2015届江苏省无锡市锡山区九年级上学期期末考试数学试卷(带解析)
2015年秋九年级数学(上)(江苏科技版)期末检测题
期末检测题（满分：120分，时间：100分钟）一、选择题（每小题3分，共36分）1.若2121003m x x m -++=是关于x 的一元二次方程，则m 的值应为（ ） A.m ＝2 B.23m = C.32m = D.无法确定2.若x =(0)n n ≠是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m n +的值为（ ）-1 D.-2 3.已知a 、b 、c 分别是三角形的三边长，则方程2()2()0a b x cx a b ++++=的根的情况是（ ） A.没有实数根 B.可能有且只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根4.（2014•浙江舟山中考）如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE =2，DE =8，则AB 的长为（ ）5.（2014•四川凉山中考）已知⊙O 的直径CD =10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB =8 cm ，且AB ⊥CD ，垂足为M ，则AC 的长为（ ）A.25 cmB.45 cmC.25 cm 或45 cmD.23cm 或43cm6.（2014•四川内江中考）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB =60°，AB =AC =2，则弦BC 的长为（ ） A.3 B.3 C.23 D.47. 在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（ ）A.众数B.方差C.平均数D.中位数8.（2014•山东淄博中考）如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速（单位：千米/时）情况，则这些车的车速的众数、中位数分别是（ ） A.8，6 B.8，5 C.52，53 D.52，529.（2014•天津中考）某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面候选人甲 乙 丙 丁 测试成绩（百分制）面试 86 92 90 83 笔试90838392如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权．根据四人各自的平均成绩，公司将录取（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁第4题图 第6题图第8题图10.四张质地、大小、背面完全相同的卡片上,正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案.现把它们的正面向下随机摆放在桌面上,从中任意抽出一张,则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为（ ） A.14B.12C.3411.如图，A 、B 是数轴上的两个点，在线段AB 上任取一点C ，则点C 到表示－1的点的距离不大于．．．2的概率是（ ） A.21 B.32C.43 D.5412.航空兵空投救灾物质到指定的区域（大圆）如图所示，若要使空投物质落在中心区域（小圆）的概率为41，则小圆与大圆的半径比值为（ ）A.4121 二、填空题（每小题3分，共30分）13.如果()21640250x y x y -+-+=（），那么x 与y 的关系是________. 14.若0a b c ++=且a ≠0，则一元二次方程20ax bx c ++=必有一个定根，它是_______.15.关于x 的一元二次方程220x mx m -+=的一个根为1，则方程的另一根为 . 16.某校八年级甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，两个班参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数经统计和计算后结果如下表：班级 参加人数 平均字数 中位数 方差 甲 55 135 149 191 乙55135151110有一位同学根据上面表格得出如下结论： ①甲、乙两班学生的平均水平相同；②乙班优秀人数比甲班优秀人数多（每分钟输入汉字达150个以上为优秀）； ③甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大. 上述结论正确的是___________（填序号）.17.（2014•福建漳州中考）在《中国梦•我的梦》演讲比赛中，将5个评委对某选手打分情况绘成如下图的统计图，则该选手得分的中位数是_________分．18.（2014•南京中考）如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，连接BC ，若AB =22cm ，'3022 =∠BCD ，则⊙O 的半径为_____cm.19.中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不能得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会（翻过的牌不能再翻）.某第11题图第17题图第18题图观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是 .20.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆半径r =2 cm ，扇形的圆心角 120=θ，则该圆锥的母线长l 为_____cm.21.（2014•内蒙古包头中考）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，点E 是弧BC 的中点，OE交BC 于点D ．连接AC ，若BC =6，DE =1，则AC 的长为_______.22.小华买了一套科普读物，有上、中、下三册，要整齐地摆放在书架上，有____种摆法，其中恰好摆成“上、中、下”顺序的概率是 . 三、解答题（共54分）23.（6分）已知关于x 的方程2()20a c x bx c a ++--=（）的两根之和为-1，两根之差为1，•其中a ，b ，c 是△ABC 的三边长. （1）求方程的根；（2）试判断△ABC 的形状.24.（6分）方程2 2 009 2 0100x x +-=的较大根为m ，方程2(2 010) 2 009 2 011x x +⨯10-=的较小根为n ，求n m +的值.25.（7分）（2014•浙江温州中考）八（1）班五位同学参加学校举办的数学素养竞赛．试卷中共有20道题，规定每题答对得5分，答错扣2分，未答得0分．赛后A ，B ，C ，D ，E 五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况（E 同学只记得有7道题未答），具体参赛同学 答对题数 答错题数 未答题数 A 19 0 1 B 17 2 1 C 15 2 3 D 17 1 2 E//7（1）根据以上信息，求A ，B ，C ，D 四位同学成绩的平均分；（2）最后获知A ，B ，C ，D ，E 五位同学成绩分别是95分，81分，64分，83分，58分． ①求E 同学的答对题数和答错题数； ②经计算，A ，B ，C ，D 2627.（9分）（2014•山西中考）某公司招聘人才，对应聘者分别进行阅读能力、思维能力和表达能力三项测试，其中甲、乙两人的成绩如下表（单位：分）： 阅读 思维 表达 甲 93 86 73 乙958179（1）若根据三项测试的平均成绩在甲、乙两人中录用一人，那么谁将能被录用？ （2）根据实际需要，公司将阅读、思维和表达能力三项测试得分按3：5：2的比确定每人的最后成绩，若按此成绩在甲、乙两人中录用一人，谁将被录用？（3）公司按照（2）中的成绩计算方法，将每位应聘者的最后成绩绘制成如图所示的频数分布直方图（每组分数段均包含左端数值，不包含右端数值，如最右边一组分数x 为：85≤x ＜90），并决定由高分到低分录用8名员工，甲、乙两人能否被录用？请说明理由，并求出本次招聘人才的录用率．项 目 人员第20题图 第21题图第27题图28.（9分）甲、乙两个盒子中装有质地、大小相同的小球，甲盒中有2个白球，1个黄球和1个蓝球；乙盒中有1个白球，2个黄球和若干个蓝球.从乙盒中任意摸取一球为蓝球的概率是从甲盒中任意摸取一球为蓝球的概率的2倍.（1）求乙盒中蓝球的个数；（2）从甲、乙两盒中分别任意摸取一球，求这两球均为蓝球的概率.29.（10分）(2014·天津中考)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB 的平分线交⊙O于点D.（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；（2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长.第29题图期末检测题参考答案一、选择题212m -=，解得32m =.故选C.x n =代入方程得220n mn n ++=，∵ 0n ≠，∴ 20n m ++=，∴ 2m n +=-.故选D.()()()()()2244c a b a b c a b c a b ∆=-++=++--，又因为a 、b 、c 分别是三角形的三边长，所以c +a +b >0，c -a -b <0，所以Δ<0，所以方程没有实数根. ∵ CE =2，DE =8，∴ OB =5，∴ OE =3.∵ AB ⊥CD ，∴ 在△OBE 中，得BE =4，∴ AB =2BE =8．故选D ． AC ，AO ，∵ ⊙O 的直径CD =10 cm ，AB ⊥CD ，AB =8 cm ， ∴ AM =12AB =12×8=4 cm ，OD =OC =5 cm. 当C 点位置如图1所示时，∵ OA =5 cm ，AM =4 cm ，CD ⊥AB ，∴ 2222543OM OA AM =-=-=cm ， ∴ CM =OC +OM =5+3=8 cm ，∴22224845AC AM CM =+=+=cm ；当C 点位置如图2所示时，同理可得OM =3 cm. ∵ OC =5 cm ，∴ MC =5-3=2 cm. 在Rt △AMC 中，22224225AC AM MC =+=+= cm ．故选C ．AO 与BC 交于点D ． ∵ ∠AOB =60°，∴ ∠C =12∠AOB =30°. 又∵ AB =AC ，∴ 弧AB =弧 AC ∴ AD ⊥BC ，∴ BD =CD ， ∴ 在Rt △ACD 中，CD =AC •cos 30°=2×32=3， ∴ BC =2CD =23．故选C ．：本题考查了平均数、众数、中位数及方差等几个统计量，众数是出现次数最多的数，方差表示数据的波动程度，平均数表示一组数据的平均水平，中位数是一个位置代表值，把一组数据按由小到大（或由大到小）的顺序排列后，它处于这组数据的中间位置，大于或等于中位数的数据至少有一半.第5题答图第6题答图为52千米/时，车速分别为50，50，51，51，51，51，51，52，52，52，52，52，52，52，52，53，53，53，53，53，53，54，54，54，54，55，55， 中间的为52，即中位数为52千米/时，则这些车的车速的众数、中位数分别是52，52．故选D ． 丙的平均成绩为：（90×6因为乙的平均分数最高，所以乙将被录取．故选B ．12. C 点对应的数为，则|x -（-1）|≤2,解得-3≤x ≤1.此区域在数轴上对应的长度为4，AB 的长度为5，所以概率是54. 41，从而小圆的半径是大圆半径的21. 二、填空题 13.x -y =54-解析：原方程可化为[]24()50x y -+=，∴ x -y =54-. 0a b c ++=，得b a c =-+（），原方程可化为20ax a c x c -++=（）， 解得121cx x a==，．15.-2 解析：把x =1代入220x mx m -+=，得m =-1，所以方程220x mx m -+=可化为220x x +-=，解这个方程得1212x x ==-，.所以此方程的另一根为-2. 16. ①②③ 解析:由于乙班学生每分钟输入汉字的平均数为135，中位数为151，说明有一半以上的学生都达到每分钟150个以上，而甲班学生的中位数为149，说明不到一半的学生达到每分钟150个以上，说明乙班优秀人数比甲班优秀人数多，故②正确；由平均数和方差的意义可知①③也正确.位于中间位置的数为9，故中位数为9分.18.2 解析：如图，连接OB ，∵ '2230,BCD ︒∠=∴ 245.BOD BCD ︒∠=∠=∵ ,AB CD ⊥∴ 1122222BE AE AB ===⨯=（cm ）,∴ △BOE 为等腰直角三角形，∴ OB =22=BE cm ，故⊙O 的半径为2 cm. 19.16解析：共20个商标牌，有5个有奖，观众已经翻开了两个有奖的，那么剩下的18个商标牌中还有3个有奖，第三次观众抽到有奖商标牌的概率为31186＝.∵ 圆锥底面圆的半径r =2 cm ，∴ 圆锥底面圆的周长是4π cm.设圆锥的母线长是l . ∵ 圆锥底面圆的周长等于它的侧面展开图的弧长， ∴180120πl =4π，解得l =6. OC ，如图所示．∵ 点E 是弧BC 的中点，∴ ∠BOE =∠COE ．第18题答图第21题答图∵ OB =OC ，∴ OD ⊥BC ，BD =DC ． ∵ BC =6，∴ BD =3．设⊙O 的半径为r ，则OB =OE =r ． ∵ DE =1，∴ OD =r -1． ∵ OD ⊥BC ，即∠BDO =90°，∴ OB 2=BD 2+OD 2．∵ OB =r ，OD =r -1，BD =3，∴ 22231r r =+-（）．解得r =5．∴ OD =4． ∵ AO =BO ，BD =CD ，∴ OD =21AC ．∴ AC =8． 三、解答题 23．解：（1）设方程的两根为x 1，x 2 （x 1>x 2），则x 1+x 2=-1，x 1-x 2=1， 解得x 1=0，x 2=-1．（2）当x =0时，20200a c b c a +⨯+⨯--=（）（），所以c =a . 当x =-1 时,()21210a cb c a +⨯-+⨯---=（）（）（）, 即20a c b c a +--+=，所以a =b ，所以a =b =c ，所以△ABC 为等边三角形．24.解：将方程2 2 009 2 0100x x +-=因式分解，得( 2 010)(1)0x x +-=， ∴2 0100x +=或10x -=，∴ 1 2 010x =-，21x =. ∴ 较大根为1，即1m =.将方程2(2 010) 2 009 2 01110x x +⨯-=变形为2(2 010)(2 0101)(2 0101)10x x +-⨯+-=，∴ 22(2 010) 2 01010x x x +--=，∴ 22 010(1)(1)0x x x +-+=， ∴ 2(2 0101)(1)0x x -+=， ∴ 22 01010x -=或10x +=，∴ 23010 21=x ，14-=x . ∴ 较小根为1-，即1n =-.∴ 1(1)0m n +=+-=.25.解：（1）()()()1917151752212 82.54x +++⨯+++⨯-==（分）.答：A ，B ，C ，D（2）①设E 同学答对x 题，答错y 题，由题意得5258, 13,x y x y -⎧⎨+⎩＝＝解得12,1.x y =⎧⎨=⎩答：E 同学答对12题，答错1题．②C 同学，他实际答对14题，答错3题，未答3题． 26.解：设鱼塘中有鱼条，则 10010100x =,解得 1 000x =. 因为鱼的平均质量为130÷10即李大爷应以6 500元钱转包给老张.27.解：（1）∵ 甲的平均成绩是：938673843x ++==甲（分）， 乙的平均成绩为：958179853x ++==乙（分）， ∴ x x 乙甲＞，∴ 乙将被录用. （2）根据题意得：93386573285.5352x ⨯+⨯+⨯==++甲（分）， 95381579284.8352x ⨯+⨯+⨯==++乙（分）， ∴ x x 甲乙＞，∴ 甲将被录用.（3）甲一定被录用，而乙不一定能被录用，理由如下：由直方图知成绩最高一组分数段85≤x ＜90中有7人，公司招聘8人，又因为85.5x =甲分，显然甲在该组，所以甲一定能被录用；在80≤x ＜85这一组内有10人，仅有1人能被录用，而84.8x =乙分，在这一段内不一定是最高分，所以乙不一定能被录用；由直方图知，应聘人数共有50人，录用人数为8人， 所以本次招聘人才的录用率为：8100%16%50⨯=． 28.解：（1）设乙盒中有x 个蓝球，则从乙盒中任意摸取一球，摸到蓝球的概率13xP x =+； 从甲盒中任意摸取一球，摸到蓝球的概率214P =； 根据题意，得132x x =+， 解得3x =，所以乙盒中有3个蓝球. （2）方法一：列表如下： 白 黄1 黄2 蓝1 蓝2 蓝3 白1 白1，白 白1，黄1 白1，黄2 白1，蓝1 白1，蓝2 白1，蓝3 白2 白2，白 白2，黄1 白2，黄2 白2，蓝1 白2，蓝2 白2，蓝3 黄黄，白黄，黄1黄，黄2黄，蓝1黄，蓝2黄，蓝3蓝 蓝，白 蓝，黄1 蓝，黄2 蓝，蓝1 蓝，蓝2 蓝，蓝3 取一球，两球均为蓝球的概率31248P ==. （也可以用画树状图法或枚举法）方法二：从甲盒中任意摸取一球，摸到蓝球的概率为14，从乙盒中任意摸取一球，摸到蓝球的概率为12, 则从甲、乙两盒中各摸取一球，两球均为蓝球的概率为111428P =⨯=. 29.解：（1）如图（1），由已知，BC 为⊙O 的直径，得∠CAB ＝∠BDC ＝90°. 在Rt △CAB 中，BC ＝10，AB ＝6,∴ AC ＝.86102222=-=-AB BC∵ AD 平分∠CAB ，∴ 弧CD ＝弧BD ，∴ CD ＝BD. 在Rt △BDC 中，BC ＝10，CD 2＋BD 2＝BC 2， ∴ BD 2＝CD 2＝50，∴ BD ＝CD ＝52.乙 甲（2）如图（2），连接OB ，OD .∵ AD 平分∠CAB ，且∠CAB ＝60°，∴ ∠DAB ＝21∠CAB ＝30°， ∴ ∠DOB ＝2∠DAB ＝60°.又∵ ⊙O 中OB ＝OD ，∴ △OBD 是等边三角形. ∵ ⊙O 的直径为10，∴ OB ＝5，∴ BD ＝5.第29题答图。
无锡市苏科版九年级数学上 期末测试题(Word版 含答案)
无锡市苏科版九年级数学上 期末测试题（Word 版 含答案）一、选择题1．抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（ ）A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，﹣2）C ．（1，﹣2）D ．（1，2） 2．圆锥的底面半径为2，母线长为6，它的侧面积为（ ） A ．6π B ．12πC ．18πD ．24π 3．当函数2(1)y a x bx c =-++是二次函数时，a 的取值为（ ）A ．1a =B ．1a =-C ．1a ≠-D ．1a ≠4．如图，矩形ABCD 中，3AB =，8BC =，点P 为矩形内一动点，且满足PBC PCD ∠=∠，则线段PD 的最小值为（ ）A ．5B ．1C ．2D ．35．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD 的面积之比为（ ）A ．7 : 12B ．7 : 24C ．13 : 36D ．13 : 726．下列是一元二次方程的是（ ）A ．2x +1＝0B ．x 2+2x +3＝0C ．y 2+x ＝1D ．1x＝1 7．如图，等腰直角三角形ABC 的腰长为4cm ，动点P 、Q 同时从点A 出发，以1cm/s 的速度分别沿A →B 和A →C 的路径向点B 、C 运动，设运动时间为x (单位：s)，四边形PBC Q 的面积为y(单位：cm 2)，则y 与x(0≤x≤4)之间的函数关系可用图象表示为（ ）A ．B ．C ．D ．8．甲、乙两人参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为（ ）A ．34B ．14C ．13D ．129．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事．一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把平均每天票房的增长率记作x ，则可以列方程为（ ）A ．3(1)10x +=B ．23(1)10x +=C ．233(1)10x ++=D ．233(1)3(1)10x x ++++= 10．抛物线2y 3(x 1)1=-+的顶点坐标是( )A ．()1,1B ．()1,1-C ．()1,1--D ．()1,1- 11．将函数的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A （1，4）的方法是（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移1个单位 12．一个不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，则（ ）A ．摸出黑球的可能性最小B ．不可能摸出白球C ．一定能摸出红球D ．摸出红球的可能性最大 13．O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与O 的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定 14．如图，在矩形中，，，若以为圆心，4为半径作⊙.下列四个点中，在⊙外的是( )A ．点B ．点C ．点D ．点15．如图，△ABC 中AB 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（﹣1，0），以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC 的位似比为2：1．