2016年高考数学(文)五年真题 考点分类汇编：考点23 平面向量的数量积及其应用
高考数学真题汇编---平面向量(有解析)
高考数学真题汇编---平面向量学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共10小题）1．（2017•新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（）A．⊥B．||=||C．∥D．||＞||2．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2C．D．23．（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣C．﹣D．﹣14．（2017•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=•，I2=•，I3=•，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I35．（2016•新课标Ⅲ）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°6．（2016•新课标Ⅱ）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（）A．﹣8 B．﹣6 C ．6 D．87．（2016•天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．8．（2016•山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣9．（2016•四川）在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C．D．10．（2016•四川）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M 满足||=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C．D．二．填空题（共20小题）11．（2017•山东）已知向量=（2，6），=（﹣1，λ），若，则λ=．12．（2017•新课标Ⅲ）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m=．13．（2017•新课标Ⅰ）已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m=．14．（2017•新课标Ⅰ）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=．15．（2017•山东）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．16．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．17．（2017•北京）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为．18．（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=．19．（2017•天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．20．（2016•新课标Ⅱ）已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，则m=．21．（2016•上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是．22．（2016•新课标Ⅰ）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．23．（2016•山东）已知向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t+），则实数t的值为．24．（2016•新课标Ⅰ）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．25．（2016•浙江）已知平面向量，，||=1，||=2，=1，若为平面单位向量，则||+||的最大值是．26．（2016•上海）如图，已知点O（0，0），A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是．27．（2016•江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．28．（2016•北京）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为．29．（2016•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点A i，A j，点P满足++=，则点P落在第一象限的概率是．30．（2016•浙江）已知向量，，||=1，||=2，若对任意单位向量，均有|•|+|•|≤，则•的最大值是．三．解答题（共1小题）31．（2017•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，= =3，求A和a．﹣6，S△ABC高考数学真题汇编---平面向量参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】由已知得，从而=0，由此得到．【解答】解：∵非零向量，满足|+|=|﹣|，∴，解得=0，∴．故选：A．2．【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），根据=λ+μ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC=2，CD=1，∴BD==∴BC•CD=BD•r，∴r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ+μ，∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．3．【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，故选：B．4．【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2，∴∠AOB=∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞•＞•，•＞0，即I3＜I1＜I2，故选：C．5．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC 的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【分析】求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案．