易拉罐形状和尺寸的最优设计模型[1]

易拉罐形状和尺寸的最优设计模型

查建飞 郑娴雅 金兰贞 (2006年获全国二等奖)

摘要:目前，易拉罐饮料在市场上的销量很大，易拉罐的需求也是难以估计的。而资源

是有限的，因此易拉罐的最优设计是非常有必要的。本文着重从形状和尺寸的角度分析碳酸饮料的铝质易拉罐，在容积确定的条件下以材料最省为目标建立优化模型。

首先对雪碧、可口可乐、蓝带啤酒等易拉罐容器进行测量，获取实测值。针对易拉罐现有形状和尺寸等数据，进行综合分析，建立了逐渐改进的三个数学模型。

模型Ⅰ:把易拉罐近似地看成一个正圆柱体，在易拉罐的容积一定时，以材料最省为目标，用求极值的方法求得易拉罐高度h 与底面半径r 之间的关系为()r h 21αα+=，用实测值进行验证发现比较吻合，但还是有一定误差存在，因此进一步建立模型Ⅱ进行分析。

模型Ⅱ:进一步考虑易拉罐的形状，即罐体上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体时，利用线性规划方法求得此时易拉罐的最优设计。通过对模型Ⅰ中的圆柱型易拉罐的对比，所得模型与实测值更加吻合。

模型Ⅲ：以材料最省为主要目的，兼顾易拉罐的舒适度进行设计，建立模型，并给出具体的设计方案。

最后结合本模型的建立过程写对数学建模的认识与数学建模过程的难点。

关键词：最优设计 形状与尺寸 合适度

一、问题重述

生活中我们发现饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等销量很大的饮料易拉罐的形状和尺寸几乎都是一样的。这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 请通过数学建模来分析上述情况并回答如下问题：

（1）取一个饮料量为355毫升的易拉罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，请注明出处。

（2）设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

（3）设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

图一（4）利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

（5）用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。

二、问题分析

要使易拉罐达到最优设计，必须满足以下条件： （1）保证容量是足够的。

（2）材料要最节省，使生产者在保证质量的情况下，成本能降到最低。 （3）能够保证易拉罐对容器内液体和气体的压力。

（4）易拉罐是大批量生产、运输的，要避免运输过程中瓶罐之间因碰撞造成的损失，

必须稳定放置两个易拉罐，才能保证安全运输。

三、模型假设

(1)研究的对象是容量为355ml 的碳酸饮料的易拉罐，如可口可乐、雪碧、蓝代啤酒。 (2)测量的是无变形、无损坏的易拉罐。 (3)测量的是铝制易拉罐。

四、符号定义

b ：易拉罐侧壁的厚度。 r ：易拉罐柱体部分的内半径。

1b ：易拉罐上底厚度。 S ：易拉罐的总面积。

2b ：易拉罐下底厚度。 h ：易拉罐的内高度。

Z ：所用材料的体积。 H ：易拉罐的总体高度。

1α：下底厚与侧壁厚的比值。 1a ：上底内高。 2α：上底厚与侧壁厚的比值。 2a ：下底内高。

1d ：上底内直径。 3h ：上底内高。 2d ：下底内直径。 4h ：下底拱高。

V ：易拉罐的容量，为一固定值。 δ：舒适度。

图一

五、模型建立与求解

问题一

1.1测量方法

㈠测厚度：

把易拉罐切开压平，n层的易拉罐壁进行叠加，直至总厚度可达m mm,则单个易拉罐壁厚则为m/n mm，同样方法对不同品种的易拉罐进行测量,取平均值.

㈡测外径：

用一条无弹力的绳子水平绕标准易拉罐的柱体部分一圈，再利用直尺测出绳子的长度。为减少误差，用以上相同方法进行多次测量，取得平均值。由r

=，得出r。

cπ2

㈢其余的数据全由千分尺测得。近似取值为小数点后两位数。

对易拉罐所测得的数据见下表一：

表一:自己测量得到的易拉罐所需数据表(单位:mm)

问题二（模型Ⅰ）

2.1 模型假设:

易拉罐的形状为正圆柱体，如图二

图二

2.2 模型分析：

把易拉罐近似看成一个正圆柱，要求易拉罐内的体积一定时，求能使易拉罐制作所用的材料最省。

2.3 模型的建立与求解:

易拉罐侧面所用材料的体积: )(

2222hb rbh hr b

r h ππππ+=-+,

b 《 r ∴ 2hb π可以忽略 ∴所以侧面材料的体积可以近似看作rbh π2 易拉罐上底面所用材料的体积: b r 21πα 易拉罐下底面所用材料的体积: b r 22πα

则 ())](

[rh r b h r Z 2,221++=ααπ ①

h r V 2π= 2/r V h π=. ②

②代入①得: )(]2

212r r

V

b Z ???++=ααπ ③

)]))((V r r

b r V r b dr dZ -+=??? ?