设点B 的对应点B′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ）A ．12a -B ．1(1)2a -+C ．1(1)2a --D ．1(3)2a -+ 二、填空题16．如图所示，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于E 点，对角线BD 交AG 于F 点．已知FG ＝2，则线段AE 的长度为_____．17．将二次函数y ＝2x 2的图像向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式为____．18．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，点D 是AB 边上一点（不与A 、B 重合），若过点D 的直线截得的三角形与△ABC 相似，并且平分△ABC 的周长，则AD 的长为____．19．某企业2017年全年收入720万元，2019年全年收入845万元，若设该企业全年收入的年平均增长率为x ，则可列方程____．20．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为____．21．如图，在ABCD 中，13BE DF BC ==，若1BEG S ∆=，则ABF S ∆=__________．22．如图，矩形ABCD 中，2AB =，点E 在边CD 上，且BC CE =，AE 的延长线与BC 的延长线相交于点F ，若CF AB =，则tan DAE ∠=______.23．某厂一月份的总产量为500吨，通过技术更新，产量逐月提高，三月份的总产量达到720吨．若平均每月增长率是，则可列方程为__．24．如图，若一个半径为1的圆形纸片在边长为6的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片能接触到的最大面积为_____．25．在平面直角坐标系中，抛物线2y x 的图象如图所示．已知A 点坐标为()1,1，过点A 作1AA x ∕∕轴交抛物线于点1A ，过点1A 作12A A OA ∕∕交抛物线于点2A ，过点2A 作23A A x ∕∕轴交抛物线于点3A ，过点3A 作34A A OA ∕∕交抛物线于点4A ……，依次进行下去，则点2019A 的坐标为_____．26．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若点()11,A y ，()23,B y 是图象上的两点，则1y ____2y (填“>”、“<”、“=”).27．甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是0.12，乙的方差是0.05，这5次短跑训练成绩较稳定的是_____．（填“甲”或“乙”）28．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径2r cm =，扇形的圆心角120θ=，则该圆锥的母线长l 为___cm ．29．如图，在△ABC 中，P 是AB 边上的点，请补充一个条件，使△ACP ∽△ABC ，这个条件可以是：___(写出一个即可)，30．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)图象的对称轴为直线x ＝1，且经过点(﹣1，y 1)，(2，y 2)，则y 1_____y 2．(填“＞”“＜”或“＝”)三、解答题31．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等．．．),我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.理解：（1）如图1，已知Rt △ABC 在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺．．．．．．在网格中找到一点 D ,使四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形（画出1个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD 中，80,140ABC ADC ︒︒∠=∠=，对角线BD 平分∠ABC .求证: BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”；运用：（3）如图3，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，∠EFH ＝∠HFG ＝30.连接EG ,若△EFG 的面积为43FH 的长.32． 为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图．车架档AC 与CD 的长分别为45cm ，60cm ，且它们互相垂直，座杆CE 的长为20cm ，点A ，C ，E 在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图2．（1）求车架档AD 的长；（2）求车座点E 到车架档AB 的距离．(结果精确到1 cm ．参考数据： sin75°="0.966," cos75°=0.259，tan75°=3.732)33．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF 的延长线于点D，交AB的延长线于点C．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）∠C＝45°，⊙O的半径为2，求阴影部分面积．34．京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH 的长）．35．如图 1，直线 y=2x+2 分别交 x 轴、y 轴于点A、B，点C为x轴正半轴上的点，点 D从点C处出发，沿线段CB匀速运动至点 B 处停止，过点D作DE⊥BC，交x轴于点E，点C′是点C关于直线DE的对称点，连接EC′，若△ DEC′与△ BOC 的重叠部分面积为S，点D的运动时间为t（秒），S与 t 的函数图象如图 2 所示．（1）V D= ,C 坐标为；（2）图2中，m= ，n= ，k= .（3）求出S与t 之间的函数关系式（不必写自变量t的取值范围）.四、压轴题36．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的外延矩形．点A，B，C的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最佳外延矩形．例如，图中的矩形，，都是点A，B，C的外延矩形，矩形是点A，B，C的最佳外延矩形．（1）如图1，已知A（－2，0），B（4，3），C（0，）．①若，则点A，B，C的最佳外延矩形的面积为；②若点A，B，C的最佳外延矩形的面积为24，则的值为；（2）如图2，已知点M（6，0），N（0，8）．P（，）是抛物线上一点，求点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P的横坐标的取值范围；（3）如图3，已知点D（1，1）．E（，）是函数的图象上一点，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H是矩形OFEG的外接圆，请直接写出⊙H的半径r的取值范围．37．对于线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点关于这条线段的视角．如图1，对于线段AB及线段AB外一点C，我们称∠ACB为点C关于线段AB的视角．如图2，点Q在直线l上运动，当点Q关于线段AB的视角最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于线段AB的“视角”．（1）如图3，在平面直角坐标系中，A （0，4），B （2，2），点C 坐标为（﹣2，2），点C 关于线段AB 的视角为 度，x 轴关于线段AB 的视角为 度；（2）如图4，点M 是在x 轴上，坐标为（2，0），过点M 作线段EF ⊥x 轴，且EM ＝MF ＝1，当直线y ＝kx （k ≠0）关于线段EF 的视角为90°，求k 的值；（3）如图5，在平面直角坐标系中，P （3，2），Q （3+1，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的夹角为60°，且关于线段PQ 的视角为45°，求这条直线的解析式．38．一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果分割所得的两个三角形相似，我们就把这条对角线称为相似对角线.（1）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为AD 的中点，点F ，H 分别在边AB 和CD 上，且1AF DH ==，线段CE 与FH 交于点G ，求证：EF 为四边形AFGE 的相似对角线；（2）在四边形ABCD 中，BD 是四边形ABCD 的相似对角线，120A CBD ∠=∠=，2AB =，6BD =CD 的长；（3）如图，已知四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，90A ∠=，8AB =，6AD =，点E 是AB 的中点，点F 是射线AD 上的动点，若EF 是四边形AECF 的相似对角线，请直接写出线段AF 的长度（写出3个即可）.39．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C ，给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的覆盖矩形．点A ，B ，C 的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ，C 的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，AB 3C 3D 3都是点A ，B ，C 的覆盖矩形，其中矩形AB 3C 3D 3是点A ，B ，C 的最优覆盖矩形．（1）已知A （﹣2，3），B （5，0），C （t ，﹣2）．①当t ＝2时，点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为 ；②若点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC 的表达式；（2）已知点D （1，1）．E （m ，n ）是函数y ＝4x（x ＞0）的图象上一点，⊙P 是点O ，D ，E 的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P 的半径r 的取值范围．40．如图，正方形ABCD 中，点O 是线段AD 的中点，连接OC ，点P 是线段OC 上的动点，连接AP 并延长交CD 于点E ，连接DP 并延长交AB 或BC 于点F ， （1）如图①，当点F 与点B 重合时，DE DC等于多少； （2）如图②，当点F 是线段AB 的中点时，求DE DC 的值； （3）如图③，若DE CF =，求DE DC的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】根据顶点式2()y a x h k =-+，顶点坐标是（h ，k ），即可求解.【详解】∵顶点式2()y a x h k =-+，顶点坐标是（h ，k ），∴抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（1，2）．故选D ．2．B解析：B【解析】【分析】根据圆锥的底面半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．【详解】根据圆锥的侧面积公式：πrl ＝π×2×6＝12π，故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆锥侧面积公式．熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．3．D解析：D【解析】【分析】由函数是二次函数得到a-1≠0即可解题.【详解】解：∵2(1)y a x bx c =-++是二次函数,∴a-1≠0,解得：a≠1,故选你D.【点睛】本题考查了二次函数的概念,属于简单题,熟悉二次函数的定义是解题关键.4．B解析：B【解析】【分析】通过矩形的性质和等角的条件可得∠BPC=90°，所以P 点应该在以BC 为直径的圆上，即OP=4，根据两边之差小于第三边及三点共线问题解决.【详解】如图，∵四边形ABCD 为矩形，∴AB=CD=3，∠BCD=90°,∴∠PCD+∠PCB=90°,∵PBC PCD ∠=∠,∴∠PBC+∠PCB=90°,∴∠BPC=90°,∴点P 在以BC 为直径的圆⊙O 上，在Rt △OCD 中，OC=118422BC ,CD=3， 由勾股定理得，OD=5， ∵PD ≥OD OP , ∴当P ,D,O 三点共线时，PD 最小，∴PD 的最小值为OD-OP=5-4=1.故选：B.【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，线段最小值问题及圆的性质，分析出P 点的运动轨迹是解答此题的关键.5．B解析：B【解析】【分析】根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ， ∵DF=CF ，BE=CE ，∴12DH DF HB AB ==，12BG BE DG AD ==， ∴13DH BG BD BD ==， ∴BG=GH=DH ，∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ，∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ，∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6，∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点,∴12EF BD =, ∴14EFC BCDD S S =, ∴18EFC ABCD SS =四边形, ∴1176824AGH EFCABCDS S S +=+=四边形=7∶24, 故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．6．B解析：B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义，即只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、方程2x+1＝0中未知数的最高次数不是2，是一元一次方程，故不是一元二次方程；B 、方程x 2+2x+3＝0只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，故是一元二次方程；C 、方程y 2+x ＝1含有两个未知数，是二元二次方程，故不是一元二次方程；D 、方程1x＝1不是整式方程，是分式方程，故不是一元二次方程. 故选：B.【点睛】 本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．是否符合定义的条件是作出判断的关键.7．C解析：C【解析】【分析】先计算出四边形PBCQ 的面积，得到y 与x 的函数关系式，再根据函数解析式确定图象即可.【详解】由题意得： 22111448222y x x =⨯⨯-=-+(0≤x≤4)， 可知，抛物线开口向下，关于y 轴对称，顶点为（0，8），故选：C.【点睛】此题考查二次函数的性质，根据题意列出解析式是解题的关键.8．B解析：B【解析】试题解析：可能出现的结果的结果有1种，则所求概率1.4P =故选B.点睛：求概率可以用列表法或者画树状图的方法. 9．D解析：D【解析】【分析】根据题意分别用含x 式子表示第二天，第三天的票房数，将三天的票房相加得到票房总收入，即可得出答案．【详解】解：设增长率为x ，由题意可得出，第二天的票房为3(1+x)，第三天的票房为3(1+x)2， 根据题意可列方程为233(1)3(1)10x x ++++=．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式． 10．A解析：A【解析】【分析】已知抛物线顶点式y =a （x ﹣h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ）．【详解】∵抛物线y =3（x ﹣1）2+1是顶点式，∴顶点坐标是（1，1）．故选A ．【点睛】本题考查了由抛物线的顶点式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．11．D解析：D【解析】A.平移后，得y=(x+1)2，图象经过A 点，故A 不符合题意；B.平移后，得y=(x−3)2，图象经过A 点，故B 不符合题意；C.平移后，得y=x 2+3，图象经过A 点，故C 不符合题意；D.平移后，得y=x 2−1图象不经过A 点，故D 符合题意；故选D.12．D解析：D【解析】【分析】根据概率公式先分别求出摸出黑球、白球和红球的概率，再进行比较，即可得出答案．【详解】解：∵不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，共有23个球，∴摸出黑球的概率是2 23，摸出白球的概率是1 23，摸出红球的概率是20 23，∵123＜223＜2023，∴从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性最大；故选：D．【点睛】本题考查了可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．13．A解析：A【解析】【分析】根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．【详解】∵⊙O的半径为5，圆心O到直线的距离为3，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选A．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，直接根据直线和圆的位置关系解答即可．14．C解析：C【解析】【分析】连接AC,利用勾股定理求出AC的长度,即可解题.【详解】解：如下图,连接AC,∵圆A的半径是4,AB=4,AD=3,∴由勾股定理可知对角线AC=5,∴D在圆A内,B在圆上,C在圆外,故选C.【点睛】本题考查了圆的简单性质,属于简单题,利用勾股定理求出AC的长是解题关键.15．D解析：D【解析】【分析】设点B的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算．【详解】设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣1﹣x，B′、C间的横坐标的长度为a+1，∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，∴2（﹣1﹣x）＝a+1，解得x＝﹣12（a+3），故选：D．【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．二、填空题16．12【解析】【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△E解析：12【解析】【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出AF ABGF GD==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．【详解】∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴AF ABGF GD==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．故答案为：12．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．17．y＝2(x－2)2＋3【解析】【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．【详解】解：将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为解析：y＝2(x－2)2＋3【解析】【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．【详解】解：将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y=2（x-2）2+3，故答案为：y＝2(x－2)2＋3.【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．18．、、【解析】【分析】根据直线平分三角形周长得出线段的和差关系，再通过四种情形下的相似三角形的性质计算线段的长.【详解】解：设过点D的直线与△ABC的另一个交点为E，∵AC＝4，BC＝解析：83、103、54【解析】【分析】根据直线平分三角形周长得出线段的和差关系，再通过四种情形下的相似三角形的性质计算线段的长.【详解】解：设过点D的直线与△ABC的另一个交点为E，∵AC＝4，BC＝3，∴AB=2234+=5设AD=x，BD=5-x，∵DE平分△ABC周长，∴周长的一半为（3+4+5）÷2=6，分四种情况讨论：①△BED∽△BCA，如图1，BE=1+x∴BE BDBC AB=，即：5153x x-+=，解得x=54，②△BDE∽△BCA，如图2，BE=1+x∴BD BEBC AB=，即：5135x x-+=，解得：x=11 4，BE=154>BC，不符合题意.