用费马定律证明光的折射定律
用费马定律证明光的折射定律：
（费马定律就是从A 点到B 点光行走
的时间的最小值，即极值。）
对光从A 点经O 点到达B 点的时间：
2
2
212221v OD BD v OC AC v OB v AO t +++=+= 为了计算方便，记OC=x ；
则： 2
2212
2)(x v x CD BD v AC t +++== 因为t 的一阶导数为零，即：
0)(222221=++=′BD x CD v x CD AC x v x
t
化简得到：
OB
v OD AO v ×=×21x 即：r n i n sin sin 21=
即光的折射定律得证：
反射定律，相似方法也可得证！
世界数学难题——费马大定理
世界数学难题——费马大定理 费马大定理简介： 当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程 x^n + y^n = z^n. （(x , y) = (x , z) = (y , z) = 1［n是一个奇素数］x>0,y>0,z>0）无整数解。 这个定理，本来又称费马最后定理，由17世纪法国数学家费马提出，而当时人们称之为“定理”，并不是真的相信费马已经证明了它。虽然费马宣称他已找到一个绝妙证明，但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁?怀尔斯和他的学生理查?泰勒于1995年成功证明。证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。而安德鲁?怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。 [编辑本段] 理论发展 1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”（拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。 对很多不同的n，费马定理早被证明了。但数学家对一般情况在首二百年内仍一筹莫展。 1908年，德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。在一战之后，马克大幅贬值，该定理的魅力也大大地下降。 1983年，en:Gerd Faltings证明了Mordell猜测，从而得出当n > 2时（n为整数），只存在有限组互质的a,b,c使得a^n + b^n = c*n。 1986年，Gerhard Frey 提出了“ε-猜想”：若存在a,b,c使得a^n + b^n = c^n，即如果费马大定理是错的，则椭圆曲线y^2 = x(x - a^n)(x + b^n) 会是谷山-志村猜想的一个反例。Frey的猜想随即被Kenneth Ribet证实。此猜想显示了费马大定理与椭圆曲线及模形式的密切关系。 1995年，怀尔斯和泰勒在一特例范围内证明了谷山-志村猜想，Frey的椭圆曲线刚好在这一特例范围内，从而证明了费马大定理。 怀尔斯证明费马大定理的过程亦甚具戏剧性。他用了七年时间，在不为人知的情况下，得出了证明的大部分；然后于1993年6月在一个学术会议上宣布了他的证明，并瞬即成为世界头条。但在审批证明的过程中，专家发现了一个极严重的错误。怀尔斯和泰勒然后用了近一年时间尝试补救，终在1994年9月以一个之前怀尔斯抛弃过的方法得到成功，这部份的证明与岩泽理论有关。他们的证明刊在1995年的数学年刊（en:Annals of Mathematics）之上。 1：欧拉证明了n=3的情形，用的是唯一因子分解定理。 2：费马自己证明了n=4的情形。 3：1825年，狄利克雷和勒让德证明了n=5的情形，用的是欧拉所用方法的延伸，但避开了唯一因子分解定理。 4：1839年，法国数学家拉梅证明了n=7的情形，他的证明使用了跟7本身结合的很紧
高中物理：4.1《光的折射定律》教案(鲁科版选修3-4)
第一节光的折射定律 三维教学目标 1、知识与技能 （1）掌握光的反射及反射定律； （2）掌握光的折射及折射定律； （3）掌握介质的折射率的概念，了解介质的折射率与光速的关系。 2、过程与方法：通过观察演示实验，使学生了解到光在两种介质界面上发生的现象(反射和折射)，观察反射光线、折射光线随入射角的变化而变化，培养学生的观察、概括能力，通过相关物理量变化规律的学习，培养学生分析、推理能力。 3、情感、态度与价值观：渗透物理研究和学习的科学态度的教育，实验的客观性与人的观察的主观性的矛盾应如何解决，人的直接观察与用仪器探测是有差别的，我们应用科学的态度看待用仪器探测的结果。 教学重点：光的折射定律、折射率。折射率是反映介质光学性质的物理量，由介质来决定。教学难点：光的折射定律和折射率的应用，通过问题的分析解决加深对折射率概念的理解，学会解决问题的方法。 教学方法：引导、探究 教学用具：光的折射演示器，附件：接线板、火柴、烟雾发生器及烟雾源、半圆柱透明玻璃、直尺、计算器。 （一）引入 初中已学过光的折射规律：折射光线跟入射光线和法线在同一平面内；折射光线和入射光线分居在法线的两侧；当光从空气斜射入水或玻璃中时，折射角小于入射角；当光从水或玻璃斜射入空气中时，折射角大于入射角。初中学的光的折射规律只是定性地描述了光的折射现象，而我们今天要定量地进行研究： （二）新课教学 演示：将光的激光演示仪接通电源，暂不打开开关，将烟雾发生器点燃置入光的折射演示器中，将半圆柱透明玻璃放入对应的位置，打开开关，将激光管点燃，让一束激光照在半圆柱透明玻璃的平面上，让光线垂直于平面过圆心入射(沿法线入射)， 观察：折射情况，a．