排列组合中的“平均分组”与“不平均分组”
排列组合中分组(分堆)与分配问题
太奇MBA 数学助教李瑞玲一．分组（分堆）与分配问题将n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同的对象，称为分配问题，又分为定向分配和不定向分配两种问题。
将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题。
分组问题有不平均分组，平均分组，部分平均分组三情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的，而后者即使两组的元素个数相同，但因所要分配的对象不同，仍然是可区分的。
对于后者必须先分组后排列。
一．基本的分组问题例1.六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每组两本（均分三组）（平均分组问题）（2）一组一本，一组两本，一组三本（不平均分组问题）（3）一组四本，另外两组各一本（部分平均分组问题）分析：（1）分组和顺序无关，是组合问题。
分组数为90222426=C C C ,而这90种分组方法实际上重复了6次。
现把六本不同的书标上6,5,4,3,2,1六个号码，先看一下这种情况：（1,2）（3,4）（5,6）（1,2）（5,6)(3,4)(3,4)(1,2）（5,6）（3,4）（5,6）（1,2）（5,6）（1,2）（3,4）（5,6）（3,4）（1,2）由于书是均匀分组的，三组的本数都一样，又与顺序无关，所以这种情况下这六种分法是同一种分法，于是可知重复了6次。
以上的分组实际上加入了组的顺序，同理其他情况也是如此，因此还应取消分组的顺序，即除以33P ,于是最后知分法为1569033222426==P C C C .(2)先分组，分组方法是60332516=C C C ，那么还要不要除以33P ???（很关键的问题）由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有60332516=C C C 。
（3）先分组，分组方法是30111246=C C C ，这其中有没有重复的分法???(需要好好考虑）现还把六本不同的书标上6,5,4,3,2,1六个号码，先看以下情况1）先取四本分一组，剩下的两本，一本一组，情况如下（1,2,3,4）56（1,2,3,4）652）先取一本分一组，再取四本分一组，剩余的一本为一组，情况如下5（1,2,3，4）66（1,2,3,4）53）先取一本分一组，再取一本为一组，剩下的四本为一组，情况如下56（1,2,3,4）65（1,2,3,4）由此可知每一种分法重复了2次，原因是其中两组的的书的本数都是一本，这两组有了顺序，需要把分组的顺序取消掉，而四本的那一组，由于书的本数不一样，不可重复，故最后的结果为1523022111246==P C C C .通过以上三个小题的分析，可以得出分组问题的一般结论如下：一般地，将n 个不同的元素分成p 组，各组内元素个数分别为p m m m ,,,21⋯，其中k 组内元素个数相等，那么分组方法数为()kk mm m m m m n m m n m n P C C C C pp i i ⋯⋯⋯121211−+++−−，即选完元素后要除以元素相同的总组数的全排列！三．基本的分配问题1.定向分配问题例2六本不同的书，分给甲乙丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分法？（1）甲两本，乙两本，丙两本（2）甲一本，乙两本，丙三本（3）甲四本，乙一本，丙一本分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的，属于分配问题中的定向分配问题。
(完整版)排列组合知识点总结典型例题及解析
排列组合知识点总结 +典型例题及答案解析一．根根源理1．加法原理：做一件事有n 类方法，那么完成这件事的方法数等于各样方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，那么完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或地址赞同重复使用，求方法数常常用根根源理求解。
二．排列：从n 个不相同元素中，任取m〔 m≤ n 〕个元素，依照必然的序次排成一列，叫做从 n个不相同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A n m .1. 公式： 1. A n m n n 1 n 2 ⋯⋯ n m 1n!n m !2.规定： 0!1(1) n!n ( n 1)!,( n 1) n! (n 1)!(2)n n! [( n 1) 1] n! (n 1) n! n! (n 1)!n! ；(3)n n 1 1n1111(n1)!(n1)!( n1)!(n 1)!n!( n 1)!三．组合：从 n 个不相同元素中任取m〔m≤n〕个元素并组成一组，叫做从n 个不相同的 m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作Cn 。