【解答】解：∵向量=（1，m），=（3，﹣2），∴+=（4，m﹣2），又∵（+）⊥，∴12﹣2（m﹣2）=0，解得：m=8，故选：D．7．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，∴•========．故选：C．【分析】若⊥（t+），则•（t+）=0，进而可得实数t的值．【解答】解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），∴•（t+）=t•+2=t||•||•+||2=（）||2=0，解得：t=﹣4，故选：B．9．【分析】由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．运用向量的数量积定义可得△ABC的边长，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，求得B，C的坐标，再设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由中点坐标公式可得M的坐标，运用两点的距离公式可得BM的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【解答】解：由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得•（﹣）=0，•（﹣）=0，即•=•=0，即有⊥，⊥，可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．由•=﹣2，即有||•||cos120°=﹣2，解得||=2，△ABC的边长为4cos30°=2，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，可得B（3，﹣），C（3，），D（2，0），由=1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由=，可得M为PC的中点，即有M（，），则||2=（3﹣）2+（+）2=+==，当sin（θ﹣）=1，即θ=时，取得最大值，且为．故选：B．10．【分析】如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，可得M，代入||2=+3sin，即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．∵M满足||=1，∴点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，则M，∴||2=+=+3sin≤．∴||2的最大值是．也可以以点A为坐标原点建立坐标系．解法二：取AC中点N，MN=，从而M轨迹为以N为圆心，为半径的圆，B，N，M三点共线时，BM为最大值．所以BM最大值为3+=．故选：B．二．填空题（共20小题）11．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵，∴﹣6﹣2λ=0，解得λ=﹣3．故答案为：﹣3．12．【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解．【解答】解：∵向量=（﹣2，3），=（3，m），且，∴=﹣6+3m=0，解得m=2．故答案为：2．13．【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由向量+与垂直，利用向量垂直的条件能求出m的值．【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（m，1），∴=（﹣1+m，3），∵向量+与垂直，∴（）•=（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，解得m=7．故答案为：7．14．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．15．【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【解答】解：【方法一】由题意，设=（1，0），=（0，1），则﹣=（，﹣1），+λ=（1，λ）；又夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=﹣λ=2××cos60°，即﹣λ=，解得λ=．【方法二】，是互相垂直的单位向量，∴||=||=1，且•=0；又﹣与+λ的夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=|﹣|×|+λ|×cos60°，即+（﹣1）•﹣λ=××，化简得﹣λ=××，即﹣λ=，解得λ=．故答案为：．16．【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0﹣6y0+30≤0，即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x﹣y+5=0以及直线上方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．17．【分析】设P（cosα，sinα）．可得=（2，0），=（cosα+2，sinα）．利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：设P（cosα，sinα）.=（2，0），=（cosα+2，sinα）．则•=2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号．故答案为：6．18．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．19．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．20．【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，可得12=﹣2m，解得m=﹣6．故答案为：﹣6．21．【分析】设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，则=（1，1），=（cosα，sinα+1），由此能求出•的取值范围．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，∴设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，∴=（1，1），=（cosα，sinα+1），=cosα+sinα+1=，∴•的取值范围是[0，1+]．故答案为：[0，1+]．22．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．23．