椭圆与双曲线的几何性质分析
3.2.2双曲线的简单几何性质(第一课时)课件(人教版)
令Δy= x
= (x- 2 −
2
)
∵x≥a>0
∴ 2 − <x
−
N(x,y’)
y
Q
b
M(x,y)
B2
A1
A2
o
(x≥a)
a
x
B1
b
y x
a
b
y x
a
∴Δy>0 即在第一象限，对于任意一个x,
x> 2 −
• 即 直线y= x与曲线y= 2 − 在第一象限不相交
，并且直线y= x始终在曲线y= 2 − 上方。
2
2
根据双曲线的对称性，直线y= x与双曲线 2 - 2 =1不
相交，两者对于同一个横坐标对应的纵坐标的绝对值
始终是前者的比后者的大。
2
2
• 同理，直线y=- x与双曲线 2 - 2 =1也有相同的结
论
∵b= 2 − 2
∴ = (2 − 1)
e越趋近于1，b越小，两渐近线开口越小，双曲线
开口也越小；e越大，b越大，两渐近线开口越大，
双曲线开口也越大。
例3.求双曲线9y2－16x2=144的实半轴长、虚半轴长、
焦点坐标、离心率、渐近线方程.． 2 2
分析 把已知方程化成标准方程为 : - ＝1
第三章 圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
（第一课时）
•
高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。
（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。
⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。
⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。
椭圆、双曲线、抛物线知识总结
一．椭圆二．双曲线四．椭圆、双曲线及抛物线的性质对比(焦点在x轴上)名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2︱)|PF|= 点F不在直线l上，PM⊥l于M标准方程12222=+byax（a>b>0)12222=-byax(a>0,b>0)y2=2px(p>0)图象几何性质范围byax≤≤,ax≥0≥x顶点),0(),0,(ba±±)0,(a±(0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点（±c,0 ）)0,2(p轴长轴长2a,短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b准线cax2±=2px-=通径abAB22=pAB2=渐近线xaby±=...——知识就是力量，学海无涯苦作舟!——不要担心知识没有用，知识多了，路也好选择，也多选择。
比如高考，高分的同学，填报志愿的时候选择学校的范围大，而在分数线左右的就为难了，分数低的就更加不要说了。
再比如，有了知识，你也可以随时炒老板。
双曲线的几何性质(1)
x y − 2 =1 2 a b
2
2
x2 y 2 Ⅳ共轭双曲线可以写成 2 - 2 =λ (λ ≠ 0) a b
二.应用举例:
例1.求双曲线9y – 16x =144的实半轴 求双曲线9y =144的实半轴 求双曲线 与虚半轴长,焦点坐标, 与虚半轴长,焦点坐标,离心率及渐进线方 程. x2 y2 解:把方程化成标准方程 16 - －=1 把方程化成标准方程: 把方程化成标准方程 － 9
2 2
实半轴长a=4,虚半轴长 虚半轴长b=3 故 实半轴长 虚半轴长 ________ ∴ c=√16+9 =5.
焦点坐标是(0, -5), (0, 5)
∴ e=－ 4
4
5
渐进线方程为:y=± 3 故 渐进线方程为 ±－x
随堂练习 1、双曲线 双曲线
x y − =1 4 8
B
) C B
2
2
的两条渐近所夹锐用
B1
b c −a 2 Qk = = = e −1 a a x
2 2
越大,渐进线斜率越大, 即:e越大,渐进线斜率越大,夹角越 大，其开口越阔. 其开口越阔. e越小,渐进线斜率越小,夹角越小， 越小,渐进线斜率越小,夹角越小， 其开口越扁狭。 其开口越扁狭。
x y − 2 =1 2 a b
2
2
y N Q M
桂东一中 黄飞强（二次开发）
思考回顾
椭圆的有哪些简单几何性质 ？ ①范围; 范围; 顶点; ③顶点; ②对称性; 对称性; ④离心率等
双曲线是否具有类似的性质呢? 双曲线是否具有类似的性质呢?