③△ADE∽△ABC，如图3，AE=6-x∴AD AEAB AC=，即654x x-=，解得：x=103，④△BDE∽△BCA，如图4，AE=6-x∴AD AEAC AB=，即：645x x-=，解得：x=83，综上：AD的长为83、103、54.【点睛】本题考查的相似三角形的判定和性质，根据不同的相似模型分情况讨论，根据不同的线段比例关系求解.19．720（1+x）2=845．【解析】【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果该企业全年收入的年平均增长率为x ，根据2017年全年收入720万元，2019 解析：720（1+x ）2=845．【解析】【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果该企业全年收入的年平均增长率为x ，根据2017年全年收入720万元，2019年全年收入845万元，即可得出方程．【详解】解：设该企业全年收入的年平均增长率为x ，则2018的全年收入为：720×（1+x ）2019的全年收入为：720×（1+x ）2．那么可得方程：720（1+x ）2=845．故答案为：720（1+x ）2=845．【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题的关键是掌握等量关系式：增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．20．【解析】【分析】根据点A 的坐标及抛物线的对称轴可得抛物线与x 轴的两个交点坐标，从而求得方程的解.【详解】解：由二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图像过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1可得：解析：123;1x x ==-【解析】【分析】根据点A 的坐标及抛物线的对称轴可得抛物线与x 轴的两个交点坐标，从而求得方程的解.【详解】解：由二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1可得： 抛物线与x 轴交于（3，0）和（-1，0）即当y=0时，x=3或-1∴ax 2＋bx ＋c ＝0的根为123;1x x ==-故答案为：123;1x x ==-【点睛】本题考查抛物线的对称性及二次函数与一元二次方程，利用对称性求出抛物线与x 轴的交点坐标是本题的解题关键.21．6【解析】【分析】先根据平行四边形的性质证得△BEG∽△FAG，从而可得相似比，然后根据同高的两个三角形的面积等于底边之比可求得，根据相似三角形的性质可求得，进而可得答案.【详解】解：∵四解析：6【解析】【分析】先根据平行四边形的性质证得△BEG ∽△FAG ，从而可得相似比，然后根据同高的两个三角形的面积等于底边之比可求得ABG S ∆，根据相似三角形的性质可求得AFG S ∆，进而可得答案.【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AD ∥BC ，∴△BEG ∽△FAG ， ∵13BE DF BC ==， ∴12EG BE AG AF ==， ∴211,24BEG BEG ABG AFG S S EG BE S AG S AF ∆∆∆∆⎛⎫==== ⎪⎝⎭， ∵1BEG S ∆=，∴2ABG S ∆=，4AFG S ∆=，∴6ABF ABG AFG S S S ∆∆∆=+=.故答案为：6.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键.22．【解析】【分析】设BC=EC=a,根据相似三角形得到，求出a 的值，再利用tanA 即可求解.【详解】设BC=EC=a,∵AB ∥CD ，∴△ABF ∽△ECF ，∴,即解得a=（-舍去）∴【解析】【分析】设BC=EC=a,根据相似三角形得到222a a =+，求出a 的值，再利用tan DAE ∠=tanA 即可求解.【详解】设BC=EC=a,∵AB ∥CD ，∴△ABF ∽△ECF ， ∴AB EC BF CF =,即222a a =+解得1（-1舍去）∴tan DAE ∠=tanF=2EC a CF =. 【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质及正切的定义.23．【解析】【分析】根据增长率的定义列方程即可，二月份的产量为：，三月份的产量为：.【详解】二月份的产量为：，三月份的产量为：.【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，解题关键是熟解析：2500(1)720x +=【解析】【分析】根据增长率的定义列方程即可，二月份的产量为：500(1)x +，三月份的产量为：2500(1)720x +=.【详解】二月份的产量为：500(1)x +，三月份的产量为：2500(1)720x +=.【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，解题关键是熟练理解增长率的表示方法，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）. 24．6+π．【解析】【分析】根据直角三角形的面积和扇形面积公式先求出圆形纸片不能接触到的面积，再用等边三角形的面积去减即可得能接触到的最大面积． 【详解】解：如图，当圆形纸片运动到与∠A 的两解析：63+π．【解析】【分析】根据直角三角形的面积和扇形面积公式先求出圆形纸片不能接触到的面积，再用等边三角形的面积去减即可得能接触到的最大面积．【详解】解：如图，当圆形纸片运动到与∠A 的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心O 作两边的垂线，垂足分别为D ，E ，连接AO ，则Rt △ADO 中，∠OAD ＝30°，OD ＝1，AD 3∴S △ADO ＝12OD •AD 3 ∴S 四边形ADOE ＝2S △ADO 3∵∠DOE ＝120°，∴S 扇形DOE ＝3π， ∴纸片不能接触到的部分面积为：33π）＝﹣π ∵S△ABC ＝12∴纸片能接触到的最大面积为：＝+π．故答案为．【点睛】此题主要考查圆的综合运用，解题的关键是熟知等边三角形的性质、扇形面积公式.25．【解析】【分析】根据二次函数性质可得出点的坐标，求得直线为，联立方程求得的坐标，即可求得的坐标，同理求得的坐标，即可求得的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点的坐标．【详解】解：∵解析：2(1010,1010)-【解析】【分析】根据二次函数性质可得出点1A 的坐标，求得直线12A A 为2y x =+，联立方程求得2A 的坐标，即可求得3A 的坐标，同理求得4A 的坐标，即可求得5A 的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点2019A 的坐标．【详解】解：∵A 点坐标为()1,1，∴直线OA 为y x =，()11,1A -，∵12A A OA ∕∕，∴直线12A A 为2y x =+，解22y x y x =+⎧⎨=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩， ∴()22,4A ，∴()32,4A -，∵34A A OA ∕∕，∴直线34A A 为6y x =+，解26y x y x =+⎧⎨=⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩， ∴()43,9A ，∴()53,9A -…，∴()220191010,1010A -，故答案为()21010,1010-． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．26．>【解析】【分析】利用函数图象可判断点，都在对称轴右侧的抛物线上，然后根据二次函数的性质可判断与的大小．【详解】解：∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，且开口向下，∴点，都在对称轴右侧的抛物线解析：>【解析】【分析】利用函数图象可判断点()11,A y ，()23,B y 都在对称轴右侧的抛物线上，然后根据二次函数的性质可判断1y 与2y 的大小．【详解】解：∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，且开口向下，∴点()11,A y ，()23,B y 都在对称轴右侧的抛物线上，∴1y ＞2y ．故答案为＞．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．解决本题的关键是判断点A 和点B 都在对称轴的右侧．27．乙【解析】【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【详解】解：∵甲的方差为0解析：乙【解析】【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【详解】解：∵甲的方差为0.14，乙的方差为0.06，∴S 甲2＞S 乙2，∴成绩较为稳定的是乙；故答案为：乙．【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．28．【解析】【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．【详解】圆锥的底面周长cm ，设圆锥的母线长为，则： ，解得，故答案为．【点睛】本解析：【解析】【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．【详解】圆锥的底面周长224ππ=⨯=cm ，。
2015年江苏省无锡市北塘区九年级上学期数学期末试卷【答案版】
2014-2015学年江苏省无锡市北塘区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分．）1．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）A．x1=1，x2=2B．x1=1，x2=﹣2C．x1=﹣1，x2=﹣2D．x1=﹣1，x2=22．（3分）已知点A在半径为r的⊙O内，点A与点O的距离为6，则r的取值范围是（）A．r＞6B．r≥6C．r＜6D．r≤63．（3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔60海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B 处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）A．30海里B．30海里C．60海里D．30海里4．（3分）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x2）=196B．50+50（1+x2）=196C．50+50（1+x）+50（1+x）2=196D．50+50（1+x）+50（1+2x）=1965．（3分）学校组织才艺表演比赛，前6名获奖．有13位同学参加比赛且他们所得的分数互不相同．某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是（）A．众数B．方差C．中位数D．平均数6．（3分）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（）A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2 7．（3分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列有4个结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③b＜a+c；④4a+b=1，其中正确的结论为（）A．①②B．①②③C．①②④D．①③④8．（3分）如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（）A．2B．C．D．9．（3分）如图，点A（a，b）是抛物线y=x2上位于第二象限的一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中，以下结论：①ac为定值；②ac=﹣bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．（3分）现定义一种变换：对于一个由任意5个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1．例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2）．则下面序列可以作为S1的是（）A．（1，2，1，2，2）B．（2，2，2，3，3）C．（1，1，2，2，3）D．（1，2，1，1，2）二、填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分．）11．（2分）抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是．12．（2分）将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母e的概率为．13．（2分）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+=0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是．14．（2分）如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，这个扇形的面积为．15．（2分）如图，添加一个条件：，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）16．（2分）已知y是关于x的函数，函数图象如图所示，则当y＞0时，自变量x的取值范围是．17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，⊙O是△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=．18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，sin∠BAC=，点D是AC上一点，且BC=BD=2，将Rt△ABC绕点C旋转到Rt△FEC的位置，并使点E在射线BD 上，连接AF交射线BD于点G，则AG的长为．三、解答题（本大题共10小题，共84分．）19．（8分）解方程：（1）（4x﹣1）2﹣9=0（2）x2﹣3x﹣2=0．20．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一点，且BP=2，将一个大小与∠B相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E．（1）求证△BPD∽△CEP．（2）是否存在这样的位置，使PD⊥DE？若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由．21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）22．（8分）2014年12月31日晚23时35分许，上海外滩陈毅广场发生拥挤踩踏事故．为了排除安全隐患，因此无锡市政府决定改造蠡湖公园的一处观景平台．如图，一平台的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使平台更加牢固，欲改变平台的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应将平台底部向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）23．（8分）有七张除所标数值外完全相同的卡片，把所标数值分别为﹣2、﹣1、3、4的四张卡片放入甲袋，把所标数值分别为﹣3、0、2的三张卡片放入乙袋．现在先后从甲、乙两袋中各随机取出一张卡片，按照顺序分别用x、y表示取出的卡片上标的数值，并把x、y分别作为点A的横坐标、纵坐标．（1）请用树状图或列表法写出点A（x，y）的所有情况．（2）求点A属于第一象限的点的概率．24．（8分）学校冬季趣味运动会开设了“抢收抢种”项目，八（5）班甲、乙两个小组都想代表班级参赛，为了选择一个比较好的队伍，八（5）班的班委组织了一次选拔赛，甲、乙两组各10人的比赛成绩如下表：甲组789710109101010乙组10879810109109（1）甲组成绩的中位数是分，乙组成绩的众数是分．（2）计算乙组的平均成绩和方差．（3）已知甲组成绩的方差是1.4，则选择组代表八（5）班参加学校比赛．25．（8分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．26．（8分）如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．27．（10分）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．动点P、Q分别从点A、点B同时出发，相向而行，速度都为1cm/s．以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设运动时间为t（0≤t≤2，单位：s），正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面积为S（cm2）．（1）当t=s时，点P与点Q重合．（2）当t=s时，点D在QF上．（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数表达式．28．（10分）木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．（1）写出方案一中圆的半径．（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．2014-2015学年江苏省无锡市北塘区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分．）1．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）A．x1=1，x2=2B．x1=1，x2=﹣2C．x1=﹣1，x2=﹣2D．x1=﹣1，x2=2【解答】解：x2﹣x﹣2=0（x﹣2）（x+1）=0，解得：x1=﹣1，x2=2．故选：D．2．（3分）已知点A在半径为r的⊙O内，点A与点O的距离为6，则r的取值范围是（）A．r＞6B．r≥6C．r＜6D．r≤6【解答】解：∵点A在半径为r的⊙O内，∴OA小于r而OA=6，∴r＞6．故选：A．3．（3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔60海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B 处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）A．30海里B．30海里C．60海里D．30海里【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C．在Rt△PAC中，∵PA=60海里，∠PAC=30°，∴CP=AP=30海里．在Rt△PBC中，∵PC=30海里，∠PBC=∠BPC=45°，∴PB=PC=30海里．即海轮所在的B处与灯塔P的距离为30海里．故选：A．4．（3分）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x2）=196B．50+50（1+x2）=196C．50+50（1+x）+50（1+x）2=196D．50+50（1+x）+50（1+2x）=196【解答】解：依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，∴50+50（1+x）+50（1+x）2=196．故选：C．5．（3分）学校组织才艺表演比赛，前6名获奖．有13位同学参加比赛且他们所得的分数互不相同．某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是（）A．众数B．方差C．中位数D．平均数【解答】解：因为6位获奖者的分数肯定是13名参赛选手中最高的，而且13个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有6个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．故选：C．6．（3分）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（）A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2【解答】解：∵M、N分别是AC，BC的中点，∴MN∥AB，MN=AB，∴AB=2MN=2×12=24m，△CMN∽△CAB，∵M是AC的中点，∴CM=MA，∴CM：MA=1：1，故描述错误的是D选项．故选：D．7．（3分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列有4个结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③b＜a+c；④4a+b=1，其中正确的结论为（）A．①②B．①②③C．①②④D．