河南省南阳市2017-2018学年高二数学下学期第三次月考试题理

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河南省南阳市第一中学2017-2018学年高二下学期第一次

南阳一中2018年春期高二年级第一次月考数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知i 是虚数单位，则复数512ii+=（） A ．2i - B ．12i - C ．2i + D ．12i -+2. 设1111()(*)1232f n n N n n n n =++++∈+++，那么(1)()f n f n +-等于（） A ．112122n n -++ B ．112122n n +++ C ．122n + D ．121n + 3.曲线()31x f x e x =-+在点(0,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（） A ．2 B ．32 C ．54D ．1 4.定义*,*,*,*A B B C C D D A 的运算分别对应下面图中的（1），（2），（3），（4），则图中（5），（6）对应的运算是（）A ．*,*B D A D B ．*,*B D AC C. *,*B C AD D ．*,*C D A D 5.设()f x 在0x 可导，则000()(3)limx f x x f x x x→+--等于（）A ．04'()f xB ．0'()f x C. 02'()f x D ．03'()f x 6.已知1i +是关于x 的方程220(,)ax bx a b R ++=∈的一个根，则a b +=（） A ．-1 B ．1 C.-3 D ．37.以正弦曲线sin y x =上一点P 为切点得切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是（）A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ B ．[)0,π C. 3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．30,,424πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭8.在下列命题中，正确命题的个数是（） ①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±； ④若221223()()0z z z z -+-=，则123z z z ==. A ．0 B ．1 C.2 D ．3 9.已知函数21()sin cos 2f x x x x x =+，则其导函数'()f x 的图象大致是（） A ． B ． C.D ．10.“一支医疗救援队里的医生和护士，包括我在内，总共是13名.下面讲到的人员情况，无论是否把我计算在内，都不会有任何变化.在这些医务人员中：①护士不少于医生；②男医生多于女护士；③女护士多于男护士；④至少有一位女医生.”由此推测这位说话人的性别和职务是（）A ．男护士B ．女护士 C.男医生 D ．女医生11.给出定义：设'()f x 是函数()y f x =的导函数，''()f x 是函数'()f x 的导函数，若方程''()0f x =有实数解0x ，则称点()00,()x f x 为函数()y f x =的“拐点”.已知函数()34sin cos f x x x x =+-的拐点是()00,()M x f x ，则点M （）A ．在直线3y x =上B ．在直线3y x =-上 C.在直线4y x =-上 D ．在直线4y x =上12.若自然数n 使得作竖式加法(1)(2)n n n ++++均不产生进位现象，则称n 为“开心数”.例如：32是“开心数”.因32+33+34不产生进位现象；23不是“开心数”，因23+24+25产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（） A ．9 B ．10 C.11 D ．12第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.复数cos75sin 75z i =︒+︒（i 是虚数单位），则在复平面内2z 对应的点位于第象限．14.已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式1()3'(1)f x xf x=+，则'(2)f 的值等于．15.我们知道，在边长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值．16.二维空间中圆的一维测量（周长）2l r π=，二维测量（面积）2S r π=，观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=，观察发现'V S =.已知四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 求下列函数的导数.（1）xe y x=；（2）2(21)(31)y x x =-+；（3）sin(1)cos 2x y x =+-.18. m 为何实数时，复数2(2)3(1)2(1)z i m i m i =+-+--满足下列要求：（1）z 是纯虚数；（2）z 在复平面内对应的点在第二象限；（3）z 在复平面内对应的点在直线50x y --=上.19. 设函数2()f x ax bx c =++且(1),3222af a c b =->>. （1）试用反证法证明：0a >；（2）证明：334b a -<<-.20. 若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，求实数a 的值. 21. 设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=. （1）求()y f x =的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值.22.已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（n 为正整数）.（1）令2n n n b a =，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）令121,n n n n n c a T c c c n+==+++，试比较n T 与521nn +的大小，并予以证明.试卷答案一、选择题1-5:CADBA 6-10:AAACA 11、12：AD 二、填空题 13.二 14. 5415. 316. 42r π 三、解答题17.（1）()222(1)x xx x x x e x e x e e x e e x y x x x x '''-⋅⎛⎫⋅--'==== ⎪⎝⎭. （2）因为232(21)(31)6231y x x x x x =-+=+--，所以32322(6231)(6)(2)(3)(1)1843y x x x x x x x x ''''''=+--=+--=+-. （3）函数sin(1)y x =+看作sin y u =和1u x =+的复合复数，(sin )(1)cos cos(1)x u xy y u u x u x '''''=⋅=⋅+==+，同样的可以求出cos 2xy =的导数1sin 22x y '=-，所以题中函数的导数为1cos(1)sin 22x y x '=++.18.（1）222(2)3(1)2(1)23322z i m i m i m m i mi m i =+-+--=+---+22(232)(32)m m m m i =--+-+.222320320m m m m ⎧--=⎪⎨-+≠⎪⎩，得12m =-，即12m =-时，z 是纯虚数. （2）由222320320m m m m ⎧--<⎪⎨-+>⎪⎩，得112m -<<，即1,12m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，z 在复平面内对应的点在第二象限.（3）由22(232)(32)50m m m m ----+-=，得3m =±，即3m =±时，z 在复平面内对应的点在直线50x y --=上. 19.（1）假设0a ≤，322,30,20,20,a c b a c b >>∴≤<<将上述不等式相加得3220a c b ++<，(1),32202af a c b =-∴++=，这与3220a c b ++<矛盾，∴假设不成立，∴0a >. （2）3(1),22a f abc c a b =++=-∴=--，3232,3a c a b a b ∴>=--∴>-. 322,34.0,34b c b a b a a >∴->>∴-<<-. 20.设直线与曲线3y x =的切点坐标为00(,)x y ，则30020031y x y x x ⎧=⎪⎨=⎪-⎩，则切线的斜率2030k x ==或274k =，若0k =，此时切线的方程为0y =，由201594y y ax x =⎧⎪⎨=+-⎪⎩，消去y ，可得215904ax x +-=，其中0∆=，即2153604a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解可得2564a =-；若274k =，其切线方程为27(1)4y x =-，由227(1)41594y x y ax x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，消去y 可得29304ax x --=，又由0∆=，即990a +=，解可得1a =-.故2564a =-或1-. 21.（1）方程74120x y --=可化为734y x =-.当2x =时，12y =. 又2()b f x a x '=+，于是1222744b a b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩，故3()f x x x =-.（2）设00(,)P x y 为曲线上任一点，由231y x '=+知曲线在点00(,)P x y 处的切线方程为()002031y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，即()00200331y x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令0x =得06y x =-，从而得切线与直线0x =的交点坐标为060,x ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 令y x =得02y x x ==，从而得切线与直线y x =的交点坐标为()002,2x x . 所以点00(,)P x y 处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形面积为016262x x-=. 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形面积为定值，此定值为6.22.（1）在1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭中，令1n =，可得1112n S a a =--+=，即112a =. 当2n ≥时，211122n n n S a ---⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，11112n n n n n n a S S a a ---⎛⎫∴=-=-++ ⎪⎝⎭，11122n n n a a --⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，即11221n n n n a a --=+，12,1n n n n n b a b b -=∴=+，即当2n ≥时，11n n b b --=.又1121b a ==，∴数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列，于是1(1)12,2nn n n n n b n n a a =+-⋅==∴=. （2）由（1）得11(1)2nn n n c a n n +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以231111234(1)2222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭234111111234(1)22222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得231111111(1)22222nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111421331(1)122212n n n n n -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+-+=- ⎪⎝⎭-，332n n n T +∴=-.535(3)(221)3212212(21)n n n n n n n n n T n n n ++---=--=+++，于是确定n T 与521n n +的大小关系等价于比较2n与21n +的大小. 23452211;2221;2231;2241;2251;<⨯+<⨯+<⨯+<⨯+<⨯+猜想：当3n ≥时，221nn >+.证明如下：证法1：（1）当3n =时，由猜想显然成立. （2）假设n k =时猜想成立，即221kk >+. 则1n k =+时，()1222221422(1)1(21)2(1)1k k k k k k k +=⋅>+=+=+++->++，所以当1n k =+时猜想也成立.综合（1）（2）可知，对一切3n ≥的正整数，都有221nn >+. 证法2: 当3n ≥时,01210112(11)2221n n n n n nn n n n n n n n n C C C C C C C C C n n --=+=+++++≥+++=+>+，综上所述，当1,2n =时，521n n T n <+；当3n ≥时，521n nT n >+.。

