．证法二 由22111k k k a a a +++-=，1k =，2，…，()12n n -≥，得()()222311n n a a a a n a +++⋅⋅⋅+--=．因为10a =，所以21n n S n a =--．由以上（1）中证法一可知<1n a ，>2n S n -．当然，有了（1），<1n a 也可用以下方法证得：因为1<n n a a +及22111<1n n n a a a ++=+-，因此，<1n a ．（3）标准答案中提供的方法看起来简捷，实际上难以想到．原解答如下：由221112k k k k a a a a +++=+≥，得()1112,3,,1,312k k ka k n n a a ++≤=⋅⋅⋅-≥+，所以()()()()2342131112n n n a n a a a a -≤≥++⋅⋅⋅+， 于是()()()()()2222232211<3111222n n n n n n a a n a a a a a ---≤=≥++⋅⋅⋅++， 故当3n ≥时，22111<113<3222n n n T --+++⋅⋅⋅+=-，又因为123<<T T T ，所以<3n T ． 事实上，根本无须如此“兴师动众”． 要证明<3n T ，肯定要对()()()()()11212111111111n n T a a a a a a =++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+ 进行求和化简放缩或放缩求和化简．中学教材中，对于数列求和，最主要的策略就是转化，化归为等差或等比数列来处理．而从已知式的结构特征来看，转化为等比是首选，因此，不妨对通项()()()231111n a a a ++⋅⋅⋅+进行放缩．由1<n n a a +及0n a ≥，显然有()()()()1232111111n n a a a a -≤++⋅⋅⋅++，因此，()()22112222211111111<1111111111nn n a T a a a a a a -⎛⎫- ⎪+⎝⎭≤+++⋅⋅⋅+=++++--++． 只要证明21<3111a -+，化简可知只要证明21>2a，不难从已知条件解得21>2a =． 至此，原问题圆满解决．【例4】（2007年高考湖北卷理科最后一题）已知m ，n 为正整数． （1）用数学归纳法证明：当>1x -时，()11mx mx +≥+；（2）对于6n ≥，已知111<32n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，求证：11<32n mm n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，1m =，2…n ；（3）求出满足等式()()3423nnn n n n ++⋅⋅⋅++=+的所有正整数n ．讲解 本题的第（1）小题所要证明的不等式实际上是贝努力（Bernoulli ）不等式的一个变式．贝努力不等式的一般形式为：“设>1x -，则当0<<1α时，()11x x αα+≤+，而当<0α或>1α时，()11x x αα+≥+，当且仅当0x =时取等号．”用数学归纳法证明该题难度不大，此处证明略． 第（2）小题根据题设提供的不等式111<32nn ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，可得111<32mn mn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因此，只要证明111<11333mn nn mm n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 而由（1）得10<1133mm n n ⎛⎫-≤- ⎪++⎝⎭，因此，上式成立，从而原不等式得证．第（3）小题可直接利用（2）的结论． 当6n ≥时，2121111111<1<13332222n n n nnn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因此，有213<1333n n nn n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()342<3nnn n n n ++⋅⋅⋅+++．故当6n ≥时，不存在满足该等式的正整数n ．只需要逐一验证1,2,3,4,5n =的情形即可．不难得到所求的n 只有2，3．【例5】（2011年同济大学等九校（卓越联盟）自主招生）如图1-1-7所示，已知椭圆的两个焦点()11,0F -，()21,0F ，且椭圆与直线y x =-（1）求椭圆的方程（2）过1F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，与椭圆分别交于P ，Q 及M ，N ，求四边形PMQN 面积的最大值与最小值．讲解 （1）2212x y +=．（过程略） （2）解法一（i ）若直线PQ 的斜率不存在，即1x =-，可得PQ =而此时直线MN 方程为0y =，MN =故11222S PQ MN =•==． （ii ）若直线PQ 的斜率存在且不为零，设为k ，将直线方程()1y k x =+与2212x y +=联立，消元得()2222214220kx k x k +++-=，则2122421k x x k -+=+，21222221k x x k -=+，故)22121k PQ k +==+． 而直线MN 的方程为()11y x k=-+，利用整体代换，可得)22221111221k k MN k k ⎫+⎪+⎝⎭==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 故()()()22224112212k S PQ MN k k +=•=++． 令2t k =，>0t ，则()()()()22224214112121221225225225t t t t S t t t t t t t t ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫===-=- ⎪ ⎪++++++⎝⎭ ⎪++⎝⎭，因>0t ，224t t +≥，故16,29S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭． 综上（i ）（ii ）得16,29S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故最大值为2，最小值为169．解法二 利用焦半径公式．设()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,M x y ，()44,N x y ，由椭圆的第二定义得焦半径公式：11F P a ex =+，12FQ a ex =+，()11122PQ F P FQ a e x x =+=++．在解法一的基础上，)2222142121k k PQ k k +-==++，以下同解法一． 另解 以1F 为极点，垂直于左准线的方向为极轴的正方向，建立极坐标系， 则椭圆的方程为1cos epe ρα=-．又12l l ⊥，则11cos epF P e α=-，11sin 1cos 2ep epF M e e a πα==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， ()11cos 1cos ep ep F Q e e απα==-++，131sin 1cos 2ep epF N e e a πα==-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭． 则()()11111122PMQN S PQ MN F P FQ F M F N =•=++ 222212221cos 1sin ep ep e e αα=••-- 22242844sin 2e p e e α=-+ 由得2212x y +=得2e =，1p =，代入得2168sin 2PMQN S α=+， 故PMQN S 的最大值为1628=，最小值为1616819=+． 在求出椭圆方程后，第（2）小题通常的做法是设直线的方程，然后与椭圆方程联立方程组，利用弦长公式可分别求出PQ ，MN 长，思路自然，但计算显烦琐，耗时长，易出错，即易忽视斜率不存在的特殊情形．解法二结合椭圆的第二定义，巧用焦半径公式，在一定程度上简化了运算．而仔细审视条件，妙用选修知识，借助椭圆的极坐标方程，可得焦半径公式的另外一种形式，可大大简化运算，问题快速获解．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的特点和性质．