高等数学答案第六章4 曲面与曲线
习 题 6—4
1、一动点移动时，与)0,0,4(A 及xOy 面等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则
(,,)M x y z C MA z u u u r
∈?
= 亦即
z z y x =++-222)4(
0)4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x .
2、 求下列各球面的方程：
（1）圆心)3,1,2(-，半径为6=R ； （2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(-；
（3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与；（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(2
2
2
=-+++-z y x （2）由已知，半径73)2(6222=+-+=
R ，所以球面方程为49222=++z y x
（3）由已知，球面的球心坐标12
3
5,1213,3242=-=-=+-==+=c b a ， 球的半径21)35()31()24(2
1
222=++++-=
R ，所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x
（4）设所求的球面方程为：02222
22=++++++l kz hy gx z y x
因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-，所以???????=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得????
???=-=-==2210k g h l
∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x .
3、求下列旋转曲面的方程：
（1）将yOz 坐标面上的抛物线22y z =绕z 旋转一周所生成的旋转曲面； 解：222x y z +=(旋转抛物面) .
（2）将zOx 坐标面上的双曲线122
22=-c
z a x 分别绕x 轴和z 轴旋转一周所生成的旋转曲
面．
解： 绕x 轴旋转得122222=+-c z y a x 绕z 轴旋转得1222
22=-+c
z a y x .
4、 说明下列旋转曲面是怎样形成的
（1）1994222=++z y x ；（2）1
4
222
=+-z y x （3）1222=--z y x ；（4）222)(y x a z +=- 解：（1）xOy 平面上椭圆19422=+y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上椭圆22
1
49
+=x z 绕x 轴旋转而成
（2）xOy 平面上的双曲线1422=-y x 绕y 轴旋转而成；或者 yOz 平面上的双曲线22
1
4
-=y z 绕y 轴旋转而成
（3）xOy 平面上的双曲线122=-y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上的双曲线221x z -=绕x 轴旋转而成
（4）yOz 平面上的直线a y z +=绕z 轴旋转而成或者 xOz 平面上的直线z x a =+绕z 轴旋转而成.
5、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形
（1）1+=x y ；（2）42
2
=+y
x ；（3）12
2=-y x ；（4）22x y =.
解：（1）1+=x y 在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面； （2）42
2
=+y x 在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面； （3）12
2=-y x 在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；
（4）y x
22=在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.
6、指出下列曲面的名称，并作图：
（1）22149x z +=；（2）22y z =；（3）22
1x z += ；（4）22220x y z x ++-=； （5）2
2
2
y x z +=；（6）22
441x y z -+=；（7）
22
1916
x y z ++=；
（8）222149
x y z -+=-；（9）1334222=++z y x ；（10）2
223122z y x +=+.
解： (1)椭圆柱面；(2) 抛物柱面；(3) 圆柱面；(4)球面；（5）圆锥面；（6）双曲抛物面；
（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面.
7、 画出下列各曲面所围立体的图形：
（1）012243=-++z y x 与三个坐标平面所围成；（2）42,42
=+-=y x x z 及三坐标平面所围成；
（3）22=0,(0)=1z z =a a >,y =x,x +y 及0x =在第一卦限所围成；（4）2222,8z x y z x y =+=--所围.
解：（1）平面012243=-++z y x 与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体； （2）抛物柱面24z x =-与平面24x y +=及三坐标平面所围成；
（3）坐标面=0z 、0x =及平面(0)z =a a >、y=x 和圆柱面22=1x +y 在第一卦限所围成；
（4）开口向上的旋转抛物面22z x y =+与开口向下的抛物面228z x y =--所围.作图略.
8、画出下列曲线在第一卦限内的图形
（1）???==21y x ；（2）?????=---=0
422y x y x z ；（3）?????=+=+222222a z x a
y x
解：（1）是平面1x =与2y =相交所得的一条直线；
（2）上半球面z 与平面0x y -=的交线为1
4
圆弧； （3）圆柱面222x y a +=与222x z a +=的交线.图形略.
9、分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线??
???=-+=++016
2222222y z x z y x 的柱面方程.
解：消去x 坐标得1632
2=-z y ，为母线平行于x 轴的柱面；
消去y 坐标得：16232
2
=+z x ，为母线平行于y 轴的柱面.
10、求在yOz 平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）.
解：???==+0122x z y ；???==++01222x z y x ； ?????=+=++1
1
22222z y z y x .
