2020年上海市浦东新区中考数学二模试卷 (含答案解析)

2020年上海市浦东新区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分） 1. 在下列各数：π,−√36,0.23,227,√53,3.1416无理数的个数有( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. 下列根式中，与√2是同类二次根式的是()A. √3B. √4C. √12D. √123. 已知一次函数y =kx +b 的图象经过第一、三、四象限，则k 、b 的取值范围为( )A. k >0、b >0B. k >0、b <0C. k <0、b >0D. k <0、b <04. 一个正多边形的每个外角都等于60°，那么这个正多边形的中心角为( )A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°5. 如图，由下列条件不能得到AB//CD 的是( )A. ∠3 = ∠4B. ∠1 = ∠2C. ∠B + ∠BCD = 180°D. ∠B = ∠56. 已知矩形ABCD 的边AB =6，BC =8，以点B 为圆心作圆，使A ，C ，D 三点至少有一点在⊙B 内，且至少有一点在⊙B 外，则⊙B 的半径r 的取值范围是( )A. r >6B. 6<r <8C. 6<r <10D. 6<r <8或8<r <10二、填空题（本大题共12小题，共48.0分） 7. 函数y =2x−3的自变量x 的取值范围是______．8. 方程√2x +10−x =1的根是______．9. 不等式组{x −2>−32(x −2)≥3x −6的解集是______． 10. 如果一元二次方程2x 2+3x +m =0有两个相等的实数根，那么实数m 的值为________．11. 一只不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为“小于3”的概率为______12. 已知点A(x 1,y 1)和B(x 2,y 2)都在反比例函数y =k x (k <0)的图象上，且x 1<0<x 2，则y 1________y 2.(填“>”或“=”或“<”)13. 某校有560名学生，为了解这些学生每天做作业所用的时间，调查人员在这所学校的全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并把结果制成如图的统计图，根据这个统计图可以估计这个学校全体学生每天做作业时间不少于2小时的人数约为______名．14. 如图，在△ABC 中，点D 在边AC 上，且CD =2AD.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______.(结果用向量a ⃗ 、b ⃗ 的式子表示)15. 如图，BC//DE ，若∠A =35°，∠E =60°，则∠C 等于______16. 如图，小明为了测量校园里旗杆AB 的高度，将测角仪CD 竖直放在距旗杆底部B 点6 m 的位置，在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5 m ，则旗杆AB 的高度约为________m.(精确到0.1 m.参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)17. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，DE ⊥AC ，DE =3，AE =4，CE =6，则BC 的长度为______．18. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BC =2，点D是边AB 上的动点，将△ACD 沿CD 所在的直线折叠至△A′CD 的位置，CA′交AB 于点E.若△A′ED 为直角三角形，则AD 的长为________．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19. 先化简，再求值：(1−1m+2)÷m 2+2m+12m+2，其中m =√2−2．四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）20. 计算：|−3|+(√2−1)0−(13)−121. 已知：如图，AO 是⊙O 的半径，AC 为⊙O 的弦，点F 为AC⏜的中点，OF 交AC 于点E ，AC =8，EF =2．(1)求AO的长；(2)过点C作CD⊥AO，交AO延长线于点D，求sin∠ACD的值．22.为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》若干本，其中每本《三国演义》的价格比每本《水浒传》的价格贵6元，用480元购买《水浒传》本数是用360元购买《三国演义》本数的2倍，求每本《水浒传》的价格．23.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OB．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若AB=2，∠AOB=60°，求BC的长；24.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2ax−3a(a>0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)．(1)求抛物线的对称轴及线段AB的长；(2)抛物线的顶点为P，若∠APB=120°，求顶点P的坐标及a的值；(3)若在抛物线上存在一点N，使得∠ANB=90°，结合图象，求a的取值范围．