因此，在解题的过程中，计算占了很大的比例，但计算要根据题目中曲线的特点和相互之间的关系进行，所以曲线的定义和性质是解题的基础，而在计算过程中，将某一个“因式”作为一个整体处理，可以简化运算．在另解的基础上，可得一般情形：过椭圆()22221>>0x y a b a b+=的左焦点1F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，与椭圆分别交于P ，Q 及M ，N ，则四边形PMQN 的面积的最大值为2222221e p b e =-，最小值为()2224224228844e p a b e e a b =-++． “喝牛奶能品出青草的芳香”，学数学做数学题也是一样，只有真正将基础知识了然于胸，遇到难题时，你才会抓住根本，巧妙得解．1.2 防止思维定式，实现“移花接木”思维定式是指思维在形式上常常采用的、比较固定的甚或是相对凝固的思维逻辑、思维推理或思维内容．它是人脑习惯使用的一系列已被固化的概念、规则、理论和逻辑的抽象形式．而数学解题的思维定式主要是指解题者在解决数学问题的思维过程中表现出来的思维的定向预备状态．它使人们以比较固定的方式去进行认知或做出反应，并影响着问题解决时的趋向性．对于高考中的很多能力题，有时受思维定式的影响，解题思路一不小心就会走进“死胡同”，如下题：【例1】如图1-2-1所示，在ABC △中，23AB =，4AC =，13AD =，D 为线段BC 中点，则B ∠的余弦值为______．讲解 解法一 设C θ∠=，BD a =，由余弦定理得22424cos 13a a θ+-⨯⨯=，()222428cos 12a a θ+-⨯⨯=，解得1a =，2BC ∴=．222BC AB AC +=，90B ∴∠=︒，cos 0B ∴=．解法二 设BD a =，则ABC △的半周长4232232ap a ++==++，ABD △的半周长23132ap ++'=．由海伦公式可得()()()2234ABC S p p a p p =---△，()()()2313ABD S p p a p p ''''=---△，又2ABC ABD S S =△△，则()()()()()()223422313p p a p p p p a p p ''''---=---，即()()()()423232332a a a a +++-+-+-()()()()2313231313232313a a a a =+++-+-+-，化解得42210a a -+=，解得1a =．易得cos 0B =． 解法三 令()13,0AD =，(),DC m n =，则(),DB m n =--．AD DC AC +=，AD DB AB +=， ()222134m n ∴++=，()()2221323m n -+=，m ∴=n =， 1BD m ∴==，2BC ∴=．易得cos 0B =．评注 此题来源于一道立体几何题常规解法中的一步．解法一使用了余弦定理，较为常规；解法二使用了海伦公式，此公式在初中竞赛中已引入介绍，但会使用的人不多，方程看似烦琐且有四次方，实际求解并不复杂，因此考验了学生的魄力；解法三运用了中点到线段两端的向量为相反向量，较有创意．【例2】（2016年高考浙江卷理科第15题）已知向量a 、b ，1a =，2b =，若对任意单位向量e ，均有a e b e ⋅+⋅≤则a b ⋅的最大值是______．讲解 解法一()221262a b e a e b e a e b e a b a b a b a b +⋅=⋅+⋅≤⋅+⋅≤+≤++⋅≤⇒⋅≤即a b ⋅的最大值为12． 解法二 设,a e α=，,b e αβ=-则()cos 2cos cos 2cos cos 2sin sin a e b e ααβααβαβ⋅+⋅=+-=++()()2cos 1cos 2sin sin βαβααϕ=++=+≤=≤所以，1cos 4β≤，1cos 2cos 2a b a b ββ⋅==≤． 【例3】（2014年高考浙江卷理科第5题）在()()6411x y ++的展开式中，记m nx y 项的系数为(),f m n ，则()()()()3,02,11,20,3f f f f +++=（ ）A ．45B ．60C ．120D ．210讲解 按一般思路是这样解的：()()()()30211203646464643,02,11,20,3120f f f f C C C C C C C C +++=+++=．如果能利用组合数学中算两次的思想，则能“秒杀”，原问题等价于从6名男生4名女生中选出3人，共有几种选法，因此，答案为310120C =．【例4】（2014年高考浙江卷理科第6题）已知函数()32f x x ax bx c =+++，且()()()0<1233f f f -=-=-≤，则（ ）A ．c c ≤B ．3<6c ≤C ．6<9c ≤D ．>9c讲解 按常规的想法是解方程组，由()()()123f f f -=-=-得，184212793a b c a b ca b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩， 解得611a b =⎧⎨=⎩，所以()32611f x x x x c =+++．又由()0<13f -≤，得0<16113c -+-+≤，即6<9c ≤，故选C ．如果能借助一元三次方程的韦达定理，也可“秒杀”该题．令()()()123f f f t -=-=-=，则()0f x t -=的三根为1-，2-，3-，利用韦达定理，得()()()123t c ---=-，所以(]66,9c t =+∈．【例5】已知函数()xf x e kx =-，x R ∈，（1）若k e =，试确定函数()f x 的单调区间； （2）若>0k ，且对于任意x R ∈，()>0fx 恒成立，试确定实数k 的取值范围；（3）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：()()()()()1212>2n n F F F n e n Z ++⋅⋅⋅+∈．讲解 本题的三个小题之间联系不密切，其中（1）（2）借助导数不难解得．本处具体解答略；第（3）小题受思维定式的影响，一般会先将()F x 具体化，再代入所求证不等式左边，从而将原不等式转化为()()()()()()1223312>2n nnn e e eeeeeeen Z ----+++++⋅⋅⋅++∈．注意到不等式左右两边均含有n ，因此，很想运用数学归纳法进行证明，为此，从k 到1k +时需要证明11(1)1122()(2)(2)kk k k k k eeee-+-++++++≥，而该不等式的证既要用到故技巧又修学要用到多元柯西不等式，而这些都属于竞赛中的高层次要求，因比，解答时必須另辟蹊径。
高中数学教学中存在的问题及解决策略
课程教学 >>88 高中数学教学中存在的问题及解决策略
程本兵重庆市巫山大昌中学校
摘要：在新时期的高中数学教学中，虽然教学改革的力度不断加大，但是数学教学中依然存在较多问题，教师应围绕新课标诉求和核心素养培育要求来进行教学反思，这样 才能够明确问题并找到有效的解决策略，提高数学课程教学的有效性，为学生高效率的学习，以及数学思维与素养的提升提供支持。对此，文章首先说明了新课改对高中数学教学的具体要求，然后详细分析了高中数学教学中存在的问题，最后提出了有效的解决策略，以供参考。关键词：高中数学；教学问题；解决策略
高中生正处于成长的关键时期，在该阶段他们在接受教育时，不再仅要求他们掌握大量的学科理论知识，还要求他们形成适应未来社会发展的关键能力和核心素质，这样才能够彰显高中各学科教育的积极作用。所以，在高中教育教学格局发生变化的今天，高中数学教师在教学中，就不能够在固守成规，而是要以更全面与理性的视角去审视与分析高中数学教学中的问题，并提出合理的教学措施，以此来实现高中数学教学的改革发展。
一、新课改对高中数学教学的具体要求新课改给高中数学教学带来了较大的变化，教师应由此做好新课改的具体剖析工作，由此来把握新课改对高中数学教学的新要求。第一，新课改要求高中数学教师应以学生数学核心素养的培养与发展为教学目标，教师应由此做好教学目标的转变工作；第二，新课改要求高中生的数学学习结构应发生变化，即高中数学教与学都应更加重视学生关键能力与品质的发展，以此来确保学生进行更加健康有效的学习；第三，新课改要求教师应转变教学思路，也就是不能够再以教师的教学为需求来教学设计，而是要以学生的学习特点、学习需求、学习实情等进行教学设计，以此来优化教学设计的效果。结合新课改为高中数学教师提出的这几点要求，教师只有重新审视与分析高中数学教学，找到其中的不足并及时优化，才可以实现高中数学教学的有效改革，促进高中数学教学朝着更加有效的方向发展和进步。