11、试求平面20x -=与椭球面222
116124
x y z ++=相交所得椭圆的半轴与顶点.
解：将椭圆方程22211612420x y z x ?++=???-=?化简为：22
193
2y z x ?+
=???=?
，可知其为平面2=x 上的椭圆，半轴分别为3,3，顶点分别为)3,0,2(),3,0,2(),0,3,2(),0,3,2(--.
12 、将下面曲线的一般方程化为参数方程
（1）2229
x y z y x ?++=?=?； （2）?
??==+++-04)1()1(22z z y x
解：（1）原曲线方程即：?
??
??=+=199222z x x
y ，化为????
?????
=≤≤==t
z t t y t x sin 3)20(cos 23cos 23π；
（2）)20(0sin 3cos 31πθθθ≤≤????
???==+=z y x .
13、指出下列方程所表示的曲线
（1）22225
3?++=?=?x y z x （2）?
??==++13094222z z y x ；
（3）???-==+-3254222x z y x ； （4）???==+-+408422y x z y ； （5）??
???=-=-0
214
922x z y . 解：（1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线； （4）抛物线； （5）双曲线.
14、求螺旋线??
?
??===θθθ
b z a y a x sin cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.
解：???==+0222z a y x ；?????==0sin x b z a y ；??
???==0
cos
y b z a x .
15、 求曲线 ??
?
??=
=++21
1222z z y x 在坐标面上的投影.
解：（1）消去变量z 后得,432
2=+y x 在xOy 面上的投影为,0
432
2?????==+z y x 它是中心在原
点，半径为
2
3
的圆周. （2）因为曲线在平面21=z 上，所以在xOz 面上的投影为线段.;2
3
||,
021≤
???
??==x y z （3）同理在yOz 面上的投影也为线段..2
3||,
21≤
?????
==
y x z
16、 求抛物面x z y =+2
2
与平面 02=-+z y x 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.
解： 交线方程为???=-+=+0222z y x x z y ，（1）消去z 得投影,00
4522?
??==-++z x xy y x
（2）消去y 得投影2252400x z xz x y ?+--=?=?，（3）消去x 得投影2220
0y z y z x ?++-=?=?
.
中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解
高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 习 题 6—4 1、一动点移动时，与)0,0,4(A 及xOy 面等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则 (,,)M x y z C MA z u u u r ∈? = 亦即 z z y x =++-222)4( 0)4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x . 2、 求下列各球面的方程： （1）圆心)3,1,2(-，半径为6=R ； （2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(-； （3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与；（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(2 2 2 =-+++-z y x （2）由已知，半径73)2(6222=+-+= R ，所以球面方程为49222=++z y x （3）由已知，球面的球心坐标12 3 5,1213,3242=-=-=+-==+=c b a ， 球的半径21)35()31()24(2 1 222=++++-= R ，所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x （4）设所求的球面方程为：02222 22=++++++l kz hy gx z y x 因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-，所以???????=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得???? ???=-=-==2210k g h l ∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x . 3、求下列旋转曲面的方程： （1）将yOz 坐标面上的抛物线22y z =绕z 旋转一周所生成的旋转曲面； 解：222x y z +=(旋转抛物面) . 复习题A 、判断正误 1、若a b b c 且b 0 ,则a c ; ( ) 解析 a b b c = b (a c) =0 时, 不能判定b 0或a c . 例如a i , b j , k ，有 a b b c 0 , 但a c . c M * 2、 右a b b c 且 b 0 ,则 a c ; ( ) 解析 此结论不一定成立.例如 a i ,b j , c (i j), 则 b i j k ,b c j [ (i j)] k , a b b c , 但a c . 3、若 a c 0 ,则a 0或c 0 ; ( ) 两个相互垂直的非零向量点积也为零. 解析 二、选择题： 当a 与b 满足（D ）时，有a b 解析只有当a 与b 方向相同时，才有 a + b=a+b . 