2017年黑龙江省哈尔滨三中高三理科二模数学试卷
黑龙江省哈尔滨市第三中学2017届高三上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
哈三中2016－2017学年度上学期高三学年期末考试数学试卷（理）考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知集合，，则A. B. C. D.2.点到直线的距离比到点的距离大2，则点的轨迹方程为A. B. C. D.3.下列说法错误的是A.在中，若，则B.若，则为的等比中项C.若命题与为真，则一定为真D.若，，则，4. 已知三个不同的平面，三条不重合的直线，有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若；④若，则其中真命题的个数是A．1个B．2个C．3个D．4个5.已知=，，，则A． B． C． D．6．已知则A． B． C． D．7. 某小组有7人，已知利用假期参加义工活动次数为1,2,3的人数分别是2,2,3，现从这7 人中随机选取2人作为代表参加座谈，则选出的2人参加义工活动次数之和是4的概率为A． B． C． D．8.几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是A. B.C. D.9.已知，其中实数满足，且的最大值是最小值的2A． B. C. 4 D.10. 已知是直线上的动点，是圆的两条切线，是切点,是圆心,若四边形面积的最小值为,则的值为A．3 B．2 C． D．11. 在二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都互不相邻的概率为A. B. C. D.12. 已知，为曲线的左、右焦点，点为曲线与曲线在第一象限的交点，直线为曲线在点处的切线，若三角形的内心为点，直线与直线交于点，则点，横坐标之和为A.3B. 2 C．1 D.随的变化而变化第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13. 已知，，，则从小到大的顺序为______14. 已知双曲线的焦点、实轴端点恰好分别是椭圆的长轴端点、焦点，则双曲线的渐近线方侧视图程是15.已知抛物线方程，过焦点的直线斜率为与抛物线交于两点，满足，又，则直线的方程为__________________16.已知函数，则不等式的解集为三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．在中内角所对的边分别为，已知（I）求角的大小；（II）若，求的面积．18. 已知正项数列的前项和为，满足，，且（I）求；（II）设数列前项和为，求.19．如图，沿等腰直角三角形的中位线，将平面折起，使得平面平面，并得到四棱锥．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）是棱的中点，过的与平面平行的平面，设平面截四棱锥所得截面面积为，三角形的面积为，试求的值；（Ⅲ）求二面角的余弦值．20.已知椭圆（）的左、右焦点分别为，上顶点为．为抛物线的焦点，且， 0．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过定点的直线与椭圆交于两点（在之间），设直线的斜率为（），在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．21.已知函数（）(Ⅰ) 若恒成立，求实数的取值范围；(Ⅱ) 若，求证：对于任意，不等式成立．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线的极坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，求．23．选修4—5：不等式选讲已知（Ⅰ）已知关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；（Ⅱ）解不等式哈三中2016－2017学年度上学期高三学年期末考试数学答案（理）选择题：1.A2.D3.B4.A5.C6.B7.C8.B9.D10.A11.C12.A填空题：13.c<b<a 14. 15. 16.解答题：17. （1）（2）18.（1）；（2）19.(1)略 (2)1:2 (3)20.（1）（2）21.（1）（2）略22.（1）（2）23. （1）（2）。
黑龙江哈尔滨市三中2017高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题含答案]
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哈尔滨市三中2017高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题考试说明：本试卷分第1卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题,共60 分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合M =「x | y =ln 2 - x ?, N =「x | x2-3x - 4 乞0?，则M N =A. [-1,2）B. [-1,2]C. [-4,1]D. [-1,4].22. 口—）的虚部为1 +iA. iB. -1C. -iD. 13. 已知向量a,b满足a b = 1, a| = 2, b| = 3,则a — b =A. 13B. 6C. THD. 5x —04. 已知x, y满足：x • y - 2，若目标函数ax y取最大值时的最优解有无数多个,x「y 二0则实数a 的值是A. 0B. -1C. _1D. 12 2 2 25•椭圆C :— -1与双曲线E:笃-爲=1(a,b ■ 0)有相同的焦点，且两曲线的离4 3a 2b 2心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为7•《孙子算经》是我国古代的数学著作，其卷下中有类似如下的问题：“今有方物一束，外周一匝有四十枚，问积几何？ ”如右图是解决该问 题的程序框图，若设每层外周枚数为 a ，则输出的结果为A . 81B . 74 C. 121D . 169（第 7题图）1 A.-2C」D .,3 26. 一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为A .32 350 B .3C.64 380 D .3（第6题8.已知函数f (x) =2f(2-x)-x 2・5x-5,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为条光线从点(1,-1)射出，经y 轴反射后与圆(x-2)2 • y 2=1相交，则入射光线所10. 在拍毕业照时，六个同学排成一排照相，要求其中一对好友甲和乙相邻，且同学丙不能和甲相邻的概率为 12 4 1 A.B.C.D. ■151515511. 正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在底面BCD 内的射影，则异面直线BM 与AO 所成角的余弦值为D .12. 定义在R 上的可导函数f (x )，其导函数记为 f "(x )，满足f (x )+f (2-x )=(x —1 ),3且当x 二1时，恒有f x 2 : x •若f m -f 1-m _ - 3m ，则实数m 的取值范围是 A. -：：,1〕B. 一丄,1C. 1, ：：D. 一：：,丄I 3」I 2」第口卷(非选择题,共90分)二、填空题(共 4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.)13. 知(2x +1)4 =a ° +色(x +1 j+a ? (x +1 $ +a3(x +1 )3 +a 4 (x +1 )4,贝H a 1 a 2 ag •环的值是 ___________________-3,0B . 0,3C . i 3,0D . 10,--4-4.4 .4在直线的斜率的取值范围为A B. y - -2x 3C. y - -3x 49.14. 函数y =-、；；3sin2 x _cos2x 的图象可由函数 y =2sin （2 x •-）的图象至少向右平6移 ____________ 个单位长度得到. 15. 下列共有四个命题：（D 命题"x ^ R, X 02 1 3x 0”的否定是"-X • R,x 2 1 ■： 3x ”；2 2（2） 在回归分析中，相关指数 R 为0.96的模型比R 为0.84的模型拟合效果好； （3） a,b ・R, p ：a :::b,q :1 ：：丄：：：0,则p 是q 的充分不必要条件；b a （4） 已知幕函数f （x ）二（m 2 - 3m 3）x m 为偶函数，则f （-2） = 4 . 其中正确的序号为（写出所有正确命题的序号）16. 已知 ABC 的三个内角A, B,C 的对应边分别为a,b,c ,且S ABC3a 2.贝V 使得a 122 2sin B sin C =msin BsinC 成立的实数 m 的取值范围是 _______________________ .三、解答题（本大题共 6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知数列：aj 的前n 项和为S n ，满足S n=S nj 2a n A1, n_2,n ・N ，且a^ 3.（i ）求数列〈a n 1的通项公式;18. （本小题满分12分）为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教 师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于 15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足 120分的占1，统计成绩13后，得到如下的2 2列联表：分数大于等于120分分数不足120分合计 周做题时间不少于 15小时419周做题时间不足 15小时a n 1 2（n ）求证:(I)请完成上面的2 2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；(H) (i)按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是X，求X的分布列(概率用组合数算式表示) ;(ii)若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差•2附：K2n(a d-bc)(a+b)(c + d )(a+c)(b + d )19. (本小题满分12分)如图所示的几何体是由棱台ABC - A和棱锥D - AAC Q拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD是边长为2的菱形，且• BAD =60 , BB1±平面ABCD ,(I)求证：平面AB1C丄平面BBQ ；(n)求二面角A - BD -C1的余弦值.A1C20. （本小题满分12分）已知抛物线G ： y 2 =2px （ p . 0），过焦点F 的动直线丨与抛物线交于 A B 两点，线段AB 的中点为M •（I ）当直线l 的倾斜角为］时，|AB| = 16 .求抛物线G 的方程；4（n ）对于（I ）问中的抛物线G ,是否存在x 轴上一定点N ,使得| AB | -2 | MN |为定值，若存在求出点 N 的坐标及定值，若不存在说明理由.21. （本小题满分12分）是函数f x 的导数，且「X 的最小值小于等于0.(I)求a 的值；2 3(n)设函数 g(x)二 f(x) -一x -41 n x 6x ，且 g(xj g(x 2) =0 , 3求证：％ • x 2 - 2 •6 .请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分 22. （本小题满分10分）x = 1 、5 cos:一已知曲线C 的参数方程为（〉为参数），以直角坐标系原点 O 为极点,』=2 +T 5sin ax 轴正半轴为极轴建立极坐标系已知函数f x = 2X 3—3X 2log a3 2x , （ a 0且a "）为定义域上的增函数,(I)求曲线C的极坐标方程；Jt JT(n)设li：, 12:，若h、匚与曲线C相交于异于原点的两点A B ,6 3求AOB的面积.23. (本小题满分10分)4 设函数f (x) = x+a+1 + x-一，(a A O). a(I)证明：f(x) _5 ;(n)若f (1) ：：： 6成立，求实数a的取值范围参考答案1.A2.B3.；4.D5.D6.D7.C 8.A9.C 10.C 11.B 12.D13.0n 14.-615.(2)(4)16. 12,4 117. (本小题满分 12分)(I)由题意a n=2內二 1 n _2, n N.a n1 =2 a n 」1............................. 詔•分•又印1 = 4.a n • 1 =4 2n 1 ............................................. 5•分• -a n= 2n 1 —1 ............................................... 