一、双曲线的简单几何性质
y
N Q B2 A1 O M
1.范围:
两直线x=±a的外侧
椭圆双曲线基本知识
一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。
第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数)10(<<e e 的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。
常数叫做离心率。
注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x 轴上 中心在原点，焦点在y 轴上标准方程 )0(12222>>=+b a b y a x )0(12222>>=+b a bx a y 参数方程 ⎩⎨⎧==θθθ(sin cos b y a x 为参数)⎩⎨⎧==θθθ(sin cos a y b x 为参数)图 形顶 点 ),0(),,0()0,(),0,(2121b B b B a A a A -- ),0(),,0()0,(),0,(2121a B a B b A b A --对称轴 x 轴，y 轴；短轴为b 2，长轴为a 2焦 点 )0,(),0,(21c F c F -),0(),,0(21c F c F -焦 距 )0(2||21>=c c F F 222b a c -=离心率)10(<<=e ace （离心率越大，椭圆越扁） 准 线c a x 2±=ca y 2±=通 径ep ab 222=（p 为焦准距） 焦半径0201||||ex a PF ex a PF -=+=0201||||ey a PF ey a PF -=+=焦点弦)(2||B A x x e a AB ++=仅与它的中点的横坐标有关)(2||B A y y e a AB ++=仅与它的中点的纵坐标有关焦准距 cb c c a p 22=-=二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。
双曲线的性质课件(PPT 15页)
y
B2
A1 F1 O
F2 A2
x
B1
y C3C2 C1
O
x
焦点在x轴上的双曲线图像
y 渐进线方程： b x a
Y x2 y2 1 a2 b2
B2
F1
A1
A2 F2 X B1
离心率对双曲线形状的影响
焦点在y轴上的双曲线图
像
Y
y2 a2
x2 b2
1
F2
A2
B1
O
B2
X
A1
F1
焦点在y轴上的双曲线的几何性质
2、对称性：关于x轴，y轴，
原点对称。 3、顶点 A1(-a,0),A2(a,0)
F1 A1 O
A2 F2
x
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
B1
|A1A2|=2ca,|B1B2|=2b 5、离心率：e= a
根据以上几何性质能够
根据以上几何性质能否
较准确地画出椭圆的图形？ 较准确地画出双曲线的图形呢？
双曲线标准方程：y 2 x 2 1 双曲线性质： a 2 b2
Y
1、范围：y≥a或y≤-a
F2
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
A2
3、顶点 A1（0，-a），A2（0，a）
4、轴：实轴 A1A2 ; 虚轴 B1B2 B1
5、渐近线方程： y a x
o
b
6、离心率：e=c/a
A1
F2
B2 X
Y
F1
B2
F’1 A1 o
B1
X
A2 F’2
F2
证明:(1)设已知双曲线的方程是:
x2 a2
y2 b2
1
《双曲线的几何性质》教案(公开课)
(一)知识教学点使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征．(二)能力训练点在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才干解决双曲线中的弦、最值等问题．1．重点：双曲线的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生类比椭圆的几何性质得出，至于渐近线引导学生证明． ) 2．难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证．(解决办法：先引导学生观察以原点为中心， 2a、2b 长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线． )3．疑点：双曲线的渐近线的证明．(解决办法：通过详细讲解． )提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结．(一)复习提问引入新课1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？请一同学回答．应为：范围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的．2．双曲线的两种标准方程是什么？再请一同学回答．应为：中心在原点、焦点在 x 轴上的双曲线的标下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．(二)类比联想得出性质(性质 1~3)引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答，教师引导、启示、订正并板书)．<见下页>(三)问题之中导出渐近线(性质 4)在学习椭圆时，以原点为中心， 2a、2b 为邻边的矩形，对于估计仍以原点为中心， 2a、2b 为邻边作一矩形(板书图形)，那末双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图(图 2-26)有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想．接着再提出问题：当 a、b 为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？