高中数学问题解决教学研究——以函数教学为例
高中数学问题解决教学研究——以函数教学为例摘要：在高中数学教学实践中，函数是非常重要的内容。
整体优化高中数学的教学质量，不断提升高中数学的教学成效，科学提升学生的自主学习能力，教师应该着重提升学生的高中数学问题解决能力，不断优化学生的高中数学学习水平。
函数作为高中数学中的核心内容，直接关系着学生整个数学学习的质量与成效。
关键词：高中数学；问题解决教学；函数教学在高中数学的教学过程中，数学问题是非常重要的元素，也是学生进行数学学习的关键所在。
在高中数学问题教学实践中，教师有必要充分结合新课标的要求，全面突出学生的主体性地位，积极引导学生成为数学学习的主人。
同时，教师还应该结合学生的认知特点，巧妙科学的开展数学问题教学，以此来不断提升学生的数学学习成效。
特别是在函数教学过程中，作为高中数学的重中之重，学生只有在明确基础概念的基础上，积极优化自身的问题解决能力，掌握问题解决的方法和技巧，才能更有成效的开展函数学习，也才能更好的提升数学学习成效。
1数学问题解决的含义问题解决一般是指形成一个新的答案，超过过去所学规则的简单应用而产生的一个解决方案。
在新课改全面实施的今天，学生作为数学学习的主体，理应具备数学问题解决的能力和素养，只有这样，才能更好的投身于数学学习实践中，也才能更好的提升自身的数学学习成效。
在实践过程中，数学问题解决包括三个方面的内容。
第一，数学问题解决实际上是学生进行数学学习的关键，也学生必备的技能。
学生通过解决数学问题来获得数学学习的方法和技能，明确数学学习的重要性，提升自身的数学应用能力。
从这点来看，数学问题解决是学生的核心技能之一。
第二，数学问题解决实际上是一种教学工具。
教师引导学生来进行数学问题的解决，既能够帮助学生灵活运用所学知识，同时也能够迁移新的知识，继而整体完善学生的知识架构，更好的服务于学生的数学学习。
第三，数学问题解决还是一种艺术。
学生作为数学学习的主体，在数学问题的解决过程中，实际上是数学思维的一次升华，是数学思维的一次创造，极有可能迸发新的思维或者新的认知，继而达到灵活运用的目的。
基于深度学习研究高三数学微专题复习教学策略
ZHONG XUE JIAO YU YAN JIU 基于深度学习研究高三数学微专题复习教学策略林存留（宁德市民族中学，福建 宁德 352100）一、深度学习与微专题的概念和内涵（1）数学深度学习的内涵。
深度学习，是相对于浅层学习而引申出来的概念，指在理解学习的基础上，通过学习新的知识和思维，并将其融入现有的认知机构中，通过联系将现有的知识作为新的问题解决的一种学习方式。
深度学习也是一种理解性的、主动、有关联的学习，通过关联知识间的迁移，达到学以致用的目的。
深度学习引导学生主动接受知识，帮助学生学习思维能力和问题解决能力的培养和提升。
基于深度学习的高中数学学习，围绕数学核心知识，进行数学问题的独立思考，能够不断拓展数学逻辑推理思维，形成严谨的学习习惯，促进学生数学能力的综合素质形成。
（2）微专题的内涵及特征。
所谓微专题，指的是一些针对于学生考试要求的小型复习专题，这些专题的切入点较小，但是针对性却很强，能够在较短时间内解决数学小问题。
微专题，相较于专题这一复习形式来说，能有效解决因复习时间跨度长而导致的“高耗低能”的学习现象，通过“微”这一形式，来实现教学突破，达到“专”的目的，极大增强了学生复习的实效性。
微专题在近年来的发展应用过程中，也具备了自身灵活性、针对性的重要特征。
①灵活性。
“微专题”在高中数学课后学习中的应用具有灵活多变的重要特点。
微专题的教学不会受到当前所学知识和章节内容的限制，无需追求知识体系的完整性，而是根据学生学习的实际情况来具体确定，其内容可以由学生来推荐，也可以由老师自己准备，主要目的在于提高学习能力。
另外，在完成时间上也没有作出特定的要求，可以灵活安排学习进度，但是需要在内容上做更深入的研讨。
②针对性。
在学生复习过程中，微专题的范围相对来说比较小，因此微专题的应用具备针对性的特点。
在微专题的主题内容选择上，一般注重较为实际的、典型性的问题，特别是那些学生在学习中遗漏下来的重点和难点的问题。
高考的数学答题技巧(推荐8篇)
高考的数学答题技巧〔推荐8篇〕篇1：数学高考答题技巧另外，在高考时很多同学往往因为时间不够导致数学试卷不能写完，试卷得分不高，掌握解题思想可以帮助同学们快速找到解题思路，节约考虑时间。
以下总结高考数学五大解题思想，帮助同学们更好地提分。
1.函数与方程思想函数思想是指运用运动变化的观点，分析^p 和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系运用函数的图像和性质去分析^p 问题、转化问题和解决问题；方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程或不等式模型去解决问题。
同学们在解题时可利用转化思想进展函数与方程间的互相转化。
2.数形结合思想中学数学研究的对象可分为两大局部，一局部是数，一局部是形，但数与形是有联络的，这个联络称之为数形结合或形数结合。
它既是寻找问题解决切入点的“法宝”，又是优化解题途径的“良方”，因此建议同学们在解答数学题时，能画图的尽量画出图形，以利于正确地理解题意、快速地解决问题。
3.特殊与一般的思想用这种思想解选择题有时特别有效，这是因为一个命题在普遍意义上成立时，在其特殊情况下也必然成立，根据这一点，同学们可以直接确定选择题中的正确选项。
不仅如此，用这种思想方法去探求主观题的求解策略，也同样有用。
4.极限思想解题步骤极限思想解决问题的一般步骤为：一、对于所求的未知量，先设法构思一个与它有关的变量；二、确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；三、构造函数(数列)并利用极限计算法那么得出结果或利用图形的极限位置直接计算结果。
5.分类讨论思想同学们在解题时常常会遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进展下去，这是因为被研究的对象包含了多种情况，这就需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳得解，这就是分类讨论。
引起分类讨论的原因很多，数学概念本身具有多种情形，数学运算法那么、某些定理、公式的限制，图形位置的不确定性，变化等均可能引起分类讨论。
解几最值求有妙法,构造函数多方出击-高考数学一题多解
解几最值求有妙法，构造函数多方出击一、攻关方略与圆锥曲线有关的最值或范围问题大都是综合性问题，解法灵活，技巧性强，涉及代数函数、三角函数、平面几何等方面的知识，求最值常见的解法有几何法和代数法两种，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，如与圆锥曲线的定义相关或涉及过焦点的弦长、焦半径、焦点三角形等，则考虑利用图形性质来解决；若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，圆锥曲线中的最值问题的载体是直线与圆锥曲线的关系，特别是相交所引出的图形的最值问题，大致可分为两类：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．本讲重点放在用目标函数法求最值的策略．建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题是一种常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．运用目标函数法解此类题的难点体现在两个方面：①如何建立目标函数．关键要把相关图形的特点吃透，变量可以是直线的斜截、截距、曲线上的动点坐标、变动的线段等等，通常所得到的解析式的形式不会太简单，对下一步的求解会带来困难．②对所求得的目标函数如何求其最值，常常需要进行再次构造为常见函数并运用相应的解题策略解之，比如转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用配方法、基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等，尤其是对复杂函数解析式的再构造，其方法并非唯一，不同的构造必有多种不同的解法，或繁或简，通过解题经验的积累，尽可能找到最为巧妙的构造，得到最为简捷的解法，真可谓：解几最值求有妙法，构造函数多方出击．思维发散或繁或简，纵横联结枝繁叶茂．【典例】已知点()0,2A -，圆2222:1x y E a b +=（0a b >>F 是椭圆E的右焦点，直线AF O 为坐标原点．