①③④【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，所以①正确；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2∴b=﹣4a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②正确；∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴b＜a+c，所以③正确；∵b=﹣4a，∴4a+b=0，所以④错误．故选：AB．8．（3分）如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（）A．2B．C．D．【解答】解：连结BD、OC，如图，∵四边形BCDE为矩形，∴∠BCD=90°，∴BD为⊙O的直径，∴BD=2，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，而OB=OC，∴∠CBD=30°，在Rt△BCD中，CD=BD=1，BC=CD=，∴矩形BCDE的面积=BC•CD=．故选：B．9．（3分）如图，点A（a，b）是抛物线y=x2上位于第二象限的一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中，以下结论：①ac为定值；②ac=﹣bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：过A、B分别作AC⊥x轴于C、BD⊥x轴于D，则：AC=b，OC=﹣a，OD=c，BD=d；（1）由于OA⊥OB，易知△OAC∽△BOD，有：=，即=，∴ac=﹣bd，故②正确．（2）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式中，有：b=a2…Ⅰ、d=c2…Ⅱ；Ⅰ×Ⅱ，得：bd=a2c2，即﹣ac=a2c2，ac=﹣4．故①正确．（3）S=S梯形ACDB﹣S△ACO﹣S△BOD△AOB=（b+d）（c﹣a）﹣（﹣a）b﹣cd=bc﹣ad=（bc﹣•）=（bc+）由此可看出，△AOB的面积不为定值，故③错误．（4）设直线AB的解析式为：y=kx+h，代入A、B的坐标，得：ak+h=b...Ⅲ、ck+h=d (Ⅳ)Ⅲ×c﹣Ⅳ×a，得：h===﹣ac=2；∴直线AB与y轴的交点为（0，2）．故④正确．综上，共有三个结论是正确的，它们是①②④，故选：B．10．（3分）现定义一种变换：对于一个由任意5个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1．例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2）．则下面序列可以作为S1的是（）A．（1，2，1，2，2）B．（2，2，2，3，3）C．（1，1，2，2，3）D．（1，2，1，1，2）【解答】解：A、2有3个，不可以作为S1，故A选项错误；B、2有3个，不可以作为S1，故B选项错误；C、3只有1个，不可以作为S1，故C选项错误；D、符合定义的一种变换，故D选项正确．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分．）11．（2分）抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．【解答】解：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．故答案为：（1，2）．12．（2分）将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母e的概率为．【解答】解：∵英文单词theorem中，一共有7个字母，其中字母e有2个，∴任取一张，那么取到字母e的概率为．故答案为．13．（2分）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+=0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是当b=﹣，方程没有实数解．【解答】解：∵b=﹣时，△=（﹣）2﹣4×＜0，∴方程没有实数解．∴当b=﹣，方程没有实数解可作为说明这个命题是假命题的一个反例．故答案为：当b=﹣，方程没有实数解．14．（2分）如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，这个扇形的面积为300π．【解答】解：∵底面圆的面积为100π，∴底面圆的半径为10，∴扇形的弧长等于圆的周长为20π，设扇形的母线长为r，则=20π，解得：母线长为30，∴扇形的面积为πrl=π×10×30=300π，故答案为：300π．15．（2分）如图，添加一个条件：∠ADE=∠ACB，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）【解答】解：由题意得，∠A=∠A（公共角），则可添加：∠ADE=∠ACB，利用两角法可判定△ADE∽△ACB．故答案可为：∠ADE=∠ACB（答案不唯一）．16．（2分）已知y是关于x的函数，函数图象如图所示，则当y＞0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或1＜x＜2．【解答】解：如图所示：当y＞0时，x＜﹣1或1＜x＜2．故答案为：x＜﹣1或1＜x＜2．17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，⊙O是△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=2．【解答】解：连接OE、OF、OQ，设⊙O的半径是r，由勾股定理得：AB==5，∵⊙O是三角形ABC的内切圆，∴OE⊥AC，OF⊥BC，OE=OF，AE=AQ，BF=BQ，∵∠C=90°，∴∠C=∠CFO=∠CEO=90°，∴四边形CFOE是正方形，∴CE=CF=OF=OE，∴3﹣r+4﹣r=5，r=1，AQ=AE=3﹣1=2，OQ=1，∵D是AB的中点，∴AD=，∴DQ=AD﹣AQ=，tan∠ODA==2，故答案为：2．18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，sin∠BAC=，点D是AC上一点，且BC=BD=2，将Rt△ABC绕点C旋转到Rt△FEC的位置，并使点E在射线BD上，连接AF交射线BD于点G，则AG的长为．【解答】解：作BH⊥CD于H，如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∵sin∠BAC==，∴AC=3BC=6，∵BC=BD=2，∴CH=DH，∵∠HBC+∠ACB=90°，∠BAC+∠ACB=90°，∴∠HBC=∠BAC，∴sin∠HBC=，在Rt△HBC中，∵sin∠HBC==，∴HC=BC=，∴CD=2CH=，∴AD=AC﹣CD=6﹣=，∵Rt△ABC绕点C旋转到Rt△FEC的位置，∴∠BCE=∠ACF，CB=CE，CA=CF，∴∠CBE=（180°﹣∠BCE），∠CAF=（180°﹣∠ACF），∴∠CBE=∠CAF，∵∠BDC=∠ADG，∴∠AGD=∠BCD，∵BC=BD，∴∠BCD=∠BDC，∴∠ADG=∠AGD，∴AG=AD=．故答案为．三、解答题（本大题共10小题，共84分．）19．（8分）解方程：（1）（4x﹣1）2﹣9=0（2）x2﹣3x﹣2=0．【解答】解：（1）移项得：（4x﹣1）2=9，4x﹣1=±3，x1=1，x2=﹣；（2）x2﹣3x﹣2=0，b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=17，x=，x1=，x2=．20．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一点，且BP=2，将一个大小与∠B相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E．（1）求证△BPD∽△CEP．（2）是否存在这样的位置，使PD⊥DE？若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠DPC=∠DPE+∠EPC=∠B+∠BDP，∠DPE=∠B，∴∠EPC=∠BDP．在△BPD与△CEP中，，∴△BPD∽△CEP；（2）作AH⊥BC于H．∵AB=AC，AH⊥BC于H，∴BH=HC=BC=3．∵在Rt△ABH和Rt△PDE中，∠B=∠DPE，∴cos∠B=cos∠DPE，∴==，∵△BPD∽△CEP，∴==，又∵PC=BC﹣BP=6﹣2=4，∴BD=．21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）【解答】（1）证明：连接OD，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∵CD=CB，∴∠CBD=∠CDB，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠ODC=∠ABC=90°，即OD⊥CD，∵点D在⊙O上，∴CD为⊙O的切线；（2）解：在Rt△OBF中，∵∠ABD=30°，OF=1，∴∠BOF=60°，OB=2，BF=，∵OF⊥BD，∴BD=2BF=2，∠BOD=2∠BOF=120°，∴S阴影=S扇形OBD﹣S△BOD=﹣×2×1=π﹣．22．（8分）2014年12月31日晚23时35分许，上海外滩陈毅广场发生拥挤踩踏事故．为了排除安全隐患，因此无锡市政府决定改造蠡湖公园的一处观景平台．如图，一平台的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使平台更加牢固，欲改变平台的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应将平台底部向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）【解答】解：过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，∵∠ABE=62°，∴AE=A B•sin62°=25×0.88=22米，BE=AB•cos62°=25×0.47=11.75米，在Rt△ADE中，∠ADB=50°，∴DE==，∴DB=DC﹣BE≈6.58米．答：向外拓宽大约6.58米．23．（8分）有七张除所标数值外完全相同的卡片，把所标数值分别为﹣2、﹣1、3、4的四张卡片放入甲袋，把所标数值分别为﹣3、0、2的三张卡片放入乙袋．现在先后从甲、乙两袋中各随机取出一张卡片，按照顺序分别用x、y表示取出的卡片上标的数值，并把x、y分别作为点A的横坐标、纵坐标．（1）请用树状图或列表法写出点A（x，y）的所有情况．（2）求点A属于第一象限的点的概率．【解答】解：（1）填表如下：﹣2﹣134﹣3（﹣2，﹣3）（﹣1，﹣3）（3，﹣3）…（3分）（4，﹣3）0（﹣2，0）（﹣1，0）（3，0）（4，0）2（﹣2，2）（﹣1，2）（3，2）（4，2）如表所示，所有情况共有12种；（2）因为属于第一象限的点的坐标有（3，2）和（4，2）共2种，所以概率P=．24．（8分）学校冬季趣味运动会开设了“抢收抢种”项目，八（5）班甲、乙两个小组都想代表班级参赛，为了选择一个比较好的队伍，八（5）班的班委组织了一次选拔赛，甲、乙两组各10人的比赛成绩如下表：甲组789710109101010乙组10879810109109（1）甲组成绩的中位数是9.5分，乙组成绩的众数是10分．（2）计算乙组的平均成绩和方差．（3）已知甲组成绩的方差是1.4，则选择乙组代表八（5）班参加学校比赛．【解答】解：（1）把甲组的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，最中间两个数的平均数是（9+10）÷2=9.5（分），则中位数是9.5分；乙组成绩中10出现了4次，出现的次数最多，则乙组成绩的众数是10分；故答案为：9.5，10；（2）乙组的平均成绩是：（10×4+8×2+7+9×3）=9，则方差是：[4×（10﹣9）2+2×（8﹣9）2+（7﹣9）2+3×（9﹣9）2]=1；（3）∵甲组成绩的方差是1.4，乙组成绩的方差是1，∴选择乙组代表八（5）班参加学校比赛．故答案为乙．25．（8分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．【解答】解：（1）∵AB=x，则BC=（28﹣x），∴x（28﹣x）=192，解得：x1=12，x2=16，答：x的值为12或16；（2）∵AB=xm，∴BC=28﹣x，∴S=x（28﹣x）=﹣x2+28x=﹣（x﹣14）2+196，∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，∵28﹣15=13，∴6≤x≤13，∴当x=13时，S取到最大值为：S=﹣（13﹣14）2+196=195，答：花园面积S的最大值为195平方米．26．（8分）如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3），设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即a=﹣，则抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+3=﹣x2+3x；（2）设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），将A（4，0）与C（0，3）代入得：，解得：，故直线AC解析式为y=﹣x+3，与抛物线解析式联立得：，解得：或，则点D坐标为（1，）；（3）存在，分两种情况考虑：①当点M在x轴上方时，如答图1所示：四边形ADMN为平行四边形，DM∥AN，DM=AN，由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，∴N1（2，0），N2（6，0）；②当点M在x轴下方时，如答图2所示：过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M作MP⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△NMP，∴MP=DQ=，NP=AQ=3，将y M=﹣代入抛物线解析式得：﹣=﹣x2+3x，解得：x M=2﹣或x M=2+，∴x N=x M﹣3=﹣﹣1或﹣1，∴N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）．综上所述，满足条件的点N有四个：N1（2，0），N2（6，0），N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）．27．（10分）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．动点P、Q分别从点A、点B同时出发，相向而行，速度都为1cm/s．以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设运动时间为t（0≤t≤2，单位：s），正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面积为S（cm2）．（1）当t=1s时，点P与点Q重合．（2）当t=s时，点D在QF上．（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数表达式．【解答】解：（1）当点P与点Q重合时，AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，∴t+t=2，解得t=1s，故答案：1．（2）当点D在QF上时，如图1所示，此时AP=BQ=t．∵QF∥BC，APDE为正方形，∴△PQD∽△ABC，∴DP：PQ=AC：AB=2，则PQ=DP=AP=t．由AP+PQ+BQ=AB=2，得t+t+t=2，解得：t=．故答案：．（3）当P、Q重合时，由（1）知，此时t=1；当D点在BC上时，如答图2所示，此时AP=BQ=t，BP=t，求得t=s，进一步分析可知此时点E与点F重合；当点P到达B点时，此时t=2．因此当P点在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，其运动过程可分析如下：①当1＜t≤时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ．此时AP=BQ=t，∴AQ=2﹣t，PQ=AP﹣AQ=2t﹣2；易知△ABC∽△AQF，可得AF=2AQ，EF=2EG．∴EF=AF﹣AE=2（2﹣t）﹣t=4﹣3t，EG=EF=2﹣t，∴DG=DE﹣EG=t﹣（2﹣t）=t﹣2．S=S梯形PDGQ=（PQ+DG）•PD，=[（2t﹣2）+（t﹣2）]•t，=t2﹣2t；②当＜t＜2时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形．此时AP=BQ=t，∴AQ=PB=2﹣t，易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DNM，可得AF=2AQ，PM=2PB，DM=2DN，∴AF=4﹣2t，PM=4﹣2t．又∵DM=DP﹣PM=t﹣（4﹣2t）=3t﹣4，∴DN=（3t﹣4）=t﹣2，DM=3t﹣4．S=S正方形APDE﹣S△AQF﹣S△DMN=AP2﹣AQ•AF﹣DN•DM=t2﹣（2﹣t）（4﹣2t）﹣×（3t﹣4）×（3t﹣4）=﹣t2+10t﹣8．综上所述，当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，S与t之间的函数关系式为：S=．28．（10分）木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．（1）写出方案一中圆的半径．（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．【解答】解：（1）方案一中的最大半径为1；（2）设半径为r，方案二：如图方案二，连接O1O2，O1E，在Rt△O1O2E中，（2r）2=22+（3﹣2r）2，解得r=，方案三：如图方案三，连接ON，OM，∵ON∥AM，∴∠FON=∠A，又∵∠ONF=∠AMO=90°，∴△AOM∽△OFN，∴=，∴=，解得：r=，∵＜，∴方案三半径较大；（3）方案四所拼得的图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为2+x．所以所截出圆的直径最大为（3﹣x）或（2+x）两者之中较小的．当3﹣x＜2+x时，即当x＞时，r=（3﹣x）；此时r随x的增大而减小，所以r＜（3﹣）=；当3﹣x=2+x时，即当x=时，r=（3﹣）=；当3﹣x＞2+x时，即当x＜时，r=（2+x）．此时r随x的增大而增大，所以r＜（2+）=；∴方案四，当x=时，r最大为，∵1＜＜，∴方案四中所得到的圆形桌面的半径最大．第31页（共31页）。
2014~2015学年度 最新 江苏省2015届九年级上期末数学试题及答案