河南省南阳市2017-2018学年高二下学期期末(理)数学试题 Word版含解析

河南省南阳市2017-2018学年高二下学期期末数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.变量X 与Y 相对应的一组数据为()()()()()10,1,11.3,2,11.8,3,12.5,4,13,5,变量U 与V 相对应的一组数据为()()()()()10,5,11.3,4,11.8,3,12.5,2,13,1．1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r 表示变量U 与V 之间的线性相关系数，则（） A ．210r r << B ．210r r <<C ．210r r <<D ．21r r =【答案】C 【解析】试题分析：∵变量X 与Y 相对应的一组数据为()()()()()10,1,11.3,2,11.8,3,12.5,4,13,51011.311.812.51311.725X ++++== 1234535Y ++++==∴这组数据的相关系数是7.20.375519.172r ==，变量U 与V 相对应的一组数据为()()()()()10,5,11.3,4,11.8,3,12.5,2,13,1，5432135U ++++==∴这组数据的相关系数是0.3755-，∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，故选C ．考点：1.线性相关关系;2.相关系数. 2.关于复数21z i=-+的四个： 1p ：复数z 对应的点在第二象限， 2p ：22z i =，3p ：z 的共轭复数为1i +，4p ：z 的虚部为1-．其中的真个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B考点：1.复数代数形式的乘除运算;2.复数的代数表示法及其几何意义;3.共轭复数的求法. 3.若()f x 在R 上可导，()()2223f x x f x '=++，则()3f x dx =⎰( )A ． 16B ． 54C ． ﹣24D ． ﹣18【答案】D 【解析】试题分析：由已知得到()()222f x x f ''=+，令2x =，则()()2422f f ''=+，解得()24f '=-，所以f （x ）=283x x -+所以()()33232003183431803f x dx x x dx x x x ⎛⎫=-+=-+=- ⎪⎝⎭⎰⎰故选D ．考点：1.定积分、定积分的应用;2.导函数的概念.4.已知随机变量X 服从正态分布()()22,,040.8N P X σ<<=，则()4P X >的值等于（）A ．0.1B ．0.2C ．0.4D ．0.6【答案】A 【解析】试题分析：∵随机变量ξ服从正态分布()22,N σ， ∴正态曲线的对称轴是2x =,()040.8P X <<=()()1410.80.12P X ∴>=-=故选A ．考点：1.正态分布曲线的特点;2.曲线所表示的意义;3.函数图象对称性的应用.5.不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有（） A ．12种 B ．20种 C ．24种 D ．48种【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，先将甲乙看成一个“元素”，有2种不同的排法，将丙、丁单独排列，也有2种不同的排法，若甲、乙与第5个元素只有一个在丙丁之间，则有1224C ⨯=种情况，若甲、乙与第5个元素都在丙丁之间，有2种不同的排法，则不同的排法共有()222424⨯⨯+=种情况；故选：C ．考点：1.排列、组合的综合运用;2.相邻与不能相邻的特殊要求.6.将两颗骰子各掷一次，设事件A =“两个点数不相同”，B =“至少出现一个6点”，则概率()P A B 等于（） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：根据条件概率的含义，()P A B 其含义为在B 发生的情况下，A 发生的概率，即在“至少出现一个6点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率， “至少出现一个6点”的情况数目为665511⨯-⨯=，“两个点数都不相同”则只有一个6点，共12510C ⨯=种，故()1011P A B =．故选：A ．考点：1.条件概率;2.()P A B 的含义.7.设随机变量()2,XB P ，随机变量()3,Y B P ，若()519P X ≥=，则()31D Y +=( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．7【答案】C 【解析】试题分析：∵随机变量()2,XB P ，∴()()()225110119P X P X C P ≥=-==--=，解得13P =．∴()1223333D Y =⨯⨯=， ∴()231963D Y +=⨯=，故选：C ．考点：1.二项分布;2.n 次独立重复试验方差.8.使得()3nx n N +⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的n 为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B 【解析】试题分析：设()3nx n N +⎛∈ ⎝的展开式的通项为1r T +，则：3522133r n r n rr n rn rr r nnT C xxC x-----+==，令502n r -=得：52n r =，又n N +∈， ∴当2r =时，n 最小，即min5n =．故选B ．考点：1.二项式系数的性质；2.分析与运算能力.9.表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x ∧=+，那么表中t 的值为（）A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.5【答案】A 【解析】试题分析：∵a y bx =-由回归方程知 2.54 4.534560.350.70.744t y x ++++++=-=-⨯，解得3t =，故选A ．考点：1.样本中心点的性质;2.方程思想的应用.10.现有四个函数：①sin y x x =；②cos y x x =；③cos y x x =；④2x yx =的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（） A ． ①④③② B ． ③④②① C ． ④①②③ D ． ①④②③【答案】D 【解析】试题分析：分析函数的解析式，可得：①sin y x x =为偶函数；②cos y x x =为奇函数；③cos y x x =为奇函数，④2xy x =为非奇非偶函数且当0x <时，③cos 0y x x =≤恒成立；则从左到右图象对应的函数序号应为：①④②③ 故选：D ．考点：1.函数的图象与图象变化;2.函数的图象或解析式.11.已知符号函数()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数()()2sgn ln ln f x x x =-的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】试题分析：令()2sgn ln ln 0x x -=得，当ln 0x >，即1x >时，21ln 0x -=，解得，x e =；当ln 0x <，即1x <时，21ln 0x --=，无解；当ln 0x =，即1x =时，成立；故方程()2sgn ln ln 0x x -=有两个根，故函数()()2sgn ln ln f x x x=-的零点个数为2；故选B ．考点：1.函数的零点与方程的根的关系应用;2.函数的性质及应用.12.定义在R 上的可导函数()f x ，当()1,x ∈+∞时，()()()10x f x f x '-->恒成立，()())12,3,12a fb fc f===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】A 【解析】试题分析：构造函数()()1f x g x x =-，当()1,x ∈+∞时，()()()()()2101f x x f x g x x '--'=>-，即函数()g x 单调递增，则()()()()()())23122,33,121231ff f a fg b f g c fg=========-- 则()()23gg g <<，即c a b <<，故选：A ．考点：1.函数值的大小比较;2.构造函数;3.利用导数研究函数的单调性.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.设随机变量X 的分布列为()()1cP X k k k ==+（c 为常数），1,2,3,4k =，则()1.5 3.5___.P k <<=【答案】【解析】试题分析：由随机变量X 的分布列为()()1c P X k k k ==+（c 为常数），1,2,3,4k =，得()()()()1111221331441c c c c+++=⨯+⨯+⨯+⨯+解54c =．∴()()()5551.5 3.523244816P k P X P X <<==+==+=．故答案为：．考点：1.离散型随机变量的期望与方差;2.分布列的特点.14.若对于任意实数x ，有()()5501522x a a x a x =+-++-，则1350____.a a a a ++-=【答案】89 【解析】试题分析：∵()()()5550152222x x a a x a x =+-=+-++-⎡⎤⎣⎦，令2x =，可得032a =．∴143251535551350280,240,1,804013289a C a C a C a a a a ======∴++-=++-=，故答案为：89．考点：1.二项式定理的应用;2.，二项展开式的通项公式;3.展开式中某项的系数. 15.已知函数()2ln f x x a x =+，若对任意两个不等式的正数()1212,x x x x >，都有()()()12122f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是．【答案】12a ≥考点：1.函数单调性;2.导数知识的运用.16.数列{}n a 共有5项，其中150,2a a ==，且11,1,2,3,4i i a a i +-==，则满足条件的不同数列的个数为____. 【答案】4 【解析】试题分析：记1,1,2,3,4,i i i b a a i +=-=∵11,1,2,3,4i i a a i +-==，∴1i b =|，即1i b =或1-，又∵()()()()55443322143212a a a a a a a a ab b b b =-+-+-+-=+++=∴()1,2,3,4i b i =中有3个1,1个1-，这种组合共有144C =，故答案为：4．考点：1.排列与组合；2.数列递推式.三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是8 15（1）请将上面的列联表补充完整（在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程）；（2）据此资料判断是否有095的把握认为反感“中国式过马路”与性别有关？【答案】（1）答案见解析；（2）没有0095的把握认为反感“中国式过马路”与性别无关. 【解析】试题分析：（1）根据在全部30人中随机抽取1人抽到中国式过马路的概率，做出中国式过马路的人数，进而做出男生的人数，填好表格；（2）根据所给的公式，代入数据求出临界值，把求得的结果同临界值表进行比较，看出有多大的把握说明反感“中国式过马路”与性别是否有关．试题解析：（1）…（2）由已知数据得：()2230108661.158 3.84116141614K⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以，没有0095的把握认为反感“中国式过马路”与性别无关．…考点：1.独立性检验；2.概率与统计．18.用0,1,2,3,4,5这六个数字，完成下面两个小题．（1）若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数；（2）若直线方程0ax by +=中的,a b 可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？【答案】（1）174；（2）20 【解析】试题分析：（1）依据能被5整除的数，其个位是0或5，分两类，由加法原理得到结论；（2）对于选不选零，结果会受影响，所以第一类,a b 均不为零，,a b 的取值，第二类,a b 中有一个为0，则不同的直线仅有两条，根据分类计数原理得到结果．试题解析：（1）当末位数字是0时，百位数字有4个选择，共有34496A =（个）；当末位数字是5时，若首位数字是3，共有4424A =个）；当末位数字是5时，若首位数字是1或2或4，共有333354A ⨯⨯=（个）；故共有962454174++=（个）．（2）,a b 中有一个取0时，有2条；,a b 都不取0时，有2520A =（条）； 1,2a b ==与2,4a b ==重复； 2,1a b ==，与4,2a b ==重复．故共有220220+-=（条）．考点：1.排列、组合的实际应用；2.分类计数原理.19.某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加,,,,A B C D E 五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加,,,A B C D 四项考试不合格的概率均为12，参加第五项不合格的概率为23，（1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X ，求X 的分布列和期望．【答案】（1）5；（2）该生参加考试的项数ξ的分布列为：113557234544161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯=【解析】试题分析：（1）该生被录取，则必须答对前四项中的三项和第五项或者答对所有的项．（2）分析此问题时要注意有顺序，所以X X 的所有取值为：2,3,4,5．分别计算其概率得出分布列，以及它的期望值．试题解析：（1）该生被录取，则,,,A B C D 四项考试答对3道或4道，并且答对第五项．所以该生被录取的概率为433411115322248P C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，（2）该生参加考试的项数X 的所有取值为：2,3,4,5．()()()21123111111111132,3,4224222422216P X P X C P X C ⎛⎫==⨯======= ⎪⎝⎭()113551441616P X ==---=该生参加考试的项数ξ的分布列为：113557234544161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯=考点：1.离散型随机变量及其分布列；2.离散型随机变量的期望与方差． 20.已知函数()()2ln f x x a x x =+--在0x =处取得极值（1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程()52f x x b =-+在区间[]0,2上有两个不同的实根，求实数b 的取值范围．【答案】(1)1a =;(2)11ln3,ln 22b ⎡⎫∈-++⎪⎢⎣⎭. 【解析】试题分析：（1）令()0f x '=，即可求得a 值；（2）()52f x x b =-+在区间[]0,2上有两个不同的实根，即()23ln 12b x x x =+-+在区间[]0,2上有两个不同的实根，问题可转化为研究函数()()23ln 12g x x x x=+-+在[]0,2上最值和极值情况．利用导数可以求得，再借助图象可得b 的范围．试题解析：（1）()121f x x x a '=--+，∵()00,1f a '=∴=，．（2）()()2ln 1f x x x x=+--所以问题转化为()23ln 12b x x x=+-+在[]0,2上有两个不同的解，从而可研究函数()()23ln 12g x x x x=+-+在[]0,2上最值和极值情况．∵()()()()45121x x g x x +-'=-+,∴()g x 的增区间为[]0,1，减区间为[]1,2．∴()()()max min 11ln 2,002g g g x g ==+==，又()21ln3g =-+，∴当11ln3,ln 22b ⎡⎫∈-++⎪⎢⎣⎭时，方程有两个不同解．考点：1.函数在某点取得极值的条件；2.根的存在性及根的个数判断．21.数列{}n a 满足：221121,1,2n n n n n n a a a a n N a a n*++==+∈+-（Ⅰ）写出234,,a a a ，猜想通项公式n a ，用数学归纳法证明你的猜想；()211,2n n n a a a n N *+++∈．【答案】（Ⅰ）12341,2,3,4a a a a ====,猜想n a n =;（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件，利用递推公式能求出2342,3,4a a a ===，由此猜想n a n =，再用数学归纳法证明．（Ⅱ）n a n =，知证明()211,2nn na a a n N *+++∈．即证(()2112n n n +⨯+，由此利用均值定理能求出来．试题解析：（Ⅰ）∵数列{}n a 满足：221121,1,2n n n n n n a a a a n N a a n *++==+∈+-∴2341142493912,13,14121442963a a a +⨯+⨯+=+==+==+=+-+-+-,猜想na n =证明：①当1n =时，11a =，猜想成立；②假设当()n k k N *=∈时猜想成立，即n a k =那么，2212112k k k k a k k k k ++=+=++-，∴当1n k =+n 时猜想也成立由①②可知猜想对任意n N *∈n 都成立，即n a n =（Ⅱ）证明：∵n a n =，()211,2n n na a a n N *+++∈(()2112n n n +⨯<+1122n n n ++=+，则()()()()()21211123122222n n n n n n n n n n +++⨯+<+++++=+=<+．()211,2n n n a a a n N *++<+∈．考点：1.数列递推式；2.数列与不等式的综合． 22.已知函数()ln a f x x x=-．（Ⅰ）若0a >，试判断()f x 在定义域内的单调性；（Ⅱ）若()f x 在[]1,e 上的最小值为32，求实数a 的值；（Ⅲ）若()2f x x <在()1,+∞（1，+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）故()f x 在()0,+∞单调递增；（Ⅱ）a =（Ⅲ）1a ≥-.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出()f x 的定义域，再求出()2x af x x +'=，从而得出函数的单调区间；（Ⅱ）分别讨论①若1a ≥-，②若a e ≤-，③若1e a -<<-的情况，结合函数的单调性，得出函数的单调区间，从而求出a 的值；（Ⅲ）由题意得3ln a x x x >-，令()3ln g x x x x =-，得到()()()22161ln 3,x h x g x x x h x x -''==+-=，h ′（x ）=，得出()h x 在()1,+∞递减，从而()g x 在()1,+∞递减，问题解决．试题解析：（Ⅰ）由题意得()f x 的定义域是()0,+∞，且()2x af x x +'=，∵0a >，∴()0f x '>，故()f x 在()0,+∞单调递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()2x af x x +'=，①若1a ≥-，则0x a +≥，即()0f x '≥在[]1,e 上恒成立，此时()f x 在[]1,e 上递增，∴()()min 331,22f x f a a ==-=∴=-舍），②若a e ≤-，则0x a +≤，即()0f x '≤在[]1,e 上恒成立，此时()f x 在[]1,e 递减，∴()()min 31,22a e f x f e a e ==-=∴=-舍），③若1e a -<<-，令()0f x '=，得x a =-，当1x a <<-时，()0f x '<，∴()f x 在()1,a -递减，当a x e -<<时，()0f x '>，∴()f x 在(),a e -递增，∴()()()min 3ln 1,2f x f a a a =-=-+=∴=,综上a =（Ⅲ）∵()22,ln a f x x x x x <∴-<，又30,ln x a x x x >∴>-x ＞0，令()()()()23216ln ,1ln 3,,x g x x x x h x g x x x h x x -''=-==+-=∵()1,x ∈+∞时，()0h x '<，∴()h x 在()1,+∞递减，∴()()120h x h <=-<，即()()0,g x g x '<∴在()1,+∞递减，∴()()11,1g x g a <=-∴≥-时，()2f x x <在()1,+∞恒成立．考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求闭区间上函数的最值；3.导数在最大值、最小值问题中的应用．。