1. 公式：C n m A n m n n 1 ⋯⋯ n m1n!定： C n01A m m m!m! n m !2.组合数性质： C n m C n n m，C n m C n m 1 C n m1， C n0 C n1⋯⋯ C n n2n①；②；③；④注： C r r C r r1C r r2L C n r1C n r C r r11C r r1C r r2 L C n r1C n r C r r21C r r2L C n r1 C n r C n r11假设C n m1C n m2 m1 =m 2或 m1+m 2n四．办理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事〔审题〕②有序还是无序③分步还是分类。
2．解排列、组合题的根本策略〔1〕两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题，先从整体考虑，再把不吻合条件的全部状况去掉。
排列组合中的分组、分派问题
排列组合中的分组、分派问题学习目标：1、体会分组、分派问题的联系与区别2、体会算两次思想在平均分组问题中的应用学习进程:例1：（1）把4本不同的书平均分给2个人，有几种分法？（2）把4本不同的书平均分成2堆，有几种分法？分析：（1）从人的角度：第1人有24C 种，第2人有22C 种，按照分步乘法原理得分法数2224C C N ⋅=从书的角度：先把书平均分成2堆，再把书进行排队，把书平均分成2堆有3种223A N ⋅= （2）把书平均分成2堆有3种，注意：不是24C ，而是2224A C 例2：（1）把6本不同的书平均分给3个人，有几种分法？（2）把6本不同的书平均分成3堆，有几种分法？（3）把6本不同的书分给3个人，其中一人3本，一人2本，一人1本，有几种分法？（4）把6本不同的书分成3堆，其中一堆3本，一堆2本，一堆1本，有几种分法？ 分析：（1）的本质是平均分派问题（2）的本质是平均分组（3）的本质是不平均分派（4）的本质是不平均分组从人的角度去分析（1）：第1人有26C 种，第2人有24C 种，第3人有22C 种，按照分步乘法原理得分法数222426C C C N ⋅⋅= 从书的角度：先把书平均分成3堆，再把书进行排队，把书平均分成3堆的方式数可用列举法，但数字大时要找好方式。
现设把6本书平均分成3堆得方式数为x ，把3堆书排队的方式数为33A 。
按照算两次取得结果一致得：22242633C C C A x ⋅⋅=⋅“平均分组”对学生来讲是难点。
练习1：现有9本不同的书，求下列情况下各有多少种不同的分法？（1）分成3组，一组4本，一组3本，一组2本（1260）（2）分给3个人，一人4本，一人3本，一人2本（7560）（3）平均分成3组（280）练习2:4个不同的球，4个不同的盒子，把球全数放入盒内（1）恰有1个盒子不放球，共有几种方式？114（2）恰有一个盒子放2球，共有几种方式？114（4）恰有2个盒子不放球，共有几种方式？84。
排列组合中平均分租、定序问题
平均分组问题:
理论部分：平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要除以m!，其中m表示组数。
一、平均分组不安排工作的问题
例1．12本不同的书
（1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？
（2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？
二、平均分组安排工作的问题
例2．（1）6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、丙三个人，有多少种不同的分法？
（2）12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、D、E五个人有多少种不同的分法？
三、非平均分组的问题：
例3.（1）6本不同的书按1∶2∶3分成三堆有多少种不同的分法？
（2）按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人有多少种不同的分法？
例4.有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条件，各有多少种不同的分法？
（1）每人各得两本；
（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；
（3）一人一本，一人两本，一人三本；
（4）甲得四本，乙得一本，丙得一本；
（5）一人四本，另两人各一本·
定序问题缩倍法
引例有5个人并排站成一排，如果甲必须站在乙的右边（可以不相邻），则不同的排法有多少种？
例1.7人排队,其中甲乙丙3人顺序，一定共有多少不同的排法？
例2.4男4女共8人从左到右排成一排，要求男生从矮到高排列，女生从高到矮排列（假定男女生的身高各不相同）共有多少种排法？
例3.6人排成两排，每排3人，假定每人的身高都不同，要求后排的人比前排相对应的人个子高，共有多少种排法？