6•分…(n) a n= 2n 1, — 是首项为丄，公比为-的等比数列,IA 十+1J 4 211因此」丄.a^1 a 2+1丄a n12n：：11 •分…•.12 分(I)2245(15 16 -10 4)2■ K7.287 6.63525汉20勺9汇26-能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”………:.••…：.4分(n) (i )由分层抽样知大于等于120分的有5人，不足120分的有4人 (5)：2分1<— ....218.(本小题满分12分)4 1 3 2 2P x =0 卡,P X J , p x=2 ,C20 C20 C20P X=3 二響,p X=4 二-C20 C20(ii)设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，这些人中周做题时间不少于15小时的人数为随机变量Y，.......................................... :..•分…由题意可知Y] B 20,0.6 , ............................................. ：：10・分…故E Y =12,D Y = 4.8 ......................................... ：.12 •分…佃.(本小题满分12分)(I)：BB1丄平面ABCD ••• BB1丄AC在菱形ABCD中，BD丄AC又BD " BB^i = B •- AC _ 平面BB1D .......................................... ••• AC 平面AB1C •平面AB1C丄平面BB1D(H)连接BD、AC交于点O ,以O为坐标原点，以OA为x轴，以OD为y轴,BA14 0，则n =(40, 3)BD n = 0设平面DCF的法向量m二(x, y, z)BD m = 0，则m 二(4,0八3) B。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2017届高三第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
2017年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（文科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.若集合{}2|20A x x x =+-<，集合21|1B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则A B = A. ()1,2- B. ()(),11,-∞-+∞ C. ()1,1- D.()()1,00,1-2.在复平面内，复数21ii--（i 是虚数单位）对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 3.在等差数列{}n a 中，2436a a +=，则数列{}n a 的前5项和5S 的值为A. 108B. 90C. 72D. 24 4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为 A. 8 B. 48 C. 384 D. 38405.若实数,x y 满足约束条件029y y x y x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤-+⎩，则3z x y =+的最大值等于 A. 0 B. 92C. 12D.27 6. 已知函数()()()3sin cos 0,fx x x y f xωωω=+>=的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是 A.5,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B.511,.1212k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C. 2,.63k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D. ,.36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.23B. 3C. 23D.438.下列结论中正确的个数是 ①“3x π=”是“1sin 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭”的充分不必要条件； ②若a b >，则22am bm >；③命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定是“,sin 1x R x ∀∈>”； ④函数()cos f x x x =-在[)0,+∞内有且仅有两个零点.A. 1B. 2C. 3D. 49.已知非零向量,a b 满足2,1a b a b a +=-==，则a b +与a b -的夹角为 A.6π B. 3π C. 23π D.56π10.将A,B,C,D,E 五名同学分到四个不同的班级，每班至少至少一名学生，则A,B 被分到同一个班级的概率为 A.35 B. 25 C. 15 D.11011.若PAD ∆所在平面与矩形ABCD 所在的平面相互垂直，2,60PA PD AB APD ===∠=若点,,,PA B C D 都在同一个球面上，则此球的表面积为A.253π B. 283π C. 282127π D.252127π 12.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点(),A c b ，右焦点(),0F c ，椭圆上存在一点M ，使得OM OA OF OA ⋅=⋅，且()OM OF tOA t R +=∈，则该椭圆的离心率为A.22 B. 32 C. 33 D. 23二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 设等比数列{}n a 中，141,8a a ==，则7a = .14. 62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为 .15.进位制是人们为了计数和运算的方便而约定的记数系统.”满几近一为就是几位制，不同进制之间可以相互转化，例如把十进制的89转化为二进制，根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除89得商，然后取余数，具体计算方法如下：把以上各步所得的余数从下到上排列，得到89=1011001（2） 这种算法叫做“除二取余法”，上述方法也可以推广为把十进制数化为k 进制数的方法，称为“除k 取余法”，那么用把“除k 取余法”化为七进制数为 . 16. 当12a <时，关于x 的不等式()20x xe a e a --+<的解集中有且只有两个整数值，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，()2cos cos 0c a B b C -+=,其外接圆的半径为1.（1）求角B 的大小；（2）求ABC ∆周长的取值范围.18.（本题满分12分）某电子元件厂对一批新产品的使用寿命进行检验，并且厂家规定使用寿命在[]300,500为合格品，适用寿命超过500小时为优质品，质检科抽取了一部分产品做样本，经检测统计后，绘制出来该产品使用寿命的频率分布直方图（如图）.（1）根据频率分布直方图估计该厂产品为合格品或优等品的概率，并估计该批产品的平均使用寿命；（2）从这批产品中，采取随机抽样的方法每次抽取一件产品，抽取4次，若以上述频率作为概率，记随机变量X 为抽出的优质品的个数，列出X 的分布列，并求出其数学期望.19.（本题满分12分）已知四边形ABCD 为直角梯形，//,,24,3AD BC AB BC BC AB AD ⊥===,F 为BC 的中点，EF//AB,EF 与AD 交于点E ，沿EF 将四边形EFCD 折起，连接AD,BC,AC. （1）求证：BE//平面ACD;（2）若平面ABFE ⊥平面EFCD （Ⅰ）求二面角B-AC-D 的大小（Ⅱ）线段AC 上是否存在点P ，使FP ⊥平面ACD ，若存在，求出APAC的值，若不存在，请说明理由..20.（本题满分12分）已知抛物线()2:20E x py p =>，其焦点为F,过F 且斜率为1的直线被抛物线截得的弦长为8.（1）求抛物线E 的方程；（2）设A 为E 上的一动点（异于原点），E 在点A 处的切线交x 轴于点P ，原点O 关于直线PF 的对称为点B ，直线AB 与y 轴交与点C,求OBC ∆面积的最大值.21.（本题满分12分）已知函数()()(),ln .f x ax g x x a R ==∈（1）若函数()y f x =与()y g x =的图象在()0,+∞上有两个不同的交点，求实数a 的取值范围；（2）若在[)1,+∞上不等式()()1xf x g x -≥恒成立，求实数a 的取值范围（3）证明：对于[)1,x ∈+∞时，任意0t >，不等式22lnx ttx t t x++->恒成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分. 22.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为212212x ty ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），曲线C 的极坐标方程为6cos .ρθ= （1）若直线l 的参数方程中2t =的时，得到M 点，求M 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点()1,1P ，l 和曲线C 交于A,B 两点，求11PA PB+.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2 1.f x x x =++- （1）求不等式()5f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()22f x m m ≥-的解集为R,求实数m 的取值范围.。
2017年哈尔滨市第三中学第四次高考模拟考试数学试卷(理)(含答案)
2017年哈尔滨市第三中学第四次高考模拟考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 若复数i z 21+=，则复数z 的模等于A.B. 2C.D.2. 设集合{})1(log 2-==x y x A ，{}x y y B -==2，则=B A IA.(]2,0B.()2,1C.()∞+，1 D. (]2,13. 已知数列{}n a ,那么“对于任意的n N *∈，点),(n n a n P 都在曲线xy 3=上”是“数列{}n a 为等比数列”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 对于平面α和不重合的两条直线n m 、，下列选项中正确的是 A ．如果,α⊂m n ∥α，n m 、共面，那么m ∥n B ．如果,α⊂m n 与α相交，那么n m 、是异面直线 C ．如果,α⊂m α⊄n ，n m 、是异面直线，那么n ∥α D. 如果α⊥m ，m n ⊥，那么n ∥α5. 若圆()()22211x y r -++=上有且只有两个点到直线10x y -+=的距离等于,则半径r 的取值范围是 A.B.C. D.6. 下面几个命题中，真命题是 A.“若y x >,则yx 11<”的否命题； B.“1>∀a ，函数x y a log =在定义域内单调递增”的否定；C.“π是函数x y sin =的一个周期”或“2π是函数x y 2sin =的一个周期”；D.“1≤+y x ”是“1≤+y x ”的必要条件7. 执行如图所示的程序框图，若输出16=S ，则框图中①处 可以填入A.2>nB.4>nC.6>nD.8>n8. 已知袋子内有6个球，其中3个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是 A.21 B.53 C.52 D.51 9. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足n n S n -22=，则数{}n a 2的前10项和等于A.380B.390C. 400D. 41010. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A.π36B.π30C.π29D.π2011. 已知函数)3sin()(πω-=x x f ()0>ω，若函数()f x 在区间⎪⎭⎫⎝⎛ππ23，上为单调递减函数，则实数ω的取值范围是 A.]911,32[ B.]911,65[ C. ]43,32[ D. ]65,32[ 3 俯视图正视图侧视图12. )(x f 为定义在R 上的偶函数，)(x f '为其导函数，当时，有0<x成立，x e x x f x f =+')()(e f 1-)1-(=且，则下列结论正确的是A.()f x 在)0(∞+，单调递增B.()f x 在)0(∞+，单调递减C.()f x 在)0,(-∞有极大值D.()f x 在)0,(-∞有极小值第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）13. 