实数指数幂及其运算法则
实数指数幂及其运算法则说课稿(高等教育出版社)
能力目标
1、培养学生的 观察、分析、归 纳等逻辑思维能 力； 2、培养学生用 事物之间普遍联 系的观点看问题
情感目标
培养学生勇于 发现、勇于探 索、勇于创新 的精神
重点与难点
教学重难点
重点：
实数指数幂的运 算法则及应用
难点： 运用实数指数幂
的运算法则及分 数指数幂和根式 之间的互化进行 计算
说教法
文本
学情分析
知识能力：学生已经掌握分数指数幂与根式的互换
文本 m a n n am
m
a n
1
n am
文本 学习能力：数学基础知识偏弱，学习缺少自信心，自 学能力较差
文本 学习态度：学生学习兴趣不够浓，动力不强，学习效
率较低，对数学问题的合作探究欲望不高
教学目标
知识目标
1、掌握实数指数 幂的运算法则； 2、会用实数指数 幂运算法则进行化 简； 3、能运用实数指 数幂的运算法则及 分数指数幂与根式 的互换进行运算
由 3 3 3 即 ( 3)4 =9， 即
……
； 1
32
1
32
31
11
32 2
1
(32 )4
=32
=3
1 2
4
；
猜想：有理数指数幂的运算法则与整数指数幂的运算法则完 全相同．
（归纳探索，形成概念）
讨论
有理数指数幂运算法 则是否与整数指数幂 运算法则一致？
形成概念
a p aq a pq
(a p )q a pq
3
将下列各分数指数幂写成根式的形式：（1）3 2
；
（2）
2
85
1）复习初中学过的整数指数幂的运算法则：
3.1.1 实数指数幂及其运算
张喜林制3.1.1 实数指数幂及其运算教材知识检索考点知识清单1．整数指数幂(1)正整数指数幂：一个数a 的n 次幂等于 ，即 (2)正整数指数幂的运算法则：=n m a a .① ；=÷n m a a ② );0,(=/>a n m =nm a )(③ ；=n ab )(④ ；=n ba)(⑤ ).0(=/b(3)整数指数幂：规定：=0a ==/- na a ),0( ⋅∈=/*),0(N n a 2．根式(l)n 次方根：一般地，如果 ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中 ． (2)方根的性质：①零的任何次方根都等于0，即：=n n a )(② ⋅∈>*),1(N n n③当n 为奇数时，=n n a ；当n 为偶数时，=n n a3．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是：=nm anmN n m a 且*,,,0(∈>为既约分数）． 正数的负分数指数幂的意义是：=-nm anmN n m a 且*,,,0(∈>为既约分数） (2)运算性质：,)(,)(,.r r r r rs s r s r s b a ab a a a a a ⋅===+其中要点核心解读1．关于分数指数幂的概念n n n n a a 与))(1(这两个式子非常相似，但差别很大，一定要注意区别．(2)关于分数指数幂需要注意：①在条件*,,,0N n m a ∈>1>n 下，根式都可以写成分数指数幂的形式．②引入分数指数幂的概念后，指数概念由整数指数幂扩充为有理数指数幂，③分数指数幂不可理解为nm个a 相乘，它是根式的一种新的写法．2．关于指数运算问题(1)在进行根式和分数指数幂的某种综合运算时，要合理运用它们的性质和法则，数式的运算、化简、变形与求值在数学问题中占有重要的地位．(2)-般地，根式运算可以转化为分数指数幂的运算，运算的结果既可用根式表示又可用分数指数幂表示，但必须统一．(3)分数指数幂的运算常采用的思路有：①对于常量字母，先化成同底的再运算；对于变量字母，有时需要对字母进行讨论， ②除式的运算，用分母的“-1”次幂化为乘法运算．(4)根式的运算应该注意的几点： ①注意根式的符号：a ．n 为奇数时，n n a R a ,∈与a 的符号一致；b ．n 为偶数时，.0,0,0≤-≥≥n n n n a a a ②对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律． 3．正整数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质的联系(1)正整数指数幂与有理数指数幂的运算性质(2)为了保证正整数指数幂的性质可以从定义直接推出，限定了m 、n 都是正整数，且性质②中限定m>n ，为了取消m>n 的限制，定义了零指数幂和负整数指数幂，在引进负整数指数幂后性质②可以归人性质①，性质⑤可以归人性质④，这样上述5条可归纳为3条，即①③④，同时指数的范围扩大到了有理数，为了使②⑤对任意整数都成立，不得不规定a>0及6>0.典例分类剖析考点1 整数指数幂的运算[例1] 化简下列各式：;)()())(1(23425232b a b a b a ÷⋅-- ⋅--4301.01.0)2([解析] (1)由题目可获取以下主要信息： 两个式子都是幂的乘方以及乘除混合运算。
