《寒假专题突破练》高一(必修1、必修2)专题练习专题15 圆的方程

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高考数学复习圆的方程专项练习(附解析)

高考数学复习圆的方程专项练习（附解析）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。

以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。

一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).因此该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2021南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，因此圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2021江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y |的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，因此a+b =2.因此+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b =时取等号.[答案] 96.(2021南京市、盐都市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2 +(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，因此kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，因此直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2021泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a =________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2 +a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，因此的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且通过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，因此圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2= 2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

《寒假专题突破练》高一(必修1、必修2)专题练习专题8 数与方程

专题8 函数与方程1．函数零点(1)概念对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点．(2)意义函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根．(3)求法①(代数法)求方程f (x )＝0的实数根；②(几何法)求函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理．3．二分法(1)概念①中点：一般地，我们把a ＋b 2称为区间(a ，b )的中点； ②二分法．(2)用二分法求函数零点近似值的基本步骤．例1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]；(2)f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]．变式训练1 求下列函数的零点．(1)f (x )＝x 3＋1；(2)f (x )＝x 3－2x 2－x ＋2.例2 已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若ac ＜0，则函数f (x )的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定变式训练2 若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点为2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0，－12B ．0，12C ．0,2D ．2，－12例3 已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 2－1的两个零点都在(－2,4)内，求实数a 的取值范围．变式训练3 若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，求实数a 的值；A 级(第1,7题是考查偶函数的性质及零点的概念，解题关键是利用偶函数的对称性．)1．已知函数f (x )是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为( )A ．0B ．1C ．2D ．42．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)(第3题考查的是函数图象与零点的关系，解题关键是将函数图象画出来，然后判断交点个数．)3．函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0(第4题考查的是零点存在性定理，解题方法是将答案一一验证．)4．设x 0是方程ln x ＋x －4＝0的解，则x 0属于区间( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)(第5题考查的是零点的概念，求解方法是直接将零点求出来．)5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0x 2＋x ，x <0的零点的个数为________． 6．函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是________．7．函数f (x )对一切实数x 都满足f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫32－x ，并且方程f (x )＝0有三个实根，则这三个实根的和为________．B 级8．若函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )为偶函数，又f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无关判断(第9,12题考查了零点的性质应用，求解方法是利用零点的性质，辅助图象解题．)9．方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B ．(1，＋∞)C.⎣⎡⎦⎤－235，1D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 10．方程2x ＝x 2的实数根的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．无数多11．方程93x －1＋1＝3x 的实数解为________． 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．13．不用求根公式，求函数f (x )＝(x －2)(x －5)－1的零点的个数，并比较零点与3的大小．14．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．