直线与平面垂直的性质
直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
高中 直线、平面垂直的判定与性质 知识点+例题+练习
教学过程在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.规律方法证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.【训练1】(2013·江西卷改编)教学效果分析教学过程如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.证明：BE⊥平面BB1C1C.考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】(2014·深圳一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝2BC，点D是AB的中点．证明：平面ABC1⊥平面B1CD.规律方法证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也教学效果分析教学过程可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．【训练2】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.考点三平行、垂直关系的综合问题教学效果分析教学过程【例3】(2013·山东卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面P AD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.规律方法线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材．【训练3】(2013·辽宁卷)如图，AB是圆O的直径，P A垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)设Q为P A的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.教学效果分析1．转化思想：垂直关系的转化2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．创新突破6——求解立体几何中的探索性问题【典例】(2012·北京卷)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．[反思感悟] (1)解决探索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．(2)在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误．【自主体验】(2014·韶关模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝12AB＝2，点E为AC中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2.(1)求证：DA⊥BC；(2)在CD上找一点F，使AD∥平面EFB.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b 在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件．2．(2014·绍兴调研)设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列正确命题的序号是________．①若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α；②若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α；③若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β.3.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任一点，则图形中有________对线面垂直．4．若M是线段AB的中点，A，B到平面α的距离分别是4 cm，6 cm，则M到平面α的距离为________．5．(2014·郑州模拟)已知平面α，β，γ和直线l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，给出下列四个结论：①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④α⊥β.其中正确的是________．6.如图，在四棱锥P ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)7．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．8.如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．二、解答题9．(2013·北京卷)如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.10．(2013·泉州模拟)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上．2.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为________．①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.3．(2013·南通二模)如图，已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．二、解答题4．(2014·北京西城一模)。
直线、平面垂直的判定与性质
直线、平面垂直的判定与性质一、基础知识1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直， 就说直线l 与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都则该直线与此垂直于同一个平面的 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直. 2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理一个平面过另一个平则这两个两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面[❷要求一平面只需过另一平面的垂线．]二、常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．考点一直线与平面垂直的判定与性质[典例]如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥P-ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴P A⊥CD，又∵AC⊥CD，且P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.∵AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.∵PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD，且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，∵PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE . [解题技法] 证明线面垂直的4种方法(1)线面垂直的判定定理：l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝P ⇒l ⊥α. (2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. (3)性质：①a ∥b ，b ⊥α⇒a ⊥α，②α∥β，a ⊥β⇒a ⊥α. (4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ⇒l ⊥γ.(客观题可用) [口诀归纳]线面垂直的关键，定义来证最常见， 判定定理也常用，它的意义要记清. 平面之内两直线，两线相交于一点， 面外还有一直线，垂直两线是条件. [题组训练]1．(2019·安徽知名示范高中联考)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝BB 1，AB 1∩A 1B ＝E ，D 为AC 上的点，B 1C ∥平面A 1BD .(1)求证：BD ⊥平面A 1ACC 1；(2)若AB ＝1，且AC ·AD ＝1，求三棱锥A -BCB 1的体积． 解： (1)证明：如图，连接ED ，∵平面AB 1C ∩平面A 1BD ＝ED ，B 1C ∥平面A 1BD ， ∴B 1C ∥ED ，∵E 为AB 1的中点， ∴D 为AC 的中点， ∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC .∵A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴A 1A ⊥BD . 又∵A 1A ，AC 是平面A 1ACC 1内的两条相交直线， ∴BD ⊥平面A 1ACC 1.(2)由AB ＝1，得BC ＝BB 1＝1，由(1)知AD ＝12AC ，又AC ·AD ＝1，∴AC 2＝2，∴AC 2＝2＝AB 2＋BC 2，∴AB ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12，∴V A -BCB 1＝V B 1-ABC ＝13S △ABC ·BB 1＝13×12×1＝16. 2.如图，S 是Rt △ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ，D 为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB＝BC，∴BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.考点二面面垂直的判定与性质[典例](2018·江苏高考)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.[证明](1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB 1⊥平面A 1BC . 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .[解题技法] 证明面面垂直的2种方法[题组训练]1．(2019·武汉调研)如图，三棱锥P -ABC 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，P A ⊥PC ，PB ＝2.求证：平面P AC ⊥平面ABC .证明：取AC 的中点O ，连接BO ，PO . 因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以BO ⊥AC ，BO ＝ 3.因为P A ⊥PC ，所以PO ＝12AC ＝1.因为PB ＝2，所以OP 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 因为AC ∩OP ＝O ， 所以BO ⊥平面P AC . 又OB ⊂平面ABC ， 所以平面P AC ⊥平面ABC .2.(2018·安徽淮北一中模拟)如图，四棱锥P -ABCD 的底面是矩形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且P A ＝AD .求证：(1)AF ∥平面PEC ； (2)平面PEC ⊥平面PCD .证明：(1)取PC 的中点G ，连接FG ，EG ，∵F 为PD 的中点，G 为PC 的中点， ∴FG 为△CDP 的中位线，∴FG ∥CD ，FG ＝12CD .∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， ∴AE ∥CD ，AE ＝12CD .∴FG ＝AE ，FG ∥AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形，∴AF ∥EG ，又EG ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ， ∴AF ∥平面PEC .(2)∵P A ＝AD ，F 为PD 中点，∴AF ⊥PD ， ∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥CD ，又∵CD ⊥AD ，AD ∩P A ＝A ， ∴CD ⊥平面P AD ， ∵AF ⊂平面P AD ， ∴CD ⊥AF . 又PD ∩CD ＝D ， ∴AF ⊥平面PCD . 由(1)知EG ∥AF ， ∴EG ⊥平面PCD ， 又EG ⊂平面PEC ， ∴平面PEC ⊥平面PCD .[课时跟踪检测]A 级1．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a ⊥b 的是( ) A ．a ⊥α，b ∥β，α⊥β B ．a ⊥α，b ⊥β，α∥β C ．a ⊂α，b ⊥β，α∥βD ．a ⊂α，b ∥β，α⊥β解析：选C 对于C 项，由α∥β，a ⊂α可得a ∥β，又b ⊥β，得a ⊥b ，故选C. 2．(2019·湘东五校联考)已知直线m ，l ，平面α，β，且m ⊥α，l ⊂β，给出下列命题： ①若α∥β，则m ⊥l ；②若α⊥β，则m ∥l ； ③若m ⊥l ，则α⊥β；④若m ∥l ，则α⊥β. 其中正确的命题是( )A．①④B．③④C．①②D．①③解析：选A对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确，排除B.对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β.故④正确．故选A.3．已知P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()A．P A⊥BC B．BC⊥平面P ACC．AC⊥PB D．PC⊥BC解析：选C由P A⊥平面ACB⇒P A⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥P A，BC⊥AC，P A∩AC＝A，可得BC⊥平面P AC，所以BC⊥PC，故B、D不符合题意；AC⊥PB显然不成立，故C符合题意．4.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平央ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．5.如图，在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AED．平面PDE⊥平面ABC解析：选D因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面P AE，又DF∥BC，则DF⊥平面P AE，从而平面PDF⊥平面P AE.因此选项B、C均正确．6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________个；与AP垂直的直线有________个．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面P AC，又∵AP⊂平面P AC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：3 17．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．解析：①正确；②正确；满足③的α与β不一定垂直，所以③错误；直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条相交直线垂直，所以④错误．故所有的真命题的序号是①②.答案：①②8．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABC-A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．答案：①③9．(2019·太原模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，P A＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．(1)求证：AD⊥平面PNB；(2)若平面P AD⊥平面ABCD，求三棱锥P-NBM的体积．解：(1)证明：连接BD.∵P A＝PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD.又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BN⊥AD，又PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB.(2)∵P A＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝ 3.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥NB，∴S△PNB＝12×3×3＝32.∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB.又PM＝2MC，∴V P-NBM＝V M-PNB＝23V C-PNB＝23×13×32×2＝23.10.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC∥A1C1，在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点．