根据幂次的运算知识点总结
根据幂次的运算知识点总结一、幂次的定义及运算法则1. 幂次是数学中的一种运算方法，用于表示将一个数进行多次相乘。
2. 幂次的定义：对于任意实数a和正整数n，a的n次方记为a^n，表示将a连乘n次。
3. 幂次运算法则：- 幂次的乘法法则：a^m * a^n = a^(m+n)，即相同底数的幂次相乘，底数不变，指数相加。
- 幂次的除法法则：a^m / a^n = a^(m-n)，即相同底数的幂次相除，底数不变，指数相减。
- 幂次的乘方法则：(a^m)^n = a^(m*n)，即幂次的幂次，底数不变，指数相乘。
- 幂次的乘方法则（指数为负数）：a^(-n) = 1 / a^n，即负指数的幂次，结果取倒数。
二、特殊情况下的幂次运算1. 幂次为0的情况：a^0 = 1，其中a不等于0。
任何数的0次方均为1。
2. 幂次为1的情况：a^1 = a，其中a不等于0。
任何数的1次方均为该数本身。
3. 幂次为2的情况：a^2 = a * a，即一个数的平方。
4. 幂次为负整数的情况：a^(-n) = 1 / a^n，其中n为正整数，a不等于0。
三、幂次运算的应用1. 幂次运算在代数表达式的化简中起着重要作用，有助于简化复杂的运算过程。
2. 幂次运算在几何中常用于计算面积、体积以及求解方程问题。
3. 幂次运算广泛应用于科学、工程、经济等领域中的数据分析和模型建立。
四、注意事项1. 幂次运算遵循先乘方后乘法的顺序计算原则。
2. 在幂次运算中，指数为分数或小数的情况需要使用对数等方法进行处理。
以上是关于幂次的运算知识点的总结。
掌握了这些基本概念和法则，可以更好地理解和应用幂次运算。
实数指数
1、口答：
8 1
0
（ 8） 1
0
0 （a b） 1
1 6 1 1 （ ） 1 6 1 64 2 ( ) 2 64 3 1 x 2 x 6 6 r4 （ 2 ） 4 x r 1 x6 r r4
1 （2 x） 2 x 3 8x
3
3
3
0.0001 10 4
n
分析： 当n是奇数时，
n
当n是偶数时，n
a (a 0) a | a | a (a 0)
填空:
1. 4
2. 5 3. 4.6
5 5
4 2 6
5
5
-5
33 2 ︱-2︱=2
练习体验：
5
a10 5 (a 2 ) 5 a 2 a a12 3 (a 4 ) 3 a 4 a
整数 实 有理数 分数 数 无理数
正整数 0 负整数
在初中学过整数指数幂概念及运算，这节我们 将其推广到实数指数幂及运算。
1、正整数指数幂:
指数 幂
a a a ......a
n
底数
n个
规定：
a 1(a 0)
0
a ＝a
１
整数指数幂的运算法则:
（ ）a a a 1
am （2 n ） a
a a , a a , a a (式中a 0)
2 3 3 2
解：
a a a a a
2 2
1 2
1 2 2
a ;
5 2
a a a a a
3 3 2 3
1 1 2 2
2 3
3
2 3
a ;
初中幂运算公式大全
初中幂运算公式大全1.幂运算的定义对于任意实数a和正整数n，a的n次幂记作aⁿ，定义如下：aⁿ=a×a×a×...×a（共有n个a相乘）2.幂的基本性质（1）任何数的0次幂都等于1：a⁰=1（a≠0）0⁰一般没有定义（2）任何非零数的1次幂都等于其本身：a¹=a（3）幂运算的乘法法则：aⁿ×aᵐ=aⁿ⁺ᵐ（4）幂运算的除法法则：aⁿ÷aᵐ=aⁿ⁻ᵐ（5）幂运算的幂法法则：(aⁿ)ᵐ=aⁿᵐ（6）在幂运算中，连续进行相同数值的幂运算，可以采用连乘法则：aⁿ⁺ᵐ=aⁿ×aᵐ3.幂运算的特殊情况公式（1）任何数的负指数幂是其倒数的幂：a⁻ⁿ=1÷aⁿ（a≠0）（2）对于分数指数，有以下公式：a^(n/m)=m√(aⁿ)（a≥0，m≠0）4.