角度，b．明暗程度与入射光线进行对比。然后改变入射角进行记录，再次观察能量改变的情况。 1、在两种介质的分界面上入射光线、反射光线、折射光线的能量分配 随入射角的增大，反射光线的能量比例逐渐增加，而折射光线的能量比例逐渐减小。 2、经历了近1500年才得到完善的定律 （1）历史发展：公元2世纪古希腊天文学家托勒密通过实验得到： A．折射光线跟入射光线和法线在同一平面内； B．折射光线和入射光线分居在法线的两侧； C．折射角正比于入射角。 德国物理学家开普勒也做了研究。 （2）折射定律：最终在1621年，由荷兰数学家斯涅耳找到了入射角和折射角之间的关系。 将一组测量数据抄写在黑板上让学生进行计算(用计算器)，光线从空气射入某种玻璃。
费马最后定理的故事
●今年6月间，德国哥庭根大学的大会堂里，500名数学家齐聚，观看普林斯顿大学数学家魏尔斯(Andrew Wiles)领取沃夫斯柯奖。沃夫斯柯是一位德国工业家的名字，他在20世纪初遗赠10万马克设立此一奖项，给予世界上头一个能解决费马最后定理之人。当时10万马克是不小的一笔数目，约等于200万美金，而几个月前由魏尔斯领到时，不过相当5万美金左右，但是这确是近世数学界的盛事，魏尔斯不只是证明了费马最后定理，也替未来的数学带来革命性新发展。费马最后定理的发明者自然是一个叫费马的人。费马(Pierre deFermat)1601年出生在法国西南方小镇。费马并不是一个数学家，他的职业是一名法官。当时为了保持法官立场的公正，通常不鼓励他们出外社交，因此每天晚上费马便钻研在他嗜好的数学之中，悠然自得。在1637年的某一天，费马正在阅读古希腊大数学家戴奥芬多斯的数学译本，忽然灵光乍现，就在书页空白处，写下有名的费马定理。费马定理的内容其实很简单，它只是基于一个方程式（X+Y=Z)。这个方程式当n等于2时，就是人们熟知的毕氏定理，中国数学上所称的勾股弦定理，其内容即直角三角形两边平方和等于其斜边的平方。如32.+42.=52.(9+16=25)。费马当时提出的难题是，当这个方程式(X+Y=Z)的n大于2时，就找不到任何整数来符合这个方程式。例如33.+43.(27+64)=91，但是91却不是任何整体的3次方。费马不仅写下了这个问题，他同时也写道，自己已经发现了证明这个问题的妙法，只是书页的空白处不够大，无法写下证明。结果他至死都没有提出他的证明，却弄得300多年来数学界群贤束手，也使他的难题得到一个费马最后定理的称号。19世纪时，法国的法兰西科学院，曾经分别两度提供金质奖章和300法郎之赏，给予任何可以解决此一难题之人，不过并没有多大进展。20世纪初捐出10万马克奖金的沃夫斯柯，事实上也是一个对费马最后定理着迷的“数痴”，据一些历史学家研究，沃夫斯柯原本一度已打算自杀，但由于对解决费马定理着迷，而放弃求死之心，因此他后来便在遗嘱中捐出巨款，原因是他认为正是费马定理救了他一命。重赏之下必有勇夫，但是解决数学难题却非人人可为。20世纪公认的德国天才数学家希伯特（D. Hilbert）就不愿去碰费马定理，他的理由是自己没那么多时间，而且到头来还可能落得失败的下场。虽然费马定理还是让许多数学家萦怀于心，但是他们看这个难题就有如化学家看炼金术一样，只是一个古老的浪漫梦。秘密钻研7年突破难题最后解决这个世纪难题的魏尔斯，早在1936年他10岁之时，便有着挑战费马定理的浪漫梦想，他在英国桥剑地方的图书馆中读到这个问题，便决心一定要找出证明方法。他学校的老师并不鼓励他浪费时间于这个不可能之事，大学老师也试图劝阻他，最后他进了英国剑桥大学数学研究所，他的指导教授指引他转入数学中比较主流的领域做椭圆曲线。魏尔斯自己也没有料到，这个由古希腊起始的数学研究训练，最后会导致他再回到费马定理之上。1927年，日本数学家谷山丰提出一个讨论椭圆曲线的数学结构，后来在美国普林斯顿大学的日本数学家志村五郎，再将这个结构发展得更为完备。这个被称为“志村—谷山猜想”的数学结构，居然成为化繁为简，通向解决费马定理的绝妙佳径。1984年德国萨兰大学的数学家佛列发展出一种很奇特也很简单的关联，将“志村—谷山猜想”和费马定理扯在一块，佛列提出的关联经过好几位数学家的努力，最后终于证明了如果要证明费马最后定理，可以经由证明“志村—谷山猜想”来完成。魏尔斯是1993年在英国剑桥大学，正式宣布他已解决费马最后定理，在此之前他已秘密的工作达7年之久，原因不只是怕受到公众压力，也害怕其他数学家抄袭他的想法，在这段期间，魏尔斯连和太太去度蜜月中都未能从“附魔”脱身。最后的结果是魏尔斯并不需要证明整个的“志村—谷山猜想”，他只要证明一些特定的椭圆形曲线是具备某种特性。但是这些特定的椭圆曲线还是有无穷多个，因此证明技巧上依然十分困难。魏尔斯基本上利用了数学上常用的归纳法，他的办法有点像推倒骨牌的游戏，如果要推倒无限多张的骨牌，你必须确知的乃是一张骨牌倒下时，一定会碰到的下张骨牌。魏尔斯在1993年6月23日觉得他的证明已十分完整，于是便在剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会上正式宣布。300年悬案终有解300多年数学悬案终于解决，不只数学界哗然震惊，数学门墙之外的社会大众亦感
《光的折射定律》同步练习1