3l 2l1l F E DC B A 2015学年度第一学期初三质量调研数 学 试 卷（时间：100分钟，满分：150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1．如图1，直线1l ∥2l ∥3l ，两直线AC 和DF 与1l ，2l ，3l 分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．下列各式中，不一定成立的是（ ▲ ）（A ） EF DE BC AB =； （B ）DF DEAC AB = ；（C ）CF BE BE AD =； （D ）CA BCFD EF =．2．用一个2倍放大镜照一个△ABC ，下面说法中错误的是（▲ ）（A ）△ABC 放大后，∠A 是原来的2倍； （B ）△ABC 放大后，各边长是原来的2倍； （C ）△ABC 放大后，周长是原来的2倍； （D ）△ABC 放大后，面积是原来的4倍．3．在Rt ABC △中，已知ACB ∠=90°，1BC =，2AB =，那么下列结论正确的是（ ▲ ） （A）sin A =； （B ）1tan 2A =； （C）cos B = （D）cot B =4．如果二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如右图2所示， 那么 （ ▲ ）（A ）a ＜0，b ＞0，c ＞0； （B ）a ＞0，b ＜0，c ＞0； （C ）a ＞0，b ＜0，c ＜0； （D ）a ＞0，b ＞0，c ＜0． 5．下列命题中，正确的是个数是（ ▲ ）（1）三点确定一个圆； （2）平分弦的直径垂直于弦； （3）相等的圆心角所对的弧相等； （4）正五边形是轴对称图形. （A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个． 6．下列判断错误的是（ ▲ ）图1图2（A ）00a =； （B ）如果12a b =（b 为非零向量），那么a ∥b ；（C ）设为单位向量，1=；（D ）=，那么 =或 -=．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．已知:5:2x y =，那么():x y y += ▲ ．8．计算：523()3a ab --= ▲ ．9．如图3，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ． 如果3AD =，4BD =，2AE =，那么AC = ▲ ．10．已知线段MN 的长为2厘米，点P 是线段MN的黄金分割点，那么较长的线段MP 的长是 ▲ 厘米．11．二次函数322--=x x y 的图像与y 轴的交点坐标是 ▲ ． 12．如果将抛物线22y x =-平移，使顶点移到点(3,1)P -的位置，那么所得新抛物线的表达式是 ▲ ．13．正八边形的中心角为 ▲ 度．14．用一根长50厘米的铁丝，把它弯成一个矩形框，设矩形框的一边长为x 厘米，面积为y 平方厘米，写出y 关于x 的函数解析式： ▲ ． 15．在地面上离旗杆底部20米处的地方用测角仪测得旗杆顶端的仰角为α，如果测角仪的高为 1.5米，那么旗杆的高为 ▲ 米（用含α的三角比表示）．16．如图4，已知⊙O 的半径为5，⊙O 的一条弦AB 长为8，那么以3为半径的同心圆与弦AB 位置关系是 ▲ ．图4图3B17．我们定义：如果一个图形上的点'A 、'B 、…、'P 和另一个图形上的点A 、B 、…、P 分别对应，并且满足：(1)直线'A A 、'B B 、…、'P P 都经过同一点O ；(2)'''===OA OB OP k OA OB OP=…，那么这两个图形叫做位似图形，点O 叫做位似中心，k 叫做位似比．如图5，在平面直角坐标系中，△ABC 和△'''C B A 是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，且'OB BB =．如果点A （25，3），那么点'A 的坐标为 ▲ ．D C图5 图618．如图6，已知△ABC 中，AB =AC ，tan B =2，AD ⊥BC 于点D ，点G 是△ABC 的重心. 将△ABC 绕着重心G 旋转，得到△111C B A ，并且点1B 在直线AD 上，联结1CC ，那么tan ∠11B CC 的值等于 ▲．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：4sin3060︒︒︒．20．（本题满分10分）如图7，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，且32=CD AB（1）求ADAO的值； （2）如果a AO =，请用a 表示.21．（本题满分10分）BC图7如图8，已知二次函数的图像与x 轴交于点A （1,0）和点B ，与y 轴交于点C （0,6），对称轴为直线2=x ，求二次函数的解析式并写出图像最低点的坐标．22．（本题满分10分）如图9，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O 处有一座喷泉.小明为测量湖的半径，在湖边选择A 、B 两个点，在A 处测得45OAB ∠=，在AB 延长线上的C 处测得30OCA ∠=，已知50BC =米，求人工湖的半径．（结果保留根号）23．（本题满分12分）如图10，已知在△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在边BC 上，CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，E 、F 分别是垂足． （1）求证：2AC AF AD=；（2）联结EF ，求证：AE DB AD EF =．C图9EABOCBAy xx =2图824．（本题满分12分）如图11，在平面直角坐标系xOy中，点(),0B m(m＞0)，点C0,2A m-和点()在x轴上（不与点A重合），（1）当△BOC与△AOB相似时，请直接写出点C的坐标（用m表示）；（2）当△BOC与△AOB全等时，二次函数2=-++的图像经过A、B、y x bx cC三点，求m的值，并求点C的坐标；（3）P是（2）的二次函数的图像上一点，90∠=，求点P的坐标及∠ACPAPC的度数．图11 备用图25．（本题满分14分）如图12，等边△ABC，4AB=，点P是射线AC上的一动点，联结BP，作BP的垂直平分线交线段BC于点D，交射线BA于点Q，分别联结PD，PQ．（1）当点P在线段AC的延长线上时，①求DPQ∠的度数并求证△DCP∽△PAQ；②设CP x=，AQ y=，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）如果△PCD是等腰三角形，求△APQ的面积．2015学年度第一学期九年级数学期终考试试卷参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．(C)； 2．(A)； 3．(D)； 4．(C)； 5．(A)； 6．(D).二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 7:2（或72）； 8. 5a b-+； 9.143；10. 1；11．（0，-3）；12.()2231y x=-++；13．45； 14．225y x x=-+； 15．1.520tanα+；16．相切； 17．（5，6）； 18．三、解答题（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．解：原式=142⨯+………………………………………………（6分）=21-+………………………………………………………………（3分）图12QPDCBA备用图ABC=1+．……………………………………………………………………（1分） 20．解（1）∵AB ∥CD ， ∴AO ABOD CD=． ………………………………………………………………（2分） ∵23AB CD =， ∴错误！未找到引用源。
无锡市苏科版九年级数学上册期末真题试卷(一)解析版
无锡市苏科版九年级数学上册期末真题试卷（一）解析版一、选择题1．如图，在□ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE、AF分别交BD于点G、H，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD的面积之比为（）A．7 : 12 B．7 : 24 C．13 : 36 D．13 : 722．抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷6次都是正面朝上，则抛掷第7次正面朝上的概率是（）A．小于12B．等于12C．大于12D．无法确定3．如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（）A．3 B．3C．6 D．9 4．△ABC的外接圆圆心是该三角形（）的交点．A．三条边垂直平分线B．三条中线C．三条角平分线D．三条高5．10件产品中有2件次品，从中任意抽取1件，恰好抽到次品的概率是（）A．12B．13C．14D．156．关于x的一元二次方程x2+bx-6=0的一个根为2，则b的值为( )A．-2 B．2 C．-1 D．17．一个扇形的半径为4，弧长为2 ，其圆心角度数是（）A．45B．60C．90D．1808．某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）A．144（1﹣x）2=100 B．100（1﹣x）2=144 C．144（1+x）2=100 D．100（1+x）2=144 9．一元二次方程x2﹣3x＝0的两个根是（）A．x1＝0，x2＝﹣3 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3 10．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（）A．12B．1：2 C．1：3 D．1：411．13名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ） A ．方差 B ．众数 C ．平均数 D ．中位数 12．已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ）A ．-2B ．2C ．-3D ．313．如图，在正方形 ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，AE ⊥EF ．有下列结论：①∠BAE ＝30°；②射线FE 是∠AFC 的角平分线； ③CF ＝13CD ； ④AF ＝AB ＋CF ．其中正确结论的个数为（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个14．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A ．2x +y ＝1B ．x 2+3xy ＝6C ．x +1x＝4 D ．x 2＝3x ﹣215．已知抛物线与二次函数23y x =-的图像相同，开口方向相同，且顶点坐标为(1,3)-，它对应的函数表达式为（ ） A ．23(1)3y x =--+ B ．23(1)3y x =-+ C ．23(1)3y x =+-D ．23(1)3y x =-++二、填空题16．关于x 的一元二次方程20x a +=没有实数根，则实数a 的取值范围是 ． 17．如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ．若AC ＝2，则cosD ＝________.18．一元二次方程290x 的解是__．19．圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，则该圆锥的全面积为_______cm 2.20．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成6个大小相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．转动一次转盘后，指针指向_____颜色的可能性大．21．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）关于滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是2200.5s t t =-，飞机着陆后滑行______m 才能停下来.22．若a b b -＝23，则a b的值为________．23．如图，已知O 的半径为2，ABC ∆内接于O ，135ACB ∠=，则AB =__________．24．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球运动时间t （秒）之间的函数关系式是h=12t ﹣6t 2，则小球运动到的最大高度为________米；25．如图，AB 是半圆O 的直径，AB=10，过点A 的直线交半圆于点C ，且sin ∠CAB=45，连结BC ，点D 为BC 的中点．已知点E 在射线AC 上，△CDE 与△ACB 相似，则线段AE 的长为________；26．如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，∠AOC =30°，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于点Q ，且PQ =OQ ，则满足条件的∠OCP 的大小为_______．27．如图，圆锥的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ，则该圆锥的侧面积是_____cm 2．28．如图，O 的弦8AB =，半径ON 交AB 于点M ，M 是AB 的中点，且3OM =，则MN 的长为__________．29．如图，在边长为 6 的等边△ABC 中，D 为 AC 上一点，AD=2，P 为 BD 上一点，连接 CP ，以 CP 为 边，在 PC 的右侧作等边△CPQ ，连接 AQ 交 BD 延长线于 E ，当△CPQ 面积最小时，QE=____________．30．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，6AC =，8BC =，D 、E 分别是边BC 、AC 上的两个动点，且4DE =，P 是DE 的中点，连接PA ，PB ，则14PA PB +的最小值为__________．三、解答题31．（1）解方程：2670x x +-= （2）计算：()4sin 45831tan 30︒-+--︒32．如图，BD 是⊙O 的直径．弦AC 垂直平分OD ，垂足为E ． （1）求∠DAC 的度数； （2）若AC ＝6，求BE 的长．33．如图甲，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4cm ，BC=3cm ．如果点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为1cm/s ．连接PQ ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4），解答下列问题： （1）设△APQ 的面积为S ，当t 为何值时，S 取得最大值，S 的最大值是多少； （2）如图乙，连接PC ，将△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP′C ，当四边形PQP′C 为菱形时，求t 的值；（3）当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形．34．一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果被分割的两个三角形相似，我们被称为该对角线为相似对角线．（1）如图1，正方形ABCD 的边长为4，E 为AD 的中点，1AF =，连结CE .CP ，求证：EF 为四边形AECF 的相似对角线．（2）在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，3AB =，6AC =，AC 平分BAD ∠，且AC 是四边形ABCD 的相似对角线，求BD 的长．（3）如图2，在矩形ABCD 中，6AB =，4BC =，点E 是线段AB （不取端点A ．B ）上的一个动点，点F 是射线AD 上的一个动点，若EF 是四边形AECF 的相似对角线，求BE 的长．（直接写出答案）35．如图，抛物线y ＝﹣13x 2+bx +c 交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．（1）求此抛物线的表达式；（2）求过B 、C 两点的直线的函数表达式；（3）点P 是第一象限内抛物线上的一个动点．过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由；四、压轴题36．如图，在四边形ABCD 中，9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=︒===，，点P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动，点M 从点A 出发以15/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动．点P M N 、、同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时间为ts ． （1）如图①，①当a 为何值时，点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值； ②连接AP BD 、交于点E ，当AP BD ⊥时，求出t 的值；（2）如图②，连接AN MD 、交于点F ．当3883a t ==，时，证明：ADF CDF S S ∆∆=．37．如图，已知矩形ABCD 中，BC =2cm ，AB =23cm ，点E 在边AB 上，点F 在边AD 上，点E 由A 向B 运动，连结EC 、EF ，在运动的过程中，始终保持EC ⊥EF ，△EFG 为等边三角形．（1）求证△AEF ∽△BCE ；（2）设BE 的长为xcm ，AF 的长为ycm ，求y 与x 的函数关系式，并写出线段AF 长的范围；（3）若点H 是EG 的中点，试说明A 、E 、H 、F 四点在同一个圆上，并求在点E 由A 到B 运动过程中，点H 移动的距离．38．我们知道，如图1，AB 是⊙O 的弦，点F 是AFB 的中点，过点F 作EF ⊥AB 于点E ，易得点E 是AB 的中点，即AE ＝EB ．⊙O 上一点C （AC ＞BC ），则折线ACB 称为⊙O 的一条“折弦”．（1）当点C 在弦AB 的上方时（如图2），过点F 作EF ⊥AC 于点E ，求证：点E 是“折弦ACB ”的中点，即AE ＝EC+CB ．（2）当点C 在弦AB 的下方时（如图3），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE 、EC 、CB 满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．（3）如图4，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，Rt △ABC 的外接圆⊙O 的半径为2，过⊙O 上一点P 作PH ⊥AC 于点H ，交AB 于点M ，当∠PAB ＝45°时，求AH 的长．39．如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线212y x bx c =-++经过B 、D 两点，与x 轴的另一个交点为A ，与y 轴相交于点C ． （1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积（请在图1中探索）（3）设点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上．要使以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标（请在图2中探索）40．如图1，ABC ∆是⊙O 的内接等腰三角形，点D 是弧AC 上异于,A C 的一个动点，射线AD 交底边BC 所在的直线于点E ，连结BD 交AC 于点F . （1）求证：ADB CDE ∠=∠；（2）若7BD =，3CD =，①求AD DE •的值；②如图2，若AC BD ⊥，求tan ACB ∠；（3）若5tan2CDE∠=，记AD x=，ABC∆面积和DBC∆面积的差为y，直接写出y关于x的函数关系式.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据已知条件想办法证明BG=GH=DH，即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∵DF=CF，BE=CE，∴12DH DFHB AB==，12BG BEDG AD==，∴13DH BGBD BD==，∴BG=GH=DH，∴S△ABG=S△AGH=S△ADH，∴S平行四边形ABCD=6 S△AGH，∴S△AGH：ABCDS平行四边形=1：6，∵E 、F分别是边BC、CD的中点,∴12EFBD=,∴14EFCBCDDSS=,∴18 EFCABCDSS=四边形,∴1176824AGH EFCABCDS SS+=+=四边形=7∶24,故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．2．B解析：B【解析】【分析】利用概率的意义直接得出答案．【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上概率等于12，前6次的结果都是正面朝上，不影响下一次抛掷正面朝上概率，则第7次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：12，故选：B．【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键．3．A解析：A【解析】【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，进而利用直角三角形的性质得出OP的长．【详解】连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∵∠P=30°，OB=3，∴AO=3，则OP=6，故BP=6-3=3．故选A ．【点睛】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键．4．A解析：A【解析】【分析】根据三角形的外接圆的概念、三角形的外心的概念和性质直接填写即可．【详解】解：△ABC 的外接圆圆心是△ABC 三边垂直平分线的交点，故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的外心，三角形的外接圆圆心即为三角形的外心，是三条边垂直平分线的交点，正确理解三角形外心的概念是解题的关键.5．D解析：D【解析】【分析】由于10件产品中有2件次品，所以从10件产品中任意抽取1件，抽中次品的概率是21105=． 【详解】解：()21P 105==次品 ． 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是用概率公式求事件的概率，根据题目找出全部情况的总数以及符合条件的情况数目是解此题的关键． 6．D解析：D【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程得到关于b 的一次方程，然后解一次方程即可．【详解】解：把x=2代入程x 2+bx-6=0得4+2b-6=0，解得b=1．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.7．C解析：C【解析】【分析】根据弧长公式即可求出圆心角的度数．【详解】解：∵扇形的半径为4，弧长为2π，∴4 2180nππ⨯=解得：90n=，即其圆心角度数是90︒故选C．【点睛】此题考查的是根据弧长和半径求圆心角的度数，掌握弧长公式是解决此题的关键．8．D解析：D【解析】试题分析：2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．解：2012年的产量为100（1+x），2013年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2，即所列的方程为100（1+x）2=144，故选D．点评：考查列一元二次方程；得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键．9．B解析：B【解析】【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，x＝0或x﹣3＝0，x1＝0，x2＝3．故选：B．