高中数学解题中向量方法的应用研究
向量在解决高中数学问题中的应用
向量在解决高中数学问题中的应用【摘要】向量是高中数学中重要的概念，具有广泛的应用价值。
本文首先介绍了向量的概念和性质，包括向量的定义、方向、模长等基本概念。
接着讲解了向量的加法和减法运算，以及向量的数量积和夹角的相关知识。
然后通过举例说明了向量在数学问题中的具体应用，例如求解三角形和平行四边形的问题。
讨论了向量在高中数学中的重要性，以及向量在其他领域中的应用拓展。
总结指出，掌握向量的知识能够帮助我们更好地解决数学问题，提高数学思维能力，是高中数学学习中不可或缺的一部分。
通过本文的学习，读者可以更深入地了解向量在解决高中数学问题中的应用及重要性。
【关键词】向量、高中数学、应用、概念、性质、加法、减法、数量积、夹角、三角形、平行四边形、重要性、拓展、总结。
1. 引言1.1 向量在解决高中数学问题中的应用向量在解决高中数学问题中的应用非常广泛，它可以帮助我们更好地理解和解决复杂的数学问题。
在高中数学中，我们经常会遇到各种与方向、大小和位置有关的问题，而向量恰好可以提供一种简洁而直观的方法来描述这些问题。
通过引入向量的概念和性质，我们可以轻松地进行向量的加法和减法运算，从而解决复杂的方向和位置问题。
向量的数量积和夹角也可以帮助我们求解与向量相关的长度、角度等问题。
通过学习向量的基本性质和运算规律，我们可以更快更准确地解决各种高中数学问题。
在实际应用中，向量还可以帮助我们解决三角形和平行四边形等几何问题。
通过向量的方法，我们可以更直观地理解和证明几何定理，从而提高解题的效率和准确性。
向量在高中数学中扮演着非常重要的角色，它不仅可以简化问题的求解过程，还可以帮助我们更深入地理解数学知识。
向量在解决高中数学问题中的应用是非常广泛且重要的。
通过深入学习和理解向量的概念和性质，我们可以更好地应用向量解决各种复杂的数学问题，提高解题的效率和准确性。
向量对于高中数学的学习和应用具有重要的意义。
2. 正文2.1 向量的概念和性质向量是高中数学中的重要概念之一，它在解决各种数学问题中起着至关重要的作用。
人教版高中数学必修二第9章9.4向量的应用精品课程课后练习及详解大全
反思 感悟
用向量法求长度的策略 (1)根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式 |a|2＝a2求解. (2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)， 则|a|＝ x2＋y2.
跟踪训练2 在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边上的 中线AD的长是
∴A→B＝－32C→D，∴A→B与C→D共线. 又|A→B|≠|C→D|，∴该四边形为梯形.
12345
4.当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大
小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为
A.30°
B.60°
C.90°
√D.120°
解析 作O→A＝F1，O→B＝F2，O→C＝－G(图略)， 则O→C＝O→A＋O→B，
答案 物理中的向量：①物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位 移都具有大小和方向，因而它们都是向量. ②力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它们也符合向 量加法的三角形法则和平行四边形法则；力、速度、加速度、位移的分 解也就是向量的分解，运动的叠加也用到了向量的加法. ③动量mv是数乘向量. ④力所做的功就是作用力F与物体在力F的作用下所产生的位移s的数量积.
