简述不等式的4个基本性质
推导不等式的基本性质与解法
推导不等式的基本性质与解法不等式是数学中常见的一种关系表达式，它描述了两个数之间的大小关系。
推导不等式的基本性质与解法是数学学习的重要内容之一。
本文将介绍不等式的基本性质和解法，并通过一些例子来加深理解。
一、不等式的基本性质不等式有以下几个基本性质：1. 传递性：如果 a > b 且 b > c，则 a > c。
这个性质意味着不等式的大小关系具有传递性。
2. 反对称性：如果 a > b 且 b > a，则 a = b。
这个性质说明不等式的大小关系是自反的。
3. 加法性：如果 a > b，则 a + c > b + c。
减法性：如果 a > b，则 a -c > b - c。
这两个性质表示不等式在加减运算下仍然成立。
4. 正数性：如果 a > b 且 c > 0，则 ac > bc。
负数性：如果 a > b 且 c < 0，则 ac < bc。
这两个性质说明不等式在乘法运算下仍然成立。
5. 整除性：如果 a > b 且 c > 1，则 ac > bc。
也就是说，不等式的大小关系在整除运算下仍然成立。
二、不等式的解法解不等式的基本方法有以下几种：1. 求解线性不等式：对于形如 ax + b > c 或 ax + b < c 的线性不等式，可以通过移项、分析符号的变化来求解。
例如，解不等式 3x - 7 > 8：首先将常数项移项，得到 3x > 8 + 7，即 3x > 15。
然后将系数约分，得到 x > 5。
因此，不等式 3x - 7 > 8 的解为 x > 5。
2. 求解二次不等式：对于形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0的二次不等式，可以通过判别式和求解根的方法来求解。
例如，解不等式 x^2 - 4x - 5 > 0：首先计算判别式，得到 b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4*1*(-5) = 36。
不等式的性质
不等式的性质不等式是数学中一种重要的关系表达方式。
它描述了数值大小之间的关系，常用于解决优化问题、证明数学定理等。
在学习不等式的过程中，我们需要了解不等式的性质，这有助于我们更好地理解和应用不等式。
1. 不等式的传递性不等式的传递性是指，如果一个不等式A > B成立并且B > C成立，那么A > C 也一定成立。
同样地，如果A < B成立并且B < C成立，那么A < C也一定成立。
传递性在解决不等式问题时起到了重要的作用。
通过利用不等式的传递性，我们可以将一个复杂的不等式问题转化为一系列简单的不等式问题，从而更容易求解。
2. 不等式的加法性和减法性不等式的加法性是指，如果一个不等式A > B成立，那么A + C > B + C也一定成立。
类似地，不等式的减法性是指，如果一个不等式A > B成立，那么A - C > B - C也一定成立。
加法性和减法性使得我们可以在不等式两边加上或减去相同的数，从而得到等效的不等式，方便我们进行问题的变形和求解。
3. 不等式的乘法性和除法性不等式的乘法性是指，如果一个不等式A > B成立，并且C > 0，那么A * C >B * C也一定成立。
类似地，如果A > B成立，并且C < 0，那么A * C < B * C也一定成立。
乘法性使得我们可以在不等式两边乘以正数或负数，从而改变不等式的方向。
需要注意的是，当乘以负数时，不等式的方向会颠倒。
除法性是乘法性的逆运算。
不等式的除法性是指，如果一个不等式A > B成立，并且C > 0，那么A / C > B / C也一定成立。
类似地，如果A > B成立，并且C < 0，那么A / C < B / C也一定成立。
乘法性和除法性在求解不等式时起到了重要的作用。
它允许我们在不改变不等式的基本性质的情况下，对不等式进行一些操作，从而得到更简单的形式。
不等式的基本性质[整理] [其它]