所以DE∥AC，于是DE∥A1C1，又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥A1C1，又因为A1C1⊥A1B1，A1B1∩AA1＝A1，AA1⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1，因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D，又因为B1D⊥A1F，A1C1∩A1F＝A1，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，所以B1D⊥平面A1C1F，因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.B级1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离． 解：(1)证明：因为P A ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以PO ⊥AC ，且PO ＝2 3. 连接OB ， 因为AB ＝BC ＝22AC ， 所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.所以PO 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 又因为AC ∩OB ＝O ，所以PO ⊥平面ABC . (2)作CH ⊥OM ，垂足为H ，又由(1)可得OP ⊥CH ， 所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.2．(2019·河南中原名校质量考评)如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E ，F 分别是CD ，PC 的中点．求证：(1)BE ∥平面P AD ； (2)平面BEF ⊥平面PCD .证明：(1)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 是CD 的中点， ∴AB ∥DE 且AB ＝DE ， ∴四边形ABED 为平行四边形，∴AD ∥BE ，又BE ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， ∴BE ∥平面P AD .(2)∵AB ⊥AD ，∴四边形ABED 为矩形， ∴BE ⊥CD ，AD ⊥CD ，∵平面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，P A ⊥AD ， ∴P A ⊥底面ABCD ， ∴P A ⊥CD ，又P A ∩AD ＝A ，∴CD⊥平面P AD，∴CD⊥PD，∵E，F分别是CD，PC的中点，∴PD∥EF，∴CD⊥EF，又EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.第六节 直线、平面平行与垂直的综合问题 考点一 立体几何中的探索性问题[典例] (2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧»CD所在平面垂直，M 是»CD上异于C ，D 的点． (1)证明：平面AMD ⊥平面BMC .(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．[解] (1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，所以BC ⊥DM .因为M 为»CD上异于C ，D 的点，且DC 为直径， 所以DM ⊥CM .又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC .因为DM ⊂平面AMD ，所以平面AMD ⊥平面BMC . (2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD . 证明如下： 连接AC 交BD 于O .因为四边形ABCD 为矩形， 所以O 为AC 的中点．连接OP ，因为P 为AM 的中点， 所以MC ∥OP .又MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ， 所以MC ∥平面PBD . [题组训练]1.如图，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P -ABC 的体积；(2)在线段PC 上是否存在点M ，使得AC ⊥BM ，若存在，请说明理由，并求PMMC 的值．解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P -ABC 的高，又P A ＝1，所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝36.(2)在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，证明如下：如图，在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM .由P A ⊥平面ABC ，知P A ⊥AC ， 所以MN ⊥AC .因为BN ∩MN ＝N ，所以AC ⊥平面MBN ， 又BM ⊂平面MBN ， 所以AC ⊥BM .在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32，由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝13.2.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC ＝PD ＝2，E 为PC 的中点，CB ＝3CG .(1)求证：PC ⊥BC ；(2)AD 边上是否存在一点M ，使得P A ∥平面MEG ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥BC .因为四边形ABCD 是正方形，所以BC ⊥CD . 又PD ∩CD ＝D ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD .因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥BC .(2)连接AC ，BD 交于点O ，连接EO ，GO ，延长GO 交AD 于点M ，连接EM ，则P A ∥平面MEG .证明如下：因为E 为PC 的中点，O 是AC 的中点， 所以EO ∥P A .因为EO ⊂平面MEG ，P A ⊄平面MEG ，所以P A ∥平面MEG .因为△OCG ≌△OAM ，所以AM ＝CG ＝23，所以AM 的长为23.考点二 平面图形的翻折问题[典例] (2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝D Q ＝23DA ，求三棱锥Q -ABP的体积．解：(1)证明：由已知可得，∠BAC ＝90°，即BA ⊥AC . 又因为BA ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， 所以AB ⊥平面ACD . 因为AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝3 2. 又BP ＝D Q ＝23DA ，所以BP ＝2 2.如图，过点Q 作Q E ⊥AC ，垂足为E ，则Q E 綊13DC .由已知及(1)可得，DC ⊥平面ABC ， 所以Q E ⊥平面ABC ，Q E ＝1.因此，三棱锥Q -ABP 的体积为V Q -ABP ＝13×S △ABP×Q E ＝13×12×3×22sin 45°×1＝1.[题组训练]1．(2019·湖北五校联考)如图1所示，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝12AB ＝2，E 为AC 的中点，将△ACD 沿AC 折起，使折起后的平面ACD 与平面ABC 垂直，得到如图2所示的几何体D -ABC .(1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)点F 在棱CD 上，且满足AD ∥平面BEF ，求几何体F -BCE 的体积． 解：(1)证明：∵AC ＝AD 2＋CD 2＝22， ∠BAC ＝∠ACD ＝45°，AB ＝4，∴在△ABC 中，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ×AB ×cos 45°＝8， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2＝16，∴AC ⊥BC .∵平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ∩平面ABC ＝AC ， ∴BC ⊥平面ACD .(2)∵AD ∥平面BEF ，AD ⊂平面ACD ，平面ACD ∩平面BEF ＝EF ，∴AD ∥EF ， ∵E 为AC 的中点，∴EF 为△ACD 的中位线，由(1)知，几何体F -BCE 的体积V F -BCE ＝V B -CEF＝13×S △CEF ×BC ， S △CEF ＝14S △ACD ＝14×12×2×2＝12，∴V F -BCE ＝13×12×22＝23. 2．