例4.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）。
平均分组的排列组合公式
平均分组的排列组合公式
排列组合平均分配公式：C(2、1)*C(1、1)=2。
排列组合是组合学最基本的概念。
所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
虽然数学始于结绳计数的远古时代，由于那时社会的生产水平的发展尚处于低级阶段，谈不上有什么技巧。
随着人们对于数的了解和研究，在形成与数密切相关的数学分支的过程中，如数论、代数、函数论以至泛函的形成与发展，逐步地从数的多样性发现数数的多样性，产生了各种数数的技巧。
数学排列平均分配的公式
平均分成几组就除以几的阶乘，还有一类是既有平均分组也有不平均分组的，也一样，除以的阶乘数为平均分组的组数。
例如：9个平均分成3组，C(9，3)C(6，3)C(3，3)/#
!10个分成4，4，2三组，C(10，4)C(6，4)/2!10个分成3，3，3，1四组C(10，3)C(7，3)C(4，3)/3!.10个分成2，2，3，3四组C(10，2)C(8，2)C(6，3)/(2!*2!)。
分类讨论在不均分排列组合问题中的应用
分类讨论在不均分排列组合问题中的应用摘要：分组分配问题一直是排列组合中的一大难题，而不均分又是难题中的难题。
学生初接触此类题目，要不就不知道从何下手，要不就总想“一步到位”，用“分布乘法计数原理”直接计算，要不滥用“间接法”，从而导致重复和遗漏等计算不准确的情况。
在解决排列组合中的不均分问题时，精准“分类讨论”，善用“分类加法计数原理”，是准确解决问题的一大法宝。
关键词：排列组合，分组分配，不均分，分类讨论，分类加法计数原理排列组合是高中阶段一个重要的模块，在高考中占有较大的比例，也是概率统计的基础，这要求学生对排列组合问题要有深刻的理解。
而在教学过程中发现，虽然大多数学生对于排列和组合的概念、分类计数原理与分布计数原理都比较清楚，但往往一算就错，还找不到原因。
分组分配问题是排列组合题中的一大难题，而不均分问题又是难题中的难题。
解决这一难题的法宝就是“分类讨论”，不重不漏的分类。
如果在面对排列组合题时，能不怕麻烦，养成分类讨论的习惯，善用“分类加法计数原理”，则能把大部分的题目收入囊中。
下面就排列组合题中不均分问题怎样应用“分类讨论”进行具体的举例和分析，希望对大家有所启发。
一、“分步乘法计数”与“分类加法计数”问题例1.1将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴某大型展览会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种．(用数字作答)答案：90。
解析：解决分组分配问题一般先“分组”，再“分配”。
先把5位志愿者分成3组，规定两组各2人，另一组1人，则一共有种分法。
再把三组分配，乘以，得=90种。
这道题的解题过程中没有用到分类，只有分步，分两步即可解答。
也就是说当限制的条件较多，每组人数确定时，则不用分类，直接分步解决。
其中在分组的时候除以，那是因为有两组各2人，如果只是，则分组时会重复计算。
比如甲、乙、丙、丁、戊五个人，在五选二时，选了甲、乙，在三选二时，选了丙、丁，剩下戊一人一组，这样就分成了三组：甲乙，丙丁，戊。
排列组合中的分组分配
则不同分法为
C C C m1 n
m2 n m1
m3 n ( m1 m2 )
C mk mk
种．
如果 m1, m2 mk中有且仅有i个相等,则不同的分法为：
C C C m1
m2
m3
n
n m1
n ( m1 m2 )
Aii
C mk mk
种．
基础探究 一：均分无分配对象的问题
先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A中有3人；②A 中有2人；C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人。
第①C类39，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在B,C中选3人， 有
C33C39 C32C15C38 C13C52C37 C30C35C36
种 ,以下类同
A33
三.多面手问题
例4 :有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷 也会划右舷。现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，有 多少种不同的选法？
分析：设集合A={只会划左舷的3个人}，B={只会划右舷的4个人}，C={既会划左舷又 会划右舷的5个人}
A33 种．
故由分步计数原理有
C92
C
3 7
C
4 4
A33
7560 种．
③每人3件，即各人分得数相同，不需排列．则有
C93
C63 A33
C33
A33
1680 种．
• 练习： 9件不同的玩具，按下列分配方案各有几种分法? • ④平均分成三堆，有多少种分法? • ⑤分为2、2、2、3四堆，有多少种分法?
