必修五正余弦定理习题练习
必修五正余弦定理习题练习
一．选择题（共5小题）
1．（2015?秦安县一模）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）
A．B．C．D．
2．（2016?太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）
A．B．C． D．
3．（2016?大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
4．（2016?宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A．B．C． D．或
5．（2014?新课标II）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．C．2 D．1
二．填空题（共6小题）
6．（2015?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为______．
7．（2015?重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c=______．
8．（2015?广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=______．
9．（2015?北京）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=______．10．（2015?安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=______．11．（2013?福建）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为______．
三．解答题（共1小题）
12．（2015?新课标Ⅰ）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．
必修五正余弦定理习题练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2015?秦安县一模）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）
A．B．C．D．
【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，
由c=2a，则b=a，
=，
故选B．
2．（2016?太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）
A．B．C． D．
【解答】解：∵在锐角△ABC中，sinA=，S△ABC=，
∴bcsinA=bc=，
∴bc=3，①
又a=2，A是锐角，
∴cosA==，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，
即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，
∴b+c=2②
由①②得：，
解得b=c=．
故选A．
3．（2016?大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
∵S△ABC==bc=，化为bc=24，
又b﹣c=2，解得b=6，c=4．
由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64．
解得a=8．
故答案为：8．
7．（2015?重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，
3sinA=2sinB，则c=4．
【解答】解：∵3sinA=2sinB，
∴由正弦定理可得：3a=2b，
∵a=2，
∴可解得b=3，
又∵cosC=﹣，
∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+9﹣2×=16，
∴解得：c=4．
故答案为：4．
8．（2015?广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=1．
【解答】解：∵sinB=，
∴B=或B=
当B=时，a=，C=，A=，
由正弦定理可得，
则b=1
当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾
故答案为：1
9．（2015?北京）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=．
【解答】解：由正弦定理可得，
=，
即有sinB===，
由b＜a，则B＜A，
可得B=．
故答案为：．
10．（2015?安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=2．
【解答】解：∠A=75°，∠B=45°，
则∠C=180°﹣75°﹣45°=60°，
由正弦定理可得，
=，
即有AC==2．
故答案为：2．
11．（2013?福建）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为．
【解答】解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°，
∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=，
在△ABD中，AB=3，AD=3，
根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB?AD?cos∠BAD=18+9﹣24=3，
则BD=．
故答案为：
三．解答题（共1小题）
12．（2015?新课标Ⅰ）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．
【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，
由正弦定理可得：＞0，
代入可得（bk）2=2ak?ck，
∴b2=2ac，
∵a=b，∴a=2c，
由余弦定理可得：cosB===．
（II）由（I）可得：b2=2ac，
∵B=90°，且a=，
∴a2+c2=2ac，解得a=c=．
∴S△ABC==1．
人教A版高中数学必修五讲义及题型归纳：正余弦定理