下面，我们来证明它：双曲线在第一象限的部份可写成：当 x 逐渐增大时， |MN|逐渐减小， x 无限增大， |MN|接近于零， |MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部份从射线 ON 的下方逐渐接近于射线 ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．现在来看看实轴在 y 轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y 轴上的双曲线方程是由焦点在 x 轴上的双曲线方程，将x、y 字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将 x、y 字这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线．(四)顺其自然介绍离心率(性质 5)由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．这时，教师指出：焦点在 y 轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．(五)练习与例题1．求双曲线 9y2-16x2=144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．请一学生演板，其他同学练习，教师巡视，练习毕予以订正．由此可知，实半轴长 a=4，虚半轴长 b=3．焦点坐标是(0，-5)， (0，5)．本题实质上是双曲线的第二定义，要重点讲解并加以归纳小结．解：设 d 是点 M 到直线 l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合：化简得： (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．这就是双曲线的标准方程．由此例不难归纳出双曲线的第二定义．(六)双曲线的第二定义1．定义(由学生归纳给出)平面内点 M 与一定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数 e=叫做双曲线的准线，常数 e 是双曲线的离心率．2．说明(七)小结(由学生课后完成)将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结．五、布置作业1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率 e 和渐近线方程．(1)16x2-9y2=144；(2)16x2-9y2=-144．2．求双曲线的标准方程：(1)实轴的长是 10，虚轴长是 8，焦点在 x 轴上；(2)焦距是 10，虚轴长是 8，焦点在 y 轴上；曲线的方程．点到两准线及右焦点的距离．作业答案：距离为 7六、板书设计。
双曲线的简单几何性质
双曲线的简单几何性质【基础知识精讲】1.双曲线22a x -22by ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y ∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a ，虚轴长为2b ，且c 2＝a 2+b 2.与椭圆不同.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y ＝±abx ，或令双曲线标准方程22a x -22b y ＝1中的1为零即得渐近线方程.(5)离心率e ＝ac＞1，随着e 的增大，双曲线张口逐渐变得开阔. (6)等轴双曲线(等边双曲线)：x 2-y 2＝a 2(a ≠0),它的渐近线方程为y ＝±x,离心率e ＝2.(7)共轭双曲线：方程22a x -22b y ＝1与22a x -22by ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注意方程的表达形式.注意：1.与双曲线22a x -22b y ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为22a x -22by ＝λ(λ≠0且λ为待定常数)2.与椭圆22a x +22b y ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-22a x -λ-22b y ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆， b 2＜λ＜a 2时为双曲线)2.双曲线的第二定义平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝ac(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝cb 2，与椭圆相同. 3.焦半径(22a x -22b y ＝1,F 1(-c,0)、F 2(c,0))，点p(x 0,y 0)在双曲线22a x -22by ＝1的右支上时，｜pF 1｜＝ex 0+a,｜pF 2｜＝ex 0-a;P 在左支上时，则 ｜PF 1｜-(ex 1+a),｜PF 2｜＝-(ex 1-a).本节学习要求：学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于掌握.双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.【重点难点解析】1.学习双曲线的几何性质，也可以与椭圆的几何性质对比进行，着重指出它们的联系和区别.2.本节重点是双曲线的几何性质，双曲线的第二定义及其应用，难点是双曲线的渐近线方程，第二定义，几何性质的应用.例1 (1)求中心在原点，对称轴是坐标轴，一条渐近线方程是y ＝-23x,且经过点Q(8，63)的双曲线方程.(2)已知双曲线满足：两准线间的距离为564，渐近线方程为y ＝±43x ，求双曲线方程. 分析 (1)据双曲线的渐近线方程，可求出a,b 之间的关系，以Q 点的坐标代入双曲线方程，即可求a,b 的值，亦可据共渐近线的双曲线系方程求出，这样可据焦点所在坐标轴的讨论.即设双曲线方程为42x -92y ＝λ(λ≠0)，将Q 点坐标代入求得 λ＝4故所求双曲线方程为 162x -362y ＝1.