?-+=3

212

22122πααπαα 令

0=dr dz ,解得临界点为)(321π

αα+=V

r ,代入②得： )()

))())(r V

V V h ?

?

+= ?

?

??

++=+=21321212

321

ααπ

ααααπααπ

又因为)]??? ?

?++=3

2

1"

22224r

V b S dr z d ααπ， 0>r 所以022>dr

z

d 所以当()r h 21αα+=时,Z 取得最优值.

根据测量数据2;221≈≈αα，则421=+αα，代入公式得

4=r

h

圆柱型的易拉罐的尺寸虽然与实测数据相对比较吻合，但还是有一定的误差。通过观察发现实际中易拉罐的上部分有类似圆台的地方，这是为了减少材料还是其他目的呢？因此建立模型。

问题三（模型Ⅱ）

3.1 补充假设（如图三）

（1）l 为圆台部分的母线长。 （5）2s 表示圆柱上底面积。 （2）1h 表示圆台部分的高度。 （6）1v 表示圆台的体积。 （3）2h 表示圆柱上线高度。 （7）2v 表示圆柱上线的体积。 （4）1s 表示圆台上底的面积。 （8）355-1v =355-2v 即1v =2v 。

图三

3.2 模型分析：

此问题考虑的是把易拉罐的上部分改成圆台使得它跟原先的体积一样,求出21,h h 使得易拉罐的用材最省。 3.3 模型的建立与求解:

圆台的表面积为： 圆台表s = ()()212

1h d r r d +-+ππ+ b d 121απ

圆柱高h 2的表面积为： 圆柱s = b rh 22π+b r 12απ

=s 圆台表s - 圆柱s

其中由模型一可知：mm H mm d 6.122,13.0,21===α

化简得：()()()

b rh r d h d r r d ??

????--++-+222

11212112απ ()()()

b rh r d h d r r d ??

????--++-+=222

11212112max απ s.t.()()??

?

?

?

?

???≤≤-

=+=-+++r d h h r d h H r r d r d h 112122

1221104332/13550003

ππ 利用LINGO 软件求得d1= 30.36716 mm R= 30.36716mm h1=0mm h2=0mm 材料为752.8548mm3（见附录一）

从模型所求结果可以看出，圆台的上底半径只有6.11毫米, 这样一来易拉罐罐口只有117.283平方毫米,这与我们所测易拉罐的实际尺寸相差比较大。因此我们对所假设的模型做如下改进：在实际中圆台上底半径与易拉罐中间半径相差很小约5；圆台的高度也是很小约为5。因此模型修正为：

()()()b rh r d d d r r d Z ??

????--++-+=22211212

112max απ

()

()??

?

??

???

?

??===-+++-=+55355000

6.1223

43

32/1112212211121d h h r r d r d h h h r d ππ d1=5.000000mm r=30.55185mm h2=3.462191mm h1=5.000000mm 材料为-450.1384(mm)^3 （见附录二）

由于实际中易拉罐的圆台与罐底，方便运输，而问题三中讨论的易拉罐上部是圆

台用料与圆柱的废料问题，因此，浪费点原料来提高人对易拉罐的舒适度。本文在对问题四的回答中进一步的阐述这个改进。

问题四（模型三）

改进后易拉罐模型的母线为： θcos /h l = 改进后易拉罐模型的上底半径： θtan 1h r d += 因此，可求得改进后易拉罐模型的表面积：

)

?

?

+=

b h

h r S θ

θππcos tan 2421台侧 上下底面积之和为：

)](

[b h r r S 12121tan αθ

ππ++=底

规定改进后易拉罐模型的容积不变，还是V ，则

))((

([]h h r r h r r V θ

πθππtan tan 3

12

12++++=

圆柱形的表面积： rhb S π2=侧

圆柱上下底的面积： b r b r S 1222απαπ+=底 因此，可得原型易拉罐的面积为：

1s =rhb π2+1222απαπr b r +b+450

改进后易拉罐模型与原型易拉罐的面积的差值：

4502)tan (cos )

tan 24(2/112212111---+++=b r b rh b h r b

h h r S αππαθπθ

θππ 舒适程度的函数曲线：

)(θδf =——它的图象为可以根据市场调查的散点图形式来拟合曲线 ，如下图：

综上所述，浪费材料与舒适程度的关系式为：1sp k p -=δ；（k:舒适程度的增加钱的增值；p 1:表示每个单位的价格）

问题五：浅谈数学建模

在未接触建模时，就已经听说过它了，但不太了解，直到真正接触，才发现原来数学建模就在我们的身边。早在中学，甚至是小学时就已经用建立数学模型的方法来解决过一些简单或理想化的实际问题。例如航行问题、速度问题等。