解析 对于 A，A→B－A→C＝C→B，故 A 中结论错误； 对于 B，设 θ 为向量A→B与B→C的夹角， 因为A→B·B→C＝A→B·B→C·cos θ，而 cos θ<1， 故A→B·B→C<A→B·B→C，故 B 中结论正确； 对于 C，A→B＋A→C·A→B－A→C＝A→B2－A→C2＝0， 故A→B＝A→C，所以△ABC 为等腰三角形，故 C 中结论正确；
A.v1－v2
√B.v1＋v2
高中数学解题中平面向量方法的应用分析
高中数学解题中平面向量方法的应用分析
高中数学解题中，平面向量方法是一种常用的解题方法。
它主要应用于平面几何、线
性代数和解析几何等领域。
下面将从几个方面分析平面向量方法在高中数学解题中的应
用。
在平面几何中，平面向量方法可以用于解决平面上的点、线、面的位置关系问题。
通
过引入向量的概念和运算法则，可以用向量的加减、数量积等操作来表示和计算线段、向
量的长度、夹角、平行关系等几何性质。
可以用向量来证明平行线之间的距离相等、求解
点在直线上的投影等问题。
在线性代数中，平面向量方法可以用于求解线性方程组。
通过将线性方程组写成矩阵
乘法的形式，并用向量表示未知数，可以将求解线性方程组的问题转化为求解向量的线性
组合的问题。
利用向量的性质和运算法则，可以通过增广矩阵的行变换来求解未知数的值。
可以用向量法解决线性方程组的解的存在唯一性以及解的求法等问题。
平面向量方法还可以用于解决高等数学中的微分和积分问题。
通过将函数表示为向量
函数，可以简化微分和积分的运算过程。
可以用向量函数求导来计算曲线的切线和法线，
用向量函数积分来计算曲线的弧长和面积等问题。
浅谈平面向量在高中数学中的应用
出来，通过向量的矢量运算，来求解几何问题，这样有
利于学生对知识的融合理解，帮助学生同时增加向量
与立体几何的解题经验．
例３ 四边形犃犅犆犇 是菱 形，犃犆犈犉 是矩形，平面 犃犆犈犉
⊥ 平面犃犅犆犇，犃犅＝２犃犉＝２，
∠犅犃犇 ＝６０°，犌 是犅犈 的中点．
（１）用 两 种 方 法 证 明：犆犌
∥ 平面犅犇犉．
备考
征进行说明，同时也可以利用向量的运算来计算解析
几何的性 质．明 确 向 量 在 解 析 几 何 中 的 应 用，更 加 有
利于学生 开 拓 解 题 思 维，优 化 学 生 的 认 知 结 构，对 于
学生的向量学习有很大意义．
例２ 已知点 犕（－２，０），犖（２，０），点犘 满足：直 线犘犕 的斜率为犽１，直线犘犖 的斜率为犽２，且犽１·犽２
犗犎 平面犅犇犉，所以犆犌 ∥
平面 犅犇犉．
图２
向量作为有力的数学工
具，可以通过具体的应用把高中阶段的知识点相互联
系，帮 助 构 成 完 整 又 严 密 的 知 识 体 系．学 生 要 善 于 分
析向量的应用并加以掌握，才能从整体上完成对向量
知识的认知，同时加强数学方法的学习．犠
高中
６７
何形 式 与 代 数 形 式，是 连 接 代 数 与 几 何 的 天 然 桥 梁．
在高中数学立体几何中，为了考查学生对于直观性和
抽象性问题 的 理 解，通 常 会 将 数 与 形 结 合 起 来 一 起
考，对 于 这 类 综 合 性 质 较 强 的 问 题，学 生 可 以 利 用 向
量的数学性质，将空间中的几何量用向量的形式表现
为定值．讨论直线犾的斜率存在，设直线犾的方程为狔＝ 犽（狓 －１）（犽 ≠０），联立轨迹犆 的方程构造函数，运用 韦达定理和向量的数量积可得 犿；当直线犾的斜率不
高中数学第二章平面向量向量应用举例例题与探究(含解析)
2.7 向量应用举例典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。
思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：|AC｜2＋|BD|2=2|AB｜2＋2|AD|2。
证法一：如图2—7—1所示，设AB=a, AD=b，∴AC=AB＋AD=a＋b，BD=AD-AB=b-a。
图2-7—1∴｜AC｜2=(a+b）2=a2+2a·b+b2，｜BD｜2=（b—a)2=a2-2a·b＋b2。
∴｜AC|2＋|BD|2=2a2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2｜OB|2＋2|OD|2=2a2+2b2，∴｜AC｜2＋|BD|2=2|AB|2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二:如图2—7-2所示，以A为原点,以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.设A（0，0）、D（a,b）、B（c，0），∴AC=AB＋AD图2—7-2=OB＋OD=(c，0）+（a，b)=(a+c,b），BD=AD—AB=OD—OB=（a，b)-(c,0）=（a-c,b)。