(2)当双曲线的焦点在x 轴上时，设其方程为22a x -22by ＝1,依题意有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,43,56422222b a c a b c a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.366422b a 故所求双曲线方程为 642x -362y ＝1当双曲线焦点在y 轴上时，同理求得其方程为：22)332(x -22)9128(y ＝1综上所述，所求双曲线的方程为642x -362y ＝1或22)332(x -22)9128(y ＝1.例2 过双曲线92x -162y ＝1的右焦点F 2，作斜率为2的弦AB ，求｜AB ｜的长.分析 运用焦半径知识较为简便. 依题意有a ＝3,c ＝5,e ＝35,F 2(5,0) 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=1169)5(222y x x y 消去y 得 5x 2-90x+261＝0. 设方程的两根为x 1,x 2. 于是｜AB ｜＝e(x 1+x 2)-2a ＝35×590-6＝24. 注：若用弦长｜AB ｜＝221+·212214)(x x x x -+解计算量显然大一些，本例中AB 为过焦点弦，所以运用焦半径解题就较自然了.例3 已知直线l 和双曲线22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)及其渐近线依次交于A 、B 、C 、D 四点，求证：｜AB ｜=｜CD ｜.分析 若直线l 和x 轴垂直，结论显然成立；若直线l 不与x 轴垂直，则可设l 的方程为y=kx+m,代入双曲线方程并整理得：(b 2-a 2k 2)x 2-2a 2kmx-a 2(m 2+b 2)=0,设A(x 1,y 1),D(x 2,y 2),则x 1+x 2=22222ka b kma -再将y=kx+m 代入双曲线渐近线方程b 2x 2-a 2y 2=0 并整理得 (b 2-a 2k 2)x 2-2a 2kmx-a 2m 2=0.设B(x 3,y 3),C(x 4,y 4),则x 3+x 4=22222ka b kma - ∴x 1+x 2=x 3+x 4表明线段AD 的中点和线段BC 的中点重合，故问题得到证明.【难题巧解点拨】例1 求与双曲线162x -92y ＝1有共同渐近线且过点(2，3)的双曲线方程.分析一 只要判断清楚已知点(2，3)与渐近线的位置关系，便可知双曲线方程的表达式，进而可求出方程.解法一：双曲线162x -92y ＝1的渐近线方程为：y ＝±43x将x ＝2代入方程y ＝43x 得y ＝43·2＝23<3 ∴点(2，3)在直线y ＝43x 的上方，于是设所求的双曲线方程为：22a y -22bx ＝1 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=123432222b a b a )2()1( 由(1)设a ＝3k,b ＝4k ，代入(2)得：299k -2164k ＝1∴k ＝±23(舍负) ∴a ＝323b ＝23∴所求方程为：4272y -122x ＝1即2742y -122x ＝1分析二 与双曲线162x -92y ＝1有共同渐近线的双曲线方程表示为162x -92y ＝λ，待定系数λ便可求出双曲线方程.解法二：设所求双曲线方程为162x -92y ＝λ，(1)将点(2，3)代入(1)得：164-99＝λ ∴λ＝-43 所求方程为：162x -92y ＝-43即：2742y -122x ＝1为所求说明：(1)由渐近线及一点可以确定双曲线的位置，解法一正是利用此性质先定位再求出a 、b ，进而求出双曲线方程.(2)方程22αx -22βy ＝λ 当λ＝0时，表示两条直线：αx +βy ＝0和αx -βy＝0，正是双曲线的渐近线方程.因此当λ≠0时，方程表示以直线22αx -22βy ＝0为渐近线的双曲线系.解法二正是利用了此原理，设方程再代入点坐标便可求出双曲线方程比较简捷.例2 在双曲线122y -132x ＝1的一支上不同的三点A(x 1,y 1)、B(26,6)、C(x 2,y 2)与焦点F(0，5)的距离成等差数列.(1)求y 1+y 2;(2)证明线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求该定点的坐标. 分析 (1)从双曲线的焦半径分析往往用第二定义. (2)证明过定点可采取求点坐标的方法.解：(1)∵a ＝23,b ＝13,c ＝5,∴e ＝a c＝325＝635.根据双曲线的第二定义，可得：｜AF ｜＝e(y 1-c a 2)＝ey 1-a ＝635y 1-23, ｜CF ｜＝e(y 2-c a 2)＝ey 2-a ＝635y 2-23, ｜BF ｜＝e(6-c a 2)＝6e-a ＝6×635-23=33. 又｜AF ｜、｜BF ｜、｜CF ｜成等差数列，∴｜AF ｜+｜CF ｜＝2｜BF ｜，即(635y 1-23)+( 635y 2-23)＝2×33,∴y 1+y 2＝12. (2)证明：设x 1+x 2＝t ，则线段AC 的中点为(2t,6).∵1221y -1321x ＝1, 1222y -1322x ＝1.∴12))((2121y y y y -+-13))((2121x x x x -+＝0,∴2121x x y y --＝131(x 1+x 2)＝13t .∴线段AC 的垂直平分线的斜率k ＝-t 13，从而其方程为y-6＝-t 13 (x-2t)，即(y-225)t+3x ＝0，显然它过定点(0，225). 点评：涉及焦半径问题往往考虑第二定义，一般来讲，双曲线22a x -22by ＝1上一点P(x 1,y 1)的左、右焦半径长为｜PF 1｜＝±(ex 1+a),｜PF 2｜＝±(ex 1-a)(其中P 在右支上取正号，在左支上取负号).【典型热点考题】例1 已知双曲线22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)左、右焦点分别为F 1和F 2，P 是它左支上点，P 到左准线距离为d.