特殊幂运算公式（1）用分解质因数的方法计算幂运算（取冗余计算）aⁿ=a^(p₁×p₂×p₃×...×pₙ)=a^p₁×a^p₂×a^p₃×...×a^pₙ（2）零的幂运算规则0ⁿ=0（n>0）0⁰在一些定义中没有定义，而在另一些定义中等于1（3）乘方运算奇偶性质正负数的奇数次幂为负数，偶数次幂为正数：(-a)ⁿ=-aⁿ（n为奇数）(-a)ⁿ=aⁿ（n为偶数）（4）同底数幂的比较：当底数为正数a时aⁿ>aᵐ，当且仅当n>maⁿ<aᵐ，当且仅当n<maⁿ=aᵐ，当且仅当n=m5.幂运算的小技巧（1）负整数的幂：取相应正整数的倒数的幂。
例如，(-2)⁻³=1/(-2)³=-1/8（2）因式分解：将指数进行因式分解，利用乘法法则进行计算。
实数指数幂及运算法则教案
实数指数幂及运算法则教案一、教学目标1. 理解实数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的性质。
2. 掌握实数指数幂的运算法则，能够熟练进行相关计算。
3. 能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
二、教学重点与难点1. 教学重点：实数指数幂的概念，有理数指数幂的性质，实数指数幂的运算法则。
2. 教学难点：实数指数幂的运算法则的应用。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解实数指数幂的概念、性质和运算法则。
2. 利用例题解析，让学生掌握实数指数幂的运算方法。
3. 开展小组讨论，引导学生探索实数指数幂的运算法则的应用。
四、教学内容1. 实数指数幂的概念2. 有理数指数幂的性质3. 实数指数幂的运算法则4. 实数指数幂的运算法则在实际问题中的应用五、教学安排1. 第一课时：实数指数幂的概念、有理数指数幂的性质2. 第二课时：实数指数幂的运算法则、例题解析3. 第三课时：实数指数幂的运算法则的应用、小组讨论4. 第四课时：课堂小结、作业布置5. 第五课时：作业批改与讲解、课后辅导六、教学过程1. 导入新课：回顾上一节课的内容，引出实数指数幂的运算法则。
2. 讲解实数指数幂的运算法则：引导学生通过观察、分析、归纳实数指数幂的运算法则。
3. 例题解析：讲解典型例题，让学生掌握实数指数幂的运算方法。
4. 小组讨论：让学生探讨实数指数幂的运算法则的应用，分享解题心得。
5. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调实数指数幂的运算法则的重要性。
七、课后作业1. 复习实数指数幂的运算法则。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考实际问题，运用实数指数幂的运算法则解决问题。
八、作业批改与讲解1. 及时批改学生作业，了解学生掌握情况。
2. 针对学生作业中出现的问题，进行讲解和辅导。
3. 鼓励学生提问，解答学生心中的疑惑。
九、课后辅导1. 针对学习有困难的学生，进行个别辅导。
2. 组织课后讨论小组，帮助学生巩固实数指数幂的运算法则。
实数指数幂及其运算课件
1 a
m n
(a 0, m, n N *,且n 1)
4.有理指数幂的运算性质
（1）ar•as=ar+s(a>0,r,s∈Q)
3. 0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0。 （2）(ar)s=ar•s(a>0,r,s∈Q) 0的负分数指数幂无意义。（3）(a•b)r=ar•br(a>0,b>0,r∈Q)
16 2 （ ） ＝（ ） 81 3
－
3 4
3 4 （－ ） 4
2 －3 27 ＝（ ） ＝ 。 3 8
练习:求值：
1 9 ， 64 , ( ) 32
1 2
2 3
1 5
例3：用分数指数幂的形式表示下列各式：
a 2 a , a 3 3 a 2 , a a (式中a 0)
分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。 解：
1 2 1 2 2 5 2
a a a a a
2 2
a ;
2 3
a a a a a
3 3 2 3
1 1 2 2
2 3
3
a ;
3 4
11 3
a a (a a ) (a ) a .