∴|AC｜2=（c+a）2+b2，|BD｜2=（a-c）2+b2.∴｜AC|2＋|BD｜2=2a2+2c2+2b2。
又∵2｜AB｜2＋2|AD｜2=2|OB｜2＋2｜OD｜2=2a2+2c2+2b2,∴|AC|2＋|BD｜2=2|AB｜2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。
绿色通道：1。
向量法解决几何问题的步骤:①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种),研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系。
这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译)。
高中数学教学中向量教学的应用
２０１３年 ９月 １８日
高 中 数 学 教 学 中 向 量 教 学 酌 应 用
文／黄 春 雷
摘 要 ：向量在 高 中数学教 学 中的应用不仅 有助于提高教师的教 学效率和水平 ，还有助 于提高 学生的思维 能力 、分析及解决 问题 的能力 、探 究能力 以及创新能力，实现提高学生数学学习的效果和 目的。通过分析高 中数学 中应用向量教学需要注意的问题 ，提 出行 之 有 效 的教 学 策 略 。
力 、思维 能力 以及 创新能力来 解决数学 问题 ，从 而提高 学生 的综 教学中要有意识地培养学生将 向量知识运用于现实 生活中 ，提 高
合 素质 和能力 ，这也是开 设数学课程 的重 要 目标之一 。学生较 强 学生理论 联系实际的能力。在现实生活 中，运用 向量知识解决 问
的思维能力是 在对数学 问题进行逻辑 性分析 的基础上 逐渐提 高 题的例子 有很多 ，下面 以平 面向量 的数量 积知识 为例 ，说 明向量
的优 点是不需要 太复杂 的方 法就可 以使 难度较 大的几何 问题得 证 向量运算法则 的形成 过程 ，让学生对 向量将抽 象知识转化 为具
到有效 的解 决 ，学生只需要对向量相关 的代人 公式 有一个准确 的 体知识 的过程 有一 个充 分的认识 和了解 ，从 而提高学生应用 向量
掌握便能够达到预期 的 目的。
向量知识 ，并且为学生精心准备一些针对性 比较强 的几何数学题 ， 而提 高学生运用 向量知识解决数学问题的能力。在认识和理解向
让学生在学 习向量概念 知识后进行 练习 ，以巩固刚刚学习 的理论 量概念知识时 ，学生应对数学各部分 知识的 内在联系有一 个准确
知识 ，加 深学生对 向量知识 的印象 ，从而实现 学生理解 和运用 向 的认识和把 握 ，还要将数学 知识 进行相应 的整合 ，使 数学知识 能 量知识 的能力 ，进而提高学生高中数学知识 的学习效果和水平 。 够相互渗透 和协调 ，最终形 成 比较完整 的知识体 系 ，从 而提 高学
向量在高中数学中的应用
、
创 设 情 景 。 发 兴趣 激
提高 了学 习数 学 的 兴趣 。 画的直 角三角形 大小不一样 ， 但最终都得 喜 悦 ，
教 师在教 学 中要善于联 系教材 与学 设有思考价值 的问题或悬念 ， 以激发学生 的求知欲望。
到了相 同的结果 ， 从而总结 出了直 角三角
直 １要 生 的实际 ，设计生动有趣 的教学情景 ， 创 形 三边 之 间 的 关 系 ： 角三 角形 两 直 角边 点 ， ． 自然合理。导入既是前面知识 的 的 平 方 和 等 于 斜 边 的 平 方 。 这 时 教 师 指 继 续 ， 是 后 续 知 识 的 开 端 ， 一 定 的积 又 以
体会。
一
活 动是个人体验 的源泉 ， 在数学活动 中学习数学 ， 建构新的知识 、 新的信息 ， 因 势利导 ， 帮助提高学生的思维能 力。 要求每个学 生各 自画一个直角三角形 ， 测 下它们 的平方 ， 观察两直 角边 的平 方与 经提 问 ， 同学们踊跃发言 。虽 然同学们
。这样引入 ， 将本节课的教学 如在讲 “ 勾股定理 ” 这节课时 ， 课前我 计图的选择”
积 的最 大值 、 小 值 ． 类题 在知 识 交 汇 处 最 这 出题 ， 点在 于 向量 的运 算 转 化 ． 学 生 难 因此
Ｃ
函数的一种工具 ， 有着极其丰富 的实际背
景 ， 高 考 关 注 的 知 识 “ 汇 点 ”下 面 举 是 交 ． 例 说 明 向 量 的几 种 应 用及 应 对 策 略 ．
验 到 了数 学 在 实际 生 活 中的 作 用 ，而 且 品
“ 良好 的开 端是 成 功的 一半 ” 教 师 ， 要 上 好 一堂 课 ， 入 起 着 重 要 的作 用 。 导 倘 若 新 课 一 开始 ，学 生 的积 极 性 就 被 调 动 起 来 ，那 就会 使 学 生 在 浓 厚 的 兴 趣 中接 受 新 的 知识 ，从 而 取 得 良好 的 是 值 得我 们探 讨 的重 要课 题 。下 面 ， 本
高中新课程中数学向量教学的研究
高中新课程中数学向量教学的研究摘要：向量既是几何的研究对象，又是代数的研究对象，是沟通代数、几何的桥梁，是重要的数学模型。
