高斯型积分公式
数值分析(18)Gauss积分
n
达到最高代数精度2n+1的求积公式称为Guass求积公式。 Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为 Guass系数. 因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有 结论: n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 d 满足： n d 2n+1。
数值分析
数值分析
(1) 用待定系数法构造高斯求积公式 例：选择系数与节点，使求积公式（1）
k 0 k 0
b b
n
n
由性质3）及(4)式，有
( x ) f ( x )dx ( x )q( x ) Pn1 ( x )dx ( x )r ( x )dx
a a
0 ( x )r ( x )dx Ak f ( xk )
b a k 1
n
即对 f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式都 精确成立。 证毕
左 ( x ) g( x )dx 0，
a
b
右 Ak g( xk ) 0
k 0
n
左右,故等式不成立,求积公式的代数精度最高为 2n+1次。 证毕.
数值分析
数值分析
定义6-4:使求积公式a ( x ) f ( x )dx Ak f ( xk )
b k 0
1
1
f ( x )dx c1 f ( x1 ) c2 f ( x2 )
(1)
成为Gauss公式。 解：n=1, 由定义，若求积公式具有3次代数精度，则 其是Gauss公式。 为此，分别取 f(x)=1, x，x2，x3 代入公式，并让 其成为等式，得 c1 c2 1, 求解得： c1 + c2=2 3 3 x1 , x2 c1 x1+ c2 x2=0 3 3 所求Gauss公式为： c1 x12+ c2 x22 =2/3 1 3 3 c1 x13+ c2 x23 =0 1 f ( x )dx f ( 3 ) f ( 3 ) 数值分析
微积分高斯公式与散度
一、高斯（Gauss）公式
定理：设空间闭区域 由分片光滑的曲面 围成，
函数 P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)在 上具有 一阶连续偏导数，则有公式：
P Q R
( )dV Pdydz Qdzdx Rdxdy.
x y z
Байду номын сангаас
其中 表示 的边界曲面的外侧。
3
其中 为柱面 x 2 y 2 1及
平面 z 0 z 3，所围成的空
间闭区域 的整个边界曲面
o1
y
1
的外侧。
x
例2、计算曲面积分
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS
z
其中 为锥面 x2 y2 z2介于平
h
面 z 0，z h (h 0)之间的部分的下侧，
3 :
取外侧。
（1）高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分 与其边界曲面上的曲面积分之间的关系；
（2）使用高斯公式时的注意事项：
① P,Q, R分别是对什么变量求偏导数；
②是否满足高斯公式的条件；
③ 取的是闭曲面的外侧。
二、高斯公式的应用
例1、计算曲面积分
z
( x y)dxdy ( y z)xdydz
x 2 yz 2dydz xy2 z 2dzdx z(1 xyz)dxdy V . S
div F dV F d S
设M 为场内一点，为包围点 M的任一闭曲面，其
所围区域 位于场内。则
F d S
表示单位时间内通过 流向外部的流体
的总质量，即流量或通量。
其中：F ( x, y, z) 为密度为1的不可压缩流体的稳定速度场；
数值分析课件高斯求积公式
1
1
1 f ( x)dx A0 f (
求 A0 , A：1
3 ) A1 f (
) 3
令 f ( x) ，1,代x入公式精确成立，得到： A0 A1 1
或
1
1
A0 1 l0 ( x)dx 1, A1 1 l1( x)dx 1
两点Gauss-Legendre求积公式
3次代数精度
1
1
1
一、 Gauss积分问题的提法
n
积分公式的一般形式： In ( f ) Ak f ( xk ) k0
➢为了提高代数精度，需要适当选择求积节点:
①当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选
取，求积公式的代数精度最高能达到多少？2n 1
②具有最高代数精度的求积公式中求积节点如何选取？
n 个1求积节点， n个求1 积系数，共 个2n未知2量，需要
f p max f p axb
则Gauss型求积公式（*）是收敛的。
证明：由Weierstrass定理知 对 0
存在m次多项式 p( x满)足
下证 N , 当 n 时N
f
p 2
b
( x)dx
a
b
n
f ( x)( x)dx
a
Ak f ( xk )
k0
b
n
f ( x)( x)dx
➢ Gauss-Chebyshev求积公式
(x)
1
n
f ( x)( x)dx
1
Ak f ( xk )
k0
1 1 x2
其中求积节点
多项式的零点
xk
n [a, b] 是n+1次Chebyshev
k0
数值分析(高斯求积公式)
推论 Gauss求积公式是稳定的. 定理3. 6.4
设f x C a , b , 则Gauss求积公式是收敛的,即
lim Ak f xk f x dx
b n k 0 a
n
常用的Gauss求积公式
1. Gauss－Legendre求积公式 取权函数 ( x ) 1,? 积分区间[a , b] [1,1], Gauss点为Legendre多项式的零点, 则得到 Gauss Legendre求积公式 :
例3.6.1
1
取 ( x ) 1, 积分区间为[1,1], 求x0 , x1和A0 , A1，使
1
求积公式 f x dx A0 f x0 A1 f x1 为Gauss求积公式. 解法二：
注意到f xk q xk 2 xk r xk r xk , k 0,1.
