汪荣鑫版数理统计习题答案
100
11
==∑
=n
i i x n x 34
11222
=-=∑
=n i i x x n s
第一章
1.在五块条件基本相同的田地上种植某种作物,亩产量分别为92,94,103,105,106(单位:斤),求子样平均数和子样方差。
解:
2.从母体中抽取容量为60的子样,它的频数分布
求子样平均数与子样方差,并求子样标准差。
解:
411
*==∑=l
i i i x m n x
67.181122*2
=-=∑=l
i i i x x m n s
32.467.18==s
3.子样平均数和子样方差的简化计算如下:设子样值n x x x ,,,21?的平均数为x 和方差
为2x ε。作变换c
a x y i i -=
,得到n y y y ,,,21?,它的平均数为y 和方差为2
y s 。试证:222
,y x s c s y c a x =+=。
解:由变换c
a
x y i i -=
,即i i cy a x += ()y cn na x n cy a x n
i i
n
i i +=+=∑∑==,1
1
而()()
()
∑∑∑====-=
--+=-=n
i y i
n i i n i i x
s c y y n c y c a cy a n x x n s 1
222
2
1212211
4.对某种混凝土的抗压强度进行研究,得到它的子样的下列观测数据(单位:磅/英寸
2
):
1939, 1697, 3030, 2424, 2020, 2909, 1815, 2020, 2310
采用下面简化计算法计算子样平均数和方差。先作变换2000-=i i x y ,再计算y 与2y s ,然
后利用第3题中的公式获得x 和2x s 的数值。
解:作变换2000-=i i x y ,2000=a
44.24021649
1
11=?==∑=n i i y n y
444.2240=+=y a x
247.1970321122
22=-==∑=n i i y
x
y y n s s
5.在冰的溶解热研究中,测量从℃72.0-的冰变成0℃的水所需热量,取13块冰分别作试验得到热量数据如下:
, , , , , , , , , , , , 试用变换()80100-=i i x y 简化计算法计算子样平均数和子样方差。
解:作变换()80100-=i i x y ,1001,80==c a
229131
11=?==∑=n i i y n y
02.80100280=+=+=y c a x
41
2
2
2222103.5-=?=-=
=∑n
i i y
x
y y n
c s c s
6.容量为10的子样频数分布为
试用变换()2710-=i i x y 作简化计算,求x 与2
x s 的数值。
解:作变换()2710-=i i x y ,10/1,27==c a
()5.11510
1
11*-=-?==∑=l i i i y m n y
85.2610)5.1(27=-+=+=y c a x
4025.41
2
2*2
222=-=
=∑=l
i i i y
x
y y m n
c s c s
试计算子样平均数和子样方差(各组以组中值作为子样中的数值)
解:
16611*==∑=l i i i x m n x ,44.3311
22*2
=-=∑=l i i i x x m n s
8.若从某母体中抽取容量为13的子样:1.2-,,0,1.0-,,4-,,,,1.0-,
,1.2-,0。试写出这个子样的顺序统计量、子样中位数和极差。如果再抽取一个样品为构成一个容量为14的子样,求子样中位数。
解:顺序统计量为4-,1.2-,1.2-,1.0-,1.0-,0, 0,,,,,,
0=me
21.7)4(21.3=--=R
添加后,2.1=me
9.从同一母体抽得的两个子样,其容量为1n 和2n ,已经分别算出这两个子样的平均数
1X 和2X ,子样方差21s 和2
2
s 。现将两个子样合并在一起,问容量为21n n +的联合子样的平均数与方差分别是什么?
解:∑∑====
2
11
2
1
1,n i i
n i i
x x x x
∑∑==-=-=21122222
21212121
1,1n i i n i i x x n s x x n s
()
22112
11
x n x n n n x ++=
()
()
()2
22211212212
21211
2
2
2
12
1s n s n n n x x n n n n x x s n n i i +++-+=
-=
∑
+=
10.某射手进行20次独立、重复的设射击,击中靶子的环数如下表所示:
试写出子样的频率分布,再写出经验分布函数并作出其图形。
解:频率分布;
????????