(2018·合肥二检)如图1，在平面五边形ABCDE 中，AB ∥CE ，且AE ＝2，∠AEC ＝60°，CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝57.将△CDE 沿CE 折起，使点D 到P 的位置，且AP ＝3，得到如图2所示的四棱锥P -ABCE .(1)求证：AP ⊥平面ABCE ；(2)记平面P AB 与平面PCE 相交于直线l ，求证：AB ∥l .证明：(1)在△CDE 中，∵CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝57，由余弦定理得CE ＝ (7)2＋(7)2－2×7×7×57＝2.连接AC ，∵AE ＝2，∠AEC ＝60°， ∴AC ＝2. 又AP ＝3，∴在△P AE 中，AP 2＋AE 2＝PE 2， 即AP ⊥AE . 同理，AP ⊥AC .∵AC ∩AE ＝A ，AC ⊂平面ABCE ，AE ⊂平面ABCE ， ∴AP ⊥平面ABCE .(2)∵AB ∥CE ，且CE ⊂平面PCE ，AB ⊄平面PCE ， ∴AB ∥平面PCE .又平面P AB ∩平面PCE ＝l ，∴AB ∥l .[课时跟踪检测]1.如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是圆内接四边形(记此圆为W )，且P A ⊥平面ABCD .(1)当BD 是圆W 的直径时，P A ＝BD ＝2，AD ＝CD ＝3，求四棱锥P -ABCD 的体积．(2)在(1)的条件下，判断在棱P A 上是否存在一点Q ，使得B Q ∥平面PCD ？若存在，求出A Q 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)因为BD 是圆W 的直径，所以BA ⊥AD ， 因为BD ＝2，AD ＝3，所以AB ＝1. 同理BC ＝1，所以S 四边形ABCD ＝AB ·AD ＝ 3. 因为P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，所以四棱锥P -ABCD 的体积V ＝13S 四边形ABCD ·P A ＝233.(2)存在，A Q ＝23.理由如下．延长AB ，DC 交于点E ，连接PE ，则平面P AB 与平面PCD 的交线是PE . 假设在棱P A 上存在一点Q ，使得B Q ∥平面PCD ， 则B Q ∥PE ，所以A Q P A ＝ABAE.经计算可得BE ＝2，所以AE ＝AB ＋BE ＝3，所以A Q ＝23.故存在这样的点Q ，使B Q ∥平面PCD ，且A Q ＝23.2.如图，侧棱与底面垂直的四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AA 1＝4，DC ＝2AB ，AB ＝AD ＝3，点M 在棱A 1B 1上，且A 1M ＝13A 1B 1.已知点E 是直线CD 上的一点，AM ∥平面BC 1E .(1)试确定点E 的位置，并说明理由； (2)求三棱锥M -BC 1E 的体积．解：(1)点E 在线段CD 上且EC ＝1，理由如下：在棱C 1D 1上取点N ，使得D 1N ＝A 1M ＝1，连接MN ，DN ， 因为D 1N ∥A 1M ，所以四边形D 1NMA 1为平行四边形， 所以MN 綊A 1D 1綊AD .所以四边形AMND 为平行四边形，所以AM ∥DN . 因为CE ＝1，所以易知DN ∥EC 1，所以AM ∥EC 1， 又AM ⊄平面BC 1E ，EC 1⊂平面BC 1E ， 所以AM ∥平面BC 1E . 故点E 在线段CD 上且EC ＝1. (2)由(1)知，AM ∥平面BC 1E ，所以V M -BC 1E ＝V A -BC 1E ＝V C 1-ABE ＝13×⎝⎛⎭⎫12×3×3×4＝6. 3．(2019·湖北武汉部分学校调研)如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 是CD 的中点，将△ADE 沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥D 1-ABCE ，其中平面D 1AE ⊥平面ABCE .(1)证明：BE ⊥平面D 1AE ；(2)设F 为CD 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使得MF ∥平面D 1AE ，若存在，求出AMAB的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形且AD ＝DE ＝EC ＝BC ＝2， ∴∠AEB ＝90°，即BE ⊥AE ，又平面D 1AE ⊥平面ABCE ，平面D 1AE ∩平面ABCE ＝AE ， ∴BE ⊥平面D 1AE . (2)当AM AB ＝14时，MF ∥平面D 1AE ，理由如下： 取D 1E 的中点L ，连接FL ，AL ， ∴FL ∥EC ，又EC ∥AB ，∴FL ∥AB ，且FL ＝14AB ，∴M ，F ，L ，A 四点共面， 又MF ∥平面AD 1E ，∴MF ∥AL . ∴四边形AMFL 为平行四边形， ∴AM ＝FL ＝14AB ，AM AB ＝14.4．如图1所示，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为AC 的中点，AE ⊥BD 于点E (不同于点D )，延长AE 交BC 于点F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥A 1-BCD ，如图2所示．(1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF.(2)求证：BD⊥A1F.(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？请说明理由．解：(1)证明：∵D，M分别为AC，FC的中点，∴DM∥EF，又∵EF⊂平面A1EF，DM⊄平面A1EF，∴DM∥平面A1EF.(2)证明：∵EF⊥BD，A1E⊥BD，A1E∩EF＝E，A1E⊂平面A1EF，EF⊂平面A1EF，∴BD⊥平面A1EF，又A1F⊂平面A1EF，∴BD⊥A1F.(3)直线A1B与直线CD不能垂直．理由如下：∵平面BCD⊥平面A1BD，平面BCD∩平面A1BD＝BD，EF⊥BD，EF⊂平面BCD，∴EF⊥平面A1BD，又∵A1B⊂平面A1BD，∴A1B⊥EF，又∵DM∥EF，∴A1B⊥DM.假设A1B⊥CD，∵DM∩CD＝D，∴A1B⊥平面BCD，∴A1B⊥BD，与∠A1BD为锐角矛盾，∴直线A1B与直线CD不能垂直．5．(2019·河南名校联考)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，四边形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，点M在线段EF上．(1)求证：BC⊥平面ACFE；(2)当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．解：(1)证明：在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，所以四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，所以∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，所以AC⊥BC.又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE.(2)当EM ＝33a 时，AM ∥平面BDF ，理由如下：如图，在梯形ABCD 中，设AC ∩BD ＝N ，连接FN .由(1)知四边形ABCD 为等腰梯形，且∠ABC ＝60°，所以AB ＝2DC ，则CN ∶NA ＝1∶2.易知EF ＝AC ＝3a ，所以AN ＝233a .因为EM ＝33a ， 所以MF ＝23EF ＝233a ，所以MF 綊AN ，所以四边形ANFM 是平行四边形，所以AM ∥NF ，又NF ⊂平面BDF ，AM ⊄平面BDF ， 所以AM ∥平面BDF .6.如图所示的五面体ABEDFC 中，四边形ACFD 是等腰梯形，AD∥FC ，∠DAC ＝60°，BC ⊥平面ACFD ，CA ＝CB ＝CF ＝1，AD ＝2CF ，点G 为AC 的中点．(1)在AD 上是否存在一点H ，使GH ∥平面BCD ？若存在，指出点H 的位置并给出证明；若不存在，说明理由；(2)求三棱锥G -ECD 的体积．解：(1)存在点H 使GH ∥平面BCD ，此时H 为AD 的中点．证明如下． 取点H 为AD 的中点，连接GH ， 因为点G 为AC 的中点，所以在△ACD 中，由三角形中位线定理可知GH ∥CD ，又GH ⊄平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以GH ∥平面BCD .(2)因为AD ∥CF ，AD ⊂平面ADEB ，CF ⊄平面ADEB ， 所以CF ∥平面ADEB ，因为CF ⊂平面CFEB ，平面CFEB ∩平面ADEB ＝BE ， 所以CF ∥BE ，又CF ⊂平面ACFD ，BE ⊄平面ACFD ， 所以BE ∥平面ACFD ，所以V G -ECD ＝V E -GCD ＝V B -GCD .