25.如图1，在菱形ABCD中，AC=2，∠ABC=60°，AC，BD相交于点O．(1)如图1，AH⊥BC，求证：△ABH≌△ACH；(2)如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时(BE>CE)，求CG的长．【答案与解析】1.答案：B解析：此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解：∵−√36=−6，，√53是无理数，共2个，故选B．2.答案：D解析：本题考查了同类二次根式和最简二次根式，根据同类二次根式的定义进行求解即可．解：A．√3与√2不是同类二次根式，故本选项错误；B.√4=2，与√2不是同类二次根式，故本选项错误；C.√12=2√3，与√2不是同类二次根式，故本选项错误；D.√12=√22，与√2是同类二次根式，故本选项正确；故选D．3.答案：B解析：本题主要考查一次函数的图像与性质，一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k>0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一，二，三象限；②当k>0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第一，三，四象限；③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一，二，四象限；④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二，三，四象限.解：∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，∴k>0，b<0，故选B．4.答案：D解析：本题考查了正多边形的中心角计算.理解正多边形的外角的度数与中心角的度数相等是关键．正多边形的一个外角的度数与正多边形的中心角的度数相等，据此即可求解．解：正多边形的一个外角等于60°，则中心角的度数是60°．故选D．5.答案：B解析：本题考查了平行线的判定的应用，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定(①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行)判断即可．解：A.∵∠3=∠4，∴AB//CD，说法正确，故本选项不选；B.∵∠1=∠2，∴AD//BC，不能推出AB//CD，说法错误，故选择此项；C.∵∠B+∠BCD=180°，∴AB//CD，说法正确，故本选项不选；D.∵∠B=∠5，∴AB//CD，说法正确，故本选项不选．故选B．6.答案：C解析：解：因为AB=6，BC=8，所以根据矩形的性质和勾股定理得到：BD=√62+82=10．∵BA=6，BC=8，BD=10，而A，C，D中至少有一个点在⊙B内，且至少有一个点在⊙B外，∴点A在⊙B内，点D在⊙B外．因此：6<r<10．故选：C．先求出矩形对角线的长，然后由A，C，D与⊙B的位置，确定⊙B的半径的取值范围．本题考查的是点与圆的位置关系，根据BA，BC，BD的长以及点A，C，D的位置，确定圆的半径的取值范围．7.答案：x≠3解析：根据分式的意义的条件：分母不等于0，可知：x−3≠0，解得x的范围．主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．解：x−3≠0，解得：x≠3，故答案为x≠3的一切实数．8.答案：x=3解析：解：√2x+10−x=1，√2x+10=1+x，2x+10=(1+x)2，x2=9，解得：x=±3，检验：把x=3代入方程√2x+10−x=1得：左边=右边，所以x=3是原方程的解，把x=−3代入方程√2x+10−x=1得：左边≠右边，所以x=−3不是原方程的解，所以原方程的解为x=3，故答案为：x=3．移项后两边平方，即可得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．9.答案：−1<x≤2解析：解：解不等式x−2>−3，得：x>−1，解不等式2(x−2)≥3x−6，得：x≤2，则不等式组的解集为−1<x≤2，故答案为：−1<x≤2．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．10.答案：98解析：此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．根据一元二次方程2x2+3x+ m=0有两个相等的实数根得到△=9−4×2m=0，求出m的值即可．解：∵一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数，∴△=9−4×2m=0，∴m=9，8．故答案为9811.答案：23解析：解：根据题意可得：标号小于3有1，2，两个球，共3个球，．从中随机摸出一个小球，其标号小于3的概率为是：23．故答案为：23根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P(A)=m n ，难度适中． 12.答案：>解析：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出A 、B 所在的象限是解答此题的关键．先根据反比例函数的解析式判断出该函数图象所在的象限及在每一象限内的增减性，再由x 1<0<x 2，可判断出A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)所在的象限，故可得出结论．