【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可．【解答】解：∵向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），∴t+=（t+6，﹣t﹣4），∵⊥（t+），∴•（t+）=t+6+t+4=0，解得t=﹣5，故答案为：﹣5．24．【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．25．【分析】由题意可知，||+||为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，由此可知，当与共线时，||+||取得最大值，即．【解答】解：||+||=，其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，当与共线时，取得最大值．∴=．故答案为：．26．【分析】设出=（x，y），得到•=x+，令x=cosθ，根据三角函数的性质得到•=sinθ+cosθ=sin（θ+），从而求出•的范围即可．【解答】解：设=（x，y），则=（x，），由A（1，0），B（0，﹣1），得：=（1，1），∴•=x+，令x=cosθ，θ∈[0，π]，则•=sinθ+cosθ=sin（θ+），θ∈[0，π]，故•的范围是[﹣，1，]，故答案为：[﹣1，]．27．【分析】由已知可得=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，=+2，=﹣+2，结合已知求出2=，2=，可得答案．【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，∴•=2﹣2=﹣1，•=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴•=42﹣2=，故答案为：28．【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．【解答】解：∵向量=（1，），=（，1），∴与夹角θ满足：cosθ===，又∵θ∈[0，π]，∴θ=，故答案为：．29．【分析】利用组合数公式求出从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个的事件总数，满足++=，且点P落在第一象限，则需向量+的终点落在第三象限，列出事件数，再利用古典概型概率计算公式求得答案．【解答】解：从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个，基本事件总数为．满足++=，且点P落在第一象限，对应的A i，A j，为：（A4，A7），（A5，A8），（A5，A6），（A6，A7），（A5，A7）共5种取法．∴点P落在第一象限的概率是，故答案为：．30．【分析】根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论．【解答】解：由绝对值不等式得≥|•|+|•|≥|•+•|=|（+）•|，于是对任意的单位向量，均有|（+）•|≤，∵|（+）|2=||2+||2+2•=5+2•，∴|（+）|=，因此|（+）•|的最大值≤，则•≤，下面证明：•可以取得，（1）若|•|+|•|=|•+•|，则显然满足条件．（2）若|•|+|•|=|•﹣•|，此时|﹣|2=||2+||2﹣2•=5﹣1=4，此时|﹣|=2于是|•|+|•|=|•﹣•|≤2，符合题意，综上•的最大值是，法2：由于任意单位向量，可设=，则|•|+|•|=||+||≥||+|=||=|+|，∵|•|+|•|≤，∴|+|≤，即（+）2≤6，即||2+||2+2•≤6，∵||=1，||=2，∴•≤，即•的最大值是．法三：设=，=，=，则=+，=﹣，|•|+|•|=||+||=||≤||，由题设当且仅当与同向时，等号成立，此时（+）2取得最大值6，第21页（共22页）由于|+|2+|﹣|）2=2（||2+||2）=10，于是（﹣）2取得最小值4，则•=，•的最大值是．故答案为：．三．解答题（共1小题）31．【分析】根据向量的数量积和三角形的面积公式可得tanA=﹣1，求出A和c的值，再根据余弦定理即可求出a．【解答】解：由=﹣6可得bccosA=﹣6，①，由三角形的面积公式可得S△ABC=bcsinA=3，②∴tanA=﹣1，∵0＜A＜180°，∴A=135°，∴c==2，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=9+8+12=29∴a=第22页（共22页）。
2016年高考数学试题分类汇编F单元 平面向量
数 学F 单元 平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算 7．F1、F3[2016·天津卷] 已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点D ,E 分别是边AB ,BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得DE ＝2EF ,则AF →·BC →的值为( )A ．－58 B.18C.14D.1187．B [解析] 如图所示,AF →·BC →＝(AD →＋DF →)·BC →＝(－12BA →＋32DE →)·BC →＝(－12BA →＋34AC →)·BC →＝－12BA →·BC →＋34AC →·BC →＝－14＋38＝18.13．F1、F3[2016·江苏卷] 如图1-3,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E ,F 是AD 上的两个三等分点,BA →·CA →＝4,BF →·CF →＝－1,则BE →·CE →的值是________．13.78 [解析] 设BD →＝a ,DF →＝b ,则由题意得BA →＝a ＋3b ,CA →＝－a ＋3b ,BF →＝a ＋b ,CF →＝－a ＋b ,BE →＝a ＋2b ,CE →＝－a ＋2b ,所以BA →·CA →＝9b 2－a 2＝4,BF →·CF →＝b 2－a 2＝－1,解得b 2＝58,a 2＝138,于是BE →·CE →＝4b 2－a 2＝78.F2 平面向量基本定理及向量坐标运算 13．F2[2016·全国卷Ⅱ] 已知向量a ＝(m ,4),b ＝(3,－2),且a ∥b ,则m ＝________． 13．－6 [解析] 因为a ∥b ,所以－2m －4×3＝0,解得m ＝－6. F3 平面向量的数量积及应用 7．F1、F3[2016·天津卷] 已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点D ,E 分别是边AB ,BC的中点,连接DE 并延长到点F ,使得DE ＝2EF ,则AF →·BC →的值为( )A ．－58 B.18C.14D.1187．B [解析] 如图所示,AF →·BC →＝(AD →＋DF →)·BC →＝(－12BA →＋32DE →)·BC →＝(－12BA →＋34AC →)·BC →＝－12BA →·BC →＋34AC →·BC →＝－14＋38＝18.12．