二项式6)2xx +（的展开式中常数项为 ;14. 已知随机变量X 服从正态分布),5.1(2σN ，(X 2.5)0.78P ≤=，则(X 0.5)P ≤= ; 15. 已知P 为ABC ∆内一点，满足=++−→−−→−−→−PC PB PA 20，则PAB ∆和ABC ∆的面积比 为 ; 16.已知)2,1(23)1(1≥>-+-=-n b b b b n a n n ，若对不小于4的自然数n ，恒有不等式n n a a >+1成立，则实数b 的取值范围是 .三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222sin sin sin sin A C B A C +-=⋅.（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）点D 在线段BC 上，满足DA DC =，且11=BC ，()cos A C -=，求线段DC 的长.为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，分别记录了4月1日至4月5日每天的昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：（Ⅱ）请根据4月1日，4月2日，4月3日这3天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （Ⅲ）根据（Ⅱ）中所得的线性回归方程， 预测温差为16C ︒时，种子发芽的颗数.（参考公式：∑∑==--=n i i ni ii xn x yx n yx b1221ˆ，x b y aˆˆ-=） 19. （本小题满分12分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为边长为2的菱形， ︒=∠=∠60DBF DAB ，且FA FC =．（Ⅰ）求证：FC ∥平面EAD； （Ⅱ）求二面角B FC D --的余弦值.20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆：E 12222=+bx a y ()0>>b a 经过点()0,3A 和点()2,0B ，斜率为k ()0≠k 的直线经过点()02，P 且交E 于N M ,两点.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）当AOM ∆与AON ∆面积比值为λ，求实数λ的取值范围.已知函数1()4ln ()f x x ax a x=-+∈R ． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程与直线410x y +-=垂直， 求a 的值；（Ⅱ）若)(x f 在(0,)+∞上为单调递减函数，求a 的取值范围； （Ⅲ）设n m <<0，求证：()2ln ln4n m n m-<-请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，将圆:O 422=+y x 上每一个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的21，得到曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的参数方程；（Ⅱ）以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，在两坐标系中取相同的单位长度，射线αθ=()0≥ρ与圆O 和曲线C 分别交于点B A ,，求AB 的最大值.23. （本小题满分10分）已知函数()21f x tx tx =--+（R a ∈） （Ⅰ）当1t =时，解不等式1)(≤x f ；（Ⅱ）若对任意实数t ，()f x 的最大值恒为m ，求证：对任意正数,,a b c ，当a b c m ++=时，m c b a ≤++ .。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2017届高三第一次模拟考试数学(理)试题
黑龙江省哈尔滨市第三中学2017届高三第一次模拟考试数学(理)试题2017年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（文科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1.若集合{}2|20A x x x =+-<，集合21|1B x x⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则A B =IA. ()1,2-B. ()(),11,-∞-+∞UC. ()1,1-D.()()1,00,1-U2.在复平面内，复数21ii--（i 是虚数单位）对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限 3.在等差数列{}na 中，2436aa +=，则数列{}na 的前5项和5S 的值为A. 108B. 90C. 72D. 244.执行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为A. 8B. 48C. 384D. 38405.若实数,x y 满足约束条件029y y xy x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤-+⎩，则3z x y =+的最大值等于A. 0B. 92C. 12D.27 6. 已知函数()()()3sin cos 0,f x x x y f x ωωω=+>=的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是A.5,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. 511,.1212k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C. 2,.63k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D.,.36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.23B.3C.3D.438.下列结论中正确的个数是①“3x π=”是“1sin 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭”的充分不必要条件； ②若a b >，则22am bm >；③命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定是“,sin 1x R x ∀∈>”；④函数()cos f x x x=在[)0,+∞内有且仅有两个零点.A. 1B. 2C. 3D. 49.已知非零向量,a b r r 满足2,1a b a b a +=-==r r r r r，则a b +r r 与a b-r r的夹角为A. 6πB. 3πC. 23πD.56π10.将A,B,C,D,E 五名同学分到四个不同的班级，每班至少至少一名学生，则A,B 被分到同一个班级的概率为A. 35B. 25C. 15D.110 11.若PAD ∆所在平面与矩形ABCD 所在的平面相互垂直，2,60PA PD AB APD ===∠=o若点,,,PA B C D 都在同一个球面上，则此球的表面积为 A.253πB.283π C.282127πD.2127π12.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点(),A c b ，右焦点(),0F c ，椭圆上存在一点M ，使得OM OA OF OA⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r，且()OM OF tOA t R +=∈u u u u r u u u r u u u r，则该椭圆的离心率为A. 22B. 32C.33D. 23二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设等比数列{}na 中，141,8a a ==，则7a = .14.62x x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为 .15.进位制是人们为了计数和运算的方便而约定的记数系统.”满几近一为就是几位制，不同进制之间可以相互转化，例如把十进制的89转化为二进制，根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除89得商，然后取余数，具体计算方法如下：把以上各步所得的余数从下到上排列，得到89=1011001（2）这种算法叫做“除二取余法”，上述方法也可以推广为把十进制数化为k 进制数的方法，称为“除k 取余法”，那么用把“除k 取余法”化为七进制数为 .16. 当12a <时，关于x 的不等式()20xx e a e a --+<的解集中有且只有两个整数值，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分） 在ABC∆中，,,a b c分别为角,,A B C的对边，()-+=,其外接圆的半径为1.c a B b C2cos cos0（1）求角B的大小；（2）求ABC∆周长的取值范围.18.（本题满分12分）某电子元件厂对一批新产品的使用寿命进行检验，并且厂家规定使用寿命在[]300,500为合格品，适用寿命超过500小时为优质品，质检科抽取了一部分产品做样本，经检测统计后，绘制出来该产品使用寿命的频率分布直方图（如图）.（1）根据频率分布直方图估计该厂产品为合格品或优等品的概率，并估计该批产品的平均使用寿命；（2）从这批产品中，采取随机抽样的方法每次抽取一件产品，抽取4次，若以上述频率作为概率，记随机变量X为抽出的优质品的个数，列出X的分布列，并求出其数学期望.19.（本题满分12分）已知四边形ABCD为直角梯形，⊥===,F为BC的中点，//,,24,3AD BC AB BC BC AB ADEF//AB,EF与AD交于点E，沿EF将四边形EFCD折起，连接AD,BC,AC.（1）求证：BE//平面ACD;（2）若平面ABFE⊥平面EFCD（Ⅰ）求二面角B-AC-D的大小（Ⅱ）线段AC上是否存在点P，使FP⊥平面ACD，若存在，求出AP的值，若不存在，请说明理由..AC20.（本题满分12分）已知抛物线()2=>，其焦点为F,过F且斜率E x py p:20为1的直线被抛物线截得的弦长为8.（1）求抛物线E的方程；（2）设A为E上的一动点（异于原点），E在点A处的切线交x轴于点P，原点O关于直线PF的对称为点B，直线AB与y轴交与点C,求OBC∆面积的最大值.21.（本题满分12分）已知函数()()(),ln .f x ax g x x a R ==∈（1）若函数()y f x =与()y g x =的图象在()0,+∞上有两个不同的交点，求实数a 的取值范围；（2）若在[)1,+∞上不等式()()1xf x g x -≥恒成立，求实数a的取值范围（3）证明：对于[)1,x ∈+∞时，任意0t >，不等式22lnx t tx t t x++->恒成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分.22.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为212212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为6cos .ρθ=（1）若直线l的参数方程中2t=的时，得到M点，求M的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若点()1,1+.P，l和曲线C交于A,B两点，求11PA PB23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2 1.f x x x=++-（1）求不等式()5f x≥的解集；（2）若关于x的不等式()22≥-的解集为R,求实f x m m数m的取值范围.。
2020届黑龙江省哈尔滨市三中2017级高三下学期3月模拟考试数学(文)试卷及解析
2020届黑龙江省哈尔滨市三中2017级高三下学期3月模拟考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|1},{3,2,1,0,1}A x x B =>-=---,则A B =( )A. {1,0,1}-B. {0,1}C. (]1,1-D. ∅【答案】B【解析】利用交集定义直接求解． 【详解】集合{}1A x x =-,{3,2,1,B =---0,1},{}0,1A B ∴⋂=．故选：B ．2.设2iz i +=,则||z =( )C. 2D. 5【答案】B【解析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．【详解】()22212i iiz i i i ++===-,则z ==,故选：B ．3.已知向量||1,||2,3a b a b ==⋅=,则向量a 与向量b 的夹角为( )A. 6πB. 4πC. 3πD. 23π【答案】A【解析】 根据条件及向量夹角的余弦公式即可得出3cos ,2a b =,然后根据向量夹角的范围即可求出夹角的大小． 【详解】1,2,3a b a b ==⋅=, 3cos ,2a b ∴=,且0,a b π≤≤, ∴向量,a b 的夹角为6π． 故选：A ．4.函数()(0)a f x x x =≥,()log a g x x =,则()f x 与()g x 的图象可能为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】取特殊值,利用排除法即得解．【详解】当12a =时,()()12,f x x g x log x ==,选项B 符合． 故选：B ．5.已知双曲线22145x y -=的右焦点为F ,过点F 作一条直线与其中一条渐近线垂直,垂足为,A O 为坐标原点,则OAF S ∆=( )A. 3B. 35C. 255。