问：是否存在这样的点P ，使d,｜PF 1｜，｜PF 2｜成等比数列，说明理由.分析 对于存在性问题，先假设存在满足题意的对象，然后结合题设条件进行判断.设存在P(x 0,y 0)且x 0≤-a ，使d ，｜PF 1｜，｜PF 2｜成等比数列，则｜PF 1｜2=d ｜PF 2｜， 设d ′为P 点到右准线的距离，由双曲线第二定义得：dPF 1='2d PF =e ∴｜PF 1｜=ed,∴(ed)2=d ·ed ′，∴ed=d ′，∴e(-c a 2-x 0)=-x 0+ca 2, ∴x 0=e e a -+1)11( ∵x 0≤-a,∴ee a -+1)11(≤-a,∴e 2-2e-1≤0，∴1-2≤e ≤2+1,又e ＞1， ∴1＜e ≤2+1.故当双曲线的离心率e ∈(1, 2+1)时，存在满足条件的P ，而当e ∈(2+1,+∞)时，不存在满足条件的点P.注：利用双曲线的第二定义解题是非常有效的方法.本例还可以利用双曲线的两种定义再结合不等式｜PF 1｜+｜PF 2｜≥｜F 1F 2｜求解，请同学们自己完成.例2 如图，已知梯形ABCD 中，｜AB ｜=2｜CD ｜，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点.当（32≤λ≤43)时，求双曲线离心率e 的取值范围.分析 如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系，则CD ⊥y 轴.因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称.依题意，记A(-C ，0)，C(2c ,h),E(x 0,y 0,)其中c=21｜AB ｜为双曲线的半焦距，h 是梯形的高.由定比分点坐标公式得x 0=λλ++-12cc =)1(2)2(+-λλc ，y 0=λλ+1h 42e -22b h =1,①42e (12+-λλ)2-(1+λλ)222b h =1 ②由①式得22bh =42e -1③把③式代入②式，整理得42e (4-4λ)=1+2λ 故λ=1-232+e由题设32≤λ≤43得32≤1-232+e ≤43.解得 7≤e ≤10.所以双曲线的离心率的取值范围为［7,10］.注：本例先求出C 点纵坐标，用a 、b 、c 表示，然后将E 点坐标用λ表示，并代入双曲线方程，而得到含有e 与λ的等式，由λ范围求出e 的范围.例3 已知双曲线的两个焦点分别为M 、N ，点M 的坐标为(-2，-12)，点S(-7，0)、T(7，0)在双曲线.(1)利用双曲线定义，求点N 的轨迹方程；(2)是否存在过P(1，m)的直线与点N 的轨迹有且只有两个公共点A 、B ，且点P(1，m)恰是线段AB 的中点?若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由.分析 (1)设点N 的坐标为(x,y)，它不同于点M(-2，-12).由双曲线定义知 ｜｜SM ｜-｜SN ｜｜=｜｜TM ｜-｜TN ｜｜≠0 ∵S(-7,0),T(7,0),∴｜SM ｜=13,｜TM ｜=15.1°当｜SM ｜-｜SN ｜=｜TM ｜-｜TN ｜时，有｜TN ｜-｜SN ｜=2＜14=｜ST ｜，∴点N 的轨迹是中心在ST 的中点(0，0)，焦点为S 、T 的双曲线C 的左支，除去M(-2，-12)和D(-2，12)两点.双曲线C 的方程：x 2-482y =1(x ＜0). ∴点N 的轨迹方程为x 2-482y =1(x ＜0,y ≠±12). 2°当｜SM ｜-｜SN ｜=-(｜TM ｜-｜TN ｜)时，有｜TN ｜+｜SN ｜=28＞14=｜ST ｜，∴点N 的轨迹是中心在ST 的中点(0，0)，焦点为S 、T 的椭圆Q ，除去M(-2，-12)和D(-2，12)两点.椭圆Q 方程：1962x +1472y =1.∴点N 的轨迹方程为1962x +1472y =1(y ≠±12).综合1°、2°，点N 的轨迹方程为x 2-482y =1(x ＜0＝和1962x +1472y =1，其中y ≠±12.(2)1°当过点P(1，m)的直线的斜率k 不存在时，直线l 的方程为x=1，可得m=1.2°当k 存在时，设直线l :y=kx+m-k.若l 过点M 或点D.∵两点M 、D 既在双曲线C 上，又在椭圆Q 上，但不在点N 的轨迹上 ∴l 与点N 的轨迹只有一个公共点，不合题意；若l 不过M 、D 两点.当-43＜k 2＜43时(双曲线C 的渐近线方程为y ±43=0)，利用图像知，直线l 与点N 的轨迹有三个公共点，不合题意.当-∞＜k ≤-43或43＜k ≤+∞时，直线l 与点N 的轨迹有两个公共点A 、B ，且点P(1，m)是AB 的中点. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则在 3x 21+4y 21=12×49, ① 3x 22+4y 22=12×49, ② ①-②，得3(x 1+x 2)(x 1-x 2)=-4(y 1+y 2)(y 1-y 2) ③ 将x 1+x 2=2,y 1+y 2=2m,2121x x y y -- =k 代入③，得k=-m43.当43≤k ＜+∞，即43≤-m43＜+∞时，有-163≤m ＜0.【同步达纲练习】A 级一、选择题1.已知双曲线kx 2-2ky 2=4的一条准线是y=1，则实数k 的值等于( ) A.23 B.-32 C.-23 D.32 2.双曲线与其共轭双曲线有相同的( )A.顶点B.焦点C.准线D.渐近线3.过点(2，-2)且与双曲线x 2-2y 2=2有公共渐近线的双曲线方程是( )A.-42x +22y =1B. 42x -22y =1C.- 22x +42y =1D. 22x +42y =14.已知双曲线的半焦距为C ，两准线间的距离为d ，且c=d,则双曲线的离心率等于( ) A. 3B.2C.3D.25.当8＜k ＜17时，曲线k x -172+ky -82=1与82x +172y =1有相同的( )A.焦距B.准线C.焦点D.离心率二、填空题 6.以y=±21x 为渐近线，且焦点在坐标轴上，焦距为10的双曲线 . 7.双曲线42x -82y =1的两准线相距 ，两渐近线所夹的锐角等于 ；8.若双曲线的离心率为2，则其共轭双曲线的离心率为 .