河南省南阳市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科) Word版含解析

河南省南阳市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）在复平面内，复数+（1+i）2的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）用反证法证明：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度3．（5分）用数学归纳法证明（a≠1，n∈N*），在验证当n=1时，等式左边应为（）A．1B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a34．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（e）+lnx，则f′（e）=（）A．1B．﹣1 C．﹣e﹣1D．﹣e5．（5分）设圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的高为（）A．B．C．D．3π6．（5分）若a=，b=，c=，则a，b，c大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．（5分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2+a（a为常数），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且l与函数f（x）图象的切点的横坐标为1，则a的值为（）A．1B．﹣C．﹣1 D．28．（5分）将正奇数按照如卞规律排列，则2015所在的列数为（）A ． 15B ． 16C ． 17D ．189．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）已知函数f （x ）=x （x ﹣m ）3在x=2处取得极小值，则常数m 的值为（） A ． 2 B ． 8 C ． 2或8 D ．以上答案都不对 11．（5分）已知函数f （x ）的定义域为R ，f （﹣1）=2，对任意x ∈R ，f ′（x ）＞2，则f （x ）＞2x+4的解集为（） A ．（﹣1，1） B ．（﹣1，+∞） C ．（﹣∞，﹣1） D ．（﹣∞，+∞） 12．（5分）定义在R 上的可导函数f （x ），且f （x ）图象连续不断，f ′（x ）是f （x ）的导数，当x ≠0时，f ′（x ）+＞0，则哈数g （x ）=f （x ）+的零点的个数（）A ． 0B ． 1C ． 2D ．0或2二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列为等差数列，公差为．类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则数列为等比数列，公比为．14．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣4以及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为．15．（5分）若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是．16．（5分）已知g（x）=mx+2，f（x）=x2﹣，若对任意的x1∈，总存在x2∈，使得g（x1）＞f（x2），则实数m的取值范围是．三、解答题17．（10分）已知复数z=（2m2﹣3m﹣2）+（m2﹣3m+2）i．（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是：①实数；②纯虚数；（Ⅱ）当m=0时，化简．18．（12分）已知函数f（x）=e x﹣2x+2（x∈R）．（1）求f（x）的最小值；（2）求证：x＞0时，e x＞x2﹣2x+1．19．（12分）已知点P在曲线y=x2﹣1上，它的横坐标为a（a＞0），过点P作曲线y=x2的切线．（1）求切线的方程；（2）求证：由上述切线与y=x2所围成图形的面积S与a无关．20．（12分）设a n=1+++…+（n∈N*），是否存在一次函数g（x），使得a1+a2+a3+…+a n﹣1=g（n）（a n﹣1）对n≥2的一切自然数都成立，并试用数学归纳法证明你的结论．21．（12分）设函数，g（x）=2x2+4x+c．（1）试问函数f（x）能否在x=﹣1时取得极值？说明理由；（2）若a=﹣1，当x∈时，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，求c的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞e2恒成立，求k的最大值．河南省南阳市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）在复平面内，复数+（1+i）2的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi的形式，然后判断即可．解答：解：复数+（1+i）2=+1﹣3+2=﹣2+2=﹣+i．复数对应点为：（﹣，）在第二象限．故选：B．点评：本题考查复数的基本运算，复数的几何意义，考查计算能力．2．（5分）用反证法证明：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度考点：反证法与放缩法．专题：常规题型．分析：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．解答：解：根据反证法的步骤，假设是对原结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选B点评：本题考查反证法的概念，逻辑用语，否与的否定的概念，逻辑词语的否定．3．（5分）用数学归纳法证明（a≠1，n∈N*），在验证当n=1时，等式左边应为（）A．1B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a3考点：数学归纳法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据等式的特点，即可得到结论．解答：证明：∵（a≠1，n∈N*），∴当n=1时，等式左边应为1+a+a2+a3，故答案为：1+a+a2+a3．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．4．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（e）+lnx，则f′（e）=（）A．1B．﹣1 C．﹣e﹣1D．﹣e考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：首先对等式两边求导得到关于f'（e）的等式解之．解答：解：由关系式f（x）=2xf′（e）+lnx，两边求导得f'（x）=2f'（x）+，令x=e得f'（e）=2f'（e）+e﹣1，所以f'（e）=﹣e﹣1；故选：C．点评：本题考查了求导公式的运用；关键是对已知等式两边求导，得到关于f'（x）的等式，对x取e求值．5．（5分）设圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的高为（）A．B．C．D．3π考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：设圆柱底面半径为R，高为H，则S=2πRH+2πR2，求出H，可得V，利用导数求最值，即可得出结论．解答：解：设圆柱底面半径为R，高为H，则S=2πRH+2πR2，∴H=﹣R（0＜R≤），∴V=πR2H=﹣πR3，∴V'（R）=当V'（R）=0时，有R=，在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，∴R=时，体积最大，因此H=，故选：C．点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查学生的计算能力，比较基础．6．（5分）若a=，b=，c=，则a，b，c大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b考点：定积分．专题：计算题．分析：根据x2的原函数为x3，x3的原函数为x4，sinx的原函数为﹣cosx，分别在0到2上求出定积分的值，根据定积分的值即可得到a，b和c的大小关系．解答：解：a=∫02x2dx=|02=，b=∫02x3dx==4，c=∫02sinxdx=﹣cosx|02=1﹣cos2，因为1＜1﹣cos2＜2，所以c＜a＜b．故选D．点评：此题考查学生掌握积分与微分的关系，会进行定积分的运算，是一道基础题．7．（5分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2+a（a为常数），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且l与函数f（x）图象的切点的横坐标为1，则a的值为（）A．1B．﹣C．﹣1 D．2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出两个函数的导数，利用导数的几何意义，即可得到结论．解答：解：∵f（x）=lnx，g（x）=x2+a，∴f′（x）=，g′（x）=x，∵l与函数f（x）图象的切点的横坐标为1，∴k=f′（1）=1，又f（1）=0，则切线l的方程为y﹣0=x﹣1，即y=x﹣1，当x=1时，y=1﹣1=0，即切点坐标为（1，0），∵切点（1，0）也在函数g（x）上，即g（1）=+a=0，解得a=﹣，故选：B点评：本题主要考查导数的几何意义，根据条件求出对应的切线斜率和切点坐标是解决本题的关键，比较基础．8．（5分）将正奇数按照如卞规律排列，则2015所在的列数为（）A．15 B．16 C．17 D．18考点：归纳推理．专题：规律型．分析：第一行有1个奇数，第二行有2个奇数，…第n行有n个奇数，每行的最后的奇数是第1+2+3+…+n=（1+n）×n÷2个奇数，这个奇数是2×（1+n）×n÷2﹣1=（1+n）×n﹣1，这就是行数n和这行的最后一个奇数的关系，依照这个关系，采用试商法，看2015所在行的最后一个奇数是多少，上一行的最后一个奇数是多少，推算出它所在的行和是第几个数，即可得解．解答：解：依据规律，第n排最后一个数为n×（n+1）﹣1，经试商，44×45=1980，45×46=2070，则知道，第44行末数字为1979；第45行最后数字是2069；÷2=18，故2015所在的列数为18，故选：D点评：本题考查的知识点是归纳推理，先找到规律，再根据规律求解．9．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：压轴题；数形结合．分析：由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，汽车的行驶路程s看作时间t的函数，我们可以根据实际分析函数值S（路程）与自变量t（时间）之间变化趋势，分析四个答案即可得到结论．解答：解：由汽车经过启动后的加速行驶阶段，路程随时间上升的速度越来越快，故图象的前边部分为凹升的形状；在汽车的匀速行驶阶段，路程随时间上升的速度保持不变故图象的中间部分为平升的形状；在汽车减速行驶之后停车阶段，路程随时间上升的速度越来越慢，故图象的前边部分为凸升的形状；分析四个答案中的图象，只有A答案满足要求，故选A点评：从左向右看图象，如果图象是凸起上升的，表明相应的量增长速度越来越慢；如果图象是凹陷上升的，表明相应的量增长速度越来越快；如果图象是直线上升的，表明相应的量增长速度保持不变；如果图象是水平直线，表明相应的量保持不变，即不增长也不降低；如果图象是凸起下降的，表明相应的量降低速度越来越快；如果图象是凹陷下降的，表明相应的量降低速度越来越慢；如果图象是直线下降的，表明相应的量降低速度保持不变．10．（5分）已知函数f（x）=x（x﹣m）3在x=2处取得极小值，则常数m的值为（）A．2B．8C．2或8 D．以上答案都不对考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：通过对函数f（x）求导，根据函数在x=2处有极值，可知f'（2）=0，解得m的值，再验证可得结论．解答：解：求导函数，可得f′（x）=（4x﹣m）（x﹣m）2，∵在x=2处取得的极小值，∴f′（2）=（8﹣m）（2﹣m）2=0，∴m=2或8，m=2时，f′（x）≥0，在x=2处不取极值，舍去，m=8时，函数f（x）=x（x﹣m）3在x=2处取得极小值．故选：B．点评：本题考查了函数的极值问题，考查学生的计算能力，正确理解极值是关键．11．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=f（x）﹣2x﹣4，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．解答：解：设g（x）=f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）=f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）=2，∴g（﹣1）=f（﹣1）+2﹣4=4﹣4=0，则∵函数g（x）单调递增，∴由g（x）＞g（﹣1）=0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B点评：本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．12．（5分）定义在R上的可导函数f（x），且f（x）图象连续不断，f′（x）是f（x）的导数，当x≠0时，f′（x）+＞0，则哈数g（x）=f（x）+的零点的个数（）A．0B．1C．2D．