解三角形 模块一：正余弦定理 在△ABC 中的三个内角A ，B ，C 的对边，分别用a ，b ，c 表示． 1．正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等，即a sin A =b sin B =c sin C =2R ． ① a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ； ② sin A =a 2R ，sin B =b 2R ，sin C =c 2R ； ③ a:b:c =sin A :sin B :sin C ． ④ 面积公式：S =1 2 ab sin C =1 2 bc sin A =1 2 ac sin B ． 2．正弦定理用于两类解三角形的问题： ① 已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和另一角； ② 已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其它的边与角． 3．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即：{c 2=a 2+b 2?2ab cos C ,b 2=a 2+c 2?2ac cos B ,a 2=b 2+c 2?2bc cos A. 变形式为：{ cos C =a 2+b 2?c 2 2ab , cos B =a 2+c 2?b 2 2ac ,cos A =b 2+c 2?a 22bc . 4．余弦定理及其变形常用来解决这样两类解三角形的问题： ① 已知两边和任意一个内角解三角形； ② 已知三角形的三边解三角形． 考点1：正弦定理 例1.（1）在ABC ?中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．若4 A π=，3 B π = ，a =， 则(b = ) A ．1 B C ．2 D ．【解答】解：因为4 A π = ，3 B π = ，a =， 所以，由正弦定理 sin sin a b A B = ，可得：sin sin a B b A ===g
必修五正弦定理和余弦定理
必修五第一讲 正弦定理 知识梳理 1．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C . 2．解三角形：一般地，把三角形的三个角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 题型分析 [例1] 在△ABC 中，已知a [解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°.由 b sin B ＝a sin A 得，b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46，由a sin A ＝ c sin C 得， c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋642 2＝4(3＋1)．∴A ＝45°，b ＝46，c ＝4(3＋1)． [变式训练]在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形． 解：∵A ＝45°，C ＝30°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°.由 a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. 由 b sin B ＝ c sin C 得b ＝c sin B sin C ＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75°，∵sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45° ＝2＋64，∴b ＝20×2＋64 ＝52＋5 6. [例2] 在△ABC [解] ∵a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝6×sin 45°2＝32，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1； 当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝ c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°. [变式训练]在△ABC 中，若c ＝6，C ＝π3 ，a ＝2，求A ，B ，b . 解：由a sin A ＝c sin C ，得sin A ＝a sin C c ＝22.∴A ＝π4或A ＝34π.又∵c ＞a ，∴C ＞A ，∴只能取A ＝π4 ， ∴B ＝π－π3－π4＝5π12，b ＝c sin B sin C ＝6·sin 5π12sin π3＝3＋1.
(完整版)必修五正余弦定理习题练习
必修五正余弦定理习题练习 一．选择题（共5小题） 1．（2015?秦安县一模）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（） A．B．C．D． 2．（2016?太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（） A．B．C． D． 3．（2016?大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（） A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 4．（2016?宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A．B．C． D．或 5．（2014?新课标II）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．C．2 D．1 二．填空题（共6小题） 6．（2015?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为______． 7．（2015?重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c=______． 8．（2015?广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=______． 9．（2015?北京）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=______．10．（2015?安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=______．11．（2013?福建）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为______．
必修五正余弦定理公式1
B 1.1 正弦、余弦定理 一、知识点 1．正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===外（R 为外接圆的半径） (1)C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== C B A c b a sin :sin :sin ::= 注意：利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 有三种情况：bsinA 学案正弦定理和余弦定理 导学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 自主梳理 1．三角形的有关性质 (1)在△ABC中，A＋B＋C＝________； (2)a＋b____c，a－b 4．(2010·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2， sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________． 5．