3 1 2 2
a ?
例4:计算下列各式（式中字母都是正数）
2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6
b
1 1 5 2 3 6
4ab 4a
10 5 12 3
复习：（口算） 1 ） 32
4 2） 81 5
3
a10 5 (a 2 ) 5 a 2 a a12 3 (a 4 ) 3 a 4 a
3
幂的运算法则公式
幂的运算法则公式
幂运算法则公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m×a n=a（m+n）；同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a m÷a n=a（m-n）。
（1）同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
a m×a n=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)
（2）同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
a m÷a n=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)
（3）幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
(a m)n=a(mn)，(m,n都为正整数)
（4）积的乘方：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
(ab)n=a n b n，（n为正整数）
（5）分式的乘方：把分式的分子、分母分别乘方即为乘方结果
(a/b)n=(a n)/(b n)，（n为正整数）
（6）零指数：
a0=1 (a≠0)
（7）负整数指数幂
a-p=1/a p(a≠0, p是正整数）
（8）负实数指数幂
a(-p)=1/(a)p或（1/a）p(a≠0，p为正实数）（9）正整数指数幂
①a m a n=a m+n
②（a m）n=a mn
③a m/a n=a m-n(m大于n,a≠0)
④(ab)n=a n b n。
实数指数幂及其运算(56张PPT)高一数学人教B版必修第二册
当 有意义的时候， 称为根式，n 称为根指数，a 称为被开方数．
注意，虽然我们不知道 等的精确的小数形式（计算器和计算机上给出的值都是近似值），但是按照定义，我们知道 的一些性质，比如 等.
尝试与发现
现在我们已经将整数指数幂推广到了分数指数幂（即有理数指数幂).一般情况下，当 s 与 t 都是有理数时，有运算法则：
例如，________.
3
（2）如果 x3＝a，则 x 称为 a 的立方根（或三次方根），在实数范围内，任意实数 a 有且只有一个立方根，记作．
例如，＝______
2
n次方根
一般地，给定大于 1 的正整数 n 和实数 a，如果存在实数 x，使得 xn＝a，则 x 称为 a 的 n 次方根．
例如，因为方程 x4＝81 的实数解为 3 与－3，因此 3 与－3都是 81 的 4 次方根；因为 25＝32，而且 x5＝32只有一个实数解，所以 32 的 5 次方根为 2 .