（1）求E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆E 相交于P ，Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求l 的方程．解题策略解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科，代数方法当然离不开比较复杂的计算，高考命题特别提出“多考想，少考算”，突出考查学生分析推理、转化的数学逻辑思维能力，如何在解析几何中避免繁杂、冗长的计算，即简化计算，也就成了处理这类问题的难点与关键，解析几何题目中常用的简化运算的技巧有：圆锥曲线的概念、条件等价转化、以形助数、设而不求以及通过构造以巧妙的方法减少运算量等，本例第（1）问，根据已知条件，利用基本量求椭圆方程；第（2）问，先建立OPQ △面积的函数表达式，再求最值，其中函数变量的选取尤为重要，不同的解析式有不同的求最值的方法．策略一由弦长公式求PQ ，由点到直线距离公式求d ，由12=⋅S PQ d 得解析式，换元法转化为用基本不等式求最值和l 的方程策略二由POQ AOQ AOP S S S =-△△△得函数解析式再进一步求解策略三利用坐标法求解析式再进一步求解（1）解：设(c,0)F ，由条件知，23c =，得c =又2c a =，∴2a =，2221b a c =-=，故E 的方程为2214x y +=．（2）解法一当l x ⊥轴时，不合题意，故设:2l y kx =-，()11,P x y 、()22,Q x y ，将2y kx =-代入椭圆方程，整理得()224116120k x kx +-+=．则()()222(16)48411643k k k ∆=-+=-当0∆>，即234k >时由弦长公式得12||PQ x =-==．又由点到直线的距离公式得点O 到直线l的距离d =∴OPQ △的面积221||24141S PQ k k d ===++⨯．t =，244144t S t t t ==++．则2243k t =+且0t >，当4t t =，即2t =时，OPQ △2=，解得2k =．故所求直线l的方程为2y =-或2y =-．解法二设直线:2l y kx =-交椭圆E 于()11,P x y ，()22,Q x y ．且P 在线段AQ 上．由222,440y kx x y =-⎧⎨+-=⎩得()224116120k x kx +-+=，1221641k x x k +=+，1221241x x k =+．由0∆>得234k ≥．则21122POQ AOQ AOP S S S x x =-=⨯-==△△△同解法一得所求直线l 的方程为2y =-或2y =-．解法三设l 的方程为2y kx =-，与椭圆方程联立得222,44,y kx x y =-⎧⎨+=⎩消去y 整理得()224116120k x kx +-+=．则1221641k x x k +=+，1221241x x k =+，且由0∆>，得234k >．设点P 、Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ．点O 的坐标为(0,0)，用坐标法求OPQ △的面积S 可表示为11221112001x y S x y =．即()()1221122112112222S x y x y x kx x kx x x =-=---=-⎡⎤⎣⎦241k k ==+．同解法一得所求直线l 的方程为2y =-或2y =-．【点评】运用目标函数法解此类题的难点体现在两个方面：①如何建立目标函数．关键要把相关图形的特点吃透，变量可以是直线的斜截、截距、曲线上的动点坐标、变动的线段等等，通常所得到的解析式的形式不会太简单，对下一步的求解会带来困难．②对所求得的目标函数如何求其最值，常常需要进行再次构造为常见函数并运用相应的解题策略解之，【针对训练】1．已知椭圆的方程为22143x y +=，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，线段PQ 是椭圆上过点2F 的弦，则1PFQ △内切圆面积的最大值为______．2．已知抛物线2:4C y x =上一点()4,4M -，A ，B 是抛物线C 上的两动点，且0MA MB ⋅= ，则点M 到直线AB 距离的最大值是______．（2021全国乙卷理11）3．设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦（2021全国新高考Ⅰ卷5）4．已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．65．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．(1)求C 的方程;(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.6．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．(1)求p ；(2)若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB 面积的最大值．（2022·浙江）7．如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．(1)若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标；(2)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．（2022·浙江）8．如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，(1)求抛物线的方程；(2)设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且2RN PN QN =⋅，求直线l 在x 轴上截距的范围.（2019年高考数学浙江卷第21题）9．如图所示，已知点()1,0F 为抛物线22y px =（0p >）的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧，记AFG 、CQG 的面积分别为1S ，2S．(1)求p 的值及抛物线的准线方程；(2)求的12S S 最小值及此时点G 的坐标．10．如图，已知抛物线2x y =.点A 1139-2424B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，抛物线上的点P （x,y ）13-x 22⎛⎫ ⎪⎝⎭＜＜,过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q（I）求直线AP斜率的取值范围；PA PQ的最大值（II）求·参考答案：1．9π16【分析】()111142PF Q S PF QF PQ r r =++⋅=△，∴14PF Q S r =△，解法一：112PF Q S PQ d =⋅ ，点1F 到直线PQ 的距离为d ．由弦长公式和点到直线距离公式，求最大值.解法二：1121212PF Q S F F y y =- ，由弦长公式和基本不等式求最大值.【详解】解法一如图所示，1PFQ △的()111142PF Q S PF QF PQ r r =++⋅=△，∴14PF Q S r =△．当直线PQ 的斜率不存在时，易得||3PQ =，此时1121||32PF Q S F F PQ =⋅⋅=△，∴34r =；当直线PQ 的斜率为k 时，直线PQ 的方程为(1)y k x =-．将(1)y k x =-代入22143x y +=，并整理得：()22224384120k x k x k +-+-=．设()11,P x y 、()22,Q x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．||PQ ==()2212143k k +==+．∵点1F 到直线PQ 的距离d =．则12112|||243PF Qd k S PQ k ==⋅+△，则()()()()222222222211124331PFQ k k k k S k k k ++⎛⎫== ⎪⎡⎤⎝⎭+++⎣⎦△，设21u k =+，2v k =，则122112(3)96PF Q S uv u v u v v u⎛⎫== ⎪+⎝⎭⨯++△，且2211u k v k +=>，设(1)u t t v=>，设1()96f t t t =++，则21()9f t t '=-，当1t >时，()0f t '>，∴96(1)16u v f v u ⋅++>=，则1212116PF Q S ⎛⎫ ⎪⎝<⎭△，∴13PF Q S <△，∴34r <．