高中数学高考总复习函数的奇偶性习题及详解
高二数学函数的奇偶性试题答案及解析
高二数学函数的奇偶性试题答案及解析1.已知是定义在R上的奇函数，当时（m为常数）,则的值为（）. A．B．6C．4D．【答案】D【解析】因为是定义在R上的奇函数且当时，所以.则.【考点】函数奇偶性的应用.2.以下命题正确的是（1）若；（2）若，则必要非充分条件；（3）函数；（4）若奇函数满足，则函数图象关于直线对称．【答案】（1）（2）．【解析】（1）,,故正确；（2），，，所以必要非充分条件，故正确；（3）令，则在上为减函数，所以；（4）为奇函数，，又因为，则，即函数图像关于对称．【考点】函数的性质．3.设是定义在上的奇函数，当时，，则 .【答案】-3【解析】由奇函数的定义可知，【考点】奇函数的应用.4.若是定义在R上的奇函数，且满足，给出下列4个结论：（1）；（2）是以4为周期的函数；（3）；（4）的图像关于直线对称；其中所有正确结论的序号是 .【答案】①②③【解析】①因为是定义在R上的奇函数，所以，则；②，，即周期为4；③因为是定义在R上的奇函数，所以，又，；④因为是定义在R上的奇函数，所以的图像关于直线对称；故选①②③.【考点】函数的奇偶性、周期性.5.设函数．若，则．【答案】【解析】因为，所以，即有，而．【考点】初等函数的性质及函数部分奇、偶性．6.设函数，若是奇函数，则的值是 .【答案】.【解析】由题意可知，又∵是奇函数，∴.【考点】函数的奇偶性与分段函数.7.下列函数是奇函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据奇偶函数的定义易知，A、B都满足，均为偶函数，C中，函数的定义域为，且，故C中的函数为奇函数，而D 中，定义域为，但，且，该函数为非奇非偶函数，综上可知，选C.【考点】函数的奇偶性.8.已知函数是定义在区间-2，2上的偶函数，当时，是减函数，如果不等式成立，则实数的取值范围（）A．B．1，2C．D．【答案】【解析】根据题意知,函数在上单调递增,在上单调递减.首先满足,可得.根据函数是偶函数可知:,所以分两种情况:当时,根据不等式成立,有,解得;当时,根据不等式成立,有,解得;综上可得.【考点】偶函数性质.9.现有四个函数:①;②;③; ④的图象(部分)如下,但顺序被打乱,则按照从左到右的顺序对应的函数序号是（）A．④①②③B．①④②③C．①④③②D．③④②①【答案】【解析】首先判断函数的奇偶性,显然①是偶函数, ②③奇函数, ④非奇非偶函数．所以从左到右①④②③或①④③②．③中当时,显然,当时,．所以其对应第四个图．所以从左到右①④②③．【考点】函数图像的观察,函数奇偶性的判断．10.设函数是定义在R上的偶函数，当时，，若，则实数的值为【答案】【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，所以又因为当时，，所以【考点】偶函数性质11.观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则＝（）A．B．－C．D．－【答案】D【解析】由中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；…，同此可以推断，偶函数的导函数为奇函数．若定义在上的函数满足，则函数为偶函数．又∵为的导函数，则奇函数，所以，即，故选D．【考点】1、归纳推理；2、函数的奇偶性．12.已知偶函数f（x）在[0，∞）上是增函数，则不等式的解集是【答案】【解析】根据偶函数的性质：,所以,函数在[0，∞）上是增函数，所以,,解得【考点】1.偶函数的性质；2.解不等式.13.已知函数f(x)＝x3.(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求证：f(x)>0.【答案】（1）偶函数（2）见解析【解析】(1)解∵2x－1≠0，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．∵f(－x)－f(x)＝ (－x)3－x3＝ (－x)3－x3＝·x3－x3－·x3－x3＝x3－x3＝0，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)证明由题意知x≠0，当x>0时，∵2x－1>0，x3>0，∴f(x)>0；当x<0时，∵－x>0，∴f(－x)＝f(x)>0，∴f(x)>0.综上所述，f(x)>0.14.已知函数，，则。
函数的单调性和奇偶性 例题和练习 高中数学 高考
函数的单调性和奇偶性经典例题透析类型一、函数的单调性的证明1.证明函数上的单调性.证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1＞0则∵x1＞0，x2＞0，∴∴上式＜0，∴△y=f(x2)-f(x1)＜0∴上递减.总结升华：[1]证明函数单调性要求使用定义；[2]如何比较两个量的大小？(作差)[3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)举一反三：【变式1】用定义证明函数上是减函数.思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1＜x2，则∵0＜x1＜x2≤1 ∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1∵0＜x1x2＜1故，即f(x1)-f(x2)＞0∴x1＜x2时有f(x1)＞f(x2)上是减函数.总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x2-3|x|+2；(2)解：(1)由图象对称性，画出草图∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.(2)∴图象为∴f(x)在上递增.举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|；(2)(3).解：(1)画出函数图象，∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).总结升华：[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则.4. 求下列函数值域：(1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；(2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2].思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合.