2017学年杭二高三上期中
2017-2018学年浙江省嘉兴一中高三(上)期中数学试卷
2017-2018学年浙江省嘉兴一中高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（4分）设全集U=R，集合A={x|x≥3}，B={x|0≤x＜5}，则集合（∁U A）∩B=（）A．{x|0＜x＜3}B．{x|0≤x＜3}C．{x|0＜x≤3}D．{x|0≤x≤3}2．（4分）若复数z满足，其中i为虚数单位，则z=（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i3．（4分）下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y= B．y=﹣x2+1 C．．y=2x D．y=lg|x+1|4．（4分）已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0，其中a∈R，则“a=﹣3”是“l1⊥l2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）要得到函数的图象，只需将函数y=cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位6．（4分）某校的A，B，C，D四位同学准备从三门选修课中各选一门，若要求每门选修课至少有一人选修，且A，B不选修同一门课，则不同的选法有（）A．36种B．72种C．30种D．66种7．（4分）若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（）①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．A．①③B．②③C．②④D．①④8．（4分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩9．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在A1C上运动（包括端点），则BP 与AD1所成角的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]10．（4分）设函数f（x）=﹣a，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是（）A．（]B．（]C．（2]D．2，]二、填空题：本大题有7小题，前4小题每小题6分，后3小题每题4分共36分.请将答案填写在答题卷中的横线上.11．（6分）若双曲线x2=1的离心率为，则实数m=；渐近线方程为．12．（6分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是；体积是．13．（6分）二项式（1+2x）5中，所有的二项式系数之和为；系数最大的项为．14．（6分）已知⊙C的方程为x2﹣2x+y2=0，直线l：kx﹣y+2﹣2k=0与⊙C交于A，B两点，当|AB|取最大值时k=，△ABC面积最大时，k=．15．（4分）已知点P（1，1），Q（1，﹣1），O为坐标原点，动点M（x，y）满足，则点M所构成的平面区域的面积是．16．（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．17．（4分）如图，已知AB为圆O的直径，C为圆上一动点，PA⊥圆O所在平面，且PA=AB=2，过点A作平面α⊥PB，交PB，PC分别于E，F，当三棱锥P﹣AEF 体积最大时，tan∠BAC=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数f（x）=（sinx+）（cosx﹣．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0，求cos2x0的值．19．（15分）如图①，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，E是CD的中点，将三角形ADE沿AE翻折到图②的位置，使得平面AED′⊥平面ABC．（1）在线段BD'上确定点F，使得CF∥平面AED'，并证明；（2）求△AED'与△BCD'所在平面构成的锐二面角的正切值．20．（15分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．21．（15分）如图，椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．（1）求椭圆C的方程；（2）求△ABP的面积取最大时直线l的方程．22．（15分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，n∈N*，记S，T n分别是数列{a n}，{a}的前n项和，证明：当n∈N*时，＜a n；（1）a n+1（2）T n=﹣2n﹣1；（3）﹣1＜S n．2017-2018学年浙江省嘉兴一中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（4分）设全集U=R，集合A={x|x≥3}，B={x|0≤x＜5}，则集合（∁U A）∩B=（）A．{x|0＜x＜3}B．{x|0≤x＜3}C．{x|0＜x≤3}D．{x|0≤x≤3}【解答】解：因为A={x|x≥3}，所以∁U A={x|x＜3}，所以（∁U A）∩B═{x|0≤x ＜3}．故选B．2．（4分）若复数z满足，其中i为虚数单位，则z=（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i【解答】解：设z=x+yi（x，y∈R），∵，∴2（x+yi）+x﹣yi=3+2i，即3x+yi=3+2i，∴3x=3，y=2．解得x=1，y=2．∴z=1+2i．故选：B．3．（4分）下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y= B．y=﹣x2+1 C．．y=2x D．y=lg|x+1|【解答】解：对于A，函数y=的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，∴不满足题意；对于B，函数y=﹣x2+1的图象是轴对称图形，在区间（0，+∞）上是单调减函数，∴不满足题意；对于C，函数y=2x的图象不是轴对称图形，∴不满足题意；对于D，函数y=lg|x+1|的图象是关于直线x=﹣1对称的图形，且在区间（0，+∞）上是单调增函数，满足题意．故选：D．4．（4分）已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0，其中a∈R，则“a=﹣3”是“l1⊥l2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：a=0时，两条直线垂直；a=﹣2时，两条直线不垂直．a≠0，﹣2时，由l1⊥l2，可得：﹣×=﹣1，解得a=﹣3．∴a=0或﹣3．∴“a=﹣3”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选：A．5．（4分）要得到函数的图象，只需将函数y=cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：y=cos2x=sin（2x+），函数y=sin（2x+）的图象经过向右平移而得到函数y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x+）的图象，故选B．6．（4分）某校的A，B，C，D四位同学准备从三门选修课中各选一门，若要求每门选修课至少有一人选修，且A，B不选修同一门课，则不同的选法有（）A．36种B．72种C．30种D．66种【解答】解：从A，B，C，D四位同学中选出2个作为一个整体，4个人就变成了三个，所有的选法有C42=6种，从中去掉A，B作为一个整体的情况，还有5种情况．这三人从三门选修课中各选一门，共有A33=6种方法．根据分步计数原理，不同的选法有5×6=30 种，故选：C．7．（4分）若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（）①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．A．①③B．②③C．②④D．①④【解答】解：对于①，若直线m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内，存在与直线m平行的直线．故①错误；对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有直线，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．故②正确；对于③，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故③错误；对于④，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故④正确；故选：C．8．（4分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了故选：D．9．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在A1C上运动（包括端点），则BP 与AD1所成角的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]【解答】解：设BP与AD1所成角为θ．如图所示，不妨设|AB|=1．则B（0，0，0），C（1，0，0），A1（0，1，1），C1（1，0，1），==（1，0，1），=（1，0，0），=（﹣1，1，1）．设，则=+λ=（1﹣λ，λ，λ）．0≤λ≤1．∴cos===∈，∴θ∈．故选：D．10．（4分）设函数f（x）=﹣a，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是（）A．（]B．（]C．（2]D．2，]【解答】解：令f（x）=﹣a﹣a＜0，即＜a（+1），当a≤0时，＜a（+1）恒不成立，不满足题意；当a＞0时，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，即存在唯一的整数x0使得＜a（+1）成立，即存在唯一的整数x0使得a＞成立，令g（x）=，则g′（x）=，故当x=4时，g（x）取最小值，又由当x=3时，g（x）==，当x=5时，g（x）==＜，故实数a的取值范围是（]，故选：A二、填空题：本大题有7小题，前4小题每小题6分，后3小题每题4分共36分.请将答案填写在答题卷中的横线上.11．（6分）若双曲线x2=1的离心率为，则实数m=2；渐近线方程为y=．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2=1，其中a=1，b=，则c=，若双曲线的离心率为，则有e===，解可得m=2；的渐近线方程为：y=．故答案为：2；．12．（6分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是16+；体积是．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是把棱长为2的正方体切去两个三棱锥A1﹣AB1E与D1﹣DC1E，其表面积为=；其体积为V=．故答案为：；．13．（6分）二项式（1+2x）5中，所有的二项式系数之和为32；系数最大的项为80x3，80x4．【解答】解：二项式（1+2x）5中，所有的二项式系数之和为++…+=25=32，再根据它的通项公式为T r=•2r•x r，r=0，1，2，3，4，5，+1检验可得，当r=3，或r=4时，系数•2r最大为80，故答案为：32；80x3，80x4 ．14．（6分）已知⊙C的方程为x2﹣2x+y2=0，直线l：kx﹣y+2﹣2k=0与⊙C交于A，B两点，当|AB|取最大值时k=2，△ABC面积最大时，k=1或7．【解答】解：⊙C的方程为x2﹣2x+y2=0，即为（x﹣1）2+y2=1，则圆半径r=1，圆心C（1，0），直线l：kx﹣y+2﹣2k=0与⊙C交于A，B两点，当|AB|取最大值时，直线l过圆心C（1，0），∴k﹣0+2﹣2k=0，解得k=2．=r2sinθ=sinθ，当sinθ=1时，此时θ=时，面设OA与OB的夹角为θ，S△ABC积最大，最大值为1，此时d=设圆心到直线的距离为d=，则=，即k2﹣8k+7=0解得k=1或k=7故答案为：2；1或7．15．（4分）已知点P（1，1），Q（1，﹣1），O为坐标原点，动点M（x，y）满足，则点M所构成的平面区域的面积是4．【解答】解：根据题意，=（1，1），=（1，﹣1），=（x，y）；又，∴；它表示的可行域为矩形ABCD，如图所示：则AB==2，BC==；其围成的平面区域面积为：2×=4．故答案为：4．16．