C4,F3[2016·上海卷] 如图1-1,已知点O (0,0),A (1,0),B (0,－1),P 是曲线y ＝1－x 2上一个动点,则OP →·BA →的取值范围是________．图1-112．[－1,2] [解析] 由题意,设P (cos α,sin α),α∈[0,π],则OP →＝(cos α,sin α)．又BA →＝(1,1),所以OP →·BA →＝cos α＋sin α＝2sin(α＋π4)∈[－1,2]．13．F3[2016·山东卷] 已知向量a ＝(1,－1),b ＝(6,－4)．若a ⊥(t a ＋b ),则实数t 的值为________．13．－5 [解析] ∵a ＝(1,－1),b ＝(6,－4),且a ⊥(t a ＋b ),∴a ·(t a ＋b )＝0,即2t ＋10＝0,解得t ＝－5.15．F3[2016·浙江卷] 已知平面向量a ,b ,|a|＝1,|b |＝2,a·b ＝1.若e 为平面单位向量,则|a·e|＋|b·e|的最大值是________．15.7 [解析] 由|a|＝1,|b|＝2,得a·b ＝|a||b|cos 〈a ,b 〉＝2cos 〈a ,b 〉＝1,得cos 〈a ,b 〉＝12,则〈a ,b 〉＝π3.不妨设a ＝(1,0),e ＝(cos θ,sin θ),b ＝(1,3),则|a·e|＋|b·e|＝|cos θ|＋|cos θ＋3sin θ|.当θ为锐角时,才能取得最大值,此时|a·e|＋|b·e|＝2cos θ＋3sin θ＝7sin(θ＋φ)≤7,故|a·e|＋|b·e|的最大值是7.13．F1、F3[2016·江苏卷] 如图1-3,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E ,F 是AD 上的两个三等分点,BA →·CA →＝4,BF →·CF →＝－1,则BE →·CE →的值是________．13.78 [解析] 设BD →＝a ,DF →＝b ,则由题意得BA →＝a ＋3b ,CA →＝－a ＋3b ,BF →＝a ＋b ,CF →＝－a ＋b ,BE →＝a ＋2b ,CE →＝－a ＋2b ,所以BA →·CA →＝9b 2－a 2＝4,BF →·CF →＝b 2－a 2＝－1,解得b 2＝58,a 2＝138,于是BE →·CE →＝4b 2－a 2＝78.9．F3[2016·北京卷] 已知向量a ＝(1,3),b ＝(3,1),则a 与b 夹角的大小为________．9.π6[解析] 根据题意得|a |＝1＋3＝2,|b |＝3＋1＝2,a ·b ＝3＋3＝2 3.设a 与b 的夹角为θ,则cos θ ＝a ·b |a |·|b |＝232×2＝32,因为θ∈[0,π],所以θ＝π6. 13．F3[2016·全国卷Ⅰ] 设向量a ＝(x ,x ＋1),b ＝(1,2),且a ⊥b ,则x ＝________． 13．－23 [解析] 由题意,a·b ＝0,即x ＋2(x ＋1)＝0,∴x ＝－23.F4 单元综合9．F4[2016·四川卷] 已知正三角形ABC 的边长为23,平面ABC 内的动点P ,M 满足|AP →|＝1,PM →＝MC →,则|BM →|2的最大值是( )A.434B.494C.37＋634D.37＋23349．B [解析] 方法一：以A 为原点建立如图所示的直角坐标系,则B ,C 两点的坐标分别为(3,－3),(3,3)．由|AP →|＝1,设P 点的坐标为(cos θ,sin θ),其中θ∈[0,2π)． 而PM →＝MC →,即M 是PC 的中点, 所以M 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3＋cos θ2，3＋sin θ2, 则|BM →|2＝⎝⎛⎫cos θ－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33＋sin θ22＝37＋12sin ⎝⎛⎭⎫θ－π64. 又θ∈[0,2π),所以当θ－π6＝π2,即θ＝23π时,|BM →|2取得最大值494.方法二：设AC 的中点为T ,则|BT →|＝3.因为PM →＝MC →,所以M 是PC 的中点．易知BM →＝12(BP →＋BC →)＝12(BA →＋AP →＋BC →)＝12(2BT →＋AP →)＝BT →＋12AP →,所以|BM →|2＝(BT →＋12AP →)2＝|BT →|2＋14|AP →|2＋BT →·AP →＝|BT →|2＋14|AP →|2＋|BT →||AP →|cos 〈BT →,AP →〉≤9＋14＋3×1×1＝494,当且仅当〈BT →,AP →〉＝0,即BT →与AP →同向时,等号成立．1. [2016·山东枣庄质检]在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,CO →＝λ()AB →＋AD→,则实数λ＝( ) A. －12 B. 12C. －2D. 21. A [解析] 根据向量平行四边形法则得AB →＋AD →＝AC →＝2OC →,因为CO →＝λ()AB →＋AD→,所以λ＝－12.1. [2016·北京海淀区期末]如图K221所示, 正方形ABCD 中,E 为DC 的中点,若AE →＝λAB →＋μAC →,则λ＋μ的值为( )A. 12B. －12C. 1D. －1 1. A [解析] 因为E 为DC 的中点,所以AC →＝AB →＋AD →＝ 12AB →＋12AB →＋AD →＝12AB →＋()DE →＋AD →＝12AB →＋AE →,即AE →＝－12AB →＋AC →,又AE →＝λAB →＋μAC →,所以μ＝1,λ＝－12,故λ＋μ的值为12.15. [2016·合肥一检]如图K231所示,已知等边三角形ABC 的边长为2,若BC →＝3BE →,AD →＝DC →,则BD →·AE →＝________．15. －2 [解析] ∵AD →＝DC →,∴D 为AC 的中点,即AD →＝12AC →,∴BD →＝BA →＋12AC →.∵BC →＝3BE →,∴AE →＝AB →＋13BC →,∴BD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫BA →＋12AC →·⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →＝BA →·AB →＋ 13BC →·BA →＋12AC →·AB →＋16AC →·BC →＝－4＋13×4×cos 60°＋12×4×cos 60°＋16×4×cos 60°＝－2.。
2016高考数学复习知识点