三、解答题9.试求以椭圆1692x +1442y =1的右焦点为圆心，且与双曲线9x 2-162y=1的渐近线相切的圆方程.10.过双曲线92x -162y =1的右焦点F 作倾斜角为4的弦AB ，求弦AB 的长及AB 的中点M到右焦点F 的距离.AA 级一、选择题1.在下列双曲线中，与双曲线32x -y 2=1的离心率和渐近线都相同的是( )A.3y 2-x 2=9 B.x 2-3y 2=9C.3y 2-9x 2=1D.3x 2-y 2=3 2.双曲线的两条渐近线方程为y=±43x,则双曲线的离心率为( ) A.45 B.2 C.45或35D.25或215 3.过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线162y -92x =1的通径的长是( )A.49 B.29C.9D.104.已知双曲线642x -362y =1上的一点P 到右焦点的距离为14，则P 点到左准线的距离为( )A.22B.24C.26D.285.已知双曲线x 2-y 2=1的左焦点为F ，点P 为双曲线在第三象限内的任意一点，则斜率k PF 的取值范围是( )A.k ≤0或k ≥1B.k ＜0或k ＞1C.k ≤-1或k ≥1D.k ＜-1或k ＞1二、填空题6.双曲线16x 2-9y 2=144上一点P(x 0,y 0)(x 0＜0)到左焦点距离为4，则x 0= .7.双曲线32x -y 2=1的共轭双曲线的准线方程是 .8.双曲线22ax -22b y =1的准线和渐近线的交点到双曲线的中心的距离等于 .三、解答题9.直线y=kx+1与双曲线x 2-y 2=1的左支交于A 、B 两点，直线l 过点(-2，0)和AB 中点，求直线l 在y 轴上截距b 的取值范围.10.求证：以过双曲线的一个焦点的弦为直径的圆，必与对应的准线相交，且这条准线截得的劣弧的弧度数为定值.【素质优化训练】1.过点A(1，1)且与双曲线x 2-y 2=2有且只有一个公共点的直线的条数是( ) A.1 B.2 C.3 D.42.双曲线的两条准线分焦点间的距离成三等分，则双曲线的离心率为( )A.33B. 2C.3D.23.若双曲线的两条渐近线是y=±23x ，焦点F 1(-26，0)，F 2(26，0)，那么它的两条准线间的距离是( )A.26138B.26134C.261318D.261394.已知双曲线的两个焦点是椭圆16x 2+25y 2=160的两个顶点，双曲线的两准线分别过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是( )A. 62x -42y =1B. 42x -62y =1C.52x -32y =1D.32x -52y =15.已知E 、F 分别是离心率为215 的双曲线22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)的左顶点与右焦点，记M(0，b)，则∠EMF 等于( )A.45°B.60°C.90°D.120°二、填空题6.已知双曲线162x -92y =1和点A(6，2)、B(5，0)，M 是双曲线上的一个动点，则45｜MA ｜+｜MB ｜的最小值为 .7.双曲线的离心率是e=3，则两渐近线的夹角是 .8.渐近线为y=±21x,且和直线5x-6y-8=0有且仅有一个公共点的双曲线方程为 .三、解答题9.已知点A(5，0)和曲线y=142x (2≤x ≤25)上的点P 1，P 2，…，P n ，若｜P 1A ｜，｜P 2A ｜,…，｜P n A ｜成等差数列并且公差d ∈(51,51),求n 的最大值.10.已知双曲线22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)离心率e=323，过点A(0，-b)和B(a,0)的直线与原点间距离23. (1)求双曲线方程；(2)直线y=kx+m(k ≠0,m ≠0)与双曲线交于不同的两点C 、D ，且C 、D 两点都在以A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围.【生活实际运用】1.运用双曲线的光学性质，设计并制作一台灯或吊灯.2.双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚构旋转所成的曲面，它的最小半径是6米，最小半径处的截口平面到地面距离是5米，底面截口半径是10米，求此双曲线的标准方程.注：这是一个有实际意义的题目.解这类题目时，首先要确认以下两个问题：(1)选择适当的坐标系；(2)将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来.双曲线的标准方程为362x -225162y =1.【知识验证实验】1.已知双曲线2x 2-y 2=2，试问过点N(1，1)能否作一直线与双曲线交于C 、D 两点，且使N 为CD 的中点?这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在，则说明理由.将问题一般化：N(x 0,y 0)，双曲线方程为22a x -22by =1，若过点N 的双曲线的中点弦存在，则N 点应在什么位置?其方程又为何?2.点P 是双曲线32x -122y =1右分支上任意一点，F 1，F 2分别为左、右焦点，设∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，求证：3tan2α=tan 2β. 解：在△PF 1F 2中，利用正弦定理及分比定理得βsin 1PF =αsin 2PF =)sin(21βα+F F =αβsin sin 21--PF PF ，∴2cos2sin28βαβα++=2sin2cos24αββα-+，即2sin2αβ-=sin2βα+,展开并简化，得3sin2αcos 2β=sin 2βcos 2β， ∴3tan 2α=tan 2β.【知识探究学习】舰A 在舰B 的正东6km 处，舰C 在舰B 的北偏西30°且与B 相距4千米处，它们准备围捕海洋动物.