均匀分布u[-θ,θ]参数θ的几种估计量
概率论与数理统计》期末考试试题及解答
概率论与数理统计》期末考试试题及解答1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为0.3.解：由题意可得：P(AB+AB)=0.3，即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)，所以P(AB)=0.1，P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X≤1)=4P(X=2)，则P(X=3)=1/e6.解答：由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ)=5λe^(-λ/2)得e^(-λ/2)=0.4，即λ=ln2，所以P(X=2)=e^(-λ)λ^2/2!=1/6，又因为P(X≤1)=4P(X=2)，所以P(X=0)+P(X=1)=4P(X=2)，即e^(-λ)+λe^(-λ)=4λe^(-λ)，解得λ=ln2，故P(X=3)=e^(-λ)λ^3/3!=1/e6.3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2，0<y<4；其它为0.解答：设Y的分布函数为F_Y(y)，X的分布函数为F_X(x)，密度为f_X(x)，则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=F_X(y)-F_X(0)。
因为X~U(0,2)，所以F_X(0)=0，F_X(y)=y/2，故F_Y(y)=y/2，所以f_Y(y)=F_Y'(y)=1/2，0<y<4；其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P(X>1)=e^(-λ)，则λ=2，P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-λ)。
解答：因为P(X>1)=1-P(X≤1)=e^(-λ)，所以λ=ln2.因为X,Y相互独立且均服从参数为λ的指数分布，所以P{min(X,Y)≤1}=1-P{min(X,Y)>1}=1-P(X>1)P(Y>1)=1-e^(-λ)。
数理统计试卷
参数估计一、 知识点1. 矩估计法；极大似然估计法2. 估计量的评判标准（会验证一个估计量的无偏性，比较两个无偏估计量的有效性）3. 区间估计的概念4. 会求一个正态总体期望μ和方差2σ的置信区间 二、习题解答1. 设总体X ～22()(),0p x a x x a a =-<<，求参数a 的矩估计。
解：22002()()()3a aa E X xp x dx ax x dx a ==-=⎰⎰令3aX =，⇒3a X =，由矩估计定义知a 的矩估计ˆ3aX =。
2. 设总体X ～()(1),01,ap x a x x =+<<求（1） 参数a 的矩估计，（2）参数a 的似然估计解：（1）112110001()()(1)(1)22a a x a E X xp x dx a x dx a a a +++==+=+=++⎰⎰ 令12a X a +=+，⇒211X aX -=-，由矩估计定义知a 的矩估计21ˆ1X a X-=-（2）似然函数()(;)(1)(1)()a n ai i i L a p x a a x a x ==+=+∏∏∏ln ()ln(1)ln i L a n a a x =++∑， 由ln ()ln 01i d L a nx da a =+=+∑⇒ 1ln i n a x =--∑，得a 的极大似然估计ˆ1ln ina x =--∑ 3. 总体X 服从区间[a,b]上的均匀分布，（1） 求参数a,b 的极大似然估（2） 设从总体取得样本1.4，2.5，1.6，1.8，2.2，1.8，2.0。
分别求a,b 的矩估计值和极大似然估值。
解：（1）总体X 的密度函数1,()0,a x b p x b a ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他似然函数1,1,2,,()()(;,)0i ni a x b i n b a L a b p x a b ⎧≤≤=⎪-==⎨⎪⎩∏ ，其他显然， b a -越小，似然函数就越大，但由于,1,2,,i a x b i n ≤≤= ，所以能套住所有的i x 的最短区间（ˆa，ˆb ）应为：{}1ˆmin i i na x ≤≤=，{}1ˆmax ii nbx ≤≤=（2）由课本例题知，a,b的矩估计为ˆˆa X b X ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，代入样本值得矩估计ˆa＝1.31，ˆb ＝2.49；极大似然估ˆa＝1.4，ˆb ＝2.5 5. 已知总体X 服从参数为θ的泊松分布, 其分布律为:0;,2,1,0,)(!1>===-θθθ k e k X P k k n X X X ,,,21 为取自总体X 的样本. 求 θ的最大似然估计量;解.L (θ;x 1,x 2,...,x n ) ＝∏==ni i x XP 1)(= =θθ-=∏e x i x ni i1!1=θθn n i i x e x ni i-=∏∑=1!1lnL =∑∑==--n i ni iin x x 11!ln ln θθ,令θd L d ln =01=-∑=n xni iθ,θˆ=X X n n i i =∑=11为θ的最大似然估计量.6.设总体X 的均值为μ，试证2ˆσ＝211()n i i X n μ=-∑是总体方差2σ的无偏估计量。