0或2考点：函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：由题意可得得＞0，进而可得函数xf（x）单调性，而函数g（x）=f（x）+=，的零点个数等价为函数y=xf（x）+1的零点个数，可得y=xf（x）+1＞1，无零点解答：解：由f'（x）+x﹣1f（x）＞0，得＞0，当x＞0时，xf'（x）+f（x）＞0，即'＞0，函数xf（x）单调递增；当x＜0时，xf'（x）+f（x）＜0，即'＜0，函数xf（x）单调递减．又g（x）=f（x）+=，函数g（x）=的零点个数等价为函数y=xf（x）+1的零点个数．当x＞0时，y=xf（x）+1＞1，当x＜0时，y=xf（x）+1＞1，所以函数y=xf（x）+1无零点，所以函数g（x）=f（x）+x﹣1的零点个数为0个，故选：A．点评：本题考查根的存在性及根的个数的判断，涉及函数的单调性，属中档题，关键是构造函数g（x）=xf（x）+1二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若等差数列{a n}的公差为d，前n项的和为S n，则数列为等差数列，公差为．类似地，若各项均为正数的等比数列{b n}的公比为q，前n项的积为T n，则数列为等比数列，公比为．考点：类比推理．专题：计算题．分析：仔细分析数列为等差数列，且通项为的特点，类比可写出对应数列为等比数列的公比．解答：解：因为在等差数列{a n}中前n项的和为S n的通项，且写成了．所以在等比数列{b n}中应研究前n项的积为T n的开n方的形式．类比可得．其公比为故答案为．点评：本小题主要考查等差数列、等比数列以及类比推理的思想等基础知识．在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积．14．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣4以及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据题意，这旋转一周所得旋转体的体积应该用定积分来求．此几何体的体积可以看作是π﹣，求出定积分的值，即求得题中的体积．解答：解：由曲线y=，直线y=x﹣4可得交点坐标为（8，4），直线y=x﹣4与x轴的交点坐标为（4，0），则旋转体的体积为π﹣=π•x2﹣=．故答案为：．点评：本题考查用定积分求简单几何体的体积，属于基础题．利用定积分求旋转体的体积，求解的关键是找出被积函数和相应的积分区间，准确利用公式进行计算．15．（5分）若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是b≤﹣1．考点：函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：根据函数在（﹣1，+∞）上是减函数，对函数f（x）进行求导，判断出f′（x）＜0进而根据导函数的解析式求得b的范围．解答：解：由题意可知f′（x）=﹣x+＜0，在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，即b＜x（x+2）在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，∵f（x）=x（x+2）=x2+2x且x∈（﹣1，+∞）∴f（x）＞﹣1∴要使b＜x（x+2），需b≤﹣1故答案为b≤﹣1点评：本题主要考查了函数单调性的应用．利用导函数来判断函数的单调性，是常用的方法．16．（5分）已知g（x）=mx+2，f（x）=x2﹣，若对任意的x1∈，总存在x2∈，使得g（x1）＞f（x2），则实数m的取值范围是（﹣，1）．考点：函数恒成立问题．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：“对任意的x1∈，总存在x2∈，使得g（x1）＞f（x2）”⇔g（x）最小值＞f（x）最小值，只要g（x）最小值＞1即可．解答：解：∵x∈，∴x2∈，∴f（x）=x2﹣=x2+﹣3≥2﹣3=1，当且仅当x2=，即x2=2时取等号．∴f（x）最小值=1，“对任意的x1∈，总存在x2∈，使得g（x1）＞f（x2）”⇔g（x）最小值＞f（x）最小值只要g（x）最小值＞1即可．当m＞0时，g（x）=mx+2是增函数，对任意的x1∈，g（x）min=g（﹣1）=2﹣m．由题设知2﹣m＞1，解得m＜1，∴0＜m＜1．当m＜0时，g（x）=mx+2是减函数，对任意的x1∈，g（x）min=g（2）=2m+2．由题设知2m+2＞1，解得m＞﹣，∴﹣＜m＜0．当m=0时，g（x）=2＞1，成立．综上所述，m∈（﹣，1）．故答案为：（﹣，1）．点评：本题考查函数恒成立问题的应用，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．三、解答题17．（10分）已知复数z=（2m2﹣3m﹣2）+（m2﹣3m+2）i．（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是：①实数；②纯虚数；（Ⅱ）当m=0时，化简．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：（I）利用复数为实数、纯虚数的充要条件即可得出．（II）当m=0时，z=﹣2+2i，再利用复数的运算法则即可得出．解答：解：（Ⅰ）①当m2﹣3m+2=0时，即m=1或m=2时，复数z为实数．②当时，解得，即m=﹣时，复数z为纯虚数．（Ⅱ）当m=0时，z=﹣2+2i，∴．点评：本题考查了复数为实数、纯虚数的充要条件、复数的运算法则，属于基础题．18．（12分）已知函数f（x）=e x﹣2x+2（x∈R）．（1）求f（x）的最小值；（2）求证：x＞0时，e x＞x2﹣2x+1．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出函数的导数，求得单调区间，即可得到极小值，也为最小值；（2）构造函数g（x）=e x﹣x2+2x﹣1，通过导数求出g（x）的单调性，即可得到证明．解答：解：（1）由f（x）=e x﹣2x+2（x∈R）．得f′（x）=e x﹣2，令f′（x）=e x﹣2=0得，x=ln2，当x＞ln2时，f′（x）＞0；当x＜ln2时，f′（x）＜0，故当x=ln2时，f（x）有极小值也是最小值为f（ln2）=2（2﹣ln2）；（2）证明：设．（x＞0），则g′（x）=e x﹣2x+2，由（1）知g′（x）=e x﹣2x+2有最小值g′（ln2）=2（2﹣ln2），于是对于x＞0，都有g′（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上递增，而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0，即x＞0时，e x＞x2﹣2x+1．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式的证明，注意构造函数，运用单调性证明，属于中档题．19．（12分）已知点P在曲线y=x2﹣1上，它的横坐标为a（a＞0），过点P作曲线y=x2的切线．（1）求切线的方程；（2）求证：由上述切线与y=x2所围成图形的面积S与a无关．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；定积分在求面积中的应用．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：（1）确定P的坐标，设切点Q的坐标，利用导数的几何意义，可得切线的方程；（2）利用定积分表示面积，即可得出结论．解答：（1）解：点P的坐标为（a，a2﹣1），设切点Q的坐标为（x，x2），由k PQ=及y′=2x知=2x，解得x=a+1或x=a﹣1．所以所求的切线方程为2（a+1）x﹣y﹣（a+1）2=0或2（a﹣1）x﹣y﹣（a﹣1）2=0…（6分）（2）证明：S=dx+dx=．故所围成的图形面积S=，此为与a无关的一个常数…（12分）点评：本题考查定积分在求面积中的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（12分）设a n=1+++…+（n∈N*），是否存在一次函数g（x），使得a1+a2+a3+…+a n﹣1=g（n）（a n﹣1）对n≥2的一切自然数都成立，并试用数学归纳法证明你的结论．考点：数学归纳法；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：假设存在一次函数g（x）=kx+b（k≠0），依题意可求得k=1，b=0，故猜想：g（x）=x；然后用数学归纳法加以证明即可．解答：解：假设存在一次函数g（x）=kx+b（k≠0），使得a1+a2+a3+…+a n﹣1=g（n）（a n﹣1）对n≥2的一切自然数都成立，则当n=2时有，a1=g（2）（a2﹣1），又∵，∴g（2）=2即2k+b=2…①．当n=3时有，a1+a2=g（3）（a3﹣1），又∵，∴g（3）=3，即3k+b=3…②，由①②可得k=1，b=0，所以猜想：g（x）=x，…（5分）下面用数学归纳法加以证明：（1）当n=2时，已经得到证明；…（6分）（2）假设当n=k（k≥2，k∈N）时，结论成立，即存在g（k）=k，使得a1+a2+a3+…+a k﹣1=g （k）（a k﹣1）对k≥2的一切自然数都成立，则当n=k+1时，a1+a2+a3+…+a k=（a1+a2+a3+…+a k﹣1）+a k=k（a k﹣1）+a k=（k+1）a k﹣k，…（8分）又∵，∴a k=a k+1﹣，∴，∴当n=k+1时，成立．…（11分）由（1）（2）知，对一切n，（n≥2，n∈N*）有g（n）=n，使得a1+a2+a3+…+a n﹣1=g（n）（a n ﹣1）都成立．…（12分）点评：本题考查数列递推关系式及数学归纳法，着重考查推理与论证能力，属于中档题．21．（12分）设函数，g（x）=2x2+4x+c．（1）试问函数f（x）能否在x=﹣1时取得极值？说明理由；（2）若a=﹣1，当x∈时，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，求c的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；函数在某点取得极值的条件．专题：综合题；压轴题．分析：（1）利用反证法：根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，假设x=﹣1时f（x）取得极值，则把x=﹣1代入导函数，导函数值为0得到a的值，把a的值代入导函数中得到导函数在R上为增函数，没有极值与在x=﹣1时f（x）取得极值矛盾，所以得到f（x）在x=﹣1时无极值；（2）把a=﹣1代入f（x）确定出f（x），然后令f（x）与g（x）相等，移项并合并得到c 等于一个函数，设F（x）等于这个函数，G（x）等于c，求出F（x）的导函数，令导函数等于0求出x的值，利用x的值讨论导函数的正负得到F（x）的单调区间，进而得到F（x）的极大值和极小值，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，则函数F（x）与G（x）有两个公共点，根据F（x）的极大值和极小值写出c的取值范围即可．解答：解：（1）由题意f′（x）=x2﹣2a x﹣a，假设在x=﹣1时f（x）取得极值，则有f′（﹣1）=1+2a﹣a=0，∴a=﹣1，而此时，f′（x）=x2+2x+1=（x+1）2≥0，函数f（x）在R上为增函数，无极值．这与f（x）在x=﹣1有极值矛盾，所以f（x）在x=﹣1处无极值；（2）令f（x）=g（x），则有x3﹣x2﹣3x﹣c=0，∴c=x3﹣x2﹣3x，设F（x）=x3﹣x2﹣3x，G（x）=c，令F′（x）=x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1或x=3．列表如下：由此可知：F（x）在（﹣3，﹣1）、（3，4）上是增函数，在（﹣1，3）上是减函数．当x=﹣1时，F（x）取得极大值；当x=3时，F（x）取得极小值F（﹣3）=F（3）=﹣9，而．如果函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，则函数F（x）与G（x）有两个公共点，所以或c=﹣9．点评：此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，会根据函数的增减性得到函数的极值，掌握函数的零点与方程根的关系，是一道中档题．22．（12分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞e2恒成立，求k的最大值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出f'（x）=a+lnx+1，a+lne+1=3，由此能求出a=1．（Ⅱ）由f（x）=x+xlnx，得对对任意x＞e2恒成立，由此利用构造法结合导数性质能求出整数k的最大值．解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=ax+xlnx，所以f'（x）=a+lnx+1…（2分）因为函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3，所以，f'（e）=3，即a+lne+1=3，所以，a=1．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x+xlnx，所以，对任意x＞e2恒成立，即对任意x＞e2恒成立．…（5分）令，则…（6分）令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞e2），则，所以函数h（x）在（e2，+∞）上单调递增…（8分）所以h（x）＞h（e2）=e2﹣4＞0，可得g'（x）＞0故函数在（e2，+∞）上单调递增．所以…（11分）∴k≤g（e2）．故整数k的最大值是3．…（12分）点评：本题考查实数值的求法，考查整数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用．。