光的折射同步测试题 一、选择题 1．人看到沉在水杯底的硬币，其实看到的是[ ] A．硬币的实像，其位置比硬币实际所在位置浅 B．硬币的实体，其位置即硬币的实际位置 C．硬币的虚像，但位置比硬币的实际位置浅 D．硬币的虚像，其位置比硬币的实际位置深 2．如图1所示，在两束光的交点P前，放一块长方形的玻璃砖则交点位 置[ ] A．不变B．向左C．向右 D．可能向左、也可能向右，由光的颜色决定的 3．在图2中的虚线表示两种介质的界面及其法线，实线表示一条光线斜射 向界面后发生反射与折射的光线，以下正确的说法是[ ] A．bO不可能是入射光线B．aO可能是入射光线 C．cO可能是入射光线D．Ob可能是反射光线 4．关于折射率，下述说法中正确的是：[ ] A．根据n=sini／sin r可知，介质的折射率与入射角的正弦成正比 B．根据n=sini／sin r可知，介质的折射率可能为任何正数 C．根据n=c／v可知，介质的折射率与介质中的光速成反比 D．以上说法都不对 5．已知光线穿过介质Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ时的光路图如图3所示，下面说法中正确 的是[ ] A．介质Ⅱ是光密介质 B．介质Ⅰ的折射率最大 C．介质Ⅲ的折射率比Ⅰ大 D．光在介质Ⅲ中光速最小 6．光线从真空中入射到一块平行透明板上，入射角为40°，则反射光线和折射光线的夹角可能是[ ] A．小于40°B．在40°到100°之间 C．大于40°D．在100°到140°之间 7．甲在岸上，乙潜入清澈的水中，二人互相对看，甲、乙看到对方的头部位置是[ ] A．都比实际位置高 B．都比实际位置低 C．甲看乙低，乙看甲高（与实际位置比较） D．甲看乙高，乙看甲低（与实际位置比较） 8．某单色光在真空中的波长为λ，波速为c，它在折射率为n的介质中速度为[ ] A．c/n B．c/（nλ）C．nc D．c 9、当光线以30入射角从折射率为2的介质中射向空气时，折射角应为[ ] A．比值i/r不变 B．比值sini／sinr不变 C．比值sini/sinr是一个大于1的常数 D．比值sini/sinr是一个小于1的常数
专训2.探究光的折射规律(4)
专训2.探究光的折射规律 在探究光的折射规律的实验中： (1)探究光的折射的原因：用车通过不同的路面类比光通过不同的介质(类比法)； (2)液体中加入牛奶的原因：牛奶对光起漫反射的作用，更好地显示光路； (3)进行多次实验的目的：使得到的规律具有普遍性。 探究光的折射的发生原因 1．阅读短文，回答后面的问题： (第1题图) 人们常把光波类比成水波，因为它们之间有很多相似的地方。如图甲所示，我们把光波画得像水波一样，利用一些横线表示光波在行进中的波纹。当光斜射入玻璃的时候，一个波纹的一端先触及玻璃的表面，由于光在玻璃中比在空气中前进的速度小，所以波纹的这一端就先慢下来了，这样波纹就改变了前进方向，当这个波纹全部进入玻璃中以后，它就又沿着直线前进了。可以看出光线的偏折只发生在经过界面的一瞬间。 还可以打个比方来帮助你弄清楚光折射的原因。在劳动的时候，同学们推着两个轮子的手推车，当你把车从平坦的水泥路面推向一段沙地时，如果水泥路面和沙地的交界线跟车子的前进方向斜交，如图乙所示，就会有一个车轮先遇到沙地，它的速度立即减慢下来，而另一个车轮仍以原来较快的速度前进，两个轮子的速度不同，车子就转弯，等两个轮子同时进入沙地以后，车子就又沿着直线前进了。 (1)上述研究问题的方法叫( ) A．类比法B．转换法 C．控制变量法D．放大法 (2)光由一种介质斜射入另一种介质中传播方向会发生改变与光在不同介质中的有关。 (3)光由一种介质垂直射入另一种介质时，传播方向为什么不发生改变？
探究光的折射的规律 2．【2016·云南】某小组选用了图甲中光源、水、水槽、可折转的光屏(带刻度)等器材，用于完成探究“光从空气射入水中时的折射规律”。 (第2题图) (1)使用可折转的光屏，是为了观察折射光线和入射光线是否。 (2)光从空气射入水中，入射点为O点，不断改变入射角，读出刻度盘上对应的折射角，将实验结果画在图丙中，其中1和1′、2和2′…4和4′分别表示各次入射光线和对应的折射光线的位置。由此可得出，光从空气斜射入水中时，折射角随入射角的增大而，且折射角(填“大于”“等于”或“小于”)入射角；当光从空气垂直射入水中时，折射角等于度。【导学号06222040】3．【中考·抚州】小文在探究光的折射规律时，将光从空气分别射入玻璃和水中。其实验过程如下： 实验一：将光从空气射入玻璃中 (1)将半圆形玻璃砖放在标有角度的圆盘上，如图甲所示； (2)将一束激光从空气射向玻璃砖的圆心O处，激光在O处发生折射，记录入射角和折射角；
6.第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验定律进行推证