2016高考数学复习知识点(一)平面向量及其应用1. 掌握平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量数量积等基本概念、运算及其简单应用.复习时应强化向量的数量积运算，向量的平行、垂直及求有关向量的夹角问题要引起足够重视.2. 在复习中要注意数学思想方法的渗透，如数形结合思想、转化与化归思想等.会用向量解决某些简单的几何问题.1. 在?ABCD中，=a，=b，=3，M为BC的中点，则=________.(用a、b表示)2.设a与b是两个不共线向量，且向量a+λb与-(b-2a)共线，则λ=________.3.若向量a，b满足|a|=1，|b|=2且a与b的夹角为，则|a-b|=________.4.已知向量P=+，其中a、b均为非零向量，则|P|的取值范围是________.【例1】已知向量a=，b=(2，cos2x).(1) 若x∈，试判断a与b能否平行?(2) 若x∈，求函数f(x)=a·b的最小值.【例2】设向量a=(4cosα，sinα)，b=(sinβ，4cosβ)，c=(cosβ，-4sinβ).(1) 若a与b-2c垂直，求tan(α+β)的值;(2) 求|b+c|的最大值;(3) 若tanαtanβ=16，求证：a∥b.【例3】在△ABC中，已知2·=||·||=3BC2，求角A，B，C的大小.【例4】已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m=(a，b)，n=(sinB，sinA)，p=(b-2，a-2) .(1) 若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形;(2) 若m⊥p，边长c=2，角C=，求△ABC的面积 .1. (2008·安徽)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=(2,4)，=(1,3)，则=________.2.(2011·上海)在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则·=________.3.(2011·江苏)已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a=e1-2e2，b=ke1+e2，若a·b=0，则实数k的值为________.4.(2011·浙江)若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________.5.(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中，点A(-1，-2)、B(2,3)、C(-2，-1).(1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;(2) 设实数t满足(-t)·=0，求t的值.6.(2011·陕西)叙述并证明余弦定理.(2010·江苏泰州一模)(本小题满分14分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.(1) 设向量x=(sinB，sinC)，向量y=(cosB，cosC)，向量z=(cosB，-cosC)，若z∥(x+y)，求tanB+tanC的值;(2) 已知a2-c2=8b，且sinAcosC+3cosAsinC=0，求b.解：(1) 由题意：x+y=(sinB+cosB，sinC+cosC)，(1分)∵ z∥(x+y)，∴ cosB(sinC+cosC)=-cosC(sinB+cosB)，∴ cosBsinC+cosCsinB=-2cosBcosC，(3分)∴ =-2，即：tanB+tanC=-2. (6分)(2) ∵ sinAcosC+3cosAsinC=0，∴ sinAcosC+co sAsinC=-2cosAsinC，(8分)∴ sin(A+C)=-2cosAsinC，即：sinB=-2cosAsinC.(10分)∴ b=-2c·，(12分)∴ -b2=b2+c2-a2，即：a2-c2=2b2，又a2-c2=8b，∴ 2b2=8b，∴ b=0(舍去)或4.(14分)2016高考数学复习知识点(二)解析几何(1)题型稳定：近几年来高考解析几何试题一直稳定在三(或二)个选择题，一个填空题，一个解答题上，分值约为30分左右，占总分值的20%左右。
2016年高考数学(文)五年真题 考点分类汇编：考点21 平面向量的概念与运算
考点21 平面向量的概念与运算1．(D ，全国新课标，5分)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则=+ （ ） A . B 21. C . D 21.2．(E,重庆，5分)已知非零向量a ，b 满足|,|4||a b =且),2(b a a +⊥则a 与b 的夹角为 ( )3.πA 2.πB 32.πc 65.πD 3．(D ，浙江，5分)设θ为两个非零向量a ，b 的夹角．已知对任意实数||,ta b t +的最小值为1． ( )A 若θ确定，则a 唯一确定B 若θ确定，则b 唯一确定C 若a 确定，则θ唯一确定D ．若b 确定，则θ唯一确定4．(E ，北京，5分)设a ，b 是非零向量，”“b a b a =⋅是”“b a //的 （ ）A ．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．(E ，陕西，5分)对任意平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是 ( )||||||.b a b a A ≤⋅ ||||||||.b a b a B -≤-22||).(b a b a c +=+ 22)().(b a b a b a D -=-⋅+6．(C ，湖南，5分)已知a ，b 是单位向量，.0=⋅b a 若向量c 满足,1||=--b a c 则||c 的最大值为 ( )12.-A 2.B 12.+C 22.-D7．(A ，上海，5分)设4321,,,A A A A 是平面上给定的4个不同点，则使04321=+++MA MA MA MA成立的点M 的个数为 ( )0.A 1.B 2.C 4.D8．(B ，广东，5分)对任意两个非零的平面向量α和,β定义⋅⋅⋅=ββββa a 若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角),2,4(ππθ∈且a b b a 和都在集合}|2{z n n ∈中，则=b a 9．(C ，全国新课标，5分)已知两个单位向量a ，b 的夹角为,)1(,60b t ta c o -+=若,0.=c b 则=t1.B 23.c 25.D 10．(C ，山东，4分)在平面直角坐标系xOy 中，已知).2,2(),,1(=--t 若,90 =∠ABo 则实数t 的值为_______11．(D ，上海，4分)已知曲线,4:2y x C --=直线.6:=x l 若对于点),0,(m A 存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得,0=+AQ AP 则m 的取值范围为________答案21.A。
2016高考数学常见题型(第三辑)：平面向量的综合应用
所以N→P2＝x02＋(y0－1)2＝－13y20－2y0＋17＝－13(y0＋3)2＋ 20.