因为四边形ACFD 是等腰梯形，∠DAC ＝60°，AD ＝2CF ＝2AC ，所以∠ACD ＝90°， 又CA ＝CB ＝CF ＝1，所以CD ＝3，CG ＝12，又BC ⊥平面ACFD ，所以V B -GCD ＝13×12CG ×CD ×BC ＝13×12×12×3×1＝312. 所以三棱锥G -ECD 的体积为312.第七节 空间角考点一 异面直线所成的角[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( )A.22 B.32 C.52D.72(2)(2019·成都检测)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A.12 B ．－12C.32D ．－32[解析] (1)如图，连接BE ，因为AB ∥CD ，所以AE 与CD 所成的角为∠EAB .在Rt △ABE 中，设AB ＝2，则BE ＝5，则tan ∠EAB ＝BE AB ＝52，所以异面直线AE 与CD 所成角的正切值为52. (2)如图，分别取AB ，AD ，BC ，BD 的中点E ，F ，G ，O ，连接EF ，EG ，OG ，FO ，FG ，则EF ∥BD ，EG ∥AC ，所以∠FEG 为异面直线AC 与BD 所成的角．易知FO ∥AB ，因为AB ⊥平面BCD ，所以FO ⊥平面BCD ，所以FO ⊥OG ，设AB ＝2a ，则EG ＝EF ＝2a ，FG ＝a 2＋a 2＝2a ，所以∠FEG ＝60°，所以异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为12，故选A.[答案] (1)C (2)A [题组训练]1．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝2BB 1，则AB 1与BC 1所成角的大小为( ) A ．30° B ．60° C ．75°D ．90°解析：选D 将正三棱柱ABC -A 1B 1C 1补为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1，连接C 1D ，BD ，则C 1D ∥B 1A ，∠BC 1D 为所求角或其补角．设BB 1＝2，则BC ＝CD ＝2，∠BCD ＝120°，BD ＝23，又因为BC 1＝C 1D ＝6，所以∠BC 1D ＝90°.2.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，(1)求AC 与A 1D 所成角的大小；(2)若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小． 解：(1)如图所示，连接B 1C ，AB 1，由ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，易知A 1D ∥B 1C ，从而B 1C 与AC 所成的角就是AC 与A 1D 所成的角．∵AB 1＝AC ＝B 1C ， ∴∠B 1CA ＝60°.即A 1D 与AC 所成的角为60°.(2)连接BD ，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1，∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD ，∴EF ⊥AC .∴EF ⊥A 1C 1. 即A 1C 1与EF 所成的角为90°.考点二 直线与平面所成的角[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为( )A ．8B ．6 2C ．8 2D ．8 3(2)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为________．[解析] (1)如图，连接AC 1，BC 1，AC . ∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴∠AC 1B 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角，∴∠AC 1B ＝30°.又AB ＝BC ＝2，在Rt △ABC 1中，AC 1＝2sin 30°＝4.在Rt △ACC 1中，CC 1＝AC 21－AC 2＝42－(22＋22)＝22，∴V 长方体＝AB ×BC ×CC 1＝2×2×22＝8 2.(2)如图所示，设O 为△ABC 的中心，连接PO ，AO ，易知PO ⊥平面ABC ，则∠P AO 为P A 与平面ABC 所成的角．S △ABC ＝12×3×3× sin60°＝334，∴V ABC -A 1B 1C 1＝S △ABC ·OP ＝334×OP ＝94，∴OP ＝ 3. 又OA ＝3×32×23＝1，∴tan ∠OAP ＝OPOA＝3，∴∠OAP ＝60°. 故P A 与平面ABC 所成角为60°. [答案] (1)C (2)60° [题组训练]1．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝1，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为( )A.104 B.64 C.105D.65解析：选B 如图，取AC ，A 1C 1的中点分别为M ，M 1，连接MM 1，BM ，过点D 作DN ∥BM 交MM 1于点N ，则易证DN ⊥平面AA 1C 1C ，连接AN ，则∠DAN 为AD 与平面AA 1C 1C 所成的角．在Rt △DNA 中，sin ∠DAN ＝DN AD ＝322＝64.2．(2019·青海模拟)如图，正四棱锥P -ABCD 的体积为2，底面积为6，E 为侧棱PC 的中点，则直线BE 与平面P AC 所成的角为( )A ．60°B ．30°C ．45°D ．90°解析：选A 如图，在正四棱锥P -ABCD 中， 根据底面积为6可得，BC ＝ 6.连接BD 交AC 于点O ，连接PO ，则PO 为正四棱锥P -ABCD 的高，根据体积公式可得，PO ＝1.因为PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BD ，又BD ⊥AC ，PO ∩AC ＝O ，所以BD ⊥平面P AC ，连接EO ，则∠BEO为直线BE 与平面P AC 所成的角．在Rt △POA 中，因为PO ＝1，OA ＝3，所以P A ＝2，OE ＝12P A ＝1，在Rt △BOE 中，因为BO ＝3，所以tan ∠BEO ＝BOOE＝3，即∠BEO ＝60°.故直线BE 与平面P AC 所成角为60°.考点三 二面角[典例] (1)已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角的平面角为________．(2)已知△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝2，M 为AB 的中点，现将△ACM沿CM 折起，得到三棱锥P -CBM ，如图所示．则当二面角P -CM -B 的大小为60°时，ABPB＝________. [解析] (1)如图，O 为正方形ABCD 的中心，M 为BC 的中点，连接PO ，PM ，OM ，∠PMO 即为侧面与底面所成二面角的平面角．设底面边长为a ，则2a 2＝(26)2，∴a ＝23，∴OM ＝ 3.又四棱锥的体积V ＝13×(23)2×PO ＝12，∴PO ＝3，∴tan ∠PMO ＝33＝3，∴∠PMO ＝60°.故所求二面角为60°. (2)如图，取BC 的中点E ，连接AE ，EM ，PE ，设AE ∩CM ＝O ，连接PO ，再设AC ＝2，由∠C ＝90°，tan A ＝2，可得BC ＝2 2. 在Rt △MEC 中，可得tan ∠CME ＝2， 在Rt △ECA 中，可得tan ∠AEC ＝2， ∴∠CME ＋∠AEM ＝90°，∴AE ⊥CM ，∴PO ⊥CM ，EO ⊥CM ，∠POE 即为二面角P -CM -B 的平面角，∴∠POE ＝60°. ∵AE ＝22＋(2)2＝6，OE ＝1×sin ∠CME ＝63，∴PO ＝AO ＝263. 在△POE 中，由余弦定理可得， PE ＝⎝⎛⎭⎫2632＋⎝⎛⎭⎫632－2×263×63×12＝2，∴PE 2＋CE 2＝PC 2，即PE ⊥BC . 又∵E 为BC 的中点，∴PB ＝PC ＝2. 在Rt △ACB 中，易得AB ＝23，∴ABPB ＝ 3.[答案] (1)60° (2) 3[题组训练]1．已知二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．120°D ．60°解析：选D 如图，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，过A 在平面ABD 内作AE∥BD ，过D 作DE ∥AB ，连接CE ，所以DE ＝AB 且DE ⊥平面AEC ，∠CAE 即二面角的平面角．在Rt △DEC 中，CD ＝217，DE ＝4，则CE ＝213，在△ACE 中，由余弦定理可得cos ∠CAE ＝CA 2＋AE 2－CE 22CA ×AE ＝12，所以∠CAE ＝60°，即所求二面角的大小为60°. 2.如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在平面，C 是圆周上不同于A ，B 两点的任意一点，且AB ＝2，P A ＝BC ＝3，则二面角A -BC -P 的大小为________．