2022-2023年研究生入学《数学一》预测试题14(答案解析)
2022-2023年研究生入学《数学一》预测试题（答案解析）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第壹卷一.综合考点题库(共50题)1.B.见图BC.见图CD.见图D正确答案：B本题解析：2.设A为四阶实对称矩阵，且A^2+A=O.若A的秩为3，则A 相似于A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：D本题解析：这是一道常见的基础题，由Aα=λα，α≠0知A^nα=λ^nα，那么对于A^2+A=0(λ^2+λ)α=0λ^2+λ=0所以A的特征值只能是0或-1再由A是实对称必有A～A，而A即是A的特征值，那么由r(A)=3，可知(D)3.将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：D本题解析：设木棒截成两段的长度分别为X和Y.显然X+Y=1，即Y=1-X，然后用公式【求解】Y=1-X，则DY=D(1-X)=DX.Cov(X，Y)=Cov(X，1-X)=Cov(X，1)=Cov(X，X)=0-DX=-DX.答案应选(D).4.设函数z=f(xy，yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x=1处取得极值g(1)=1.求正确答案：本题解析：所以，令x=y=1，且注意到g(1)=1，g'(1)=0，得5.下列积分发散的是A.见图A C.见图CD.见图D正确答案：D 本题解析：6.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：B本题解析：7.若，则a1cosx+b1sinx=A.A2sinxB.2cosxC.2πsinxD.2πcosx 正确答案：A 本题解析：8.设随机变量X~U（0，1)，Y~E（1），且X,Y相互独立，求Z=X+Y的密度函数正确答案：本题解析：9.设A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则A.A矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B.矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C.矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D.矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价正确答案：B本题解析：对矩阵A，C分别按列分块，记A=(α1，α2，…，αn)，C=(γ，γ，…，γ).由AB=C有可见即C的列向量组可以由A的列向量组线性表出.因为B可逆，有CB^-1=A.类似地，A的列向量组也可由C的列向量组线性表出，因此选(B).10.设，.已知线性方程组Ax=b存在2个不同的解.(Ⅰ)求λ，a；(Ⅱ)求方程组Ax=b的通解.正确答案：本题解析：【解】(Ⅰ)因为方程组Ax=b有2个不同的解，所以r(A)=r(A)故知λ=1或λ=-1当λ=1时显然r(A)=1，r(=2，此时方程组无解，λ=1舍去.当λ=-1时，对Ax=b的增广矩阵施以初等行变换：因为Ax=b有解，所以a=-2.(Ⅰ)当λ=-1，a=-2时，所以Ax=b的通解为，其中k为任意常数11.某企业生产某种商品的成本函数为a,b,c,l,s都是正常数，Q为销售量，求：（I）当每件商品的征税额为t时，该企业获得最大利润时的销售量；（II）当企业利润最大时，t为何值时征税收益最大.正确答案：本题解析：12.设随机变量X ~ N(0.1),在X=x条件下随机变量Y ~ N(x，1)，则X与Y的相关系数为（）A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：D 本题解析：13.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：C 本题解析：A.①③B.①②C.②③D.②④正确答案：D 本题解析：15.若函数z=z(x，y)由方程确定，则=_________.正确答案：1、-dx.本题解析：暂无解析16.设f1(x)为标准正态分布的概率密度，f2(x)为［-1，3］上均匀分布的概率密度，若为概率密度，则a，b应满足A.A2a+3b=4B.3a+2b=4C.a+b=1D.a+b=2正确答案：A本题解析：17.设随机事件A与B相互独立，且P(B)=0.5，P(A-B)=0.3，则P(B-A)=A.A0.1B.0.2C.0.3D.0.4正确答案：B本题解析：18.设总体X的概率密度为其中θ为未知参数，X1，X2，…，Xn，为来自该总体的简单随机样本.(Ⅰ)求θ的矩估计量；(Ⅱ)求θ的最大似然估计量.正确答案：本题解析：19.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：B本题解析：20.C.见图CD.见图D正确答案：D本题解析：21.设∑为曲面z=x^2+y^2(z≤1)的上侧，计算曲面积分正确答案：本题解析：【分析】本题考查第二类曲面积分的基本计算，可补曲面后用高斯公式；投影轮换法；直接投影法(较复杂).22.设F1(x)与F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是A.Af1(x)f2(x)B.2f2(x)F1(x)C.f1(x)F2(x)D.f1(x)F2(x)+f2(x)f1(x) 正确答案：D本题解析：23.