在高中数学中学习向量有助于学生体会数学与现实生活和其他学科的联系，理解数学运算的意义及价值，发展运算能力，把握处理几何问题的一种方法，体会数形结合思想，增进对数学本质的理解。
向量的教学应突出物理背景，注重向量的代数性质及其几何意义，关注向量在物理、数学、现代科学技术中的应用。
关键词：数学新课程；向量；教学向量是高中数学新课程中的重要内容。
《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）中，在必修课程（数学4）、选修课程（系列2—1）中分别设置了平面向量与空间向量的内容。
课题组在新课程远程培训和网校学习中了解到，相当一部分数学教师认为高中数学课程中的向量主要是作为解决几何问题的一种工具，以简化几何证实。
因此，对于向量教学的研究主要集中于向量在解几何问题中的应用，向量教学的重点放在用向量解几何问题的技巧上。
本文试图对高中数学新课程中向量内容的定位、向量的教育价值以及向量教学中应注重的几个问题做一探讨。
研究过程:一、对向量的理解向量早在19世纪就已成为数学家和物理学家研究的对象，20世纪初被引入中学数学。
我国在1996年高中数学教学大纲中引入了向量。
这次，《标准》中也设置了向量的内容。
高中数学新课程中之所以设置向量的内容，是基于以下几方面的熟悉。
（一）向量具有丰富的物理背景矢量是物理学研究的基本量之一，它既有大小，又有方向。
如，力、位移、速度、加速度、动量、电场强度等都是矢量。
这些量贯穿于物理学的许多分支，都是数学中的向量的现实原型，为数学中的向量提供了丰富的物理背景。
（二）向量是几何的研究对象物体的位置和外形是几何学的基本研究对象。
向量可以表示物体的位置，也是一种几何图形（有向线段），因而它成为几何学的基本研究对象。
作为几何学的研究对象，向量有方向，可以刻画直线、平面等几何对象及它们的位置关系；向量有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。
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高中数学解题中向量方法的应用研究
作者：钟桂珍
来源：《中学课程辅导·教学研究》2017年第17期
摘要：在目前我国高中数学学习中，向量方法解题被广泛的应用，甚至在物理学习中都有所涉及。
向量方法不单单是高中数学学习中较为重要的学习内容，它也是作为一种常见的解题手段而存在。
其数形结合的特点，可以将多方面的知识连接在一起，更为直观和形象的建立成为一个整体。
本文作者通过阅读大量资料和习题，着重分析高中数学解题中向量方法的使用，对于实际的向量方法教学有一定的参考意义。
关键词：高中数学；向量；应用研究
一、向量解题方法对于高中数学教学的必要性：
1.加深学生理解目前我国数学教育教材的设置，在高中以前的初中数学教育阶段，主要涉及数学常量和变量的一些基础知识，也是主要为高中包括后面的数学学习打下坚实基础。
高中数学中向量的学习则是在初中数学的学习基础之上帮助学生初步构建数学学习知识体系，对于学生从初中数学意识向高中数学学习思路的转型起到过渡作用。
可以有效的加深学生对于数学学习的理解。
2.提升高中生解题能力向量知识作为重要的解题方法存在，对于思维推理能力以及空间能力正在塑造过程中的高中生来说，可通过简单、形象、直观的表现方式，帮助学生快速解答问题，对于学生初步建立数学模型有一定的帮助。
3.数形结合，提升学生发散式思维数形结合思维是向量解题方法中非常重要的部分。
它可以将本身比较复杂和繁琐的数字和文字描述，通过向量构建成形象直观的模型，并且结合命题数据展示出来。
对于教师来说，在课程设计上面，要注重将问题转化为概括性、抽象性等形式，再通过教师的思路引导，可以有效的帮助学生建发散式思维。
二、数学解题中影响向量解题法的一些因素分析：
数学解题过程中因素分析：在实际的解题过程中，影响向量解题法的因素众多，本文将这些因素进行了汇总和分析：
第一，情感因素。
情感因素在高中生学习过程中占据重要位置。
包括我们常见到的学生的学习兴趣、爱好、学生学习的动力来源等等，这些对于学生的学习和解题过程起到主导作用。
第二，经验因素。
数学解题是一个复杂的过程，其经验因素主要体现在它对于学生基础知识储备、个人解题偏好、思路等方面也是有所要求的。
三、高中数学解题中向量方法的实际应用
1.三角函数解题中向量的使用三角函数同样作为高中数学教学中的重点知识，在结合向量方法解答三角函数问题的时候，往往可以将问题思路清晰直接的展现出来，使得解题过程变得更加轻松。
例：已知f（x）=2sin（x+π3），
（1）若向量，m=（cosx2，3cosx2），n（-cosx2，sinx2）并m//n。
求f（x）的值。
（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）
cosB=bcosC，求f（A）的取值范围.