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第34课 不等式的基本性质【考点指津】1．不等式的概念用不等号（>、<或≠）联结而成的式子叫做不等式．2．两个实数大小的比较设a 、b ∈R ，则a>b 0>-⇔b a ，0<-⇔<b a b a ，这是比较两个实数大小和运用比较法的根据．3．不等式的性质性质1 a b b a <⇔> （对称性）性质2 a>b ，c a c b >⇒> （传递性）性质3 a>b ，c b c a +⇒+性质4 a>b ，bc ac c >⇒>0，a>b ，bc ac c <⇒<0以上是不等式的基本性质，以下是不等式的运算性质．性质5 a>b ，d b c a d c +>+⇒> （加法法则）性质6 a>b>0，bd ac d c >⇒>>0 （乘法法则）性质7 a>b>0，n n b a N n >⇒∈* （乘方法则）性质8 a>b>0，n n b a N n >⇒∈* （开方法则）不等式性质在证明不等式和解不等式中有广泛的应用，它也是高考的热点，通常是以客观题形式考查某些性质，有时在证不等式或解不等式过程中间接考查不等式性质． 在复习中，对不等式性质的条件与结论，要彻底弄清，特别是对不等式两边平方、开方或同乘上某个数（或式子）时，要注意所得不等式与原不等式是否同向，否则在解题时往往因忽略了某些条件而造成错误． 从知识的联系上看，不等式的性质与函数的单调性是相互联系的，因此比较一些实数大小的问题，从不等式性质与函数性质结合的角度去认识是必要的．【知识在线】1．下列命题中，正确的命题是（ ）①若a>b ，c>b ，则a>c ； ②a>b ，则0lg >ba ； ③若a>b ，c>d ，则ac>bd ； ④若a>b>0，则b a 11<；⑤若db c a >，则ad>bc ； ⑥若a>b ，c>d ，则a-d>b-c ． A ． ①② B ． ④⑥ C ． ③⑥ D ． ③④⑤2．下列命题中，正确的命题是（ ）A ．a 3>b 3，ab>0ba 11>⇒ B ． m>n>0，a>0a a n m >⇒ C ．b ac b c a >⇒> D ． a 2>b 2，ab>0ba 11<⇒ 3．下列命题中正确的是（ ）A ．若|a|>b ，则a 2>b 2B ． 若a>b>c ，则(a-b)c>(b-a)cC ． 若a>b ，c>d ，则a-b>c-dD ． 若a>b>0，c>d>0，即c bd a > 4．下列命题中，正确的命题是（ ）A ． 若ac>bc ，则a>bB ． 若a 2>b 2，则a>bC ． 若ba 11>，则a<b D ． 若b a <，则a<b 5．设命题甲：x 和y 满足⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x 命题乙：x 和y 满足⎩⎨⎧<<<<3210y x ，那么（ ）A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【讲练平台】例1（2000年全国卷） 若a>b>1，P=b a lg lg ⋅，)lg (lg 21b a Q +=，)2lg(b a R +=，则（ ）．A ． R<P<QB ． p<Q<RC ． Q<P<RD ． P<Q<R分析一 借助对数函数单调性用基本不等式求解．解法一 ∵ a>b>1，∴ lga>lgb>0． ∴2lg lg lg lg b a b a +<⋅，即P<Q ．又∵2b a ab +<， ∴ 2lg lg b a ab +<． ∴ )2lg()lg (lg 21b a b a +<+，即Q<R ． ∴ P<Q<R ，故选B ．分析二 用特殊值法解解法二 取a=10000，b=100，则lga=4，lgb=2．∴ P=22，Q=3，R=lg5050．显然P<Q ，R=lg5050>lg1000=3=Q ．∴可排除A 、C 、D ． 故选B ．点评 不等式性质的考查常与幂函数、指数函数和对数函数的性质的考查结合起来，一般多以选择题的形式出现． 此类题目要求考生有较好、较全面的基础知识，一般难度不大．例2 若函数f(x)，g(x)的定义域和值域为R ，则f(x)>g(x)（x ∈R ）成立的充要条件是（ ）．A ． 有1个x ∈R ，使得f(x)>g(x)B ． 有无穷多个x ∈R ，使得f(x)>g(x)C ． 对R 中任意的x ，都有f(x)>g(x)+1D ． R 中不存在x ，使得f(x)≤g(x)分析 4个命题的关系在证明问题过程中经常使用． 原命题：若A 成立，则B 成立，逆命题：若B 成立，则A 成立；否命题：若A 成立则B 成立；逆否命题：若B 成立，则A 成立． 其中A ⇒B 与A B ⇒互为充要条件．由于对任意x ∈R ，f(x)>g(x)成立的逆否命题为：在R 中不存在x ，使f(x)≤g(x)成立． 答 选D ．点评 本题也可通过构造特殊函数，采用排除法解决． 值得强调的是：不等式的性质的考查方向将更加注重基础性、全面性． 题型灵活多变．例3 已知1≤a+b ≤5，-1≤a-b ≤3，求3a-2b 的取值范围．分析 本题应视a+b 与a-b 为两个整体．