（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，则与直线x﹣3y+m=0联立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴=b，∴e==．故答案为：．17．（4分）如图，已知AB为圆O的直径，C为圆上一动点，PA⊥圆O所在平面，且PA=AB=2，过点A作平面α⊥PB，交PB，PC分别于E，F，当三棱锥P﹣AEF体积最大时，tan∠BAC=．【解答】解：∵AB为圆O的直径，C为圆上一动点，PA⊥圆O所在平面，且PA=AB=2，过点A作平面α⊥PB，交PB，PC分别于E，F，∴PB⊥平面AEF，又AF⊂平面AEF，∴AF⊥PB，又AC⊥BC，AP⊥BC，AC∩AP=A，∴BC⊥平面PAC，∵AF⊂平面PAC，∴AF⊥BC，∵BC∩PB=B，∴AF⊥平面PBC，∴∠AFE=90°，设∠BAC=θ，则AC=2cosθ，BC=2sinθ，PC=，在Rt△PAC中，AF===，AE=PE=，∴EF=，∴==，∴当AF=1时，V P取最大值，﹣AEF此时，AF==1，解得cos，sinθ==，∴ta nθ==，∴当三棱锥P﹣AEF体积最大时，tan∠BAC=．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数f（x）=（sinx+）（cosx﹣．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0，求cos2x0的值．【解答】解：（1）=…（4分）由﹣+2kπ≤2x+≤2k，k∈Z，解得x∈．所以，函数f（x）的单调递增区间为：…（7分）（2），∴，…（9分）又，∴，…（11分）∴…（14分）19．（15分）如图①，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，E是CD的中点，将三角形ADE沿AE翻折到图②的位置，使得平面AED′⊥平面ABC．（1）在线段BD'上确定点F，使得CF∥平面AED'，并证明；（2）求△AED'与△BCD'所在平面构成的锐二面角的正切值．【解答】解：（1）点F是线段BD'的中点时，CF∥平面AED'．证明：记AE，BC延长线交于点M，∵AB=2EC，∴点C是BM的中点，∴CF∥MD'，而MD'在平面AED'内，CF在平面AED'外，∴CF∥平面AED'；（2）在矩形ABCD中，AB=2，CD=1，BE⊥AE，∵平面AED'⊥平面ABC，且交线是AE，∴BE⊥平面AED'，在平面AED'内作EN⊥MD'，连接BN，则BN⊥MD′．∴∠BNE就是△AED'与△BCD'所在平面构成的锐二面角的平面角，求解三角形可得，，∴．20．（15分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x ﹣1，当a=0时，f′（x）=﹣2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x+）（e x﹣），令f′（x）=0，解得：x=ln，当f′（x）＞0，解得：x＞ln，当f′（x）＜0，解得：x＜ln，∴x∈（﹣∞，ln）时，f（x）单调递减，x∈（ln，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x+）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，当a＞0时，f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，当x→﹣∞时，e2x→0，e x→0，∴当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→∞，e2x→+∞，且远远大于e x和x，∴当x→∞，f（x）→+∞，∴函数有两个零点，f（x）的最小值小于0即可，由f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数，∴f（x）min=f（ln）=a×（）+（a﹣2）×﹣ln＜0，∴1﹣﹣ln＜0，即ln+﹣1＞0，设t=，则g（t）=lnt+t﹣1，（t＞0），求导g′（t）=+1，由g（1）=0，∴t=＞1，解得：0＜a＜1，∴a的取值范围（0，1）．方法二：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1，当a=0时，f′（x）=﹣2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x+）（e x﹣），令f′（x）=0，解得：x=﹣lna，当f′（x）＞0，解得：x＞﹣lna，当f′（x）＜0，解得：x＜﹣lna，∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f（x）单调递减，x∈（﹣lna，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x+）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣lna）是减函数，在（﹣lna，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，②当a＞0时，由（1）可知：当x=﹣lna时，f（x）取得最小值，f（x）min=f（﹣lna）=1﹣﹣ln，当a=1，时，f（﹣lna）=0，故f（x）只有一个零点，当a∈（1，+∞）时，由1﹣﹣ln＞0，即f（﹣lna）＞0，故f（x）没有零点，当a∈（0，1）时，1﹣﹣ln＜0，f（﹣lna）＜0，由f（﹣2）=ae﹣4+（a﹣2）e﹣2+2＞﹣2e﹣2+2＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣lna）有一个零点，假设存在正整数n0，满足n0＞ln（﹣1），则f（n0）=（a+a﹣2）﹣n0＞﹣n0＞﹣n0＞0，由ln（﹣1）＞﹣lna，因此在（﹣lna，+∞）有一个零点．∴a的取值范围（0，1）．21．（15分）如图，椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．（1）求椭圆C的方程；（2）求△ABP的面积取最大时直线l的方程．【解答】解：（1）由椭圆的离心率为，e==；①，左焦点（﹣c，0）到点P（2，1）的距离为：d==．②由①②可解得：a=2，b=，c=1．∴所求椭圆C的方程为：．（2）易得直线OP的方程：y=x，设A（x A，y A），B（x B，y B），R（x0，y0）．其中y0=x0．∵A，B在椭圆上，∴，可得k AB===﹣=﹣．设直线AB的方程为l：y=﹣（m≠0），代入椭圆：，可得3x2﹣3mx+m2﹣3=0．显然△=（3m）2﹣4×3（m2﹣3）=3（12﹣m2）＞0．∴﹣＜m＜且m≠0．由上又有：x A+x B=m，y A+y B=．∴|AB|=|x﹣x B|==．∵点P（2，1）到直线l的距离为：d==．=d|AB|=|4﹣m|=，（m∈（﹣2，0）∪∴S△ABP（0，2）令u（m）=（12﹣m2）（m﹣4）2，则u′（m）=﹣4（m﹣4）（m﹣1﹣）（m﹣1+）∴m=1﹣，u（m）取到最大值最大．当时，S△ABP此时直线l的方程．22．（15分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，n∈N*，记S，T n分别是数列{a n}，{a}的前n项和，证明：当n∈N*时，＜a n；（1）a n+1（2）T n=﹣2n﹣1；（3）﹣1＜S n．【解答】解：（1）由a1=1，a n+1=，n∈N*，﹣a n=﹣＜0，知a n＞0，故a n+1因此a n＜a n；+1=，（2）由a n+1取倒数得：=+a n，平方得：=+a n2+2，从而﹣﹣2=a n2，由﹣﹣2=a12，﹣﹣2=a22，…，﹣﹣2=a n2，累加得﹣﹣2n=a12+a22+…+a n2，即T n=﹣2n﹣1；（3）由（2）知：﹣=a n，可得﹣=a1，﹣=a2，…，﹣=a n，由累加得﹣=a1+a2+…+a n=S n，又因为=a12+a22+…+a n2+2n+1＞2n+2，所以＞，S n=a n+a n﹣1+…+a1=﹣＞﹣1＞﹣1；又由＞，即＞，得当n＞1时，a n ＜=＜=（﹣），累加得S n＜a1+[（﹣1）+（﹣）+…+（﹣）]=1+（﹣1）＜，当n=1时，S n成立．因此﹣1＜S n．。
2017-2018学年浙江省杭州二中高一(上)期中数学试卷
2017-2018学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）已知集合A={x|x2＞1}，B={x|（x2﹣1）（x2﹣4）=0}，则集合A∩B的子集个数为（）A．1B．2C．3D．42．（3分）已知，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c 3．（3分）幂函数f（x）的图象过点，则f（8）=（）A．8B．6C．4D．24．（3分）已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=lnx，则的值为（）A．B．C．﹣ln2D．ln25．（3分）已知lga+lgb=0，函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A．B．C．D．6．（3分）已知a是f（x）=的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（）A．f（x0）＜0B．f（x0）=0C．f（x0）＞0D．f（x0）的符号不确定7．（3分）已知函数，（a∈R）在区间[0，1]上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）8．（3分）已知函数，则下列结论正确的是（）A．关于（0，0）对称B．关于（0，1）对称C．关于y轴对称D．关于x=1对称9．（3分）设函数f（x）=，若f[f（a）]＞f[f（a）+1]，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，0]B．[﹣1，0]C．（﹣5，﹣4]D．[﹣5，﹣4]10．（3分）已知函数f（x）=x|x﹣a|﹣a，a∈R，若对任意的x∈[3，5]，f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[3，5]C．D．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）函数值域为，单调递增区间是．12．（4分）已知x=log23，则=．13．（4分）已知函数，且函数h（x）=f（x）﹣x+a有且只有一个零点，则实数a的取值范围是．14．（4分）已知f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数，若函数是3型函数，则m=，n=．15．（4分）某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/100kg）与上市时间￡（单位：天）的数据如下表：时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间z 的变化关系．Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a•b t，Q=a•log a t．利用你选取的函数，求得：（I）西红柿种植成本最低时的上市天数是；（Ⅱ）最低种植成本是（元/100kg）．16．（4分）已知f（x）是R上的奇函数，f（1）=1，且对任意x＜0，恒有，则=．17．（4分）若一元二次不等式ax2﹣2bx+c≥0，（a+b＜0）对x∈R恒成立，则的最小值为．三、解答题（本大题共4小题，共42分）18．（8分）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}．（1）若a=2，求A∩B，A∩（∁R B）；（2）若A∪B=R，求a的取值范围．19．（10分）已知是奇函数，且．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并加以证明；（3）求f（x）的最大值．20．（12分）设f（x）=log a（x﹣2a）+log a（x﹣3a），其中a＞0且a≠1（1）若a=2，解不等式f（x）≤1（2）当x∈[a+3，a+4]时，不等式f（x）≤1恒成立，求a的取值范围．21．（12分）函数f n （x ）=x n +bx +c （n ∈Z ，b ，c ∈R ）．（1）若n=﹣1，且f ﹣1（1）=f ﹣1（）=4，试求实数b ，c 的值；（2）设n=2，若对任意x 1，x 2∈[﹣1，1]有|f 2（x 1）﹣f 2（x 2）|≤4恒成立，求b 的取值范围；（3）当n=1时，已知bx 2+cx ﹣a=0，设g （x ）=，是否存在正数a ，使得对于区间上的任意三个实数m ，n ，p ，都存在以f 1（g （m ）），f 1（g （n ）），f 1（g （p ））为边长的三角形？