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排列组合中的“平均分组”与“不平均分组”
小数老师说
排列组合对于高中理科生来说，简直是一个噩梦！因为即使你费劲九牛二虎之力算出了结果，也不能确定自己的答案是对还是错！不是遗漏就是重复，反正距离正确答案永远“差一点”！
其实，解排列组合题目要建立模型，如果同学们能从题目中抽象出模型来，难度就大大降低了！今天，小数老师带大家研究一下“平均与不平均分组”的模型！
下面先看模型
（1）6本不同的书分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，一共有几种分法？
解：这里分三步取书即可，有种方法。
那这里有重复的吗？没有。
（2）6本不同的书平均分成3堆，一共有几种分法？
解：先分三步取书，有种方法，但是这里出现重复计数的情况。
不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取AB,第二步取CD，第三步取EF，则该分法可以记为（AB,CD,EF），但是中还包括以下情况，（AB, EF , CD）（CD, AB,EF）（CD, EF , AB）（EF ,AB,CD）（EF,CD, AB），而后面的情况，其实与（AB,CD,EF）
一样，因为题目要求平均分成3堆就可以了，不用管顺序，所以，正确答案应该是：。
（3）6本不同的书分成3堆，一堆4本，另2堆各1本，共用几种分法？
解：先分3步取书，有种方法，但是同样也出现了重复计数的情况。
不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取ABCD，第二步取E，第三步取F，则该分法可以记为（ABCD，E，F），但是中还包括下面情况，（ABCD，F，E），而实际上，这两种情况是一样的，不用管后面两堆的顺序问题，所以，正确答案是：。
总结
1，通过上面模型（2）与（3），可以总结出来，对于平均分组问题，先按照顺序选择得到组合数，然后根据平均分成的组数得到排列数，用组合数除以排列数即可。
2，组合不考虑顺序，排列是需要考虑顺序的！
（4）6本不同的书平均分给3个人，一共有多少种分法？
解：这个可以分成两步，第一步，先把6本书平均分成3堆，由
（2）可得，；第2步，把3堆书分给3个不同的
人，有种方法，根据分步相乘的原理，得到最后结果，。
注意
做这类型题目的时候，同学们千万不要只记最后结果哈，这样对于抽象模型有影响，可能会导致最后解答错误。
大家学会了模型之后，接下来我们找一些模拟题来验证一下吧！
例1、将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学，复旦大学，中国科技大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法共有（）种。
A、240
B、180
C、150
D、540
解析：因为要将5名同学分到3所大学，所以可以看作是把5名同学先分成3组，然后进行排列即可；又因为每所大学至少1人，所以5名同学分成3组有两种情况，为（2,2,1）和(3,1,1)。
所以，第一步结果为：，第二步，把分成的3组进行排列，结果为，根据分步相乘可得结果，
故答案为：C。
例2、数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成
四组分别研究四个不同课题且每组只研究一个课题并要求每组选一个组长则不同分配方案有______种。
解析：根据题目，同样先抽象出数学模型，第一步，12名同学，平均分成4组；第2步，每组同学分别选择一个课题（课题不一样）；第三步，每组选择一个组长。
可以得到：第一步结果是，；第二步结果是；第三
步，因为是每组有3个同学，选择组长的话，3个同学都有可能，所以选择4个组长的结果是。
根据分步相乘，得到最后答案为：。
总结
1，做排列组合题，要先抽象数学模型；
2，多审题多总结，研究题目中的关键词；
3，掌握分类与分步的计数方法，尽量做到不重不漏！
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距离高一、高二期末考试还有15天，
公式、定理你都记住了吗？
题都会做了吗？
易错点又研究了一遍吗？
典型题目总结了吗？
知道期末考啥吗？
......
如果上述问题，你的答案都是“没有”，。