2017-2018学年高二下学期第三次月考数学(文)试题含答案

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若集合{}{}084|,51|<+-=<-=x x B x x A ，则=B A （） A ．{}6|<x x B ．{}2|>x x C ．{}62|<<x x D ． Φ 2．若x lg 有意义，则函数532-+=x x y 的值域是( )A ．),429[+∞-B ．),429(+∞- C ．),5[+∞- D ．),5(+∞- 3．s in14ºcos16º+cos14ºsin16º的值是（） A ．23 B ．21 C ．23 D ．-21 4．某电视台在娱乐频道节目播放中，每小时播放广告20分钟，那么随机打开电视机观看这个频道看到广告的概率为（）A ．12 B ．13 C ． 14D ．165．在等比数列{}n a 中，)(0*N n a n ∈>且,16,464==a a 则数列{}n a 的公比q 是（）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知a =),sin ,23(αb =)31,(cos α且a ∥b ，则锐角α的大小为（）A ．6π B ．3πC ．4πD ．125π7．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为（） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 8．已知函数b x x x f +-=2)(2在区间)4,2(内有唯一零点，则b 的取值范围是（）A ． RB ．)0,(-∞C ．),8(+∞-D ．)0,8(-9．已知x>0,设xx y 1+=，则（） A ．y ≥2 B ．y ≤2 C ．y=2 D ．不能确定10．三个数21log ,)21(,33321===c b a 的大小顺序为（）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c <<11．若五条线段的长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（）A ．101 B ．103 C ．21 D ．107 12.二次方程22(1)20x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小,则a 的取值范围是( )A ．31a -<<B ．20a -<<C ．10a -<<D ．02a <<晓天中学2015～2016学年度第二学期第三次月考高二年级数学（文）科（试题卷）学号：姓名：13．已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0),1(0),1()(x x x x x x x f ，则=-)3(f ．14．在⊿ABC 中，已知====c C b a 则,3,4,3π．15．把110010（2）化为十进制数的结果是．16．某厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5．现用分层抽样的方法抽取一个容量为n样本中A 种型号产品有16件，则样本容量n ＝．三、解答题：(本大题共6小题，共70分。

河南省南阳市第一中学2017-2018学年高二下学期第四次月考数学(理)试题(解析版)

南阳一中2018年春期高二第四次月考理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.用反证法证明“已知，求证：.”时，应假设( )A. B. C. 且 D. 或【答案】D【解析】分析：根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得结论.详解：根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，而的否定为“不都为零”，故选D.点睛：本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于简单题.2.设函数可导，则等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：将原式化简，利用导数的定义求解即可.详解：由，，故选C.点睛：本题考查导数的定义，考查函数在某点处的导数，考查转化与划归思想，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.3.已知为虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】分析：根据复数的四则运算对进行化简，结合复数的几何意义即可得结果.详解：，，则，对应的点为，位于第三象限，故选C.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4.利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变成时，左边增加了（）A. 1项B. 项C. 项D. 项【答案】C【解析】当时，不等式左边为，当时，不等式左边为，则增加了项，故选D。

5.已知离散型随机变量X的分布列如表，则常数q＝（）A. 1B. 1C. 1±D.【答案】B【解析】【分析】利用离散型随机变量X的分布列的性质求解．【详解】解：由离散型随机变量X的分布列，知：0.5+1﹣2q+q2＝1，解得q＝1或q＝1．（舍）故选：B．【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列性质的应用，是基础题，分布列有两个性质：一是概率和为，二是每个概率属于.6.设，则的展开式中常数项是（）A. 332B. -332C. 320D. -320【答案】B【解析】分析：根据定积分求得，利用二项展开式定理展开，即可求得常数项的值.详解：设，则多项式，，故展开式的常数项为，故选B.点睛：本题主要考查二项展开式定理的应用，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.7.将二颗骰子各掷一次，设事件A=“二个点数不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36-6=30至少出现一个6点的情况分二类，给两个骰子编号，1号与2号，若1号是出现6点，2号没有6点共五种2号是6点，一号不是6点有五种，若1号是出现6点，2号也是6点，有1种，故至少出现一个6点的情况是11种∴= 8.2011年11月11日这一天被称为“百年一遇的光棍节”，因为这一天中有6个“1”，如果把“20111111”中的8个数字顺序任意排列，可以组成的八位数共有( )A. 49个B. 36个C. 28个D. 24个【答案】A【解析】把“”中的8个数字顺序任意排列，可以组成的八位数中，首位只为为1或2，如果首位为2，则共有个满足条件的8位数；如果首位为1，则共有个满足条件的8位数；故可以组成的八位数为个，故选A.9.6名同学报考三所院校，如果每-所院校至少有1人报考，则不同的报考方法共有( )A. 216种B. 540种C. 729种D. 3240种【答案】B【解析】分析：先考虑人随意报校的报考方法，再将不符合条件的情况减去，其中包含将两所学校没人报的情况重复计数情况，从而可求出不同的报考方法种数.详解：人随意报校是，没人报的情况有，同理也分别是种，上面将两所学校没人报的情况重复计数了都没人报只有种情况，都没人报的情况也是只有种情况，答案是，故选B.点睛：本题考查两个原理常常要协同作用，按“先分类，后分步”的原则进行；二是不少用乘法原理解决的问题，通过适当分类后同样可以用加法原理来解决.10.《中国诗词大会》（第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】A【解析】《将进酒》、《望岳》和另确定的两首诗词排列全排列共有种排法，满足《将进酒》排在《望岳》的前面的排法共有，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在个空里（最后一个空不排），有种排法，《将进酒》排在《望岳》的前面、《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有种，故选A.11.我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？” 意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有A. B. C. D.【答案】C【解析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-(8+6+5)+1=60．故选C.12.设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（）A. [-，1）B. [-，）C. [，）D. [，1）【答案】D【解析】设g(x)=e x(2x−1)，y=ax−a，由题意知存在唯一的整数x0使得g(x0)在直线y=ax−a的下方，∵g′(x)=e x(2x−1)+2e x=e x(2x+1)，∴当时,g′(x)<0,当时,g′(x)>0，∴当时,g(x)取最小值，当x=0时,g(0)=−1,当x=1时,g(1)=e>0，直线y=ax−a恒过定点(1,0)且斜率为a，故−a>g(0)=−1且g(−1)=−3e−1⩾−a−a,解得本题选择D选项.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为____________.【答案】3/5【解析】设该队员每次罚球的命中率为p(其中0＜p＜1)，则依题意有1－p2＝，p2＝.又0＜p＜1，因此有p＝.14.若，则__________．【答案】251【解析】，所以.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.15.设是定义在上的可导函数，且满足，则不等式的解集为________．【答案】【解析】∵，∴函数在上单调递增。