黑龙江省哈尔滨市哈三中2025届高考数学二模试卷含解析
黑龙江省哈尔滨市哈三中2025届高考数学二模试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．1632．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(2,1)P -在角α的终边上，则sin 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．45-B ．45C ．35D ．353．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．12B ．13C ．23D ．564．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ）A ．52B ．23C ．8D ．835．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，1|B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭则()U A B =（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞6．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为（ ） A ．32B ．18C ．321D ．1962-9．i 为虚数单位,则32i 1i-的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．110．已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ） A ．圆，但要去掉两个点 B ．椭圆，但要去掉两个点 C ．双曲线，但要去掉两个点D ．抛物线，但要去掉两个点11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为F ，点,A B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F 且交C 的左支于,M N 两点，若|MN|=2，ABF ∆的面积为8，则C 的渐近线方程为（ ）A ．3y x =B ．33y x =±C ．2y x =±D ．12y x =±12．下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是（ ）． A ．()ln f x x x = B ．()x x f x e e -=- C ．()sin 2f x x =D ．3()f x x x =-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江哈尔滨市三中2017高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题 含答案]
哈尔滨市三中2017高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 已知集合(){}{}2|ln 2,|340M x y x N x x x ==-=--≤，则=N MA. )2,1[-B. ]2,1[-C. ]1,4[-D. ]4,1[-2.()211i i-+的虚部为A ．iB ．1-C ．i -D ．13. 已知向量,a b 满足1,2,3,⋅===a b a b 则a b -=A .B . 6C .D . 54. 已知,x y 满足：020x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，若目标函数z ax y =+取最大值时的最优解有无数多个，则实数a 的值是A. 0B. 1-C. 1±D. 15. 椭圆22:143x y C +=与双曲线2222:1(,0)x y E a b a b-=>有相同的焦点，且两曲线的离 心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为A ．21 BCD6. 一个几何体的三视图如右图所示， 则该几何体的体积为A ．323B ．503C ．643D ．8037.《孙子算经》是我国古代的数学著作,其卷下中 有类似如下的问题：“今有方物一束，外周一 匝有四十枚，问积几何？”如右图是解决该问 题的程序框图，若设每层外周枚数为a ，则输 出的结果为A ． 81B ．74C ．121 D ．1698. 已知函数2()2(2)55f x f x x x =--+-,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方 程为A. y x =B. 23y x =-+C. 34y x =-+D. 2y x =-9. 一条光线从点(1,1)-射出，经y 轴反射后与圆22(2)1-+=x y 相交，则入射光线所 在直线的斜率的取值范围为 A . 3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B . 30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C . 3,04⎛⎫-⎪⎝⎭D . 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 在拍毕业照时，六个同学排成一排照相，要求其中一对好友甲和乙相邻，且同学丙 不能和甲相邻的概率为A .115B .215C .415D .1511. 正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在底面BCD 内的射影，则异面 直线BM 与AO 所成角的余弦值为A ．6 B. 3C.4D ．512. 定义在R 上的可导函数()f x ，其导函数记为()f x '，满足()()()221f x f x x +-=-，且当1x ≤时，恒有()2f x x '+<．若()()3132f m f m m --≥-，则实数m 的取 值范围是 A .(],1-∞B .1,13⎛⎤- ⎥⎝⎦C .[)1,+∞D .1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 知()()()()234401234(21)1111x a a x a x a x a x +=++++++++，则1234a a a a +++的值是 ．14.函数cos2y x x -的图象可由函数2sin(2)6y x π=+的图象至少向右平移 个单位长度得到． 15. 下列共有四个命题：（1）命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“x x R x 31,2<+∈∀”； （2）在回归分析中，相关指数2R 为0.96的模型比2R 为0.84的模型拟合效果好；（3）,,a b R ∈11:,:0,p a b q b a<<<则p 是q 的充分不必要条件；（4）已知幂函数2()(33)m f x m m x =-+为偶函数，则(2)4f -=. 其中正确的序号为 .（写出所有正确命题的序号）16. 已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对应边分别为,,c a b ,且2ABC S ∆=. 则使得22sin sin sin sin B C m B C +=成立的实数m 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()1121,2,n n n S S a n n N *--=++≥∈，且13a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求证：121111...1112n a a a +++<+++.18.（本小题满分12分）为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后，得到如下的22⨯列联表：（Ⅰ）请完成上面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；（Ⅱ）（i ） 按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足 120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足 15小时的人数是X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；（ii ） 若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这 些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差.附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.（本小题满分12分）如图所示的几何体是由棱台111ABC A B C -和棱锥11D AAC C -拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，1BB ⊥平面ABCD ，11122BB A B ==．（Ⅰ）求证：平面1AB C ⊥平面1BB D ； （Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线)0(2:2>=p px y G ，过焦点F 的动直线l 与抛物线交于,A B 两点，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）当直线l 的倾斜角为4π时，||16AB =．求抛物线G 的方程； （Ⅱ） 对于（Ⅰ）问中的抛物线G ，是否存在x 轴上一定点N ，使得||2||AB MN -为定值，若存在求出点N 的坐标及定值，若不存在说明理由.21．（本小题满分12分）（0a >且1a ≠）为定义域上的增函数，()'f x 是函数()f x 的导数，且()'f x 的最小值小于等于0. （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）设函数32()()4ln 63g x f x x x x =--+，且12()()0g x g x +=，求证：122x x +≥请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）已知曲线C的参数方程为12x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）设 12:,:63l l ππθθ==，若12l l 、与曲线C 相交于异于原点的两点A B 、，求AOB ∆的面积. .23.（本小题满分10分） 设函数4()1,(0)f x x a x a a=+++->. （Ⅰ）证明：()5f x ≥；（Ⅱ）若(1)6f <成立，求实数a 的取值范围.参考答案1.A2.B3.C4.D5.D6.D7.C8.A9.C 10.C 11.B 12.D 13.0 14.6π15.(2)(4) 16.[]2,4 17. （本小题满分12分）（Ⅰ）由题意121n n a a -=+()2,n n N*≥∈()1121n n a a -∴+=+ …………………………………..3分又114a +=1142n n a -∴+=⨯………………………………………………5分121n n a +∴=-……………………………………………………6分（Ⅱ）112n n a ++=，∴111n a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是首项为14，公比为12的等比数列， 因此1211111142 (111112)n n a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++=+++-……………………9分 11122n ⎛⎫=-⎪⎝⎭………………………………………………..11分 12<………………………………………………………….12分 18. （本小题满分12分） （Ⅰ）…………………………………………………………………………………………………………………………………….2分2245(1516104)7.287 6.63525201926K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ ∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关” ………..