答案精析专题8 函数与方程典型例题例1 解 (1)方法一 ∵f (1)＝12－3×1－18＝－20<0，f (8)＝82－3×8－18＝22>0，∴f (1)·f (8)<0，故f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]存在零点．方法二令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0，x ∈[1,8]．∴(x －6)(x ＋3)＝0，∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]，∴f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]存在零点．(2)方法一 ∵f (1)＝log 23－1>log 22－1＝0，f (3)＝log 25－3<log 28－3＝0，∴f (1)·f (3)<0，故f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]存在零点．方法二设y ＝log 2(x ＋2)，y ＝x ，在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当1≤x ≤3时，两图象有一个交点，因此f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]存在零点．变式训练1 解 (1)f (x )＝x 3＋1＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)，令(x ＋1)(x 2－x ＋1)＝0，解得x ＝－1，即函数f (x )＝x 3＋1的零点为x ＝－1；(2)令x 3－2x 2－x ＋2＝0，化得(x ＋1)(x －1)(x －2)＝0，解得x ＝－1或x ＝1或x ＝2，所以函数y ＝x 3－2x 2＋x －2的零点分别为x ＝－1或x ＝1或x ＝2.例2 C [因ac <0，所以Δ＝b 2－4ac >0，所以函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有两个交点，即函数f (x )的零点个数为2.]变式训练2 A [∵a ≠0,2a ＋b ＝0，∴b ≠0，a b ＝－12. 令bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.] 例3 解设函数的两个零点为x 1与x 2，且－2<x 1<x 2<4，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)>0f (4)>0Δ≥0－2<－－2a 2<4，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a ＋3>0a 2－8a ＋15>0Δ＝4≥0－2<a <4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <－3或a >－1a <3或a >5－2<a <4，所以实数a 的取值范围为－1<a <3.变式训练3 解若a ＝0，则f (x )＝－x －1，令f (x )＝0，即－x －1＝0，得x ＝－1，故符合题意；若a ≠0，则f (x )＝ax 2－x －1是二次函数；故有且仅有一个零点等价于Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14. 综上所述a ＝0或a ＝－14. 强化提高1．A [因为函数f (x )是偶函数，所以其y 轴左右各两个点是关于y 轴对称的，则该函数的所有零点之和为0，选A.]2．C [Δ＝m 2－4>0，m >2或m <－2，应选C.]3．B [画出两个函数f (x )，g (x )的图象，由图知f (x )，g (x )的图象的交点个数为2.]4．C [令f (x )＝ln x ＋x －4，则f (2)＝ln 2＋2－4<0，f (3)＝ln 3＋3－4>0，选C.]5．1解析令f (x )＝0，当x ≥0时，x ＋1＝0，解得x ＝－1，不合适，舍去．当x <0时，x 2＋x ＝0，解得x ＝－1或x ＝0(不合适，舍去)．∴函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0x 2＋x ，x <0的零点是－1，其个数为1. 6．(－∞，0]∪{1}解析当m ＝0时，x ＝12为函数的零点；当m ≠0时，若Δ＝0，即m ＝1时，x ＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然函数x ＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程mx 2－2x ＋1＝0有一个正根和一个负根，即mf (0)＜0，即m ＜0.7.92解析设方程f (x )＝0的三个实根分别为x 1，x 2，x 3，因为对称轴为x ＝32，所以x 2＝32，且32－x 1＝x 3－32，则x 1＋x 3＝3，所以x 1＋x 2＋x 3＝92. 8．B [依据给出的函数性质，易知f (－2)＝0，画出函数的大致图象如图：可知f (x )有两个零点．]9．C [设f (x )＝x 2＋ax －2，∵f (0)＝－2<0，∴由x 2＋ax －2＝0在区间[1, 5]上有解，只需f (1)≤0且f (5)≥0即可，解得－235≤a ≤1.] 10．C [画出函数y 1＝2x 与y 2＝x 2的图象可知x ＝2与x ＝4时，y 1＝y 2，当x <0时存在一个x 使y 1＝y 2；当x >4时，函数y 1＝2x 递增的速度明显比y 2＝x 2快，即x >4后，再没有交点，故选C.]11．log 34解析令t ＝3x (t >0)，则原方程可化为：(t －1)2＝9(t >0)．∴t －1＝3，t ＝4，即x ＝log 34可满足条件，即方程93x －1＋1＝3x 的实数解为 log 34. 12．1<a <2解析画出函数f (x )的图象如图所示．函数y ＝f (x )－a |x |有4个零点，即函数y 1＝a |x |的图象与函数f (x )的图象有4个交点(根据图象知需a >0)．当a ＝2时，函数f (x )的图象与函数y 1＝a |x |的图象有3个交点．故a <2. 当y ＝a |x |(x ≤0)与y ＝|x 2＋5x ＋4|相切时，在整个定义域内，f (x )的图象与y 1＝a |x |的图象有5个交点，此时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ax y ＝－x 2－5x －4 得x 2＋(5－a )x ＋4＝0.由Δ＝0得(5－a )2－16＝0，解得a ＝1，或a ＝9(舍去)，则当1<a <2时，两个函数图象有4个交点．故实数a 的取值范围是1<a <2.13．解 f (x )＝(x －2)(x －5)－1＝x 2－7x ＋9，令x 2－7x ＋9＝0，则x 2－7x ＋9＝0， Δ＝(－7)2－4×9＝13>0，所以方程x 2－7x ＋9＝0有两个不等实数根，即函数f (x )＝(x －2)(x －5)－1有两个零点；又因为f (3)＝(3－2)(3－5)－1＝－3<0，且函数f (x )＝(x －2)(x －5)－1为开口向上的抛物线，所以函数f (x )＝(x －2)(x －5)－1的零点有一个大于3，另一个小于3.14．解 f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a.①当－12a≤－1，即0≤a ≤12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥1， ∴a 的解集为∅.②当－1<－12a <0，即a >12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－12a )≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1， ∴a 的取值范围是[1，＋∞)．。