2023-2024学年河南省南阳市高二下册3月月考数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年河南省南阳市高二下册3月月考数学模拟试题第I卷（选择题，共60分）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．在等比数列{a n}中，若a1＝27，，则a3＝（）A．3或﹣3B．3C．﹣9或9D．92．在等差数列{a n}中，已知a10＝13，a3+a4+a9+a16＝28，则{a n}的前17项和为（）A．166B．172C．168D．1703．若数列{}是等差数列，a1＝l，a3＝﹣，则a5＝（）A．﹣B．C．D．﹣4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝310，S20＝930，则S30＝（）A．1240B．1550C．1860D．21705．在等差数列{a n}中，a1+a3＝8，a2a4＝40，则公差为（）A．1B．2C．3D．46．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S8≥S7≥S9，则公差d的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若＝，则＝（）A．B．43C．D．418．已知等差数列{a n}的首项a1＝2，公差d＝8，在{a n}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{b n}，则b2023＝（）A．4044B．4046C．4048D．40509．等差数列{a n}的前n项和是S n，且满足S5＝S10，若S n存在最大值，则下列说法正确的是（）A．a1+a16＞0B．a2+a15＜0C．a1+a14＜0D．a2+a14＞010．已知等比数列{a n}满足：a2+a4+a6+a8＝20，a2⋅a8＝8，则的值为（）A．20B．10C．5D．11．已知数列{a n}满足a n＝2n+kn，若{a n}为递增数列，则k的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，2）12．设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若，则＝（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．等差数列{a n}的前n项和是S n，若S n＝3（n+1）2﹣n﹣a，则实数a＝．14．若等比数列{a n}的各项均为正数，且，则lna1+lna2+⋯+lna7＝．15．在等比数列{a n}中，a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，记数列{a n}的前n项和、前n项积分别为S n，T n，则的最大值是．16．首项为正数，公差不为0的等差数列{a n}，其前n项和为S n，现有下列4个命题：①若S8＜S9，则S9＜S10；②若S11＝0，则a2+a10＝0；③若S13＞0，S14＜0，则{S n}中S7最大；④若S2＝S10，则S n＞0的n的最大值为11．使其中所有真命题的序号是．三．解答题（共6小题，满分70分）17．已知等差数列{a n}满足a4＝6，a6＝10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}各项均为正数，其前n项和T n，若b3＝a3，b5＝a9，求T n．18．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a5﹣a1＝90，S4＝90．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}中，满足b n＝a n+log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列的前n项和，求T n．20．已知数列{a n}中，a2＝，a n＝a n+1+2a n a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令{}的前n项和为T n，求证：T n＜．21．在等差数列{a n}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．22．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足a1＝1，a n+1＝2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n＝，设数列{b n}的前n项和为T n，若∀n∈N*，不等式T n﹣na＜0恒成立，求实数a的取值范围．答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．解：因为a3是a1和a5的等比中项，则，解得a3＝±3，由等比数列的符号特征知a3＝3．故选：B．2．解：在等差数列{a n}中，∵a3+a4+a9+a16＝4a8＝28，∴a8＝7，又a10＝13，∴S17＝．故选：D．3．解：数列{}是等差数列，设其公差为d，则2d＝，∴，可得，即a5＝．故选：D．4．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，∴S10，S20﹣S10，S30﹣S20构成等差数列，∴2（S20﹣S10）＝S10+S30﹣S20，即2×（930﹣310）＝310+S30﹣930，∴S30＝1860．故选：C．5．解：等差数列{a n}中，a1+a3＝8，a2a4＝40，∴，解得a1＝1，d＝3．故选：C．6．解：∵{a n}为等差数列，a1＝2，∴，∴．故选：A．7．解：设S3＝x，则S6＝7x，由＝，可得q≠1，因为{a n}为等比数列，所以S3，S6﹣S3，S9﹣S6仍成等比数列．因为＝＝6，所以S9﹣S6＝36x，所以S9＝43x，故＝．故选：A．8．解：设数列{b n}的公差为d1，由题意可知，b1＝a1，b5＝a2，b5﹣b1＝a2﹣a1＝8＝4d1，故d1＝2，故b n＝2n，则b2023＝2023×2＝4046，故选：B．9．解：因为等差数列S n存在最大项，故等差数列的公差d＜0，又S5＝S10，即a6+a7+a8+a9+a10＝0，即a8＝0，则a1+a16＜a1+a15＝0，故选项A错误；a2+a15＜a1+a15＝0，故选项B正确；a1+a14＞a1+a15＝0，故选项C错误；而a2+a14＝a1+a15＝0，故选项D错误．故选：B．10．解：在等比数列{a n}中，由等比数列的性质可得：a4⋅a6＝a2⋅a8＝8．所以．故选：D．11．解：若{a n}为递增数列，则a n+1﹣a n＞0，则有2n+1+k（n+1）﹣（2n+kn）＝2n+1﹣2n+k＝2n+k＞0，对于n∈N+恒成立．∴k＞﹣2n，对于n∈N+恒成立，∴k＞﹣2．故选：A．12．解：根据条件：＝．故选：A．二．填空题（共4小题）13．解：因为，当n≥2时，，因为{a n}是等差数列，所以当n＝1时，a1＝11﹣a也符合上式，故a＝3．故3．14．解：∵{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a2a6＝a42，又a42+a2a6＝2e6，∴2a42＝2e6，又a4＞0，∴a4＝e3，∴lna1+lna2+•••+lna7＝ln（a1a2•••a7）＝lna47＝7lne3＝21．故21．15．解：等比数列{a n}中，a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，所以q＝＝2，a1＝＝＝1，所以数列{a n}的前n项和为S n＝＝2n﹣1，前n项积为T n＝1×2×22×...×2n﹣1＝2...+...+（n﹣1）＝，所以＝＝，当n＝2或n＝3时，＝3，所以的最大值是23＝8．故8．16．解：对于①，S8＜S9，则a9＞0，无法推得a10是否大于0，即S9＜S10无法确定，故①错误；对于②，∵S11＝0，∴＝，即a2+a10＝0，故②正确；对于③，S13＞0，S14＜0，则，即a7＞0，，即a7+a8＜0，故a7＞0，a8＜0，公差d＜0，首项为正数，故{S n}中S7最大，故③正确；对于④，若S2＝S10，则a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10＝0，即4（a3+a10）＝0，故a3+a10＝2a1+11d＝0，即，∵a1＞0，∴d＜0，∴＝＝，令S n＞0，则0＜n＜12，n∈N*，故S n＞0的n的最大值为11，故④正确．故②③④．三．解答题（共6小题）17．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a4＝6，a6＝10，∴，解得，故数列{a n}的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣2；（2）设各项均为正数的等比数列{b n}的公比为q（q＞0），∵a n＝2n﹣2，则a3＝4，a9＝16，∵a3＝b3，a9＝b5，∴b3＝4，b5＝16，即，解得2或﹣2（舍去），∴．18．解：（1）记等比数列{a n}的公比为q，由a5﹣a1≠0可知q≠1，，，解得a1＝6，q＝2，所以数列{a n}的通项公式为．（2）∵，∴＝3×++n•log23＝3×2n+1++n•log23﹣6．19．解：（1）设公差为d，则∵S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列∴4a1+6d＝14，（a1+2d）2＝a1（a1+6d）∵d≠0，∴d＝1，a1＝2，∴a n＝n+1（2）＝∴T n＝﹣+﹣+…+＝＝．20．解：（1）由a2＝，a n＝a n+1+2a n a n+1，可得a1＝a2+2a1a2＝+a1，解得a1＝1，又对a n＝a n+1+2a n a n+1两边取倒数，可得﹣＝2，则{}是首项为1，公差为2的等差数列，可得＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，所以a n＝；（2）证明：由（1）可得＝＝（﹣），所以T n＝（1﹣+﹣+﹣......+﹣+﹣）＝[﹣]，因为n∈N*，所以＞0，则T n＜×＝．21．解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项，可得a22＝a1a4，即（a1+2）2＝a1（a1+6），解得a1＝2，则a n＝a1+（n﹣1）d＝2+2（n﹣1）＝2n；（Ⅱ）数列{b n}满足：，可得a1＝，即b1＝8；n≥2时，a n﹣1＝++…+，与，相减可得2＝，即有b n＝2（3n+1），上式对n＝1也成立，可得b n＝2（3n+1），n∈N*；（Ⅲ）＝n（3n+1），则前n项和T n＝（1•3+2•32+…+n•3n）+（1+2+…+n），设S n＝1•3+2•32+…+n•3n，3S n＝1•32+2•33+…+n•3n+1，相减可得﹣2S n＝3+32+…+3n﹣n•3n+1＝﹣n•3n+1，化简可得S n＝，则T n＝+n（n+1）．22．解：（Ⅰ）由得，故，∵an＞0，∴S n＞0，∴＝+1，（2分）∴数列是首项为，公差为1的等差数列．（3分）∴，∴，…（4分）当n≥2时，，a1＝1，…（5分）又a1＝1适合上式，∴a n＝2n﹣1．…（6分）（Ⅱ）将a n＝2n﹣1代入，…（7分）∴…（9分）∵T n﹣na＜0，∴，∵n∈N+，∴…（10分）∴，∵2n+1≥3，，，∴．（12分）。

(解析版)河南省南阳市第一中学2017-2018学年高二上学

河南省南阳市第一中学2017-2018学年高二上学期第三次月考数学试题（文）1. 设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于，取，不能推出，又取，推不出，而，，又是非零实数，则，则.选C.2. 为等比数列的前项和，，则（）A. 12B. 21C. 36D. 48【答案】B【解析】设等比数列的公比为，..................... ...，故选：B3. 椭圆的左右焦点分别为,过作轴的垂线交于点.若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知点P的坐标为或，∵∠F1PF2=60°，∴，即.∴，解得：或(舍去).本题选择C选项.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．4. 已知等差数列，等比数列，则该等比数列的公比为（）A. B. C. 或 D. 10或【答案】C【解析】成等差数列，，① 又，成等比数列，，② 由①②得或，等比数列为或，公比为或，故选C.5. 在中，角的对边分别为，若，则此三角形外接圆的半径（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵∴，∴∴此三角形外接圆的直径2∴故选：D6. 若变量满足约束条件，则的最小值为（）A. B. 6 C. D. 4【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示：结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点处取得最小值.本题选择C选项.点睛：(1)求目标函数最值的一般步骤为：一画、二移、三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．(2)在约束条件是线性的情况下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值．在解答选择题或者填空题时可以根据可行域的顶点直接进行检验．7. 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若(其中位于之间)，且，则抛物线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，过A作AD垂直于抛物线的准线，垂足为D，过B作BE垂直于抛物线的准线，垂足为E，G为准线与x轴的焦点，由抛物线的定义，|BF|=|BE|，|AF|=|AD|=4，∵|BC|=2|BF|，∴|BC|=2|BE|，则∠DCA=30°，∴|AC|=2|AD|=8，可得|CF|=8﹣4=4，∴|GF|==2，即p=|GF|=2，∴抛物线方程为：y2=4x，故选：B．点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．8. 已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：双曲线的渐近线为，所以，变形为，所以圆心为，所以双曲线方程为考点：双曲线方程及性质视频9. 已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为（）A. 2B.C.D.【答案】D【解析】：抛物线，抛物线的焦点坐标（1，0）．依题点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值，就是P到（0，2）与P到该抛物线准线的距离的和减去1．由抛物线的定义，可得则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线焦点坐标的距离之和减1，可得：．故选：D．10. 如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形，则的离心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以由题设，由椭圆定义可得，所以，又因为，所以由双曲线的定义可得，所以双曲线的离心率，应选答案D。

河南省南阳市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(含答案)