解 设a+b=u ，a-b=v ，则2v u a +=，2v u b -=． ∴v u b a 252123+=-． 由已知1≤u ≤5，-1≤v ≤3，易得-2≤3a-2b ≤10．点评 本题常见的错误解法是：由已知，得0≤a ≤4，-1≤b ≤3．进一步，得0≤3a ≤12，-6≤-2b ≤2．从而，得-6≤3a-2b ≤14．由解题过程知，u 与v 各自独立地在区间[1，5]与[-1，3]内取值，从而知v u 2521+可取[-2，10]内的一切值．在错误解法中，得到的0≤a ≤4，-1≤b ≤3已不表明a 与b 可各自独立地在区间[0，4]与[-1，3]内取值了． 如a=4，b=3，a+b=7已不满足1≤a+b ≤5． 得到的区间[0，4]与[-1，3]应这样理解：对于任意给定的p ∈[1，5]与q ∈[-1，3]，存在a ∈[0，4]，b ∈[-1，3]，使得a+b=p ，a-b=q ．不等式的性质与等式的性质不一样，一般不具有可逆性． 掌握不等式性质时要谨防与等式性质做简单类比而致错．【知能集成】1．对不等式性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一性质的条件和结论、注意条件的放宽和加强，以及条件与结论之间的相互联系；不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面． 单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的基础． 因为解不等式要求的是同解变形．2．高考试题中，对不等式性质的考查主要是：(1) 根据给定的条件，利用不等式的性质、判断不等式或与之有关的结论是否成立．(2) 利用不等式的性质与实数的性质、函数性质的结合，进行数值大小的比较．(3) 判断不等式中条件与结论之间的关系，是充分条件或必要条件或充分必要条件．3．要注意不等式性质成立的条件，例如：在应用“a>b ，ab>0b a 11<⇒”这一性质时． 有些同学要么是弱化了条件得a>b b a b 1<⇒． 要么是强化了条件而得ba b a 110<⇒>>． 【训练反馈】1．（2001年上海春招卷）若a 、b 是实数，则a>b>0是a 2>b 2的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分条件也非必要条件2．若a>b ，c>d ，则下列不等关系中不一定成立的是（ ）A ． a-d>b-cB ． a+d>b+cC ． a-c>b-cD ． a-c<a-d3．已知a 、b 、c ∈R ，则下面推理中正确的是（ ）A ． a>b ⇒am 2>bm 2B ．b ac b c a >⇒> C ． a 3>b 3，ab>0b a 11<⇒ D ． a 2>b 2，ab>0ba 11<⇒ 4．（1999年上海卷）若a<b<0，则下列结论中正确的是（ ）A ．不等式b a 11>和||1||1b a >均不能成立 B ．不等式a b a 11>-和||1||1b a >均不能成立 C ．不等式a b a 11>-和22)1()1(ab b a +>+均不能成立 D ．不等式||1||1b a >和22)1()1(a b b a +>+均不能成立 5．当0<a<b<1时，下列不等式中正确的是（ ）A ． b b a a )1()1(1->-B ． (1+a)a >(1+b)bC ． a b a a )1()1(->-D ． b a b a )1()1(->-6．（2001年北京春招卷）若实数a 、b 满足a+b=2，则3a +3b 的最小值是（ ）A ． 18B ． 6C ． 32D ． 4327．a 、b 为不等的正数，k ∈N*，则(ab k +a k b)-(a k+1+b k+1)的符号为（ ）A ． 恒正B ． 恒负C ． 与a 、b 大小有关D ． 与k 是奇数或偶数有关8．不等式2>+xy y x 成立的充要条件是（ ） A ． x>y B ． x ≠y C ． x ≠y 或xy>0 D ． x ≠y 且xy>09．（2000年北京春招卷）已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图，则（ ）A ． )0,(-∞∈bB ． )1,0(∈bC ． )2,1(∈bD ． ),2(+∞∈b10．已知1≤a+b ≤4，-1≤a-b ≤2，则4a-2b 的取值范围为________．11．已知三个不等式：①ab>0，②bd a c ，③bc>ad ． 以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成________个正确的命题，请用序号写出它们． 即_______． （把所有正确的命题都填上）12．已知f(x)=ax 2-c ，且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，试求f(3)的最大值与最小值．。