第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验 定律进行推证 2.1 反射定律和折射定律 在教材中我们早就学习了折射定律和反射定律]1[，反射定律的传统表达为：入射光线与反射光线在同种介质中，且对称分居于法线两侧，即入射角i 等于反射角i '，或i ＝i '。折射定律的传统表达为：光折射时，折射光线、入射光线、法线在同一平面内，折射光线和入射光线分别位于法线的两侧。折射角随入射角的改变而改变：入射角增大时，折射角也增大；入射角减小时，折射角也减小。这两个定律通俗易懂，但它们在教材中都是通过实验推出，并没有从理论的角度进行推证。本章利用费马原理从理论角度对反射定律和折射定律进行推导。 我们已经学过nds 称为光程，并且当两列波在同一点相遇并叠加时，其光强取决于相位差，而相位差又取决于光程差。可以证明，几何光学中，有关光线的实验事实也可以归结为光程问题，即不考虑光的波动性，而只从光线的观点出发通过光程的概念。 2.2费马原理 费马原理是费马在1650年概括光线传播的实验定律提出的[2]，其内容为：连结给定两点P 和Q 可以有许多路径，而光线只遵循两点间光程为极值的路径，数学表达形式为： Q P nds =?极值（极小值、极大值或恒值） （2-1） 费马原理要求光程为极值，可以是最小值，这是最常见的，也可以是最大值，还可以是稳定值。 几何光学的核心就是费马原理，虽然几何光学被看作是波动光学的近似，但现在光学设计中的光线追迹及光学成像等还是利用由费马原理推出的几何光学的知识，费马原理是物理学和数学的精妙结合。 2.3 折射定律的推导 设光线由P 点传播到Q 点， P 和Q 两点分别在折射率为1n 和2n 的均匀媒质中，首先建立笛卡儿空间直角坐标系，选两种介质的分界面为x y 平面，选过P 和Q 两点并与媒质分界面垂直的平面为yz 平面，如果P 和Q 两点的连线与分界
WILES证明费马大定理的成功时间为何其说不一
WILES证明费马大定理的成功时间为何其说不一？ WILES证明费马大定理的成功时间为何其说不一？ 他的证明是否又被发现“漏洞”？ 在《征服费马定理的最后竞赛》中真正夺冠的应该是哪国人？ 1993年，国内新闻媒体说：350多年的数学难题被美国普林斯顿大学数学教授wiles证明。《黑龙江日报》在《科技世界》版头条发表了哈工大青年数学家曹珍富的文章《英国数学家证明了费尔马大定理》（副题：困扰人类350多年的数学难题今朝有解）。但是。几年后（1997）这位青年数学家又在《生活报》发文说：wiles是1995年证明成功的。 1994年，《中国青年报》发文说：wiles迫于社会舆论压力不得不透漏真情，说他遇到了料想不到的困难，还需要做很多工作。 1995年，《参考消息》（４月５日）载文《征服费马定理的最后竞赛》中说：wiles的证明被发现“漏洞”，他自己“堵不上”，想找合作者……。 2000年，哈工大理学院院长说：wiles最后成功的时间是1996年1月。 2002年，中科院一位院士在《教育台》的《学术报告厅》中宣讲时说wiles是1994年证明成功。 Wiles证明费尔马大定理成功的时间为何其说不一？ 还有更加令人不解的： 一、2003年，远方出版社出版的《数理化之谜》中说：千古之谜费马大定理，至今尚无人完全证明。 二、2007年，哈尔滨出版社出版的《数学的故事》中说：30年前，美国数学家大卫·曼福特证明了“如果不定方程有整数解，那么这种解是非常少的”。这是目前关于“费尔马问题”最好的研究成果。 为什么这两本书中，对wiles的证明成功却“只字皆无”？莫非wiles的证明又被发现了“漏洞”？ 大千世界无奇不有。1993年8月1日，《松花江报》发表了一篇该报记者写的报道《谷立煌宣称证明了费尔马大定
光的折射定律
光的折射 光的折射：光从一种介质斜射入另一种介质时，传播速度发生改变，从而使光线在不同介质交界处发生偏折。理解：光的折射与光的反射一样都是发生在两种介质的交界处，只是反射光返回原介质中，而折射光线则进入到另一种介质中，由于光在在两种不同的物质里传播速度不同，故在两种介质的交界处传播方向发生变化，这就是光的折射。注意：在两种介质的交界处，既发生折射，同时也发生反射。反射光线光速与入射光线相同 ，折射光线光速与入射光线不同。 光从真空射入某种介质发生折射时，入射角的正弦玉折射角的正弦之比，叫做这种介质的绝对折射率，简称折射率。 光的折射定律 1、折射光线和入射光线分居法线两侧 （法线居中，与界面垂直） 2、折射光线、入射光线、法线在同一平面内。（三线两点一面） 3、当光线从空气斜射入其它介质时，角的性质：折射角(密度大的一方)小于入射角（密度小的一方）；（在真空中的角总是大的，其次是空气，注：不能在考试填空题中使用） 4、当光线从其他介质射入空气时，折射角大于入射角。（以上两条总结为：谁快谁大。即为光线在哪种物质中传播的速度快，那么不管那是折射角还是入射角都是较大的角，在空气中的角度总是最大的） 5、在相同的条件下，折射角随入射角的增大（减小）而增大（减小）。 6、折射光线与法线的夹角，叫折射角。 7、光从空气斜射入水中或其他介质时，折射光线向法线方向偏折，折射角小于入射角。 8、光从空气垂直射入水中或其他介质时，传播方向不变。 P.S.： 1、光垂直射向介质表面时（折射光线、法线和入射光线在同一直线上），传播方向不变，但光的传播速度改变。 2、在光的折射中，光路是可逆性的。
探究光的折射规律练习题及答案修订版
探究光的折射规律练习 题及答案 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998
探究光的折射规律奇妙的透镜 [沪科粤教版§、§内容] 1、我们学过的光学知识中,有两种镜能使平行光线会聚在一个焦点上,它们是（） A.凸透镜和凹镜? B.凹透镜和凸镜 C.凹透镜和平面镜? D.凸透镜和凹透镜 2、下列光学元件中对光线起发散作用的是(光学元件用序号代表) （） A.(c)、(d)、(e) B.(a)、(d)、(f) C.(a)、(b)、(f) D.(b)、(c)、(e) 3、下列现象中，哪一个是由光的折射引起的（） A．岸上的观察者看站立在清水中的人，觉得他的腿变短了 B．平静水面映出岸上的景物 C．小孔成像 D．汽车司机通过观后镜看到车后的景物 4、如图所示，一束光线斜射入容器中，在容器底形成一光斑，若向容器中逐渐加水，则光斑的位置将（）