解析 对于曲面z 1 x 2 2 y 2，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆， 垂直于x 轴或y 轴 的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面. 4、 a 解析 b b a . 这是叉积运算规律中的反交换律. (A) a b ； （B ） a b （为常数）; (C) // b ; (D) a||b . (A)中a , b 夹角不为0, (B), （C ）中a , b 方向可以相同，也可以相反. 2、下列平面方程中，方程（C ） 过y 轴; (A) x y z 1 ; (B) x (C) x z 0; (D) 解析平面方程Ax By Cz 0若过 y 轴，则B D 0,故选C. 3、在空间直角坐标系中，方程 1 x 2 2y 2所表示的曲面是（B ）； （A ）椭球面； （B ） 椭圆抛物面; (C) 椭圆柱面； （D ） 单叶双曲面. 习 题 6—4 1、一动点移动时,与)0,0,4(A 及xOy 面等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设在给定的坐标系下,动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则 (,,)M x y z C MA z ∈?= 亦即 z z y x =++-222)4( 0)4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x ． 2、 求下列各球面的方程： （1)圆心)3,1,2(-,半径为6=R ； (2)圆心在原点,且经过点)3,2,6(-； (3)一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与;（4)通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解:(1）所求的球面方程为:36)3()1()2(2 2 2 =-+++-z y x (2)由已知,半径73)2(6222=+-+= R ,所以球面方程为49222=++z y x (３）由已知,球面的球心坐标12 3 5,1213,3242=-=-=+-==+=c b a , 球的半径21)35()31()24(2 1 222=++++-= R ,所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x （4)设所求的球面方程为:02222 22=++++++l kz hy gx z y x 因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-,所以???????=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得???? ???=-=-==2210k g h l ∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x . 3、求下列旋转曲面的方程: (１）将yOz 坐标面上的抛物线22y z =绕z 旋转一周所生成的旋转曲面; 解:222x y z +=(旋转抛物面) ． 习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2(1)2,5xy y y x '==; 解：由2 5y x =得10y x '=代入方程得 22102510x x x x ?=?= 故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 12121212(4)()0,e e .x x y y y y C C λλλλλλ'''-++==+ 解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得 1212122211221211221212e e ()(e e )(e e )0.x x x x x x C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλ+-++++= 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 22(1)(2)2,;x y y x y x xy y C '-=--+= 证：方程 22x xy y C -+=两端对x 求导： 220x y xy yy ''--+= 得 22x y y x y -'= - 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 2(2)()20,ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-== 证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y '' = + (*) 得 (1)y y x y '= -. (*)式两端对x 再求导得 第六章 定积分的应用 第二节 定积分在几何上的应用 1. 求图中各阴影部分的面积: （1） 16 . (2) 1 (3) 323. (4)32 3 . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 463 π-. (2) 3 ln 22-. (3)1 2e e +-. (4)b a - 3. 94 . 4. （1）.1 213 （2）.4 5. (1) πa 2. (2) 238 a π. (3)2 18a π. 6. （1）423π? ? （2） 54 π （3）2cos2ρθρθ==及 16 2 π + 7．求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： （1）2 x x y y x =和轴、向所围图形，绕轴及轴。 （2）22y x y 8x,x y ==和绕及轴。 （3）()2 2 x y 516,x +-=绕轴。 （4）xy=1和y=4x 、x=2、y=0，绕。 （5）摆线()()x=a t-sint ,1cos ,y 0x y a t =-=的一拱，绕轴。 2234824131,;(2),;(3)160;(4);(5)5a .52556 πππππππ（） 8．