不等式及其性质
不等式及其性质一、引言在数学中，不等式是有关数值大小关系的一种表示形式。
与等式不同的是，不等式描述的是不等关系，可以是大于、小于、大于等于或小于等于等。
本文将介绍不等式的基本概念和性质。
二、不等式的基本概念1. 不等式的符号不等式使用的符号包括大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）。
例如，a > b 表示 a 大于 b，a < b 表示 a 小于 b，a ≥ b 表示 a 大于等于 b，a ≤ b 表示 a 小于等于 b。
2. 不等式的解集不等式的解集是使不等式成立的所有实数的集合。
对于简单的一次不等式（例如，2x + 3 > 7），解集可以通过代入法或绘制数轴得到。
对于复合不等式（例如，2 < x ≤ 5），则需要将两个不等式合并求解。
三、不等式的性质不等式具有一些基本的性质，包括：1. 传递性如果 a > b 且 b > c，则 a > c。
这意味着不等式的大小关系具有传递性，可以通过中间项进行推导。
例如，如果 5 > 3 且 3 > 1，那么可以得到 5 > 1。
2. 加法性如果 a > b，则对于任意的正数 c，有 a + c > b + c。
这意味着在不等式两边同时加上一个正数时，不等式的大小关系仍然成立。
例如，如果 5 > 3，那么可以得到 5 + 2 > 3 + 2。
3. 乘法性如果 a > b 且 c > 0，则 ac > bc。
这意味着在不等式两边同时乘以一个正数时，不等式的大小关系仍然成立。
例如，如果 5 > 3 且 2 > 0，那么可以得到 5 * 2 > 3 * 2。
4. 反转性如果 a > b，则 -a < -b。
这意味着不等式两边同时取相反数后，不等式的大小关系反转。
例如，如果 5 > 3，那么可以得到 -5 < -3。
高中数学中的不等式性质
高中数学中的不等式性质不等式在高中数学中占据着重要的地位，它不仅是解决数学问题的有效工具，还在其他科学领域具有广泛应用。
在学习不等式性质时，我们需要了解不等式的基本定义和性质，理解不等式的运算规则，并学习如何解决与不等式相关的问题。
下面将详细讨论高中数学中的不等式性质。
一、不等式定义不等式是数学中的一种大小关系表达式，用于描述两个数或多个数的大小关系。
常见的不等式符号有“<”（小于）、“>”（大于）、“≤”（小于等于）、“≥”（大于等于）等。
不等式在现实生活中有很多应用，比如描述温度、距离、价格等的大小关系。
二、不等式的性质1. 前述性质对于任意实数a、b和c，不等式具有以下性质：（1）反身性：a ≥ a，a ≤ a是成立的。
（2）对称性：若a ≥ b，则b ≤ a；若a > b，则b < a。
（3）传递性：若a > b且b > c，则a > c。
2. 加减性在不等式中，如果两边同时加上（或减去）相同的数或同一个正数，不等式的方向不变。
举个例子：若a > b，则a + c > b + c，其中c为任意实数。
3. 乘除性在不等式中，如果两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等式的方向不变；如果两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等式的方向改变。
举个例子：若a > b，且c > 0，则ac > bc；若a > b，且c < 0，则ac < bc。
需要注意的是，当乘以一个负数时，不等式的不等号方向会发生改变。
4. 平方性在不等式中，如果两边同时取平方，不等式的方向可能发生改变。
举个例子：若a > b且a > 0，则a^2 > b^2；但如果a < 0，则a^2 < b^2。
5. 初等不等式基于加减性、乘除性和平方性，我们可以通过变换不等式，将其化简为简洁的形式。
不等式除法时需要注意分母不能为零。
不等式性质
不等式性质许多学科的基础都是不等式性质，它们不但是数学的基础，而且在科学、物理、经济学、工程、金融管理等领域也有着重要的地位。
不等式性质是数学中的基本概念，它能让我们更好地了解客观事物之间的关系，帮助我们获取、分析和解决问题。
不等式可以分为几类：一、大小不等式。
这是常见的不等式，表示某数大于或小于另一数，如：a>b、a<b。