高中数学必修二人教A版练习：4.1.1圆的标准方程含解析.doc

4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程【选题明细表】1.圆(x-3)2+(y+2)2=13的周长是( B )(A)π (B)2π(C)2π(D)2π解析:由圆的标准方程可知,其半径为,周长为2π.故选B.2.点P(m,5)与圆x2+y2=24的位置关系是( A )(A)在圆外(B)在圆内(C)在圆上(D)不确定解析:把P(m,5)代入x2+y2=24,得m2+25>24.所以点P在圆外,故选A.3.(2018·湖北宜昌期末)以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( A )(A)(x-1)2+(y-2)2=25 (B)(x+1)2+(y+2)2=25(C)(x+1)2+(y+2)2=100 (D)(x-1)2+(y-2)2=100解析:由题意可得,圆心为线段AB的中点C(1,2),半径为r=AB=×=5,故要求的圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=25,故选A.4.已知圆心为P(-2,3),并且与y轴相切,则该圆的方程是( B )(A)(x-2)2+(y+3)2=4 (B)(x+2)2+(y-3)2=4(C)(x-2)2+(y+3)2=9 (D)(x+2)2+(y-3)2=9解析:由题意知,该圆的圆心为(-2,3),半径为2,所以其标准方程为(x+2)2+(y-3)2=4.5.(2018·江西赣州期末)圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线x-y-2=0对称的圆的方程为( A )(A)(x-4)2+(y+1)2=1 (B)(x+4)2+(y+1)2=1(C)(x+2)2+(y+4)2=1 (D)(x-2)2+(y+1)2=1解析:由于圆心(1,2)关于直线x-y-2=0对称的点的坐标为(4,-1),半径为1,故圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线x-y-2=0对称的圆的方程为(x-4)2+(y+1)2=1,故选A.6.(2018·河南濮阳一模)圆x2+(y-1)2=1的圆心到直线y=-x-2的距离为.解析:圆x2+(y-1)2=1的圆心(0,1)到直线y=-x-2的距离为d==.答案:7.(2018·江西师大附中高一测试)自点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线,切点为B,则AB的长为.解析:点A到圆心C(2,3)的距离为=,所以切线长为=3.答案:38.求满足下列条件的圆的标准方程.(1)圆心在x轴上,半径为5,且过点A(2,-3).(2)经过点A(-4,-5),B(6,-1)且以线段AB为直径;(3)圆心在直线y=-2x上,且与直线y=1-x相切于点(2,-1);(4)圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5).解:(1)设圆的标准方程为(x-a)2+y2=25,因为点A(2,-3)在圆上,所以(2-a)2+(-3)2=25,解得a=-2或a=6.所以所求圆的标准方程为(x+2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25.(2)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),由题意得a==1,b==-3,又因为点(6,-1)在圆上,所以r2=(6-1)2+(-1+3)2=29.所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+3)2=29.(3)法一设圆心为(a,-2a).因为圆与直线y=1-x相切于点(2,-1),所以=,解得a=1.所以所求圆的圆心为(1,-2).半径r==.所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.法二设过(2,-1)且与y=1-x垂直的直线为y=x+b,把(2,-1)代入,得b=-3.所以圆心(a,b)在y=x-3上,即b=a-3,①又因为圆心在直线y=-2x上,所以b=-2a,②解之得a=1,b=-2,则圆心为(1,-2),所以r==,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.(4)法一设点C为圆心,因为点C在直线:x-2y-3=0上,所以可设点C的坐标为(2a+3,a).又该圆经过A,B两点,所以|CA|=|CB|.所以=,解得a=-2,所以圆心坐标为C(-1,-2),半径r=.故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.法二设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.由条件知所以故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.法三线段AB的中点为(0,-4),k AB==,所以弦AB的垂直平分线的斜率为-2,所以线段AB的垂直平分线的方程为y+4=-2x,即y=-2x-4,圆心是直线y=-2x-4与直线x-2y-3=0的交点,由得即圆心为(-1,-2),圆的半径r==.故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.9.(2018·内蒙古包头市一模)圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为( C )(A)(x-)2+y2=(B)(x+)2+y2=(C)(x-)2+y2=(D)(x-)2+y2=解析:根据题意,设圆E的圆心坐标为(a,0)(a>0),半径为r,则圆E的标准方程为(x-a)2+y2=r2.则有解得a=,r2=,所以圆E的方程为(x-)2+y2=.故选C.10.(2018·河南鹤壁高一期末)如果实数x,y满足x2+(y-3)2=1,那么的取值范围是( D )(A)[2,+∞)(B)(-∞,-2](C)[-2,2](D)(-∞,-2]∪[2,+∞)解析:因为实数x,y满足x2+(y-3)2=1,所以表示以(0,3)为圆心,1为半径的圆上的点和原点连线的斜率k,设直线方程为y=kx,联立x2+(y-3)2=1和y=kx消去y并整理可得(1+k2)x2-6kx+8=0,由Δ=36k2-32(1+k2)=0可解得k=±2,结合图形可知的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).11.如图所示,一座圆拱桥,当水面在如图位置时,拱顶离水面 2 m,水面宽12 m,当水面下降1 m后,水面宽多少m?解:如图,拱顶O为坐标原点,设圆的半径为r m,则圆心C(0,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2. ①将A点的坐标(6,-2)代入方程①解得r=10.所以圆的方程为x2+(y+10)2=100.②当水面下降1 m后,可设点A′的坐标为(x0,-3)(x0>0),将A′的坐标(x0,-3)代入方程②,解得x0=.所以水面下降1 m后,水面宽为2x0=2≈14.28 m.12.已知圆C的圆心坐标为C(x0,x0),且过定点P(4,2).(1)求圆C的方程(用含x0的方程表示);(2)当x0为何值时,圆C的面积最小?并求出此时圆C的标准方程. 解:(1)由题意,设圆C的标准方程为(x-x0)2+(y-x0)2=r2(r≠0).因为圆C过定点P(4,2),所以(4-x0)2+(2-x0)2=r2(r≠0),所以r2=2-12x0+20.所以圆C的标准方程为(x-x0)2+(y-x0)2=2-12x0+20.(2)因为(x-x0)2+(y-x0)2=2-12x0+20=2(x0-3)2+2,所以当x0=3时,圆C的半径长最小,即面积最小,此时圆C的标准方程为(x-3)2+(y-3)2=2.。

高中数学圆的方程同步练习2 新课标人教版必修2(A)