解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图1)f(x)在[5，10]上单增，；2)；(2)画出草图1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；2).举一反三：【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域.解：(1)上单调递增，在上单调递增；(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2x=3时f(x)有最大值∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知只需；(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7.类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6)(7)思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.解：(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数；(4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(5)，∴f(x)为奇函数；(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(7)，∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；(3)f(x)=x2+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.解：(1)；(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ∴f(x)为奇函数；(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数；(4)任取x＞0则-x＜0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x＜0，则-x＞0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).解：法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.解：∵奇函数图象关于原点对称，∴x＞0时，-y=(-x)2-(-x)即y=-x2-x又f(0)=0，，如图9. 设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)＜f(a)时，求a 的取值范围.解：∵f(a-1)＜f(a) ∴f(|a-1|)＜f(|a|)而|a-1|，|a|∈[0，3].类型六、综合问题10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b)；②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b)；③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a)；④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a).答案：①③.11. 求下列函数的值域：(1)(2)(3)思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t范围.解：(1)；(2)经观察知，，；(3)令.12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.解：(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0或a≥2(2)1°当a＜-1时，如图1，g(a)=f(-1)=a2+2a2°当-1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=-13°当a＞1时，如图3，g(a)=f(1)=a2-2a，如图13. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为：f[x(x-2)]≤f(8).14. 判断函数上的单调性，并证明.证明：任取0＜x1＜x2，∵0＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1·x2＞0(1)当时0＜x1·x2＜1，∴x1·x2-1＜0∴f(x1)-f(x2)＞0即f(x1)＞f(x2)上是减函数.(2)当x1，x2∈(1，+∞)时，上是增函数.难点：x1·x2-1的符号的确定，如何分段.15. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.(1)当x≥a时，[1]且[2]上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当x＜a时，[1]上单调递减，上的最小值为f(a)=a2+1[2]上的最小值为综上：.学习成果测评基础达标一、选择题1．下面说法正确的选项( )A．函数的单调区间就是函数的定义域B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2．在区间上为增函数的是( )A．B．C．D．3．已知函数为偶函数，则的值是( )A. B. C. D.4．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A．B．C．D．5．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是( )A．增函数且最小值是B．增函数且最大值是C．减函数且最大值是D．减函数且最小值是6．设是定义在上的一个函数，则函数，在上一定是( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数.7．下列函数中，在区间上是增函数的是( )A．B．C．D．8．函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上是减函数，则( )A. f(3)+f(4)＞0B. f(-3)-f(2)＜0C. f(-2)+f(-5)＜0D. f(4)-f(-1)＞0二、填空题1．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图，则不等式的解是____________.2．