【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．10．D解析：D【解析】【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2，∴这两个三角形们的面积比为1：4，故选：D．【点睛】此题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解决此题的关键．11．D解析：D【解析】【分析】由于有13名同学参加歌咏比赛，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小．【详解】共有13名学生参加比赛，取前6名，所以小红需要知道自己的成绩是否进入前六．我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，所以小红知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．故选D．【点睛】本题考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．12．B解析：B【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．【详解】设另一根为m，则1•m=2，解得m=2．故选B．【点睛】考查了一元二次方程根与系数的关系．根与系数的关系为：x1+x2=-ba，x1•x2=ca．要求熟练运用此公式解题．13．B解析：B【解析】【分析】根据点E 为BC 中点和正方形的性质，得出∠BAE 的正切值，从而判断①，再证明△ABE ∽△ECF ，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得△ABE ∽△AEF ，可判断②③，过点E 作AF 的垂线于点G ，再证明△ABE ≌△AGE ，△ECF ≌△EGF ，即可证明④.【详解】解：∵E 是BC 的中点，∴tan ∠BAE=1=2BE AB ， ∴∠BAE ≠30°，故①错误；∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD ，∵AE ⊥EF ，∴∠AEF=∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+FEC=90°，∴∠BAE=∠CEF ，在△BAE 和△CEF 中，==B C BAE CEF ∠∠⎧⎨∠∠⎩， ∴△BAE ∽△CEF ， ∴==2AB BE EC CF， ∴BE=CE=2CF ， ∵BE=CF=12BC=12CD ， 即2CF=12CD ， ∴CF=14CD ， 故③错误；设CF=a ，则BE=CE=2a ，AB=CD=AD=4a ，DF=3a ，∴AE=，，AF=5a ，∴=5AE AF ，=5BE EF ，∴=AE BEAF EF，又∵∠B=∠AEF，∴△ABE∽△AEF，∴∠AEB=∠AFE，∠BAE=∠EAG，又∵∠AEB=∠EFC，∴∠AFE=∠EFC，∴射线FE是∠AFC的角平分线，故②正确；过点E作AF的垂线于点G，在△ABE和△AGE中，===BAE GAEB AGEAE AE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ABE≌△AGE（AAS），∴AG=AB，GE=BE=CE，在Rt△EFG和Rt△EFC中，==GE CEEF EF⎧⎨⎩，Rt△EFG≌Rt△EFC（HL），∴GF=CF，∴AB+CF=AG+GF=AF，故④正确.故选B.【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定和性质，以及正方形的性质．题目综合性较强，注意数形结合思想的应用．14．D解析：D【解析】【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【详解】解：A 、原方程为二元一次方程，不符合题意；B 、原式方程为二元二次方程，不符合题意；C 、原式为分式方程，不符合题意；D 、原式为一元二次方程，符合题意，故选：D ．【点睛】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义.15．D解析：D【解析】【分析】先根据抛物线与二次函数23y x =-的图像相同，开口方向相同，确定出二次项系数a 的值，然后再通过顶点坐标即可得出抛物线的表达式．【详解】∵抛物线与二次函数23y x =-的图像相同，开口方向相同， 3a ∴=-∵顶点坐标为(1,3)-∴抛物线的表达式为23(1)3y x =-++故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的顶点式，掌握二次函数表达式中的顶点式是解题的关键． 二、填空题16．a ＞0．【解析】试题分析：∵方程没有实数根，∴△=﹣4a ＜0，解得：a ＞0，故答案为a ＞0． 考点：根的判别式．解析：a ＞0．【解析】试题分析：∵方程20x a +=没有实数根，∴△=﹣4a ＜0，解得：a ＞0，故答案为a ＞0． 考点：根的判别式．17．【解析】试题分析：连接BC ，∴∠D=∠A ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=3×2=6，AC=2，∴cosD=cosA===．故答案为．考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形解析：1 3【解析】试题分析：连接BC，∴∠D=∠A，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=3×2=6，AC=2，∴cosD=cosA=ACAB=26=13．故答案为13．考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．18．x1＝3，x2＝﹣3．【解析】【分析】先移项，在两边开方即可得出答案．【详解】∵∴=9，∴x=±3，即x1＝3，x2＝﹣3，故答案为x1＝3，x2＝﹣3．【点睛】本题考查了解一解析：x1＝3，x2＝﹣3．【解析】【分析】先移项，在两边开方即可得出答案．【详解】∵290x-=∴2x=9，∴x=±3，即x1＝3，x2＝﹣3，故答案为x1＝3，x2＝﹣3．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键. 19．24π【解析】【分析】利用圆锥的母线长和圆锥的高求得圆锥的底面半径，表面积＝底面积＋侧面积＝π×底面半径2＋底面周长×母线长÷2．【详解】解：∵圆锥母线长为5cm，圆锥的高为4cm，∴底解析：24π【解析】【分析】利用圆锥的母线长和圆锥的高求得圆锥的底面半径，表面积＝底面积＋侧面积＝π×底面半径2＋底面周长×母线长÷2．【详解】解：∵圆锥母线长为5cm，圆锥的高为4cm，∴底面圆的半径为3，则底面周长＝6π，∴侧面面积＝12×6π×5＝15π；∴底面积为＝9π，∴全面积为：15π＋9π＝24π．故答案为24π．【点睛】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．20．红【解析】【分析】哪一种颜色多，指针指向那种颜色的可能性就大．【详解】∵转盘分成6个大小相同的扇形，红色的有3块，∴转动一次转盘后，指针指向红颜色的可能性大．故答案为：红．【点睛】解析：红【解析】【分析】哪一种颜色多，指针指向那种颜色的可能性就大．【详解】∵转盘分成6个大小相同的扇形，红色的有3块，∴转动一次转盘后，指针指向红颜色的可能性大．故答案为：红．【点睛】本题考查了可能性大小的知识，解题的关键是看清那种颜色的最多，难度不大． 21．200【解析】【分析】要求飞机从滑行到停止的路程就，即求出函数的最大值即可.【详解】解：所以当t=20时，该函数有最大值200.故答案为200.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用解析：200【解析】【分析】要求飞机从滑行到停止的路程就，即求出函数的最大值即可.【详解】解：()()222200.50.5404002000.520200s t t t t t =-=--++=--+ 所以当t=20时，该函数有最大值200.故答案为200.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法，即公式法或配方法是解题关键.22．【解析】【分析】根据条件可知a 与b 的数量关系，然后代入原式即可求出答案．【详解】∵＝，∴b=a,∴=,故答案为：.【点睛】本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．解析：5 3【解析】【分析】根据条件可知a与b的数量关系，然后代入原式即可求出答案．【详解】∵a bb-＝23，∴b=35a,∴ab=5335aa=,故答案为：53.【点睛】本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．23．【解析】分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．详解：连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为2，△AB解析：22【解析】分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB 的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．详解：连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴2，故答案为：点睛：本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．24．6【解析】【分析】现将函数解析式配方得，即可得到答案.【详解】，∴当t=1时，h 有最大值6.故答案为：6.【点睛】此题考查最值问题，确定最值时需现将函数解析式配方为顶点式，再根据开 解析：6【解析】【分析】现将函数解析式配方得221266(1)6h tt t =--=+﹣，即可得到答案. 【详解】 221266(1)6h t t t =--=+﹣，∴当t=1时，h 有最大值6.故答案为：6.【点睛】此题考查最值问题，确定最值时需现将函数解析式配方为顶点式，再根据开口方向确定最值.25．3或9 或或【解析】【分析】先根据圆周角定理及正弦定理得到BC=8，再根据勾股定理求出AC=6，再分情况讨论，从而求出AE.【详解】∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB=90，∵sin ∠C解析：3或9 或23或343【解析】【分析】 先根据圆周角定理及正弦定理得到BC=8，再根据勾股定理求出AC=6，再分情况讨论，从而求出AE.【详解】∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB=90︒，∵sin ∠CAB=45， ∴45BC AB =, ∵AB=10，∴BC=8， ∴22221086AC AB BC =-=-=,∵点D 为BC 的中点,∴CD=4.∵∠ACB=∠DCE=90︒, ①当∠CDE 1=∠ABC 时，△ACB ∽△E 1CD,如图∴1AC BC CE CD =，即1684CE =， ∴CE 1=3，∵点E 1在射线AC 上，∴AE 1=6+3=9，同理：AE 2=6-3=3.②当∠CE 3D=∠ABC 时，△ABC ∽△DE 3C ，如图∴3AC BC CD CE =，即3684CE =， ∴CE 3=163， ∴AE 3=6+163=343, 同理：AE 4=6-163=23.故答案为：3或9 或23或343.【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，当三角形的相似关系不是用相似符号连接时，一定要分情况来确定两个三角形的对应关系，这是解此题容易错误的地方.26．40°【解析】：在△QOC中，OC=OQ，∴∠OQC=∠OCQ，在△OPQ中，QP=QO，∴∠QOP=∠QPO，又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠解析：40°【解析】：在△QOC中，OC=OQ，∴∠OQC=∠OCQ，在△OPQ中，QP=QO，∴∠QOP=∠QPO，又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，∴3∠OCP=120°，∴∠OCP=40°27．60π【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC的长度，然后利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵它的底面半径OB＝6cm，高OC＝8cm．∴BC＝＝10（cm），∴圆锥的侧面积是：（解析：60π【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC的长度，然后利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵它的底面半径OB＝6cm，高OC＝8cm．∴BC=＝10（cm），∴圆锥的侧面积是：12610602r l rlππππ⋅⋅==⋅⨯=（cm2）．故答案为：60π．【点睛】本题主要考查勾股定理及扇形的面积公式，掌握勾股定理及扇形的面积公式是解题的关键．28．2【解析】【分析】连接OA，先根据垂径定理求出AO的长，再设ON=OA，则MN=ON-OM即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接OA，∵半径交于点，是的中点，∴AM=BM==4解析：2【解析】【分析】连接OA，先根据垂径定理求出AO的长，再设ON=OA，则MN=ON-OM即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接OA，∵半径ON交AB于点M，M是AB的中点，∴AM=BM=12AB=4,∠AMO=90°，∴在Rt△AMO中22OMAM+∵ON=OA，∴MN=ON-OM=5-3=2.故答案为2.【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．29．【解析】【分析】如图，过点D作DF⊥BC于F，由“SAS”可证△ACQ≌△BCP，可得AQ＝BP，∠CAQ＝∠CBP，由直角三角形的性质和勾股定理可求BD的长，由锐角三角函数可求BP的长，由相解析：67 7【解析】【分析】如图，过点D作DF⊥BC于F，由“SAS”可证△ACQ≌△BCP，可得AQ＝BP，∠CAQ＝∠CBP，由直角三角形的性质和勾股定理可求BD的长，由锐角三角函数可求BP的长，由相似三角形的性质可求AE的长，即可求解．【详解】如图，过点D作DF⊥BC于F，∵△ABC，△PQC是等边三角形，∴BC＝AC，PC＝CQ，∠BCA＝∠PCQ＝60°，∴∠BCP＝∠ACQ，且AC＝BC，CQ＝PC，∴△ACQ≌△BCP（SAS）∴AQ＝BP，∠CAQ＝∠CBP，∵AC＝6，AD＝2，∴CD＝4，∵∠ACB＝60°，DF⊥BC，∴∠CDF＝30°，∴CF＝12CD＝2，DF＝CF÷tan30°3＝3∴BF＝4，∴BD22DF BF+1612+7，∵△CPQ是等边三角形，∴S △CPQ ＝4CP 2， ∴当CP ⊥BD 时，△CPQ 面积最小，∴cos ∠CBD ＝BP BF BC BD =， ∴6BP =，∴BP ，∴AQ ＝BP ＝7， ∵∠CAQ ＝∠CBP ，∠ADE ＝∠BDC ，∴△ADE ∽△BDC ， ∴AE AD BC BD=， ∴6AE =，∴AE ＝7，∴QE ＝AQ−AE ＝7．． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，求出BP 的长是本题的关键．30．【解析】【分析】先在CB 上取一点F ，使得CF=，再连接PF 、AF ，然后利用相似三角形的性质和勾股定理求出AF ，即可解答．【详解】解：如图：在CB 上取一点F ，使得CF=，再连接PF 、AF ，解析：2【解析】【分析】先在CB上取一点F，使得CF=12，再连接PF、AF，然后利用相似三角形的性质和勾股定理求出AF，即可解答．【详解】解：如图：在CB上取一点F，使得CF=12，再连接PF、AF，∵∠DCE=90°，DE=4，DP=PE，∴PC=12DE=2，∵14CFCP=，14CPCB=∴CF CP CP CB=又∵∠PCF=∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴14 PF CFPB CP==∴PA+14PB=PA+PF，∵PA+PF≥AF，AF=22221145622 CF AC⎛⎫+=+=⎪⎝⎭∴PA+14PB ≥.1452∴PA+14PB的最小值为1452，故答案为145．【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，正确添加常用辅助线、构造相似三角形是解答本题的关键．三、解答题31．（1）17x =-，21x =；（2）31-【解析】【分析】(1)利用求根公式法解方程即可(2)第一、四项利用特殊角的三角函数值计算，第二项化为最简二次根式，第三项利用零指数幂法则计算，【详解】解：(1)()2641764=-⨯⨯-= ∴66468x 34212-±-±===-±⨯ ∴17x =-，21x =(2)原式23342211=⨯-+-=- 【点睛】本题考查的知识点有解一元二次方程和实数的运算，熟记求根公式和特殊角的三角函数值是解此题的关键.32．（1）30°；（2）33【解析】【分析】（1）由题意证明△CDE ≌△COE ，从而得到△OCD 是等边三角形，然后利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解；（2）由垂径定理求得AE=12AC=3，然后利用30°角的正切值求得DE=3，然后根据题意求得OD=2DE=23，直径BD=2OD=43，从而使问题得解.【详解】解：连接OA,OC∵弦AC 垂直平分OD∴DE=OE ，∠DEC=∠OEC=90°又∵CE=CE∴△CDE ≌△COE∴CD=OC又∵OC=OD∴CD=OC=OD∴△OCD 是等边三角形∴∠DOC=60°∴∠DAC =30°（2）∵弦AC 垂直平分OD∴AE=12AC=3 又∵由（1）可知，在Rt △DAE 中，∠DAC =30°∴tan 30DE AE =，即3DE =∴∵弦AC 垂直平分OD∴∴直径∴-【点睛】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质及锐角三角函数，掌握相关定理正确进行推理判断是本题的解题关键.33．(1)当t 为52秒时，S 最大值为185；（2）2013； （3）52或2513或4013． 【解析】【分析】（1）过点P 作PH ⊥AC 于H ，由△APH ∽△ABC ，得出=PH AP BC AB，从而求出AB ，再根据535PH t -，得出PH=3﹣35t ，则△AQP 的面积为：12AQ•PH=12t （3﹣35t ），最后进行整理即可得出答案；（2）连接PP′交QC 于E ，当四边形PQP′C 为菱形时，得出△APE ∽△ABC ，=AE AP AC AB ，求出AE=﹣45t+4，再根据QE=AE ﹣AQ ，QE=12QC 得出﹣95t+4=﹣12t+2，再求t 即可； （3）由（1）知，PD=﹣35t+3，与（2）同理得：QD=﹣95t+4，从而求出△APQ 中，分三种情况讨论：①当AQ=AP ，即t=5﹣t ，②当PQ=AQ ，③当PQ=AP ﹣t ，再分别计算即可．【详解】解：（1）如图甲，过点P 作PH ⊥AC 于H ，∵∠C=90°，∴AC ⊥BC ，∴PH ∥BC ，∴△APH ∽△ABC ， ∴=PH AP BC AB， ∵AC=4cm ，BC=3cm ，∴AB=5cm ， ∴5=35PH t -， ∴PH=3﹣35t ， ∴△AQP 的面积为： S=12×AQ×PH=12×t×（3﹣35t ）=﹣310（t ﹣52）2+185， ∴当t 为52秒时，S 最大值为185cm2． （2）如图乙，连接PP′，PP′交QC 于E ，当四边形PQP′C 为菱形时，PE 垂直平分QC ，即PE ⊥AC ，QE=EC ， ∴△APE ∽△ABC ， ∴=AE AP AC AB， ∴AE=(5)4=5AP AC t AB ⋅-⨯=﹣45t+4 QE=AE ﹣AQ ═﹣45t+4﹣t=﹣95t+4， QE=12QC=12（4﹣t ）=﹣12t+2， ∴﹣95t+4=﹣12t+2， 解得：t=2013，∵0＜2013＜4， ∴当四边形PQP′C 为菱形时，t 的值是2013s ； （3）由（1）知，PD=﹣35t+3，与（2）同理得：QD=AD ﹣AQ=﹣95t+4 ∴PQ=222239=3455PD QD t t ⎛⎫⎛⎫+-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=218t 18t 255-+， 在△APQ 中，①当AQ=AP ，即t=5﹣t 时，解得：t 1=52； ②当PQ=AQ ，即218t 18t 255-+=t 时，解得：t 2=2513，t 3=5； ③当PQ=AP ，即218t 18t 255-+=5﹣t 时，解得：t 4=0，t 5=4013； ∵0＜t ＜4，∴t 3=5，t 4=0不合题意，舍去，∴当t 为52s 或2513s 或4013s 时，△APQ 是等腰三角形．【点睛】本题考查相似形综合题．34．（1）见解析（2）33193）53或163或3【解析】 【分析】 （1）根据已知中相似对角线的定义，只要证明△AEF ∽△ECF 即可；（2）AC 是四边形ABCD 的相似对角线，分两种情形：△ACB ~△ACD 或△ACB ~△ADC ，分别求解即可；（3）分三种情况①当△AEF 和△CEF 关于EF 对称时，EF 是四边形AECF 的相似对角线．②取AD 中点F ，连接CF ，将△CFD 沿CF 翻折得到△CFD′，延长CD′交AB 于E ，则可得出 EF 是四边形AECF 的相似对角线．③取AB 的中点E ，连接CE ，作EF ⊥AD 于F ，延长CB 交FE 的延长线于M ，则可证出EF 是四边形AECF 的相似对角线．此时BE=3；【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD=4，∵E 为AD 的中点，1AF=，∴AE=DE=2， 12∴==AF AE DE CD ∵∠A=∠D=90°，∴△AEF ∽△DCE ，∴∠AEF=∠DCE ，12==EF AF CE DE ∵∠DCE+∠CED=90°，∴∠AEF+∠CED=90°，∴∠FEC=∠A=90°， 12==AF EF AE EC ∴△AEF ∽△ECF ，∴EF 为四边形AECF 的相似对角线．（2）∵AC 平分BAD ∠，∴∠BAC=∠DAC =60°∵AC 是四边形ABCD 的相似对角线，∴△ACB ~△ACD 或△ACB ~△ADC①如图2，当△ACB ~△ACD 时，此时，△ACB ≌△ACD∴AB=AD=3，BC=CD ，。