高中数学圆的方程同步练习2 新课标人教版必修2(A)一、选择题1、圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线x y 33=的距离是（） A. 21 B. 23 C. 1 D. 3 2、x 2＋y 2＋4kx －2y －k ＝0所表示的曲线是圆的充要条件是（）A ．14 ＜k ＜1B ．k ＜14 或k>1C ．k ＝14或k ＝1 D ．k ∈R 3、过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（）A ．（x －3）2＋（y ＋1）2＝4B ．（x ＋3）2＋（y －1）2＝4C ．（x －1）2＋（y －1）2＝4D ．（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝44、过点A （1，2），且与两坐标轴同时相切的圆的方程是（）A. 2)3()1(22=-+-y xB. 1)1()1(22=-+-y x 或25)5()5(22=-+-y xC. 1)1()1(22=-+-y xD. 25)5()5(22=-+-y x5、方程｜x ｜－1＝1－(y －1)2 所表示的曲线是 ( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆二、填空题6、圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为________________.7、若两直线y ＝x ＋2a 和y ＝2x ＋a ＋1的交点为P ，P 在圆x 2＋y 2＝4的内部，则a 的取值范围是________________.8、点P 从(1,0)出发,沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动32π弧长到达Q 点,则Q 的坐标为 ________________.9、圆心在直线x=2上的圆C 与y 轴交于两点A(0, －4),B(0, －2),则圆C 的方程为________________.10、圆0422=-+x y x 在点P )3,1(处的切线方程为________________.三、解答题11、已知三角形三边所在直线的方程为x －y ＋2＝0，x －3y ＋4＝0，x ＋y －4 = 0求三角形外接圆的方程．12、一圆经过A （4，2），B （－1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距和为2，求此圆方程．13、已知圆和直线x －6y －10＝0相切于（4，－1），且经过点（9，6）．求圆的方程．14、设圆C 过点A （1，2），B （3，4），且在x 轴上截得的弦长为6，求圆C 的方程。

高一数学人教A版必修2课后训练：4.1.1圆的标准方程 Word版含解析

4．1.1 圆的标准方程练习1．圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圆心坐标是()A．(2,1) B．(2，－1) C．(－2,1) D．(－2，－1) 2．以原点为圆心，4为半径的圆的方程是()A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝16C．x2＋y2＝2 D．(x－4)2＋(y－4)2＝163．圆C：(x)2＋(y2＝4的面积等于()A．πB．2πC．4πD．8π4．若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为() A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0 C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝05．方程y()A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆6．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程是__________．7．若点P(－1在圆x2＋y2＝m上，则实数m＝____________.8．圆C：(x＋4)2＋(y－3)2＝9的圆心C到直线4x＋3y－1＝0的距离等于__________．9．求过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心C在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程．10．已知A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)，问这四点能否在同一个圆上？为什么？参考答案1. 答案：B2. 答案：B3. 答案：C4. 答案：D5. 答案：D6. 答案：(x －2)2＋(y ＋1)2＝17. 答案：48. 答案：859. 解：AB 的中垂线方程是x －y ＝0，解方程组0,20,x y x y -=⎧⎨+-=⎩得1,1,x y =⎧⎨=⎩即圆心C (1,1)，则半径r ＝|AC |＝2，所以圆的标准方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4.10. 解：设经过A ，B ，C 三点的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.则222222222(1),(2)(1),(3)(4),a b r a b r a b r ⎧+-=⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩解此方程组，得21,3,5.a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以，经过A ，B ，C 三点的圆的标准方程是(x －1)2＋(y －3)2＝5.把点D 的坐标(－1,2)代入上面圆的方程的左边，得(－1－1)2＋(2－3)2＝5.所以，点D 在经过A ，B ，C 三点的圆上，所以A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上，圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.。

人教A版必修二高一数学(4.1.1圆的标准方程)

知识探究一：圆的标准方程
思考1:圆可以看成是平面上的一条曲线，
在平面几何中，圆是怎样定义的？如何
用集合语言描述以点A为圆，r为半径
的圆？
rM
P={M||MA|=r}.
A
平面上到一个定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.
思考2:确定一个圆最基本的要素是什么？
思考3:设圆心坐标为A(a，b)，圆半径为r，M(x，y)为圆上任意一点，根据圆的定义x，y应满足什么关系？
思考6:以原点为圆心，1为半径的圆称为单位圆，那么单位圆的方程是什么？
x2+y2=r2
思考7:方程 (x a)2 ( y b)2 r，2 (x a)2 ( y b)2 r2，(x a)2 ( y b)2 m 是圆方程吗？
思考8:方程 y 4 (x 1)2与 y 4 (x 1)2 表示的曲线分别是什么？
y r
A
o
x
理论迁移
例1 写出圆心为A（2，-3），半径长等于5的圆的方程，并判断点M（5， -7），N（ 5 ，-1）是否在这个圆上？
例2 △ABC的三个顶点的坐标分别是
A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），
求它的外接圆的方程. y
A
o
x
B
C
例3 已知圆心为C的圆经过点 A（1， 1）和B（2，-2），且圆心C在直线l ： x-y+1=0上，求圆C的标准方程.
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第四章圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程
问题提出
1.在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆呢？