解析：因为AB 为⊙O 的直径，所以AC ⊥BC ，又因为P A ⊥平面ABC ，所以P A ⊥BC ，因为AC ∩P A ＝A ，所以BC ⊥平面P AC ，所以BC ⊥PC ，所以∠PCA 为二面角A -BC -P 的平面角．因为∠ACB ＝90°，AB ＝2，P A ＝BC ＝3，所以AC ＝1，所以在Rt △P AC 中，tan ∠PCA ＝P A AC＝ 3.所以∠PCA ＝60°.即所求二面角的大小为60°.答案：60°[课时跟踪检测]1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，C 1D 1的中点，则A 1B 1与平面A 1EF 所成角的正切值为( )A ．2 B. 2 C ．1D. 3解析：选B A 1B 1与平面A 1EF 所成的角就是∠B 1A 1C ，tan ∠B 1A 1C ＝B 1C A 1B 1＝ 2.2．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝435，那么二面角A -BD -P的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：选A 作AO ⊥BD 交BD 于点O ，∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BD . ∵P A ∩AO ＝A ，∴BD ⊥平面P AO ，∴PO ⊥BD ，∴∠AOP 即为所求二面角A -BD -P 的大小． ∵AO ＝AB ·AD BD ＝125，∴tan ∠AOP ＝AP AO ＝33，故二面角A -BD -P 的大小为30°.3.如图，空间四边形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝6，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，且异面直线AC 与BD 所成的角为90°，则MN 的长度为( )A ．5B ．6C ．8D ．10 解析：选A 如图，取AD 的中点P ，连接PM ，PN ，则PM ∥BD ，PN ∥AC ，PN ＝12AC ＝4，PM ＝12BD ＝3，∴∠MPN 即为异面直线AC 与BD 所成的角， ∴∠MPN ＝90°，∴MN ＝5.故选A.4．已知AB ∥平面α，AC ⊥平面α于点C ，BD 是平面α的斜线，D 是斜足，若AC ＝9，BD ＝63，则BD 与平面α所成的角的大小为________．解析：如图，过B 作BE ⊥平面α，垂足为E ，则BE ＝9.连接DE ，则∠BDE 为BD 与平面α所成的角．在Rt △BED 中，sin ∠BDE ＝BEBD ＝32，所以∠BDE ＝60°. 答案：60°5．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．解析：如图，∵SA 与圆锥底面所成角为45°， ∴△SAO 为等腰直角三角形．则SO ＝r ，SA ＝SB ＝2r . 在△SAB 中，cos ∠ASB ＝78，∴sin ∠ASB ＝158， ∴S △SAB ＝12SA ·SB ·sin ∠ASB＝12×(2r )2×158＝515， 解得r ＝210，∴SA ＝2r ＝45，即母线长l ＝45， ∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×210×45＝402π. 答案：402π6．已知边长为2的正方形ABCD 的四个顶点在球O 的球面上，球O 的体积V 球＝1605π3，则OA 与平面ABCD 所成的角的余弦值为________．解析：如图，过点O 作OM ⊥平面ABCD ，垂足为点M ，则点M 为正方形ABCD 的中心．∵正方形ABCD 的边长为2， ∴AC ＝22，∴AM ＝ 2.∵V 球＝43πr 3＝1605π3，∴球O 的半径OA＝r ＝25，∴OA 与平面ABCD 所成的角的余弦值为 cos ∠OAM ＝AM OA ＝225＝1010.答案：10107.(2018·天津高考)如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB ＝2，AD ＝23，∠BAD ＝90°.(1)求证：AD ⊥BC ；(2)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； (3)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．解：(1)证明：因为平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，AD ⊥AB ，AD ⊂平面ABD ，所以AD ⊥平面ABC . 因为BC ⊂平面ABC ，(2)取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND . 又因为M 为棱AB 的中点， 所以MN ∥BC .所以∠DMN (或其补角)为异面直线BC 与MD 所成的角． 在Rt △DAM 中，AD ＝23，AM ＝1， 所以DM ＝AD 2＋AM 2＝13. 因为AD ⊥平面ABC ，所以AD ⊥AC . 在Rt △DAN 中，AN ＝1， 所以DN ＝AD 2＋AN 2＝13. 在等腰三角形DMN 中，MN ＝1， 可得cos ∠DMN ＝12MN DM ＝1326.所以异面直线BC 与MD 所成角的余弦值为1326. (3)连接CM .因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点， 所以CM ⊥AB ，CM ＝ 3.因为平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，CM ⊂平面ABC ， 所以CM ⊥平面ABD ，所以∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角． 在Rt △CAD 中，CD ＝AC 2＋AD 2＝4. 在Rt △CMD 中，sin ∠CDM ＝CM CD ＝34.所以直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为34. 8．(2019·湖北八校联考)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝3，点E ，F 分别在线段AB ，AC 上，且EF ∥BC ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，使得二面角P -EF -B 的大小为60°.(1)求证：EF ⊥PB ；(2)当点E 为线段AB 的靠近B 点的三等分点时，求四棱锥P-EBCF 的侧面积．解：(1)证明：在Rt △ABC 中，∵AB ＝BC ＝3，∴BC ⊥AB .∵EF ∥BC ，∴EF ⊥AB ，翻折后垂直关系没变，仍有EF ⊥PE ，EF ⊥BE ， 又PE ∩BE ＝E ，∴EF ⊥平面PBE ，∴EF ⊥PB . (2)∵EF ⊥PE ，EF ⊥BE ，∴∠PEB 是二面角P -EF -B 的平面角， ∴∠PEB ＝60°，又PE ＝2，BE ＝1，由余弦定理得PB ＝3，∴PB 2＋BE 2＝PE 2，∴PB ⊥BE ，∴PB ，BC ，BE 两两垂直， ∴△PBE ，△PBC ，△PEF 均为直角三角形． 由△AEF ∽△ABC 可得，EF ＝23BC ＝2，S △PBC ＝12BC ·PB ＝332，S △PBE ＝12PB ·BE ＝32，S △PEF ＝12EF ·PE ＝2.在四边形BCFE 中，过点F 作BC 的垂线，垂足为H ， 则FC 2＝FH 2＋HC 2＝BE 2＋(BC －EF )2＝2，∴FC ＝ 2.在△PFC 中，FC ＝2，PC ＝BC 2＋PB 2＝23，PF ＝PE 2＋EF 2＝22， 由余弦定理可得cos ∠PFC ＝PF 2＋FC 2－PC 22PF ·FC ＝－14，则sin ∠PFC ＝154，S △PFC ＝12PF ·FC sin ∠PFC ＝152. ∴四棱锥P -EBCF 的侧面积为S △PBC ＋S △PBE ＋S △PEF ＋S △PFC ＝2＋23＋152.。
直线与平面垂直的性质定理
反证法β a否定结b 论b’
c α 正确推o理
导出矛盾 肯定结论
天水一中（麦积校区）高一数学组
线面垂直的性质定理：
垂直于同一平面的两直线互相平行.
图形语言：
a ,
符号语言：
b
a // b
a
b
α
简 称： 线面垂直
线线平行
作 用： 证明空间中直线与直线的平行 定揭理示揭了示了“什平么行?”与“垂直”的内在联系
C1 B1
C B
D1 A1
D A
我们把上述这些例子抽象概 括，得到一个数学猜想
猜想：直线a，b都垂直于平面α，那么a
a⊥α, b⊥α
a // b
问题：如何证明线与线平行？
b
a
b
O
ab
aa b' bb
α αA αα
O
B
Oc
问题：直线与直线有几种位置关系？
天水一中（麦积校区）高一数学组
已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
③(4)a ,b ,则b a
④(2)a //, a b,则b
理论迁移
例 1: 已知 l,CA 于点A，CB 于点B，a , a AB,
求证：a // l .