……..4分 （Ⅱ）（i ）由分层抽样知大于等于120分的有5人，不足120分的有4人……….5分 X 的可能取值为0,1,2,3,4……………………………………………6分()4164200C P X C ==，()134164201C C P X C ⋅==，()224164202C C P X C ⋅==， ()314164203C C P X C ⋅==，()444204C P X C ==…………………………8分 （ii ）设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，这些人中周做题时间不少于15小时的人数为随机变量Y ，……………………………………..9分由题意可知()20,0.6YB ，……………………………………………..10分故()12,E Y =…………………………………………………11分() 4.8D Y =……………………………………………..12分19．（本小题满分12分）（Ⅰ）∵1BB ⊥平面ABCD ∴1BB ⊥AC在菱形ABCD 中，BD ⊥AC 又1BD BB B ⋂= ∴AC ⊥平面1BB D………………………………2分∵AC ⊂平面1AB C ∴平面1AB C ⊥平面1BB D ………………4分（Ⅱ）连接BD 、AC 交于点O ，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OD 为y 轴，如图建立空间直角坐标系. ...... (5)1(0,1,0),(0,1,0),(0,1,2),B D B A -- 11111,2)22B A BA A =⇒-，同理11(,2C -131(,2)22BA =,(0,2,0)BD =,11(,22BC =-设平面1A BD 的法向量),,(z y x =∴10BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则(n =- …… …… ……8分 设平面DCF 的法向量),,(z y x =10BD m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则m = ………………11分设二面角11A BD C --为θ，13cos 19m n m nθ⋅==… ……12分 20．（本小题满分12分） （Ⅰ）由题意知(,0)2p F 设直线l 的方程为()2px ty t R =+∈ ，221212(,),(,)22y y A y B y p p ………………..1分由 222y pxp x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 得：2220y pty p --=222440p t p ∆=+> 212122,y y pt y y p +==-…………… 2分2||2(1)AB p t ==+ ………….4分当直线l 倾斜角为4π时，1t =， ||416AB p == ，得4p = ， 所以抛物线G 的方程为28y x =. …………………….6分 （2）假设在x 轴上存在点(,0)N a 使得||2||AB MN -为定值. 由（1）知2||8(1)AB t =+ …………………………………7分212()2422M tx y y t =++=+ ，4M y t = ，即2(42,4)M t t +………….8分 若满足题意22||2(4)MN t k ==+ ………10分,即222403282(2)t k a k a k ⎧+≥⎪-=⎨⎪-=⎩解得3,1a k == ，此时||2||6AB MN -= 综上在x 轴上存在点(3,0)N 使得||2||AB MN -为定值6………………….12分注:其它做法酌情给分21．（本小题满分12分）（Ⅰ）21()23ln f x x x x a'=-+，………………………………1分 由()f x 为增函数可得，()0f x '≥恒成立，则由2321123023ln ln x x x x x a a-+≥⇒-≥-，11设32()23m x x x =-，则2()66m x x x '=-，若由()()610m x x x '=->和()()610m x x x '=-<可知,()m x 在()0,1上减，在()1,+∞上增，在1处取得极小值即最小值， 所以min ()=(1)1m x m =-，所以11ln a -≥-，11ln a ≤， 当1a >时，易知a e ≤，当01a <<时，则10ln a <，这与11ln a≤矛盾， 从而不能使得()0f x '≥恒成立，所以a e ≤………………………3分由min ()0f x '≤可得，21230ln x x x a -+≤，即32123ln x x a-≤-， 由之前讨论可知，11ln a-≤-， 当10a >>时，11ln a-≤-恒成立， 当1a >时，11ln 1ln ln ln a a e a e a ≥⇒≥⇒≥⇒≥， 综上a e =..............................................................6分（II ）32322323()ln 4ln 6=3ln 63232g x x x x x x x x x x =-+--+--+， 因为12()()0g x g x +=， 所以22111222333ln 6+3ln 6=022x x x x x x ⎛⎫--+--+ ⎪⎝⎭， 所以()()2212121233ln()602x x x x x x -+-++= ()()21212121212ln()202x x x x x x x x ⎡⎤-+--++=⎢⎥⎣⎦()()2121212121ln()202x x x x x x x x -++-++= 所以()()21212121212ln()2x x x x x x x x -+++=-，……………………………..9分 令12=x x t ，()ln g t t t =-，11()1t g t t t-'=-=， ()g t 在()0,1上增，在()1,+∞上减，()(1)1g t g ≤=-，所以()()212121212x x x x -+++≤-，12整理得()()21212420x x x x +-+-≥，解得122x x +≥122x x +≤，所以122x x +≥…………………………….. 12分22.选做题（本小题满分10分）( Ⅰ)曲线C 的普通方程为5)2(122=-+-y x ）（， …………… 2分将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入得：θθρsin 4cos 2+= …………4分4358sin 21+=∠=∆AOB OB OA SAOB ……………………… 10分 23. 选做题（本小题满分10分）514241)(,0=+⋅≥++≥∴>aa a a x f a ……………………. 5分①② ……………………………………………9分综上，实数a 的取值范围是)4,1( ………………… 10分。
黑龙江省哈尔滨六中2017届高考数学二模试卷(理科) Wor
黑龙江省哈尔滨六中2017届高考数学二模试卷（理科）（解析版）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．4﹣i D．4+i2．设a=（sin17°+cos17°），b=2cos213°﹣1，c=．则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a3．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞x2；q：“ab＞1“是“a＞1，b＞1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q4．设变量x，y满足约束条件：，则z=|x﹣2y+1|的取值范围为（）A．[0，4]B．[0，3]C．[3，4]D．[1，3]5．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（﹣x），当x∈（0，]时，f（x）=（1﹣x），则f（x）在区间（1，）内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f（x）＜06．执行右面的程序框图，如果输出的a值大于2017，那么判断框内的条件为（）A．k＜9？B．k≥9？C．k＜10？ D．k≥11？7．在等差数列{a n}中，前n项和为S n，且S2011=﹣2011，a1012=3，则S2017等于（）A．1009 B．﹣2017 C．2017 D．﹣10098．现有语文书第一二三册，数学书第一二三册共六本书排在书架上，语文第一册不排在两端，数学书恰有两本相邻的排列方案种数（）A．144 B．288 C．216 D．3609．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）A．4 B．C．D．210．已知Rt△ABC，AB=3，BC=4，CA=5，P为△ABC外接圆上的一动点，且的最大值是（）A．B．C．D．11．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为矩形，点E，F在侧棱PA，PB上且PE=2EA，PF=2FB，点M为四棱锥内任一点，则M在平面EFCD上方的概率是（）A．B．C．D．12．已知f（x）=x2（1nx﹣a）+a，则下列结论中错误的是（）A．∃a＞0，∀x＞0，f（x）≥0 B．∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0C．∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0 D．∀a＞0，∃x＞0，f（x）≤0二、填空题（本大题共4小题，每题5分.）13．已知f（x）=3cosx﹣4sinx，x∈[0，π]，则f（x）的值域为．14．在二项式（x2+）5的展开式中，含x项的系数是a，则x﹣1dx=．15．如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角，若A+C=180°，AB=6，BC=4，CD=5，AD=5，则四边形ABCD面积是．16．已知圆：（x+cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1，直线l：y=kx．给出下面四个命题：①对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点；②对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切；③对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切；④存在实数k和θ，使得圆M上有一点到直线l的距离为3．其中正确的命题是（写出所以正确命题的编号）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}满足，（n∈N+）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{b n}的前n项和S n，求证：．18．（12分）哈六中在2017年3月中旬举办了一次知识竞赛，经过层层筛选，最后五名同学进入了总决赛．在进行笔答题知识竞赛中，最后一个大题是选做题，要求参加竞赛的五名选手从2道题中选做一道进行解答，假设这5位选手选做每一题的可能性均为．（Ⅰ）求其中甲乙2位选手选做同一道题的概率．（Ⅱ）设这5位选手中选做第1题的人数为X，求X的分布列及数学期望．19．（12分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，．（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．20．（12分）己知抛物线C1：x2=2py（p＞0）与圆C2：x2+y2=5的两个交点之间的距离为4．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）设过抛物线C1的焦点F且斜率为k的直线与抛物线交于A，B两点，与圆C2交于C，D两点，当k∈[0，1]时，求|AB|•|CD|的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=（e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线4x+3ey+1=0互相垂直．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若对任意x∈（，+∞），（x+1）f（x）≥m（2x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=，T n=1+2[g（）+g（）+g（）+…+g（）]（n=2，3…）．问：是否存在正常数M，对任意给定的正整数n（n≥2），都有+++…+＜M 成立？若存在，求M 的最小值；若不存在，请说明理由．请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分. 22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆ρ=4cosθ与圆ρ=2sinθ交于O ，A 两点．