人教版数学高一人教B版必修2作业圆的标准方程

第23课时 2.3.1 圆的标准方程课时目标1.掌握圆的标准方程及其推导方法．2．会判断点与圆的位置关系．3．会用待定系数法求圆的标准方程．识记强化1．圆的标准方程：若圆的圆心坐标为C (a ，b )，半径为r ，则圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；特别地，如果圆心在坐标原点，圆的标准方程就是x 2＋y 2＝r 2.2．点与圆的位置关系的判定方法设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心为A (a ，b )，半径为r ，若点M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2；若点M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2；若点M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.反之也成立．课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝4B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝16C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝16D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4答案：C解析：由圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，易知答案为C.2．方程(x －a )2＋(y －b )2＝0表示的图形是( )A ．以(a ，b )为圆心的圆B ．以(－a ，－b )为圆心的圆C ．点(a ，b )D ．点(－a ，－b )答案：C解析：方程(x －a )2＋(y －b )2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a y ＝b ，因此它只表示一个点(a ，b )，故选C. 3．已知点A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝29半径r ＝(a －1)2＋16＝5，故所求圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝25.11．(13分)已知圆C 经过点A (2，－3)，B (－2，－5)，且圆心在直线l ：x －2y －3＝0上，求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ (2－a )2＋(－3－b )2＝r 2(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝－2.r 2＝10所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.能力提升12．(5分)直线l ：3x －4y ＋24＝0与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求△AOB 的外接圆和内切圆的方程．解：如图所示，通过画图发现△AOB 为直角三角形，于是它的外接圆是以AB 为直径的圆，内切圆的圆心为(－r ，r )(r ＞0)．在方程3x －4y ＋24＝0中，令y ＝0，得x ＝－8；令x ＝0，得y ＝6.故A 、B 两点的坐标分别为(－8,0)，(0,6)．因为△AOB 为直角三角形，故其外接圆的圆心为AB 的中点(－4,3)，且直径|AB |＝10，故半径长为5.于是△AOB 外接圆的方程为(x ＋4)2＋(y －3)2＝25.内切圆的半径r ＝12(|OA |＋|OB |－|AB |)＝12(8＋6－10)＝2，故其圆心坐标为(－2,2)．于是△AOB 内切圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝4.13．(15分)已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段弧，其弧长之比是3：1.③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，求这个圆的方程．解：设所求圆的圆心为P (a ，b )，半径为r ，则点P 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P 截x 轴所得弦长为2r ，故r 2＝2b 2，又圆P 截y 轴所得弦长为2，所以有r 2＝a 2＋1，从而有2b 2－a 2＝1.又因为圆心到直线l ：x－2y ＝0的距离为55，∴d ＝|a －2b |5＝55.即|a －2b |＝1，解得a －2b ＝±1，由此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2b 2－a 2＝1，a －2b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧2b 2－a 2＝1，a －2b ＝－1，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1.或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，于是r 2＝2b 2＝2.∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.。

高一数学人教A版必修2课后导练：4.1.1圆的标准方程含解析

课后导练基础达标1过点C （-1,1）和点D （1,3）且圆心在x 轴上的圆的方程是（）A.x 2+(y-2)2=10B.x 2+(y+2)2=10C.(x+2)2+y 2=10D.(x-2)2+y 2=10解析：设圆心为A （a,0），半径为r,则r=|AC|=|AD|. ∴9)1(1)1(22+-=++a a ,解得a=2,∴r=|AC|=1019=+,圆心（2，0）.答案：D2点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a 的取值范围是（）A.-1<a<1B.0<a<1C.a>-1或a>1D.a=±1解析：∵点（1，1）在圆心内部，∴（1-a ）2+(1+a)2<4,即a 2<1.∴-1<a<1.答案：A3在y 轴上的截距是2和8,且半径为5的圆的方程为（）A.(x-4)2+(y-5)2=25B.(x-4)2+(y+5)2=25或(x+4)2+(y-5)2=25C.(x+4)2+(y-5)2=25D.(x+4)2+(y-5)2=25或(x-4)2+(y-5)2=25解析：由条件知圆过点A （0，2），B （0，8），设圆心为（a,b ）,则⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.5,45,4.25)8(,25)2(2222b a b a b a b a 或解得答案：D4圆(x-1)2+(y-3)2=1关于直线x-y-1=0对称的圆的方程为（）A.(x+1)2+(y+3)2=1B.(x-3)2+(y-1)2=1C.(x-4)2+y 2=1D.(x-3)2+y 2=1解析：由条件知两圆的半径相等，而圆心关于x-y-1=0对称，设所求圆的圆心为（a,b ），已知圆的圆心为(1,3)，则有⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+-=--.0,4.012321,113b a b a a b 解得 ∴圆心（4，0）.答案：C5点P （m,5）与圆x 2+y 2=25的位置关系（）A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.圆上或圆外解析：由m 2+52=m 2+25≥25知，点P 在圆上或圆外.答案：D6圆心在直线x=2上的圆C 与y 轴交于两点A （0，-4），B （0，-2），则圆C 的方程为_________. 解析：由圆的几何意义知圆心坐标（2，-3），半径r=5)23()02(22=+-+-,∴圆的方程为（x-2）2+(y+3)2=5.答案：（x-2）2+(y+3)2=57已知A （3，7）、B （3，-1）、C （9，-1），则△ABC 的外接圆方程为__________.解析：由条件知△ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，∴所求圆的圆心为AC 中点，即（6,3），半径r=21|AC|=228621+=5.答案：(x-6)2+(y-3)2=258过原点且在x,y 轴上的截距分别为p ，q(p,q 均不为0)的圆的方程为___________.解析：∵由条件知圆过点O （0，0），A （p ，0），B （0，q ），∴圆心在OA 与OB 的中垂线上，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,2,2q y px 得圆心（2,2qp ）,则半径r=22)2()2(q p +.∴圆方程为（x-2p ）2+(y-2q )2=422q p +.答案：（x-2p ）2+(y-2q )2=422q p +综合运用9一个动点P 在圆x 2+y 2=1上移动时,它与定点Q(3,0)连线中点的轨迹方程是（）A.(x+3)2+y 2=4B.(x-3)2+y 2=1C.(2x-3)2+4y 2=1D.(x+23)2+y 2=21解析：设点P （x 1,y 1），则x 12+y 12=1①设中点坐标为（x,y ），由中点坐标公式知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.20,2311y y x x即⎩⎨⎧=-=.2,3211y y x x代入①得(2x-3)2+4y 2=1.答案：C10圆x 2+y 2=16上的点到直线x-y-3=0的距离的最大值为（） A.223 B.2234- C.4+223 D.0 分析：圆上点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆半径之和.解析：圆心（0，0）到直线之距为22323= 又圆半径r=4，故最大值为4+223. 答案：C11已知△ABC 的三个顶点为A （-1，0），B （1，0），C 在圆（x-2）2+(y-2)2=1上运动，则△ABC 面积的最小值为______________.解析：∵|AB|=2,若△ABC 面积最小，只要顶点C 到AB 距离最小即可，由平面几何知识可知，C 到AB 距离的最小值为圆心到AB 之距减去圆半径，即2-1=1，∴S △ABC 最小值=21×2×1=1 答案：1拓展探究12求与坐标轴均相切，且过点P(-1,2)的圆的方程.解析：设圆心坐标为（a,b ），半径为r ，则由条件知⎩⎨⎧=-++==)2.()2()1()1(|,|||222r b a b a r由①知a=b 或a=-b.当a=b 时，代入②得(a+1)2+(a-2)2=a 2.得a 2-2a+5=0,Δ=4-4×5<0,无解.当a=-b 时，代入②得（a+1）2+(a+2)2=a 2,即a 2+6a+5=0.∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=.5,51,1b a b a 或 ∴圆方程为(x+1)2+(y-1)2=1或(x+5)2+(y-5)2=25.。

