单同步坐标系软件锁相环

单同步坐标系软件锁相环

锁相环，顾名思义，其基本功能是跟踪，锁定交流信号的相位，且在必要时还可提供有关信号的频率和幅值信息。

单同步坐标系软件锁相环（SSRF-SPLL),采用了单一的同步坐标系锁相控制结构，一般适用于电网电压平衡时的相位，频率及幅值的检测。

1.坐标变化基础：

矢量控制系统的坐标变换包括精致坐标系间的变换、旋转与静止坐标系间的变换以及指直角坐标系与极坐标系间的变换。其中三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称3s/2s变换（也称Clarke变换）、两相静止坐标系和两相旋转坐标系间的变换，简称2s/2r变换（也称Park变换）。

3.2.2三相-两相变换（3s/2s变换）

现在先考虑上述的第一种坐标变换——在三相静止绕组A、B、C和两相静止绕组α、β之间的变换，或称三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称3s/2s变换。

图3.5中绘出了A、B、C和α、β两个坐标系，为方便起见，取A轴和α轴重合。设三相绕组每项有效匝数为N3，两相绕组每相有效匝数位N2，各相磁动势为有效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于有关相的坐标轴上。由于交流磁动势的大小随时间在变化着，图中磁动势矢量的长度是随意的。

设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在α、β轴上的投影都应相等，因此

β

α

B

C

A

2N i α3A

N i 2N i β

3C

N i 3B

N i 0

60

60

O

图3.5 三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量

002333cos60cos60A B C N i N i N i N i α=--

31122A B C N i i i ?

?=-- ?

?

? （3.6） 00

233sin60cos60B C N i N i N i β=-

()33

2B C N i i =

- （3.7）

写成矩阵形式，得

321112

23302

2A B C i i N i i N i αβ?

?

??-

-

????????=

??????????-?????? （3.8） 功率不变时坐标变换阵的性质：设在某坐标系下各绕组的电压和电流向量分别为u 和i ，在行新的坐标系下，电压和电流向量变成u '和i '，其中

[][]

[][]1

2121

21

2

T

n T

n T

n T

n u u u u i i i i u u u u i i i i ?=??=??

''''=??

''''=??………… （3.9）

定义新向量与原向量的坐标变换关系为

u u C u '= （3.10） i i C i '= （3.11） 其中u C 和i C 分别为电压和电流变换阵。 当变换前后功率不变时，应有

11221122T n n T n n p u i u i i i u

u i u i u i i u =+++=''''''''=+++=…u … （3.12） 将式（3.10）、式（3.11）带入（3.12），则

()T

T T T T i u i u i u C i C u i C C u i u ''''''

=== （3.13）

T i u C C E = （3.14） 其中E 为单位矩阵。式（3.14）就是在功率不变条件下坐标变换阵的关系。 在一般情况下，为了使变换阵简单好记，电压和电流变换阵都取为同一矩阵，即令

u i C C C == （3.15） 则式（3.14）变成

T C C E = （3.16）

或

1T C C -= （3.17）

由此可得如下结论：当电压和电流选取相同的变换阵时，在变换前后功率不变的条件下，变换阵的转置与其逆矩阵相等，这样的坐标变换属于正交变换。

功率不变条件下的3s/2s 变换及匝数比：在两相系统上认为地增加一项零轴磁动势

20N i ，并定义为

()

203A B C N i KN i i i =++ （3.18）

式（3.8）所表示的三相电流/两相电流变换式为

321

11

223302

2A B C i i N i i N i αβ?

?

??-

-

?

???????=??????????-?????

? （3.19）

把零轴电流也增广到变换式中，即得

33/2201112233022A A B s s B C C i i i N i i C i N i i i K K

K αβ??-

-

??????

????????????=-=?

?????????????????

?????????? （3.20） 式中

33/22

1112233022s s

N C N K K

K ??-

-

??????=-????????

?

? （3.21） 这是增广后三相坐标系变换到两相坐标系的变换方阵。 满足功率前后不变条件时，应有

133/23/221013

22132

2

T

s s s s

K N C C K N K -?

???????==-??????--???? （3.22）

显然，式（3.21）和式（3.22）两矩阵之积应为单位阵

2133/23/2211110223313022221

322

s s s s

K N C C K N K K

K K -?

???-

-

??????????????=-- ????????

???????--???????

?

22

33222

23

0210

03

3000102

2002003N N E N N K K ??

??????

?????

???=== ? ???????

????????

??

????

因此

2

32312N N ??= ???