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．2017-2018学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）已知集合A={x|x2＞1}，B={x|（x2﹣1）（x2﹣4）=0}，则集合A∩B的子集个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由二次不等式的解法，化简集合A，解方程可得集合B，求得A，B的交集，由子集的个数公式，即可得到所求值．【解答】解：集合A={x|x2＞1}={x|x＞1或x＜﹣1}，B={x|（x2﹣1）（x2﹣4）=0}={﹣1，1，﹣2，2}，则集合A∩B={﹣2，2}，则集合A∩B的子集个数为22=4．故选：D．【点评】本题考查集合的交集的定义，考查二次不等式的解法和方程的化简，运用定义法是关键，属于基础题．2．（3分）已知，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【分析】利用对数函数、指数函数的单调性求解．【解答】解：∵，∴a=log20.3＜log21=0，b=20.3＞20=1，0＜c=0.30.2＜0.30=1，∴b＞c＞a．故选：A．【点评】本题考查三个数的大小的比较，则基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的单调性的合理运用．3．（3分）幂函数f（x）的图象过点，则f（8）=（）A．8B．6C．4D．2【分析】设出幂函数，利用幂函数经过的点，求出函数的解析式，即可求解函数值．【解答】解：幂函数f（x）=xα，函数的图象过点，可得=3α，∴α=，幂函数f（x）=，f（8）==4．故选：C．【点评】本题考查幂函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力．4．（3分）已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=lnx，则的值为（）A．B．C．﹣ln2D．ln2【分析】由函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=lnx，知当x＜0时，f（x）=﹣ln（﹣x），由此能求出的值．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=lnx，∴当x＜0时，f（x）=﹣ln（﹣x），∴=f（ln）=f（﹣2）=﹣ln2．故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意奇函数的性质和对数函数性质的灵活运用．5．（3分）已知lga+lgb=0，函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先求出a、b的关系，将函数g（x）进行化简，得到函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减，再进行判定．【解答】解：∵lga+lgb=0∴ab=1则b=从而g（x）=﹣log b x=log a x，f（x）=a x与∴函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减结合选项可知选B，故选：B．【点评】本题主要考查了对数函数的图象，以及指数函数的图象和对数运算等有关知识，属于基础题．6．（3分）已知a是f（x）=的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（）A．f（x0）＜0B．f（x0）=0C．f（x0）＞0D．f（x0）的符号不确定【分析】由题意可得f（a）=0，再由函数f（x）的解析式可得函数在区间（0，+∞）上是增函数，结合0＜x0＜a，可得f（x0）＜0，从而得到答案．【解答】解：∵已知a是f（x）=的零点，∴f（a）=0．再由函数f（x）的解析式可得函数在区间（0，+∞）上是增函数，且0＜x0＜a，可得f（x0）＜0，故选：A．【点评】本题主要考查函数的零点的定义，函数的单调性的应用，属于基础题．7．（3分）已知函数，（a∈R）在区间[0，1]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解，注意要对a进行讨论．【解答】解：f′（x）=e x﹣=，a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在[0，1]递增，a＞0时，由f′（x）＞0解得e2x＞a，即x＞lna，此时函数单调递增，由f′（x）＜0解得e2x＜a，即x＜lna，此时函数单调递减，若f（x）在区间[0，1]上单调递增，则lna≤0，解得0＜a≤1，即a∈（0，1]，综上：a≤1，故选：A．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，利用分类讨论，结合函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合考查导数的应用．8．（3分）已知函数，则下列结论正确的是（）A．关于（0，0）对称B．关于（0，1）对称C．关于y轴对称D．关于x=1对称【分析】根据函数中心对称的性质即可求出对称中心．【解答】解：f（x）==x+，∵f（﹣x）=﹣x+，∴f（x）+f（﹣x）=x+﹣x+=+=2，∴函数f（x）关于（0，1）对称，故选：B．【点评】本题考查了函数的图象，以及函数的对称性，属于基础题．9．（3分）设函数f（x）=，若f[f（a）]＞f[f（a）+1]，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，0]B．[﹣1，0]C．（﹣5，﹣4]D．[﹣5，﹣4]【分析】讨论f（a）与f（a）+1的取值，从而化简不等式，从而利用排除法确定答案．【解答】解：当f（a）≤0，f（a）+1≤0，即a≤﹣5时；f[f（a）]=f（4+a）=8+a，f[f（a）+1]=9+a，故f[f（a）]＜f[f（a）+1]，故f[f（a）]＞f[f（a）+1]不成立；当f（a）≤0，0＜f（a）+1≤4，即﹣5＜a≤﹣4时，f[f（a）]=8+a，f[f（a）+1]=f（5+a）=（5+a）2，8+a＞（5+a）2在（﹣5，﹣4]上显然成立；故结合选项可知，A，B，D一定不正确，故选：C．【点评】本题考查了分类讨论的思想及排除法的应用．10．（3分）已知函数f（x）=x|x﹣a|﹣a，a∈R，若对任意的x∈[3，5]，f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[3，5]C．D．【分析】讨论a的取值：a＜3，3≤a≤5，a＞5，三种情况，求出每种情况下的f（x）的最小值，让最小值大于等于0从而求出a的取值范围．【解答】解：f（x）=x|x﹣a|﹣a；∴①若a＜3，则x=3时，f（x）在[3，5]上取得最小值f（3）=3（3﹣a）﹣a=9﹣4a；∴9﹣4a≥0，a≤；∴a≤；②若3≤a≤5，则x=a时，f（x）取得最小值f（a）=﹣a；﹣a＜0，不满足f（x）≥0；即这种情况不存在；③若a＞5，则x=5时，f（x）取得最小值f（5）=5（a﹣5）﹣a=4a﹣25；∴4a﹣25≥0，a≥；∴a≥；综上得a的取值范围为：（﹣∞，]∪[，+∞），故选：D．【点评】考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时f（0）=0，函数零点的定义，含绝对值函数求最值的方法：观察解析式的方法，以及画出分段函数的图象，以及根据图象求函数零点个数的方法．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）函数值域为R，单调递增区间是（﹣∞，﹣1）．【分析】令t=x2﹣2x﹣3＞0，求得函数的定义域结合y=，t＞0，求得函数的值域；求出t的减区间，即为y的增区间．【解答】解：令t=x2﹣2x﹣3＞0，求得x＜﹣1，或x＞3，故函数的定义域为{x|x＜﹣1，或x＞3 }，且y=．由于t=（x﹣1）2﹣4＞0，故y∈R．由于t的减区间为（﹣∞，﹣1），∴y的增区间为（﹣∞，﹣1），故答案为：R；（﹣∞，﹣1）．【点评】本题主要考查复合函数的值域和单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．12．（4分）已知x=log23，则=．【分析】直接由对数的运算性质求解即可．【解答】解：∵x=log23，∴2x=3，∴===．故答案为：．【点评】本题考查了对数的运算性质，是基础题．13．（4分）已知函数，且函数h（x）=f（x）﹣x+a有且只有一个零点，则实数a的取值范围是（﹣1，+∞）．【分析】利用数形结合画出函数y=f（x）的图象，通过函数h（x）=f（x）﹣x+a 有且只有一个零点，求出a的范围．【解答】解：函数，函数h（x）=f（x）﹣x+a有且只有一个零点，就是y=f（x）的图象与y=x﹣a的图象有且只有一个交点，如图：显然当﹣a＜1时，两个函数有且只有一个交点，故答案为：（﹣1，+∞）．【点评】本题考查函数零点个数的判断，考查数形结合，考查分析问题解决问题的能力．14．（4分）已知f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f （x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数，若函数是3型函数，则m=﹣4，n=0．【分析】新定义函数y=﹣x2+x是3型函数，可得区间[m，n]为增区间，由题意可得：，，则说明m、n是方程的两根，求解得答案．【解答】解：∵3＞0，∴区间[m，n]为增区间，由题意可得：，，则说明m、n是方程的两根，即方程x2+4x=0的两根，解得：x=﹣4或x=0，又m＜n，∴m=﹣4，n=0．故答案为：﹣4，0．【点评】本题是新定义题，考查了函数值域的求法，关键是对题意的理解，是中档题．15．（4分）某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/100kg）与上市时间￡（单位：天）的数据如下表：时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间z 的变化关系．Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a•b t，Q=a•log a t．利用你选取的函数，求得：（I）西红柿种植成本最低时的上市天数是120；（Ⅱ）最低种植成本是80（元/100kg）．【分析】由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是单调函数，故选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述，将表格所提供的三组数据代入Q，即得函数解析式；（I）根据Q的函数关系，由二次函数的性质即可求得答案；（Ⅱ）由（I）中的结论，即可得到答案．【解答】解：由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数，而函数Q=at+b，Q=a•b t，Q=a•log b t，在a≠0时，均为单调函数，这与表格提供的数据不吻合，故选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述，将表格所提供的三组数据（60，116），（100，84），（180，116）分别代入Q可得，，解得a=，b=﹣，c=224，∴Q=t2﹣t+224，（I）Q=t2﹣t+224的对称轴为t=120，开口向上，在对称轴处即t=120天时函数取最小值；（Ⅱ）当t=120时，Q=×1202﹣×120+224=80；故答案为：120，80．【点评】本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．属于中档题．16．（4分）已知f（x）是R上的奇函数，f（1）=1，且对任意x＜0，恒有，则=．【分析】根据关系式和奇函数的性质得出f（）与f（）的关系，从而得出结论．【解答】解：当x＜0时，0＜＜1，令=解得x=﹣，∴f（）=﹣f（﹣）=f（），再令=得x=﹣，∴f（）=﹣f（﹣）=f（），同理可得：f（）=f（），f（）=f（1）=1，∴f（）==．故答案为：．【点评】本题考查了奇函数的性质，属于中档题．17．（4分）若一元二次不等式ax2﹣2bx+c≥0，（a+b＜0）对x∈R恒成立，则的最小值为3+2．【分析】根据题意，由二次函数恒成立的性质分析可得a＞0且b2≤ac，又由a+b ＜0，则a＜﹣b，设b=﹣1，即a＜1，由此将M=化简变形可得M=﹣1+，又由ac≥1，则M可以变形为≥=，设t=a+，分析可得=，结合二次函数的性质分析可得的最小值，进而可得M的最小值，即可得答案．