高一数学第13课时圆的方程2配套练习苏教版必修2

第13课时圆的方程（２）分层训练１．圆222420x y x y ++-+=的圆心坐标和半径分别为 ( )()A (1,2),3- ()B (1,2),3-()C (1,- ()D (1,-２．圆的方程为22220x y kx y k ++++=，当圆面积最大时，圆心坐标为（）()A (1,1)-()B (1,1)-()C (1,0)-()D (0,1)-３．如果圆220x y Dx Ey F ++++=关于直线2y x =对称，则（）()A 2D E = ()B 2E D = ()C 20E D += ()D D E =４．若方程222245210x y kx ky k k +-++++=表示一个圆，则常数k 的取值范围是_______．５．若圆0342222=++-+m my x y x 的圆心在直线20x y ++=上,则该圆的半径等于______．６．方程3222++--=y y x 表示的曲线与直线2x =围成的图形面积是．７．已知点M 是圆2286250x y x y +-+-=上任意一点，O 为原点，则OM 的最大值为__，最小值为______．８．若直线10x y +-=与圆 22210x y tx ty t +-+++=相切，则实数t 等于__________．９．若圆022=++++F Ey Dx y x 过点(0,0)，(1,1)，且圆心在直线30x y --=上，求该圆的方程,并写出它的圆心坐标和半径．【解】１０．求证：无论实数m 如何变化，点(4,)m m 都在圆034222=+--+y x y x 之外．【证明】探究•拓展：１１．圆C 过点(1,2)A ，(3,4)B ，且在x 轴上截得的弦长为6．求圆C 的方程．１２．方程22(25)(210)0x y a x y +-+--=，求证：当取任意值时该方程表示的图形为圆，且恒过两定点．【证明】本节学习疑点：。

人教新课标版数学高一A版必修2知识必备 4.1.1圆的标准方程4.1.2圆的一般方程

知识网络4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程4.1.2 圆的一般方程知识梳理1.到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.2.当圆心与半径确定后,圆就唯一确定了.3.设圆的圆心为C(a,b),圆的半径为r,则圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,当圆的圆心在坐标原点时,圆的方程为x 2+y 2=r 2.4.方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.(1)当D 2+E 2-4F=0时,方程表示一个点,该点的坐标为(2,2E D --). (2)当D 2+E 2-4F<0时,方程不表示任何图形.(3)当D 2+E 2-4F>0时,方程表示的曲线为圆,它的圆心坐标为(2,2E D --),半径等于2422F E D -+. 5.圆的标准方程与一般方程各有特点:圆的标准方程指出圆心与半径,几何特征明显;圆的一般方程表明圆的代数特征明显,是一种特殊的二元二次方程.(1)x 2、y 2项系数相等;(2)没有xy 项.6.求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是:(1)根据题意,选择标准方程或一般方程;(2)根据条件列出关于a,b,r 或D,E,F 的方程组;(3)解出a,b,r 或D,E,F,代入标准方程或一般方程.知识导学要学好本节内容,可从回顾确定直线的要素——两点(或者一点和斜率)确定一条直线的基础上,回顾确定圆的几何要素——圆心位置和半径入手. 要求圆的标准方程,只需求出圆心坐标和半径.若借助于弦心距、弦、半径之间的关系或三角形外接圆的相关性质,可大大简化求解的过程与难度.圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0中也含有三个参数,必须具备三个独立的条件才能确定一个圆.在用待定系数法求圆的方程时,要注意结合题目的条件先选择好圆的方程,再确定参数.要注意圆的一般方程与标准方程的互化.疑难突破1.确定圆的方程的方法有哪些？剖析:①直接法:根据已知条件,直接求出圆心坐标和圆的半径,进而写出圆的方程.②待定系数法:实际上是求a 、b 、r 或D 、E 、F 三个字母系数值,故需要三个独立条件.只要把三个独立条件化为三个方程,就可求值.求圆的方程的步骤:①设出所求方程(要根据题意选择所求方程的形式);②列方程组;③解方程组,求出待定系数;④把解出的待定系数代回所设方程.2.点和圆有几种位置关系？分别是什么？剖析:一旦在坐标平面上确定一个圆之后,平面就被圆分成三个部分,即圆上的点,圆内的点及圆外的点,那么如何判断点与圆的这三种位置关系呢？可有两种方法:(1)将所给的点M 与圆心C 的距离跟半径r 比较:若|CM|=r,则点M 在圆C 上;若|CM|>r,则点M 在圆外;若|CM|<r,则点M 在圆内.(2)可利用圆的方程来确定点M(m,n)在圆上,则(m-a)2+(n-b)2=r 2,或m 2+n 2+Dm+En+F=0(D 2+E 2-4F>0);点M(m,n)在圆外,则(m-a)2+(n-b)2>r 2,或m 2+n 2+Dm+En+F>0(D 2+E 2-4F>0);点M(m,n)在圆内,则(m-a)2+(n-b)2<r 2,或m 2+n 2+Dm+En+F<0(D 2+E 2-4F>0).由于圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹(或集合),所以判定点与圆的位置关系的依据是圆的定义.由于圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2⇔22)()(b y a x -+-=r;圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(24)2()2(2222F E D E y D x -+=-+-, 所以,也可直接利用圆的方程判断点与圆的位置关系.。