函数的值域是____________.3．已知，则函数的值域是____________.4．若函数是偶函数，则的递减区间是____________.5．函数在R上为奇函数，且，则当，____________.三、解答题1．判断一次函数反比例函数，二次函数的单调性.2．已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)是奇函数；(2)在定义域上单调递减；(3)求的取值范围.3．利用函数的单调性求函数的值域；4．已知函数.①当时，求函数的最大值和最小值；②求实数的取值范围，使在区间上是单调函数.能力提升一、选择题1．下列判断正确的是( )A．函数是奇函数B．函数是偶函数C．函数是非奇非偶函数D．函数既是奇函数又是偶函数2．若函数在上是单调函数，则的取值范围是( )A．B．C．D．3．函数的值域为( )A．B．C．D．4．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．5．下列四个命题：(1)函数在时是增函数，也是增函数，所以是增函数；(2)若函数与轴没有交点，则且；(3)的递增区间为；(4) 和表示相等函数.其中正确命题的个数是( )A．B．C．D．6．定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则( )A．B．C．D．二、填空题1．函数的单调递减区间是____________________.2．已知定义在上的奇函数，当时，，那么时，______.3．若函数在上是奇函数，则的解析式为________.4．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为-1，则__________.5．若函数在上是减函数，则的取值范围为__________.三、解答题1．判断下列函数的奇偶性(1)(2)2．已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：(1)函数是上的减函数；(2)函数是奇函数.3．设函数与的定义域是且，是偶函数，是奇函数，且，求和的解析式.4．设为实数，函数，.(1)讨论的奇偶性；(2)求的最小值.综合探究1．已知函数，，则的奇偶性依次为( )A．偶函数，奇函数B．奇函数，偶函数C．偶函数，偶函数D．奇函数，奇函数2．若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则的大小关系是( )A．＞B．＜C．D．3．已知，那么＝_____.4．若在区间上是增函数，则的取值范围是________.5．已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，(1)求；(2)解不等式.6．当时，求函数的最小值.7．已知在区间内有一最大值，求的值.8．已知函数的最大值不大于，又当，求的值.答案与解析基础达标一、选择题1.C.2.B.3.B. 奇次项系数为4.D.5.A. 奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性6.A.7.A. 在上递减，在上递减，在上递减8.D.二、填空题1.. 奇函数关于原点对称，补足左边的图象2.. 是的增函数，当时，3.. 该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大4..5..三、解答题1．解：当，在是增函数，当，在是减函数；当，在是减函数，当，在是增函数；当，在是减函数，在是增函数，当，在是增函数，在是减函数.2．解：，则，3．解：，显然是的增函数，，4．解：对称轴∴(2)对称轴当或时，在上单调∴或.能力提升一、选择题1.C. 选项A中的而有意义，非关于原点对称，选项B中的而有意义，非关于原点对称，选项D中的函数仅为偶函数；2.C. 对称轴，则，或，得，或3.B. ，是的减函数，当4.A. 对称轴5.A. (1)反例；(2)不一定，开口向下也可；(3)画出图象可知，递增区间有和；(4)对应法则不同6.A.二、填空题1．. 画出图象2. . 设，则，，∵∴，3. .∵∴即4. . 在区间上也为递增函数，即5. . .三、解答题1．解：(1)定义域为，则，∵∴为奇函数.(2)∵且∴既是奇函数又是偶函数.2．证明：(1)设，则，而∴∴函数是上的减函数;(2)由得即，而∴，即函数是奇函数.3．解：∵是偶函数，是奇函数，∴，且而，得，即，∴，.4．解：(1)当时，为偶函数，当时，为非奇非偶函数；(2)当时，当时，，当时，不存在；当时，当时，，当时，.综合探究1.D. ，画出的图象可观察到它关于原点对称或当时，，则当时，，则2.C. ，3.. ，4.. 设则，而，则5.解：(1)令，则(2)，则.6.解：对称轴当，即时，是的递增区间，；当，即时，是的递减区间，；当，即时，.7．解：对称轴，当即时，是的递减区间，则，得或，而，即；当即时，是的递增区间，则，得或，而，即不存在；当即时，则，即；∴或. 8．解：，对称轴，当时，是的递减区间，而，即与矛盾，即不存在；当时，对称轴，而，且即，而，即∴.。
高考数学专题《函数的奇偶性、对称性、周期性》填选压轴题及答案
6．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则()
A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数
C.f(x＋3)为奇函数D.f(x＋4)为偶函数
专题03函数的奇偶性、对称性、周期性
【方法点拨】
1.常见的与周期函数有关的结论如下：
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝ (a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
对于 ， 是函数 的一条对称轴，且函数 是周期为4的周期函数，则 是函数 的一条对称轴，
又由函数为奇函数，则直线 是函数 图象的一条对称轴， 正确；
对于 ，函数 在 ， 上有7个零点：分别为 ， ， ，0，2，4，6； 错误；
对于 ， 在区间 ， 上为增函数且其周期为4，函数 在 ， 上为增函数，
又由 为函数 图象的一条对称轴，则函数 在 ， 上为减函数， 正确；
2.函数奇偶性、对称性间关系：
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称．
(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0恒成立，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.