数学建模不只是对实际问题建立数学模型的过程，它还包括了对实际问题进行的解释、求解、验证并解决的全过程。数学建模是运用如同MATLAB 、LINGO 等数学工具来得到一个数学结构，用各种数学方程、表格、图形等表现模型的思想。它是为解决现实中存在的特定的对象，特定的目的，根据特有的内有规律进行必要的简化假设，而设计的模型。

另外，对于同一个客观事物可以有多种数学描述，因此有必要在若干模型中选择一个最简单，最恰当，最易于进行数学处理的模型。

对于模型，可以选择一个最简单，最恰当，最易于进行数学处理的模型。如下图：

在易拉罐模型中，我们在审题时，结合实际中普遍饮用的易拉罐，大概了解易拉罐的构造，形状，并在某些生产产品的公司网站上查阅了一些有关易拉罐具体尺寸、材料组成等，以及它的制作工艺、过程。考虑到罐内物质对瓶罐的压力，再查阅了有关于应力等方面的知识。我们也通过各种方法，测量了易拉罐的直径、高度、厚度等。

其次，建立数学模型。通过观察可以发现，饮料罐总体上可分为部分：圆台、圆柱。当然，这不是偶然，必定是某种意义上的最优设计。

对模型进行适当的假设与简化，这是建立模型的关键一步，必须对研究对象进行统一，即认定都为饮料量为355毫升的易拉罐。为减少误差，对于测得的数据用多次测量取平均值。

根据题目要求，明确易拉罐要达到最优，必须满足两个条件：一、材料最省。二、能够保证易拉罐的舒服度。

在认为易拉罐是一个长方体绕轴心旋转360度的模型时，求极值问题则可利用求导方法取临界值。

当易拉罐是由圆台和圆柱构成时，可与第一个模型进行比较，从节省材料的角度来考虑，得出最优模型。

在模型中,考虑了舒适度，建立此函数关系时，需要通过顾客心理来描述图形，但是由于没有充裕的时间，整个模型过于简略，不够精确。

六、模型改进

就问题四而言，本文只是针对易拉罐的形状和尺寸进行最优设计，并没有对易拉罐所用材料进行改进。但是铝质易拉罐的原材料需大量进口，且价格昂贵，加上污染环境等因素，国家已不再批准新建铝质易拉罐生产线。因此能否找到一种新型材料用来代替铝质易拉罐已成为我国关心的问题。对此，可以在易拉罐取材上进行分析，将会得到一定的效果的。

七、模型评价

7.1模型优点

（1）模型I运用导数求极值的数学方法，计算方便，简单易懂。

（2）通过利用数学工具和Lingo编程的方法，严格地对模型求解，具有科学性。（3）建立的模型能与实际紧密联系，结合实际情况对所提出的问题进行求解，使模型更贴近实际，通用性、推广性较强。

7.2模型的缺陷

（1）由于未能查得易拉罐的具体尺寸，只能运用测量工具对易拉罐进行测量，因此所测得的测量值与实际值之间有一定的误差，

（2）模型只考虑了半径与高之比，没有考虑其他，可能有点不全面。

八、参考文献

[1] 唐焕文贺明峰，数学模型引论（第三版），高等教育出版社，2005.3

[2] 杨启帆方道元，数学建模，浙江大学出版社，1993.3

[3] 叶其孝，最优化-导数的应用（极值问题）教学单元，https://www.360docs.net/doc/e89793073.html,:8060

[4] 上海联合制罐有限公司，https://www.360docs.net/doc/e89793073.html,/index.htm

附件一

model:

max=3.14*((d1+r)*((r-d1)^2+d1^2)^(1/2)*0.13+0.26*(d1^2-r^2)-0.26*r*h2); d1/r+1/2=(3*h2/h1-3/4)^1/2;

1/3*3.14*(d1^2+r^2+d1*r)*h1+3.14*(122.6-h2)*r^2=355000;

h2<=122.6;

d1<=r;

end

Local optimal solution found at iteration: 406

Objective value: 752.8548

Variable Value Reduced Cost

D1 30.36716 0.000000

R 30.36716 0.000000

H2 0.000000 18.65100

H1 0.000000 6.140743

Row Slack or Surplus Dual Price

1 752.8548 1.000000

2 -0.5000000E+30 0.000000

3 0.000000 0.2120718E-02

4 122.6000 0.000000

5 0.000000 86.77114

附件二

model:

max=3.14*((d1+r)*((r-d1)^2+d1^2)^(1/2)*0.13+0.26*(d1^2-r^2)-0.26*r*h2); d1/r+1/2=(3*h2/h1-3/4)^1/2;

1/3*3.14*(d1^2+r^2+d1*r)*h1+3.14*(122.6-h2)*r^2=355000;

h1=5;

d1=5;

end

Local optimal solution found at iteration: 43636

Objective value: -450.1384

Variable Value Reduced Cost

d1 5.000000 0.000000

r 30.55185 0.000000

h2 3.462191 0.000000

h1 5.000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 -450.1384 1.000000

2 -0.1134488E-05 94.65037