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专题15 圆的方程1．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心(a ，b )，半径为r . 2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，圆心C (－D 2，－E2)，半径为D 2＋E 2－4F 2.例1 判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径长．变式训练1 将下列圆的方程化为标准方程，并求出圆心和半径． (1)x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0； (2)2x 2＋2y 2＋8x －12y ＋23＝0.例2求经过两点A(2，－3)、B(－2，－5)，且圆心在直线x－2y－3＝0上的圆的方程．变式训练2求圆心在x轴上，半径为5，且过点A(2，－3)的圆的标准方程．例3试判断A(1,2)，B(0,1)，C(7，－6)，D(4,3)四点是否在同一圆上．变式训练3 过三点A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)的圆的方程为________．A 级(第1题考查的是圆的一般方程的定义，求圆的半径和圆心有两种方法：一个是转化为圆的标准方程，一个是直接利用一般式方程的定义求解．) 1．方程x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1＝0表示的圆的圆心为( ) A ．(2,4) B ．(－2，－4) C ．(－1，－2)D ．(1,2)2．点P (－2，－2)和圆x 2＋y 2＝4的位置关系是( ) A ．在圆上 B ．在圆外 C ．在圆内D ．以上都不对(第3题考查的是圆一般方程的定义，解题方法是利用一般式方程定义求解．) 3．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的条件是( ) A.14<m <1 B ．m >1 C ．m <14D ．m <14或m >1(第4题考查的是圆的方程，做法是先求出端点坐标，然后求出半径，可得圆的标准方程．) 4．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝525．圆心是点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是________．(第6题考查学生掌握圆的基本性质，灵活运用两点间的距离公式化简求值，会根据圆心和半径写出圆的标准方程，做题时注意数形结合．)6．已知三角形的三个顶点是A (0,0)，B (4,0)，C (0,3)，则△ABC 的外接圆方程为________． 7．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．B 级(第8题做法是因为圆心一定在圆直径上，所以只要求出圆心坐标，再逐一代入各个选项验证即可．)8．已知圆的方程为x 2＋y 2－2x －2y －8＝0，那么该圆的一条直径所在直线的方程为( )A．2x－y－1＝0 B．2x－y＋1＝0C．2x＋y＋1＝0 D．2x＋y－1＝0(第9题考查圆的标准方程，圆的一般方程，两圆的位置关系，确定圆的圆心与半径，即可求得结论．)9．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，那么与圆C有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5B．(x－1)2＋(y＋2)2＝25C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5D．(x＋1)2＋(y－2)2＝2510．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝________.11．在已知圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0中，长为8的弦中点的轨迹方程为________．12．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________．(第13题考查了二元二次方程表示圆的条件和求半径的最大值，可用配方法将方程化为标准方程后，利用r2＞0求出参数的范围，求半径的最大值时需要验证对称轴的值是否取到．) 13．已知圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0(k为实数)．(1)若定点A(1,2)在圆的外面，求k的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程．(第14题熟练掌握圆的一般方程表示圆的充要条件和二次函数的性质是解题的关键．) 14．已知x2＋y2－2(22t－3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0.(1)当t为何值时，方程表示圆？(2)方程表示的圆的圆心能否在直线y＝x上？答案精析专题15 圆的方程典型例题例1 解方法一由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2，因此，当m ＝2时，它表示一个点；当m ≠2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F＝5|m －2|.方法二原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2，因此，当m ＝2时，它表示一个点；当m ≠2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|.变式训练1 解 (1)配方化为：(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，圆心(1，－2)，半径r ＝1. (2)配方化为：2(x ＋2)2＋2(y －3)2＝3，即(x ＋2)2＋(y －3)2＝32，圆心(－2,3)，半径r ＝62.例2 解方法一设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2(－2－a )2＋(－5－b )2＝r2a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 方法二由A (2，－3)，B (－2，－5)得， AB 的中点为(0，－4)，k AB ＝12，∴AB 的垂直平分线的方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.∴圆心为(－1，－2)，半径r ＝10. 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 方法三设点C 是圆心，∵点C 在直线l 上，∴设点C 为(2b ＋3，b )．