高中函数奇偶单调练习题及讲解
高中函数奇偶单调练习题及讲解# 高中函数奇偶性与单调性练习题及讲解## 练习题### 题目一：奇偶性判断给定函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，判断该函数的奇偶性。
### 题目二：单调性判断考虑函数 \( g(x) = -3x^2 + 2x + 5 \)，确定其在定义域内的单调性。
### 题目三：综合应用已知函数 \( h(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \)，求证其在 \( (-\infty, 0) \) 上单调递增。
### 题目四：函数图像画出函数 \( f(x) = |x - 2| \) 的图像，并判断其奇偶性。
### 题目五：函数性质综合对于函数 \( k(x) = \sqrt{x} \)，分析其奇偶性与单调性。
## 解题步骤与讲解### 题目一讲解要判断函数的奇偶性，我们可以使用奇偶函数的定义：- 奇函数：\( f(-x) = -f(x) \)- 偶函数：\( f(-x) = f(x) \)对于 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，代入 \( -x \) 得到 \( f(-x) = (-x)^2 + 4x + 3 = x^2 - 4x + 3 = f(x) \)，因此 \( f(x) \) 是偶函数。
### 题目二讲解判断函数的单调性，我们可以求导数：- 如果 \( g'(x) > 0 \)，则函数在该区间上单调递增。
- 如果 \( g'(x) < 0 \)，则函数在该区间上单调递减。
对于 \( g(x) = -3x^2 + 2x + 5 \)，求导得到 \( g'(x) = -6x + 2 \)。
令 \( g'(x) = 0 \) 解得 \( x = \frac{1}{3} \)。
因此，函数在 \( (-\infty, \frac{1}{3}) \) 上单调递增，在\( (\frac{1}{3}, +\infty) \) 上单调递减。
【高考数学专题】函数的奇偶性练习题
函数的奇偶性班级 ___________ 姓名 __________ 知识必备1、函数奇偶性定义：对于函数()x f ，若对定义域内的任意x 都有()()x f x f =-，则函数()x f 为偶函数；若对定义域内的任意x 都有()()x f x f -=-，则函数()x f 为奇函数；偶函数图像关于y 轴对称，奇函数图像关于原点中心对称。
2、判断函数奇偶性的方法：（1）求函数定义域，判断定义域是否关于原点对称，如果不对称，则一定是非奇非偶函数。
（2）求()x f -，判断()x f -与()x f 关系；①若()()x f x f =-且()()x f x f -≠-，则()x f 为偶函数。
②若()()x f x f -=-且()()x f x f ≠-，则()x f 为奇函数。
③若()()x f x f ≠-且()()x f x f -≠-，则()x f 为非奇非偶函数。
④若()()x f x f =-且()()x f x f -=-，则()x f 既是偶函数，也是偶函数。
例题精练1、判断下列函数的奇偶性。
(1) ()x x f sin = (2) ()xxee xf --=(3) ()xx x x x f --+-=2323 (4) ()22ln -+=x x x f (5) ()()x xx x f +-+=111 (6) ()⎩⎨⎧>+-<+=0,0,22x x x x x x x f2、已知函数()x f 为R 上的奇函数，当0>x 时，()x x x f 22-=，先作图再求()x f 的解析式。
3、若()()x f x F x⎪⎭⎫⎝⎛-+=1221是偶函数，且()x f 不恒为零，则()x f 满足 A .是奇函数 B.是偶函数C. 可能是奇函数也可能是偶函数D. 不是奇函数也不是偶函数4、函数()xx x f 214-=的图像（ ） A .关于原点对称 B.关于直线x y =对称 C. 关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称5、若函数()()()0ln 2>++=a x a x x x f 为偶函数，则._______=a6、若()[]a a x b a bx ax x f 2,1,32-∈+++=是偶函数，求b a +.7、若()()x g x f ,分别定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()123++=-x x x g x f ,求()().11g f +8、若()x f 是奇函数，当()+∞∈,0x 时，()1-=x x f ,则不等式()0>x f 的解集。
高中数学练习题附带解析三角函数的奇偶性与周期性
高中数学练习题附带解析三角函数的奇偶性与周期性随着数学的不断深入，三角函数已经成为高中数学中不可或缺的一部分。
但是，对于初学者来说，理解三角函数的奇偶性与周期性并不容易。
本文将为大家介绍一些练习题，并附带解析，帮助大家更好地掌握三角函数的奇偶性与周期性。
练习题 1求下列函数的奇偶性：$f(x) = \sin 2x$解析：对于任意实数 $x$，都有 $\sin (-x)=-\sin x$。
因此，当 $x$ 取遍全体实数时，$f(x)$ 是一个奇函数，即 $f(-x)=-f(x)$。
因此，$f(x)$ 是奇函数。
练习题 2求下列函数的奇偶性：$g(x) = \cos 3x$解析：对于任意实数 $x$，都有 $\cos (-x)=\cos x$。
因此，当 $x$ 取遍全体实数时，$g(x)$ 是一个偶函数，即 $g(-x)=g(x)$。
因此，$g(x)$ 是偶函数。
练习题 3求下列函数的周期：$h(x) = \sin 5x$解析：对于任意实数 $x$，都有 $\sin (x+2\pi)=\sin x$。
因此，当$x$ 取遍全体实数时，$h(x)$ 的周期是 $\dfrac{2\pi}{5}$。
即$h(x+2\pi/5)=h(x)$。
练习题 4求下列函数的周期：$k(x) = \cos \dfrac{x}{4}$解析：对于任意实数 $x$，都有 $\cos (x+2\pi)=\cos x$。
因此，当$x$ 取遍全体实数时，$k(x)$ 的周期是 $8\pi$。
即 $k(x+8\pi)=k(x)$。
练习题 5求下列函数的周期：$m(x) = \sin x + \cos 2x$解析：对于任意实数 $x$，都有 $\sin (x+\pi)=-\sin x$，$\cos(x+\pi)=-\cos x$。
因此，当 $x$ 取遍全体实数时，$m(x)$ 的周期是$\pi$ 的公倍数和 $2\pi$ 的公倍数的最小正周期。
高考数学(理)专题辅导：6 函数的奇偶性与周期性 Word版含解析