A．向左移动后静止 B．向右移动后静止 C．先向左，后向右移动 D．仍在原位置 5、当物体从凸透镜的焦点移向镜前过程中,它形成的虚像将（） A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.保持不变 D.先减小后增大 6、插入水中的筷子看起来向上弯折，这是由于发生了________现象的缘故． 7、如图所示，空杯底部放一枚分币，移动杯子，使眼睛刚刚看不到分币，保持眼睛和杯子的位置不变，慢慢向杯子里倒水，随着水面升高，将会看到 ________，这是由于________． 8、平行光沿凹镜主轴入射，则反射光________到一点，这一点叫做凹镜的 ________． 9、透镜是利用光的________现象制成的，凸透镜对光有________作用，凹透镜对光线有________作用．
费马大定理的美妙证明
费马大定理的美妙证明 成飞 中国石油大学物理系 摘要：1637年左右，法国学者费马在阅读丢番图（Diophatus）《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。” 0、费马大定理： 当n>3时，X n +Y n=Z n，n次不定方程没有正整数解。 1、当n=1，X+Y=Z，有任意Z≥2组合的正整数解。任意a.b.c；只要满足方程X+Y=Z；a,b.c 由空间平面的线段表示，有 a b c 可见，线段a和线段b之和，就是线段c。 2、当n=2，X2+Y2=Z2，有正整数解，但不任意。 对于这个二次不定方程来说，解X=a,Y=b,Z=c，在空间平面中，a,b,c不能构成两线段和等于另外线段。 又因为，解要满足二次不定方程，解必然a+b>c且c>a,b。 可以知道，二次不定方程的解，a,b,c在空间平面中或许可以构成三角形， B c A 根据三角形余弦定理，有 c2=a2+b2-2ab× cosɑ( 0<ɑ< π)
此时，a,b,c，即构成了三角形，又要满足二次不定方程X2+Y2=Z2 ，只有当且仅当ɑ=900，cosɑ=0,a,b,c构成直角三角形时c2=a2+b2，既然X=a,Y=b,Z=c，那么二次不定方程X2+Y2=Z2有解。 3、当n=3，X3+Y3=Z3，假设有正整数解。a,b,c就是三次不定方程的解，即X=a,Y=b,Z=c，a+b>c,且c>a,b。 此时，a,b,c也必构成三角形， B A 根据三角形余弦定理，有 c2 = a2+b2-2ab× cosɑ( 0<ɑ< π) 因为，a,b,c是三次不定方程X3+Y3=Z3的正整数解，cosɑ是连续函数，因此在[-1,1]内取值可以是无穷个分数。根据大边对大角关系，ɑ角度取值范围(60o，180o），由此我们cosɑ的取值分成两部分，（-1,0］和［0，?）范围内所有分数；而a+b>c,且c>a，b， 1、当cosɑ=（-1,0］，三角形余弦定理关系式得到， c2 = a2+b2+mab m=［0,1）内正分数； 等式两边同乘以c，有 c3 = a2c + b2c + mabc 因为c>a，b，那么 c3 > a3+ b3 2、当cosɑ=?，三角形余弦定理关系式得到， c2 = a2+b2-ab 等式两边同乘以a+b，有 (a+b)c2 = a3+ b3 又因为a+b>c， 所以，c3 < a3+ b3 （根据三角形大角对大边，c>a，b，即ɑ不可能等于600） 那么，cosɑ=［0，?）时，更加满足c3 < a3+ b3 既然，a,b,c是三次不定方程X3+Y3=Z3的解，又a3+ b3≠ c3， 那么，X3+Y3≠Z3，得到结果与原假设相矛盾，所以，假设不成立。 即，n=3时，X3+Y3=Z3 ，三次不定方程没有正整数解。 4、n>3, X n +Y n=Z n，假设有正整数解。a,b,c就是n次不定方程的解，即X=a,Y=b,Z=c，a+b>c,且c>a,b。此时，a,b,c构成三角形，根据三角形余弦定理有，
费马原理
费马原理的运用 王瑞林（03010425） （东南大学能源与环境学院，南京 210010） 摘要：本文介绍了几何光学的基本定理——费马原理的定义、传统表述及运用波动光学对其本质的介绍。并且运用费马原理证明了几何光学的三大定律，并求出了最速降线。 关键词：费马原理；折射定律；圆锥曲线光学性质；最速降线；最小作用量原理 The use of Fermat’s principle Wangruilin (The college of environment and energy , Southeast University, Nanjing 210096 ) Abstract: We introduced the Fundamental theorem of geometrical optics- Fermat’s principle. We introduced the definition and presentation of Fermat's principle, analysis its essemce . we also got the three basic laws of geometrical optics, and find the brachistochrone with proof of Fermat's principle. key words: Fermat’s principle；Law of ref raction；Optical properties of coni c；Brachistochrone；Principle of least action 我们之前在初高中就已经学习过几何光学，并了解了其中的一些重要定律，但是都只是一些经验的描述和一些实验的简单验证，本文我们运用几何光学的基础原理——费马原理对已学过的几何定律做一个简单的梳理并简单介绍一下运用费马原理对最速降线问题的求解。 