【解答】解：根据题意，若一元二次不等式ax2﹣2bx+c≥0对x∈R恒成立，则有a＞0且△=（2b）2﹣4ac≤0，即a＞0且b2≤ac，又由a+b＜0，则a＜﹣b，设b=﹣1，即a＜1，则M====﹣1+，ac≥1，则c≥，则≥=，设t=a+，则＜t＜，则===≥=2（2+），当且仅当t=时等号成立，此时M=3+2，取得最小值；故答案为：3+2．【点评】本题考查一元二次函数的性质及应用，关键是将M变形．三、解答题（本大题共4小题，共42分）18．（8分）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}．（1）若a=2，求A∩B，A∩（∁R B）；（2）若A∪B=R，求a的取值范围．【分析】（1）a=2时求出集合A、B，再计算A∩B和A∩（∁R B）；（2）讨论a＞1、a=1和a＜1时，求出集合A∪B=R时a的取值范围．【解答】解：（1）a=2时，集合A={x|（x﹣1）（x﹣2）≥0}=（﹣∞，1]∪[2，+∞），B={x|x≥2﹣1}={x|x≥1}=[1，+∞）；A∩B={1}∪[2，+∞）；∁R B=（﹣∞，1），∴A∩（∁R B）=（﹣∞，1）；（2）当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞）；若A∪B=R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣2，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．【点评】本题考查了并集及其运算，二次不等式以及不等式恒成立的应用问题，是中档题．19．（10分）已知是奇函数，且．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并加以证明；（3）求f（x）的最大值．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质和条件建立方程关系即可求实数a，b的值；（2）根据函数单调性的定义即可证明函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性；（3）根据函数的单调性求出函数的最大值即可．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴=﹣，因此b=﹣b，即b=0．又f（2）=，∴=，4a+2=10，∴a=2；（2）由（1）知f（x）==，f（x）在（﹣∞，﹣1]上为减函数，令g（x）=x+，则g（x）的单调性和f（x）的单调性相反，证明：设x1＜x2≤﹣1，则g（x1）﹣g（x2）=x1+﹣x2﹣=（x1﹣x2）（1﹣），∵x1＜x2≤﹣1，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞1，1﹣＞0，∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2）．∴g（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1]递减；（3）由（1）（2）f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，0）递增，在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故f（x）max=f（1）=．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的证明，根据相应的定义是解决本题的关键．20．（12分）设f（x）=log a（x﹣2a）+log a（x﹣3a），其中a＞0且a≠1（1）若a=2，解不等式f（x）≤1（2）当x∈[a+3，a+4]时，不等式f（x）≤1恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）将a=2代入函数的解析式，得到关于x的不等式，解出即可；（2）利用对数的运算性质化简函数f（x）=log a[（x﹣）2﹣]，求出函数的定义域，判断出内函数g（x）=（x﹣）2﹣在[a+3，a+4]上单调递增，将函数在区间[a+3，a+4]上f（x）≤1恒成立，转化为f（x）max≤1，再对底数a进行分类讨论，分别求出f（x）max，从而求得a的取值范围．【解答】解：（1）a=2时，f（x）=log2（x﹣4）+log2（x﹣6）=log2（x﹣4）（x﹣6），f（x）≤1即0＜（x﹣4）（x﹣6）≤2，解得：6＜x≤5+或5﹣≤x＜4，故不等式的解集是[5﹣，4）∪（6，5+]；（2）f（x）=log a（x﹣2a）+log a（x﹣3a）=log a（x2﹣5ax+6a2）=log a[（x﹣）2﹣]，根据题意可知，，解得，x＞3a，∴a+3＞3a，即a＜，∴（a+3）﹣=（a﹣2）＞0，∴g（x）=（x﹣）2﹣在区间[a+3，a+4]上单调递增．①若0＜a＜1，则f（x）在区间[a+3，a+4]上单调递减，∴f（x）在区间[a+3，a+4]上的最大值为f（a+3）=log a（2a2﹣9a+9），∵不等式f（x）≤1在x∈[a+3，a+4]恒成立，等价于f（x）max≤1，即log a（2a2﹣9a+9）≤1，∴2a2﹣9a+9≥a，解得a≥或a≤，又∵0＜a＜1，∴0＜a＜1．②若1＜a＜，则f（x）在区间[a+3，a+4]上单调递增，∴f（x）在区间[a+3，a+4]上的最大值为f（a+4）=log a（2a2﹣12a+16），∵不等式f（x）≤1在x∈[a+3，a+4]恒成立，等价于f（x）max≤1，即log a（2a2﹣12a+16）≤1，∴2a2﹣12a+16≤a，即2a2﹣13a+16≤0，解得≤a≤，∵1＜a＜且＞，∴a∈∅．综合①②，a的取值范围为（0，1）．【点评】本题考查了对数的运算，以及复合函数的单调性和函数的恒成立问题．对于函数恒成立问题，如果能参变量分离的一般选用参变量分离的方法转化为函数的最值进行求解，否则直接运用函数的最值求解．对于对数的底数是参数的话，一般要对其进行分类讨论进行求解，运用分类讨论的数学思想方法．属于中档题．21．（12分）函数f n （x ）=x n +bx +c （n ∈Z ，b ，c ∈R ）．（1）若n=﹣1，且f ﹣1（1）=f ﹣1（）=4，试求实数b ，c 的值；（2）设n=2，若对任意x 1，x 2∈[﹣1，1]有|f 2（x 1）﹣f 2（x 2）|≤4恒成立，求b 的取值范围；（3）当n=1时，已知bx 2+cx ﹣a=0，设g （x ）=，是否存在正数a ，使得对于区间上的任意三个实数m ，n ，p ，都存在以f 1（g （m ）），f 1（g （n ）），f 1（g （p ））为边长的三角形？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由条件，可得b ，c 的方程，解方程可得b ，c ；（2）当n=2时，f 2（x ）=x 2+bx +c ，对任意x 1，x 2∈[﹣1，1]有|f 2（x 1）﹣f 2（x 2）|≤4恒成立等价于f 2（x ）在[﹣1，1]上的最大值与最小值之差M ≤4．讨论对称轴和区间的关系，判断单调性，可得最值，解不等式即可得到所求范围； （3）设t=g （x ）===，由x ∈，可得t ∈[，1]．则y=t +在[，1]上恒有2y min ＞y max ．讨论顶点处x=与区间[，1]的关系，求得单调性，可得最值，解不等式即可得到存在，求得a 的范围． 【解答】解：（1）n=﹣1，且，可得1+b +c=4，2+b +c=4，解得b=2，c=1； （2）当n=2时，f 2（x ）=x 2+bx +c ，对任意x 1，x 2∈[﹣1，1]有|f 2（x 1）﹣f 2（x 2）|≤4恒成立等价于 f 2（x ）在[﹣1，1]上的最大值与最小值之差M ≤4．①当﹣＜﹣1，即b＞2时，f2（x）在[﹣1，1]递增，f2（x）min=f2（﹣1）=1﹣b+c，f2（x）max=f2（1）=1+b+c，M=2b＞4（舍去）；②当﹣1≤﹣≤0，即0≤b≤2时，f2（x）在[﹣1，﹣]递减，在（﹣，1]递增，f2（x）min=f2（﹣）=c ﹣，f2（x）max=f2（1）=1+b+c，M=（+1）2≤4恒成立，故0≤b≤2；③当0＜﹣≤1即﹣2≤b＜0时，f2（x）在[﹣1，﹣]递减，在（﹣，1]递增，f2（x）min=f2（﹣）=c ﹣，f2（x）max=f2（﹣1）=1﹣b+c，M=（﹣1）2≤4恒成立，故﹣2≤b＜0；④当﹣＞1，即b＜﹣2时，f2（x）在[﹣1，1]递减，f2（x）min=f2（1）=1+b+c，f2（x）max=f2（﹣1）=1﹣b+c，M=﹣2b＞4矛盾．综上可得，b的取值范围是﹣2≤b≤2；（3）设t=g（x）===，由x ∈，可得t∈[，1]．则y=t +在[，1]上恒有2y min＞y max．①当a∈（0，]时，y=t +在[，1]上递增，y min =+3a，y max=a+1，又2y min＞y max．则a ＞，即有＜a ≤；②当a ∈（，]时，y=t +在[，）递减，（，1）递增，可得y min =2，y max=max{3a +，a+1}=a+1，又2y min＞y max．解得7﹣4＜a＜7+4，即有＜a ≤；第21页（共22页）③当a ∈（，1）时，y=t +在[，）递减，（，1）递增，可得y min =2，y max=max{3a +，a+1}=3a +，又2y min＞y max．解得＜a ＜，即有＜a＜1；④当a∈[1，+∞）时，y=t +在[，1]上递减，y min=a+1，y max=3a +，又2y min＞y max．则a ＜，即有1≤a ＜．综上可得，存在这样的三角形，a 的取值范围是＜a ＜．【点评】本题考查不等式恒成立问题和存在性问题的解法，注意运用转化思想，转化为求最值，以及运用分类讨论的思想方法，注意对称轴或顶点与区间的关系，考查化简整理的运算能力，属于难题．第22页（共22页）。
浙江省平阳县第二中学2017届高三上学期期中考试数学试题 Word版含答案
平阳二中2016学年第一学期期中考试高三数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。
1．已知a ，b 是实数，则“a >|b |”是“a 2>b 2”的 ( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 2．函数错误！未找到引用源。
的图像关于 （ ）如图所示，则错误！未找到引用源。
（ ）A ． 错误！未找到引用源。
B ．2C ． 错误！未找到引用源。
D ．4 5．错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
满足约束条件错误！未找到引用源。
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取得最大值的最优解不唯一，则实数错误！未找到引用源。
的值为 （ ）A ．错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
D ． 错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
6．设向量错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，其中错误！未找到引用源。
， 若错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
等于 （ ）A ．错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
7.如图所示，错误！未找到引用源。
是双曲线错误！未找到引用源。
上的三个点，错误！未找到引用源。
经过原点错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
经过右焦点错误！未找到引用源。
，若错误！未找到引用源。
且错误！未找到引用源。
，则该双曲线的离心率是 （ ）A ．错误！未找到引用源。
B ． 错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
8. 已知函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且()f x 是偶函数，当[0,1]x ∈时， 2()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是 （ ）A ． 1(0,]4B ．11[,]43C ．1(0,]2D ． (0,)+∞二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
上海市第二中学2017届高三上学期期中考试数学试题 含答案
市二中学2016-2017学年第一学期高三数学期中考试2016。
11考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、填空题（4*12=48分)1.向量(3,4)a =与向量(1,0)b =的夹角大小为 。