综上，当直线PQ 垂直于x 轴时，1PFQ △的内切圆半径r 取得最大值34，∴1PFQ △的内切圆面积的最大值为9π16．解法二显然直线PQ 的斜率不为0，故可设其方程为1x my =+，将1x my =+代入22143x y+=，并整理得()2234690m y my ++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，∴1121221234PF Q S F F y y m =-===+△121，令1t ≥．设1()3f t t t =+，则21()3f t t'=-，则当1t >时，()0f t '>[]1,+∞，∴(1)4f =≥（当0m =时等号成立），∴1PF Q S △的最大值为3．此时1344PF Q S r ==△，即r 的最大值为34．∴1PFQ △的内切圆面积的最大值为9π16．故答案为：9π162．【分析】解法一：首先利用坐标表示直线MA ，MB 和直线AB 的斜率，并利用坐标表示1MA MB k k ⋅=-，代入直线AB 的方程，化简求直线所过定点，利用几何法表示点M 到直线AB距离的最大值；解法二：利用1MA MB k k ⋅=-得()()12124324y y y y y x +-++=，利用换元得直线AB 的方程为44320x ty t -+-=，列出点到直线距离公式d ==关系求函数最大值；解法三：首先设直线AB 的方程为x ky b =+，与抛物线方程联立，并利用韦达定理表示0MA MB ⋅=，得22123616164b b k k -+=-+，化简后表示,k b 的关系，可求得定点坐标，再利用两点距离表示点到直线距离的最大值.【详解】解法一：如图所示，设()11,A x y ，()22,B x y ，则直线MA 的斜率为()()()11111144444444MA y y k x y y y ++===-+--．同理可得直线MB 的斜率为244MB k y =-．直线AB 的斜率为12122212121244AB y y y y k y y x x y y --===--+．由1244144MA MB k y y k =⨯=---⋅，得()1212432y y y y -+=-．又直线AB 的方程为()11124y y x x y y -=-+，故()12124y y y y y x +-=．∴()()12124324y y y y y x +-++=．即()12(4)4(8)y y y x +-=-，∴直线AB 过定点()8,4P ．点M 到直线AB距离的最大值为||MP ==解法二：同解法一得()()12124324y y y y y x +-++=．令12y y t +=，则直线AB 的方程为44320x ty t -+-=．点M 到直线AB的距离d ==令2t s -=，则有d =，当10s =-时等号成立，即点M 到直线AB距离的最大值为解法三：设直线AB 的方程为x ky b =+，211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭．由24x ky by x=+⎧⎨=⎩，得2440y ky b --=．∴()2160k b ∆=+>，124y y k +=，124y y b =-．∴0MA MB ⋅= ，即2212124,44,4044y y y y ⎛⎫⎛⎫-+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()22212121212122432016y y y y y y y y y y ⎡⎤-+-++++=⎣⎦．①把121244y y ky y b+=⎧⎨=-⎩代入（1）式整理得22123616164b b k k -+=-+．即22(6)(42)b k -=-，∴48b k =-+或44b k =+．当44b k =+时，直线AB 的方程为(4)4x k y =++，恒过点(4,4)-M ，不符合题意；当48b k =-+时，直线AB 的方程为(4)8x k y =-+，恒过点()8,4P ，符合题意．∴点M 到直线AB的距离的最大值是||MP =故答案为：3．C【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤当32b b c->-，即22b c <时，42222max b PB a b c =++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．【点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．4．C【分析】法一：根据椭圆定义得到1226MF MF a +==，结合基本不等式进行求解；法二：设出()00,M x y ，使用焦半径结合033x -≤≤进行求解.【详解】法一：由题意，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．法二：设()00,M x y ，033x -≤≤，由焦半径公式可得：1002003,3MF a ex MF a ex =+=+=-=-，故21200053399MF MF x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为033x -≤≤，所以2009x ≤≤，当200x =，即00x =时，12MF MF ⋅取得最大值，最大值为9.故选：C ．5．(1)24y x =(2)13【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设()00,Q x y ，由平面向量的知识可得()00109,10P x y -，代入抛物线方程，进而可得20025910y x +=，可得点Q 的轨迹，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以该抛物线的方程为24y x =；（2）设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--，所以()00109,10P x y -，由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，据此整理可得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++，当00y =时，0OQ k =；当00y ≠时，0010925OQ k y y =+，当00y >时，因为0092530y y +≥=，此时103OQ k <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.6．(1)2p =(2)()max = PAB S 【分析】(1)方法一利用两点间距离公式求得FN 关于圆M 上的点()00,N x y 的坐标的表达式，进一步转化为关于0y 的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得p 的值；方法二，利用圆的性质，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；(2)方法一设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线AB 的坐标满足方程00220x x y y --=，然手与抛物线方程联立，由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，利用弦长公式求得AB 的长，进而得到面积关于()00,P x y 坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于0y 的二次函数最值问题；方法二，同方法一得到1202x x x +=，1204x x y =，过P 作y 轴的平行线交AB 于Q ，则2000,2⎛⎫- ⎪⎝⎭x Q x y ．由121||2PAB S PQ x x =⋅- 求得面积关于()00,P x y 坐标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方法灵活，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线:AB l y kx b =+，联立直线AB 和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到20k b +>，且12124,4x x k x x b +==-．