设函数z=z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且F'2≠0，则=A.AxB.zC.-xD.-z正确答案：B本题解析：24.已知二次型f(x1，x2，3x)=x^TAx 在正交变换x=Qy 下的标准形为，且Q 的第3列为.(Ⅰ)求矩阵A ；(Ⅱ)证明A+E 为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵.正确答案：本题解析：25.下列反常积分中，收敛的是A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：B 本题解析：26.若二次曲面的方程经正交变换化为，则a=________.正确答案：1、1本题解析：暂无解析27.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D本题解析：28.设P为椭球面S：x^2+y^2+z^2-yz=1上的动点，若S在点P处的切平面与xOy面垂直，求点P的轨迹C，并计算曲面积分，其中∑是椭球面S 位于曲线C上方的部分.正确答案：本题解析：29.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：C 本题解析：30.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：D 本题解析：31.设有界区域Ω由平面2x+y+2z=2与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分.正确答案：本题解析：【解】由高斯公式得.【评注】在三重积分的计算中，用先二后一积分较为简单，当然也可化为三次积分计算.32.设函数f(u)具有二阶连续导数，z=f(e^xcosy)满足若f(0)=0，f'(0)=0，求f(u)的表达式.正确答案：本题解析：【分析】根据已知的关系式，变形得到关于f(u)的微分方程，解微分方程求得f(u).33.关于函数的极值个数，正确的是A.有2个极大值，1个极小值B.有1个极大值，2个极小值C.有2个极大值，没有极小值D.没有极大值，有2个极小值正确答案：A 本题解析：34.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：B本题解析：画出积分区域，用极坐标把二重积分化为二次积分.曲线2xy=1，4xy=1的极坐标方程分别为35.曲面x^2+cos(xy)+yz+x=0在点(0，1，-1)处的切平面方程为A.Ax-y+z=-2B.x+y+z=0C.x-2y+z=-3D.x-y-z=0正确答案：A本题解析：36.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：D本题解析：37.A.见图AB.见图BD.见图D正确答案：A本题解析：38.设总体X的概率密度为其中θ∈(0,+∞)为未知参数，X1，X2，X3为来自总体X的简单随机样本，令T=max(X1，X2，X3).(Ⅰ)求T的概率密度；(Ⅱ)确定a，使得aT为θ的无偏估计.正确答案：本题解析：39.设二维随机变量(X ，Y)的概率密度为求常数A 及条件概率密度.正确答案：本题解析：40.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D 正确答案：D本题解析：41.设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则P{XA.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：A本题解析：X～E(1)，Y～E(4)且相互独立，所以(X，Y)的概率密度利用公式可以计算出结果.【求解】42.设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则A.Aa=-3，b=2，c=-1B.a=3,b=2,c=-1C.a=-3，b=2，c=1D.a=3，b=2，c=1正确答案：A本题解析：44.【评注】其实，我们可看出齐次线性微分方程的特征根为1和2，非齐次线性微分方程的一个特解可为y=xe^x，进一步求得a，b，c.43.设随机变量X的概率分布为，则EX^2=________.正确答案：1、2本题解析：暂无解析A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D 正确答案：D 本题解析：45.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D 正确答案：A本题解析：本题考查过渡矩阵的概念，用观察法易见46.设，当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B，并求所有矩阵C正确答案：本题解析：由题意可知矩阵C为2×2阶矩阵，故可设求所有矩阵C，即求出方程组①的通解。
点估计
具体来说，极大似然估计是这样的：
设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样本 的联合密度(连续型）或联合分布律 (离散型)为 f (x1,x2,… ,xn ; ) . 当给定样本X1,X2,…Xn时，定义似然函数为：
L( ) f (x1, x2 ,…, xn; )
这里 x1, x2 ,…, xn 是样本的观察值 .