2018年春期高中二年级期终质量评估数学试题（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数21-i（i 为虚数单位）的共轭复数是（） A ．1+i B ．1-i C ．1-+i D ．1--i2．已知变量,x y 之间的线性回归方程为0.47.6=-+y x ，且变量,x y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）A ．变量,x y 之间呈现负相关关系B ．m 的值等于5C ．变量,x y 之间的相关系数0.4=-rD ．由表格数据知，该回归直线必过点()9,43．在等差数列{}n a 中，如果,,,∈m n p r *N ，且3++=m n p r ，那么必有3++=m n p r a a a a ，类比该结论，在等比数列{}n b 中，如果,,,∈m n p r *N ，且3++=m n p r ，那么必有（）A ．3++=m n p r b b b bB ．3++=m n p r b b b b C ．3=m n p r b b b b D ．3=m n p r b b b b4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取3个球，所取的3个球颜色不同的概率为（）A ．11110513315C C C CB ．3103151-C C C ．2122105105315+C C C C C D ．353151-C C 5．设()~1,1X N ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）（注：若()2~,X Nμσ，则()68.26%-<<+=P X μσμσ，()2295.44%-<<+=P X μσμσ）A ．7539B ．6038C ．7028D ．65876．已知03cos 2⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰m x dx ππ，则()23-+m x y z 的展开式中，2-m x yz 项的系数等于（） A ．180 B ．-180 C ．-90 D ．157．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为34，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（） A ．13 B ．25 C ．23 D ．458．设01<<p ，随机变量ξ的分布列是则当p 在()0,1内增大时（）A ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大 D ．()D ξ先增大后减小 9．函数()f x 与它的导函数()'f x 的图象如图所示，则函数()()=xf xg x e 的单调递减区间为（）A ．()0,4B ．()4,1,,43⎛⎫-∞⎪⎝⎭C ．40,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,1,4,+∞10．已知函数()33=-+f x x x m ，若方程()0=f x 有两个相异实根12,x x ，且120+<x x ，则实数m 的值等于（） A ．-2或2 B ．-2 C ．2 D ．011．若,m n 均为非负整数，在做+m n 的加法时各位均不进位（例如，134********+=），则称(),m n 为“简单的”有序对，而+m n 称为有序数对(),m n 的值，那么值为2964的“简单的”有序对的个数是（） A ．525 B ．1050 C ．432 D ．86412．若直线=+y ax b 与曲线()ln 1=-f x x 相切，则ba的最小值为（） A ．21e B ．2-e C ．-e D ．1-e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在某班举行的“庆五一”联欢晚会开幕前已排好有8个不同节目的节目单，如果保持原来的节目相对顺序不变，临时再插进去A B C 、、三个不同的新节目，且插进的三个新节目按A B C 、、顺序出场，那么共有种不同的插入方法（用数字作答）．14．观察下列各式：11=，141123+=+，1131121232++=+++，111811212312345+++=++++++，由此可猜想，若11111212312310++++=+++++++m L L ，则=m ．15．假设每一架飞机的每一个引擎在飞行中出现故障概率均为1-p ，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎飞机正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行.要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p 的取值范围是． 16．已知函数()2cos sin 2=-f x x x ，则()f x 的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知01<<<a b .（1）试猜想ln +a b 与ln +b a 的大小关系；（2）证明（1）中你的结论.18．如图所示，在以AB 为直径的半圆周上，有异于,A B 的六个点126,,,C C C L ，直径AB 上有异于,A B 的四个点1234,,,D D D D .则：（1）以这12个点（包括,A B ）中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？（2）以这10个点（不包括,A B ）中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？19．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h 的有10人．在20名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有5人，不超过100km/h 的有15人．（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过的人与性别有关；（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100km/h 的车辆数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的数学期望.参考公式：()()()()()22-=++++n ad bc k a b c d a c b d ，其中=+++n a b c d ．参考数据：20．已知()()()2012211+=+-+-n x a a x a x ()()1++-∈nn a x n L *N .（1）求0a 及12=+++n n S a a a L ；（2）试比较n S 与223-nn 的大小，并用数学归纳法证明.21．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)20,25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 22．设∈a R ，函数()()211-=--xf x x e a x .（1）当1=a 时，求()f x 在3,24⎛⎫⎪⎝⎭上的单调区间；（2）设函数()()()11-=+--x g x f x a x e ，当()g x 有两个极值点()1212,<x x x x 时，总有()()211'≤x g x f x λ，求实数λ的值.高二数学试题（理科）参考答案一、选择题1--6 BCDCDB 7--12ADDCBC 二.填空题（每小题5分，共20分） 13. 165 14.2011 15．1,13⎛⎫⎪⎝⎭16.233 三.解答题（共6小题，满分70分）17. 解：（1）猜想ln ln a b b a +>+. ---------3分（2）令()ln f x x x =-，则'1()1f x x =-，当01x <<时，'1()10f x x=-<，即函数()f x 在(0,1)上单调递减， ---------7分又因为01a b <<<，所以()()f a f b >，即ln ln a a b b ->-， --------9分故ln ln a b b a +>+. ---------10分18.解：(1)构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类： ①四个点从C 1，C 2，…，C 6中取出，有C 64个四边形；②三个点从C 1，C 2，…，C 6中取出，另一个点从D 1，D 2，D 3，D 4，A ，B 中取出，有C 63C 61个四边形；③二个点从C 1，C 2，…，C 6中取出，另外二个点从D 1，D 2，D 3，D 4，A ，B 中取出，有C 62C 62个四边形．故满足条件的四边形共有N ＝C 64＋C 63C 61＋C 62C 62＝360(个)． ---------6分 (2)类似于(1)可分三种情况讨论得三角形个数为 C 63＋C 61C 42＋C 62C 41＝116(个)． ---------12分 19.解：（Ⅰ）平均车速超过h km /100人数平均车速不超过 h km /100人数合计男性驾驶员人数 20 10 30 女性驾驶员人数 5 15 20 合计252550---------3分，所以有%5.99的把握认为平均车速超过h km /100与性别有关. ---------6分（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过h km /100的车辆的概率为1035015=. ---------8分所以ξ的可能取值为0,1,2,3，且⎪⎭⎫ ⎝⎛1033B ~，ξ， ------10分()9.01033=⨯==np E ξ ---------12分 20.解：⑴令1x =，则03na =， ---------2分令2x =，则4nn ii a==∑，所以143nn n ii a==-∑． ---------5分⑵要比较n S 与223nn -的大小，只要比较4n 与22n 的大小．猜想：242,n n n N *>∈． ---------6分下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，42>,结论成立．②假设当*()n k k =∈N 时结论成立，即242k k >，则当1n k =+时，12222444422(2)k k k k k k =⨯>⨯=+++，因为*k ∈N ，所以22221k k k +≥+，所以222222(2)2(21)2(1)k k k k k k +≥+=+++ 所以1242(1)k k +>+，即1n k =+时结论也成立．由①②可知，242n n N n *∈>时，---------11分所以223,n n S n n N *>-∈ ---------12分21.解：（1）由题意知，X 所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知 ()2162000.290P X +===，()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===. 因此X 的分布列为X 200 300 500 P0.2 0.4 0.4---------5分（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑500200≤≤n当500300≤≤n 时，若最高气温不低于25，则n n n Y 246=-=；若最高气温位于区间[20，25），则()n n n Y 21200430023006-=--+⨯=；若最高气温低于20，则()n n n Y 2800420022006-=--+⨯=因此()()()n n n n Y E 4.06402.028004.0212004.02-=⨯-+⨯-+⨯=---------8分当300200<≤n 时，若最高气温不低于20，则n n n Y 246=-=，若最高气温低于20，则()n n n Y 2800420022006-=--+⨯=，因此()()()n n n Y E 2.11602.028004.04.02+=⨯-++⨯= ---------11分所以300=n 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元. ---------12分 22.解：（1）当1=a 时，)1()(12--=-x ex x f x，则1122)(----='x x ee x x xf ，令122)(---=x e x x x h ，则122)(---='x e x x h . 易知)(x h '在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,43上单调递减，又0121)43(4<-='eh ，所以0)(<'x h 所以)(x h 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,43上单调递减，又因为0)1(=h ，所以当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,43x 时，0)(>x h ，从而0)(>'x f ，这时)(x f 单调递增，当()2,1∈x 时，0)(<x h ，从而0)(<'x f ，这时)(x f 单调递减.所以)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,43上的增区间是 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,43x ，减区间是()2,1∈x ---------4分 (2) 由题可知()xea x x g --=12)(，则()xea x x x g -++-='122)(.根据题意方程022=++-a x x 有两个不等实数根2121x x x x <且、令0>∆得1->a ，且221=+x x ，所以11<x 由())(112x f x g x '≤λ，其中()a ex x x f x--='-122)(，得()()[]ae x x e a x x x x --≤---11112111222λ.将1211222x x a x x -=-=，代入左式得：()()()[]2111211111222211x x e x x e x x x x -+-≤---λ，整理得()[]01211111≤+---x x e e x λ.即不等式()[]01211111≤+---x x e e x λ对任意()1,1∞-∈x 恒成立. --------8分①当01=x 时，得R ∈λ②当()1,01∈x 时，即121111+≥--x x e e λ令()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=---1112121111111x x x e e e x H ，易知()1x H 是()1,0上的减函数，所以()()1201+=<e e H x H ，所以12+≥e e λ ③当()0,1∞-∈x 时，即121111+≤--x x e e λ.()1x H 在()0,∞-上也是减函数，()()1201+=>e e H x H ,所以12+≤e eλ. 综上所述12+=e eλ --------12分。

河南省南阳市第一中学2017-2018学年高二数学上学期第三次月考试题文(含解析)

河南省南阳市第一中学2017-2018学年高二数学下学期第二次月考试卷文及答案【word版】.doc

【推荐】河南省南阳市第一中学2017-2018学年高二数学下学期第二次月考试卷文及答案数学（文科）试题一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分）1. 下列有关样本相关系数说法不正确的是（）A. 相关系数用来衡量与之间的线性相关程度B. ，且越接近0，相关程度越小C. ，且越接近1，相关程度越大D. ，且越接近1，相关程度越大【答案】D【解析】根据样本相关系数的概念，可知，当的越接近，相关程度越小，当的越接近，相关程度越大，所以D是错误的，故选D.2. 演绎推理“因为对数函数(且)是增函数，而函数是对数函数，所以是增函数”所得结论错误的原因是（）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 大前提和小前提都错误【答案】A【解析】由题意，在上述推理中，大前提“对数函数且是增函数”是错误，因为当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以大前提是错误的，故选A.3. 用反证法证明：“自然数，，中恰有一个偶数”时正确的反设为（）A. ，，都是偶数B. ，，都是奇数C. ，，中至少有两个偶数D. ，，中都是奇数或至少有两个偶数【答案】D【解析】自然数a,b,c的奇偶性有四种情形：三个都是奇数；一个奇数两个偶数；两个奇数一个偶数；三个都是偶数．故否定“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”时的反设为“a,b,c中都是奇数或至少两个偶数”．选D．4. 设为虚数单位，若复数对应的点在虚轴上，则（）A. 或B. 且C. D. 或【答案】D【解析】试题分析：因为复数对应的点在虚轴上，所以z为纯虚数，即且，解得或，故选D。