某时刻A 发现动物信号，4s 后B 、C 同时发现这种信号，A 发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度是1km/s ，炮弹的速度是3320gkm/s ，其中g 为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问舰A 发射炮弹的方位角和仰角应是多少?解：取AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点建立直角坐标系，则A 、B 、C 舰的坐标分别为(3，0)、(-3，0)、(-5，23).记动物所在位置为P ，则｜PB ｜=｜PC ｜，于是P 在BC 中垂线上，其方程为3x-3y+73 =0.又A 、C 两舰发现信号的时间差为4秒，有｜PB ｜-｜PA ｜=4,于是P 在双曲线42x -52y =1的右支上，求得P 点坐标是(8，53)且｜PA ｜=10.又k PA =3，∴直线PA 的倾斜角为60°，于是舰A 发射炮弹的方位角是北偏东30°，设发射的仰角是θ，初速度为v 0=3320g ,则g v θsin 20=θcos 100v ，∴sin2θ=210v g =23, ∴仰角θ=30°参考答案：【同步达纲练习】A 级1.B2.D3.A4.B5.A6. 202x -52y =1或202x -52y =-1 7. 334,arctan228.332 9.解：由椭圆1692x +1442y =1的右焦点为(5，0)，∴圆心为(5，0)，又圆与双曲线92x -162y =1的渐近线相切，即圆心到直线y=±34x 的距离为圆的半径.∴r=50354⨯-⨯±=4 于是圆的方程为(x-5)2+y 2=16.10.解：∵F(5,0),∴AB:y=x-5，将AB 的方程代入双曲方程，得7x 2+90x-369=0，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-790,x 1x 2=-7369,∴｜AB ｜=212214)(2x x x x -+=7184322=7192，又x m =221x x +=-745,∴｜MF ｜=2｜x M -5｜=7280 AA 级1.B2.C3.B4.B5.B6.-5217.y=±21 8.a9.解：由⎩⎨⎧=-+=1122y x kx y 消去y 得，(1-k 2)x 2-2kx-2=0,若令f(x)=(1-k 2)x 2-2kx-2,则直线与双曲线左支相交于A 、B 两点，等价于方程f(x)=0有两个不大于-1的不等实根，即：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥---<-=+>-+=0)1()1(2120)1(84222122f k k k x x k k △ 解得1＜k ＜2，又AB 中点为(221k k -,211k -)，∴直线l 的方程为211k y-=2122+-+k kx ⇒y=2222++-+k k x ，令x=0,b=2222++-k k =1617)41(12+--k ，由k ∈(1, 2)知b ＜-2-2或b ＞2，故直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围为(-∞,-2-2)∪(2,+∞).10.证明：设PQ 是过焦点F 的弦，M 是PQ 的中点，l 是与F 相应的准线，分别过P 、Q 、M 作l 的垂线，垂足为P 1、Q 1、M 1，则｜MM 1｜=21｜｜PP 1｜±｜QQ 1｜｜=21·｜e PF 1±e PF 2｜=e21｜PQ ｜=e R＜R ，当P 、Q 位于同一支时，取“+”，否则取“-”，∴以PQ 为直径的圆必与准线l 相交，且截得的劣弧的弧度数θ=2arccos RMM 1=2arccose1为定值. 【素质优化训练】1.B2.C3.A4.A5.C6. 277.arctan 724 8. 42x -y 2=19.解：题设中的曲线是双曲线中的一段，即42x -y 2=1,(2≤x ≤25,y ≥0),A(5 ,0)是它的右焦点，其右准线为l :x=54,e=25,设P n (x n ,y n )(2≤x n ≤25,y n ≥0)，则｜P n A ｜=e(x n -54)=25x n -2,∴｜P n A ｜min=5-2,｜P n A ｜max=3,依题意，可设等差数列首项a 1＝5-2,第n 项a n =3=5-2+(n-1)d,得d=155--n (n ＞1)，又51＜d ＜51，∴51＜155--n ＜51,得55-4＜n ＜26-55,而7＜55-4且26-55＜15，∴7＜n ＜15，故n 可取最大值为14.10.解：(1)过AB 的直线方程为bx-ay-ab=0，由点到直线距离公式可得22b a ab +=23①，又e=a b a 22+=332 ②，由①、②得b=1,a=3，即所求双曲线方程为32x -y 2=1(2)由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=132y x mkx y 消去y,得(3k 2-1)x 2+6kmx+3(m 2+1)=0，当3k 2-1≠0即k ≠±33时，△=12(m 2-3k 2+1)＞0,即m 2-3k 2+1＞0 ③，设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),CD 中点为M(x 0,y 0).则x 0=221x x +=1332--k km ，y 0=kx 0+m=-132-k m，因C 、D 两点都在以A 为圆心的同一圆上，∴AM ⊥CD,而k AM =km m k 313--- k CD =k ，∴km m k 313---=-k1⇒3k 2=4m+1 ④，由④得：4m+1＞0m ＞-41 ⑤，将④代入③：m 2-(4m+1)+1＞0，得m ＜0或m ＞4，综合⑤得m 的取值范围为(-41，0)∪(4,+∞)。
3.2双曲线-3.2.2双曲线的简单几何性质
2
解:双曲线的方程化为标准形式是 9
∴a2=9,b2=4,
∴a=3,b=2,c= 13.
2
− 4 =1,
又双曲线的焦点在 x 轴上,
∴顶点坐标为(-3,0),(3,0),
焦点坐标为(- 13,0),( 13,0),
实轴长 2a=6,虚轴长 2b=4,
13
2
离心率 e= = 3 ,渐近线方程为 y=±3x.