由y =x 3, x =2, y =0所围成的图形, 分别绕x 轴及y 轴旋转, 计算所得两个旋转体的体积. 128 7x V π= . y V =645 π 9．把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形, 绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积.332 105 a π 10．（1）证明 由平面图形0≤a ≤x ≤ b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为 ?=b a dx x xf V )(2π . 证明略。 （2）利用题（1）结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转 体的体积. 2 2π 11．计算底面是半径为R 的圆, 而垂直于底面上一条固定 直径的所有截面都是等边三角形的立体体积. 3 R . 12．计算曲线3 223 y x =上相应于38x ≤≤的一段弧的弧长。2123 13．计算曲线2 ln(1)y x =-上相应于102x ≤≤ 的一段弧的弧长。1ln 32 - 14．求星型线33 cos sin x a t y a t ?=?=? 的全长。6a 习题6-2 1. 求图6-21 中各画斜线部分的面积: (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 6 1]2132[)(1022310 =-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A , 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1, e ]. 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e . (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为 3 32 ]2)3[(1 32=--=?-dx x x A . (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为 3 32 |)313()32(3132312=-+=-+=--?x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22 1 x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解: 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34238cos 16402+=-=?ππ tdt . 3 4 6)22(122-=-=ππS A . (2)x y 1 =与直线y =x 及x =2; 解: 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A . (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; 解: 所求的面积为 ?-+=-=-1021 )(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3. 求抛物线y =-x 2 +4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解: 第六章 常微分方程 1. (1) b,c,d (2) a,c (3) b,d 2. (1) 二阶,线性 (2) 一阶,非线性 (3) 一阶,非线性 (4) 一阶,非线性 3. (1)-(3)均为微分方程02 2 2=+y dx y d ω的解,其中(2) (3)为通解 4. (1)将变量分离,得 dx y dy cos 2 = 两边积分得 c x y +=-sin 1通解为,sin 1 c x y +-=此外,还有解0=y (2)分离变量,得dx x x y y d x x dx dy y y )11 1(1)1(2112 222+-=+++=+或 两边积分,得c x x y ln )1ln(ln )1ln(21 2++-=+ 即(1+ 2y )(1+ x)2=c 1 2 x (3)将变量分离,得 112 2 =-+ -y ydy x xdx 积分得通解2 1x -+)20(12 c c y =- 还有使因子2 1x -?012 =-y 的四个解. x=(±)11 y -, y=(±)11 x - (4)将方程改写为(1+y 2 )e x 2dx-[ ] 0)1( )e y +(1y =+-dy y e x 2dx=dy y y ?? ? ?? ?++- 2y 11 (e 积分得 --=y e e y x arctan 2 12)1ln(212y +-21 (5)令 z=x+y+1, z dx dz sin 1+=分解变量得到dx z dz =+sin 1………………(*) 为了便于积分,用1-sinz 乘上式左端的分子和分母,得到 dz z z z se dz z z dz z z )tan sec (cos sin 1sin 1sin 122 2-=-=-- 将(*)两端积分得到tanz-secz=x+c 即-tan( 2 2z -∏)=x+c,将z 换为原变量,得到原方程的通解 X+c=-tan(2 1 4++-∏y x ) 6.令y=ux,则dy=udx+xdu 代入原方程得x 2( u 2-3)(udx+xdu)+2 x 2udx=0 分离变量得du x dx 1) -u(u u 2 2-=,即得y 3=c(2y -2 x ) 7. 令x y u = ,则原方程化为dx x udu 1=,解得c x u ==ln 212,即,ln 2 222cx x x y +=由定 解条件得4=c ,故所求特解为,ln 4222x x x y += 8. 将方程化为x y x y y + -='2 )(1，令x y u =，得,u u x y +'=代入得 dx x du u 1112 =- 得c x u ln ln arcsin +=，cx x y ln arcsin = 9．