费马原理简介 一、费马定理的表述 关于费马原理的定义，教科书上的表述如下：“过空间中两定点的光，实际路径总是光程最短、最长或恒定值的路径。”其实表述并不足够准确，因为对于某些路程，不能简单的以光程极值来加以限定，最为准确而精炼的表述要利用到数学上的泛函知识，具体描述为：“过两个定点的光走且仅走光程的一阶变分为零的路径。”其中光程的定义为光通过的介质对光的折射率与光通过的路程的乘积。费马原理的数学表述形式为 其中，δ是变分符号，p1、p2表示空间中两个固定点，n为介质的折射率，s表示路程。我们将路径视为一个函数，而变分则是对泛函求导，其结果类似于我们函数求导，我们可以用函数求导来类似理解变分的求解。 费马定理还有另外一种表述：“过空间中两定点的光，实际路径总是时间最短、最长或恒定值的路径。”其实就是把光程换成了时间t
1 第1节 光的折射定律
第1节光的折射定律 1.理解光的折射定律，能应用折射定律解释一些常见的自然现象.（重点＋难点） 2.知道折射率的意义，知道折射率与光速的关系.（重点） 3.能应用折射定律分析视深问题. 4.会测定介质的折射率.（重点） 一、折射角与入射角的定量关系 1.光的折射 光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向会改变，这种现象叫做光的折射. 2.入射角与折射角的定性关系 入射角：入射光线与法线间的夹角，一般用i表示. 折射角：折射光线与法线间的夹角，一般用r表示. 实验表明：当入射角变化时折射角随着改变. 3.斯涅耳定律（折射定律） 入射角的正弦与折射角的正弦之比是一个常数，即sin i sin r＝n. 1.在光的反射中光路是可逆的，光的折射现象中光路可逆吗？ 提示：与光的反射一样，光的折射现象中光路也是可逆的. 二、折射率的意义 1.定义 光从真空射入某种介质发生折射时，入射角i的正弦与折射角r的正弦之比.用n表示. 2.定义式 n＝sin i sin r. 3.折射率与光速的关系 光在不同介质中的传播速度不同，且都小于光在真空中的传播速度；某种介质的折射率，等
于光在真空中的速度与光在这种介质中的速度之比，即 n ＝c v . （1）折射率与入射角、折射角的大小有关，与两种介质的性质无关.（ ） （2）光在某种介质中的传播速度越大，则该介质的折射率越大.（ ） （3）光在真空中的传播速度最大.（ ） （4）光在发生折射时，折射光的速度与入射光的速度相等.（ ） 提示：（1）× （2）× （3）√ （4）× 三、测量介质的折射率 1.在测量介质的折射率的实验中，作出的光路图如图所示. 图中AO 为入射光线，OE 为折射光线，NN ′为法线，i 是入射角，r 是折射角，玻璃折射率的 表达式n ＝sin i sin r . 2.为减小实验误差，需多测几组数据，分别求出每一次的折射率，最后求出它们的平均值. 2.光线斜射入两面平行的玻璃砖时，入射光线和出射光线满足什么关系？ 提示：若把入射光线延长交至玻璃砖底面，由几何关系不难发现入射光线和出射光线平行. 四、对折射现象的解释 1.水中的物体看起来比实际的要浅，这是因为水的折射率大于空气的折射率，光从水中射入空气时，折射角大于入射角. 2.一束白光射入三棱镜时会发生色散现象，这是因为不同颜色的光在同一介质中的传播速度不同，折射率不同，其中红光的传播速度最大，折射率最小，经三棱镜后偏折程度最小，紫光的传播速度最小，折射率最大，经三棱镜后偏折程度最明显.平常我们所说的某介质的折射率是指七种色光的平均折射率. 3.早上太阳升起在地平线上时，它的实际位置是在地平线上吗？ 提示：不是.由于光从真空进入空气时发生折射，入射角大于折射角，光线向下偏折，而人眼
我用概率证明了费马大定理
我用概率证明了费马大定理 章丘一职专马国梁 1637年，法国业余数学家费马在一本著名的古书——丢番图的《算术》中的一页上写了如下一段文字： “分解一个立方为两个立方之和，或分解一个四次方为两个四次方之和，或更一般地分解任一个高于二次方的幂为两个同次方的幂之和均不可能。对此我发现了一个奇妙的证明，但此页边太窄写不下。” 用数学语言表达就是说，当指数n > 2时，方程x^n + y^n = z^n 永远没有整数解。这就是著名的连小学生都能看懂的费马猜想。 可是在这个猜想提出后，那个重要的“奇妙证明”不论在费马生前还是死后始终没有被人见到，且后人也再没有找到，所以人们怀疑那个证明根本就不存在或者是在什么地方搞错了。费马生前只是证明了n = 4 的情况；直到1749年，才被欧拉证明了n = 3 的情况。 这个猜想看上去是如此的简单，让局外人根本无法想象证明它的艰难，所以曾经让不少人跃跃欲试。他们搜肠刮肚，绞尽脑汁，耗费了无数的精力。三百多年来，虽然取得了很大进展，显示了人类的智慧，但问题总是得不到彻底解决。直到1995年，才由英国数学家怀尔斯宣称完成了最后的证明。从此费马猜想变成了真正的“费马定理”。 