两端ai i 0,1,2,, m 的系数相等。即
A0 A1 A2 An 0 ,
其中，i x i ( x )dx .
a
b
A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 1 ,
2 2 2 2 A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 2 ,
则有 f x dx q x 2 x dx r x dx， 3.6.8
1 1 1 1 1 1
注意到r x 是一次式，故对求积公式准确成立，即
r x dx A r x A r x .
1 1 0 0 1 1
b a k 0
n
k
f ( xk )
的余项为
R
高等数学高斯公式和斯托克斯公式
(3) 轮换对称性适用于:二重积分,三重积分,两类曲线 积分,两类曲面积分.
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内容小结
1. 高斯公式及其应用
公式: P d y d z Q d z d x R d x d y
P x
Q y
R z
d xd
ydz
应用: (1) 计算曲面积分
a2
取前侧
o 1
故由Gauss公式得
z
x 0
I 0
0
0 Dyz2(1 e2a )dydz
2 a2
e2a 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4. 求 I y ln x2 y2 z2 d y d z
x ln x2 y2 z2 d z d x z d x d y
其中 为
(Gauss 公式)
注：①Gauss公式表达了空间闭域上的三重积分与其 边界曲面上的曲面积分之间的关系.
②Green公式，Gauss公式均反映了区域“内部” 与其“边界”上的积分关系.
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例1. 用Gauss 公式求
其中 为边长为1 的正方体表面，取外侧.
解: 这里 P x2 yz, Q y2 zx, R z2 xy
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三、对称性在积分学中的应用
1、奇偶对称性 (1) 二重积分中若积分区域关于y轴对称,而被积函数
关于x是奇函数,则积分结果为0. 三重积分中若积分区域关于xoy面对称,而被积函
数关于z是奇函数,则积分结果为0. (2) 奇偶对称性适用于:定积分,二重积分,三重积分,
(2) 假设空间闭域 具有轮换对称性,则在 上的积分 关于被积表达式轮换相等.
常用高斯积分公式
常用高斯积分公式高斯积分公式在数学领域中可是个相当重要的“宝贝”！咱先来说说高斯积分公式到底是啥。
简单来讲，高斯积分公式就是用来计算一些复杂积分的神奇工具。
比如说，对于形如∫e^(-x^2)dx 这样的积分，用普通方法可能会让你头疼不已，但高斯积分公式就能轻松搞定。
还记得我当年读书的时候，有一次做数学作业，遇到了一个特别复杂的积分题。
我盯着那道题，抓耳挠腮了半天，感觉头发都要被我薅掉了一大把。
各种常规方法都试了个遍，可就是算不出来。
就在我几乎要放弃的时候，突然想到了老师讲过的高斯积分公式。
我赶紧把相关的知识点在脑海里过了一遍，然后小心翼翼地按照公式一步一步地推导计算。
那过程可真是紧张又刺激，每一步我都提心吊胆，生怕出错。
当我终于算出答案的时候，那种成就感简直爆棚！就好像在黑暗中摸索了好久，突然看到了一束亮光。
在数学的世界里，高斯积分公式就像是一把万能钥匙，能打开很多看似紧闭的知识大门。
它在概率论、数理统计、物理学等众多领域都有着广泛的应用。
比如说在概率论中，计算正态分布的概率密度函数的积分时，高斯积分公式就能大显身手。
正态分布在我们的生活中可是无处不在的，像学生的考试成绩分布、人的身高体重分布等等，很多都近似于正态分布。
在物理学中，求解一些电场、磁场相关的积分问题时，高斯积分公式也能发挥重要作用。
想象一下，科学家们在研究微观粒子的运动时，通过高斯积分公式就能更准确地描述和预测粒子的行为，这多厉害呀！再说说高斯积分公式的推导过程。
这可不是一件轻松的事儿，需要用到不少高深的数学知识和巧妙的方法。
但正是因为它的推导不容易，才更显得它的珍贵和神奇。
对于咱们学习数学的人来说，掌握高斯积分公式不仅能帮助我们解决难题，还能让我们感受到数学的魅力和力量。
总之，高斯积分公式虽然有点复杂，但只要咱们用心去学，去运用，就能发现它的妙处，让它成为我们探索数学世界的有力武器！就像我当年攻克那道难题一样，只要不放弃，高斯积分公式总会给我们带来惊喜。