利用点P 在圆M 上，求得,k b 的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得P 的坐标(2,)P k b -，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于b 的函数表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值；【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值由题意知，0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设圆M 上的点()00,N x y ，则()22041++=x y ．所以()()22001453=-+-≤≤-x y y ．从而有||=FN =因为053y -≤≤-，所以当03y =-时，min ||4==FN ．又0p >，解之得2p =，因此2p =．[方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，42pFM =+，所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =；（2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得=2xy '，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-，即11220x x y y --=，同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=，由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=，所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=，由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB ==，点P 到直线AB的距离为d =，所以，()3220011422PABS AB d x y =⋅=-△，()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++ ，由已知可得053y -≤≤-，所以，当05y =-时，PAB的面积取最大值321202⨯=[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值同方法一得到1201202,4+==x x x x x y ．过P 作y 轴的平行线交AB 于Q ，则2000,2⎛⎫- ⎪⎝⎭x Q x y．()32221200001111||242222⎛⎫=⋅-=-=- ⎪⎝⎭PABS PQ x x x y x y ．P 点在圆M 上，则00cos ,4sin ,x y αα=⎧⎨=-+⎩()()333222222001114cos 4sin 16(sin 2)21222ααα⎡⎤=-=-+=-++⎣⎦ PABS x y ．故当sin 1α=-时PAB 的面积最大，最大值为[方法三]：直接设直线AB 方程法设切点A ，B 的坐标分别为211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设:AB l y kx b =+，联立AB l 和抛物线C 的方程得2,4,y kx b x y =+⎧⎨=⎩整理得2440x kx b --=．判别式2Δ16160=+>k b ，即20k b +>，且12124,4x x k x x b +==-．抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，有2x y '=．则()2111:42-=-PA x x l y x x ，整理得21124x x y x =⋅-，同理可得222:24=⋅-PB x x l y x ．联立方程211222,24,24x x y x x xy x ⎧=⋅-⎪⎪⎨⎪=⋅-⎪⎩可得点P 的坐标为1212,24x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭，即(2,)P k b -．将点P 的坐标代入圆M 的方程，得22(2)(4)1+-+=k b ，整理得221(4)4b k --=．由弦长公式得12||=-=AB x=点P 到直线AB的距离为d =所以21||222==+== PABS AB d k b=其中[5,3]=-∈--P y b ，即[3,5]∈b ．当5b =时，()max = PAB S 7．(1)1(,0)32(2)max p 【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标公式求解即可；（2）设直线:l x y m λ=+，与椭圆联立，结合韦达定理得到中点M 的坐标，代入抛物线，再将直线与抛物线联立，结合韦达定理用参数表示点A 坐标，再将椭圆与抛物线联立得到点A 坐标，结合均值不等式，分析即得解.【详解】（1）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（2）由题意，直线l 的斜率不为0，设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y l x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩，1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++，由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++，又22222()220y pxy p y m y p y pm x y m λλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩，012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒=-+222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-++⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤所以，p，此时A .8．(1)24y x=(2)(,7[7(1,)-∞---++∞ ．【分析】（1）根据2MF =，求p ，再求抛物线方程；（2）方法一：主要是用()()1122,,,A x y B x y 坐标表示直线,MA MB ，利用弦长公式将线段长度关系转为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围；方法二：利用焦点弦的性质求得直线,MA MB 的斜率之和为0，再利用线段长度关系即为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.方法三：利用点,A B 在抛物线上，巧妙设点坐标，借助于焦点弦的性质求得点,A B 横坐标的关系，这样有助于减少变元，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.【详解】（1）因为2MF =，故2p =，故抛物线的方程为：24y x =.（2）[方法一]：通式通法设:1AB x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，(),0N n ，所以直线:2yl x n =+，由题设可得1n ≠且12t ≠.由214x ty y x=+⎧⎨=⎩可得2440y ty --=，故12124,4y y y y t =-+=，因为2RN PN QN =⋅，故2R P Q ⎫=⎪⎪⎭，故2R P Q y y y =⋅.