C β
B
α
l
A
a
课堂小结：
（1）本节学习了什么性质定理，其内容是什么？
（2）从定理的推导证明过程中，你收获了什么？
线面垂直的性质小结：
1. 直线和平面垂直的定义
一直线垂直一平面 这条直线垂直于该平面内的所有直线
2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条 也垂直于同一个平面
垂直的性质定理
1. 直线和平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面内的任何 一条直线都垂直,则称这条直线和这个平 面垂直.其中直线叫做平面的垂线,平面叫 做直线的垂面.交点叫做垂足.
l
α A
2.直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，则该直线与此平面垂直。 一相交两垂直
b a b A l la l b
a b
α
总结提练
直线和平面垂直的性质定理
如果两条直线同垂直于一个平面， 那么这两条直线平行。
a a / /b b
α
作用：证两条直线平行
a
b
性质定理的应用
判断下列命题的正误。 （1）平行于同一直线的两条直线互相平行（
√
）
（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行（×） （3）平行于同一平面的两条直线互相平行（×） （4）垂直于同一平面的两条直线互相平行（
已知:平面α⊥平面β,α∩β＝l,则
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β （ ×）
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β （ ×）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此 垂线必垂直于平面β（ ）
√
例1.如图，长方体ABCD A ' B ' C ' D '中，MN 在平面BCC ' B '内， MN BC于点M .判断MN 与AB的位置关系，并说明理由。
面面关系 面面平行 线面关系 线面平行 线线关系 线线平行
注意辅助线的作用
空间问题平面化
面面垂直
线面垂直 线线垂直
a
l
a
A
b
线线垂直
直线与平面垂直的性质(共26张PPT)
同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.
都A．垂1直的直线有_______∴条B．E2F⊥B1(C.又)EF⊥AC，且AC∩B1C＝C，
2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F
D1
〔1〕a，b同垂直于正方体一个面； A 1
〔2〕a，b分别在正方体两个相对的
面内且共面；
〔3〕a，b平行于同一条棱.
D A
C1 B1
C B
例1 如图α∩β=l，CA⊥α于点A，CB⊥β于点B，
a,aAB求,证：a∥l.
C β
分析：
B
l 平 面 A B C ,a 平 面 A B C .
α
l
A
a
错误的画“×〞.
(1)垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
()
(2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
(
(3)一条直线在平面内，另一条直线和这个平面垂直，那么
×
)√
这两条直线互相垂直.
()
√
3.直线 和平a ,面b ，且
a那b么,a与, b
的位置关系是_____b______或 __b_∥___ .
()
同理DD1⊥平面B1C1D1，那么l∥DD1.
1．线面垂直的性质给我们提供了证明线线平行的方法.
∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，
[一点通] 1．线面垂直的性质给我们提供了证明线线平行的方法. 2．证明线线平行的方法 (1)a∥c，b∥c⇒a∥b. (2)a∥α，a β，β∩α＝b⇒a∥b. (3)α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. (4)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
直线、平面垂直的判定及其性质
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质线面垂直→线线垂直：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。
【线面垂直定义】线线垂直→线面垂直：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
【判定】线面垂直→线线平行：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
【性质】线面垂直→面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
【判定】面面垂直→线面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
【性质】三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
一、选择题1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】直线l与平面α内两条相交直线都垂直，是线面垂直判定定理的条件，故为充要条件．【答案】 C2．空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( ) A．面ABD⊥面BDC B．面ABC⊥面ABDC．面ABC⊥面ADC D．面ABC⊥面BED【解析】在等腰三角形ABC、ADC中，E为底边AC的中点，则BE⊥AC，DE⊥AC.又∵BE∩DE＝E，∴AC⊥面BDE，故面ABC⊥面BDE，面ADC⊥面BDE.【答案】 D3．对两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面α，使得 ( )A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α【解析】当a，b异面时，A不成立；当a，b不平行时，C不成立；当a，b不垂直时，D不成立．故选B.【答案】 B4．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直【解析】在平面α内有无数条彼此平行的直线与直线m垂直，与直线m垂直的直线可能与平面α平行，与直线m平行的平面可能与平面α垂直．故A，C，D错误．【答案】 B5．设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立．．．的是( )A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c【解析】α⊥β，b⊂α，b不一定垂直于β.故C错误．【答案】 C6．命题p：若平面α⊥β，平面β⊥γ，则必有α∥γ；命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则必有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A．命题“p且q”为真 B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假 D．命题“綈p且綈q”为假【解析】命题p，命题q皆为假，所以命题C正确．【答案】 C7．如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM 垂直于△ABC 所在的平面，那么( )A ．PA ＝PB >PCB ．PA ＝PB <PCC ．PA ＝PB ＝PCD ．PA ≠PB ≠PC【解析】 ∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM ，又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ，故PA ＝PB ＝PC .【答案】 C二、填空题8．m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α.其中真命题的序号是________．【解析】 由平面平行的传递性知①正确，由面面垂直的判定定理知③正确．【答案】 ①③9．P 为△ABC 所在平面外一点，AC ＝2a ，连接PA 、PB 、PC ，得△PAB 和△PBC 都是边长为a 的等边三角形，则平面ABC 和平面PAC 的位置关系为________．【解析】如图所示，由题意知PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝BC ＝a ，取AC 中点D ，连接PD 、BD ，则PD ⊥AC ，BD ⊥AC ，则∠BDP 为二面角P －AC －B 的平面角，又∵AC ＝2a ，∴PD ＝BD ＝22a ， 在△PBD 中，PB 2＝BD 2＋PD 2，∴∠PDB ＝90°.【答案】 垂直10．(精选考题·四川高考)如图所示，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________________________________________________________________________．【解析】 如图，过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线，垂足为D ，连接AD ，由线面垂直关系可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角α－l －β的平面角，∴∠ADC ＝60°.连接CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角．设AD ＝2，则AC ＝3，CD ＝1，AB ＝AD sin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34. 【答案】34 三、解答题11．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面ABE .【证明】 (1)在四棱锥P －ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC .而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC, ∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD ，而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB .又∵AB ⊥AD 且PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD ，而PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°.(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．【解析】 (1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC .由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PCD .∵PC ⊂平面PCD ，∴PC ⊥BC .(2)如图，连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h .∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°.从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1.由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13.∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC .又PD ＝DC ＝1，∴PC ＝PD 2＋DC 2＝ 2.由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22.由V ＝13S △PBC h ＝13×22h ＝13，得h ＝ 2.因此点A 到平面PBC 的距离为 2.。