E ( X k ) 存在，则 由辛钦大数定律，若总体 k 阶原点矩
1 n k lim P X i E ( X k ) 0 n 即样本的 n i 1
k 阶原点矩依概率收敛于总
k k 体 k 阶原点矩 E ( X ) ，所以当 E ( X ) 知时，自然会想到用子
7 解：首先写出似然函数 L x1 ,..., x7 ; f xi ; e i 1 7
xi
i 1
7
取对数似然函数 ln L x1 ,..., x7 ; 7 ln xi i 1
d ln L x1 ,..., x7 ; 7 7 xi 0 似然方程为 d i 1
i
i fi X1 ,..., X n ， i
是样本的函数，称为 的矩估计量，将
i
样本观测值 x1,..., xn 代入矩估计量，即得到 i 的矩估计 值。
常用的矩估计量
1.样本k阶原点矩作为总体同阶原点矩的矩估计，即
Xk) 1 E( X ik n i 1
程组求出 a，b 的取值，但是根据概率最大原则，a，b 的取值应该使 L(x,a, b) 最大。根据均匀分布的性质， a xi b, i 1, 2,..., n 。因此，当
第7章参数估计
x 1 0
f P 1－p
x
xf f
1 p 0 (1 p) p (1 p)
p
2 (x x)2 f (1 p)2 p (0 p)2 (1 p)
f
p (1 p)
似然函数常简记为L或 L 1,2, ,k
未知参数的函数。
38
若有 ˆi (x1, x2,..., xn ) i 1, 2, k 使得
L x1, x2,..., xn;ˆ1, ˆ 2,
, ˆ k
max L (1 ,2 , ,k )
x1, x2,..., xn; 1, 2,
, k
则 ˆi (X1, X2,..., Xn) 为参数θi的极大似然估计量。
中选出一个使样本观察值出现的概率为最大的 ˆ 作
为θ的估计量。
称 ˆ 为θ 的极大似然估计量。
37
2.似然函数的数学表达式
设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样本的联合密度 (连续型）或联合分布律 (离散型)为 :
f (x; 1，2 , , k )
定义似然函数为：
n
L L x1,..., xn; 1, 2, , k f xi; 1, 2, , k i 1 x1, x2 ,..., xn 给定的样本观察值
§7.1.4抽样误差
1.误差：调查结果与实际值之间的差异 抽样调查中的误差
登记性误差(非抽样误差) 误差代表性误差随系机统误误差差（（抽非样抽误样差误）差）
2.抽样误差—由于抽样的随机性而产生的 样本指标对总体指标的代表性误差。抽样误 差可以计算并加以控制，但不可以避免。
概率论与数理统计复习题
概率论与数理统计复习题概率论与数理统计复习题一、选择题1、设0()1P A <<,0()1P B <<,(|)(|)1P A B P A B +=,则（C ）（A ）事件A ，B 不相容；（B ）事件A ，B 为对立事件；（C ）事件A ，B 相互独立；（D ）事件A ，B 不相互独立。
2、甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A 、B 、C 分别表示甲、乙、丙命中目标，用A 、B 、C 的运算关系表示事件“恰好有一人命中目标”，下列表达式正确的是（ C ） A.C B A Y Y B.C B A I IC. C B A C B A C B A Y YD. C B A BC A C AB Y Y3、 X 为随机变量，()E X μ=,()2D X σ=,则对任意常数k,必有（B ）（A ） ()()222E X k E Xk-=-；（B ） ()()22E X k E X μ-≥-；（C ） ()()22E X k E X μ-<-；（D ） ()()22E X k E X μ-=-。
4、设随机变量X 服从正态分布()2,Nμσ，则随着σ的增大，概率()P X μσ-<（C ）（A ）单调减少；（B ）单调增大；（C ）保持不变；（D ）增减不定。
5、设0，2，2，3，3为来自均匀分布总体),0(θU 的样本观察值，则θ的矩估计值为（D ）。
A. 1B. 2C. 3D. 46、设321,,X X X 是来自正态总体)1,(μN 的样本，现有μ的三个无偏估计量1123131?5102X X X μ=++，2123115?3412X X X μ=++，3123111362X X X μ=++其中最有效的估计量是（）。