又()11:11y MA y x x =++，由()11112y y x x y x n⎧=+⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩可得()1112122P n y y x y +=+-，同理()2222122Q n y y x y +=+-，由12x ty yx n =+⎧⎪⎨=+⎪⎩可得()2121R n y t -=-，所以()()()2212211212121=212222n n y n y t x y x y -++⎡⎤⨯⎢⎥-+-+-⎣⎦，整理得到()()()2212221112112222y y n t n x y x y -⎛⎫=- ⎪++-+-⎝⎭，()22221214212222t y y y y -=⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2222222121212112214212134+++2+442t t t y y y y y y y y y y y y --==+--⨯-+故()222134121n t n t ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭-，令21s t =-，则12s t +=且0s ≠，故()22222234242411331+444421t s s s s s s t +++⎛⎫==+=++≥ ⎪⎝⎭-，故213141n n n ⎧+⎛⎫≥⎪ ⎪-⎨⎝⎭⎪≠⎩即214101n n n ⎧++≥⎨≠⎩，解得7n ≤--71n -+≤<或1n >.故直线l 在x 轴上的截距的范围为7n ≤--71n -+<或1n >.[方法二]：利用焦点弦性质设直线AB 的方程为11x k y =+，直线MA 的方程为21x k y =-，直线MB 的方程为31x k y =-，直线l 的方程为221212,,,,,(,0)244y y y x m A y B y N m ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题设可得1m ≠且112k ≠．由121,4x k y y x=+⎧⎨=⎩得21440y k y --=，所以121124,4y y k y y +==-．因为2112231121114,44y y y k k y y y +==+=+，12121223111212110444y y y y y y k k k k y y y y ++∴+=++++=-=，()21221212231121212111111441642y y y y y y k k k y y y y y y +⎛⎫⎛⎫=++=+⋅+-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．由21,2x k y y x m =-⎧⎪⎨=+⎪⎩得2112p m y k +=-．同理3112Q m y k +=-．由11,2x k y y x m =+⎧⎪⎨=+⎪⎩得1112R m y k -=-．因为2||||||RN PN QN =⋅，所以2R P Q y y y -⋅=即222211231(1)(1)13112422m m m k k k k ⎛⎫ ⎪-++== ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪-+--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故22121314112k m m k ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭．令112t k =-，则222221111113311244m t t m t t t t +++⎛⎫⎛⎫==++=++≥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．所以210,1410,m m m -≠⎧⎨++≥⎩，解得7m ≤--71m -+≤<或1m>．故直线l 在x轴上的截距的范围为(,7[7)(1,)-∞---++∞ ．[方法三]最优解设()()22,2(0),,2A a a a B b b >，由,,A F B 三点共线得22222221b a ab a a b a -==-+-，即1ab =-．所以直线MA 的方程为22(1)1a y x a =++，直线MB 的方程为2222(1)(1)11b ay x x b a -=+=+++，直线AB 的方程为22(1)1ay x a =--．设直线l 的方程为2(2)y x m m =+≠-，则222(2)(2)(2),,,1112P Q R N m a m a m a my y y x a a a a a a ----====--+++--．所以()()2222222222(2)(2)||||||11m a m a RN PN QN aa aa +-=⋅⇔=--+-．故()()2222222222221112(1)2140,2133111a a a m t t t a m t t a a a a ⎛⎫-- ⎪--+--+⎛⎫⎡⎤⎝⎭====∈ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎣⎦⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭（其中1t a a =-∈R ）．所以(,14[14)m ∈-∞-++∞ ，且2m ≠-，因此直线l 在x轴上的截距为(,7[7(1,)2m-∈-∞---++∞ ．9．(1)2p =，=1x -(2)最小值为1(2,0)．【分析】（1）根据焦点坐标求解p ，再根据准线方程公式求解即可；（2）直线AB 的方程为(1)y k x =-，与抛物线联立，得到关于y 的韦达定理，用坐标表示12S S ，求得取得最小值时t 的值，再由()()22212312311312G x x x x y y y =++=++，结合韦达定理，求解即可.【详解】（1）由题意得12p=，即2p =，∴抛物线的准线方程为=1x -．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,,C x y 不妨设12y y >，又Q 在点F 的右侧，故1230y y y >>>，又直线AB 的方程为(1)y k x =-．联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，得2440y y k --=，∴124y y =-．1112AGB AGB AF y S S S AB y y ==-△△，3231AGC AGC CQ y S S S CA y y -==-+△△，由G 为ABC 的重心，有AGB AGC S S =△△，且1230y y y ++=．故2424211311121111122422421231212121121224242416S y y y y y y y y y y y S y y y y y y y y y y y y y -++---=⋅=⋅===---+---．令12S n S =，21y t =，则222416t t n t -=-，即2(2)4160n t t n --+=．①当2n =时，122S S =，此时8t =；②当2n ≠时，二次方程至少有一个正根，故0∆≥，解得22n ≥，若方程有两个非正根，此时12124021602x x n n x x n ⎧+=≤⎪⎪-⎨⎪=≥⎪-⎩，不等式组无解，故22n +≥，即12min1S S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8t =+．()()()222222123123121211131212G x x x x y y y y y y y ⎡⎤=++=++=+++⎣⎦()22121216y y y y =++．而218y t ==+2221168y y ==-，故G 点坐标为(2,0)．10．（I ）（-1，1）；（II ）2716.【详解】（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+，因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-．（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+．因为|PA12x +1)k +，|PQ|=2)Q x x -=-，所以3(1)(1)k k PA PQ ⋅--+=．令3()(1)(1)f k k k =--+，因为2'()(42)(1)f k k k =--+，所以f (k )在区间1(1,2-上单调递增，1(,1)2上单调递减，因此当k =12时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716．【点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3()(1)(1)f k k k =--+求解||||PA PQ ⋅的最大值．。
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高中数学解题方法研究策略
1. 引言
1.1 研究背景
数、段落格式等。