化为x e x y dx dy x = +，解得)(1x e c x y +=，代入e y =)1(得0=c 特解x e y x = 10．由公式得1)() (-+=-x ce y x ?? 11.化为 x y x y dx dy ln 2=+为贝努里方程令x y u =,则原方程化为dx dy y dx du 2 --= 代入方程的x u x dx du ln 1-=-用公式求得])(ln 21[2x c x u -=解得1 2])(ln 2 1 [1--=x c x y 另为，0=y 也是原方程的解 12．为贝努里方程令x y u =,则原方程化为322x xu dx du -=+用公式求得122+-=-x ce u x 解得1 12 2 +-= -x ce y x 13． 23x y yx dx dy =-将上式看成以y 为自变量的贝努里方程令x z 1=有3y yz dx dy -=- 22 2 12+-=-y ce z y ，得通解1)2(22 12=+--y ce x y 14．令x y N x y M +-=-=4,32 有 x N y M ??==??1，这是全微分方程0=du 复习题A 一 、判断正误: 1、 若c b b a ?=?且≠0b ，则c a =； ( ? ) 解析 c b b a ?-?=)(c a b -?=0时，不能判定=b 0或c a =．例如i a =，j b =， k c =，有?=?=0a b b c ，但c a ≠． 2、 若c b b a ?=?且≠0b ，则c a =； ( ? ) 解析 此结论不一定成立．例如i a =，j b =，)(j i c +-=，则 k j i b a =?=?，k j i j c b =+-?=?)]([，c b b a ?=?，但c a ≠． 3 、若0=?c a ，则=0a 或=0c ； ( ? ) 解析 两个相互垂直的非零向量点积也为零． 4、 a b b a ?-=?． ( √ ) 解析 这是叉积运算规律中的反交换律． 二、选择题: 1 、 当a 与b 满足（ D ）时，有b a b a +=+； (A)⊥a b ； (B)λ=a b (λ为常数)； (C)a ∥b ； (D)?=a b a b ． 解析 只有当a 与b 方向相同时，才有a +b =a +b ． (A)中a ，b 夹角不为0，(B)，(C)中a ，b 方向可以相同，也可以相反． 2、下列平面方程中，方程( C )过y 轴； (A) 1=++z y x ； (B) 0=++z y x ； (C) 0=+z x ； (D) 1=+z x ． 解析 平面方程0=+++D Cz By Ax 若过y 轴，则0==D B ，故选C ． 3 、在空间直角坐标系中，方程2 2 21y x z --=所表示的曲面是( B )； (A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面． 解析 对于曲面2 2 21y x z --=，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆，垂直于x 轴或y 轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面． 4、空间曲线???=-+=5, 222z y x z 在xOy 面上的投影方程为( C )； (A)72 2 =+y x ； (B)? ??==+57 22z y x ； (C) ? ? ?==+07 22z y x ；(D)???=-+=0222z y x z 解析 曲线???==+5722z y x 与xOy 平面平行，在xOy 面上的投影方程为???==+0 7 22z y x ． 5 、直线 1 1121-+==-z y x 与平面1=+-z y x 的位置关系是( B )． (A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为 π4； (D) 夹角为π 4 -． 解析 直线的方向向量s ={2，1，-1}，平面的法向量n ={1，-1，1}，n s ?=2-1-1=0，所以，s ⊥n ，直线与平面平行． 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： (1)xy ' = 2 y , y = 5x 2 ; 解：由 y = 5x 2 得 y ' = 10x 代入方程得 x ?10x = 2 ? 5x 2 = 10x 2 故是方程的解. (2) y ' + y = 0, y = 3sin x - 4 cos x ; 解： y ' = 3cos x + 4 s in x ; y ' = -3sin x + 4 cos x 代入方程得 故是方程的解. -3sin x + 4 cos x + 3sin x - 4 cos x = 0 . (3) y ' - 2 y ' + y = 0, y = x 2e x ; 解： y ' = 2x e x + x 2e x = (2x + x 2 )e x , 代入方程得 2e x ≠ 0 . 故不是方程的解. (4) y ' - (+ ) y ' + y = 0, y ' = (2 + 4x + x 2 )e x y = C e 1x + C e 2 x . 1 2 1 2 1 2 y ' = C e 1x + C e 2 x , y ' = C 2e x 1 + C 2e 2 x 解： 1 1 2 2 1 1 2 2 代入方程得 C 2e 1x + C 2e 2 x - (+ )(C e 1x + C e 2 x ) + (C e 1x + C e 2 x ) = 0. 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： (1)(x - 2 y ) y ' = 2x - y , x 2 - xy + y 2 = C ; 证：方程 x 2 - xy + y 2 = C 两端对 x 求导： 2x - y - xy ' + 2 yy ' = 0 y ' = 2x - y 得 x - 2 y 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. (2)(xy - x ) y ' + xy '2 + yy ' - 2 y ' = 0, y = ln(xy ). 