(2010·北京)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3 ，则a ＝________. 探究点一 正弦定理的应用 例1 (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ； (2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c . 变式迁移1 (1)在△ABC 中，若tan A ＝13 ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________； (2)在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝________. 探究点二 余弦定理的应用 例2 (2011·咸宁月考)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且a 2＋c 2－ b 2＝a c . (1)求角B 的大小； (2)若c ＝3a ，求tan A 的值． 变式迁移2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3 ，b ＝13，a ＋c ＝4，求a . 探究点三 正、余弦定理的综合应用 例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状． 变式迁移3 (2010·天津)在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C . (1)证明：B ＝C ； (2)若cos A ＝－13 ，求sin ????4B ＋π3的值． 1．解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它 是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用． 2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求 必修五：正弦定理和余弦定理 一：正弦定理 1：定理内容：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 是三角形外接圆半径） 2：公式变形 （1）R A a C B A c b a 2sin sin sin sin ==++++ （2）?? ???C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===或R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === （3）?? ???B c C b A c C a A b B a sin sin sin sin sin sin === （4）R abc A bc B ac C ab S ABC 4sin 21sin 21sin 21====? 以下是ABC ?内的边角关系：熟记 （5）B A B A b a >?>?>sin sin （大边对大角） （6）B A B A cos cos （7）?? ???+=+=+=)sin(sin )sin(sin )sin(sin B A C C A B C B A 思考A cos 与)cos(C B +的关系 （8）2 cos 2sin C B A += （9）若AD 是ABC ?的角平分线，则 AC DC AB DB = 思考题： 1：若B A sin sin =，则B A ,有什么关系？ 2：若B A 2sin 2sin =，则B A ,有什么关系？ 3：若B A cos cos =，则B A ,有什么关系？ 4：若2 1sin > A ，则角A 的范围是什么？ 解三角形：已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形. 例1：已知ABC ?，根据下列条件，解三角形. （1）10,45,60=?=∠?=∠a B A . （2）?=∠==120,4,3A b a . （3）?=∠==30,4,6A b a . （4）?=∠==30,16,8A b a . （5）?=∠==30,4,3A b a . 思考：在已知“边边角”的情况下，如何判断三角形多解的情况 判断方法:（1）用正弦定理：比较正弦值与1的关系 （2）作图法：用已知角所对的高与已知角所对的边长比较. 练习：（1）若?=∠==45,12,6A b a ，则符合条件的ABC ?有几个？ （2）若?=∠==30,12,6A b a ，则符合条件的ABC ?有几个？ （3）若?=∠==45,12,9A b a ，则符合条件的ABC ?有几个？ 例2：根据下列条件，判断三角形形状. （1）C B A 2 22sin sin sin =+. （2）C B A cos sin 2sin = （3）B b A a cos cos = （4）A b B a tan tan 22= 1.1 正弦定理和余弦定理 一、正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角．．．．．．．的正弦的比相等，即：A a sin ＝B b sin ＝C c sin 注意：（1）正弦定理中，各边与其对角的正弦严格对应；（2）正弦定理中的比值是一个定 值，具有一定几何意义，即为三角形外接圆的直径：A a sin ＝B b sin ＝C c sin ＝2R [ R 指的是三角形外接圆半径 ]；（3）正弦定理主要实现三角形中的边角互化．．．．．．．．．．．．．．．．．；（4）S ＝C ab sin 2 1＝A bc sin 21＝B ac sin 2 1；（5）常用的公式： ①A ＋B ＋C ＝π，sin(A ．．．．．＋．B)．．＝．sinC ．．．．，． cos(A ．．．．．＋．B)．．＝－．．cosC ．．．．，．tan(A ．．．．．＋．B)．．＝－．．tanC ．．．．，． sin 2B A +＝cos 2C ，cos 2B A +＝sin 2C ；②a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ；③A ＞B ?a ＞b 【大角对大边】；④a ＋b ＞c ，a －b ＜c ；⑤a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ；⑥a sinB ＝bsinA ，bsinC ＝csinB ，a sinC ＝csinA 。 例1：下列有关正弦定理的叙述：（1）正弦定理只适用于锐角三角形；（2）正弦定理不适用于直角三角形；（3）在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；（4）在△ABC 中，sinA ：sinB ：sinC ＝ a ：b ：c 。其中正确的个数有（ ） A ：1个 B ：2个 C ：3个 D ：4个 【解析】：B 变式练习1：在△ABC 中，角A ：角B ：角C ＝2 ：1 ：1，则a ：b ：c 等于（ ） A ：4 ：1 ：1 B ：2 ：1 ：1 C ：2 ：1 ：1 D ：3 ：1 ：1 【解析】：C 变式练习2：在△ABC 中，角A ：角B ：角C ＝4 ：1 ：1，则a ：b ：c 等于（ ） A ：4 ：1 ：1 B ：2 ：1 ：1 C ：2 ：1 ：1 D ：3 ：1 ：1 【解析】：D 例2：在△ABC 中，a ＝2，b ＝1，∠A ＝450 ，∠B ＝___________。 