在高中数学教学中，数学解题方法一直是学生们关注的焦点之一。
因为数学解题方法的选择直接影响到解题的效率和准确性，也会对学
生的数学学习产生深远影响。
目前针对高中数学解题方法的研究却相
对较少，大部分教材和教学都只是简单地罗列了一些方法，缺乏系统
性和深度。
在这样的背景下，有必要对高中数学解题方法进行深入研究，探
索不同类型的数学解题方法以及它们的优缺点。
通过研究，可以为教
师和学生提供更科学、更系统的数学解题方法选择指导，帮助他们提
高解题的效率和准确性。
研究高中数学解题方法还可以促进数学教学
方法的创新，丰富高中数学教学内容，提高教学质量。
本文将围绕高中数学解题方法展开研究，通过分类、选择、应用、分析和优化等不同层面的讨论，深入探讨高中数学解题方法的相关问题，为高中数学教学提供新的思路和方法。
【研究背景】部分至此结束。
1.2 研究目的
高中数学是学生学习阶段中必须掌握的学科之一，数学解题方法的研究对于学生的学习成绩和数学能力的提升具有重要意义。
本文旨在探讨高中数学解题方法的研究策略，为学生提供更有效的解题技巧和方法，帮助他们更好地应对数学考试和数学问题。
研究目的是对高中数学解题方法进行深入分析和探讨，找出其中的规律和特点，为学生提供更系统、更科学的解题方法。
通过研究不同类型的数学题目，总结出高中数学解题的常见方法，并探讨这些方法的适用范围和优缺点。
希望通过本研究，能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高他们的解题能力和思维能力。
也可为教师在教学中提供更科学的指导和方法，帮助他们更好地引导学生，促进学生对数学的理解和学习。
通过研究高中数学解题方法，可以进一步完善教学体系，提高教学质量，推动数学教育的发展。
1.3 研究意义
高中数学解题方法的研究意义主要体现在以下几个方面：
研究高中数学解题方法可以帮助学生更好地掌握数学知识，提高数学解题能力。
通过深入研究不同的数学解题方法，可以让学生了解到不同问题的解决途径，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
研究高中数学解题方法还可以帮助教师更好地指导学生，为他们提供更有效的学习方法和策略。
研究高中数学解题方法可以促进数学教学改革和创新。
随着社会的不断发展和进步，传统的教学方法已经不能完全适应现代社会对数
学人才的需求。
研究高中数学解题方法可以不断探索和创新教学方法，提高教学效果，激发学生学习数学的兴趣和热情。
研究高中数学解题方法还可以促进数学教育的发展和完善。
通过
深入研究不同的解题方法，可以为数学教育提供更多的经验和借鉴，
为数学教学提供更多的参考和建议，促进数学教育的不断发展和提高。
研究高中数学解题方法具有非常重要的意义和价值。
【2000字】
2. 正文
2.1 数学解题方法的分类
数学解题方法的分类可以根据不同的角度进行划分。
一种分类方
法是根据解题思维的过程来划分，可以将数学解题方法分为直接求解法、转化方法和逆向推导法。
直接求解法指的是通过直接运用已知的
数学定理和方法进行解题；转化方法指的是将原问题转化为已知问题
或者比较简单的问题再进行求解；逆向推导法则是从已知条件倒推出
结论，是通过逻辑推理和反证法解决问题。
另一种分类方法是根据解题的难易程度来划分，可以将数学解题
方法分为基础方法、提高方法和拓展方法。
基础方法主要是针对基础
知识点和常见题型的解题方法；提高方法则是对一些较难的题目进行
解题的方法；拓展方法则是对于一些比较有创新性和拓展性的问题进
行解题的方法。
通过对数学解题方法的分类，可以更有针对性地选择合适的方法
来解决问题，提高解题效率和准确性。
在实际解题过程中，可以根据
具体的题目要求和难度选择相应的解题方法，以达到最佳的解题效
果。
2.2 高中数学解题方法的选择
在高中数学解题过程中，选择合适的解题方法是非常重要的。
不
同的数学问题可能需要不同的思维方式和技巧来解决。
在选择解题方
法时，我们可以根据问题的特点和难度来进行合理的选择。
我们可以根据题目的类型来选择解题方法。
比如对于代数题，我
们可以考虑使用方程组、代数式求值等方法来解决；对于几何题，我
们可以考虑使用几何证明、相似三角形等方法来解决；对于概率题，
我们可以考虑使用概率公式、排列组合等方法来解决。
我们还可以根据题目的难度来选择解题方法。
对于简单的数学问题，我们可以直接使用基本的数学运算来解决；对于复杂的数学问题，我们可以考虑使用数学推理、逻辑推断等高级方法来解决。
在选择解题方法时，我们还需要考虑到解题方法的适用性和效率。
有些方法可能在某些情况下很有效，但在其他情况下却不适用；有些
方法可能需要较长的计算过程，不适合在考试中使用。
我们需要根据
具体情况来选择合适的解题方法，以提高解题效率和准确性。
2.3 高中数学解题方法的应用
高中数学解题方法的应用是数学学习中非常重要的环节。
在解决
数学问题时，选择合适的解题方法是至关重要的。
不同的数学问题需
要使用不同的解题方法，因此学生需要根据问题的特点来灵活运用各种解题技巧。
高中数学解题方法的应用还包括在考试中的实际运用。
考试是学生学习成果的检验，因此学生需要在考试中熟练运用各种解题方法来快速准确地解决问题。
有时候，时间是非常宝贵的，掌握多种解题方法可以帮助学生在有限的时间内完成更多的题目。
高中数学解题方法的应用还可以培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
通过不断练习并应用各种数学解题方法，学生可以提高自己对问题的分析和解决能力，培养自己的思维灵活性和创造性。
高中数学解题方法的应用是一个全面提高学生数学学习能力和解决问题能力的过程。
通过灵活应用各种解题方法，学生不仅可以更好地掌握数学知识，还可以提高自己的解题效率和解题准确性，为将来的学业和职业发展奠定良好的基础。
学生应该认真学习各种数学解题方法，并在实际学习和考试中勇敢运用，不断提升自己的数学解题能力。
2.4 高中数学解题方法的实例分析
在高中数学解题过程中，我们常常会遇到各种各样的问题，需要采用不同的解题方法来解决。
下面我们通过一个实例来分析高中数学解题方法的应用。
假设我们要解决以下代数题目：
已知函数f(x)=2x^2+3x-1，求f(2)的值。
首先我们可以通过直接代入x=2来计算f(2)的值，即：
f(2) = 2(2)^2 + 3(2) - 1
= 2(4) + 6 - 1
= 8 + 6 - 1
= 13
另一种方法是通过函数的图象来求解。
我们可以将函数f(x)画出来，然后找到x=2对应的函数值即可得到f(2)的值。
通过这个例子，我们可以看出高中数学解题方法的灵活运用。
在
解题过程中，可以根据具体情况选择合适的方法来解决问题，提高解
题效率。
在实际应用中，我们也可以结合不同的解题方法来验证结果，确保解题的准确性和全面性。
熟练掌握各种数学解题方法，对于高中
数学学习至关重要。
2.5 高中数学解题方法的优化
高中数学解题方法的优化是指通过不断总结经验，探索新的方法
和策略，以提高解题效率和准确性。
在实际解题过程中，学生们可以
根据具体情况灵活运用各种方法，同时也可以针对常见错误和困难点
进行针对性的优化。
对于常见的解题方法，学生们可以通过反复练习和总结经验，进
一步巩固和优化自己的解题技巧。
比如在代数方程的解题中，可以通
过多做一些练习题，尝试不同的解题思路，来提高解题速度和准确性。
学生们可以尝试探索新的解题方法和策略。
比如在几何解题中，可以尝试运用反证法和归纳法等思维方式来解决问题，提高解题的灵活性和多样性。
针对高中数学解题中常见的错误和困难点，学生们可以有针对性地进行优化。
比如对于常见的代数计算错误，可以通过认真分析错题原因，并加强相关知识点的学习和练习，来避免同类错误的再次发生。
3. 结论
3.1 总结与展望
通过对高中数学解题方法的研究，我们可以得出以下几点总结和展望：
高中数学解题方法的分类是非常重要的，只有清晰地了解各种方法的特点和适用范围，才能在解题过程中选择合适的方法。
在今后的研究中，可以进一步探讨不同数学题型对应的解题方法，并提出更加精细化的分类方法。
高中数学解题方法的选择是需要灵活运用的，不能一成不变地套用某一种方法。
在实际解题中，我们需要根据题目的具体要求和条件选择合适的方法，有时甚至需要结合多种方法进行综合分析。
高中数学解题方法的应用是需要不断实践和训练的。
只有不断积累解题经验，才能更加熟练地运用各种方法解决问题。
在未来的研究中，可以开展更多的解题方法训练和实践活动，提高学生的解题能力。
高中数学解题方法的优化是一个持续改进的过程。
随着数学教育的不断发展和变革，我们需要及时总结经验，优化解题方法，提高解题效率。
希望在未来的研究中，能够不断探索新的解题方法，为提高学生数学学习水平做出更大贡献。