证：方程 y = ln(xy ) 两端对 x 求导： y ' = 1 + 1 y ' x y (*) y ' = 得 y x ( y -1) . (*)式两端对 x 再求导得 复习题A 一、判断正误: 1、 解析 2、 解析 3、 解析两个相互垂直的非零向量点积也为零． 4 ( √ ) 解析这是叉积运算规律中的反交换律． 二、选择题: 1、 D )； 解析 (A)0，(B)，(C) 2、下列平面方程中，方程( C ) 解析C． 3、( B )； (A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面． 解析 轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面． 4、( C )； 解析 5、( B )． (A) 垂直； (B) 平行； (C) (D) 解析，1，-1}，，-1，1}， 三、填空题: = 0 ； 1、 2 解． 2、 解平面的法向量，-1，2} 3、 ； 解 (-3，1，-2) 和(3，0，5)代入方程， 即 4、 解 直线与平面垂直，则与平面的法向量 ，2，-1} ={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为 ． 5、 解: 投影柱面为 影曲线方程． 四、解答题: 1、 (c) 解: ， 2、 试求：(1) 标表示； (2) (3) (4) 向量． 解:(1) ； (2) (3) 在 三个坐标轴上的方向余弦分别为 3、 . 解： 4、 解： 5、求满足下列条件的平面方程： (1) (2) 解(1)解1： 解2： 量为 解3： 再根据点法式公式写出平 面方程也可． 于是所求平面方程为 （2） 时，所求平面方程为 又，即 ．这样它与已知平面 所 ，则有 6、 求该平面方程； 解法1： ，得 ，则（0， 4）为平面上的点． 相交得到直线的两平面方程的法向量分别为 ，5，1}，0，-1} ， 2，-5}，由于所求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即 ，2，-5} ， ，解方程组 所求平面方程为 解法2：用平面束（略） 7、 直线方程. 解法1 从而根据点向 高等数学课后习题答案 第六章 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 习题62 1 求图621 中各画斜线部分的面积 (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 61 ]2132[)(1022310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 1|)()(1010=-=-=?x x e ex dx e e A 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1 e ] 所求的面积为 1)1(|ln ln 111=--=-==??e e dy y y ydy A e e e (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[3 1] 所求的面积为 332]2)3[(132=--=?-dx x x A (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[1 3] 所求的面积为 332 |)313()32(3132312=-+=-+=--?x x x dx x x A 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积 (1) 221x y =与x 2y 28(两部分都要计算) 解 3 88282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34 238cos 16402+=-=?ππtdt 346)22(122-=-=ππS A (2)x y 1=与直线y x 及x 2 解 所求的面积为 ?-=-=2 12ln 23)1(dx x x A (3) y e x y e x 与直线x 1 解 所求的面积为 ?∑====-∞→∞→t n i i i n n dt dt t dP P P n L c 01 1) (lim )(lim T dt dc dt dp dt dp dt dc dt dp dt dp T dc dp c T dt dp dt dp dt dp if t dc dp T c P dc dp c P t P c P t C r dt dp t r if P t P t t P P c ?=?== =±==?≠→=??=→?=??→???→??=?-?+=?→?对比上两式：对于参数对于一般参数＝单位切矢量，则：为曲线参数，即如选择设弧长为点切线方向的方向为点有切线弦长 ，:1 0:1lim ) ()(C 00)()(0曲线过于平坦 如果切矢量远小于弦长曲线过顶点或回转 倍如果切矢量是弦长的：切矢量：单位切矢量明确概念：??n dt dp dc dp )()()()(0)()(0 c P P t P P t c c t t c c dt t dP dt dc dt dt t dP c t ==?=?=?>=?=?可以用弧长参数表示曲线存在反函数的单调函数是关于参数k dc z d dc y d dc x d k c p dc p d k c p dc dp T dc dT T T T T c T c k T T T T T T T T c T T T c T T c T T T T T c c c 1)()()()()()lim ()lim (lim 1lim ,2/1222222 222''22 '21210002 12 10212121212121=??????++=?==?===???=??=∴=???=???=???=?=?? →?→?→?? →?? ?ρ?????