江苏省无锡市锡山区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)
2023－2024学年秋学期期末调研试卷初三数学（考试时间：120分钟，总分：150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．）1．cos 60°的值等于（ ）A B C D ．122．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）A ．86x y +=B ．(2)0x x -=C ．18x x -=D ．20ax bx c ++=3．已知一组数据：7，10，18，20，20，这组数据的众数和平均数分别是（ ）A ．20，15B ．20，20C ．15，15D ．18，154．一元二次方程22430x x -+=根的情况是（ ）A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根5．已知O e 的半径是5，若3OA =，则点A 与O e 的位置关系是（ ）A ．点A 在圆内B ．点A 在圆上C ．点A 在圆外D ．无法确定6．如图，在ABC V 中，DE BC ∥，13AD AB =，若ADE V 的周长为6，则ABC V 的周长为（ ）A ．12B ．18C ．24D ．267．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程得（ ）A ．()2100164x -=B ．()2100164x +=C ．()1001264x -=D ．()1001264x +=8．如图摆放的两个正六边形的顶点A ，B ，C ，D 在同一个圆上．若4AB =，则该圆的半径为（ ）A ．6B ．8C ．D ．9．二次函数 ()20y ax bx c a =++¹的部分图像如图所示，其对称轴为直线1x =-，与x 轴的一个交点坐标为()20，．下列结论：①0abc ＞；②80a c +=；③2a b =；④当函数值0y <时，自变量x 的取值范围是42x -<<．其中正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④10．正方形ABCD ，BEFG 如图放置，6AB =，AG ，CE 相交于点P ，Q 为AD 边上一点，且:1:2DQ AQ =，则PQ 的最大值为（ ）A ．B ．C ．7D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．）11．若α为锐角，且tanα=1，则α= 度12．在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为38，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是 ．13．将二次函数 22y x = 的图像向下平移3个单位长度，得到函数图象的表达式是 ．14．如图，D 为ABC V 外接O e 上一点，连接BD 、CD ，已知48DCB Ð=°，AB 是O e 的直径，则ABD Ð的度数为 °．15．已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，该圆锥的侧面积为 ．16．如图，O e 分别切ABC Ð的两边AB ，BC 于点D ，E ，点F 在O e 上．若70ABC Ð=°，则F Ð的度数为 °．17．请写出一个二次函数的表达式，使它满足以下两个条件：①图像经过原点；②函数的最大值为2．18．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，4=AD ．点E 是AB 上的动点，点F 是线段AE 上的点，且3EF AF =，DE ，CF 相交于点P ，则DP 的最大值为 ，最小值为 ．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．解方程：(1)2(2)9x -= ；(2)2450x x +-=．20．已知关于x 的方程：2230x kx k -+-=．(1)若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根；(2)证明：无论k 取何值，该方程总有实数根．21．如图，Rt ABC △中，90B Ð=°，点D 在边AC 上，且DE AC ^交BC 于点E ．(1)求证：CDE CBA V V ∽；(2)若35AB AC ==，，E 是BC 中点，求DE 的长．22．随着中考临近，某校九年级学生小刚和小明决定从试题库中提供的三套数学试题（依次记为A 、B 、C ）中，随机抽取一套试题进行模拟测试．(1)小刚从这三套试题中随机抽取一套，恰好抽到A 试题的概率为 ；(2)小刚和小明各自从这三套试题中随机抽取一套，且所抽取的试题互不影响，求他们抽取到同一套试题的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）23．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m 名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题．(1)m = _______，n = _______；(2)请补全条形统计图；(3)若该公司新招聘400名毕业生，请你估计“总线”专业的毕业生约有多少名？24．如图，在平面直角坐标系中，线段AB 交x 轴于点D ，请在x 轴上找一点 C （点C 在点D 的左侧），使30BAC Ð=°．(1)利用无刻度的直尺和圆规在图中作出符合条件的点C ；（不写作法，保留作图痕迹）(2)若点A 的坐标为()1,3，点 B 的坐标为()5,1-，连接BC ，则ABC V 的面积为 ．25．如图，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，且AC BD ^，垂足为E AB DB F =，，为DC 延长线上一点．(1)求证：BC 平分ACF Ð；(2)若32BE DE ==，，求AE 和O e 的半径长．26．某商场出售一种衣服，进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件：每降价1元，每星期可多卖出20件．(1)求每件衣服涨价多少元时，商场的利润为6250元；(2)若采取降价的方式出售，每星期能否达到6250元的利润？若能，请求出每件降价多少元：若不能，请说明理由．27．如图，在矩形ABCD 中，12AB =，7AD =，点E 为AD 边上的一点，且2AE =，点F 为线段AB 上的动点，设AF x =．现将AEF △沿EF 翻折得到A EF ¢△，过点F 作PF AB ^交EA ¢的延长线于点P ．(1)当x ＝ 时，点P 落在CD 边上；(2)设PF 的长为y ，求y 关于x 的函数表达式；(3)PA F ¢V 与矩形ABCD 的重叠部分面积为S ，求S 关于x 的函数表达式．28．已知二次函数()2240y ax ax a =+->的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且3OA OB =．(1)求该二次函数的表达式；(2)连接AC ，作BAC Ð的角平分线交抛物线于点D ，求点D 的坐标；(3)在（2）的情况下，若点E 为抛物线的顶点，作直线OE ，将抛物线沿直线OE 平移，点E 平移后的对应点为F ，过点D 作x 轴的垂线与平移后的抛物线交于点G ．在平移过程中，是否存在这样的点F ，使得由三个点D 、G 、F 构成的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】根据特殊角的三角函数值可得答案．【详解】解：1cos 602°=，故选D ．【点睛】本题主要考查了三角函数值的求解，准确计算是解题的关键．2．B【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程．通过定义判断即可．【详解】解：A ．86x y +=不符合一元二次方程的定义，故A 不符合题意；B ．(2)0x x -=即220x x -=，符合一元二次方程的定义，故B 符合题意；C ．18x x-=等式左边含有分式，不是一元二次方程，故C 不符合题意；D ．20ax bx c ++=中应该0a ¹才是一元二次方程，故D 不符合题意．故选：B ．3．A【分析】本题考查了众数和平均数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．根据平均数和众数的概念求解．【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：7，10，18，20，20，则众数为：20，平均数为：710182020155++++=．故选：A ．4．D【分析】根据根的判别式计算判断即可．【详解】∵22430x x -+=，∴()2Δ44230=--´´<，故方程没有实数根，故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键．【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设O e 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP d =，则有：①点P 在圆外⇔ d r >；②点P 在圆上⇔ d r =；③点P 在圆内⇔ d r <．根据O e 的半径是5，3OA =知d r <，据此可得答案．【详解】解：∵O e 的半径是5，3OA =，∴d r <，∴点A 在O e 内，故选：A ．6．B【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形周长比等于相似比是解决此题的关键．首先证明ADE ABC △△∽，然后结合题意，利用相似三角形的周长比等于相似比即可解决问题即可．【详解】解：∵DE BC ∥，∴ADE B Ð=Ð，AED C Ð=Ð，∴ADE ABC △△∽，∵13AD AB =，且ADE V 的周长为6，∴13ADE AD ABC AB ==V V 周长周长，∴ABC V 周长3618=´=．故选：B ．7．A【分析】根据每次降价的百分率相同，得到第一次降价后为()1001x -元，第二次降价后为()21001x -，再结合题意解题即可．【详解】解：根据题意，设平均每次降价的百分率为x ，可列方程()2100164x -=故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用增长率问题，是重要考点，难度较易，掌握相关是解题关键．8．C【分析】此题考查的是正多边形和垂径定理，由正六边形的性质可得60GEF Ð=°，30FGE Ð=°再根据勾股定理可得答案，正确作出图形及辅助线是解决此题的关键．【详解】解：如图，设圆的圆心为点O ，即点O 为正六边形边的中点，连接BG ，过E 作EF BG ^于点F ，∴2GO =，∵正六边形的每个内角都为120°，∴60GEF Ð=°，30FGE Ð=°，在Rt EFG △中，4EG =，∴2EF =，∴FG ===，∴BG =∴OB ===∴该圆的半径为故选：C ．9．C【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．根据所给函数图象得出a b c ，，的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题．【详解】解：由所给函数图象可知，000a b c >><，，，所以0abc <．故①错误．因为抛物线的对称轴为直线1x =-，所以12b a-=-，则2b a=因为抛物线与x 轴的一个交点坐标为()20，，所以420a b c ++=，则4220a a c +´+=，即80a c +=．故②正确．由上述过程可知，2b a =，即12a b =，故③错误．因为抛物线的对称轴为直线1x =-，且与x 轴的一个交点坐标为()20，，所以抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为()40-，．又因为抛物线的开口向上，所以当42x -<<时，函数图象在x 轴下方，即0y <．所以当函数值0y <时，自变量x 的取值范围是42x -<<．故④正确．故选：C ．10．B【分析】如图，连接AC ，取AC 的中点O ，连接OQ ，延长AD 至E ，使2DE =，连接CE ，OP ，利用等腰直角三角形性质可得AC ==，由:1:2DQ AQ =，可得2DQ =，4AQ =，利用勾股定理可得CE =OQ =()SAS ABG CBE V V ≌，进而得出OP 是ACE △的中线，即OP =PQ OP OQ £+=【详解】解：如图，连接AC ，取AC 的中点O ，连接OQ ，延长AD 至E ，使2DE =，连接CE ，OP ，∵四边形ABCD 、BEFG 是正方形，6AB =，∴6AD CD AB BC ====，BG BE =，90ADC ABC CBE Ð=Ð=Ð=°，∴AC ==∵:1:2DQ AQ =， ∴123DQ AD ==，243AQ AD ==， ∴224QE DQ DE =+=+=，∴AQ QE =，即Q 是AE 的中点，又∵点O 是AC 的中点， ∴12OQ CE =， ∵90CDE Ð=°，∴CE ===∴12OQ CE == 在ABG V 和CBE △中，90AB BC ABC CBE BG BE =ìïÐ=Ð=°íï=î，∴()SAS ABG CBE V V ≌，∴BAG BCE Ð=Ð，∵90BCE CEB Ð+Ð=°，∴90BAG CEB Ð+Ð=°，∴90APC BAG CEB Ð=Ð+Ð=°，∵点O 是AC 的中点，∴12OP AC ==，在OPQ △中，PQ OP OQ £+=∴PQ 的最大值为，故选：B ．【点睛】本题考查了正方形性质，直角三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等，熟练运用三角形中位线定理和全等三角形的判定和性质是解题关键．11．45【分析】根据α为锐角，且tanα=1，即可求出α的度数．【详解】∵a 为锐角，且tanα=1，∴α=45，故答案为：45．【点睛】本题主要考查了特殊锐角三角函数值，解题的关键是熟记特殊角度的三角函数值．12．6【详解】分析：直接利用摸到黄色乒乓球的概率为38，利用总数乘以概率即可得出该盒子中装有黄色乒乓球的个数．详解：∵装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为38，∴该盒子中装有黄色乒乓球的个数是：16×38=6．故答案为6．点睛：此题主要考查了概率公式，正确利用摸到黄色乒乓球的概率求出黄球个数是解题关键．13．223y x =-【分析】本题考查二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键．【详解】解：由“上加下减”原则得到：将二次函数22y x =的图象向下平移3个单位长度，所得的函数表达式为223y x =-．故答案为：223y x =-．14．42【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，先证明90ACB Ð=°，可得904842ACD Ð=°-°=°，从而可得答案，熟记圆周角定理的含义是解本题的关键．【详解】解：∵AB 是O e 的直径，∴90ACB Ð=°，∵48DCB Ð=°，∴904842ACD Ð=°-°=°，∵ AD AD =，∴42ABD ACD Ð=Ð=°；故答案为：4215．12p【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥的侧面积公式：S rl p =侧计算即可【详解】解∶3412S rl p p p ==´´=侧，故答案为：12p ．16．55【分析】本题主要考查对切线的性质，四边形内角和定理，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．连接OE ，OD ，证明90BDO BEO Ð=Ð=°，可得110DOE Ð=°，再结合圆周角定理可得答案．【详解】解：如图，连接OE ，OD ，∵O e 分别切ABC Ð的两边AB ，BC 于点D ，E ，70ABC Ð=°，∴90BDO BEO Ð=Ð=°，∴360909070110DOE Ð=°-°-°-°=°，∵ DE DE =，∴1552F DOE Ð=Ð=°，故答案为：5517．224y x x =-+（答案不唯一）【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，设函数为2y ax bx c =++，由图像过原点，从而0c =，再由函数有最大值2，可知2024b a a-<=，，进而可以得解．【详解】解：由题意，设函数为2y ax bx c =++，∵图像过原点，∴0c =．又函数有最大值2，∴2024b a a-<=，∴若取2a =-，则b 可取4．综上，函数的表达式可以是224y x x=-+故答案为：224y x x =-+（答案不唯一）．18． 【分析】设AF x =，可得3EF x =，4AE x =，由矩形性质可得AB CD ∥，推出PCD PFE V V ∽，求得22PD DE x =+，由勾股定理可得DE ==，推出PD =，令2x t +=，则2x t =-，得出PD =，即可求得答案．【详解】解：设AF x =， ∵3EF AF =，∴3EF x =，∴34AE AF EF x x x =+=+=，∵四边形ABCD 是矩形，6AB =，4=AD ，∴AB CD ∥，6AB CD ==，4AD BC ==，90A B Ð=Ð=°，∴PCD PFE V V ∽，PD CD PE EF \=，即63PD DE PD x=-，∴22PD DE x =+，在Rt ADE V 中，DE ===∴PD =令2x t +=，则2x t =-，∴PD ===，∵06AE <£，即046x <£，∴302x <£，∴3022t <-£，即722t <£，∴当72t =时，即32x =时，PD 取得最大值，最大值为：=；当52=t 时，即x =PD 取得最小值，．【点睛】本题考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质等，熟练运用相似三角形性质和二次函数的性质是解题关键．19．(1)15x =，21x =-；(2)11x =，25x =-．【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．（1）利用直接开平方法解方程即可；（2）把方程左边分解因式，再化为两个一次方程求解即可．【详解】（1）解：2(2)9x -=，∴23x -=±，解得：15x =，21x =-；（2）2450x x +-=，∴()()150x x -+=，∴10x -=或50x +=，解得：11x =，25x =-．20．(1)该方程的另一个根为12(2)证明见解析【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念，根的判别式及根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键．（1）把2x =代入方程中得到关于k 的一元一次方程，解方程求出k 的值，再把k 的值代入原方程求出原方程的解即可；（2）根据根的判别式进行判断即可．【详解】（1）解：∵方程有一个根是2，∴222230k k ´-+-=解得：5k =．∴原方程为：22520x x -+=．设另一根为m ，则21m =，解得12m =．∴该方程的另一个根为12；（2）∵()()2Δ423k k =--´-2824k k =-+()2480k =-+>，∴无论k 取何值，该方程总有实数根．21．(1)见解析(2)65【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关定理内容是解题关键．（1）由90DE AC B ^Ð=°，可得出CDE B Ð=Ð，再结合公共角相等，即可证出CDE CBA V V ∽；（2）在Rt ABC △中，利用勾股定理可求出BC 的长，结合点E 为线段BC 的中点可求出CE 的长，再利用相似三角形的性质，即可求出DE 的长．【详解】（1）证明：∵90DE AC B ^Ð=°，，∴90CDE B Ð=°=Ð．又∵C C Ð=Ð，∴CDE CBA V V ∽．（2）解：在Rt ABC △中，90B Ð=°，35AB AC ==，，∴BC 4==∵E 是BC 中点，∴122CE BC ==∵CDE CBA V V ∽，∴DE CE BA CA =，即：235DE =解得：DE =6522．(1)13(2)13【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．（1）直接利用概率公式可得答案．