考点：本题主要考查复数的概念，复数的几何意义。

点评：基础题，理解概念并记忆。

5. 执行如图所示的程序框图，当输入，时，输出的结果等于（）A. 32B. 64C. 128D. 256【答案】B【解析】由题意，执行如图所示的程序框图，可知：第一次循环：，不满足判断条件；第二次循环：，满足判断条件；第三次循环：，不满足判断条件；第四次循环：，不满足判断条件；第五次循环：，不满足判断条件；第六次循环：，满足判断条件，输出结果，故选B.6. 已知，，，则下列三个数，，（）A. 都大于6B. 至少有一个不大于6C. 都小于6D. 至少有一个不小于6【答案】D【解析】假设3个数，，都小于6，则利用基本不等式可得，，这与假设矛盾，故假设不成立，即3个数，，至少有一个不小于6，故选D.点睛：本题考查反证法，考查进行简单的合情推理，属于中档题，正确运用反证法是关键.7. 已知，为虚数单位，的实部与虚部互为相反数，则（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】因为，又因为的实部与虚部互为相反数且，所以，解得，故选D.8. 用指数模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，变换后得到线性回归直线方程，则常数的值为（）A. 0.3B.C.D. 4【答案】C【解析】由题意知，两边取对数，可得，令，所以可得，又因为，所以，所以，故选C.9. 已知集合，且下列三个关系：（1）；（2）；（3）有且只有一个正确，则等于（）A. 199B. 200C. 201D. 202【答案】C【解析】由，得的取值有以下情况：当时，或，此时不满足题意；当时，或，此时不满足题意；当时，，此时不满足题意；当时，，此时满足题意，综上得，代入，故选C.10. 已知数列为等差数列，若，（，，），则. 类比上述结论，对于等比数列（，），若，（，，），则可以得到等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设公比为，，，.考点：等差数列，等比数列的性质.11. 已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可知为上奇函数，又在上恒成立，所以在上为单调递增函数，由，得，即，即，当时，，若存在，使得成立，即在有解，所以实数的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查了函数的基本性质的综合应用问题，其中解答中利用函数的单调性和函数的奇偶性，把不等式转化为在上有解是解得关键，着重考查了转化思想方法和推理与运算能力，试题有一定难度，属于中档试题.12. 将正整数排成下表：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16………………则在表中数字2017出现在（）A. 第44行第80列B. 第45行第80列C. 第44行第81列D. 第45行第81列【答案】D【解析】因为每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，所以由此归纳出第n 行的最后一个数为n2．因为442=1936，452=2025，所以2017出现在第45行上．又由2017﹣1936=81，故2017出现在第81列，故选：D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某种产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如下表所示：3 4 5 62.5 3 4若根据表中数据得出关于的线性回归方程为，则表中的值为__________．【答案】4.5【解析】由题意可知：产量的平均值为，由线性回归方程为，过样本中心点，则，由，解得：，表中的值为，故答案为：.14. 现有、两队参加关于“十九大”知识问题竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢一分，答错得0分.队中每人答对的概率均为，队中3人答对的概率分别为，，，且各答题人答题正确与否之间互无影响，若事件表示“队得2分”，事件表示“队得1分”，则__________．【答案】【解析】“队总得分为分”为事件，队总得分为分，即队三人有一人答错，其余两人答对，其概率，记“队得分”为事件，事件即为队三人人答错，其余一人答对，则，队得分队得一分，即事件同时发生，则，故答案为.15. 设函数（），观察：……根据以上事实，由归纳推理可得：当且时，__________．【答案】【解析】观察知:四个等式等号右边的分母为,即,所以归纳出分母为的分母为,故当且时，.16. 如右边两个图所示，在中，，其中，，分别为角，，的对边，在四面体中，，，，分别表示，，，的面积，，，依次表示面，面，面与底面所成二面角的大小，写出四面体性质的猜想为__________．【答案】【解析】由已知在平面几何中，在中，如果点在上的射影为，设的三边分别为，则，可以类比这一性质，推理出：若四面体中，的面积依次为，面、面、面与底面所成二面角分别为，则.点睛：本题考查了合情推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确，对于类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质取推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知复数，根据以下条件分别求实数的值或范围. （1）是纯虚数；（2）对应的点在复平面的第二象限.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析: (1)由z的实部等于0且虚部不等于0求得m的值;(2)由z的实部小于0且虚部大于0求解不等式组得出答案.试题解析:（1）由是纯虚数得即所以m=3.（2）根据题意得，由此得，即或.点睛:本题考查了复数的基本概念,复数的代数表示法以及其几何意义,属于基础题目.本题给出的复数的实部和虚部都含有参数m,求复数满足条件时,实数m的取值范围,当复数为纯虚数时,它的实部为0且虚部不为0;当复数对应的点在复平面的第二象限,说明它的实部为负数且虚部为正数.18. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.（1）求乙至多击中目标2次的概率；（2）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据对立事件的概率公式，即可求解乙至多击中目标次的概率；（2）设甲恰好比乙多击中目标次为事件，分为甲恰击中目次且乙恰好击中目标次为事件，甲恰击中目标次且乙击中目标次为事件，即可求解其概率；试题解析：（1）乙至多击中目标2次的概率为.（2）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件，甲恰击中目标2次且乙恰好击中目标0次为事件，甲恰击中目标3次且乙击中目标1次为事件，则，、为互斥事件，.19. 进入高三，同学们的学习越来越紧张，学生休息和锻炼的时间也减少了，学校为了提高学生的学习效率，鼓励学生加强体育锻炼，某中学高三（3）班有学生50人，现调查该班学生每周平均体育锻炼时间的情况，得到如下频率分布直方图，其中数据的分组区间为：，，，，，（1）求学生周平均体育锻炼时间的中位数（保留3为有效数字）；（2）从每周平均体育锻炼时间在的学生中，随机抽取2人进行调查，求此2人的每周平均体育锻炼时间都超过2小时的概率；（3）现全班学生中有40%是女生，其中3个女生的每周平均体育锻炼时间不超过4小时，若每周平均体育锻炼时间超过4小时称为经常锻炼，问：有没有90%的把握说明，经常锻炼与否与性别有关?附：0.100 0.050 0.010 0.0012.7063.841 6.635 10.828【答案】（1）7.29；（2）；（3）见解析【解析】试题分析：（1）设中位数为，根据前三项的频率和和第四组的频率，列出方程，即可求解的值；（2）由已知，锻炼时间在，中的人数分别是人、人，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解相应的概率.（3）由已知可知，得到列联表，利用公式求得的值，即可得到结论.试题解析：（1）设中位数为，因为前三项的频率和为：，第四组的频率为：，所以，∴∴学生周平均体育锻炼时间的中位数是7.29（2）由已知，锻炼时间在，中的人数分别是人，人，分别记在的2人为，，的3人为，，则随机抽取2人调查的所有基本事件列举为，，，，，，，，，........................共10个基本事件其中体育锻炼时间都超过2小时包含3个基本事件，所以（3）由已知可知，不超过4小时的人数为：人，其中女生有3人，所以男生有2人，因此经常锻炼的女生有人，男生有人所以列联表为：男生女生小计经常锻炼28 17 45不经常锻炼 2 3 5小计30 20 50所以所以没有90%的把握说明，经常锻炼与否与性别有关.20. 菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水（单位：千克）清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药（单位：微克）的统计表：1 2 3 4 558 54 39 29 10（1）令，利用给出的参考数据求出关于的回归方程（，精确到0.1）参考数据：，，其中，（2）对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量不高于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计至少需用用于多少千克的清水清洗1千克蔬菜？（精确到0.1，参考数据）附：对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.【答案】（1）；（2）4.5【解析】试题分析：（1）计算，填表即可，在求出回归系数，即可求解回归直线的方程；（2）由（1）求得的值，令，即可求解的取值范围.试题解析：（1）由题意得，，.∴（2）由（1）得，∴当时，即，解得所以为了放心食用该蔬菜，估计需要用4.5千克的清水清洗1千克蔬菜.点睛：本题主要考查了回归直线方程的求解及综合应用，此类问题的解答中正确处理数据，利用最小二乘法求解回归系数是解答的一个难点和关键，解答中应细心、认真.21. 若，，，且，，，求证：，，中至少有一个大于0.【答案】见解析【解析】试题分析：利用反证法，即可得出证明.试题解析：假设，，都不大于0，即，，，而.而，这与矛盾.所以假设不成立，从而原命题成立.所以，，中至少有一个大于0.点睛：本题主要考查了间接证明，在应用反证法证题时，对于反证法证明中常见的步骤是：（1）首先作出与结论相反的假设，即反设；（2）在反设的基础上，推理得出合理的矛盾，（与已知条件，基本事实等矛盾）（3）得到原命题正确.22. 如图：假设三角形数列中的第行的第二个数为（，）（1）归纳出与的关系式并求出的通项公式；（2）设求证：1 ……第一行2 2 ……第一行3 4 3 ……第一行4 7 7 4 ……第一行5 11 14 11 5 ……第一行… … … …【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）依题意，利用累加法，即可得到的通项公式；（2）由（1）得，即利用列想法，求得，进而作出证明.试题解析：（1）依题意（），所以：……累加得所以（）当时，也满足上述等式故（）（2）因为，所以所以点睛：本题主要考查了数列的综合应用问题，通过三角数表构造了一系列数列，考查了数列的通项公式，以及求和的方法，同时考查了数列的递推关系式，解答时入题较难，知识点、方法灵活，属于中档题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力.。

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2017-2018学年高二春期第三次考试数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1、已知nN，则(20)(21)nn…(100)n等于（） A．80100nA B．nnA20100 C．81100nA D．8120nA 2、随机变量服从二项分布～pnB,，且,200,300DE则p等于（） A. 32 B. 31 C. 1 D. 0 3、某学习小组男女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数分别为（） A. 2，6 B.3，5 C.5，3 D.6，2

4、设52012(2)xaaxax…55ax，那么024135aaaaaa的值为（） A.－122121 B.－6160 C.－244241 D.-1 5、有一台Ｘ型号的自动机床在一个小时内不需要工人照看的概率为0.8，有四台这种型号的机床独立的工作，则在一小时内至多两台机床需要工人照看的概率为（） A.0.1536 B.0.1806 C.0.5632 D.0.9728 6、从1,2,3,…,15中,甲、乙两人各取一数(不重复),已知甲取到的数是5的倍数,则甲数大于乙数的概率是（）

A.914 B. 114 C. 15 D. 115

7、甲乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是32，没有平局．若采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于（） A.2027 B. 49 C. 827 D. 1627

8、为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（） A．3181 B．3381 C．4881 D.8150 9、将一个四棱锥SABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数是（） A.540 B.480 C.420 D.360 10、某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天。若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（） A.504种 B.960种 C.1008种 D.1108种 11、设723456701234567(12)xaaxaxaxaxaxaxax,则代数式

1234567234567aaaaaaa的值为（）

A.-14 B.-7 C.7 D.14 12、某班班会准备从含甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一个发言，且甲、乙都发言时丙不能发言，则甲、乙两人都发言且发言顺序不相邻的概率为（）

A. 217 B. 316 C. 326 D. 328 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13、已知随机变量服从正态分布2(1,),(4)0.79NP，则(2)P________ 14、甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________（用数字作答） 15、某城市的交通道路如图，从城市的东南角A到城市的西北角B，不经过十字道路维修处C，最近的走法种数有_________________。 16、给出下列四个结论：

(1)如果321(3)nxx的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x的系数是21； (2)用相关指数r来刻画回归效果，r的值越大，说明模型的拟合效果越差； (3)若()fx是R上的奇函数，且满足(2)()fxfx，则()fx的图象关于1x对称； (4) 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c,且,,(0,1)abc，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则213ab的最小值为163；其中正确结论的序号为 . 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）

B A C 17、已知322(3)nxx的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项 18、下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t错误！未找到引用源。的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于t错误！未找到引用源。的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年

我国生活垃圾无害化处理量．

参考数据：719.32iiy错误！未找到引用源。，7140.17iiity错误！未找到引用源。，

1()0.55iiyy



错误！未找到引用源。，72.646.

参考公式：相关系数12211()()niiinniiiityntyrttyy错误！未找到引用源。

回归方程yabt 中，121,()niiiniityntybaybttt 19、用0，1，2，3，4，5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？（3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？ 20、每逢节假日，在微信好友群中发红包逐渐成为一种时尚，还能增进彼此的感情。2016年春节期间，小鲁在自己的微信好友群中，向在线的甲、乙、丙、丁四位好友随机发放红包，发放的规则为：每次发放一个，小鲁自己不抢，每个人抢到的概率相同。 (1)若小鲁随机发放了3个红包，求甲至少抢到一个红包的概率； (2)若丁因有事暂时离线一段时间，而小鲁在这段时间内共发了3个红包，其中2个红包中各有10元，一个红包中有5元。设这段时间内乙所得红包的总钱数为X元，求随机变量X的分布列和数学期望。 21、学校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，并规定：在抽取的3道题中，至少正确完成其中2道题便可通过考查．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考

生乙每题正确完成的概率都为23，且每题正确完成与否互不影响． (1)求考生甲正确完成题目个数的分布列和数学期望； (2)用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大？ 22、为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：年龄 [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) 频数 5 10 15 10 5 5 支持“生育二胎” 4 5 12 8 2 1

(1)由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有%99的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计支持 a c 不支持 b d 合计 (2)若对年龄在[5,15),[35,45)的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中不支持“生育二胎”人数为，求随机变量的分布列及数学期望。参考数据: 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828

22(),()()()()nadbcKnabcdabcdacbd





高二年级第三次月考数学（理）参考答案一、选择题：CBBAD AADCC AC 二、填空题: 13、0.21 14、336 15、66 16、(3)(4) 三解答题： 17、(1)因为,展开式共6项,二项式系数最大的项为第三、第四两项,所以

(2)设展开式中第项系数最大,则，所以所以即展开式中第5系数最大, 18、解：（1）由折线图数据和参考数据得：4t，721()28iitt，错误！未找到引用

源。

所以，相关系数7

1772211740.1749.320.9922.6460.55()()iiiiiiitytyrttyy









错误！未找到

引用源。

因为y与t错误！未找到引用源。的相关系数近似为0.99，说明y与t错误！未找到引用

源。的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t错误！未找到引用源。的关系。（2）由9.321.3317y及（1）得71721740.1749.320.10328()iiiiitytybtt，1.3310.10340.92aybt，所以y与t错误！未找到引用源。的回归方程为

0.920.10yt

将2016年对应的错误！未找到引用源。代入回归方程得：0.920.1091.82y错

误！未找到引用源。，所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.

19、解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时有35A个；第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有14A种）,十位和百位从余下的数字中选（有24A种），于是有1244AA·个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有1244AA·个．由分类加法计数原理知，共有四位偶数：3121254444156AAAAA··个．（2）符合要求的五位数中5的倍数的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有45A

个；个位数上的数字是5的五位数有1344AA·个．故满足条件的五位数的个数共有413544216AAA·个．

（3）符合要求的比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共1345AA·个；第二类：形如14□□，15□□，共有1224AA·个；第三类：形如134□，135□，共有1123AA·

个；由分类加法计数原理知，无重复数字且比1325大的四位数共有： 131211452423270AAAAAA···个．

20、解：(1)设“甲至少得1红包”为事件,由题意得:

. (2)由题意知可能取值为, , ,