（A ）1?μ（B ）2?μ（C ）3?μ（D ）以上都不是7、随机变量X ，Y 和X+Y 的方差满足Var(X +Y )=Var(X )+ Var(Y )是X 和Y （C ）（A ）不相关的充分条件，但不是必要条件；（B ）不相关的必要条件，但不是充分条件；（C ）独立的必要条件，但不是充分条件；（D ）独立的充分必要条件。
参数估计
（2）再用样本k阶矩代替相应的总体k阶矩
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设 总 体X ~ N ( , 2 ), , 2 未 知 ， 设 例1： ( X 1 , X 2 ,..., X n )为 来 自 总 体 的 样 本 ， 求 X 与 2的 矩 估 计 量 。
解：先建立待估参数与总体矩的关系
维随机变量，样本的联合概率密度为:
f ( x1 , x2 ,, xn ) f X 1 ( x1 ) f X 2 ( x2 ) f X n ( xn )
f ( x1 , ) f ( x2 , ) f ( xn , ) f ( xi , )
i 1
n
显然上式也为θ的函数，记作 L( )，即
L( ) f ( xi , )
i 1 n
我们称 L( ) 为似然函数。
小结：
似然函数
n p( x i ; ) i 1 L( ) n f ( x i ; ) i 1
由上可知，求极大似然估计值就是求使 L( ) 取最大的θ值。 下面我们用例子来说明求解极大似然估计值的步骤。
6
3
[ x dx x dx]
2 3 0 0
2
用样本k阶矩代替相应的总体k阶矩,得θ的矩估计量：
ˆ 2X
２）将数据代入，得θ的矩估计值为：
ˆ 2x 2 1 xi 8.9 8 i 1
8
计 算 器 的 使 用
例3：设总体X在区间[a,b]上服从均匀分布, a , b
实为 发生的概率。
根据极大似然原理，
概率大的事件在一次观测中更容易发生。
现在只做一次抽样， 事件 { X 1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn } 故 认为其概率较大。 认为其概率较大。 也即我们应选择 使 L( ) 取最大值。 我们把使 L( ) 取最大值的 值称为 的极大 竟然发生了,
概率论6
第六章 参数估计一． 填空题1. 设总体X ～N(μ, σ2), 若σ2已知, 总体均值μ 的置信度为1－α的置信区间为: ),(nX nX σλσλ+-, 则 λ = ________.解. X ～N(μ, σ2), 则)1,0(~N nX σμ-由 αλσμ-=<-1}|/{|nX P 得置信区间),(nX nX σλσλ+-所以 21αλ-=u .2. 设由来自正态总体N(μ, 0.92)容量为9的简单随机样本, 得样本均值X = 5, 则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间_______.解. 由第一题及查表知 96.1975.0==u λ. μ的置信区间为 )588.5,412.4()99.096.15,99.096.15(=⨯+⨯-3. 设X 1, X 2为来自正态总体N(μ, σ2)的样本, 若2119991X CX +为μ的一个无偏估计, 则C=_______. 解. μμ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+199911999121C X CXE , 所以 19991998=C 4. 设(X 1, X 2, …,X n )为来自正态总体X ～U(θ, θ + 1) (θ > 0)的样本, 则θ的矩估计量为____; 极大似然估计量为_____. 解. 总体X 的密度为⎩⎨⎧+≤≤=其它11)(θθϕx xi. 矩估计量 )12(21)(1+==⎰+θθθx d x X E用X 来估计E(X): X =+∧)12(21θ, 21-=∧X θii. 最大似然估计 X i ～⎩⎨⎧+≤≤=其它11)(θθϕi i i x x (i = 1, 2, …, n)所以(X 1, X 2, …,X n )的联合密度为⎩⎨⎧+≤≤=其它1,,1),(11θθϕn n x x x x),(1n x x ϕ在1,,1+≤≤θθn x x 范围中为常数. θ ≥ min {x 1, …x n }. 所以∧θ = min {x 1, …x n }.5. 