解答：（1）由m//n，可得cosx2sinx2=-3cosx2cosx2，所以cosx2=0。
或tanx2=-3，所以
x=2kπ+π或x=2kπ-2π3（kεZ），f（x）=-3.
因为（2a﹣c）cosB=bcosC
由正弦定理可知2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，所以2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC。
2sinAcosB=sin（B+C），因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，且s inA≠0。
所以，cosB=12，B=π3
最后可得，f（A）的取值范围为（0，2]。
这道例题就是典型的利用向量知识，结合三角函数正弦定理等知识的实际应用。
2.向量问题在不等式中的实际应用求解不等式的问题在高中数学中的应用也是相当的广泛，但是在实际的解题过程中如果能够很好的结合使用向量方法，往往可以简化解题过程，提高解题效率，开阔解题思路。
例题：应用向量证明不等式√（a12+a22+a32）√（b12+b22+b32）≥|a1b1+a2b2+a3b3|
解答：
构造向量m=（a1，a2，a3），n=（b1，b2，b3），
则m·n=（a1b1，a2b2，a3b3）.
故依向量模不等|m|·|n|≥|m·n|，得
√（a12+a22+a32）·√（b12+b22+b32）≥√（a1b1+a2b2+a3b3）2=|a1b1+a2b2+a3b3|.
故原不等式成立。
在不等式证明的问题中，对一些变形技巧的应用比较的广泛，否则是很难进行证明的。
在实际的不等式证明过程中，如果能够把一些数字装换为向量，就能够有效的将不等式中抽象的关系转化成为更加形象具体的向量关系，帮助解答问题。
因此在实际的不等式解题中，如何找到向量切入点是很关键的。
3.利用向量解决几何问题向量本身的方向和长度是能够代表实际的数值以及位置坐标关系的。
因此在解决几何问题的时候适当的加入向量解题方法，可以直观有效的建立解题模型，对于解题过程有很大的帮助。
例：已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为三角形ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于？（根号2/3）是以A1在底面投影O为原点建系，AO为X轴.设边长1，请讲一下如何表示A，B1坐标？
解答：设边长为6，延长AO与BC交於D，则AD=3√3
由等边三角形中心性质可知OA=2√3，∴A（2√3，0，0）
AA1=6，勾股定理得OA1=2√6，∴A1（0，0，2√6）
BD=BC/2=3，OD=√3，且BD⊥AD
∴B（-√3，3，0）
∵A1B1∥=AB，∴A1B1→=AB→
设B1（x，y，z），则A1B1→=（x，y，z-2√6）
AB→=（-3√3，3，0）
∴B1（-3√3，3，2√6）
AB1→=（-5√3，3，2√6）
易证OA1→=（0，0，2√6）是面ABC的法向量
设AB1与面ABC所成角为θ，则sinθ=|cos|=|AB1→·OA1→|/|AB1→||OA1→|=|0+0+24|/[√（75+9+24）*√（0+0+24）]=√2/3
结束：通过上面的举例分析，我们可以实际看到向量方法在高中数学中的广泛应用。
因此对于向量方法的学习和使用，需要我们的教师切合实际的引导学生开放思维。
从而不断提高学习效率和质量。
参考文献：
[1]李卓洁.关于向量在解决高中数学问题中的应用研究[J].信息化建设.2015年6月
[2]刘爽.高中数学解题中向量方法的应用分析[J].数学学习与研究.2015年7月
（作者单位：江西省赣州市兴国县平川中学 342400）。