直线与平面垂直的性质
分析： 分析： 小题， 第1小题，证明直线与平面垂 小题 常用的方法是判定定理； 直，常用的方法是判定定理； 小题， 第2小题，如果用定义来求点 小题 到平面的距离， 到平面的距离，因为体现距离的 垂线段无法直观地画出，因此， 垂线段无法直观地画出，因此， 常常将这样的问题转化为直线到 平面的距离问题． 平面的距离问题．
2．思考 安装日光灯时，怎样才能使灯管和天棚、地板平行？ 安装日光灯时，怎样才能使灯管和天棚、地板平行？ 只要两条吊线等长． 只要两条吊线等长． 转化为数学模型是， 转化为数学模型是， 如图1-76已知：直线 上A、B两点到平面 的距离相 已知： 两点到平面α的距离相 如图 已知 直线l上 、 两点到平面 求证： ∥ ． 等，求证：l∥α．
唯一性（ 唯一性（一）
过一点有且只有一条直线和已知平面垂直
m A
α
唯一性（ 唯一性（二）
过一点有且只有一个平面和已知直线垂直
m
α
A
B
线线平行的性质定理
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面， 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面， 那么另一条也垂直于同一个平面． 那么另一条也垂直于同一个平面． 相关数学语言为 ：若a∥b，且a⊥α，则b⊥α． ∥ ， ⊥ ， ⊥ ．
解： （1）连结BD交AC于O， ∵E，F是正方形ABCD边AD，AB的中点，AC⊥BD， ∴EF⊥AC．
∵AC∩GC＝C， ∴EF⊥平面GMC． （2）可证BD∥平面EFG，由例题2，正方形中心O到平面EFG
六、练习 已知矩形ABCD的边长AB 6cm，BC＝4cm， ABCD的边长AB＝ 1．已知矩形ABCD的边长AB＝6cm，BC＝4cm，在CD 上截取CE 4cm， BE为棱将矩形折起 CE＝ 为棱将矩形折起， 上截取CE＝4cm，以BE为棱将矩形折起，使△BC′E 的高C′F⊥平面ABED C′F⊥平面ABED， 的高C′F⊥平面ABED，求： C′到平面ABED的距离 到平面ABED的距离； （1）点C′到平面ABED的距离； C′到边AB的距离 到边AB的距离； （2）C′到边AB的距离； C′到AD的距离 的距离． （3）C′到AD的距离．
直线、平面垂直的判定与性质
2021年新高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》直线、平面垂直的判定与性质1．直线与平面垂直(1)定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2．直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．(2)范围：⎣⎡⎦⎤0，π2.3．平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α概念方法微思考1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？提示垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面．2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？提示垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(×)(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(√)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(√)(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(×)题组二教材改编2．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β。
直线、平面垂直判定及其性质
直线、平面垂直的判定及其性质1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．直线与平面内的任意一条直线都垂直。
②利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一直线的两平面平行．2．斜线和平面所成的角斜线：一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线。
斜线和平面的交点叫做斜足。
斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．3．二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱。
这个半平面叫做二面角的面。
4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法：当两个平面所成的二面角的平面角为90 时，两个平面互相垂直。
②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．(2)平面与平面垂直的性质 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．5.垂直问题的转化关系−−−→−−−→⊥⊥⊥←−−−←−−−判定判定性质性质线线线面面面6.证法(1)证明线线垂直的方法①定义：两条直线所成的角为90°；②平面几何中证明线线垂直的方法；③线面垂直的性质a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ；④线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a⊥b .(2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α；②判定定理1： ⎭⎬⎫m 、n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； ③判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；④面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β.(3)证明面面垂直的方法①定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；②判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β.相关习题：1．下列条件中，能判定直线l ⊥平面α的是( )．A ．l 与平面α内的两条直线垂直B ．l 与平面α内无数条直线垂直C ．l 与平面α内的某一条直线垂直D ．l 与平面α内任意一条直线垂直2．在空间中，下列命题正确的是( )．A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行3．用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b .其中真命题的序号是( )．A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④4．设a 、b 、c 表示三条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是( )．A. ⎭⎬⎫c ⊥αα∥β⇒c ⊥βB. ⎭⎬⎫b ⊂β，a ⊥b c 是a 在β内的射影⇒b ⊥cC. ⎭⎬⎫b ∥c b ⊂αc ⊄α⇒c ∥α D. ⎭⎬⎫a ∥αb ⊥a ⇒b ⊥α5．如图，已知PA ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数为______。
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b
α
思考2:设a，b为直线，α 为平面， 若a⊥α ，b//α ，则a与b的位置关 系如何？为什么？
b
a
l
α
思考3:设l为直线，α ，β 为平面， 若l⊥α ，α //β ，则l与β 的位置关 系如何？为什么？
l
b α β a
思考4:设l为直线，α 、β 为平面， 若l⊥α ，l⊥β ，则平面α 、β 的位 置关系如何？为什么？
P E N A M B D
PA
C
作业:
P71练习：1，2.（做书上）
l α
β
理论迁移
例1 如图，已知 l , CA , 于点A，CB 于点B， , a AB, a 求证：a // l .
β B α l A a
C
例2 如图，已知 a b, b , a . 求证： // . a
β
b
l
A
a
α
B
例3 如图，已知 PA 矩形ABCD所 在平面，M、N分别是AB、PC的中点 求证： （1） MN CD; （2）若 PDA 45，求证：MN 面PCD
C1 B1 C B A A1 D D1
线面垂直的性质
线面垂直性质定理： 垂直于同一个平面的两条 直线平行。 b a
a a // b b
A
B
知识探究（二）直线与平面垂直的性质探究
思考1:设a，b为直线，α 为平面， 若a⊥α ，b//a，则b与α 的位置关 系如何？为什么？
直线与平面、平面 与平面垂直的性质
探究新知
回答: 两垂直平面中,
一个平面内的直线与另 一个平面的有哪些位置 关系?
b
l
b b 究（一）直线与平面垂直的性质定理
思考1:如图，长方体ABCD—A1B1C1D1 中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线 与底面ABCD的位置关系如何？它们 彼此之间具有什么位置关系？