设(X 1, X 2, …,X n )为来自正态总体 N(μ, σ2)的样本, a , b 为常数, 且0 < a < b , 则随机区间 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑∑==ni i n i i a X b X 1212)(,)(μμ 的长度L 的数学期望为______. 解. ∑∑∑∑====---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧---ni ini ini i n i i X E bXE ab X a X E 12121212)(1)(1)()(μμμμ222)11(11σσσban n bn a-=-=二． 单项选择题1. 设总体X ～N(μ, σ2), 其中σ2已知, 则总体均值μ 的置信区间的长度l 与置信度1－α的关系是(A) 当1－α缩小时, l 缩短. (B) 当1－α缩小时, l 增大. (C) 当1－α缩小时, l 不变. (D)以上说法均错. 解. μ的置信区间为),(2121nuX nuX σσαα--+-, 当1－α缩小时, 21α-u缩小. 置信区间长度为 2nuσα21-. 所以(A)是答案.2. 设总体X ～N(μ, σ2), 其中σ2已知, 若样本容量n 和置信度1－α均不变, 则对于不同的样本观察值, 总体均值μ的置信区间的长度(A) 变长 (B) 变短 (C) 不变 (D) 不能确定 解. 由第一题知: μ的置信区间长度为 2nuσα21-, 和样本的取值无关. (B)是答案.3. 设随机变量X 1, X 2, …,X n 相互独立且同分布, ∑∑==--==ni ini iX X n SX nX 1221)(11,1,2)(σ=i X D , 则S(A) 是σ 的一致估计 (B) 是σ 的无偏估计 (C) 是σ 的极大似然估计 (D) 与X 相互独立 解. (A)是答案, 具体内容超出大纲要求.4. 设θθ为∧的无偏估计, 且D(∧θ) ≠ 0, 则(∧θ)2必为θ2的(A) 无偏估计 (B) 有偏估计 (C) 一致估计 (D) 有效估计解. 因为θθ为∧的无偏估计, 所以E(∧θ) = θ.E((∧θ)2) = D(∧θ) + [E(∧θ)]2= D(∧θ) + θ2 ≠ θ2. (B)是答案.5. 设(X 1, X 2, …,X n )为取自正态总体X ～N(μ, σ2)的样本, 则μ2 + σ2的矩法估计量为 (A)∑=-ni iX X n12)(1(B)∑=--ni iX X n 12)(11(C)∑=-ni i Xn X 122(D)∑=ni i X n121解. 按矩估计方法: 22,X X ==∧∧μμ, 2121221)(1X X nX X nni i ni i -=-=∑∑==∧σ所以=∧+22σμ2X +2121X X nni i-∑==∑=ni i X n121. (D)是答案.6. 设总体X 的分布中未知参数θ的置信度为1－α的置信区间是[T 1, T 2], 即 αθ-=≤≤1)(21T T P则下列说法正确的是(A) 对T 1, T 2的观察值t 1, t 2, θ ∈ [t 1, t 2] (B) θ以1－α的概率落入区间[T 1, T 2] (C)区间[T 1, T 2]以1－α的概率包含θ (D) θ的数学期望E(θ)必属于[T 1, T 2] 解. (C)是答案.三. 计算与证明题1. 设总体X 服从参数为λ的Poisson 分布, X 1, X 2, …,X n 为样本, 试求λ的矩估计和极大似然估计.解. X i ～),2,1,0(!)( ===-k ek k X P ki λλi. 矩估计因为 E(X) = λ, 所以X =∧λ. ii. 最大似然函数为∏∏=-====ni i x n ni i i x ex X P L i11!)()(λλλ∑∑==--=ni i n i i x n x L 11lnln )(ln λλλ01ln 1=-=∂∂∑=n xL ni iλλ所以 X X nni i==∑=∧11λ.2. 设总体X 的密度函数为0,21),,(222)(ln 12>=---x ex x f x σμσπσμ其中－∞ < μ < +∞, σ2 >0为未知参数, 试求μ, σ2的极大似然估计. 解. 