34arctan 2. 若33)6cos(=-θπ,则=-)6(sin 2πθ．323.关于 x y 、的方程组{2542x my nx y +=-=的增广矩阵经过变换后得到()103011，则()m n =.()12-4. 函数)62sin(2π-=x y 与y 轴最近的对称轴方程是 ．6x π=-5.设函数()22,2,2xx f x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩,若()1(21)f a f a +≥-，则实数a 的取值范围是_________2a ≤6.设函数)(x f 的定义域为R ，且为奇函数，当0>x 时,x xx f 2)(2+-=。
若)(x f 在区间[]21--a ，上是单调递增函数，则a的取值范围是 .31≤<a7.平行四边形ABCD 中，已知AB ＝4,AD ＝3，∠BAD ＝60°,点E ，F 分别满足错误!＝2错误!,错误!＝错误!,则错误!·错误!＝ ．－6。
8.已知数列}{na 的前n 项和nS 满足234=-n nS a，其中．则数列}{na 的通项公式为_________.142-⋅=n na9. 若0x >，则函数121++=x x y 的最小值为___________12210.数列{}na 中，若2ia k =（122kk i +<≤,*i ∈N ,k ∈N),则满足2100iia a+≥ 的i 的最小值为 ．12811.分形几何学是数学家伯努瓦曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科。
它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图:易知第三行有白圈5个,黑圈4个。
2017学年杭高高三上12月月考---word版
杭高2017学年第一学期12月考高三数学试卷命题教师：丁国先 审题教师：张琳一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1. 已知集合A ={x |1<2x ≤4}，B ={x |y =ln (x −1)}，则A ∩B =( )A . {x |1≤x <2}B . {x |1<x ≤2}C . {x |0<x ≤2}D . {x |0≤x <2}2. 复数z = i1−i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. 已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ ，“a ⃗ ∥b ⃗ ”是“a ⃗ ∥(a ⃗ +b⃗ )”的( ) A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 4. 已知函数f (x )的图像如图所示，则f (x )的解析式可能是( )A . f (x )=12x −1−x 3 B . f (x )=12x −1+x 3 C . f (x )=12x +1−x 3D . f (x )=−12x −1−x 35. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm )，这个几何体的体积是( )A . 2cm 3B . 4cm 3C . 6cm 3D . 12cm 36. 某学校高三年级共有两个实验班，四个普通班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且实验班学生不检查实验班，则不同安排方法的种数是( ) A . 360 B . 288 C . 168 D . 1447. 如图，椭圆x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ，过F 的直线交椭圆于A ，B 两点，点C 是点A 关于原点的对称点，若CF ⊥AB 且CF =AB ，则椭圆的离心率为( ) A . √3−1B . 2−√3C . √6−√3D . √638. 正实数x ，y ，z 满足 z 2≤x ≤ez 且zln y z =x (其中e 为自然对数的底数)，则ln yx 的取值范围是( )A . [1，+∞)B . [1，e −1]C . (−∞，e −1)D . [1， 12+ln 2] 9. 已知tanαtanβ=3，则cos (α+β)cos (α−β)+2018cos 2(α+β)的最大值是( )A . 2019B . 2016C . 1008D . 50410. 已知x 1，x 2，x 3是函数f (x )=ax +lnx − x 2x −lnx 三个不同的零点，且x 1<x 2<x 3，设M i =1− lnx i x i(i =1，2，3)，则M 12M 2M 3=( ) A . 1B . −1C . eD . 1e二、填空题(本大题共7小题，共36分)11. 函数f (x )= 2x+12x −a是奇函数，则a =____________________________，使f (x )>3成立的x 的取值范围为_________________________12. 已知双曲线x 2− y 2m=1(m >0)的离心率是2，则m =_________________________，以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是_______________________________13. 已知函数f (x )=sinx −cosx ，则f (x )的值域是________________________，设f ′(x )是f (x )的导函数，若f ′(x )= 12f (x )，则tan (2x + π4)=_________________________14. 甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为 49，乙、丙应聘成功的概率均为 t3(0<t <3)，且三人是否应聘成功是相互独立的，若甲、乙、丙都应聘成功的概率是 1681，则t 的值是______________________，设ξ表示甲、乙两人中被聘用的人数，则ξ的数学期望是____________________________15. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 b a = cosA cosB = 43，c =10，P 为△ABC 内切圆上一点，则14b 2+PA ⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取值范围是_______________________ 16. 设函数f (x )=(x −a )2+(lnx 2−2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤ 45成立，则实数a 的值为_______________ 17. 已知x ，y ，a ，b 是实数，满足xy −x 2=1，xy 2+ax 2+2bx +a =0，则a 2+4b 2的最小值是_______________________三、解答题(本大题共5小题，共74分)18. (14分)已知函数f (x )=√3cos 2x −sin 2x −√3sin 2x(1) 求函数f (x )的单调递增区间(2) 若f (x 0)= 65，x 0∈[0， π2]，求cos 2x 0的值19. (15分)如图，四棱锥P −ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，P A =AB =2，E 为CD 的中点，∠ABC =60°(1) 求证：直线AE ⊥平面P AB(2) 求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值20. (15分)已知函数f (x )= xln (x +1)(1) 当x >0时，证明：f (x )< x +22 (2) 如果不等式(1+kx )f (x )>1+x 对f (x )定义域内一切值都成立，求实数k 的所有可能的值PED CBA21.(15分)已知抛物线C：y2=2px(p>0)及x轴上一点M，过点M的直线l与抛物线C交于A，B两点(1)若直线l的倾斜角为3π4，且|AB|≤2p，求点M的横坐标的取值范围(2)设t=1|AM|+ 1|BM|，若对给定的点M，t的值与直线l位置无关，此时的点M称为抛物线C的“平衡点”，问抛物线C的“平衡点”是否存在？若存在，求出所有“平衡点”坐标，若不存在，请说明理由22.已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n2+a n(n∈N*)，设b n= ln(a n+12)2n−1(n∈N*)(1)求证：0<b n+1−b n<(12)2n+1(2)求证：22a1+1+ 22a2+1+ 22a3+1+⋯+ 22a n+1≤ 2215− 1(32)2n−1(n∈N*)。
杭州二中2017学年第一学期高二年级期中考试数学卷
杭州二中2017学年第一学期高二年级期中考试数学卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答卷．．相应空格中） 1. 已知圆C 的一般方程为222410x y x y ++-+=，其圆心坐标为(,)a b ,半径为r ,则以下说法中，正确的是( )A. 1,2,2a b r =-==B. 1,2,4a b r =-==C. 1,2,2a b r ==-=D. 1,2,4a b r ==-=2. 与直线230x y ++=平行，且过原点的直线方程为( )A. 20x y +=B. 20x y -=C. 20x y -=D. 20x y +=3. 已知非负实数x,y 满足340340x y x y +-≤⎧⎨+-≤⎩，则2x y +的最大值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 方程22210x y x -++=所对应的图像是( )A. 双曲线B. 圆C. 两条平行直线D. 两条相交直线5. 已知,,a b c R ∈，且a b >，则下列不等式恒成立的是 ( )A. 22()()a c b c +>+B. 2()0a b c ->C. ||||||a c b c a b ++-≥-D. 1133()()a c b c +>+6. 已知圆1C :22(1)(2)4x y -+-=，圆2C :221x y +=，则过圆1C 与圆2C 的两个交点且过原点O 的圆的方程为( )A. 2220x y x y +--=B. 2233240x y x y +++=C. 2222360x y x y +--=D. 22240x y x y +--= 7. 直线:10l x y -+=把平面分成两个区域(不包含直线l )，其中与原点在同一区域的点是( )A. (1,0)-B. (1,)e π-C. (cos1,sin1)D. 2(,2)a a +8. 已知直线l 斜率0k <，且过点(2,1)，则l 与坐标轴围成的三角形面积的最小值为( )A. 2B. 4C. 6D. 89. 已知圆C 的圆心坐标为(1,1)-，半径为1，P (x,y )是圆C 上任意一点，则3x+4y 的取值范围是( )A. [4,6]-B. [1C. [5,5]-D. [6,4]- 10. 已知2316x y +=，若2l o g ()l o g 2(01)x y a a a a m a +≤+<<对于任意x R ∈恒成立，则m 的最小值为( ) A. 12 B. 14 C. 716 D. 316二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答卷中相应横线上）11. 已知(1,0),(1,2)A B -，则以AB 为直径的圆的方程为____________.12. 已知直线:0l x =，则l 的倾斜角为___________.13. 已知直线1:10l x y ++=与2:220l x y a ++=a =__________. 14. 已知圆C 22:220x y ax y +--=与直线:10l x y ++=相离，则a 的取值范围是____________.15. 正数x ,y 满足21x y +=，则221134x xy xy y +++的最小值为__________. 16. 如图锐角ABC ∆的三个顶点坐标分别为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，其中B ,C在y 轴异侧， 且34a ≤≤， 4BC =，AC 边上的高为BD ，D 为垂足，若直线OD 的斜率为k ，则k 的取值范围是__________.三、解答题（本大题共4小题，第17题8分，第18、19题9分，第20题10分，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，答案必须写在答题纸上）17. 解不等式：(1) |1|21x x -≥-(2) |1||21|x x -≤-18. 已知O 为直角坐标系原点，A(5,1)，B(2,4)，求ABO ∆的垂心坐标.19. 已知圆O :229x y +=与x 轴负半轴交于A ，与y 轴正半轴交于B ，若C 在圆O 上，求ABC ∆重心G 的轨迹方程.20. 设圆M:22(1)1x y ++=,直线l 过1(,0)2，斜率为k ,且与圆M 交于A,B 两点. (1) 若||1AB =,求k.(2) 若线段AB 上任意一点P ，均存在过P 的两条相互垂直的弦CD 与EF ，使得|CD|=2|EF|.求k 的取值范围.(3) 设圆N:22(1)(1)1x y -+-=，Q 为平面上的点，满足：过点Q 作任意两条互相垂直的直线1l 与2l ，它们分别与圆M 和圆N 相交，都有直线1l 被圆M 截得的弦长与直线2l 被圆N 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点Q 的坐标.。