?≥<≤<≤<≤<≤<=10
,1
109,9.097,75.07
6,3.064,1.04,0)(*
20x x x x x x x F
11.利用第7题中数据作出学生身高的子样直方图。 解:
12.设n X X X ,,,21?是参数为λ的泊松分布的母体的一个子样,X 是子样平均数,试求X E 和X D 。
解:λλλ=?==??? ??=∑∑--n n Ex n x n E X E p x n
i i n i i 111),(~1
1
n n n Dx n x n D X D n
i i n i i λλ=?==??? ??=∑∑==21
21111
13.设n X X X ,,,21?是区间)1,1(-上均匀分布的母体的一个子样,试求子样的平均数的均值和方差。
解:3
1
122,0211),1,1(~2===+-=-Dx Ex U x 01111===??? ??=∑∑==Ex Ex n x n E x E n
i i n i i
n Dx n x n D x D n i i 311
11=
?=??
? ??=∑=
14.设n X X X ,,,21?是分布为),(2
σμN 的正态母体的一个子样,求
()∑=-=
n
i i X Y 1
2
21
μσ
的概率分布。 解:(
)2
,~σ
μN X Θ,则)1,0(~N x y
i i
σ
μ
-=
,且n Y Y ,,1?之间相互独立
()∑∑∑====??? ?
?-=-=n
i n
i i i n
i i y x x Y 112
2
12
21
σμμσ
由2χ分布定义)(~2n Y χ,Y 服从自由度为n 的2
χ分布。
15.设母体X 具有正态分布)1,0(N ,从此母体中取一容量为6的子样
),,,,,(654321X X X X X X 。又设()()26542321X X X X X X Y +++++=。试决定常数C ,
使得随机变量CY 服从2
χ分布。
解:)1,0(~N X ,)3,0(~3211N X X X Z ++=
)1,0(~3
1N Z ,()1~32
12
1χZ
6542X X X Z ++=亦服从)3,0(N 且与1Z 相互独立,且2χ相互独立。
)1,0(~3
2
N Z ,()1~322
2χZ
由2
χ分布可加性
()
()2~31313322
2212
221χY Z Z Z Z =+=+,3
1=∴c
16.设()n X X X ,,,21?是分布为(
)2
,0σN 的正态母体中的一个子样,试求下列统计量的
分布密度:
∑==n
i i X Y 12
1)1(; ∑==n i i X n Y 1221)2(; 2
1
3)()3(∑==n
i i X Y ; 21)(1)4(∑=n i i X n 。
解:
)1,0(~,
),0(~2N X N X i
i σ
σ
)1,0(~1
),
,0(~1
2
1
N X
n n N X
n
i i
n
i i
∑∑==σ
σ
()()
()()
1~;1~~;
~22
4
22
3
22
2
22
1
χσ
χσ
χσ
χσ
Y n Y n nY n Y
()()()()??
?
??<≥=??
?
??<≥=???
?
???<≥Γ=???
?
???<≥Γ=------0,00,21
)4(0,00,21)3(0
,00,)
2(2)2(0,00,)
2(2)1(2423222122221222212x x e x x f x x e x n x f x x e n x n x f x x e n x x f x Y x
Y nx n n n n Y x n n n Y σπσσ
σσ
πσ
πσσ
17.已知)(~n t X ,求证),1(~2
n F X 。 证:令)(~2
n t n
U
X χ=
,其中)1,0(~N U
)(~22n χχ,且U 与2χ独立,2U 亦与2χ独立 n
U X 22
2
χ=
,由F 分布定义知),1(~2
n F X
18.设m n n n X X X X X ++??,,,,,,121是分布为),0(2
σN 的正态母体容量为m n +的子样,试求下列统计量的概率分布:
∑∑++===
m
n n i i
n
i i
X n
X m Y 1
2
11)1(;
∑∑++===
m
n n i i
n
i i X n X m Y 12
12
2)2(。
解:(1))1,0(~1
N n X n
i i ∑
=σΘ
, 且)(~21
2
m m X m
n n i i χσ∑++=???