最大似然函数为222)(l n 112121),,,(σμσπσμ---=∏=i x i ni n ex x x f∑∑==-----=ni ini in xxn f 122122)(l n 21ln 2)2ln(ln μσσπ0)(l n 221ln 12=-=∂∂∑=μσμni ixf0)(l n )(212ln 212222=-+-=∂∂∑=μσσσni ixn f所以 ∑=∧=ni i X n1ln 1μ, 212)(l n 1μσ-=∑=∧ni iX n3. 设总体X 服从(0, θ)上的均匀分布, X 1, X 2, …,X n 为取自X 的样本.i. 求θ的矩估计∧1θ, 并讨论其无偏性和一致性.ii. 求θ的极大似然估计∧2θ, 并讨论其无偏性和一致性. 解. 总体X ～⎩⎨⎧≤≤=其它0/1)(θθϕx xi. 矩估计2)(θ=X E , 所以X =∧21θ, X 21=∧θθθθ===∧22)(2)(1X E E , 所以 ∧1θ是θ的无偏估计;因为 )(03124)(4)(4)(2221121∞→→=⋅⋅===∑=∧n nn nXD nX D D ni θθθ所以∧1θ是θ的一致估计. ii. 最大似然估计所以(X 1, X 2, …,X n )的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它0,,01),(11θθϕn n n x x x xθ越小, ),(1n x x ϕ就越大. 但θ的值不能小于 ni i x ≤≤1max .所以 ni i x ≤≤∧=12m a x θ.假设Z = ni i x ≤≤∧=12max θ. 又设F X (x)是总体X 的分布函数. 所以Z 的密度函数为F X (z) = {F X (x)}n Z 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==--其它001)()()}({)(11θθθϕϕz z n x z F n x n n X Z所以 θθθϕθ11)()()(01+===⎰⎰-∞+∞-n n dz zzn dz z z Z E n Z所以ni i x ≤≤∧=12max θ不是θ的无偏估计;2122221)()()(θθθϕθ+===⎰⎰-∞+∞-n n dz zn z dz z z Z E n Z0)1)(2()1(2)]([)()(22222→++=+-+=-=θθθn n nn n n n Z E Z E Z D由于 ,1)(θθ→+=n n Z E 0)1)(2()(2→++==θn n nZ D所以ni i x ≤≤∧=12max θ是θ的一致估计.4. 设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧≤>=--00)(1x x e ax x f axa λλ (λ> 0, a > 0)根据取自总体X 的样本(X 1, X 2, …,X n ), 求未知参数λ的极大似然估计量. 解. 最大似然函数为1111),,(-=-∏∑==a ini x nn n x ea x x f ni aiλλλ∏∑=-=--=ni a ini a ix x n f 111lnln ln λλ0ln 1=-=∂∂∑=ni a ixnf λλ所以 ∑=∧=ni a iXn1λ.5. 设(X 1, X 2, …,X n )为取自总体X 的样本, 1,01=>∑=ni ii αα, 证明i.i ni iX ∑=1α为E(X)的无偏估计.ii. 在上述所有无偏估计中, 以∑==ni iXnX 11最有效.解. i. ∑∑===ni i in i i i X E X E 11)()(αα=)()(1X E X E ni i=∑=α所以i ni iX ∑=1α为E(X)的无偏估计;ii. ∑∑===n i i ini i i X E X E 121)()(αα= ∑=ni i X D 12)(α所以该问题转化为: 在条件1,01=>∑=ni ii αα下, αi 取何值时,∑=ni i12α最小.条件极值: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∑∑==最小目标函数条件ni in ni i f 1211),(1αααα令=),,(1λααn F ∑∑==-+ni i ni i112)1(αλα02=+=∂∂λααi iF , (i = 1, 2, …, n). 解得 nn 11===αα即i ni iX ∑=1α作为E(X)的无偏估计中, 以∑==ni iX nX 11最有效.6. 