(2)共轭双曲线的性质:
①有相同的渐近线;②有不同的离心率,离心率倒数的平方和为1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
由双曲线的方程求几何性质
例1求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、
离心率和渐近线方程.
思路分析:将双曲线方程化为标准方程,先求出参数a,b,c的值,再写
⑥渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
−
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练 2 求满足下列条件的双曲线的标准方程:
(1)双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2倍,且一个顶点的
坐标为(0,2);
(2)双曲线的渐近线方程为
解:(1)由已知,双曲线焦点在
9
9
81
2
2
2
2
4
故所求双曲线方程为 9 − 4 =1 或 9 − 81 =1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟巧设双曲线方程的六种方法与技巧
2
2
①焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为2 − 2 =1(a>0,b>0).
双曲线的简单几何性质
01
课堂小结
渐近线方程
A2
B2
B1
a
b
这时双曲线方程为x2－y2＝a2，渐近线方程为x＝±y，它们互相垂直，并
A
D
B
C
且平分双曲线实轴和虚轴所成的角．
a＝b时，实轴和虚轴等长，这样的
双曲线叫做等轴双曲线.
4．渐近线
新课讲授
渐近线
利用渐近线画双曲线草图 画出双曲线的渐近线； 画出双曲线的顶点、第一象限内双曲 线的大致图象； 利用双曲线的对称性画出完整双曲线.
双曲线
202X
的简单几何性质(一)
两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
1. 双曲线的定义：
我们把平面内与两个定点F1、F2的 距离的差的绝对值等于常数(小于| F1F2 |)的点的轨迹叫做双曲线.
复习引入
202X
这两个定点叫做双曲线的焦点.
新课讲授
2. 双曲线的标准方程：
x
y
F1
F2
O
坐标轴是双曲线的对称轴．
原点是双曲线的对称中心．
双曲线的对称中心叫做 双曲线的中心．
新课讲授
3．顶点
令y＝0，得x＝±a，∴双曲线和x轴 有两个交点A1(－a, 0)、A2(a, 0) .
令x＝0，得y2＝－b2， 这个方程没有实数根， 则双曲线和y轴无交点.
双曲线和它的对称轴 有两个交点，它们叫做双 曲线的顶点．
渐近线方程.
例题讲解
例1. 求双曲线9y2－16x2＝144的实半 轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、 渐近线方程.
01
练习.教科书P53练习第1、2、3题.
02
例题讲解
例2:
例题讲解
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椭圆与双曲线的几何性质分析椭圆和双曲线是中学数学中比较重要的代数曲线，也是在初中
数学中出现的代数曲线。
椭圆和双曲线有着许多不同的几何性质，下面我们将对这些性质进行一一分析。
首先，让我们来看一下椭圆的几何性质。
椭圆是一个向两个方
向延伸的曲线，它与一个矩形的交点形成的图形就是所谓的椭圆。
椭圆有许多基本的性质，其中一个是中心对称。
即对于椭圆上的
任意一点P，以椭圆中心为对称轴的点P’也一定在椭圆上。
这个
性质就是椭圆的轴对称性。
另一个重要的性质是椭圆的离心率。
椭圆的离心率是一个重要
的参数，它定义了椭圆的形状。
一般来说，离心率越小，椭圆越圆。
而当离心率等于1时，椭圆就变成了一个特殊的椭圆，也就
是圆。
椭圆离心率的计算公式是 e = c / a，其中c是椭圆的焦距距离，a是椭圆的长半轴长度。
接下来，让我们来看一下双曲线的几何性质。
双曲线是另一种
比较重要的代数曲线，它是由两个向不同方向延伸的曲线组成的。
双曲线也有一些基本的几何性质，其中一个是双曲线的渐近线。
双曲线的渐近线是一组与双曲线趋近于无穷远时趋于平行的直线。
双曲线的渐近线可以由双曲线的方程式求出，一般的情况下，它
们是 y = ±b/a * x。
另一个重要的性质是双曲线的离心率。
和椭圆类似，双曲线的
离心率也定义了它的形状，而且也是一个重要的参数。
一般来说，离心率越接近1，双曲线的形状越尖。
双曲线离心率的计算公式是
e = c / a，其中c是双曲线的焦距距离，a是双曲线的长半轴长度。
最后，我们来谈谈椭圆和双曲线的性质之间的关系。
事实上，
椭圆和双曲线之间有着密切的关系。
它们的形状和一些基本的性
质是紧密相连的。
例如，当离心率等于1时，椭圆就变成了一个圆，而对于双曲线而言，当离心率等于1时，它就成为了一条抛
物线。
此外，它们都是二次曲线，也就是由二次方程式所定义的
曲线。
总的来说，椭圆和双曲线是中学数学中比较重要的代数曲线，
它们有着许多不同的几何性质。
通过对它们的研究，我们可以更
好地理解它们的性质和特点，对计算机图形学、椭圆加密算法等
领域也有着广泛的应用。