因为y0∈[－2 3，2 3]， 所以当y0＝2 3时，N→P2取得最小值(2 3－1)2＝13－4 3 (此时x0＝0)． 故P→E·P→F的最小值为12－4 3.
点评：向量的坐标运算可将几何问题用代数方法处理， 也可以将代数问题转化为几何问题来解决，其中向量是桥 梁，因此，在解此类题目的时候，一定要重视转化与化归．
【解析】 (1)∵p∥q，
∴(2－2sinA)(1＋sinA)－(cosA＋sinA)(sinA－cosA)＝0.
∴sin2A＝34，∴sinA＝
3 2.
∵△ABC为锐角三角形，∴A＝60°.
(2)y＝2sin2B＋cos(C－23B)
＝2sin2B＋cos(
180°－B－A－3B
2
)
＝2sin2B＋cos(2B－60°)
＝1－cos2B＋cos2Bcos60°＋sin2Bsin60°
＝1－12cos2B＋ 23sin2B＝1＋sin(2B－30°)，
当2B－30°＝90°，即B＝60°时，函数取最大值2.
点评：解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准 确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数 的问题解决．
O→P
＝
(x0，y0)，所以
O→P
·F→P
＝x0(x0＋1)＋y
2 0
＝x02
＋x0＋3(1－
x20 4
)＝
x20 4
＋x0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x0＝－2.因为－
2≤x0≤2，故当x0＝2时，
O→P
·F→P
取得最大值
22 4
2016届高考数学考点剖析专题07平面向量数量积的坐标表示
数量积的坐标表示
主标题：数量积的坐标表示
副标题：为学生详细的分析数量积的坐标表示的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：数量积，坐标表示，知识总结
难度：3
重要程度：5
考点剖析：本考点包括向量数量积的坐标表示，考纲明确要求掌握数量积坐标表达式，会进行平面向量数量积的计算。
命题方向：
1.利用向量的坐标形式求向量的数量积，是近几年高考的热点．
2.通过向量的坐标形式考查向量的模，向量的夹角．
3.题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现.
规律总结：
1.指数规律总结
一个公式
设，则；如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，那么，即两点间距离公式．
两个充要条件
两个非零向量
(1)．
(2) ．
平面向量数量积的坐标表示
两个非零向量，是的夹角，则；。
高考数学浙江版5.2 平面向量的数量积及其应用
从而∠DBC>45°,又∠BCO=45°,∴∠BOC为锐角.
从而∠AOB为钝角.故I1<0,I3<0,I2>0.
又OA<OC,OB<OD,
故可设 OD
=-λ1 OB
(λ1>1), OC
=-λ2 OA(λ2>1),
从而I3= OC
·O D
=λ1λ2 OA
· OB
=λ1λ2I1,
又λ1λ2>1,I1<0,I3<0,∴I3<I1,∴I3<I1<I2.故选C.
x2 y2 10,
故可转化为线性规划问题“已知 1 x 3, 求x+y的最大值和最小值.”
1 y 3,
其可行域为图中弧AB,平移直线x+y=0,显然过A、B点时,x+y有最小值4. 与圆弧相切时,切点为C( 5 , 5 ),x+y有最大值2 5 ,则|a+b|+|a-b|的最小值为4,最大值为2 5 .
答案 C 本题考查向量的数量积,共线向量定理,解三角形,考查运算能力和逻辑推理能力.