【安徽省马鞍山二中】2017届高三上学期期中(理科)数学试卷-答案
安徽省马鞍山二中2017 届高三上学期期中（理科）数学试卷答 案1~5． BDCAB 6~10．CBDDD 11~12． AB13． 1 146 ． 1315． 65 16． 1p ：1x17．解：对于命题a 3 x0 知， a， x，0 ， a 1由 13对于命题 q ： ax 2 x a 0 在 R 上恒成立①若 a 0 ，则 - x0 在 R 上恒成立，明显不行能，舍去．②若 aa 0，解得： a10 ，则1 4a2 2命题 p 和 q 有且仅有一个正确，p 真 q 假或许 p 假 q 真，而由 p 真 q假，可得 a1 1；由 p假 q真，可得 a2综上可得，所求a 的取值范围为,11,2 18．解：（Ⅰ）a bc ．cosA 2cosB3cosCsinA sinBsinC ，cosA2cosB3cosC即 tanA11 2tanA ， tanC 3tanA ，tanBtanC ，tanB23tanAtan BC2tan A 3tan A ，1 tan B tan CtanA2tan A3tan A 2，1 6tan 2A ，整理求得tan A 1， tanA 1当 tanA 1时， tan B2 ，则 A ， B 均为钝角，与 A B C π矛盾，故舍去，π tanA 1, A．4（Ⅱ）tanA 1，tanB 2tanA ，tanC 3tanA ，tanB 2，tanC 3 ，sinB2,sin C 3 ，5 10 cosB1,cosC1510sinAsinBCsin B CsinBcosC2 1 13 1cosBsinC1051025ab，sinAsinBb sinB a 2 10，sinA5 aSABC1absinC1 a ?2 10 ?a3 3a 2 3 ，225105a 2 5， a5 ．19 1 ）证明：如图 1取 BD 中点 M ，连结 AM ，ME ． ．（ABAD2，AM BDDB2，DC 1， BC5 ，DB 2 DC 2BC 2 ，△BCD 是 BC 为斜边的直角三角形， BD DC ，E 是 BC 的中点，ME 为 △ BCD 的中位线1ME ∥ CD ，MECD ，1 MEBD ， ME，2AME 是二面角 A BD C 的平面角，AME 60AMBD ，MEBD 且 AM 、ME 是平面 AME 内两订交于 M 的直线，BD 平面 AEMAE 平面 AEM ，BDAE ABAD2，DB 2 ，△ ABD 为等腰直角三角形， AM1BD 1，2AE 2AM 2 ME 2 2AM ME cos AME3 ，4AE3 ，4AE 2ME21 AM2，AEME M ，BDME ，BD平面 BDC ，ME面BDC ，AE平面 BDC（2）解：如图 2， M 为原点 MB 为 x 轴， ME 为 y 轴，成立空间直角坐标系M xyz ，1B 1,0,0 , E1 1 31,1,0则由（ ）及已知条件可知0, ,0,A0,,, D 1,0,0 ,C22 2DA1,1 ,3,DC0,1,1 , AE0,0,3 ，2 22设平面 ACD 的法向量为 nx,y,z1 3则 x+ 2 y 2 z 0 ，n3,0, 2 ，y设直线 AE 与平面 ADC 所成角为，则sin3 2 73772直线 AE 与平面 ADC 所成角的正弦值为2 7 720．解：（ 1）当 x 0 时， sgn x 1 ，解方程 x 2 3x 11 ，得 x 3（ x 0 不合题意舍去） ；当 x 0 时， sgn x 0 ， 0 不是方程 x 2 3x 1 0 的解；当 x 0 时， sgn x1，解方程 x 23x1 1 ，得 x2 或 x 2 （均不合题意舍去） ．综上所述， x3是方程 x23x 1sgn x 的根．x22x, x2（2）因为函数f x x22x, 0x2，x22x, x0x23x, x2则原方程转变为：a x2x, 0x 2．x23x, x0数形联合可知：①当 a- 2 时，原方程有1个实根；②当 a- 2时，原方程有2个实根；③当 2a0 时，原方程有 3 个实根；④当 a0 时，原方程有 4 个实根；⑤当 0a 15 个实根；时，原方程有4⑥当 a 14 个实根；时，原方程有4⑦当1a9时，原方程有 3 个实根；44⑧当 a 92个实根；时，原方程有4⑨当 a 91个实根．时，原方程有4故当 a2,0 1 , 9时，对于 x 的方程 f x x a 有3个互异的实根．4421．解：（Ⅰ）设等比数列a n的公比为q，对于随意的n N 有 S n， S n 2， S n 1成等差，2 a1a1 q a1q 2a1 a1a1q ．整理得： 2 1q q2a12q．a10 ， 2 2q 2q2 2 q ．2q2q 0 ，又 q0 ，q 1 ．2又 a1a4 a1 1 q37 ，16把 q 1代入后可得 a1 1 ．22所以， a n a1q 11n 1n11；222nb n nn a1n（Ⅱ）n，n 2，b，n2a n1n2T n 1 21 2 22 3 23n 2n．2T n 1 22 2 23 3 24n 1 2n n 2n 1．2 22232n 212nn 2n 1T n n 2n +1 =12T n2-2n 1n 2n 1n 1 2n 1 2 ．12若 n2m T n n 1 对于n 2 恒成立，1则 n2m n 1 2n 1 2n 1 对于n 2 恒成立，12m n12n 1 1对于 n 2 恒成立，也就是n 1mn 1对于 n 2 恒成立，2n 1 1令 f n n 1 ，2n 11f n1f nn n12n 2n 112n 2 1 2n 112n 2 1 2n 10 1f n为减函数，f n f221 1 ．2317m 1．7所以， n12m T n n 1 对于 n 2 恒成立的实数m 的范围是1 ,．722．解：（Ⅰ）f x ln x bx a ，xf x bx x a ，x2在 x1时获得极值，f1b 1 a0∴a- b 1（Ⅱ） a2，b1，f x ln x x 2，xf x 121x2x2x2x1x0 ，x x2x2x2f x在0,1 上单一递减，在1,上单一递加，f x在0,内有独一极小值，也就是f x在 0,内的最小值，f x min f13（Ⅲ）由（Ⅱ）知f xmin f1 3 且f x在0,1上单一递减．n1，n1f n ln n 2 n1n f13n nn1n11lnn21， n n+1 lnn，00 n 2n 1 n（n n1）nn 1n 1n 11n 2e安徽省马鞍山二中2017 届高三上学期期中（理科）数学试卷解析1．【考点】会合的包括关系判断及应用．【剖析】依据会合的定义和会合间的并集定义，推出P 会合的状况，求出M ∪ N，而后判断选项．【解答】解：∵ P={ x| f （ x） g（ x） =0} ，∴P有三种可能即：P x f x0} ，或P x g x0P x f x0或g x0={|（） =={ |（）= }或={ |（） =（）= }，∵M={x f x0，N={x|g x）0 |（） = }（= } ，∵M∪N x f x0或g（x0} ，={ |（） =）=∴P? （M∪N），应选 B．2．【考点】复合命题的真假．【剖析】此题考察的知识点是复合命题的真假判断，解决的方法是先判断构成复合命题的简单命题的真假，再依据真值表进行判断．x x【解答】解：∵命题p： ?x∈（﹣∞， 0），3 ＜ 4 ，x x∵对于 x∈（﹣∞， 0）， 3 ＜ 4∴命题 P 是假命题又∵命题q： tanx＞ x， x∈（ 0，）∴命题 q 是真命题依据复合命题真假判断，（￢ p）∧ q 是真命题，故 D 正确p∧ q， p∨（￢ q）、 p∧（￢ q）是假命题，故 A 、 B、 C 错误应选 D3．【考点】必需条件、充足条件与充要条件的判断．【剖析】在R 上的单一连续函数f（ x）在区间（ 0，2）上存在零点，则 f （0） f（ 3）＜ 0，反之不行立，即可判断出结论．【解答】解：∵在 R 上的单一连续函数 f （ x）在区间（ 0， 2）上存在零点，则f（ 0） f （ 3）＜ 0，23），反之不行立，零点可能∈ [ ，所以定义在 R 上的单一连续函数 f （ x）在区间（ 0， 2）上存在零点的一个必需不充足条件是f（ 0） f （ 3）＜0．应选： C．4．【考点】复数代数形式的乘除运算．【剖析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出，代入z?计算得答案．【解答】解：∵ z===，∴．则z．? =应选： A．5．【考点】等比数列的性质．【剖析】依据a7=a6+2a5，求出公比的值，利用存在两项a m，a n使得，写出m，n之间的关系，联合基本不等式获得最小值．【解答】解：设等比数列的公比为q（ q＞ 0），则∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2﹣q﹣ 2=0，∴q=2，∵存在两项a m， a n使得，∴a m a n=16a12，∴q m+n﹣2=16，∴m+n=6∴=（m+n）（）=（10+）m 1 n 5时，=；m 2n 4时，=．= ， ==， =∴的最小值为，应选 B．6．【考点】由三视图求面积、体积．【剖析】三视图还原的几何体，下部是放倒的四棱柱，上部是正方体，依据三视图的数据，求出几何体的表面积．【解答】解：三视图还原的几何体，下部是放倒的四棱柱，底面是直角梯形，边长分别为：3，2，1，；高为： 1；上部是正方体，也能够看作是三个正方体和半个正方体的组合体，所以几何体的体积为：3×13+=，应选 C．7．【考点】平面向量数目积的运算．【剖析】利用向量数目积的几何意义和三角形外心的性质即可得出．【解答】解：联合向量数目积的几何意义及点O 在线段 AB ， AC 上的射影为相应线段的中点，可得，∴，应选： B，8．【考点】函数零点的判断定理；根的存在性及根的个数判断．【剖析】由题意结构函数y1=sin| x| ，y2=kx ，而后分别做出两个函数的图象，利用图象和导数求出切点的坐标以及斜率，即可获得选项．【解答】解：依题意可知x 不可以等于0．令 y1=sin| x| ， y2=kx ，明显函数y1为偶函数，y2=kx 为奇函数，故θ，φ为绝对值最小的两个非零零点．而后分别做出两个函数的图象．由题意可得y2与 y1仅有两个交点，且φ是 y1和 y2相切的点的横坐标，即点（φ， sin| φ| ）为切点，φ∈（﹣，﹣π），故sin|φ|=﹣sinφ．因为（﹣ sin φ）′ =﹣ cosφ，所以切线的斜率k=﹣ cosφ．再依据切线的斜率为k==，∴﹣cosφ，即sin θ θcosφ==﹣，应选： D．9．【考点】函数的定义域及其求法．【剖析】求出函数的定义域，依据随意m，n∈ D，点 P（ m， f （ n））构成的图形为正方形，获得函数的最大值为 2，解方程即可获得结论．【解答】解：要使函数存心义，则a（ x﹣1）（ x﹣ 3）≥ 0，∵a＜ 0，∴不等式等价为（x﹣ 1）（ x﹣3）≤ 0，即 1≤ x≤3，∴定义域 D =[ 1，3] ，∵随意 m， n∈D ，点 P（ m，f （ n））构成的图形为正方形，∴正方形的边长为2，∵f（1） =f （ 3） =0，∴函数的最大值为 2，即 a（ x﹣ 1）（ x﹣ 3）的最大值为4，设 f （x） =a（ x﹣ 1）（ x﹣3） =ax2﹣4ax+3a，∴当 x=2 时， f （ 2） =﹣a=4，即 a=﹣ 4，应选： D．10．【考点】数列的乞降．【剖析】由数列的通项公式求出数列前几项，获得数列的奇数项均为1，每两个偶数项的和为6，由此能够求得 S120的值．【解答】解：由a n=（﹣1）n（ 2n﹣ 1） cos+1，a=﹣cos 1 1a3cosπ12，得1+ =，2=+ =﹣a3=﹣ 5cos+1=1， a4=7cos2π+1=8，a5=﹣ 9cos+1=1， a6=11cos3π+1=﹣ 10，a7=﹣ 13cos+1=1， a8=15cos4π+1=16，由上可知，数列 { a n} 的奇数项为1，每两个偶数项的和为6，∴S120=（ a1+a3+ +a119）+（ a2+a4 + +a58+a120） =60+30× 6=240．应选： D．11．【考点】直线与平面所成的角．【剖析】连结AC，BD，交于点O，由题设条件推导出OA 1OC 2．将△ABD沿着对角线BD翻折成△= ，=A ′ BD ，当 A′ C 与以 O 为圆心， OA ′为半径的圆相切时，直线 A ′ C 与平面 BCD 所成角最大，由此能求出结果．