曲率半径：又又：ΘΘ为单位主法线矢量点的法线）与主法线（通过曲率中心的法线平行垂直的平面）法平面（通过该点与在同一平面 点为中心向外辐射），以曲线某点有一束法线（为单位法矢量为法矢量，法矢量的矢量垂直单位切矢量对于空间的参数曲线：为曲率矢量，模为＝＝＝平行的单位矢量记为与垂直 与线的切线方向单位切矢量，方向为曲N R N T R N T N 1 KN N N T :????????????KN K KN dc dT dc dT dc dT dc dT T ρ?? ? ???????=?=?=???=化直平面决定的平面法平面决定的平面密切平面决定的平面通过定点标系，下列关系成立：组成互相垂直的直角坐为单位副法线矢量其中副法线的法线和垂直于设BT NB TN R T B N B N T N T B B N T B N T N T B ,,,,第六章 曲线与曲面 一、 曲线、曲面参数表示的基础知识 1、 参数曲线的定义：切矢量、法矢量、曲率、挠率 §切矢量：坐标变量关于参数的变化率； 弧长：对正则曲线P （t ）参数从0到T 的弧长； §曲率：曲线的弯曲变化率； §法矢量 习题6-1 1． 利用定积分的几何意义求定积分： (1) 1 2xdx ? ； (2) 220 a a x dx -? (0)a >． 解 (1) 根据定然积分的几何意义知, 10 2xdx ?表示由直线2,1y x x ==及x 轴所围的三角 形的面积,而此三角形面积为1,所以 1 21xdx =?． (2) 根据定积分的几何意义知, 220 a a x dx -? 表示由曲线22,0,y a x x x a =-==及 x 轴所围成的14圆的面积,而此14圆面积为214πa ,所以22201 4 a a x dx a -=?π. 2． 根据定积分的性质，比较积分值的大小： (1) 1 2 x dx ? 与1 3 x dx ?； (2) 1 x e dx ?与1 (1)x dx +?． 解 (1) ∵当[0,1]x ∈时,2 3 2 (1)0x x x x -=-≥,即23 x x ≥, 又2 x 3x ,所以1 1 230 x dx x dx >??． (2) 令()1,()1x x f x e x f x e '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>, 从而()(0)0f x f ≥=,说明1x e x ≥+，所以1 1 0(1)x e dx x dx >+? ?. 3． 估计下列各积分值的范围： (1) 4 2 1 (1)x dx +? ； (2) 33 arctan xdx ? ； (3) 2 a x a e dx --? （0a >)； (4) 2 2 x x e dx -? ． 解 (1) 在区间[]1,4上，函数2 ()1f x x =+是增函数，故在[1,4]上的最大值(4)17M f ==,最小值(1)2m f ==,所以4 21 2(41)(1)17(41)d x x -≤ +≤-? , 即 42 1 6(1)51x dx ≤+≤?． (2) 令()arctan f x x x =,则2 ()arctan 1x f x x x '=+ +,当[3]3 x ∈时,()0f x '>,从而()f x 在[3]3上是增函数,从而f (x )在3]3上的最大值(3)3πM f ==,最小值(363 πm f ==所以 33 23arctan 3)9363333xdx =≤≤=?ππππ 第五章 向量代数与空间解析几何 作业7 向量代数 1．填空题 （1）已知两点)1,2,4(1M 和)2,0,3(2M ，则向量21M M 的模是 2 ,方向余 弦是11 ,,222 - - ，方向角是23,,343πππ。 （2）一向量的终点在)7,1,2(-，它在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依次为4,-4和7,则这个向量的起点坐标为()2,3,0-。 （3）向量→ a 与向量}2,1,2{-平行，2=→a ，则→ a =}2,1,2{3 2-± 。 （4）设}2,2,1{-=→ a ,}2,1,2{-=→ b ,则=+?-→→ → → )()(b a b a 0，=+?-→ →→→)()(b a b a }6,12,12{-。 （5）设一质点在力→ → → → ++-=k j i F 432的作用下沿直线运动,从点)3,2,1(1-M 运动到点)4,1,3(2M ,此力所做的功是 21 。 2．设}0,2,1{-=AB ,}1,3,0{=BC ,}8,6,5{-=CD ,四边形ABCD 对角线AC 的中点为M ,BD 的中点为N ,求向量MN 。 解：BD AB CA MN 2121+ += = )(2 1)(2 1CD BC AB BA CB ++ ++ ={3,2,-4 。 3．设向量→ →→c b a ,,两两垂直,且,1=→ a ,2=→ b ,3=→ c 计算→ → → ++c b a 。 解：2 → →→++c b a =)()(c b a c b a ++?++=14 → →→++c b a =14。 4．已知π2,1,(,)3 a b a b ∧→→ →→ === ,问系数λ为何值时,向量→→+b a λ与→ →+-b a 3垂直？ 解：)(→ → +b a λ)3(→ → +-?b a =02=+-λ，2=λ。 5．设→→→→--=k j i a 23,→→→→-+=k j i b 2,求:(1) b j a Pr ; (2) ),cos(∧ → →b a 。 解：14 3Pr = = b j a ， ),c o s (∧→ → b a 21 23= =。 6．已知三点)1,2,1(-M ,)1,3,2(-A 和)0,3,1(B ,计算:(1)以MA ,MB 为邻边的平行四 边形的面积；(2)求同时垂直于MA ,MB 的单位向量→ 0n 。 解：3}1,1,1{= -==S ，→ 0n }1,1,1{3 3-± =。 高等数学II 练习题 第六章 定积分 ________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______ 习题6.4 反常积分 一．选择题 1．下列反常积分发散的有 （ C ） （A ） 20 1dx x +∞+? （B ）10? （C ）ln e x dx x +∞? （D ）0x e dx +∞-? 2．下列反常积分收敛的有 （ D ） （A ） 1 dx x ? （B ）120dx x ? （C ）10ln x dx x ? （D ）10? 