（Ⅰ）求直线OA 的斜率；（Ⅱ）过O 点作OA 的垂线分别交两圆于点B ，C ，求|BC |．23．已知函数f （x ）=|x ﹣1|．（Ⅰ）解不等式：f （x ）+f （x ﹣1）≤2，；（Ⅱ）若a ＞0，求证：f （ax ）﹣af （x ）≤f （a ）．2017年黑龙江省哈尔滨六中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．4﹣i D．4+i【考点】A8：复数求模．【分析】化简复数z，写出z的共轭复数即可．【解答】解：复数=|i+1|+i2016•i=+i=2+i，∴复数z的共轭复数为=2﹣i．故选：A．【点评】本题考查了复数的化简与共轭复数的应用问题，是基础题．2．设a=（sin17°+cos17°），b=2cos213°﹣1，c=．则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GT：二倍角的余弦．【分析】利用条件以及两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式、诱导公式，化简a、b、c，再利用正弦函数的单调性判断a，b，c的大小关系．【解答】解：∵a=（sin17°+cos17°）=sin17°cos45°+cos17°sin45°=sin62°，b=2cos213°﹣1=cos26°=sin64°，c=sin60°=，再根据函数y=sinx在（0°，90°）上单调递增，∴b＞a＞c，故选：A．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角的余弦公式，诱导公式，正弦函数的单调性，属于基础题．3．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞x2；q：“ab＞1“是“a＞1，b＞1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q【考点】2E：复合命题的真假．【分析】命题p：是假命题，例如取x=2时，2x与x2相等．q：由“a＞1，b＞1”⇒：“ab＞1”；反之不成立，例如取a=10，b=．进而判断出结论．【解答】解：命题p：对任意x∈R，总有2x＞x2；是假命题，例如取x=2时，2x 与x2相等．q：由“a＞1，b＞1”⇒：“ab＞1”；反之不成立，例如取a=10，b=．∴“ab＞1“是“a＞1，b＞1”的必要不充分条件，是假命题．∴下列命题为真命题的是￢p∧（￢q），故选：D．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．设变量x，y满足约束条件：，则z=|x﹣2y+1|的取值范围为（）A．[0，4]B．[0，3]C．[3，4]D．[1，3]【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，在平面直角坐标系中画出直线x﹣2y+1=0，由图可知，当x﹣2y+1≥0时，当直线平移至B函数t=x﹣2y+1有最小值﹣4；当x ﹣2y+1＜0时，当直线平移至A函数t=x﹣2y+1有最大值3，取绝对值后再取并集得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣2，﹣2），联立，解得B（﹣1，2），作出直线x﹣2y+1=0如图，由图可知，当x﹣2y+1≥0时，当直线平移至B函数t=x﹣2y+1有最小值﹣4；当x﹣2y+1＜0时，当直线平移至A函数t=x﹣2y+1有最大值3．∴z=|x﹣2y+1|的取值范围为[0，4]．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．5．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（﹣x），当x∈（0，]时，f（x）=（1﹣x），则f（x）在区间（1，）内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f（x）＜0【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据条件推出函数的周期性，利用函数的周期性得：f（x）在（1，）上图象和在（﹣1，﹣）上的图象相同，利用条件、奇偶性、对数函数单调性之间的关系即可得到结论．【解答】解；因为定义在R上的奇函数满足f（x+1）=f（﹣x），所以f（x+1）=﹣f（x），即f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），所以函数的周期是2，则f（x）在（1，）上图象和在（﹣1，﹣）上的图象相同，设x∈（﹣1，﹣），则x+1∈（0，），又当x∈（0，]时，f（x）=（1﹣x），所以f（x+1）=（﹣x），由f（x+1）=f（﹣x）得，f（﹣x）=（﹣x），所以f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x），由x∈（﹣1，﹣）得，f（x）=﹣（﹣x）在（﹣1，﹣）上是减函数，且f（x）＜f（﹣1）=0，所以则f（x）在区间（1，）内是减函数且f（x）＜0，故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件推出函数的周期性是解决本题的关键，综合考查函数性质的综合应用，考查了转化思想．6．执行右面的程序框图，如果输出的a值大于2017，那么判断框内的条件为（）A．k＜9？B．k≥9？C．k＜10？ D．k≥11？【考点】EF：程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出判断框内的条件．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；k=1，a=1，满足条件，执行循环体，a=6，k=3满足条件，执行循环体，a=33，k=5满足条件，执行循环体，a=170，k=7满足条件，执行循环体，a=857，k=9满足条件，执行循环体，a=4294，k=10由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出a的值为4294．可得判断框内的条件为：k＜10？故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．7．在等差数列{a n}中，前n项和为S n，且S2011=﹣2011，a1012=3，则S2017等于（）A．1009 B．﹣2017 C．2017 D．﹣1009【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由等差数列{a n}，S2011=﹣2011，可得S2011=﹣2011==2011a1006，再利用求和公式与性质即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}，S2011=﹣2011，∴S2011=﹣2011==2011a1006，∴a1006=﹣1，a1012=3，则S2017===2017．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．现有语文书第一二三册，数学书第一二三册共六本书排在书架上，语文第一册不排在两端，数学书恰有两本相邻的排列方案种数（）A．144 B．288 C．216 D．360【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论：1、若语文第一册排在3本数学书之间，分3步进行分析：①、将三本数学书分为1﹣2的两组，将两组全排列，②、将语文第一册安排在数学书的两组之间，③、将3本数学书和语文第一册看成一个整体，与语文第二、三册全排列，2、若语文第一册不排在三本数学书之间，也需要分3步进行分析：①、安排语文第二、三册，将其全排列即可，②、安排3本数学书，先将将三本数学书分为1﹣2的两组，再在语文书的3个空位中，任选2个，安排2组数学书，③、安排语文第一册，分别求出每一步的情况数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：1、若语文第一册排在3本数学书之间，分3步进行分析：①、将三本数学书分为1﹣2的两组，有C31=3种分组方法，考虑2本一组的顺序，有2种情况，将两组全排列，有A22=2种顺序，②、将语文第一册安排在数学书的两组之间，有1种情况，③、将3本数学书和语文第一册看成一个整体，与语文第二、三册全排列，有A33=6种情况，此时不同的排法有3×2×2×6=72种排法；2、若语文第一册不排在三本数学书之间，分3步进行分析：①、将语文第二、三册全排列，有A22=2种顺序，排好后有3个空位可用，②、将三本数学书分为1﹣2的两组，有C31=3种分组方法，考虑2本一组的顺序，有2种情况，在3个空位中，任选2个，安排2组数学书，有A32=6种情况，则数学书的安排有3×2×6=36种情况，③、数学书和2本语文书排好后，除去2端，有3个空位可选，在3个空位中，任选1个，安排语文第一册，有C31=3种情况，此时不同的排列方法有2×36×3=216种；综合可得：不同的排列方法有72+216=288种；故选：B．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，关键是分析题意，确定分步分析的步骤．9．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）A．4 B．C．D．2【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据三视图，得直观图是三棱锥，底面积为=2，高为，即可求出它的体积．【解答】解：根据三视图，得直观图是三棱锥，底面积为=2，高为；2=．所以，该棱锥的体积为V=S底面积•h=×故选：B．【点评】本题考查了利用三视图求体积的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．10．已知Rt△ABC，AB=3，BC=4，CA=5，P为△ABC外接圆上的一动点，且的最大值是（）A．B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】以AC的中点为原点，以ACx轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设P的坐标为（cosθ，sinθ），求出点B的坐标，根据向量的坐标和向量的数乘运算得到x+y=sin（θ+φ）+，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案【解答】解：以AC的中点为原点，以ACx轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则△ABC外接圆的方程为x2+y2=2.52，设P的坐标为（cosθ，sinθ），过点B作BD垂直x轴，∵sinA=，AB=3∴BD=ABsinA=，AD=AB•cosA=×3=，∴OD=AO﹣AD=2.5﹣=，∴B（﹣，），∵A（﹣，0），C（，0）∴=（，），=（5，0），=（cosθ+，sinθ）∵=x+y∴（cosθ+，sinθ）=x（，）+y（5，0）=（x+5y，x）∴cosθ+=x+5y，sinθ=x，∴y=cosθ﹣sinθ+，x=sinθ，∴x+y=cosθ+sinθ+=sin（θ+φ）+，其中sinφ=，cosφ=，当sin（θ+φ）=1时，x+y有最大值，最大值为+=，故选：B【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图象和性质，以及直角三角形的问题，考查了学生的分析解决问题的能力，属于难题．11．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为矩形，点E，F在侧棱PA，PB上且PE=2EA，PF=2FB，点M为四棱锥内任一点，则M在平面EFCD上方的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】由题意画出图形，设四棱锥P﹣ABCD的高为h，底面ABCD的面积为S，可得四棱锥的体积，再利用比例关系结合等积法求出多面体ABCDEF的体积，作出得到四棱锥P﹣DCFE的体积，由测度比为体积比得答案．【解答】解：如图，设四棱锥P﹣ABCD的高为h，底面ABCD的面积为S，∴．∵PE=2EA，PF=2FB，∴EF∥AB，则EF∥平面ABCD，且F到平面ABCD的距离为，∴，，=．则多面体ABCDEF的体积为．∴．∴M在平面EFCD上方的概率是．故选：B．【点评】本题考查几何概型，考查多面体体积的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．12．已知f（x）=x2（1nx﹣a）+a，则下列结论中错误的是（）A．∃a＞0，∀x＞0，f（x）≥0 B．∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0C．∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0 D．∀a＞0，∃x＞0，f（x）≤0【考点】2H：全称命题．