【解答】解：如图，平面四边形ABCD 中，连结 AC ， BD ，交于点 O，∵AD =AB =，CD=CB=，且 AD ⊥AB ，∴BD=2，AC⊥BD，=∴BO =OD=1，∴OA ==1，OC==2．将△ ABD 沿着对角线BD 翻折成△ A ′ BD ，当 A ′C 与以 O 为圆心， OA ′为半径的圆相切时，直线 A ′C 与平面 BCD 所成角最大，此时， Rt△OA ′ C 中， OA ′=OA =1， OC=2，∴∠ OCA ′=30°，∴A ′C 与平面 BCD 所成的最大角为 30°．应选： A．12．【考点】几何概型．【剖析】 f（ x） =a x?g（ x），g（ x）≠ 0，结构 h（ x）=a x=，又f′（x）?g（x）＜f（x）?g′（x），利用导数可得：函数h（ x）单一递减，0＜ a＜ 1．利用+=，解得a，再求概率．【解答】解：∵ f （ x） =a x?g（ x）， g（x）≠ 0，h x） =a x=，又f′（xg x f x gx），∴（）? （）＜（）?′（h′（x）=0h x）单一递减，∴0 a 1∴＜，∴函数（＜＜．+=，∴ a+a﹣1=，解得 a=．对于x的方程abx2+x 2 0，即bx2+x 2 0，，∴，+ =+ =∴对于 x 的方程 abx2+x+2=0（b∈（ 0， 1））有两个不一样实根的概率为=，应选 B．13．【考点】定积分．【剖析】dx =，由此能求出结果．【解答】解：dx===（lnx）21= ．故答案为： 1．14．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【剖析】把平面 BMD 及平面 AMD 以 DM 为折线展平，三角形 DAM 是正三角形的一半，故在平面 BMAD 中，连结 BA ，与 MD 订交于 P 点，则 AP+BP 为最短距离，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：因为各棱长均为 1 的四周体是正四周体把平面 BMD 及平面 AMD 以 DM 为折线展平，三角形DAM 是正三角形的一半DM =，AM =，AD =1，BM =，BD=1故在平面 BMAD中，连结BA ，与 MD 订交于 P 点，则 AP+BP 为最短距离，在三角形 BMD 中，依据余弦定理，cos BMD== ，∴sin∠BMD=，∠cos DMB cos 90°+∠BMC） =﹣sin∠BMC=﹣，∠= （∴BA 2 =BM 2+AM 2﹣ 2BM ?AM ?cos∠ AMB =+ ﹣2???（﹣） =．故答案为：．15．【考点】程序框图．【剖析】第一判断程序框图的功能，依据退出循环的条件即可求得n 的值．【解答】解：模拟履行程序框图，可得程序框图的功能是计算S123的值，且当S2016时，=+++ =＞输出 n 的值，因为，当n 64时，S=2080＜2016，==当n 65时，S2145＞2016，===故输出 n 的值为 65．故答案为： 65．16．【考点】简单线性规划．【剖析】作出不等式对应的平面地区，利用线性规划的知识，利用z 的几何意义即可获得结论． ．【解答】解：作出不等式组对应的平面地区如图：由 z=x+4y 得 y=﹣x+ z ，平移直线 y=﹣ x+ z ，由图象可知当直线y=﹣ x+ z 经过点 A （ 1， 0）时，直线的截距最小，此时z 最小．此时 z min =1+4× 0=1， 故答案为： 1．17．【考点】命题的真假判断与应用．【剖析】求出命题 p 真、命题 q 真时 a 的取值范围，由命题p 和 q 有且仅有一个正确，求 a 的取值范围．p ：由 11 x【解答】解：对于命题a 3x 0 知， a， x ﹣ ，0 ， a 13对于命题 16q ： ax 2xa 0在 R 上恒成立3① 若 a 0 ，则 - x0 在 R 上恒成立，明显不行能，舍去． ② 若 aa 01，则1 4a 2，解得： a2∵命题 p 和 q 有且仅有一个正确，∴ p 真q假或许 p 假 q真，而由 p 真 q假，可得 a1 1；由 p假 q真，可得 a2综上可得，所求 a 的取值范围为18．【考点】正弦定理；余弦定理．【剖析】（ Ⅰ）利用正弦定理把已知等式中的边转变成角的正弦， 化简整理可用 tanA 分别表示出 tanB 和 tanC ，从而利用两角和公式求得tanA ，从而求得 A ．（Ⅱ）利用 tanA ，求得 tanB 和 tanC 的值，利用同角三角函数关系获得 sinB 和 sinC ，从而依据正弦定理求得 b 和 a 的关系式，代入面积公式求得 a ．【解答】解：（Ⅰ）∵ab c．∴sinA sinBsinC ，cosA 2cosB3cosC即 tanA 112tanA ， tanC3tanA ，tanBtanC ，tanB2 3∵ tanAtan BC2tan A 3tan A ，1 tan B tan C∴ tanA2tan A 3tan A ，整理求得 2A 1， tanA1，1 6tan2 Atan当tanA时，tanB 2 ，则A ，B 均为钝角，与A 矛盾，故舍去，1B C π∴ tanA 1, Aπ4 ．（Ⅱ）∵ tanA 1，tanB 2tanA ， tanC 3tanA ，∴ tanB 2，tanC 3 ，∴ sinB2 ,sin C3 ，510 ∴ cosB1,cosC1510sinA sinB Csin B CsinBcosC cosBsinC2 1 13 15105102ab，∵sinA sinBsinB a 2 10a ，∴ bsinA5∵SABC1absinC 1 a ? 2 10 ?a3 3a 2 3 ，225105∴ a 25， a5 ．19．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判断．【剖析】（ 1）先依据条件获得 BD ⊥平面 AEM ；从而经过求边长获得AE ⊥ ME ；即可获得结论；（ 2）先成立空间直角坐标系，求出平面 ADC 的法向量的坐标，再代入向量的夹角计算公式即可．【解答】（ 1）证明：如图 1 取 BD 中点 M ，连结 AM ，ME ．∵ABAD 2，∴ AM BD∵ DB 2， DC 1， BC5 ，DB 2 DC 2 BC 2 ，∴ BCD 是 BC 为斜边的直角三角形， BD DC ，∵ E 是 BC 的中点，∴ ME 为 BCD 的中位线 ∴ ME / /CD ，ME1CD ，2∴ ME BD ， ME1 ，2∴ AME 是二面角 A BD C 的平面角，∴ AME 60∵ AM BD ，ME BD 且 AM 、ME 是平面 AME 内两订交于 M 的直线，∴ BD 平面 AEM ∵ AE平面 AEM ，∴ BDAE ∵ AB AD2，DB 2，∴ ABD 为等腰直角三角形， ∴ AM1BD 1，2∴ AE 2AM 2 ME 2 2 AM ME cos AME3 ，4∴ AE3 ，4∴ AE 2 ME 2 1 AM 2，∴ AE ME M ， ∴ BD ME ， BD平面 BDC ， ME 面 BDC ，∴ AE平面 B DC（2）解：如图 2， M 为原点 MB 为 x 轴， ME 为 y 轴，成立空间直角坐标系 M xyz ，则由（ 1）及已知条件可知B 1,0,0 , E 0,1,0 ,A 0,1, 3 , D 1,0,0 ,C1,1,02 2 2∴ DA1,1 ,3,DC0,1,1 , AE0,0, 3，2 22设平面 ACD 的法向量为 nx,y,z则 x+ 13 0，∴ n2y2z3,0, 2 ，y 0设直线 AE 与平面 ADC 所成角为，则 sin32 73772∴直线 AE 与平面 ADC 所成角的正弦值为2 7720．【考点】函数与方程的综合运用；函数的图象；根的存在性及根的个数判断．【剖析】（ 1）利用已知条件，列出方程，逐个求解即可．（2）求出函数的分析式，获得 a 的表达式，画出图象，经过 a 的范围议论函数零点个数即可．【解答】解：（ 1）当x＞0时， sgn x 1 ，解方程x23x 1 1，得 x 3（ x 0 不合题意舍去）；当 x 0时， sgn x0 ，0不是方程 x23x 1 0的解；当 x＜0 时，sgn x1，解方程x23x1 1 ，得x 2 或 x 2 （均不合题意舍去）．综上所述， x 3 是方程x23x 1sgn x 的根．x 22x,x2（2）因为函数f x x22x,0x2，x2 2 x,x0x23x,x2则原方程转变为：a x2x,0x 2 ．x23x,x0数形联合可知：①当 a＜- 2 时，原方程有1个实根；②当 a- 2 时，原方程有 2 个实根；③ 当2＜a＜0 时，原方程有 3 个实根；④当 a 0 时，原方程有 4 个实根；⑤当 0＜ a＜1时，原方程有 5 个实根；4⑥ 当1时，原方程有 4 个实根；4⑦当1＜ a＜9时，原方程有 3 个实根；44⑧当 a 92 个实根；时，原方程有4⑧当 a 91 个实根．时，原方程有4故当 a2,019x a 有3个互异的实根．4, 时，对于x的方程 f x421．【考点】等比数列的通项公式；数列的乞降；数列与函数的综合．【剖析】（Ⅰ）设出等比数列的公比，利用对于随意的n∈ N+有 S n， S n+2， S n+1成等差得2S3=S1+S2，代入首项和公比后即可求得公比，再由已知，代入公比后可求得首项，则数列 { a n} 的通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a n和已知 b n=n 代入整理，而后利用错位相减法求T n，把 T n代入（ n﹣ 1）2≤m（ T n﹣ n﹣ 1）后分别变量m，使问题转变为求函数的最大值问题，剖析函数的单一性时可用作差法．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列a n的公比为q，∵对于随意的n N 有 S n， S n 2， S n 1成等差，∴ 2 a1a1 q a1 q2a1a1a1q ．整理得： 2 1 q q2a2q．1∵ a10，∴， 22q2q22q ．∴ 2q2q 0，又 q0 ，∴ q 1 ．2又 a1a4a1 1 q37 ，16把 q 1代入后可得 a11．22所以，；1n b n n n （Ⅱ）∵ b n n 2，n ， a n，∴n2a n12∴ T n 1 21 2 22 3 23n 2n．2T n 1 22 2 23 3 24n 1 2n n 2n 1．∴T n 2 22232n -n 2n +1=21 2n n 2n 1 12∴ T n 2-2n 1n 2n1n1n12．122若 n2m T n n 1 对于n 2 恒成立，1则 n2m n 1 2n12n1对于 n 2 恒成立，1也就是n12m n12n1 1 对于n 2 恒成立，∴mn1对于 n 2 恒成立，2n 11令 f n n1，2n11∵ f n 1 f nn n12n 2n 110 n 21 2n 112n 2 1 2n 112∴ f n为减函数，∴f n f221 1 ．2317∴ m 1．7所以， n12m T n 1 对于 n 2 恒成立的实数m 的范围是1,．n7 22．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【剖析】（Ⅰ）求导数，利用函数在x 1a b的值；=时获得极值，可务实数﹣（Ⅱ）确立f x）在（，1上单一递减，在1f x）在（， +∞）内有独一极（][ ， +∞）上单一递加，可得（小值，也就是f（ x）在（0， +∞）内的最小值；（Ⅲ）由（II）知f（x f（1）3且f（x）在（，1] 上单一递减，证明ln+，可得结） min==﹣＞论．【解答】解：（ I）∵f x ln x bx a，x∴ f x bx x a，x2∵在 x1时获得极值，∴ f 1 b 1 a 0 ∴a- b1 4 分（II ）a2，b1，∴ f x ln x x 2，x∴ f x 121x2x2x2x1x0 ，x x2x2x2∴ f x在0，1 上单一递减，在1，上单一递加，∴ f x在0，内有独一极小值，也就是f x 在0，内的最小值，∴ f x min f138 分（III）由（ II ）知 f xmin f 1 3 且f x在0，1 上单一递减．∵ 0n1 ，n1∴ f n ln n 2 n1n f13 n11n n 1n∴ ln n211n n1n（）n n 11n∴ n1与e0 ，∴ n n+1 lnn2 ，0 nn1n2。
浙江省杭州学军中学2017-2018学年高三上学期第二次月考数学理试题 Word版含答案
杭州学军中学2017-2018学年高三第二次月考数学 (理科) 试卷选择题部分（共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1. 已知全集为R U =,集合2{230}M x x x =--≤,2{1}N y y x ==+，则(C )U M N ⋂ 为 ( )A.{11}x x -≤< B. {11}x x -≤≤ C. {13}x x ≤≤ D. {13}x x <≤2. 已知,,,a b c d 为实数，且c d >。