用信息技术求实数指数幂
实数指数幂的值可以通过计算器或计算机软件方便地求得．在GeoGebra中，在“运算区”利用符号“^”，就可以得到实数指数幂的精确值或近似值．如图所示，前面三个是在符号计算模式下的输入和所得到的结果，后面两个是在数值计算模式下得到的结果．
练习提升
C
B
C
B
C
C
根据方程 xn＝a 解的情况不难看出：（1）0 的任意正整数次方根均为 0，记为．（2）正数 a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为 a 的 n 次算术根，记为，负的方根记为 ；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当 a＜0 且 n 为偶数时，在实数范围内没有意义．（3）任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为．而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数．
实数指数幂及运算法则教案
实数指数幂及运算法则教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解实数指数幂的概念；（2）掌握实数指数幂的运算法则；（3）能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例引入实数指数幂的概念；（2）引导学生发现并归纳实数指数幂的运算法则；（3）运用运算法则进行变形和求解。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生主动探索、合作学习的意识；（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 实数指数幂的概念：（1）引入平方根、立方根的概念；（2）引导学生理解实数指数幂的概念，即a^n 表示n 个a 相乘。
2. 实数指数幂的运算法则：（1）同底数幂的乘法：a^m a^n = a^(m+n)；（2）同底数幂的除法：a^m / a^n = a^(m-n)；（3）幂的乘方：a^m^n = a^(mn)；（4）积的乘方：(ab)^n = a^n b^n；（5）零指数幂：a^0 = 1（a ≠0）；（6）负指数幂：a^-n = 1 / a^n（a ≠0）。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）实数指数幂的概念；（2）实数指数幂的运算法则。
2. 教学难点：（1）实数指数幂的运算法则的应用；（2）解决实际问题中指数幂的运用。
四、教学方法1. 实例引入：通过实际问题引入实数指数幂的概念；2. 引导发现：引导学生发现并归纳实数指数幂的运算法则；3. 练习巩固：运用运算法则进行变形和求解；4. 实际应用：解决实际问题，巩固知识。
五、教学步骤1. 导入新课：通过实际问题引入实数指数幂的概念；2. 讲解与演示：讲解实数指数幂的概念，演示运算法则的运用；3. 练习与讨论：学生独立练习，小组讨论，共同解决问题；4. 总结与拓展：总结实数指数幂的运算法则，拓展相关知识；5. 作业布置：布置练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问了解学生对实数指数幂概念和运算法则的理解程度；2. 练习题：布置课堂练习题，检查学生掌握运算法则的情况；3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与程度和合作能力；4. 课后作业：检查课后作业的完成质量，了解学生对知识的掌握和运用能力。
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实数指数幂及其运算法则
今天，我们将探讨实数指数幂及其运算法则。
实数指数幂是数学中一个重要的概念，它在各种数学问题中都起到重要的作用。
实数指数的运算法则也是一个重要的概念，它使得数学运算更加方便、准确。
本文将主要介绍实数指数幂及其运算法则。
一、实数指数幂概念
实数指数幂是一个重要的概念，它可以让我们更容易地表达数量之间的关系。
实数指数幂表示一个数量的乘方，也就是说，一个数量可以被乘以自身多次来表示它的指数幂。
例如，25可以被乘以自身2次，可以写成25^2，这就表示它的实数指数幂。
实数指数幂可以被分为两种类型，一种是正数指数幂，另一种是负数指数幂。
正数指数幂表示一个数量被乘以自身多次，负数指数幂则表示这个数量被除以自身多次。
例如，25的-2次幂可以写成25^-2，这意味着25被除以自身2次，即1/25^2。
二、实数指数幂的运算法则
实数指数幂的运算法则是有关实数指数幂求值和运算的准则，它们是数学中常用的一些规则，可以使求值及运算更准确、方便。
1、乘法法则
乘法法则是指两个指数幂（a^m a^n）的乘积可以表示为a^(m+n)。
例如，2^3*2^2 = 2^(3+2) = 2^5。
2、除法法则
除法法则是指两个指数幂（a^m a^n）的商可以表示为a^(m-n)。
例如，2^5/2^2 = 2^(5-2) = 2^3。
3、乘方法则
乘方法则是指连乘的几个实数指数幂（a^m a^n a^v）可以表示为a^(m+n+v)。
例如，2^3 * 2^2 * 2^4 = 2^(3+2+4) = 2^9。
4、指数乘方法则
指数乘方法则是指幂的幂（(a^m)^n）可以表示为a^(m*n)。
例如，(2^3)^2 = 2^(3*2) = 2^6。
5、零次幂法则
零次幂法则是指一个数的零次幂（a^0）等于 1。
例如，2^0 = 1。
6、负数次幂法则
负数次幂法则是指一个数的负数次幂（a^-n）等于1除以它的n 次幂（1/a^n）。
例如，2^-3 = 1/2^3 = 1/8。
三、结论
从上面的介绍中，我们可以概括总结出实数指数幂及其运算法则的相关知识点。
实数指数幂只是数学中的一个概念，但是它对于运算的方便和准确性起着重要的作用。
实数指数幂的运算法则也是常用的一些规则，它们可以帮助我们更快更准确地完成计算。