课时分层训练(六) 函数的奇偶性与周期性A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(·广东肇庆三模)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0B [y ＝x cos x 是奇函数，y ＝lg x 2－2和y ＝x sin x 是偶函数，y ＝e x ＋x 2是非奇非偶函数，故选B.]2．函数y ＝log 21＋x1－x的图像( ) 【导学号：57962037】A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称A [由1＋x1－x ＞0得－1＜x ＜1，即函数定义域为(－1,1)， 又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x1－x ＝－f (x )， ∴函数y ＝log 21＋x1－x为奇函数，故选A.] 3．(·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2D [由题意知当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)．又当x<0时，f(x)＝x3－1，∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.故选D.]4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)＝()A．－2 B．2 C．－98 D．98A[∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2.]5．对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是() A．f(x)＝x B．f(x)＝x2C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)D[由f(x)为准偶函数的定义可知，若f(x)的图像关于x＝a(a≠0)对称，则f(x)为准偶函数，A，C中两函数的图像无对称轴，B中函数图像的对称轴只有x ＝0，而D中f(x)＝cos(x＋1)的图像关于x＝kπ－1(k∈Z)对称．]二、填空题6．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.【导学号：57962038】－－x－1[∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝x＋1，∴当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，即x＜0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1.]7．(·安徽蚌埠二模)函数f(x)＝(x＋2)(x＋a)x是奇函数，则实数a＝________.【导学号：57962039】－2[由题意知，g(x)＝(x＋2)(x＋a)为偶函数，∴a＝－2.]8．(·郑州模拟)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x 2，若对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，则f (2)－f (3)的值为________．1 [由题意得f (2)＝f (－2＋4)＝f (－2)＝－f (2)， ∴f (2)＝0.∵f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (2)－f (3)＝1.] 三、解答题9．若f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1，求f (x )的表达式.【导学号：57962040】[解] 在f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1中用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝1(－x )2－(－x )＋1，3分又f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， 所以－f (x )＋g (x )＝1x 2＋x ＋1，6分联立方程⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1，－f (x )＋g (x )＝1x 2＋x ＋1， 9分两式相减得f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－x ＋1－1x 2＋x ＋1＝x x 4＋x 2＋1.12分10．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1. (1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式． [解] (1)∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (1)＝f (2－1)＝f (－1)＝－f (1)， 3分 ∴f (1)＝0，f (－1)＝0.5分(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． 由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x4x ＋1，9分综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．定义运算a b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝(a －b )2，则f (x )＝2x(x ⊗2)－2为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．常函数D ．非奇非偶函数A [由定义得f (x )＝4－x 2(x －2)2－2. ∵4－x 2≥0，且(x －2)2－2≠0， 即x ∈[－2,0)∪(0,2]．∴f (x )＝4－x 22－x －2＝－4－x 2x (x ∈[－2,0)∪(0,2])，∴f (－x )＝4－x 2x ，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．]2．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎨⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．