如图,建立直角坐标系,则B(0,0),A(0,2),C(2,0). 设D(m,n), 由AD=2和CD=3,
得
m2
(m
(n 2)2 2)2 n2
4, 9,
从而有n-m= 5 >0,∴n>m.
离减去圆的半径,所以|a-b|min= 3 -1.选A.
一题多解 将b2-4e·b+3=0转化为b2-4e·b+3e2=0,
即(b-e)·(b-3e)=0,∴(b-e)⊥(b-3e).
【备战2016】(新课标Ⅱ版)高考数学分项汇编 专题05 平面向量(含解析)文科
专题05 平面向量一．基础题组1. 【2014全国2，文4】设向量b a ,满足10||=+b a ，6||=-b a ，则=⋅b a （ ）A. 1B. 2C. 3D. 5【答案】A【解析】由已知得，22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得，44a b ⋅=，故1a b ⋅=．2. 【2010全国新课标，文2】a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．865－ C.6516 D ．－6516 【答案】：C3. 【2007全国2，文6】在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=2D B ，=λ+31,则λ=( ) (A)32 (B)31 (C) 31- (D) 32- 【答案】：A4. 【2006全国2，文1】已知向量a ＝（4，2），向量b ＝（x ，3），且a //b ,则x ＝( )（A ）9 (B)6 (C)5 (D)3【答案】B5. 【2012全国新课标，文15】已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |则|b |＝__________．【答案】：【解析】：∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，∴a ·b ＝|a |×|b |cos45°＝2|b |，|2a －b |2＝4－4×2|b |＋|b |2＝10，∴=b 6. 【2005全国3，文14】已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k= . 【答案】23-二．能力题组1. 【2010全国2，文10】△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB ＝a ，CA ＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则 CD 等于( ) A.13a ＋23b B. 23a ＋13b C. 35a ＋45b D. 45a ＋35b 【答案】：B＝23a ＋13b . 法二：(排除法)由角平分线的性质知λCD ＝1a a ＋1b b ＝a ＋12b .故CD ＝1λa ＋12λb .系数之比为2∶1，只有B 项符合．2. 【2005全国2，文9】已知点A ，(0,0)B ，C ．设BAC ∠的一平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC CE l =，其中l 等于（ ）(A) 2 (B) 12 (C) 3- (D) 13- 【答案】C【解析】三．拔高题组1. 【2013课标全国Ⅱ，文14】已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅＝__________.【答案】：21()()2AE BD AB AD AD AB ⋅=+⋅-22221122222AB AD =-+=-⨯+=.。
高考数学真题分类汇编 5.2 平面向量的数量积及其应用
§5.2 平面向量的数量积及其应用考点一长度与角度问题1.(2014浙江,8,5分)记max{x,y}=min{x,y}=设a,b为平面向量,则( )A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2答案 D2.(2014大纲全国,4,5分)若向量a、b满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=( )A.2B.C.1D.答案 B3.(2014北京,10,5分)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=.答案4.(2014江西,14,5分)已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cos α=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cos β=.答案考点二数量积的综合应用5.(2014课标Ⅱ,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=()A.1B.2C.3D.5答案 A6.(2014重庆,4,5分)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k=( )A.-B.0C.3D.答案 C7.(2014天津,8,5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若·=1,·=-,则λ+μ=()A. B. C. D.答案 C8.(2014四川,7,5分)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b 的夹角,则m=( )A.-2B.-1C.1D.2答案 D9.(2014湖北,11,5分)设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),则实数λ=.答案±310.(2014江苏,12,5分)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,·=2,则·的值是.答案2211.(2014安徽,15,5分)已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4+x5·y5,S min表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).①S有5个不同的值②若a⊥b,则S min与|a|无关③若a∥b,则S min与|b|无关④若|b|>4|a|,则S min>0⑤若|b|=2|a|,S min=8|a|2,则a与b的夹角为答案②④。
【5年高考3年模拟】(新课标专用)高考数学一轮复习 试题分类汇编 平面向量的数量积及平面向量的应用(B)