??
(2))(~212
n n X n
i i χσ∑=?
?
?
??Θ
)(~21
2
m m X m
n n i i χσ∑++=??? ??
)
,(~1
212
2m n F m X n X Y m
n n i i n
i i ∑∑++==??? ????? ??=∴σσ
19.利用2
χ分布的性质3近似计算()902
01.0χ。
解:26.12133.21809090290)90(01.02
01.0=?+=??+≈u χ
20.设()n X 2
~χ,试证:当n 很大时,对0>c 有{}??
?
??-Φ≈≤n n c c X P 2 其中)(x Φ是正态分布)1,0(N 的分布函数。
证: 当n 很大时,X 近似服从)2,(n n N ,于是
)1,0(~2N n
n
X - {}??
?
??-Φ≈??
????-≤-=≤∴n n c n n c n n X P c X P 222
《数理统计》试卷及答案
---------------------------------------- 说明:本试卷总计100分,全试卷共 5 页,完成答卷时间2小时。 ---------------------------------------- 一、填空题(本大题共8小题,每题4分,共32分) 1、随机事件A 、B 互不相容,且A =B ;则()P A = 2、已知,10/1)/(,5/1)(,5/2)(===B A P B P A P 则=+)(B A P 3、同时掷三枚均匀硬币,则恰有两枚正面向上的概率为 。 4、若随机变量)2.0,20(~B X ,则X 的最可能值是 。 5、若n X X X ,...,,21为来自泊松分布)(λP 的一个样本,2,S X 分别为样本均值和样本方差,则 =)(X E ,=)(2S E 。 6、样本0,5,10,-3样本均数为 ,样本方差为 。 7、2σ已知时检验假设0100:;:μμμμ≠=H H ,应构造统计量为 ,拒绝域为 。 8、考查4个3水平的因子A,B,C,D 及其交互作用A ×B 与A ×C ,则做正交实验设计时,可选用的行数最少的正交表为 。 二、单项选择题(本大题共8小题,每题4分,共32分) 1、设随机事件A 、B 互不相容,且()0,()0,P A P B >>则下列结论只有( ) 成立。 A 、A 、 B 是对立事件; B 、A 、B 互不相容; C 、A 、B 不独立; D 、 A 、 B 相互独立。 2、射击三次,事件i A 表示第i 次命中目标(i =1,2,3),下列说法正确的是( )。 A 、321A A A 表示三次都没击中目标; B 、313221A A A A A A ++表示恰有两次击中目标; C 、313221A A A A A A ++表示至多一次没击中目标;D 、321A A A 表示至少有一次没击中目标。 3、随机变量),(~2σμN X ,则随着σ的减小,)|(|σμ<-X P 应( )。 A 、单调增大; B 、单调减少; C 、保持不变; D 、增减不能确定
概率论与数理统计学1至7章课后标准答案
第五章作业题解 5.1 已知正常男性成人每毫升的血液中含白细胞平均数是7300, 标准差是700. 使用切比雪 夫不等式估计正常男性成人每毫升血液中含白细胞数在5200到9400之间的概率. 解:设每毫升血液中含白细胞数为,依题意得,7300)(==X E μ,700)(==X Var σ 由切比雪夫不等式,得 )2100|7300(|)94005200(<-=< 数理统计考试试卷 一、填空题(本题15分,每题3分) 1、总体得容量分别为10,15得两独立样本均值差________; 2、设为取自总体得一个样本,若已知,则=________; 3、设总体,若与均未知,为样本容量,总体均值得置信水平为得置信区间为,则得值为________; 4、设为取自总体得一个样本,对于给定得显著性水平,已知关于检验得拒绝域为2≤,则相应得 备择假设为________; 5、设总体,已知,在显著性水平0、05下,检验假设,,拒绝域就是________。 1、; 2、0、01; 3、; 4、; 5、。 二、选择题(本题15分,每题3分) 1、设就是取自总体得一个样本,就是未知参数,以下函数就是统计量得为( )。 (A) (B) (C) (D) 2、设为取自总体得样本,为样本均值,,则服从自由度为得分布得统计量为( )。 (A) (B) (C) (D) 3、设就是来自总体得样本,存在, , 则( )。 (A)就是得矩估计(B)就是得极大似然估计 (C)就是得无偏估计与相合估计(D)作为得估计其优良性与分布有关 4、设总体相互独立,样本容量分别为,样本方差分别为,在显著性水平下,检验得拒绝域为( )。 (A) (B) (C) (D) 5、设总体,已知,未知,就是来自总体得样本观察值,已知得置信水平为0、95得置信区间为(4、71,5、69),则取显著性水平时,检验假设得结果就是( )。 (A)不能确定(B)接受(C)拒绝(D)条件不足无法检验 1、B; 2、D; 3、C; 4、A; 5、B、 三、(本题14分) 设随机变量X得概率密度为:,其中未知 参数,就是来自得样本,求(1)得矩估计;(2)得极大似然估计。 解:(1) , 令,得为参数得矩估计量。 (2)似然函数为:, 而就是得单调减少函数,所以得极大似然估计量为。 