【分析】先利用导数求出函数f（x）的最小值，再转化为函数f（x）≥0恒成立，构造函数设g（a）=e2a﹣1+a，再利用导数求出a的值，问题的得以解决【解答】解：∵f（x）=x2（1nx﹣a）+a，x＞0，∴f′（x）=x（21nx﹣2a+1），令f′（x）=0，解得x=，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x=，函数有最小值，最小值为f（）=e2a﹣1+a∴f（x）≥f（）=e2a﹣1+a，若f（x）≥0恒成立，只要e2a﹣1+a≥0，设g（a）=e2a﹣1+a，∴g′（a）=1﹣e2a﹣1，令g′（a）=0，解得a=当a∈（，+∞）时，g′（a）＜0，g（a）单调递减，当x∈（0，）时，g′（a）＞0，g（a）单调递增∴g（a）＜g（）=0，∴e2a﹣1+a≤0，当且仅当a=时取等号，存在唯一的实数a=，使得对任意x ∈（0，+∞），f（x）≥0，故A，B，D正确，当a≠时，f（x）＜0，故C错误故选：C【点评】本题考查了利用导数函数恒成立的问题，关键构造函数g（a），属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每题5分.）13．已知f（x）=3cosx﹣4sinx，x∈[0，π]，则f（x）的值域为[﹣5，3] ．【考点】HW：三角函数的最值．【分析】利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，根据x ∈[0，π]，结合三角函数的性质可得值域．【解答】解：f（x）=3cosx﹣4sinx=5sin（x+θ），其中sinθ=＞0，cosθ=＜0，∴，∵x∈[0，π]，∴x+θ∈（，2π）当x+θ=，则f（x）取得最小值为﹣5，当x=0，则f（x）取得最大值为3，答案为：[﹣5，3]．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于中档题．14．在二项式（x2+）5的展开式中，含x项的系数是a，则x﹣1dx=ln10．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】根据二项式的展开式中，含x项的系数是a，求出a的值．根据定积分公式求解定积分即可．【解答】解：二项式为，，由通项公式可得：T r+1=∵含x项，∴r=3，∴含x项的系数为=10．即a=10．那么==lnx|=ln10．故答案为：ln10．【点评】本题主要考查二项式定理通项公式的应用，和定积分的计算．属于基础题．15．如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角，若A+C=180°，AB=6，BC=4，CD=5，AD=5，则四边形ABCD面积是10．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】连结BD，根据余弦定理列出方程解出cosA（或cosC），进而给出sinA，sinC，代入面积公式即可【解答】解：连结BD，在△ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2﹣2AB•ADcosA=61﹣60cosA ， 在△BCD 中，BD 2=BC 2+CD 2﹣2BC•CDcosC=41﹣40cosC ． ∴61﹣60cosA=41﹣40cosC ， ∵A +C=180°， ∴cosA=﹣cosC ．∴cosA=．∴sinA=sinC=．∴四边形ABCD 的面积S=S △ABD +S △BCD =AB ×AD ×sinA +BC ×CD ×sinC=6×5×+×4×5×=10故答案为：10【点评】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．16．已知圆：（x +cosθ）2+（y ﹣sinθ）2=1，直线l ：y=kx ．给出下面四个命题： ①对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 有公共点；②对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 和圆M 相切； ③对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切； ④存在实数k 和θ，使得圆M 上有一点到直线l 的距离为3． 其中正确的命题是 ①② （写出所以正确命题的编号） 【考点】J9：直线与圆的位置关系． 【分析】圆心M （﹣cosθ，sinθ）到直线的距离d==≤1，由此能求出结果．【解答】解：∵圆：（x +cosθ）2+（y ﹣sinθ）2=1恒过定点O （0，0） 直线l ：y=kx 也恒过定点O （0，0）， ∴①正确；圆心M（﹣cosθ，sinθ）圆心到直线的距离d==≤1，∴对任意实数k和θ，直线l和圆M的关系是相交或者相切，∴②正确，③④都错误．故答案为：①②．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2017•香坊区校级二模）已知数列{a n}满足，（n∈N）．+（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{b n}的前n项和S n，求证：．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．）．n≥2【分析】（I）数列{a n}满足，（n∈N+时，a1+3a2+…+3n﹣2a n﹣1=，相减可得：3n﹣1a n=，可得a n．n=1时，a1=．（II），b1=．n≥2时，b n==．利用裂项求和方法与数列的单调性即可得出．）．【解答】（I）解：数列{a n}满足，（n∈N+∴n≥2时，a1+3a2+…+3n﹣2a n﹣1=，相减可得：3n﹣1a n=，∴a n=．n=1时，a1=．综上可得：a n=．（II）证明：，∴b1==．n≥2时，b n==．∴S n=+++…+=+＜．【点评】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法、数列单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•香坊区校级二模）哈六中在2017年3月中旬举办了一次知识竞赛，经过层层筛选，最后五名同学进入了总决赛．在进行笔答题知识竞赛中，最后一个大题是选做题，要求参加竞赛的五名选手从2道题中选做一道进行解答，假设这5位选手选做每一题的可能性均为．（Ⅰ）求其中甲乙2位选手选做同一道题的概率．（Ⅱ）设这5位选手中选做第1题的人数为X，求X的分布列及数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）利用相互独立事件的概率公式，求出甲、乙2名学生选做同一道题的概率；（Ⅱ）确定X的取值，求出相应的概率，即可求出X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示“甲选做第1题”，事件B表示“乙选做第1题”，则“甲选做第2题”为，“乙选做第2题”为；∴甲、乙2位选手选做同一道题的事件为“AB+”，且事件A、B相互独立；∴P（AB+）=P（A）P（B）+P（）P（）=×+（1﹣）×（1﹣）=；（Ⅱ）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，且X～B（5，）；∴P（X=k）=••=•，k=0，1，2，3，4，5；∴变量X的分布列为：X的数学期望为EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=（或EX=np=5×=）．【点评】本题考查了概率知识的运用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与期望计算问题，是中档题．19．（12分）（2017•香坊区校级二模）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，．（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知求解三角形可得BC⊥AC，由平面ACFE⊥平面ABCD，结合面面垂直的性质得BC⊥平面ACFE；（2）建立空间坐标系，令FM=λ（0≤λ≤），根据坐标表示出两个平面的法向量，结合向量的有关运算求出二面角的余弦值关于λ的表达式，再利用函数的有关知识求出余弦的范围．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，∴AB=2，则AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3，∴AB2=AC2+BC2，得BC⊥AC．∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE；（2）解：由（1）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，令FM=λ（0≤λ≤），则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），M （λ，0，1）．=（﹣，1，0），=（λ，﹣1，1）．设=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，由，取x=1，得=（1，，），∵=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量．∴cosθ===．∵0≤λ≤，∴当λ=0时，cosθ有最小值，当λ=时，cosθ有最大值．∴cosθ∈[]．【点评】本题考查平面与平垂直的证明，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的余弦值，是中档题．20．（12分）（2017•香坊区校级二模）己知抛物线C1：x2=2py（p＞0）与圆C2：x2+y2=5的两个交点之间的距离为4．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）设过抛物线C1的焦点F且斜率为k的直线与抛物线交于A，B两点，与圆C2交于C，D两点，当k∈[0，1]时，求|AB|•|CD|的取值范围．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）利用圆C1：x2+y2=5与抛物线C2：x2=2py（p＞0）在第一象限内的交点为R（2，m），即可求m的值及抛物线C2的方程；（Ⅱ）直线的方程为y=kx+1，分别于抛物线、圆的方程联立，求出|AB|，|CD|，利用k∈[0，1]时，即可求|AB|•|CD|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，设抛物线C1：x2=2py（p＞0）与圆C2：x2+y2=5在第一象限内的交点为R（2，m），∴4+m2=5，∵m＞0，∴m=1，将（2，1）代入x2=2py，可得p=2；（Ⅱ）抛物线C1的方程为x2=4y．直线的方程为y=kx+1，联立x2=4y可得x2﹣4kx﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1+x2=﹣4k，x1x2=﹣4联立x2+y2=5可得（1+k2）x2+2kx﹣4=0，设C（x3，y3），D（x4，y4），∴x3+x4=﹣，x3x4=﹣，∴|AB|=•=4（1+k2），|CD|=，∴|AB||CD|=4=×，∵k∈[0，1]，∴k2∈[0，1]，∴|AB||CD|∈[16，24]．【点评】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）（2015•龙岩一模）已知函数f（x）=（e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线4x+3ey+1=0互相垂直．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若对任意x∈（，+∞），（x+1）f（x）≥m（2x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=，T n=1+2[g（）+g（）+g（）+…+g（）]（n=2，3…）．问：是否存在正常数M，对任意给定的正整数n（n≥2），都有+++…+＜M成立？若存在，求M的最小值；若不存在，请说明理由．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出导数，利用条件列出方程，即可求实数a的值；（Ⅱ）转化条件为对恒成立，即对恒成立，，即可得到实数m的取值范围．构造函数，求出t（x）最小（Ⅲ）通过，推出，化简，推出T n=n．然后求解，取n=2m（m∈N*），利用放缩法推出≥，当m趋向于+∞时，趋向于+∞．然后说明结果．【解答】解：（Ⅰ）=依题意曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线4x+3ey+1=0互相垂直．得：，∴a=0，（Ⅱ）对任意的，（x+1）f（x）≥m（2x﹣1）恒成立．等价于xe x﹣m（2x﹣1）≥0对恒成立，即对恒成立令，则m≤t（x）最小∵由t′（x）=0得：x=1或（舍去）当时，t′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，t′（x）＞0∴t（x）在上递减，在（1，+∞）上递增1）=e，∴t（x）最小=t（∴m≤e．