5.2平面向量的数量积及平面向量的应用考点一数量积的定义及长度、角度问题1.(2013湖北,7,5分)已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量在方向上的投影为( )A. B.C.-D.-答案 A2.(2013湖南,8,5分)已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为( )A.-1B.C.+1D.+2答案 C3.(2013福建,10,5分)在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为( )A. B.2 C.5 D.10答案 C4.(2013安徽,13,5分)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为.答案-5.(2013重庆,14,5分)在OA为边,OB为对角线的矩形中,=(-3,1),=(-2,k),则实数k= .答案 46.(2013四川,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)=-.(1)求sin A的值;(2)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影.解析(1)由cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=-,得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-.则cos(A-B+B)=-,即cos A=-.又0<A<π,则sin A=.(5分)(2)由正弦定理,有=,所以,sin B==.由题知a>b,则A>B,故B=.根据余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5c×,解得c=1或c=-7(负值舍去).故向量在方向上的投影为||cos B=.(12分)考点二数量积的综合应用7.(2013课标全国Ⅰ,13,5分)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t= .答案 28.(2013课标全国Ⅱ,14,5分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则·=.答案 29.(2013山东,15,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知=(-1,t),=(2,2).若∠ABO=90°,则实数t的值为.答案 510.(2013天津,12,5分)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1,则AB的长为.答案。
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考点23 平面向量的数量积及其应用
1．（E，福建，5分）设.),1,1(),2,1(kbacba若,cb则实数k的值等于 （ ）
23.A 35.B 3
5.C 23
.D
2．(D，福建，5分)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，0为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则
ODOCOBOA等于 （ )
OMA. OMB2. OMC3. OMD4.
3．（D，湖南，5分）在平面直角坐标系中，O为原点，),0,3(),3,0(),0,1(CBA动点D满足1||CD， 则
||ODOBOA
的取值范围是 ( )
]6,4.[A
]119,119.[B ]72,32.[C ]17,17.[D
4．(C，陕西，5分)已知向量),2,(),,1(mbma若,//ba则实数m等于 （ ）
2.A 2.B 2.c或2
0.D
5．(B，福建，5分)已知向量),1,2(),2,1(bxa则ba的充要条件是 （ ）
2
1
.xA
1.xB 5.xC 0.xD
6．(E，湖南，5分)已知点A，B，C在圆122yx上运动，且.BCAB若点P的坐标为(2，O)，则
PA|
|PCPB
的最大值为 ( )
6.A 7.B 8.C 9.D
7．(C，福建，5分)在四边形ABCD中，),2,1(AC),2,4(BD则该四边形的面积为 ( )
5.A 52.B
5.C 1.D
8．(D，江苏，5分)如图，在平行四边形ABCD中，已知,2,3,5,8BPAPPDCPADAB则
.AB
AD
的值是______-
9．(D，湖北，5分)若向量||),3,1(OAOA,0,OBOAOB则||AB______
10．(B，湖北，5分)已知向量),1,1(),0,1(ba则(I)与ba2同向的单位向量的坐标表示为______
(Ⅱ)向量ab3与向量夹角的余弦值为_______
11.（B，课标，5分）已知向量a，b的夹角为,45o且,10|2|,1||baa则||b______
12．（E,浙江，4分）已知21,ee是平面单位向量，且.1e212e若平面向量 b满足,1.21ebeb则
||b
______
13. (A，安徽，5分）已知向量a，b满足).2(ba,6)(ba且,2||,1||ba则a与b的夹角为____
14. (E,安徽，5分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量 a,b满足,2,2baACaAB则下列结
论中正确的是 _________ （写出所有正确结论的编号）．
①a为单位向量；②b为单位向量；;ba③//b④;BC.)4(BCba⑤
15．(A，上海，4分)在正三角形ABC中，D是边BC上的点．若,1,3BDAB则ADAB_____
16. (E，天津，5分)在等腰梯形ABCD中，已知//AB,1,2,BCABDC.60ABC点E和F分别
在线段BC和DC上，且,61,32DCDFBCBF则AFAE的值为_______
17．(E，江苏，5分)设向量6,6(coskmskak),12,,2,1,0)(6cos.kk则)(1110kkkaa的值为
18. (C，陕西，12分)叙述并证明余弦定理．
19．(C,江苏,14分)已知向量ba),sin,(cos.0),sin,(cos
(I)若,2||ba求证：;ba
(Ⅱ)设),1,0(C若,cba求,的值．
20. (A．江西,12分)已知过抛物线)0(22PPxy的焦点，斜率为22的直线交抛物线于),,(11yxA
))(,(2122xxyxB
两点，且.9||AB
(I)求该抛物线的方程；
(Ⅱ)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC,OBOA求的值.
答案