四、(本题14分)设总体,且就是样本观察值,样本方差, ) 数理统计 一、填空题 1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样,如果),,(21n X X X g , 则称),,(21n X X X g 为统计量。不含任何未知参数 2、设母体σσμ),,(~2 N X 已知,则在求均值μ的区间估计时,使用的随机变量为 n X σ μ - 3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布,根据来自母体的容量为100的子样,测得子样均值为5,则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 025.010 1 5u ?± ; 4、假设检验的统计思想是 。 小概率事件在一次试验中不会发生 5、某产品以往废品率不高于5%,今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%, 此问题的原假设为 。 0H :05.0≤p 6、某地区的年降雨量),(~2 σμN X ,现对其年降雨量连续进行5次观察,得数据为: (单位:mm) 587 672 701 640 650 ,则2 σ的矩估计值为 。 ~ 7、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2 N 与 )1,2(N , 2 *2 2*1,S S 分别是两个子样的方差,令2*2222*121)(,S b a aS +==χχ,已知)4(~),20(~22 2221χχχχ,则__________,==b a 。 用 )1(~)1(22 2 *--n S n χσ,1,5-==b a 8、假设随机变量)(~n t X ,则 21 X 服从分布 。)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2 =≤λX P ,则____=λ 。 用),1(~2 n F X 得),1(95.0n F =λ 10、设子样1621,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N , X 为子样均值,而 01.0)(=>λX P , 则____=λ 01.04)1,0(~1z N n X =?λ 11、假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2 σμN ,令∑∑==-=16 11 10 1 43i i i i X X Y ,则Y 的 分布 )170,10(2 σμN % 12、设子样1021,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ,X 与2 S 分别是子样均值和子 样方差,令2*2 10S X Y =,若已知01.0)(=≥λY P ,则____=λ 。)9,1(01.0F =λ 13、如果,?1θ2?θ都是母体未知参数θ的估计量,称1?θ比2?θ有效,则满足 。 )?()?(2 1θθD D < 14、假设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2σμN ,∑-=+-=1 1 2 12 )(?n i i i X X C σ 是2σ的一个无偏估计量,则_______=C 。 ) 1(21 -n 15、假设子样921,,,X X X 来自正态母体)81.0,(μN ,测得子样均值5=x ,则μ的置信度是95.0的置信区间为 。025.03 9 .05u ?± 16、假设子样10021,,,X X X 来自正态母体),(2 σμN ,μ与2 σ未知,测得子样均值 5=x ,子样方差12=s ,则μ的置信度是95.0的置信区间为 。 025.0025.0025.0)99(),99(10 1 5z t t ≈?± 17、假设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2 σμN , μ与2σ未知,计算得 创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题(每空3分,共45分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 ; 4、已知随机变量X 的密度函数为:, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? =≤?≥? , 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率 {0.51}P X -<<= ; 5、设随机变量X~ B(2,p)、Y~ B(1,p),若{1}5/9P X ≥=,则p = ,若X 与Y 独立,则Z=max(X,Y)的分布律: ; 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与 Y 相互独立,则 D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ; 7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本,则当k = 时, ~(3)Y t = ; 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数,12,,,n