对费马定理的证明之所以艰难，是因为在整数内部有着极其复杂微妙的制约机制，要想找到这些制约关系，必须深入到足够的程度进行细致的分析才行。所以三百多年来，虽然有不少数学大家还有广大业余爱好者不畏艰难，前赴后继，顽强奋斗，但怎奈山高路远，歧途太多，终归难免失败。 在这样的现实下，笔者明白自己也是局外之人，所以不可能去钻这个无底的黑洞。但是作为一种乐趣，我们不妨另外开辟一条渠道，进行旁证和展望。试用概率计算一下：看看费马猜想是否成立，又成立到什么程度。虽然这在数学界难以得到公认，但是我们歪打正着，乐在其中。因为对于决定性的现象，如果其决定因素和控制过程过于复杂，那么其结果是可以用概率理论进行推算的。 但是要证明费马猜想究竟应该从何处下手呢？对此笔者心中一直有一个强烈的直觉。 我们知道：当n = 1 时，x + y = z 可有无数组解。在正整数中，任何两个整数相加的结果必然也还是整数。 但是当n = 2 时，方程x^2 + y^2 = z^2 的解就没有那么随便了，它们必须是特定的一组组的整数。其组数大大减少。 而当n = 3 时，方程x^3 + y^3 = z^3 则根本就没有整数解了。那么其原因是什么呢？ 对此笔者曾经思考了多年。但没想到只是在近几天才一下子开了窍，找到了问题的关键。原来是：指数越大，整数的乘幂z^n在数轴上的坐标点就越稀疏，从而使任意两整数的同次方幂之和x^n + y^n 落在坐标点上成为整数的可能性就越小。其概率是z^n 的导数的倒数。即每组x^n + y^n 能够成为整数的可能性只有 η= 1/[n z^(n-1)] = 1/ [n (x^n + y^n )^(1-1/n) ] 当x、y在平面直角坐标系的第一区间随意取值时，我们可以用积分的办法算出其中能够让z成为整数的组数。其公式为 N =∫∫ηdx dy =∫∫[(dx dy) / (n (x^n + y^n )^(1-1/n))] 因为在平面直角坐标系上，当z 一定时，由方程x^2 + y^2 = z^2 所决定的曲线是个正圆； 而由方程x^n + y^n = z^n 所决定的曲线则是一个近似的圆； 只有当n 趋于无穷大时，它的曲线才能成为一个正方形。 所以当n较小时，我们是可以把方程的曲线当作一个圆来处理的。这样以来，N的积分公式就变成了 N =∫[(0.5πz dz ) / (n z^(n-1))] ①当n = 1 时，由方程x + y = z 所决定的曲线是一条斜的直线。它在第一象限的长度是sqrt(2) z ，此时能够成为整数的概率是100%，即η= 1/[n z^(n-1)] = 1 所以N =∫sqrt(2) z dz = [1/sqrt(2)] z^2 即与z的平方成正比，这意味着在坐标系的第一象限中，遍地都是解。仔细想想这也可以理解。因为不论x还是y，都是可以取任意整数的；而正整数的数量是无穷多，所以它们的组合数将是无穷多的平方，为高一级的无穷多。 ②当n = 2 时，由方程x^2 + y^2 = z^2 所决定的曲线是一个正圆。在第一象限是一段1/4 的圆周，其长度是0.5πz ；此时η= 1/[2 z ] 所以N =∫(0.5πz dz / (2 z) ) = (π/4) z
光的折射定律教案设计
光的折射定律教案设计 一、教材分析 1、教材的地位和作用 本课时是初中物理第一册第六章《光的折射》第一节，光的折射是重要的光学现象，是理解透镜成像的基础，同时又是解释日常生活中许多光现象的基础。光的折射现象学生比较熟悉，也比较感兴趣，通过对现象的分析，培养学生密切联系实际，运用科学知识来解释一些自然现象的习惯和能力，更重要是激发学生学习兴趣，提高科学素质，让学生从小崇尚科学，立志献身科学。本节教材让学生认识光的折射现象和初步规律，是为以后几节课学习活动进行充分准备。所以本节是本单元教学的重点。 2、教学目标 根据全面提高学生素质的总体目标与教学大纲的要求和本节教材内容及学生已有的认识基础，我确定本节的学习目标如下： （1）知识目标： 知道光的折射现象及折射光线和折射角； 知道光的折射规律及在折射现象中光路可逆； 能够用光的折射解释生活中的一些简单现象。 （2）能力目标： 通过演示实验，指导学生观察现象，引导学生自己分析、归纳规律，培养学生的观察、分析、归纳能力。引导学生动手做实验，培养学生的动手能力及通过实验研究问题的习惯。 （3）情感目标： 培养学生学习物理的兴趣。 （4）德育目标： 通过对日常光现象的分析，破除迷信，热爱科学，进行唯物主义教育。 3、难点和重点 根据新修订的教学大纲的要求，及教材内容和学生学习的实际确定： （1）重点：光的折射规律；光路可逆。 （2）难点：光线进入不同介质中，折射角和入射角的关系；用光的折射解释自然现象。 （3）关键：对入射角和折射角的确定。 二、选用的教具及设备 1、选择教具依据 丰富的教学用具及设备，提高了训练密度及广度，使教学过程从枯燥到有趣，从抽象到形象。进行课堂演示实验并利用计算机多媒体辅助教学，不仅提供了大量的教学信息，使学生在生动形象的环境中，得以迅速理解和掌握物理规律。激发学生们的学习兴趣，调动他们的主动性、积极性、创造性，从而达到提高课堂教学效率的目地。 2、教具： 光的折射演示仪；碗；适量的水；筷子；多媒体课件；录像剪辑。 三、教材处理 对日常光的折射现象学生有丰富的感性认识，以现象引入新课，学生学习目标明确，兴趣浓厚。光的折射规律的认识，宜先提出问题及研究方法，通过学生猜想，对照演示实验的观察，辅以多媒体模拟演示，学生思维清晰、准确，有利于规律的总结归纳，并注意理论联系实际，重视知识的应用，让学生遵循认识的规律：从实践到理论，又从理论到实践。达到掌握知识、提高能力，从而提高课堂效率。 四、教法、学法 1、教法 根据教学内容的上下承接关系，学生刚学完光的反射，对光的现象已有一些简单的认识，对光学研究中的一些物理量已有初步的了解，如入射角、法线等。针对素质教育对学生能力的要求，