大小不等式可进一步分为联合不等式，如：a>b 和c<d，以及不定方程，如：ax+b=0。
二、幂不等式。
幂不等式就是将指数幂引入不等式，如：a^n>b^m、a^n < b^m，这类不等式常见于函数形式，如：y=ax^n +b。
三、不可分类不等式。
不可分类不等式指的是那些不能按上述分类的不等式，如：x+y>z、x+y<z、x-y>z等等。
四、代数不等式。
这类不等式由两个或多个多项式组成，如：a_1x_1^m+a_2x_2^n>b_1y_1^p+b_2y_2^q，它们在求解多元函数最值的时候经常会用到。
五、条件不等式。
这类不等式经常与函数的极值有关，如：当a<x<b时，y=f(x)取得极值，这里的a和b就是不等式的条件，它也常常被称为条件不等式。
不等式的性质包括一元不等式的性质和多元不等式的性质。
一元不等式的性质包括：（1）若a>b，则a+c>b+c（2）若a>b，则ac>bc（3）若a>b，则a^n>b^n（4）若a<b，则a<b（5）若a>b，且c>0，则ac>bc多元不等式的性质包括：（1）若a_1+a_2 > b_1+b_2，则a_1>b_1 且 a_2>b_2（2）若a_1+a_2 < b_1+b_2，则a_1<b_1 a_2<b_2（3）若a_1+a_2 > b_1+b_2，则a_1a_2>b_1b_2（4）对于任意的n，若a_1+a_2+…+a_n>b_1+b_2+…+b_n，则有a_1>b_1,a_2>b_2,…, a_n>b_n不等式的性质不仅用于解决数学问题，而且在许多科学、物理、经济学等领域也有重要作用。
不等式的基本性质
不等式的基本性质考点总体描述：不等式的基本性质也为学生以后顺利学习解一元一次不等式和解一元一次不等式组的有关内容的理论基础，起到重要的奠基作用.在中考中多以填空题或选择题的形式出现. ①维度1 不等式基本性质研读不等式基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，即如果a ＜b ，那么a+c ＜b+c （或a-c ＜b-c ）.不等式基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；如果a<b ，且c>0，那么ac<bc(或cb c a < ) 不等式基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变. 这三条基本性质是进行不等式变形的主要依据. 如果a<b ，且c<0,，那么ac>bc(或 c b c a > )例1：设a ＞b ，用不等号连结下列各题中的两式：（1）a-3与b-3；（2）2a 与2b ；（3）-a 与-b.思路分析：第1步：观察已知的不等式与所要研究的对象之间的不同；第2步：对照不等式基本性质，选择变形依据作答.解答过程：（1）因为a ＞b ，两边都减去3，由不等式的基本性质1，得a-3＞b-3；（2）因为a ＞b ，2＞0，由不等式的基本性质2，得2a ＞2b ；（3）因为a ＞b ，-1＜0，由不等式的基本性质3，得-a ＜-b.本例题总结：处理这类问题的一般思路是以不等式的性质作为依据，确定合适的不等号，要特别注意的是不等式基本性质3的应用.关键字：例题难度：中表现形式：呈现内容说明：例2： 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式：（1）x-2＜3；（2）6x ＞5x-1；（3）-4x ＞4．思路分析：第1步：根据变形要求选用不等式的基本性质；第2步:根据性质变形.解答过程：（1）由不等式的性质1可知，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变，所以x-2+2＜3+2，即x ＜5；（2）由不等式的性质1可知，不等式的两边都减去5x ，不等号的方向不变，所以6x-5x ＞5x-1-5x ，即x ＞-1；（3）由不等式的性质3可知，不等式的两边都除以－4，不等号的方向改变，所以x ＜-1． 本例题总结：运用不等式的基本性质时，注意不等号方向的是否改变．关键字：例题难度：中表现形式：呈现内容说明：1.（2009年柳州）若a ＜b ，则下列各式中一定成立的是（ ）A. a-1＜b-1B.33b a >C. -a ＜-bD. ac ＜bc 思路分析：第1步：观察已知的不等式与所要研究的对象之间的不同；第2步：对照不等式基本性质，选择合适的变形方式作答.解答过程：在不等式三条基本性质中要特别注意“不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变”.