高斯曲线积分
高斯曲线积分一、概述高斯曲线积分，也称为高斯积分，是一种特殊的定积分。
它是由德国数学家高斯在研究电磁场时引入的。
高斯曲线积分在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
二、基本概念1.曲线积分曲线积分是将一个向量函数沿着一条曲线进行积分，通常用于计算物理量在空间中的变化量。
2.高斯公式高斯公式是描述向量场与曲面之间关系的定理。
它将一个向量场通过曲面上的积分转化为该向量场在该曲面所包围区域内的散度值。
3.散度散度是描述向量场在某点处流出或流入该点的强度大小，通常用数值表示。
4.高斯积分高斯积分是对三维空间中一个标量函数或者一个向量函数沿着某个闭合曲面进行积分。
它可以通过高斯公式来计算。
三、计算方法1.标量函数的高斯积分设f(x,y,z)为定义在闭合曲面S上的连续可微函数，则S上f(x,y,z)的高斯积分为：∫∫S f(x,y,z)dS = ∫∫∫V (∇·f)dxdydz其中，V为曲面S所包围的空间体积，∇·f为f的散度。
2.向量函数的高斯积分设F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))为定义在闭合曲面S上的连续可微向量函数，则S上F(x,y,z)的高斯积分为：∫∫S F(x,y,z)·dS = ∫∫∫V (∇·F)dxdydz其中，V为曲面S所包围的空间体积，∇·F为F的散度。
四、应用领域1.电磁学高斯曲线积分在电磁学中有广泛应用。
通过对电场、磁场进行高斯曲线积分，可以计算出它们在某个区域内的总量和强度大小。
2.流体力学在流体力学中，通过对速度场进行高斯曲线积分，可以计算出流体在某个区域内的总质量和流量。
3.工程领域高斯曲线积分也被广泛应用于工程领域。
例如，在材料科学中，通过对应力场进行高斯曲线积分，可以计算出材料在某个区域内的总应力。
五、总结高斯曲线积分是一种特殊的定积分，主要用于计算物理量在空间中的变化量。
它可以通过高斯公式来计算。
10.6高斯公式
Pdydz Qdzdx Rdxdy (
P Q R )dv. x y z
10.6 高斯公式
例1. 计 算 ydydz xdzdx zdxdy ， 其 中为 球 心 在
原点， 半径为 R球面的外侧 .
例2. 计 算 4 zxdydz 2 zydzdx (1 z 2 )dxdy ，
10.6 高斯公式
二、沿任意闭曲面的曲面积分等于零的条件
Pdydz Qdzdx Rdxdy 0
P Q R 0 x y z
G (单 连 通 区 域 )
三、通量与散度
高斯公式的物理意义。
10.6 高斯公式
设 稳 定 流 动 的 不 可 压流 缩 体(密 度 为 1)速 度 场 为 v ( P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z )) P , Q, R 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 是 该 速 度 场 中 的 一 片 有 向曲面， n (cos , cos , cos )是 任 一 点 外 法 方 向 余 弦上连续， 则 单 位 时 间 内 流 体 流流 经 指 定 侧 流 量 为 Pdydz Qdzdx Rdxdy
M
称 为v ( P , Q , R )在 点M处 的 散 度 ， 记 为 divv ( M )， 即 P Q R divv x y z
10.6 高斯公式
例. 求 向 量A ( 2 x z , x 2 y , xz2 )流 经 : 0 x a , 0 y a, 0 z a 全 表 面 的 外 侧 的 流 量 散 及 度.
10.6 高斯公式
高斯公式斯托克斯公式
二、 斯托克斯公式
定理8
设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，Σ是以Γ为边界的分片光滑的有
向曲面，Γ的正向与Σ的侧符合右手规则，函数Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z在曲
及以垂直于Dxy边界的柱面Σ3组成 (见图10-14)，其中Σ1取下侧，Σ2取上 侧，Σ3取外侧，z1x,y≤z2x,y.于是按三
图 10-14
一、 高斯公式
一、 高斯公式
一、 高斯公式
注
对于一般的空间有界闭区域高斯公式均成 立.若曲面Σ与平行于坐标轴的直线的交点多于两 个，则用有限个光滑的曲面将Ω分为有限个满足 条件的小闭区域来讨论.
或用定积分表示为(按图10-15取积分路径) M0x0,y0,z0为G内某一定点，点Mx,y,z∈G.