【解析】：30度 变式练习1：在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，∠B ＝450，则∠A ＝___________。 【解析】：60度120度 变式练习2：在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，∠A ＝600，则cosB ＝___________。 【解析】：3 6 正、余弦定理练习题 一、单项选择题 1．△ABC 中，a (sin B －sin C )＋b (sin C －sin A )＋c (sin A －sin B )=（） (A )1(B )0(C )2 1(D )π 2．△ABC 中，sin A =2sin Cc os B ，那么此三角形是（） (A )等边三角形(B )锐角三角形(C )等腰三角形(D )直角三角形 3．△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C =3：2：4，那么c os C =（） (A )－ 41(B )－32(C )32(D )4 1 4．在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ?=?，那么△ABC 一定是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 5、在△ABC 中，一定成立的等式是() A.a sinA=b sinB B.a cosA=b cosB C .a sinB=b sinAD.a cosB=b cosA 6、若 c C b B a A cos cos sin ==则△ABC 为 （） A ．等边三角形 B ．等腰直角三角形 C ．有一个内角为30°的直角三角形 D ．有一个内角为30°的等腰三角形 7、在△ABC 中，角,,A B C 的对边边长分别为3,5,6a b c ===, 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 A ．38 B ．37 C ．36 D ．35. 8、△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且其面积S=a b c 222 4 +-，角C=（）度 A ．30B ．45C ．60D ．不确定 正弦定理和余弦定理 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 教学重点：掌握正弦定理和余弦定理的概念，定义，公式的变形应用 教学难点：公式的变形，解直角三角形的应用边与角之间的关系及变形，判断三角形的形状 1、 正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即ABC ?中，若,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c 则____________ 2、 解三角形 一般地，我们把三角形的三个角及其________分别叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。 利用正弦定理可以解决以下两类解三角形问题： （1） 已知三角形的任意两角与一边，求其他边和角，有__________解； （2） 已知三角形的两边与其中一边的对角，求其他的边和角。 3、 正弦定理的常见公式拓展： ① 2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为ABC ?的外接圆半径） ②2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（边化角公式） ③sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = ==(角化边公式) ④::sin :sin :sin a b c A B C = ⑤ 2sin sin sin sin sin sin a b b c c a R A B B C C A +++===+++ ⑥ 2sin sin sin a b c R A B C ++=++ 4、 余弦定理 ①定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 ②定义式： ________________________ 5、 余弦定理的变形式和特例 ①222222222 cos ,cos ,cos 222a b c c a b b c a C B A ab ac bc +-+-+-=== ②22290C c a b =?=+o ③22260C c a b ab =?=+-o ④222120C c a b ab =?=++o ⑤2 2 2 30C c a b =?=+o ⑥222 45C c a b =?=+o 6、 余弦定理可以解决的两类三角形问题 （1） 已知三边长，求三个内角； （2） 已知两边长和它们的夹角，求第三边长和其他角。 类型一：已知三角形两角及任意一边，解三角形；已知三边长，求夹角。 例1：（2015山东潍坊一中月考）在ABC ?中，已知8,60,75,a B C =∠=∠=o o 则b 等于（） A. D.22 3 练习1：在ABC ?中，若60A ∠=o ,45B ∠=o ,BC =则AC =() 练习2：在ABC ?中，已知2,30,45,a B A ===o o 求b 例2：在ABC ?中，若1,2,a b c ===试求A 练习3：在ABC ?中，若1,2,a b c ===试求B 练习4：在ABC ?中，若1,2,a b c = ==试求C 高一（下）数学（必修五）第一章 解三角形 正弦定理、余弦定理高考真题 1、（06湖北卷）若ABC ?的内角A 满足2 sin 23 A =，则sin cos A A += A. 153 B ．153- C ．53 D ．53 - 解：由sin2A ＝2sinAcosA >0，可知A 这锐角，所以sinA ＋cosA >0， 又25 (sin cos )1sin 23 A A A +=+=，故选A 2、（06安徽卷）如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则 A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 解：111A B C ?的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ?是锐角三角形，若222 A B C ?是锐角三角形，由211211211sin cos sin()2 sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ?==-?? ? ==-?? ? ==-?? ，得21 2121222A A B B C C πππ? =-???=-???=-??，那么， 2222 A B C π ++=，所以222A B C ?是钝角三角形。故选D 。 3、（06辽宁卷）ABC V 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量 (,)p a c b =+u r ,(,)q b a c a =--r ,若//p q u r r ,则角C 的大小为 (A)6π (B)3π (C) 2 π (D) 23π 【解析】222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ?+-=-?+-=u r r ，利用余弦定理可得 2cos 1C =，即1cos 23 C C π = ?=，故选择答案B 。 【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。 4、（06辽宁卷）已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ） Ａ． 3 2 Ｂ．3 Ｃ． 158 Ｄ． 157 解：依题意，结合图形可得15tan 215A =，故22 1522tan 15152tan 7151tan 1() 215 A A A ? = ==--，选D 5、（06全国卷I ）ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B = A ．1 4 B ．34 C ． 24 D ．23 解：ABC ?中，a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则b =2a ， 222cos 2a c b B ac +-==2222 423 44 a a a a +-=，选B. 数学必修五余弦定理 教案 【教学分析】： 一、教学导图 温 故引新 特例激疑 类比探究 理性演绎 完善知识 剖析升华 例题示范 迁移运用 归纳小结 反思拓展 类比探究 理性演绎 余弦定理 语言叙述 变 形 作 用 二、【教学目标】 1．通过实践与探究，会利用数量积证明余弦定理，提高数学语言的表达能力，体会向量工具在解决三角形的度量问题时的作用。 2．会从方程的角度理解余弦定理的作用及适用围，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 3．会结合三角函数利用计算器处理解斜三角形的近似计算问题。 4．在方程思想指导下，提升处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 三、【教学重难点】 教学重点：余弦定理的发现、证明过程及其基本应用。 教学难点：理解余弦定理的作用及适用围。 突破关键：将余弦定理的三个公式视为三个方程组成的方程组。 教学设计 一、温故引新 特例激疑 1，正弦定理是三角形的边与角的等量关系。正弦定理的容是什么？你能用文字语言、数学语言叙述吗？你能用哪些方法证明呢？ 正弦定理：在一个三角形中各边和它的对边的正弦比相等，即：2sin sin sin a b c R A B C ===， 其中2R 为三角形外接圆的直径。 说明：正弦定理说明同一个三角形中，边与它所对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数2R ，使2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===。 2，运用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？ 由,sin sin sin sin a b b c A B B C ==，可以解决“已知两角及其一边可以求其他边。”“已知两边及其一边的对角可以求其他角。”等解三角形问题。 3，思考：如图，在ABC ?中，已知,,ABC c AC b BAC A ?==∠=，求a 即BC 。 本题是“已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。”的解三角形的问题。本题能否用正弦定理求解？ 困难：因为角B C 、未知, 较难求a 。 正、余弦定理与向量的综合 1. 在ABC △中，已知tan AB AC A ?=uu u r uuu r ，当π6 A =时，ABC △的面积为 . 2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB ―→·BC ―→>0， a ＝32 ，则b ＋c 的取值范围是( ) A.??? ?1，32 B.????32，32 C.????12，32 D.????12，32 3. 在锐角三角形C AB 中，1tan 2 A =，D 为边C B 上的点，D ?AB 与CD ?A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则 D DF E?= ． 4. ABC ?的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()m a =与(cos ,sin )n A B =平行. (I)求A ； (II)若2a b ==求ABC ?的面积. 5. 在平面直角坐标系xoy 中，已知向量222m ?=- ??，()sin ,cos n x x =，0,2x π??∈ ???． （1）若m n ⊥，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为 3 π，求x 的值． 6. 已知向量(,cos2)a m x =，(sin 2,)b x n =，设函数()f x a b =?，且()y f x =的图象过 点(12π 和点2(,2)3 π-. （Ⅰ）求,m n 的值； （Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移?（0?π<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间. 7. 在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ?=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值. 必修五正余弦定理习题练习 1 2 一．选择题（共5小题） 3 1．（2015?秦安县一模）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、4 b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（） 5 A．B．C． D． 6 2．（2016?太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，7 c，若，a=2，，则b的值为（） 8 A．B．C．D． 9 3．（2016?大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满10 足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（） 11 A．等腰三角形 B．直角三角形 12 C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形 13 4．（2016?宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（） 14 A．B．C．D．或 15 5．（2014?新课标II）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）16 A．5 B．C．2 D．1 17 18 二．填空题（共6小题） 19 6．（2015?