解：∵反比例函数y =k x (k <0)∴其函数图象在二、四象限，且在每一象限内y 随x 的增大而增大，∵x 1<0<x 2，∴A 在第二象限，B 点则第四象限，∴y 1>y 2．故答案为>． 13.答案：160解析：本题考查的是用样本估计总体的知识．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．利用总人数560乘以每天做作业时间不少于2小时的同学所占的比例即可求解．解：根据题意，结合统计图知：估计这个学校全体学生每天做作业时间不少于2小时的人数约为560×105+20+10=160人， 故答案为：160．14.答案：13b ⃗ −a ⃗解析：解：∵CD =2AD ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ ， ∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⃗ +13b ⃗ ， 故答案为：13b ⃗−a ⃗ ． 求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 求解即可． 本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 15.答案：25°解析：解：∵BC//DE ，∠E =60°，∴∠CBE =∠E =60°，∵∠A =35°，∴∠C =∠CBE −∠A =60°−35°=25°，故答案为：25°．根据平行线的性质求出∠CBE ，再根据三角形外角性质求出即可．本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质，能根据定理求出∠CBE =∠E 和∠C =∠CBE −∠A 是解此题的关键．16.答案：9.5解析：此题考查了仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．注意数形结合思想的应用.根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．解：过D 作DE ⊥AB ，∵在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为53°，∴∠ADE =53°，∵BC =DE =6m ，∴AE =DE ⋅tan53°≈6×1.33≈7.98m ，∴AB=AE+BE=AE+CD=7.98+1.5=9.48m≈9.5m，故答案为9.5．17.答案：6解析：本题考查了勾股定理的运用以及相似三角形的判定和性质，垂直的定义的运用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先根据勾股定理求得AD=5，再根据△AED∽△ABC，得出DECB =ADAC，即3CB=54+6，进而得出BC．解：∵DE⊥AC，DE=3，AE=4，∴AD=5，∵∠B=90°，DE⊥AC，∴∠B=∠AED，又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，∴DECB =ADAC，即3CB=54+6，∴CB=6．故答案为：6．18.答案：3−√3或2解析：本题主要考查了折叠问题以及含30°角的直角三角形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．分两种情况讨论：当∠A′DE=90°时，△A′ED为直角三角形，当∠A′ED= 90°时，△A′ED为直角三角形，分别依据直角三角形的边角关系，即可得到AD的长．解：如图，当∠A′DE=90°时，△A′ED为直角三角形，∵∠A′=∠A=30°，∴∠A′ED=60°=∠BEC=∠B，∴△BEC是等边三角形，∴BE=BC=2，又∵Rt△ABC中，AB=2BC=4，∴AE=2，设AD=A′D=x，则DE=2−x，∵Rt△A′DE中，A′D=√3DE，∴x=√3(2−x)，解得x=3−√3，即AD的长为3−√3；如图，当∠A′ED=90°时，△A′ED为直角三角形，此时∠BEC=90°，∠B=60°，∴∠BCE=30°，BC=1，∴BE=12又∵Rt△ABC中，AB=2BC=4，∴AE=4−1=3，设AD=A′D=x，则DE=3−x，Rt△A′DE中，A′D=2DE，即x=2(3−x)，解得x=2，即AD的长为2；综上所述，即AD的长为3−√3或2．故答案为3−√3或2．19.答案：解：原式=(m+2m+2−1m+2)÷(m+1)22(m+1)=m+1m+2⋅2m+1=2m+2，当m=√2−2时，原式=√2−2+2=√2．解析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．20.答案：解：原式=3+1−3=1．解析：直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．21.答案：解：(1)∵O是圆心，且点F为AC⏜的中点，∴OF⊥AC，∵AC=8，∴AE=4，设圆的半径为r，即OA=OF=r，则OE=OF−EF=r−2，由OA2=AE2+OE2得r2=42+(r−2)2，解得：r=5，即AO=5；(2)∵∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC=90°，∴∠AOE=∠ACD，则sin∠ACD=sin∠AOE=AEAO =45．解析：本题主要考查垂径定理，锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握垂径定理及其推论、勾股定理和锐角三角函数的定义等知识点．