－10 [因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22， 即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.]3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上递增，求实数a 的取值范围.【导学号：57962041】[解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 2分又f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )， 于是x ＜0时， f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.5分(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数， 要使f (x )在[－1，a －2]上递增． 结合f (x )的图像知⎩⎨⎧a －2＞－1，a －2≤1，9分所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]. 12分。
高中数学函数奇偶性、周期性与对称性9大类型详解（附例题）！
高中数学函数奇偶性、周期性与对称性9大类型详解（附例
题）！
函数的奇偶性、周期性及对称性是函数的重要性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，多与抽象函数结合，三者之间可以互相转化。
抽象函数是没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数，抽象函数问题的解决，往往要从函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数的图像入手。
尤其是，在解抽象函数的某些问题时，常常需要根据“对称性”、“周期性”、“奇偶性”中的一个或两个推出另一个。
灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。
1.求函数值
2、比较函数值大小
3、求函数解析式
4、判断函数奇偶性
5、确定函数图象与轴交点的个数
6、在数列中的应用
7、在二项式中的应用
8、复数中的应用
9、解“立几”题。
高中数学函数奇偶性专题复习总结
【函数的奇偶性】专题复习一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ：⑴)()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数； 函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。
二、函数的奇偶性的几个性质①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；③可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 是奇函数； ④等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f ；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
三、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①定义域是否关于原点对称；②数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性（1）x x x f 2)(3+= （2）2432)(x x x f += (3）1)(23--=x x x x f（4）2)(x x f = []2,1-∈x （5）x x x f -+-=22)( （6）2|2|1)(2-+-=x x x f ；（7）2211)(x x x f -+-=（8）221()lg lgf x x x =+； （9）xx x x f -+-=11)1()( 例2：判断函数⎩⎨⎧<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。
第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则 （前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）： 35721246822()...1(0);()sin ;tan ()...(0);;()cos ;();log ;(0,0)(0)0()1k k x a x x x x x k Z k k x x x x x x x x x x k Z ax c b x f x x y C C a x kx b k b y x a a y y +⎧∈⎪⎪≠+⎨⎪⎪⎩⎧∈⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩⎧+≠≠⎪⎨=+≠⎪⎩==-常见的奇函数：耐克函数常见的偶函数：为常数常见的非奇非偶函数:定义域关于原点对称常见的既奇又偶函数：221(1)x x x ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪+-=±⎪⎪⎩⎩两个点的函数 四、关于函数的奇偶性的6个结论。
高中数学复习题库及答案
高中数学复习题库及答案1. 函数的奇偶性若函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则称f(x)为偶函数；若满足f(-x) = -f(x)，则称f(x)为奇函数。
判断下列函数的奇偶性：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^2 - 4x + 4答案：A. 偶函数，因为f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)。
B. 奇函数，因为f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。
C. 偶函数，因为f(-x) = (-x)^2 - 4(-x) + 4 = x^2 + 4x + 4 = f(x)。
2. 二次函数的图像与性质二次函数y = ax^2 + bx + c的图像是一个抛物线，其开口方向由a的正负决定，顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