则“a b >”是“a c b d ->-”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件3.已知函数())0,0( )sin(2πϕωϕω<<>+=x x f ，且函数的图象如图所示，则点),( ϕω的坐标是( )A)3,2( πB)3,4( πC )32,2( π D )32,4( π 4.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为122+=x y ，值域为{}9的“孪生函数”就有三个，那么解析式为22log (1)=-y x，值域为{}5,1的“孪生函数”共有（ ）.A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个 5．已知函数()()()2sin 2,9f x x f x f πϕϕ⎛⎫=+≤⎪⎝⎭其中为实数，且对x R ∈恒成立。
记 257,,,,,366P f Q f R f P Q R πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则的大小关系是 （ ） A ．R P Q << B ． Q R P << C ． P Q R << D ． Q P R << 6．已知函数y =sin x +a cos x 的图象关于x =35π对称,则函数y =a sin x +cos x 的图象关于直线 ( )A. x =3π对称 B. x =32π 对称 C.x =611π对称 D.x =π对称 7.对于实数b a ,，定义运算“*”： 2221,,a ab a b a b b ab a b⎧-+-≤⎪*=⎨->⎪⎩，设)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程为)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根321,,x x x ，则321x x x 的取值范围是( )A.1,032⎛⎫-⎪⎝⎭ B.1,016⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.10,32⎛⎫⎪⎝⎭D.10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭ 8.已知x R ∈ ,符号[]x 表示不超过x 的最大整数,若函数[]()x f x a x=-有且仅有3个零点,则a 的取值范围是( )A.3443,,4532⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ B.3443,,4532⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C.1253,,2342⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D.1253,,2342⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦9.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=，若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（ ）A.11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. ,66⎡-⎢⎣⎦C. 11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 33⎡-⎢⎣⎦10.定义在R 上函数1(2)2()1(2)x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩若关于x 的方程2()()10f x mf x m -+-=（其中2)m >有n 个不同的实数根121,,...,,()nn i i x x x f x =∑则的值为（）A.14 B. 18 C. 112 D. 116二、填空题(本大题共7小题，共28分．)11. 函数2()cos sin cos 1f x x x x =+-的最小正周期是 ，单调递增区间是 ． 12.设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(31)f x f x >-成立的x 的取值范围是 13.不等式)1(122->-x m x 对满足2||≤m 的一切实数m都成立， x 的取值范围是 .,,sin 210αβαβαβ==+=14.已知为锐角则 15.设函数()1()cos 2f x x ωϕ=+，对任意x ∈R 都有3f x π-⎛⎫⎪⎝⎭3f x π=+⎛⎫⎪⎝⎭， 若函数()()3sin 2g x x ωϕ=+-，则3g π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 16.已知定义在R 上的单调递增奇函数f (x )，若当2o πθ≤≤时，f (cos 2θ＋2m sin θ)＋f (－2m －2)<0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 17．若实数,x y 满足()()()2221122cos 1,1x y xyx y x y ++--+-=-+则xy 的最小值为三、解答题(本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 18. (本题满分14分)已知集合122P x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭22log (22)=-+y ax x 的定义域为Q ． （1）若PQ φ≠ ,求a 实数的取值范围；（2）若方程22log (22)2-+=ax x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有解，求实数a 的取值的取值范围．19．(本题14分)已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>; (1)若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增,求ω的取值范围;(2)令4ω=,将函数()y f x =的图像向左平移12π个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像,区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)满足:()y g x =在[,]a b 上至少含有20个零点,在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.20.(本题满分15分) 已知函数2()3f x ax x =--，（1）求a 的范围，使)(x f y =在]2,2[-上不具单调性； （2）当12a =时，函数)(x f 在闭区间]1,[+t t 上的最大值记为)(t g ，求)(t g 的函数表达式； （3）第（2）题的函数)(t g 是否有最值，若有，请求出；若没有，请说明理由。
浙江省学考选考浙江省杭州市杭州二中2017学年高三年级第三次月考数学试题及参考答案
杭州二中 2017 学年高三年级第三次月考数学试卷
一、选择题（本大题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1.已知集合 A x log2 x 1 1 , B y y x2 1 ，则 A RB （ ）
（A）
（B） ,1 （C） ,3 （D）1
（D） sin A 5 1 2
10. 设
f
x
ex 1 ex
， x 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 ， 则 函 数
g
x
f
x
1 2
f
x
1 2
的值域是（
）
（A） 1, 0,1 （B）1, 0 （C）2, 1, 0
15
分）已知函数
f
x
a
1 2
x2
ln
xa
R
,
（Ⅰ）当 a 1时，求证：函数存在唯一的一个零点；
（Ⅱ）在区间 1, 上，函数 f x 的图像恒在直线 y 2ax 的下方，求 a 的取值范围.
2.直线 l : x cos y sin 1 ，圆 C : x2 y2 a2 ，则“ a 1”是“直线 l 与圆 C 相切”的（ ）
（A）充分不必要条件 （C）充分且必要条件
（B）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
3.已知 x, y R ，且 x y 0 ，若 a b 1 ，则一定有（ ）
（C） a2 b2 有最小值1
（D） a2 b2 无最大值也无最小值
5.已知异面直线 a, b 所成的角为 500 ，过空间一定点 P 最多可作 n 条直线与直线 a, b 均成 角，
浙江省学考选考浙江省杭州市杭州二中2017学年高三年级第三次月考数学试题参考答案
二、填空题11.1024；2,2i i +--12.y =；213.283π-；241)π+ 14..95；925 15.417 16.22186x y += 17. 78三、解答题18. （Ⅰ）令sin cos x x t ⎡-=∈⎣，则22sin cos 1x x t =-+ 当1a =时，()2215124f t t t t g t ⎛⎫=-++=--+= ⎪⎝⎭（） 故()max 1524f tg ⎛⎫== ⎪⎝⎭（Ⅱ）根据（Ⅰ）得()2-1f x t at g t =++=（），t ⎡∈⎣ 0=0g >（）1,故不存在满足条件的a .19. （Ⅰ）∵//BC MN ，且MN ⊂平面SMN ,∴//BC 平面SMN .（Ⅱ）过S 向底面作垂线垂足为O ，连接BC 的中点P 与MN 的中点Q ，根据对称性可知O 在PQ 上，过O 向NC作垂线垂足为H ，根据对称性H 为NC 的中点，连接ON ，则SNO ∠是所求的线面角.根据对称性知，在三角形SPQ 中，22SP SQ PQ === 则SO=7，则sin cos 77SNO SNO ∠=∠=. （Ⅲ）解三角形SPQ可得：tan 5θ=. 20. （Ⅰ）1a =，则()21ln 2f x x x =+, ()()1'00f x x x x=+>>, 故()f x 在()0,+∞上单调递增,又()221110,1022e f f e e e⎛⎫=-<=+> ⎪⎝⎭ 故存在唯一零点（Ⅱ）根据题意，不等式21ln 22a x x ax ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭对任意[)1,x ∈+∞恒成立 当12x ≤<时，()221ln 22x x a h x x x -≥=- 由()()max 1'012h x x h x =⇒=⇒=- 当2x ≤时，()221ln 1222x x a h x x x -≤=→-，故11,22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦21.（Ⅰ）设()1200001,2112PF F P x y S c y y ∆⇒=⨯=⇒=±所以点P的坐标为1,1,1,13333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（Ⅱ）设椭圆存在满足条件的,A B ，则AB 的方程可设为14y x b =-+ 设()()1122,,,A x y B x y则联立椭圆方程可得2213816480x bx b -+-=()()2284131648022b b b ∆=-⨯->⇒-<<根据维达定理有()1212128124213413b x x y y x x b b +=⇒+=-++= 因AB 的中点在直线L 上，故12124422131313y y x x b m m m ++=+⇒=-⇒-<< 22.（Ⅰ）∵111123n a n =++++ ∴20181111112345131024a ⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20181111112345131024125121111062410242a ⎛⎫⎛⎫>+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>++++=+⨯= （Ⅱ）根据题意有()11112k k k k a a k a a k k ---=≥⇒=-将式子两边平方得： 222211221122k k k k k k a a a a a a k k k k --⎛⎫⎛⎫=-+⇒-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222222211223211312222111212312k k k k k k k n a a a a a a a a a a a a a a n n -----=-+-+-++-+⎛⎫⎛⎫=++++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()221111111122212231n n n n +++<++++=-<⨯⨯- ∴对一切2n ≥都有231222123n n a a a a a n ⎛⎫+>++++⎪⎝⎭。