二．填空题 1．若反常积分 2(ln )k dx x x +∞ ?收敛， k 。 2．若2 11A dx x +∞-∞=+?，则A = 。 三．判定下列各反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值 1．41dx x +∞ ? 2．0ax e dx +∞-? （0>a ） 3 ． 2 1 ? 311133x -+∞=-=0 0111d(-)ax ax e ax e a a a +∞--+∞ =-=-= ?22 11 2310 001,d 2d 1021(1)182d 2(1)d 2() 33 t x t x t t x t x t t t t t t t t t ==+=→→==+=?=+=+= ?? 解：令当时，，当时，原式1 >1 π 4． ()f x dx +∞ -∞ ? ，其中21 ,012,01()0,1 x x x f x x ?-∞<≤?+?? <≤=???>?? 5．求c 的值，使2lim ( )c x t x x c te dt x c -∞→+∞ +=-?。 0120 1 010 1()d d 2d 0d 1arctan 20 22f x x x x x x x π+∞ +∞ -∞ -∞-∞=+ ++=++=+???? 222222222222lim ()lim (1)lim (1)1111d d (d )()22221 111()1,24242x c c c x x c c x x x c c c t t t c t c t c c x c c c e x c x c x c te t t e te e t ce e c e c c -?+→+∞→+∞→+∞-∞-∞-∞-∞-∞+=+=+=---==-=-=-∴-=??? Q 解：5即= 第六章 微分方程 习题6.1 3．用微分方程表示下列命题. (1)曲线在点（x ，y ）处的切线的斜率等于该点的横坐标与纵坐标之比的相反数. (2)某大洲的人口总量Q (t )的增长速度与当时的人口总数成比例. 解: (1) 根据导数的几何意义, y = f (x ) 在点（x ，y ）处的切线的斜率可用导数y = f (x )来表示, 由题目的条件知 y =y x - , 这就是所求的微分方程. (2) 人口总量Q (t )的增长速度可用导数Q (x ) 来表示, 设题目所说的比例系数为k >0，就得到所求的微分方程: Q (t ) = kQ (t ) 或简写成Q = kQ. 4. 已知曲线族y = C 1cos2x +C 2sin2x ，求其中满足条件y (0) = 2，y (0) = 0的曲线. 解: 对y = C 1cos2x +C 2sin2x 求导得到y = -2C 1sin2x +2C 2cos2x. 把初始条件y (0) =2，y (0) = 0分别代入这两个方程得: 2 = C 1, 0 = 2C 2, 即C 1 = 2, C 2 = 0. 把它们代入曲线族方程得到 y = 2cos2x , 这就是所求的曲线的方程. 习题6.2 3．放射性物质镭的衰变速度与它现存量Q 成正比，比例系数k = - 0.00433，求①在时刻t （以年为单位）镭的存量与时间t 的函数关系，②经过多少年后，镭的质量只剩下原始量的一半？ 解: 设镭的存量与时间t 的函数为Q = Q (t ), 那么衰变速度可用导数Q (x ) 来表示, 根据题目条件得到微分方程: Q = - 0.00433Q, 解这个方程得出镭的存量与时间t 的函数为Q = Q 0e -0.00433t . 假定经过T 年后，镭的质量只剩下原始量的一半, 即Q (T ) = 0.5 Q 0. 代入Q (t )中得到 0.5 Q 0 = Q 0e -0.00433T , 由此可求出T = 00433 .02 ln ≈160(年). 4．在某种化学反应中，物质A 转变成物质B 的速度与物质A 的瞬时存量的平方成正比. 如果物质A 的初始质量为60克，1小时后物质A 的瞬时存量减少到10克，求2小时后物质A 的瞬时存量. 解: 设物质A 在时刻t 的存量为y = y (t ), 那么由题目条件得到微分方程 y (t ) = k (y (t ))2, 或y = ky 2, 其中k 是比例系数, 且y (0)=60, y (1)=10. 解这个方程得到通解 y (t ) = C kt +-1 , 把t = 0, y =60代入通解表达式, 可求出C =1/60, 即得出特解y (t ) =60 11+ -kt = 1 6060 +-kt ; 第六章 线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==I U 。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。又因 ,M N M ?I 故M N M =I 。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N Y ?所以M N N =U 。 2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。 证 ),(L N M x Y I ∈?则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。反之，若 )()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得 ),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ? 于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。 若x M N L M N L ∈∈∈U I I （），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ） 。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，） （）k 。（a ，）=（ka ，kb +(完整版)高等数学答案第六章4曲面与曲线
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