计算下列二次函数的顶点坐标：A. y = 2x^2 - 4x + 1B. y = -3x^2 + 6x - 5答案：A. 顶点坐标为(1, -1)，因为-b/2a = -(-4)/2*2 = 1，代入得f(1) = 2*1^2 - 4*1 + 1 = -1。
B. 顶点坐标为(1, -2)，因为-b/2a = -6/2*(-3) = 1，代入得f(1) = -3*1^2 + 6*1 - 5 = -2。
3. 直线的斜率与截距直线的方程可以表示为y = mx + b，其中m为斜率，b为y轴截距。
求下列直线的斜率和截距：A. 直线过点(1, 2)和(3, 6)B. 直线方程为2x - 3y + 1 = 0答案：A. 斜率m = (6-2)/(3-1) = 2，截距b = 2 - 2*1 = 0。
B. 将方程化为y = (2/3)x - 1/3，斜率m = 2/3，截距b = -1/3。
4. 圆的标准方程圆的标准方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
写出下列圆的方程：A. 圆心在(2, -3)，半径为5B. 圆心在(-1, 4)，半径为3答案：A. 圆的方程为(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25。
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高中数学高考总复习函数的奇偶性习题及详解一、选择题1．(文)下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是()A．y＝x＋x3(x∈R)B．y＝3x(x∈R)C．y＝－log2x(x>0，x∈R)D．y＝－(x∈R，x≠0)[答案] A[解析]首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称，排除C，若x＝0在定义域内，则应有f(0)＝0，排除B；又函数在定义域内单调递增，排除D，故选A.(理)下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是())为偶函数，y＝－|x＋1|是非奇非偶函数．y＝sin x在[－1,1][解析]f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)3．(2010·河北唐山)已知f(x)与g(x)分别是定义在R(1)等于()A．－ B.C．1 D.[答案] B[解析]由条件知，，∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．∴，∴f(1)＝.4．(文)(2010·北京崇文区)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)＝()A．4.5 B．－4.5C．0.5 D．－0.5[答案] D[解析]∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝f(x)，∴f(x)周期为4，∴f(6.5)＝f(6.5－8)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝1.5－2＝－0.5.(理)(2010·山东日照)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋2)＝f(x)，若f(x)在[－1,0]上是减函数，则f(x)在[2,3]上是()A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数[答案] A[解析]由f(x＋2)＝f(x)得出周期T＝2，∵f(x)在[－1,0]上为减函数，又f(x)为偶函数，∴f(x)在[0,1]上为增函数，从而f(x)在[2,3]上为增函数．5．(2010·辽宁锦州)已知函数f(x)是定义在区间[－a，a](a>0)上的奇函数，且存在最大值与最小值．若g(x)＝f(x)＋2，则g(x)的最大值与最小值之和为()A．0 B．2C．4 D．不能确定)的最大值与最小值之和为0，又g(x)＝f(x)＋2是将f(x)的f(x)的最大值与最小值都大2，故其和为4.f(x)＝()[答案] B[解析]f(x)＝，∵x2≤4，∴－2≤x≤2，又∵x≠0，∴x∈[－2,0)∪(0,2]．则f(x)＝，f(x)＋f(－x)＝0，故选B.7．已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f(log3)，c＝f(0.20.6)，则a、b、c的大小关系是()A．c<b<a B．b<c<aC．b<a<c D．a<b<c[答案] C[解析]由题意知f(x)＝f(|x|)．∵log47＝log2>1，|log3|＝log23>log2，0<0.20.6<1，∴|log3|>|log47|>|0.20.6|.又∵f(x)在(－∞，0]上是增函数，且f(x)为偶函数，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数．∴b<a<c.故选C.8．已知函数f(x)满足：f(1)＝2，f(x＋1)＝，则f(2011)等于()A．2B．－3C．－ D.[答案] C[解析]由条件知，f(2)＝－3，f(3)＝－，f(4)＝，f(5)＝f(1)＝2，故f(x＋4)＝f(x)(x∈N*)．∴f(x)的周期为4，故f(2011)＝f(3)＝－.[点评]严格推证如下：f(x＋2)＝＝－，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝f(x)．即f(x)周期为4.故f(4k＋x)＝f(x)，(x∈N*，k∈N*)，()∞)A．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称[答案] A[解析]首先由>0得，－2<x<2，其次令f(x)＝log2，则f(x)＋f(－x)＝log2＋log2＝log21＝0.故f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故选A.(理)函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的()[答案] C[解析]∵y＝是偶函数，排除A，当x＝2时，y＝>2，排除D，当x＝时，y＝＝>1，排除B，故选C.二、填空题11．(文)已知f(x)＝?x<0?,f?x－1?－1?x>0?))，则f＋f的值为________．[答案]－2[解析]f＝f－1＝f－2＝sin－2＝－，f＝sin＝sin＝，∴原式＝－2.(理)设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________.