由不等式基本性质2，不等式两边同除以3，B 选择项的不等号方向不变；C 选项不等式两边同乘-1，不等号方向要改变；D 选择项c 可取任意实数故不等号方向无法确定；A 选项因为a ＜b ，由不等式基本性质1得a-1＜b-1，故选A.答案：A ．2. 在下列各题横线上填入不等号，使不等式成立．并说明是根据哪一条不等式基本性质．（1）若a-3＜9，则a_____12； （2）若-a ＜10，则a_____-10；（3）若41a ＞-1，则a_____-4； （4）若-32a ＞0，则a_____0． 解析：根据前后两个式子之间的关系，对照不等式的基本性质加以变形.答案：（1）a ＜12，根据不等式基本性质1； （2）a ＞-10，根据不等式基本性质3；（3）a ＞-4，根据不等式基本性质2； （4）a ＜0，根据不等式基本性质3．②维度2 不等式的基本性质与等式的性质对比不等式的基本性质与等式的基本性质有相似之处，也有不同之处，特别是不等式的基本性质3，不等式两边同乘以（或同除以）一个负数，不等号的方向要改变，这一点要尤为引起重视，这一性质的运用，也是本章的难点之一.下面将不等式的基本性质与等式的性质的例1： 若a ＞b ，c ＜0，则下列四个不等式成立的是（ ）．A.ac ＞bcB.cb c a < C.a －c ＜b －c D. a|c|＜a|c| 思路分析：第1步：比较已知不等关系与选项中的不等关系；第2步：确定变形方法是否符合法则. 解答过程：根据不等式的性质1，在不等式a ＞b 的两边同时减去ｃ，不等号的方向不变，故C 错误；根据不等式的性质2，在不等式a ＞b 的两边同时乘以正数|c|，不等号的方向不变，故D 错误；根据不等式的性质3，在不等式a ＞b 的两边同时乘以或除以负数c ，不等号的方向要改变，故A 是错误的；故选B ．本例题总结：本题主要考查不等式的三条基本性质，运用不等式基本性质时，关注不等号方向的“不变”与“改变”是关键．关键字：表现形式：呈现内容说明：例2：已知-2x+3y=3x-2y+1，试比较x 和y 的大小关系.析解：要比较x 和y 的大小关系，只需利用等式变形求出(x-y)的值，再根据其正负判断大小。
不等式的基本性质
不等式的基本性质【知识要点】1．不等式的有关概念：用 连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的 的值叫做不等式的解；一个含有 的不等式的解的 叫做不等式的解集.求一个不等式的 的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.2．不等式的基本性质：（1）若a ＜b ，则a +c c b +；（2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或c a c b ）； （3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a cb ）. 3.不等式的解与解集：4.一元一次不等式：一元一次不等式的标准形式：)0(≠><a b ax b ax 或一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项变号；④合并同类项；⑤系数化为1. 【典型例题】例1 指出下面变形根据的是不等式的哪一条基本性质.（1）由5a ＞4,得a ＞54; （2）由a +3＞0,得a ＞－3; （3）由－2a ＜1,得a ＞－21; （4）由3a ＞2a +1,得a ＞1.例2 用“＜”“=”“＞”号填空.（1）如果a ＞b ，那么a －b __________0;（2）如果a =b ，那么a －b __________0;（3）如果a ＜b ，那么a －b __________0.例3 指出下列各题中不等式变形的依据.(1)由21a ＞3，得a ＞6.(2)由a －5＞0，得a ＞5.(3)由－3a ＜2，得a ＞－32.例4 根据不等式性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式.(1)x +7＞9(2)6x ＜5x －3 (3)51x ＜52(4)－32x ＞－1例5 如果a ＞ab ，且a 是负数，那么b 的取值范围是什么？* 例6 已知m ＜0，－1＜n ＜0，试将m ，mn ，mn 2从小到大依次排列.【大展身手】1．填空：（1）若3x>4，两边都除以3，得__________，依据是____________．（2）若x+6≤5，两边都减6，得__________，依据是_____________．