X X X 为其样本, 1 1n i i X X n ==∑为样本均值,则θ的矩估计量为: 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ,计算得样本观察值10x =, 求参数a 的置信度为95%的置信区间: ; 二、 计算题(35分) 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为: 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求:1){|21|2}P X -<;2)2 Y X =的密度函数()Y y ?;3)(21)E X -; 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<=? ?其他 1) 求边缘密度函数(),()X Y x y ??; 2) 问X 与Y 是否独立?是否相关? 3) 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ?; 3、(11分)设总体X 的概率密度函数为: 1, 0(),000 x e x x x θ?θθ -?≥?=>?? X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。 1)求参数θ的极大似然估计量?θ ; 2)验证估计量?θ 是否是参数θ的无偏估计量。 2.(10分)环境保护条例,在排放的工业废水中,某有害物质不得超过0.5‰,假定有害物质含量X 服从正态分布。现在取5份水样,测定该有害物质含量,得如下数据: 0.530‰,0.542‰,0.510‰,0.495‰,0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)? 100 11 ==∑ =n i i x n x 34 11222 =-=∑ =n i i x x n s 第一章 1.在五块条件基本相同的田地上种植某种作物,亩产量分别为92,94,103,105,106(单位:斤),求子样平均数和子样方差。 解: 2.从母体中抽取容量为60的子样,它的频数分布 求子样平均数与子样方差,并求子样标准差。 解: 411 *==∑=l i i i x m n x 67.181122*2 =-=∑=l i i i x x m n s 32.467.18==s 3.子样平均数和子样方差的简化计算如下:设子样值n x x x ,,,21?的平均数为x 和方差 为2x ε。作变换c a x y i i -= ,得到n y y y ,,,21?,它的平均数为y 和方差为2 y s 。试证:222 ,y x s c s y c a x =+=。 解:由变换c a x y i i -= ,即i i cy a x += ()y cn na x n cy a x n i i n i i +=+=∑∑==,1 1 y c a x +=∴ 而()() () ∑∑∑====-= --+=-=n i y i n i i n i i x s c y y n c y c a cy a n x x n s 1 222 2 1212211 4.对某种混凝土的抗压强度进行研究,得到它的子样的下列观测数据(单位:磅/英寸2): 1939, 1697, 3030, 2424, 2020, 2909, 1815, 2020, 2310 采用下面简化计算法计算子样平均数和方差。先作变换2000-=i i x y ,再计算y 与2y s ,然 后利用第3题中的公式获得x 和2x s 的数值。 解:作变换2000-=i i x y ,2000=a 44.24021649 1 11=?==∑=n i i y n y 444.2240=+=y a x 247.1970321122 22=-==∑=n i i y x y y n s s 5.在冰的溶解热研究中,测量从℃72.0-的冰变成0℃的水所需热量,取13块冰分别作试验得到热量数据如下: 79.98, 80.04, 80.02, 80.04, 80.03, 80.03, 80.04, 79.97, 80.05, 80.03, 80.02, 80.00, 80.02 试用变换()80100-=i i x y 简化计算法计算子样平均数和子样方差。 解:作变换()80100-=i i x y ,1001,80==c a 229131 11=?==∑=n i i y n y 02.80100280=+=+=y c a x 41 2 2 2222103.5-=?=-= =∑n i i y x y y n c s c s 6.容量为10的子样频数分布为 试用变换()2710-=i i x y 作简化计算,求x 与2 x s 的数值。 解:作变换()2710-=i i x y ,10/1,27==c a ()5.11510 1 11*-=-?==∑=l i i i y m n y 概率论与数理统计试题 与答案 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】数理统计试题及答案
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(完整版)汪荣鑫版数理统计习题答案chapitre1
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