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△20 ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为______． 21 7．（2015?重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC= 22 ﹣，3sinA=2sinB，则c=______． 23 8．（2015?广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，24 C=，则b=______． 25 9．（2015?北京）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=______． 26 10．（2015?安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=______．27 11．（2013?福建）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，28 AB=3，AD=3，则BD的长为______． 29 30 31 三．解答题（共1小题） 32 12．（2015?新课标Ⅰ）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边， 33 sin2B=2sinAsinC． 34 （Ⅰ）若a=b，求cosB； 35 （Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积． 36 37 38 高三数学必修五《正弦定理和余弦定理》教案 教案【一】 教学准备 教学目标 进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式. 教学重难点 教学重点：熟练运用定理. 教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化. 教学过程 一、复习准备： 1.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式. 2.讨论各公式所求解的三角形类型. 二、讲授新课： 1.教学三角形的解的讨论： ①出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形. 分两组练习→讨论：解的个数情况为何会发生变化? ②用如下图示分析解的情况.(A为锐角时) ②练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况. 2.教学正弦定理与余弦定理的活用： ①出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化?→引入参数k，设三边后利用余弦定理求角. ②出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型. 分析：由三角形的什么知识可以判别?→求角余弦，由符号进行判断 ③出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状. 分析：如何将边角关系中的边化为角?→再思考：又如何将角化为边? 3.小结：三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化. 三、巩固练习： 3.作业：教材P11B组1、2题. 教案【二】 一)教材分析 (1)地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。 (2)重点、难点。 重点：正余弦定理的证明和应用 难点：利用向量知识证明定理 (二)教学目标 (1)知识目标： ①要学生掌握正余弦定理的推导过程和内容; ②能够运用正余弦定理解三角形; ③了解向量知识的应用。 (2)能力目标：提高学生分析问题、解决问题的能力。 (3)情感目标：使学生领悟到数学来源于实践而又作用于实践，培养学生的学习数学的兴趣。 (三)教学过程 教师的主要作用是调控课堂，适时引导，引导学生自主发现，自主探究。使学生的综合能力得到提高。 教学过程分如下几个环节： 教学过程课堂引入 1、定理推导 高一（下）数学（必修五）第一章 解三角形 正弦定理、余弦定理高考真题 1、（06湖北卷）若ABC ?的内角A 满足2 sin 23 A =，则sin cos A A += ．．53 D ．53 - 解：由sin2A ＝2sinAcosA >0，可知A 这锐角，所以sinA ＋cosA >0， 又25 (sin cos )1sin 23 A A A +=+=，故选A 2、（06安徽卷）如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则 A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 解：111A B C ?的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ?是锐角三角形，若222 A B C ?是锐角三角形，由211211211sin cos sin()2 sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ?==-?? ? ==-?? ? ==-?? ，得21 2121222A A B B C C πππ? =-???=-???=-??，那么， 2222 A B C π ++=，所以222A B C ?是钝角三角形。故选D 。 3、（06辽宁卷）ABC V 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量 (,)p a c b =+u r ,(,)q b a c a =--r ,若//p q u r r ,则角C 的大小为 (A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23 π 【解析】222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ?+-=-?+-=u r r ，利用余弦定理可得 2cos 1C =，即1cos 23 C C π = ?=，故选择答案B 。 【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。 4、（06辽宁卷）已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ） 解： 依题意，结合图形可得tan 215A = ，故222tan 2tan 1tan 2A A A = ==-，选D 5、（06全国卷I ）ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B = A ．1 4 B ．34 C 4 D ．3 解：ABC ?中，a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则b =2a ， 222cos 2a c b B ac +-==2222 423 44 a a a a +-=，选B. 