（3.23）

则

3223N N = （3.24） 这表明，要保持坐标系变换前后的功率不变，而又要维持合成磁链相同，变

换后的两相绕组每相匝数应为原三相绕组每项匝数的2

3倍。与此同时

221K =或

1

2K =

（3.25）

把（3.24）代入（3.8）中，得

11122

233302

2A B C i i i i i αβ??

??-

-

????????=??

????????-?????? （3.26） 令C3s/2s 表示从三相坐标系变换到两相坐标系的变换矩阵，则

3/211122233302

2s s

C ?

?

--

????=

??-???? （3.27） 3.2.3两相-两相旋转变化（2s/2r ）

β

α

q

q

i i β

d

d

i sin d i ?

cos q i ?

cos d i ?

sin q i ?

i α

?

s

θ?

1

ω()s s

F i

图3.6 两相静止和旋转坐标系与磁动势（电流）空间矢量

图3.4b 和图3.4c 中从两相静止坐标系α、β到两相旋转坐标系d 、q 的变换称作两相-两相旋转变换，简称2s/2r 变换，其中s 表示静止，r 表示旋转。

把两个坐标系画在一起，即得图3.6。图中，两相交流电流i α、i

β产生同样的以同步转速1ω旋转的合成磁动势s F 。由于各绕组匝数都相等，可以消去磁动势中的匝数，直接用电流表示，例如s F 可以直接标成s i 。但必须注意，这里的电流都是空间矢量，而不是时间相量。

在图3.6中，d 、q 轴和矢量

()

s s F i 都以转速1ω旋转，分量d i 、q i

的长短不变，

相当于d 、q 绕组的直流磁动势。但α、β轴是静止的，α轴与d 轴的夹角?随

时间而变化就，因此s i 在α、β轴上的分量i α、i

β的长短也随时间变化，相当于α、β绕组交流磁动势的瞬时值。由图可见，i α、i β和d i 、q i

之间存在下列关系

cos sin sin scos d q d q i i i i i i αβ????=-??

=+? （3.28）

写成矩阵形式，得

2/2cos sin sin cos d d r s q q i i i C i i i αβ????-??

??????==???????????????? （3.29） 式中

2/2cos sin sin cos r s

C ????-??=??

?? （3.30）

是两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系的变换阵。 对式（3.29）两边都左乘以变换阵的逆矩阵，即得

1

cos sin cos sin sin cos sin cos d q i i i i i i ααββ???

??

??

?--??????

????==?????????

?-????????

?? （3.31）

则两相静止坐标系变换到两相旋转坐标系的变换阵势

2/2cos sin sin cos s r

C ??????

=??-??

（3.32） 电压和磁链的旋转变换阵也是与电流（磁动势）旋转变换阵相同。

2.各个输出端的含义

首先对电网电压进行三相静止坐标系到两相静止垂直坐标系的变换，然后再经过两相静止坐标系到同步旋转坐标系的变换，这种变换的优势在于能将三相静止abc坐标系中的正弦量变换成两相同步旋转dq坐标系中的直流量。在同步旋转坐标系中，根据锁相环工作的基本性能要求，即必须使矢量Vpll,V完全重合才能实现相位锁定，这就要求使Vq=0即可实现锁相。实际上，PI端输出的是

△W=W*-W,W*是目标角频率，W是实际角频率，我们通过设置PI的Kp和Pi的参数，使得△W=0，既可以使得Vq=0。在这里，用到高数的极限，当x→0时，有SinX=X成立，Vq=Vsin(W*-W)t。这样子，又因为100*pi是电网额定频率，即可使输入到积分环节的是目标角频率。此外，还有一点需要注意，那就是限幅值，因为工程上要求频率f的波动范围是5Hz,根据W=2*PI*f,计算出△W的范围。这要求我们在设置PI调节器参数时能看到完整的负波形，而不是会被限幅掉的波形。然后再经过积分环节，得到相位，mod在这里的作用是设置相位输出范围，一般是0~2Ω。MATLAB中的SIMULINK设置原理图如上图所示。

3.调节参数

Kp为调节器比例部分的放大系数，Ki为调节器的积分时间常数。 Kp的作用是加快系统的调节过程，发挥比例调节器的长处；随着电容C的充电，输出电压U按照积分规律逐渐上升，又具有积分调节器的性质。

通过调节，我们发现Kp 过大，会得不到完整图形，在减小的过程中，能得到负半部分图形即可，记下此时的Kp 值。在调节Ki 的过程中，ki 过大，会造成超调量，要注意适当，使值逐渐趋向于0，记下此时的Ki 值。最终经过mod 设置的相位范围，输出的是每一个时间点对应的相位，这些相位点连接起来就成为如下图所示的锯齿波。

00.050.10.150.20.25

1

2

3

4

5

6

7

t /s

θ/r a d

SPLL