（Ⅲ）=，，∴，因此有由，得2T n=2+2[1+1+…+1]=2+2（n﹣1）=2n，∴T n=n．，取n=2m（m∈N*），则==，当m趋向于+∞时，趋向于+∞．所以，不存在正常数M，对任意给定的正整数n（n≥2），都有成立．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值的求法，构造法以及数列求和，放缩法的应用，难度大，考查知识面广．请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分. 22．（10分）（2017•香坊区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆ρ=4cosθ与圆ρ=2sinθ交于O，A两点．（Ⅰ）求直线OA的斜率；（Ⅱ）过O点作OA的垂线分别交两圆于点B，C，求|BC|．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由由，得2cosθ=sinθ，化简即可得出k OA．（Ⅱ）设A的极角为θ，tanθ=2，则sinθ=，cosθ=，把B（ρ1，θ﹣）代入ρ=2cosθ得ρ1．把C（ρ2，θ+）代入ρ=sinθ得ρ2，利用|BC|=ρ1+ρ2，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由，得2cosθ=sinθ，tanθ=2，∴k OA=2．（Ⅱ）设A的极角为θ，tanθ=2，则sinθ=，cosθ=，则B（ρ1，θ﹣），代入ρ=2cosθ得ρ1=2cos（θ﹣）=2sinθ=，C（ρ2，θ+），代代入ρ=sinθ得ρ2=sin（θ+）=cosθ=，∴|BC|=ρ1+ρ2=．【点评】本题考查了极坐标方程的应用、斜率计算、弦长计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（2017•香坊区校级二模）已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2，；（Ⅱ）若a＞0，求证：f（ax）﹣af（x）≤f（a）．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）当a＞0时，求得f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣|a﹣ax|，利用绝对值不等式的性质可得|ax﹣1|﹣|a﹣ax|≤|ax﹣1+a﹣ax|=f（a），从而可证结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|x﹣1|，不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2，即|x ﹣1|+|x﹣2|≤2，∴①，或②，或③，解①求得≤x＜1，解②求得1≤x≤2，解③求得2＜x≤．综合可得，不等式的解集为{x|≤x≤}．（Ⅱ）证明：若a＞0，则f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣a|x﹣1|=|ax﹣1|﹣|ax﹣a|≤|（ax﹣1）﹣（ax﹣a）|=|a﹣1|=f（a），即f（ax）﹣af（x）≤f（a）成立．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，掌握双绝对值不等式的性质，通过分类讨论去掉绝对值符号是解题的关键，考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2017届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
哈三中2016－2017学年度上学期 高三学年期末考试 数学 试卷（理）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知集合{}1,0,1M =-，{}(2)(1)0N x x x =+-<，则M N = A.{}1,0M =- B.{}0,1M = C.{}0M = D.{}1M =- 2.点P 到直线3y =的距离比到点()0,1F -的距离大2，则点P 的轨迹方程为 A.24y x = B.24y x =- C. 24x y = D. 24x y =- 3.下列说法错误的是A.在ABC ∆中，若A B >，则cos cos A B <B.若2b ac =，则b 为,a c 的等比中项 C.若命题p 与p q ∧为真，则q 一定为真D.若:p ()0,x ∀∈+∞，ln 1x x <-，则:p ⌝()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x ≥-4. 已知三个不同的平面,,αβγ，三条不重合的直线,,m n l ，有下列四个命题：①若,m l n l ⊥⊥，则//m n ；②若,αγβγ⊥⊥，则//αβ；③若βαβα⊥⊂⊥则,,//,n n m m ； ④若//,m n ααβ= ，则//m n 其中真命题的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5.已知a =)2,(x ，b )1,2(-=，b a ⊥，则=-b aA ．5B ．52C ．10D ．10 6．已知,31tan ,21)tan(==+ββα则=-)4tan(πα A ．43 B ．43- C ．错误！未找到引用源。
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2017年黑龙江省哈尔滨三中高三理科二模数学试卷
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 已知复数，则
A. 的实部为
B. 的虚部为
C. 的虚部为
D. 的共轭复数为
2. 已知集合，，则集合的子集个数为
A. B. C. D.
3. 对于平面和不重合的两条直线，，下列选项中正确的是
A. 如果，，，共面，那么
B. 如果，与相交，那么，是异面直线
C. 如果，，，是异面直线，那么
D. 如果，，那么
4. 已知随机变量服从正态分布，，则
A. B. C. D.
5. 在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的
概率为
A. B. C. D.
6. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，
竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的，分别为，，则输出的
A. B. C. D.
7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
8. 已知，则
A. B. C. D.
9. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数为有理数
为无理数
，
称为狄利克雷函数，则关于函数有以下四个命题：
①；
②函数是偶函数；
③任意一个非零有理数，对任意恒成立；
④存在三个点，，，使得为等边三角形．
其中真命题的个数是
A. B. C. D.
10. “关于的方程有两个正根”是“方程的曲线是椭圆”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，抛物线
的准线交双曲线左支于，两点，且（为坐标原点），则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
12. 已知函数，，若，图象上分别存在点，，使得
，关于直线对称，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 已知，满足若目标函数的最大值为，则展开式的常数项
为______．
14. 在中，已知，若，则的取值范围______．
15. 已知，则 ______．
16. 已知函数定义域为，若存在常数，使对所有实数都成立，则称函
数为“期望函数”，给出下列函数：①；②；③；④，其中函数为“期望函数”的是______．（写出所有正确选项的序号）
三、解答题（共7小题；共91分）
17. 设是数列的前项和，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
18. 近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）
是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照 AQI 大小分为六级，为优；为良；为轻度污染；为中度污染；为重度污染；大于为严重污染．环保部门记录了年某月哈尔滨市天的 AQI 的茎叶图如下：
（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良的天数；（按这个月总共天计算）（2）现工作人员从这天中空气质量为优良的日子里随机抽取天进行某项研究，求抽取的天中至少有一天空气质量是优的概率；
（3）将频率视为概率，从本月中随机抽取天，记空气质量优良的天数为，求的概率分布列和数学期望．
19. 如图，四棱锥底面为正方形，已知平面，，点为线段上
任意一点（不含端点），点在线段上，且．
（1）求证：直线 平面；
（2）若为线段中点，求直线与平面所成的角的余弦值．
20. 已知圆与轴交于，两点，点为圆上异于，的任意一点，圆在
点处的切线与圆在点，处的切线分别交于，，直线和交于点，设点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）曲线与轴正半轴交点为，则曲线是否存在直角顶点为的内接等腰直角三角形，若存在，求出所有满足条件的的两条直角边所在直线的方程，若不存在，请说明理由．
21. 定义：设为上的可导函数，若为增函数，则称为上的凸函数．
（1）判断函数与是否为凸函数；
（2）设为上的凸函数，求证：若，，则
恒有
成立；
（3）设，，，求证：．22. 圆锥曲线的极坐标方程为：．
（1）以极点为原点，极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系，求曲线的直角坐标方程，并求曲线在直角坐标系下的焦点坐标及在极坐标下的焦点坐标；
（2）直线的极坐标方程为，若曲线上的点到直线的距离最大，求点的坐标（直角坐标和极坐标均可）．
23. （1）已知对于任意非零实数和，不等式恒成
立，试求实数的取值范围；
（2）已知不等式的解集为，若，试比较与的大小．（并说明理由）
答案
第一部分
1. C
2. D
3. A
4. A
5. B
6. C
7. B
8. A
9. A 10. D
11. A 12. B
第二部分
13.
14.
15.
16. ③④
第三部分
17. （1）当时，由，得，
两式相减，得，
所以．
所以．
当时，，，
则．
所以数列是以为首项，公比为的等比数列．
所以．
（2）解法一：由（1）得．
所以①
②
①-②得：
所以．
解法二：由（1）得．
因为，
所以
18. （1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为，空气质量良的天数为，故该样本中空气质量优良的频率为，从而估计该月空气质量优良的天数为．
（2）现工作人员从这天中空气质量为优良的日子里随机抽取天进行某项研究，基本事件总数，抽取的天中至少有一天空气质量是优的对立事件是抽取的天中至少有一天空气质量都不是优，
所以抽取的天中至少有一天空气质量是优的概率：．
（3）由（）估计某天空气质量优良的概率为，
所以的所有可能取值为，，，，且，
，
，
，
，
故的分布列为：因为，．
19. （1）延长，交于点，连接，
，可得：，
平面，平面，
则直线 平面．
（2）由于，，两两垂直，
以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
，则，，，，，
则，平面的法向量为，
设向量与的夹角为，则，
则与平面夹角的余弦值为．
20. （1）设，则处的切线为，
则，，则
则，
曲线的方程；
（2）由于直线不与坐标轴平行或垂直，可设，则，联立整理得，由于恒成立，设两个根为，，则
，同理，，
由知：，得：
①时，得得：或．
②时，得得：或．
综上，共分三种情况
两条直角边所在直线方程为：；
两条直角边所在直线方程为：；
两条直角边所在直线方程为：．
21. （1），，不恒成立，故不是凸函数；，，
，是凸函数；
（2）时，即证：且时，．不妨设，，令，
．
因为，且是递增函数，
所以，即为单调递增函数．
所以，即；
假设时，结论成立，
即，，，，有成立，则时，，，，，有
所以时，结论也成立．
综合以上可得，原结论成立．
（3）令，，，即证：．
成立，
由（）得为凸函数，而，
有
，
而，
同理有：，，
则成立，得证．
22. （1）因为圆锥曲线的极坐标方程为：，
所以曲线的直角坐标方程：，化为，
焦点直角坐标：，，
焦点极坐标：，．
（2）因为直线的极坐标方程为，
所以直线的直角坐标方程为，
曲线的参数方程为，
设，
则到直线的距离，
所以时，曲线上的点到直线的距离最大，
此时解得，，，．
或．
23. （1），当且仅当时取等号，只需：，由于，只需，表示数轴上的点与，的距离之和小于等于，
所以：的取值范围为：．
（2）解得：，，知：，即．。