（3）若－4y≥1，两边都除以－4，得__________，依据是____________．（4）若－23y<－2，两边都乘－32，得___________，依据是____________． 2．若a<b ，用不等号填空： （1）a －5_______b －5；（2）a+m_______b+m ； （3）－2a ______－2b ； （4）6－a_______6－b ；（5）－1+2a_______－1+2b ；（6）ac 2_______bc 2．3．（1）已知a<b ，b<c ，则a_______c ；（2）已知a<b ，则b________a ．4.若a ＜b ，则－3a +1________－3b +1.5.若－35x ＞5，则x ________－3. 6.若a ＞b ，c ≤0，则ac ________bc .7.若ba b a --||=－1，则a －b ________0. 8.若ax ＞b ，ac 2＜0，则x ________ab . 9.若a +3＞b +3，则下列不等式中错误的是( )A.－55b a -<B.－2a <－2bC.a －2＜b －2D.－(－a )＞－(－b )10.若a ＞b ，c ＜0，则下列不等式成立的是( )A.ac ＞bcB.c b c a <C.a －c ＜b －cD.a +c ＜b +c11.有理数a 、b 在数轴上的位置如图1所示，在下列各式中对a 、b 之间的关系表达不正确的是( )A.b －a ＞0B.ab ＞0C.c －b ＜c －aD.a b 11>图112.已知4＞3，则下列结论正确的是( )①4a ＞3a ②4+a ＞3+a ③4－a ＞3－aA.①②B.①③C.②③D.①②③13.下列判断中，正确的个数为( )①若－a ＞b ＞0，则ab ＜0②若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0③若a ＞b ，c ≠0，则ac ＞bc④若a ＞b ，c ≠0，则ac 2＞bc 2⑤若a ＞b ，c ≠0，则－a －c ＜－b －cA.2B.3C.4D.5 14．已知x>y ，则下列不等中不成立的是（ ）A ．x －4>y －4B ．－2x>－2yC ．33x y >D ．－13x<－13y 15．下列不等式的变形中，正确的是（ ）A ．∵－3x>4，∴x>－43B ．∵－3x>4，∴x>－34C ．∵－3x>4，∴x<－43D ．∵－3x>4，∴x<－3416．已知x<y ，要使mx>my 成立，则（ ）A ．m>0B ．m<0C ．m=0D ．m 是任意实数17．如果x<3，则下列不等式错误．．的是（ ） A ．x －3<0 B ．2x<6 C ．－x>－3 D ．x+2008>018.下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A.x 1 +1>2 B.x 2>9 C.2x +y ≤5 D.21 (x －3)<0 19.不等式3(x －2)≤x +4的非负整数解有几个.（ ）A.4B.5C.6D.无数个 20.不等式4x －41141+<x 的最大的整数解为（ ） A.1 B.0 C.－1 D.不存在21.与2x <6不同解的不等式是（ ）A.2x +1<7B.4x <12C.－4x >－12D.－2x <－622．用不等式的基本性质，试将下列不等式化为x>a或x<a的形式：（1）x－1>3；（2）4x<6；（3）－2x>8．23．如果a<b，则下列不等式必定成立的是（）A．am>bm B．am<bm C．am2<bm2D．am2≤bm2 24．如果a<0，则不等式ax>2可化为（）A．x<2aB．x>2aC．x<－2aD．x>－2a25．已知关于x的不等式x>32a，表示在数轴上知图，则a的值为（）A．1 B．2 C．－1 D．－226．已知a>b，比较12－3a与12－3b的大小．27．试比较a与2a的大小．。
不等式的基本性质
（1）请同学们回顾 等式的基本性质；
（2）如果在不等式的两边都加上或减去同一个 整式，那么结果会怎样？举例试一试。
不等式的基本性质 1 ： 不等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，不等号的方向不变。
完成下列填空： 2<3
2×5___<___3× 5 ； 2× ½ ___<___3× ½ ； 2×（-1）__>____3× （-1） ； 2×（-5）__>____3× （-5） ； 2×（- ½）__>____3×（- ½） .