[答案]0[解析]∵f(x)的图象关于直线x＝对称，∴f＝f，对任意x∈R都成立，∴f(x)＝f(1－x)，又f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－f(1＋x)＝f(－1－x)＝f(2＋x)，∴周期T＝2∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝0又f(1)与f(0)关于x＝对称＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈．<π.(－5)[解析]由题意知f(－5)＝f(5)＝f(2＋3)＝f(2－3)＝(理)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当－1＋f(5)＝________.[答案]12[解析]∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，∵－1≤x≤1时，f(x)＝a，∴a＝0.∴f(1)＝(1＋b)2＝0，∴b＝－1.∴当x≤－1时，－x≥1，f(－x)＝(－x－1)2＝(x＋1)2，∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－(x＋1)2，∴f(x)＝x≤－1,0－1≤x≤1,?x－1?2x≥1))∴f(－3)＋f(5)＝－(－3＋1)2＋(5－1)2＝12.[点评]求得b＝－1后，可直接由奇函数的性质得f(－3)＋f(5)＝－f(3)＋f(5)＝－(3－1)2＋(5－1)2＝12.14．(文)(2010·山东枣庄模拟)若f(x)＝lg(a∈R)是奇函数，则a＝________.[答案]－1[解析]∵f(x)＝lg是奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0恒成立，即lg＋lg＝lg＝0.∴＝1，∴(a2＋4a＋3)x2－(a2－1)＝0，∵上式对定义内的任意x都成立，∴，∴a＝－1.[点评]①可以先将真数通分，再利用f(－x)＝－f(x)恒成立求解，运算过程稍简单些．②如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单．f(x)＝lg为奇函数，显然x＝－1不在f(x)的定义域内，故x＝1也不在f(x)的定义域内，令x＝－＝1，得a＝－1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力．(理)(2010·吉林长春质检)已知函数f(x)＝lg为奇函数，则使不等式f(x)<－1成立的x的取值范围是________．lg＋lg由<得，x<－2或x>，∴<x<2.三、解答题15．(2010·杭州外国语学校)已知f(x)＝x2＋bx＋c(1)若曲线y＝g(x)有斜率为0的切线，求实数a(2)若当x＝－1时函数y＝g(x)取得极值，且方程g(x)＋b＝0有三个不同的实数解，求实数b的取值范围．[解析](1)由f(x)为偶函数知b＝0，又f(2)＝5，得c＝1，∴f(x)＝x2＋1.∴g(x)＝(x＋a)(x2＋1)＝x3＋ax2＋x＋a，因为曲线y＝g(x)有斜率为0的切线，所以g′(x)＝3x2＋2ax＋1＝0有实数解．∴Δ＝4a2－12≥0，解得a≥或a≤－.(2)由题意得g′(－1)＝0，得a＝2.∴g(x)＝x3＋2x2＋x＋2，g′(x)＝3x2＋4x＋1＝(3x＋1)(x＋1)．令g′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝－.∵当x∈(－∞，－1)时，g′(x)>0，当x∈(－1，－)时，g′(x)<0，当x∈(－，＋∞)时，g′(x)>0，∴g(x)在x＝－1处取得极大值，在x＝－处取得极小值．又∵g(－1)＝2，g(－)＝，且方程g(x)＋b＝0即g(x)＝－b有三个不同的实数解，∴<－b<2，解得－2<b<－.16．(2010·揭阳模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．[分析]由f(x＋2)＝－f(x)可得f(x＋4)与f(x)关系，由f(x)为奇函数及在(0,2]上解析式可求f(x)在[－2,0]上的解析式，进而可得f(x)在[2,4]上的解析式．[解析](1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)＝f(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝0.17．(文)已知函数f(x)＝1－(a>0且a≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的值域；(3)当x∈(0,1]时，tf(x)≥2x－2恒成立，求实数t的取值范围．[解析](1)∵f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f(－x)＝－f(x)恒成立，∴f(0)＝0.即1－＝0，解得a＝2.(2)∵y＝，∴2x＝，由2x>0知>0，∴－1<y<1，即f(x)的值域为(－1,1)．(3)不等式tf(x)≥2x－2即为≥2x－2.即：(2x)2－(t＋1)·2x＋t－2≤0.设2x＝u，∵x∈(0,1]，∴u∈(1,2]．∵u∈(1,2]时u2－(t＋1)·u＋t－2≤0恒成立．∴，解得t≥0.(理)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c为实数，且a≠0)，F(x)＝x>0,－f?x?x<0)).(1)若f(－1)＝0，曲线y＝f(x)通过点(0,2a＋3)，且在点(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴，求F(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x∈[－1,1]时，g(x)＝kx－f(x)是单调函数，求实数k的取值范围；(3)设mn<0，m＋n>0，a>0，且f(x)为偶函数，证明F(m)＋F(n)>0.[解析](1)因为f(x)＝ax2＋bx＋c，所以f′(x)＝2ax＋b.轴，故f′(－1)＝0，(2)由(1)知f(x)＝－3x2－6x－3，所以g(x)＝kx－f(x)＝3x2＋(k＋6)x＋3.由g(x)在[－1,1]上是单调函数知：－≤－1或－≥1，得k≤－12或k≥0.(3)因为f(x)是偶函数，可知b＝0.因此f(x)＝ax2＋c.又因为mn<0，m＋n>0，可知m，n异号．若m>0，则n<0.则F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝am2＋c－an2－c＝a(m＋n)(m－n)>0.若m<0，则n>0.同理可得F(m)＋F(n)>0.综上可知F(m)＋F(n)>0.。