2018年八年级物理上册 3.4 探究光的折射规律练习 (新版)粤教沪版
3.4 探究光的折射规律 图3－4－1 光的折射 光由一种介质进入另一种介质时____________发生改变的现象，叫做光的折射。 光的折射规律 1．如图3－4－2所示，用PQ表示空气和水的分界面，O点是光线的入射点，AO是入射光线，NN′是过O点的法线，∠AON是入射角，OB是进入水中的________光线，∠BON′是________角。
图3－4－2 2．探究光的折射规律 实验器材：玻璃水槽、激光笔、硬纸板、量角器和一块玻璃砖。 实验步骤： (1)让光线斜射入空气和水的分界面，比较折射角和入射角的大小，折射角________入射角； (2)改变入射角的大小，观察折射角的变化：当入射角增大时，折射角将________；当入射角减小时，折射角将________；若让光垂直射向水面，则进入水中的光线方向________； (3)把水槽换成玻璃砖，重复上述实验。 实验结论：光折射时，折射光线、入射光线、法线三者在同一平面内；折射光线和入射光线分别位于________两侧。 光从空气斜射入水或玻璃表面时，折射光线向法线偏折，折射角________入射角；入射角增大，折射角也________；光垂直射到水或玻璃表面时，在水或玻璃中的传播方向________。 实验评估：(1)实验中硬纸板的作用可显示入射光线和折射光线，如果硬纸板可转折，同样可以验证折射光线、入射光线和法线在同一平面内； (2)实验用水和玻璃砖进行多次实验，得出的实验结论具有普遍性。 生活中和自然中的折射现象 1．从空气中看水中的物体，或从水中看空气中的物体，看到的其实都不是物体本身，而是由于光的折射形成的、比实际位置都________的虚像。 2．光在同一种不均匀的物质中，传播方向不断改变，也是折射现象。海市蜃楼、星星眨眼等现象都是由于折射使光的传播路径发生弯曲形成的。 类型一生活中的折射现象 例1 2017·苏州如图3－4－3所示的光现象中，由于光的折射形成的是( ) 图3－4－3 [易混辨析]解答这类问题时，要结合生活实例与光的三个基本规律进行分析。光的折射涉及两种介质或同一种不均匀介质；光的反射发生在同一种介质中，且必须有反射面；光沿直线传播发生在同一种均匀介质中，但不存在反射面的问题。 类型二探究光的折射规律 例2 某同学在做探究光的折射特点实验，如图3－4－4所示是光从空气射入水中时的光路，实验中发现，入射光线、折射光线和法线在同一平面内，折射光线和入射光线分别位于法线的两侧，通过实验还得到下表数据：
费马大定理的3次、4次不可能的证明
A 试证：试证：x x 4+y 4=z 4在xy xy≠ ≠0时无整数解。证：假设原命题成立，则有： z 4-x 4=(z -x)(z 3+z 2x+z x 2+x 3)=(z -x)(z +x)(z 2+x 2)=y 4由x 、y 、z 都是大于0的正整数，所以有z ＞x 得：得：z z -x -x＜＜z +x +x＜ ＜z 2+x 2（其中若z +x +x≥≥z 2+x 2，则x(1-x)x(1-x)≥ ≥z (z -1)负数大于正数，不成立。）分两种情形讨论： ①y 是质数，得：是质数，得：y=z y=z -x y=z +x y 2=z 2+x 2由前两式得x ＝0（不成立）②y 是合数，得：是合数，得：(z (z -x)a=y (z -x)b=y z 2+x 2=aby 2稍微变换一下就可以得到：（（a a 2b 2-1-1） ）z 2=(a 2b 2+1)x 2即：即：a a 2 b 2-1=k 12a 2b 2+1=k 22但是在整数里，但是在整数里，m m 2-n 2≠1。故这种情形不成立。∴x 4+y 4=z 4在xy xy≠ ≠0时无整数解。B 试证：试证：x x 3+y 3=z 3在xy xy≠ ≠0时无整数解。证：假设原命题成立，则有： z 3-x 3=(z -x)-x)（ （z 2+xz +x 2）=y 3＞0则有：则有：z z ＞x z 2+xz +x 2＞z -x 分两种情形讨论： ①y 是质数，得：是质数，得：y=z y=z -x y 2＝z 2+xz +x 2即：即：z z 2+xz +x 2＝y 2=(z -x)2整理得到：整理得到：xz xz =-2xz (不成立不成立) )②y 是合数，则有：是合数，则有：(z (z -x)a=y z 2+xz +x 2＝ay 2整理得到：（（a a 3-1-1） ）z 2-(a 3+1)xz +(a 3-1)x 2=0若z 有解，需有解，需△≥△≥△≥00即：即：a a 3≤3由于a 是大于0的正整数，故a ＝1即：即：z z -x=y 回到第回到第① ①种情形，结果仍是不成立。 ∴x 3+y 3=z 3在xy xy≠ ≠0时无整数解。另外根据我的推到出勾股方程的满足条件或生成方法是： ((e 2-f 2)/2)2+(ef)2=((e 2+f 2)/2)2 其中e 、f 取大于0的同时为奇或偶的正整数（的同时为奇或偶的正整数（e e ≠ f ）但是我在一本介绍数论的书上看到已经被人家找出来，只是形式和我的有点差异。故我通过上述方法找到了勾股方程成立的充足理由，及同样找到了其满足条件。乐哉！