高三数学必修五《正弦定理和余弦定理》教 案 （2021最新版） 作者：______ 编写日期：2021年__月__日 教案【一】 教学准备 教学目标 进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理 解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式. 教学重难点 教学重点：熟练运用定理. 教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化. 教学过程 一、复习准备： 1.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式. 2.讨论各公式所求解的三角形类型. 二、讲授新课： 1.教学三角形的解的讨论： ①出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形. 分两组练习→讨论：解的个数情况为何会发生变化? ②用如下图示分析解的情况.(A为锐角时) ②练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况. 2.教学正弦定理与余弦定理的活用： ①出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化?→引入参数k，设三边后利用余弦定理求角. ②出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型. 分析：由三角形的什么知识可以判别?→求角余弦，由符号进行判断 ③出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状. 分析：如何将边角关系中的边化为角?→再思考：又如何将角化为边? 3.小结：三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化. 三、巩固练习： 3.作业：教材P11B组1、2题. 教案【二】 一)教材分析 (1)地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。 (2)重点、难点。 重点：正余弦定理的证明和应用 正余弦定理考点分析及 例题讲解 考点回顾： 1. 直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝ c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2. 2．斜三角形中各元素间的关系： 如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 R C c B b A a 2sin sin sin ===。 （R 为外接圆半径） 3. 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R 的常见变形： (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ； (2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ； (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ； (4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R . 4. 三角形面积公式：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1 2 ca sin B . 5. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 余弦定理的公式： 2 2 2 222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 或 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=??+-?= ???+-=? ?. 6. （1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 7. 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式 . 数学必修五余弦定理教案 【教学分析】： 一、教学导图 温故引新 特例激疑类 比 探 究 理 性 演 绎 完 善 知 识 剖 析 升 华 例 题 示 范 迁 移 运 用 归 纳 小 结 反 思 拓 展类比探究 理性演绎 余弦定理 语言叙述 变形 作用 二、【教学目标】 1．通过实践与探究，会利用数量积证明余弦定理，提高数学语言的表达能力，体会向量工具在解决三角形的度量问题时的作用。 2．会从方程的角度理解余弦定理的作用及适用围，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 3．会结合三角函数利用计算器处理解斜三角形的近似计算问题。 4．在方程思想指导下，提升处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 三、【教学重难点】 教学重点：余弦定理的发现、证明过程及其基本应用。 教学难点：理解余弦定理的作用及适用围。 突破关键：将余弦定理的三个公式视为三个方程组成的方程组。 教学设计 一、温故引新特例激疑 1，正弦定理是三角形的边与角的等量关系。正弦定理的容是什么？你能用文字语言、数学语言叙述吗？你能用哪些方法证明呢？ 正弦定理：在一个三角形中各边和它的对边的正弦比相等，即：2sin sin sin a b c R A B C ===，其中2R 为三角形外接圆的直径。 说明：正弦定理说明同一个三角形中，边与它所对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数2R ，使2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===。 2，运用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？ 由 ,sin sin sin sin a b b c A B B C == ，可以解决“已知两角及其一边可以求其他边。”“已知两边及其一边的对角可以求其他角。”等解 三角形问题。 3，思考：如图，在ABC ?中，已知 ,,ABC c AC b BAC A ?==∠=，求a 即BC 。 本题是“已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。”的解三角形的问题。本题能否用正弦定理求解？ 困难：因为角B C 、未知, 较难求a 。 二、类比探究 理性演绎 （一）类比探究 当一个三角形的两边和它们的夹角确定后，那么第三边也是确定不变的值，也就是说角A 的对边随着角A 的变化而变化。 c b b a b B C A c b b a b B C A c b b a b B C A 当b c 、一定，A 变化时，a 可以认为是A 的函数，()0,A π∈。 当2 A π = 时，222a b c =+（勾股定理），为方便起见，考虑2a 关于A 的函数，记作()2a f A =， c b b a b B C A必修五解三角形正弦定理和余弦定理
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