三、 空间曲线积分与路径无关的条件
图 10-15
谢谢聆听
由第二类曲线积分的定义及格林公式,有
(10-16)
二、 斯托克斯公式
(10-17)
二、 斯托克斯公式
如果Σ取下侧，Γ也相应地改成相反的方向，那么式
(10-15)两端同时改变符号，因此式(10-15)仍成立.Fra bibliotek同样可证
(10-18)
(10-19)
将式(10-15)、式(10-18)和式(10-19)相加即得式(1014).
面Σ(连同边界Γ)上具有一阶连续偏导数，则有
(10-14)
式(10-14)称为斯托克斯公式. 斯托克斯公式还可写为
其中n=cos αi+cos βj+cosγk为有向曲面Σ在点(x,y,z)处的单位法 向量.
高等数学中的高斯公式
高等数学中的高斯公式高斯公式是高等数学中的重要定理之一，它与复数、函数、曲线等概念密切相关。
通过高斯公式，我们可以将曲线上的积分转化为曲线所围成的区域上的积分，从而简化计算过程。
在介绍高斯公式之前，我们先来了解一下复数的概念。
复数是由实数和虚数构成的数，可以用a+bi的形式表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
复数存在实部和虚部的概念是因为在复平面上，实部对应着x轴上的坐标，虚部对应着y轴上的坐标。
高斯公式是将复变函数与曲线积分相联系的重要工具。
在复平面上，我们考虑一个简单闭合曲线C，它的内部包围了一个区域D。
假设函数f(z)在曲线C及其内部D上解析，即在C和D上都有定义。
那么根据高斯公式，我们有以下等式成立：∮Cf(z)dz = ∬D(u_x-v_y)dxdy + i∬D(v_x+u_y)dxdy其中，C表示曲线C，f(z)表示复变函数，u(x,y)和v(x,y)分别表示f(z)的实部和虚部。
u_x表示u对x的偏导数，u_y表示u对y的偏导数，v_x表示v对x的偏导数，v_y表示v对y的偏导数。
∬表示对区域D上的积分。
通过高斯公式，我们可以将曲线C上的积分转化为区域D上的二重积分。
具体来说，等式右边的第一项表示D区域上u(x,y)与v_y(x,y)的偏导数之差的积分，第二项表示D区域上v(x,y)与u_x(x,y)的偏导数之和的积分。
这样一来，我们就可以通过计算区域D上的二重积分来求得曲线C上的积分值，从而简化了计算的过程。
高斯公式在实际应用中有着广泛的用途。
比如，在电磁学中，我们可以利用高斯公式来计算闭合曲面内的电场强度。
在流体力学中，高斯公式可以用来计算流体通过某个闭合曲面的流量。
在工程领域中，高斯公式也被广泛应用于电路分析、信号处理等方面。
除了高斯公式，复变函数还有一些其他的重要定理，如柯西定理、留数定理等。
这些定理在解析函数、积分计算等方面都发挥着重要的作用。
通过学习这些定理，我们可以更好地理解和应用复变函数的概念和方法。
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Guass-Legendre积分程序
1. 目的意义：
可以提高数值积分的代数精度
2. 数学公式：
)()()(1knkkbaxfAdxxfx
3. 程序：
#include
#include
#define N 10
#define f(x) (cos(x))
int main()
{
int n=0;
int k=0;
int i=0;
double x[N]={0.0};
double A[N]={0.0};
double s=0.0;
n=2;
switch(n)
{
case 1:
{
x[1]=0;
A[1]=2;
break;
}
case 2:
{
x[1]=-0.5773502692;
x[2]=0.5773502692;
A[1]=1;
A[2]=1;
break;
}
case 3:
{
x[1]=-0.77459666920;
x[2]=0;
x[3]=0.77459666920;
A[1]=0.5555555556;
A[2]=0.8888888889;
A[3]=0.5555555556;
break;
}
case 4:
{
x[1]=-0.8611363116;
x[2]=-0.3399810436;
x[3]=0.3399810436;
x[4]=0.8611363116;
A[1]=0.3478548451;
A[2]=0.6521451549;
A[3]=0.6521451549;
A[4]=0.3478548451;
break;
}
default:
{
printf("error! 请添加数据！\n");
return 0;
}
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
s=s+A[i]*f(x[i]);
}
printf("由高斯-勒让德积分公式计算得I=%lf\n",s);
return 0;
}
4. 运行结果：
5. 参考文献:
[1] 谭浩强. C语言程序设计[M]. 北京：清华大学出版社，2005.
[2] 秦新强. 数值逼近, 西安,2010.