又∵|CA |＝|CB |， ∴(2b ＋3－2)2＋(b ＋3)2＝(2b ＋3＋2)2＋(b ＋5)2解得b ＝－2， ∴圆心为C (－1，－2)，半径r ＝10，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.变式训练2 解设圆心在x 轴上，半径为5的圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝52. ∵点A 在圆上，∴(2－a )2＋(－3)2＝25. ∴a ＝－2或a ＝6.故所求圆的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝25或(x －6)2＋y 2＝25. 例3 解方法一线段AB 、BC 的斜率分别为k AB ＝1， k BC ＝－1.得k AB ≠k BC .∴A 、B 、C 三点不共线，设过A 、B 、C 三点的圆的方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵A 、B 、C 三点在此圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ D ＋2E ＋F ＋5＝0，E ＋F ＋1＝0，7D －6E ＋F ＋85＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝4，F ＝－5.∴过A 、B 、C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－8x ＋4y －5＝0. 将D 点坐标(4,3)代入方程左端得：42＋32－8×4＋4×3－5＝0. 即点D 在此圆上，故A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上．方法二 ∵k AB ·k BC ＝2－11－0×1＋60－7＝－1， ∴AB ⊥BC ，∴AC 是过A 、B 、C 三点的圆的直径， |AC |＝(1－7)2＋(2＋6)2＝10， AC 中点即为圆心M (4，－2)． ∵|DM |＝(4－4)2＋(3＋2)2＝5 ＝12|AC |， ∴点D 在圆M 上，∴A 、B 、C 、D 四点共圆．变式训练3 x 2＋y 2＋6x －2y －15＝0解析设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵三点A 、B 、C 在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧5E ＋F ＋25＝0D －2E ＋F ＋5＝03D ＋4E －F －25＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6E ＝－2F ＝－15，故所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －2y －15＝0. 强化提高1．C [方程可变为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4， ∴圆的圆心为(－1，－2)．]2．B [将点P 的坐标代入圆的方程的等号左边，有(－2)2＋(－2)2＝8>4，故点P 在圆外．] 3．D [此方程表示圆的条件是D 2＋E 2－4F >0，即(4m )2＋(－2)2－4·5m >0，解得m <14或m >1，所以应选D.]4．A [由已知，得直径的两端点为(4,0)，(0，－6)， ∴半径r ＝12(4－0)2＋[0－(－6)]2＝13，∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.] 5．(x －3)2＋(y －4)2＝25 解析圆的半径r ＝32＋42＝5. 所以圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25. 6．x 2＋y 2－4x －3y ＝0解析根据图形可知△ABC 为直角三角形，所以AC 的垂直平分线方程MP 为y ＝32；AB 边的垂直平分线方程MQ 为x ＝2. 所以圆心坐标为(2，32)，半径r ＝52；则圆的方程为(x －2)2＋(y －32)2＝254，化简得x 2＋y 2－4x －3y ＝0.7．x 2＋(y －1)2＝1解析由题意知圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1. 8．A [∵圆的方程为x 2＋y 2－2x －2y －8＝0，∴圆心坐标为(1,1)，又∵直径一定过圆心，∴只需检验选项中那个过圆心即可，把(1,1)点逐一代入各选项，可得代入A 选项时成立．故选A.]9．B [由题意，得圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0的圆心坐标为(1，－2)， ∴与圆C 有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的半径为5， ∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，故选B.]10．9解析圆C 2的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m . 又圆C 1：x 2＋y 2＝1，∴|C 1C 2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m ，解得m ＝9. 11．(x －2)2＋(y ＋3)2＝9解析设中点M (x ，y )，已知圆的圆心为C (2，－3)，半径r ＝5，则|MC |＝3，所以点M 的轨迹方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝9. 12．5＋ 2解析点(2,3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大，最大距离为点(2,3)到圆心(3,4)的距离2加上半径长5，即为5＋ 2.13．解 (1)将圆的方程化为(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝4－3k 24，所以圆心为(－k2，－1)，半径为4－3k 24.由于点(1,2)在圆外，因此有 (1＋k2)2＋(2＋1)2＞4－3k 24恒成立，又∵4－3k 2＞0，解得－233<k <233.(2)由(1)知圆的半径r ＝124－3k 2，故当k ＝0时，半径取最大值1，这时面积最大，所以面积最大的圆的方程是x 2＋y 2＋2y ＝0.14．解 (1)方程x 2＋y 2－2(22t －3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0，可化为[x －(22t －3)]2＋[y ＋(1－4t 2)]2＝－16t 4－9＋(22t －3)2＋(1－4t 2)2＝－122t ＋1，若此方程表示圆，则－122t ＋1＞0，解得t ∈(－∞，224)． (2)该圆的圆心为(22t －3，－(1－4t 2))．若圆心在直线y ＝x 上，则22t －3＝－(1－4t 2)，就是4t 2－22t ＋2＝0，其中Δ＝(－22)2－4×4×2＝－24<0，方程无解，从而该方程表示的圆的圆心不能在直线y ＝x 上．。