(1)由垂径定理得出AE=4，设圆的半径为r，知OE=OF−EF=r−2，根据OA2=AE2+OE2求解可得；(2)由∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC=90°知∠AOE=∠ACD，从而根据sin∠ACD=sin∠AOE=AEAO可得答案．22.答案：解：设每本《水浒传》的价格为x元，则每本《三国演义》的价格为(x+6)元，依题意，得：480x =2×360x+6，解得：x=12，经检验，x=12是原方程的解，且符合题意．答：每本《水浒传》的价格为12元．解析：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设每本《水浒传》的价格为x元，则每本《三国演义》的价格为(x+6)元，根据数量=总价÷单价.结合用480元购买《水浒传》本数是用360元购买《三国演义》本数的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．23.答案：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2AO，BD=2OB，∵OA=OB，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形；(2)解：∵∠AOB=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=2，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=2OA=4，∠ABC=90°，∴AB2+BC2=AC2，即22+BC2=42，∴BC=√42−22=2√3，∴BC的长为2√3．解析：此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，掌握这些定理与性质是关键．(1)根据四边形ABCD是平行四边形，得到AC=2AO，BD=2OB，根据OA=OB，得到AC=BD，即可得到四边形ABCD是矩形；(2)根据∠AOB=60°，OA=OB，得到△AOB是等边三角形，OA=AB=2，根据四边形ABCD是矩形，得到AC=2OA=4，∠ABC=90°，利用勾股定理得到AB2+BC2=AC2，即22+BC2=42，即可得到BC=√42−22=2√3．24.答案：解：(1)令y=0得：ax2+2ax−3a=0，即a(x+3)(x−1)=0，解得：x=−3或x=1，∴A(−3,0)、B(1,0)．∴抛物线的对称轴为直线x=−1，AB=4．(2)如图1所示：设抛物线的对称轴与x轴交于点H．∵∠APB=120°，AB=4，PH在对称轴上，∴AH=2，∠APH=60°．∴PH=2√33．∴点P的坐标为(−1,−2√33).将点P的坐标代入得：−2√33=−4a，解得a=√36．(3)如图2所示：以AB为直径作⊙H．∵当∠ANB=90°，∴点N在⊙H上．∵点N在抛物线上，∴点N为抛物线与⊙H的交点．∴点P在圆上或点P在圆外．∴HP≥2．∵将x=−1代入得：y=−4a．∴HP=4a．∴4a≥2，解得a≥12．∴a的取值范围是a≥12．解析：(1)令y=0得：ax2+2ax−3a=0，解关于x的方程可求得点A和点B的横坐标，然后可求得AB的长，利用抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴方程；(2)如图1所示，利用抛物线的对称性可知：AH=2，∠APH=60°，然后可求得PH=2√33，从而可得点P的坐标，最后将点P的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值；(3)以AB为直径作⊙H，则点N在⊙H上，当点P在⊙H上或点P在⊙H外时，∠ANB=90°，故H P≥2，接下来，依据HP≥2列不等式求解即可．本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，找出∠ANB=90°的条件是解题的关键．25.答案：解：(1)∵四边形ABCD是菱形，且AC=2，∴AB=BC=2，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=2，∵AH⊥BC，∴∠AHB=∠AHC=90°，在Rt△ABH和Rt△ACH中，{AB=ACAH=AH，∴△ABH≌△ACH(HL)，(2)①△AEF是等边三角形，理由：∵四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠ACD=60°，∵∠EAF=60°，∴∠EAC+∠BAE=∠EAC+∠CAF=60°，∴∠BAE=∠CAF，又∵AB=AC，∴△BAE≌△CAF，∴AE=AF，又∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形，②∵△AEF和△ABC是等边三角形，∴∠AEF=∠ABC=∠ACB=60°，∴∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠GEC=120°，∴∠BAE=∠GEC，∴△AEB∽△EGC，∴BECG =ABEC，又∵EC=14BC=14AB，∴CG=14BE=316BC=38．解析：此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质和等边三角形的性质和判定，还用到三角形的全等和相似，判断三角形全等与相似是解本题的关键．(1)由菱形的性质得到△ABC是等边三角形，进而得到AB=AC，从而用HL判定出△ABH≌△ACH．(2)①由菱形的性质判定△ABC和△ACD是等边三角形，进而判断出△BAE≌△CAF，得到AE=AF即可；②证明△AEB∽△EGC即可得解．。