（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及他们抽取到同一套试题的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】（1）解：由题意得，小刚从这三套试题中随机抽取一套，恰好抽到A 试题的概率为13．故答案为：13．（2）解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中他们抽取到同一套试题的结果有3种，∴他们抽取到同一套试题的概率为3193=．23．(1)50，10(2)见详解(3)120名【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的相关知识．（1）由“总线”人数及其所占百分比可得m 的值，用测试的人数除以总人数可得n 的值； （2）先求出硬件的人数，即补全条形统计图；（3）用总人数乘以样本中“总线”所占百分比即可．【详解】（1）解：1530%50m =¸=，%550100%10%n =¸´=，故答案为：50，10（2）解：硬件的人数有：501015520---=名，补全条形统计图如下：（3）40030%120´=名答：“总线”专业的毕业生约有120名．24．(1)画图见解析(2)6-【分析】（1）以AB 为直径作圆，再在圆上取点E ，使得12BE AB =，连接AE 交x 轴于点C ，点C 即为所求； （2）过A 作AF OD ^于F ，过B 作BH x ^轴于H ，证明AFD BHD V V ∽， 可得3DF =，1DH =，求解AB =， AE ==， 设CQ x =， 而45ADF Ð=°，可得QD CQ x ==，AQ =， 求解x =【详解】（1）解：以AB 为直径作圆，再在圆上取点E ，使得12BE AB =，连接AE 交x 轴于点C ，点C 即为所求；（2）过A 作AF OD ^于F ，过B 作BH x ^轴于H ，∴AF BH ∥，∵A 的坐标为()1,3，点B 的坐标为()5,1-，∴3AF =，1OF =，1BH =，5OH =，∴4FH =，过C 作CQ AB ^于Q ，∵AF BH ∥，∴AFD BHD V V ∽，∴AF FD BH DH=， ∴3DF =，1DH =，∴AF DF =，=AD BD = ，∴AB = 45ADF Ð=°，∴12EB AB ==∴AE ==，设CQ x =， 而45ADF Ð=°，∴QD CQ x ==，AQ =，∵AQ QD AD +=x +=解得：x =∴ABC V 的面积为：11622AB CQ ×=´=-．【点睛】本题考查了复杂作图，掌握勾股定理、直角三角形的性质及相似三角形的性质是解题的关键．25．(2)r =【分析】本题考查的是圆周角定理，垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．（1）先根据AB DB =得出ADB BAD Ð=Ð，再由圆周角定理得出ADB ACB Ð=Ð，由圆内接四边形的性质可得出BCF BAD Ð=Ð，故ACB BCF Ð=Ð，据此得出结论；（2）根据32BE DE ==，可得出BD 的长，故可得出AB 的长，在Rt ABE △中，利用勾股定理求出AE 的长，同理可得出AD 的长，连接BO 并延长交O e 于点M ，交线段AD 于点N ，连接OD ，由垂径定理得出BM AD ^，故点N 是AD 的中点，利用勾股定理求出BN 的长，设O e 的半径为r ，在Rt ODN V 中利用勾股定理求出r 的值即可．【详解】（1）证明：∵AB DB =，∴ADB BAD Ð=Ð，∵ADB Ð与ACB Ð是同弧所对的圆周角，∴ADB ACB Ð=Ð，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴BCF BAD Ð=Ð，∴ACB BCF Ð=Ð，∴BC 平分ACF Ð；（2）解：∵32BE DE ==，，∴325BD =+=，∵AB DB =，∴5AB =，在Rt ABE △中，4AE ==在Rt ADE V 中，AD ==连接BO 并延长交O e 于点M ，交线段AD 于点N ，连接OD ，∵BM 是O e 的直径，∴BM 平分圆，∵AB DB =，∴ AB DB=，∴ AM DB=，∴点N 是AD 的中点，∴12BM AD DN AD ^==，，在Rt BDN △中，BN ==设O e 的半径为r ，则OD r ON OB r r==-=，在Rt ODN V 中，222+=DN ON OD ，即)222r r +-=解得r =26．(1)每件衣服涨价5元时，商场的利润为6250元(2)采用降价的方式出售，每星期不能达到6250元的利润，理由见解析【分析】（1）根据“总利润=单件利润×销售量”，列出方程，解方程即可；（2）根据“总利润=单件利润×销售量”，列出方程，解方程即可．【详解】（1）解：设每件衣服涨价x 元，根据题意得()()6040300106250x x -+-=，解得125x x ==，答：每件衣服涨价5元时，商场的利润为6250元；（2）解：不能，理由：设每件降价y 元，根据题意得()()6040300206250y y --+=，整理得2210250y y -+=，∴()21042251000D =--´´=-<，∴此方程为无实数根，∴采用降价的方式出售，每星期不能达到6250元的利润．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得出等量关系是解题的关键．27．(1)(2)2114y x =+(3)(()33211082570124x x x S x x x x ì-<£ïï=í-ï<£ï-î【分析】（1）由题意得：12AB =，7AD =，2AE =，AF x =，点P 落在CD 边上，90A D Ð=Ð=°，5DE =，由翻折可得：A F AF x ¢==，90EA F A ¢Ð°=Ð=，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；（2）过点P 作PG AD ^于G ，则90PGA A PFA Ð=Ð=Ð=°，根据矩形和翻折的性质可证得：FPA PEG ¢V V ≌，得出2EG y =-，再运用勾股定理即可求得y 关于x 的函数表达式；（3）分两种情况：当0x <£PA F ¢V 全部在矩形ABCD 内，PA F S S ¢=V ；当12x <£时，设CD 与PA F ¢V 边PF 、PA ¢分别交于点G 、H ，则PA F PGH S S S ¢=-V V ，即可求得答案．【详解】（1）解：如图，由题意得：在矩形ABCD 中，12AB =，7AD =，2AE =，AF x =，点P 落在CD 边上，∴90A D Ð=Ð=°，725DE =-=，∵PF AB ^，∴90AFP A D Ð=Ð=Ð=°，∴四边形ADPF 是矩形，∴7PF AD ==，DP AF x ==，∵将AEF △沿EF 翻折得到A EF ¢△，∴A F AF x ¢==，90EA F A ¢Ð°=Ð=，∵1122EFP S PF AF PE A F ¢=×=×V ，∴7PE PF ==，∵222DE DP PE +=，∴22257x +=，解得：x =±（负值舍去），∴x =（2）如图，过点P 作PG AD ^于G ，则90PGA A PFA Ð=Ð=Ð=°，∴四边形AFPG 是矩形，∴90EPG FPE Ð+Ð=°，PF AG =，PG AF =，由翻折得：A F AF ¢=，90EA F A ¢Ð°=Ð=，2AE A E ¢==，∴90FA P PGE ¢Ð=°=Ð，A F PG AF x ¢===，∵90PFA FPA ¢¢Ð+Ð=°，∴PFA EPG ¢Ð=Ð，∴()ASA FPA PEG ¢V V ≌，∴PA EG ¢=，PF PE =，∴GA PF PE y ===，∴2EG y =-，∵222EG PG PE +=，∴()2222y x y -+=，∴2114y x =+；（3）由（2）知：2114PF x =+，2114PA EG x ¢==-，AEF A EF ¢V V ≌，FPA PEG ¢V V ≌，∴122AEF A EF S S x x ¢==´=V V ，231111122482FPA PEG S S S x x x x ¢æö===+-=-ç÷èøV V ，当0x <£PA F ¢V △全部在矩形ABCD 内，PA F S S ¢=V ，∴31182FPA PEG S S S x x ¢===-V V ；当12x <£时，设CD 与PA F ¢V 边PF 、PA ¢分别交于点G 、H ，如图，则90PGH Ð=°，7FG AD ==，221117644PG PF FG x x =-=+-=-，∴90PA F PGH ¢Ð=Ð=°，∵P P Ð=Ð，∴PGH PA F ¢V V ∽，∴2222164114PGHPA F x S PG S PA x ¢æö-ç÷æö==ç÷ç÷èøçè¢÷-øV V ，∴22321611418214PGH x S x x x æö-ç÷æö=×-ç÷ç÷èøç÷-èøV ，∴2233322161111570418282414PA F PGH x x x S S S x x x x x x ¢æö-ç÷-æöæö=-=--×-=ç÷ç÷ç÷-èøèøç÷-èøV V ；综上所述，S 关于x的函数表达式为(()33211082570124x x x S x x x x ì-<£ïï=í-ï<£ï-î．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积，列二次函数关系式等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．28．(1)248433y x x =+-(2)529,816D æö-ç÷èø(3)8729,25616F æö--ç÷èø【分析】（1）设()1,0A x ，()2,0B x ，，根据根与系数的关系可得122x x +=-，再由123x x -=求出()3,0A -，()1,0B ，再将点A 或B 代入函数解析式即可求解；（2）设射线AD 与y 轴的交点为G 点，过点G 作GH AC ^交于H 点，在Rt CHGV 中，利用勾股定理求出32OG =，可知30,2G æö-ç÷èø，直线AG 的解析式为1322y x =--与抛物线的交点为D 点，从而可得答案；（3）设抛物线向右平移h 个单位长度，则向上平移 163h 个单位长度，E 点平移后16161,33F h h æö-+-+ç÷èø，平移后函数的解析式为()2416161333y x h h =+--+，25429,8316G h h æö+-ç÷èø，当90FDG Ð=°时，FD x ∥轴，求F 点坐标，当90DFG Ð=°时和90DGF Ð=°时，不成立．【详解】（1）解：设()1,0A x ，()2,0B x ，当2240ax ax +-=时，122x x +=-，∵3OA OB =，∴123x x -=，∴2220x -+=， 解得21x =，∴13x =-，∴()3,0A -，()1,0B ，将B 代入224y ax ax =+-中，可得240a a +-=， 解得43a =， ∴函数的解析式为248433y x x =+-；（2）如图，设射线AD 与y 轴的交点为G 点，过点G 作GH AC ^交于H 点，∵AD 是BAC Ð的平分线，∴OG HG =，当0x =时，2484433y x x =+-=-， ∴()0,4C -，∵()3,0A -， ∴5AC =，3OA =，由勾股定理可得：3AH OA ==，∴2CH =，在Rt CHG V 中，222CG GH CH =+，即()22242OG OG -=+， 解得32OG =， ∴30,2G æö-ç÷èø， 设直线AG 的解析式为32y kx =-， ∴3302k --=， 解得12k =-， ∴直线AG 的解析式为1322y x =--， 当2134842233x x x --=+-时，解得13x =-（舍）或258x =， ∴529,816D æö-ç÷èø；（3）存在点F ，使得由三个点D ，G 、F 构成的三角形为直角三角形，理由如下： ∵()2248416413333y x x x =+-=+-， ∴161,3E æö--ç÷èø， ∴直线OE 的解析式为163y x =， 设抛物线向右平移h 个单位长度，则向上平移163h 个单位长度， ∴E 点平移后16161,33F h h æö-+-+ç÷èø，平移后抛物线的解析式为()2416161333y x h h =+--+， ∵529,816D æö-ç÷èø，DG x ^轴，∴25429,8316G h h æö+-ç÷èø，当90FDG Ð=°时，FD x ∥轴， 如图，∴1616293316h -+=-，解得169256h =， ∴8729,25616F æö--ç÷èø； 当90DFG Ð=°时和90DGF Ð=°时，不成立；如图，综上所述：8729,25616F æö--ç÷èø．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，角平分线的性质，勾股定理，平移的性质是解题的关键．。
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试卷第1页，共8页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ……
…
…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 绝密★启用前 2015届江苏省无锡市锡山区九年级上学期期末考试数学试卷（带解析）
试卷副标题 考试范围：xxx；考试时间：154分钟；命题人：xxx 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分 得分
注意事项． 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人 得分 一、选择题（题型注释）
1、函数y＝中自变量x的取值范围是( ) A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
2、sin45°的值是（ ） A． B． C． D．1 3、已知一组数据：15，13，15，16，17，16，14，15，则极差与众数分别是（ ） A．4，15 B．3，15 C．4，16 D．3，16
4、下列一元二次方程中，两实根之和为1的是（ ） A．x2—x＋1＝0 B．x2＋x—3＝0 C．2 x2－x－1＝0 D．x2－x－5＝0 试卷第2页，共8页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ……
…
…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 5、若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（ ） A．矩形 B．菱形 C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形
6、已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为6cm，则圆柱的侧面积是（ ） A．36cm2 B．36πcm2 C．18cm2 D．18πcm2
7、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，给出下面3个结论：①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC，其中正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0 8、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，当函数值y＜0时，x的取值范围为 （ ）
A．x＜—1或x＞3 B．—1＜x＜3 C．x≤—1或x≥3 D．—1≤x≤3 9、如图，一个半径为r（r＜1）的圆形纸片在边长为10的正六边形内任意运动，则在该六边形内，这个圆形纸片不能接触到的部分的面积是（ ）
A．r2 B． C．r2 D．r2 10、如图，在3×3的网格图中，在不添加其他线的情况下，不是正方形的矩形个数为（ ） 试卷第3页，共8页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ……
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…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… A．14个 B．22个 C．36个 D．以上都不正确 试卷第4页，共8页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ……
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…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题（题型注释）
11、将 y＝x2－2x＋3 化成 y＝a（x－h）2＋k 的形式，则 y＝_____________． 12、如果关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0的一根为3，则另一根为_____________．
13、某工厂今年3月份的产值为50万元，4月份和5月份的总产值为132万元．若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程为：__________________________．
14、在－1，0，，，π，0．10110中任取一个数，取到无理数的概率是__________． 15、如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD＝6cm，DE＝5cm，则CD的长为___________cm．
16、如图，□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于_________． 17、如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_________________cm． 试卷第5页，共8页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ……
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…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 18、在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC形外一点，且AD＝AC，则∠BDC的度数为___________________．
评卷人 得分 三、解答题（题型注释）
19、（本题共有2小题，每小题4分，共8分） （1）计算：（）-1－（2015－）0―|-2|； （2）化简：－（a－2）．
20、解方程或不等式组（本题共有2小题，每小题4分，共8分） （1）解方程：x2－5x－4＝0；
（2）解不等式组：． 21、（本题满分8分）已知：如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，F是CD的中点，过C作CE∥BD，且DE⊥CE．求证：BF ＝DE．
22、（本题满分8分）在1、2、3、4、5这五个数中，先任意取一个数a，然后在余下的数中任意取出一个数b，组成一个点（a，b）．求组成的点（a，b）恰好横坐标为偶数且纵坐标为奇数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
23、（本题满分9分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格图中有格点△ABC．（注：顶点在网格线交点处的三角形叫做格点三角形） （1）图中AC边上的高为_________个单位长度； （2）只用没有刻度的直尺，按如下要求画图： ①以点C为位似中心，作△DEC∽△ABC，且相似比为1∶2； 试卷第6页，共8页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ……
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…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ②以AB为一边，作矩形ABMN，使得它的面积恰好为△ABC的面积的2倍．
24、（本题满分8分）如图，有一座拱桥是抛物线形，它的跨度AB为60米，拱桥最高处点P到AB的距离为18米，
（1）建立恰当的坐标系，求出抛物线的解析式； （2）当洪水泛滥，水面上升，若拱桥的水面跨度只有30米时，则必须马上采取紧急措施．现已知拱顶P离水面CD的距离只有4米，问：是否要采取紧急措施？并说明理由．
25、（本题满分8分）某公司为一种新型电子产品在该城市的特约经销商，已知每件产品的进价为40元，该公司每年销售这种产品的其他开支（不含进货价）总计100万元，在销售过程中得知，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在如表所示的函数关系，并且发现y是x的一次函数． 销售单价x（元） 50 60 70 80 销售数量y（万件） 5．5 5 4．5 4
（1）求y与x的函数关系式； （2）问：当销售单价x为何值时，该公司年利润最大？并求出这个最大值； 【备注：年利润＝年销售额－总进货价－其他开支】 （3）若公司希望年利润不低于60万元，请你帮助该公司确定销售单价的范围．
26、（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，以M（0，2）圆心，4为半径的⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连结BM并延长交⊙M于点P，连结PC交x轴于点E．