从以上能发现什么？可以得到的两边都乘以（或除以）同一个
正数，不等号的方向 不变 .
不等式的基本性质 3 ： 不等式的两边都乘以（或除以）同一个
负数，不等号的方向 改变 .
例题
将下列不等式化成“x>a” 或“x<a”的形式：
（1）x – 5 > -1 ; (2) -2x > 3 解： （1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得
x > -1 + 5 ， 即 x >4 ;
（2）根据不等式的基本性质3，两边都除以 -2，得 x < - —3 . 2
练一练
1、将下列不等式化成“ x > a” 或“x < a”的形式：
（1）x – 1 > 2 ;
解：
(2) -x ﹤—56
（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上1，得 x>2+1 ，
x >1 ;
（4）根据不等式的基本性质3，两边都除以 -2，得 x ﹤ - —1 . 2
练一练
2、已知x﹥y，下列不等式一定能成立吗？
（1）x - 6﹤y - 6
不成立
不等式的基本性质
等价于方程：如果 ax = b 对于某个实数 x不成立，那么 a ≠ b(a，b ≠ 0) 正值不等式的可加性：如果 a > b 和 c > d，那么 ac > bd。当且仅当 a > b > 0 和 c > d > 0时成立
5<7
x^2 +：2 > 3y^2 - 1
1.1 不等式的概念与表达
第一个不等式表示5小于7，而 第二个不等式表示一个表达式
x^2 + 2大于另一个表达式 3y^2 - 1
PART 2
1.2 不等式的性质
1.2 不等式的性质
不等式具有以 下基本性质
1.2 不等式的性质
反身性：对于任何实数 x，都有 x ≥ x 对称性：如果 x > y，那么 y < x，反之亦然 传递性：如果 x > y 且 y > z，那么 x > z
正值不等式的可乘性：如果 a > b > 0 和 c > d > 0，那么 ac > bd。当且仅当 a/d > b/c 时成立 正值不等式的可除性：如果 a > b > 0 和 c > d > 0，那么 ac/bd > 1。当且仅 当 ac > bd 时成立。如果 ac < bd，那 么 ac/bd < 1 正值不等式的可幂性：如果 a > b > 0 和 n 是正整数，那么 a^n > b^n。当且 仅当 n 是偶数时，等号成立
加法单调性：如果 x > y 且 z 为任意实数或整式，那么 x + z > y + z 乘法单调性：如果 x > y > 0 且 z 为任意实数或整式，那么 xz > yz
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简述不等式的4个基本性质
不等式的基本性质：1、在一个区间上可导，在另一个区间上也可导；2、对于任何实数，都存在至少一个解析式；3、当不等式两边同时乘以或除以一个常数时，所得结果仍然是不等式。
4、如果有增根，那么它们互为相反数。
不等式的解题思路：首先要弄清楚该不等式左右两边到底是什么关系，因此必须从函数的角度考虑问题，即把不等式转化成一般形式，然后再利用各种方法进行求解。
由于不等号两边的关系较复杂，建议大家通过举例来理解和掌握。
在做题过程中，应注意分类讨论的作用，多联想一些与之有关的知识点，能起到事半功倍的效果。