设某产品的性能指标X ～N(μ, σ2), 现随机抽取20个产品进行检测, 检测后经计算得这些产品的性能指标均值X =5.21, S 2= 0.049, 试求X 的标准差σ的置信度为0.95的置信区间. 解. 1－α = 0.95, α/2 = 0.025, n = 20, s 2 = 0.049. X ～N(μ, σ2), )19(~19)1(222222χσσχSSn =-=由 95.01)}19()19({221222=-=<<-αχχχααP 查χ2表, 查得)19(22αχ=91.8)19(2025.0=χ, )19(221αχ-=9.32)19(2975.0=χσ2的95%置信区间为 ]10.0,03.0[]91.8049.019,9.32049.019[])19()1(,)19()1([2025.022975.02=⨯⨯=--χχsn sn所以, σ的95%置信区间为: [0.17, 0.32].注意: 理工类与经济类本章的习题完全相同, 但计算与证明题部分题号不全相同.。
《概率论与数理统计》第七章
n
n
ln xi
（4）的极大似然估计量为：ˆ
n
n2 i1
lnX
i
2
i1
第七章 参数估计 ‹#›
例 9 设X~b(1,p), X1,X2,…,Xn是来自X的一个样本， 试求参数p的最大似然估计量
解: 设x1, x2,, xn,是相应于样本X1,X2,…,Xn 的一个样本值，X
的分布律为：
(3)以样本各阶矩A1, ,Ak代替总体各阶矩1,
得各参数的矩估计
ˆi gi(A1, ,Ak )， i 1, , k
, k，
第七章 参数估计 ‹#›
注意：
在实际应用时，为求解方便，也可以用
中心矩 i 代替原点矩i，相应地以样本中心矩Bi 估计 i.
（二）最大似然估计法
最（极）大似然估计的原理介绍
第七章
参数估计
目录/Contents
第1章 随机事件与 2 概率
§ 1 点估计
§3
估计量的评选标准
第七章 参数估计 ‹#›
问题的提出:
在实际进行统计时，有不少总体的（我们关心的某 确定指标）概率分布是已知的。比如
例 1 产品寿命服从的分布
X~
f
(
x)
1
x
e
x0
0
其他
但其中有参数是未知的: θ
n
似然函数 L f xi , 。 i 1
, xn ，
极大似然原理：L(ˆ( x1 ,
,
xn
))
max
L(
).
计算简化方法：
在求L 的最大值时，通常转换为求：lnL 的最大值，
lnL 称为对数似然函数.
利用
数理统计题目
1.已知维尼纶纤维在正常条件下服从正态分布，且标准差0.048，从某天产品中抽取5根纤维，测得其纤度为1.32,1.55,1.36,1.40,1.44，问这一天纤度的总体标准差 否（是/否）正常。
解：这是一个关于正态总体方差的双侧检验问题，待检验的原选择和备择假设分别为048.0220H =σ： VS048.0221H ≠σ：此处n=5，若取显著性水平α=0.05，查表知2025.0χ（4）=0.4844,2975.0χ（4）=11.1433，故拒绝域为W={1433.1104844.022≥≤χχ或}，由样本数据可计算得到2χ1433.115069.13048.003112.0)12202>==-=σs n （ 因此拒绝0Ｈ，认为这一天纤度的总体标准差不正常。
2.设总体X~N （0，σ2）,X 1,…,X 10,…,X 15为总体的一个样本.则Y=()21521221121022212X X X X X X ++++++ΛΛ 服从 分布,参数为 . 【解】~(0,1),iX N σi =1,2,…,15. 那么122210152222111~(10),~(5)i i i i X X χχχχσσ==⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 且12χ与22χ相互独立,所以222110122211152/10~(10,5)2()/5X X X Y F X X X ++==++L L 所以Y~F 分布，参数为（10,5）3.设总体X 服从二项分布b （n ，p ），n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计. 【解】1(),(),E X np E X A X ===因此np=X所以p 的矩估计量 ˆXpn= 4.设^θ(X1,X2,…,Xn)是θ的估计量，若_________，则称^θ为θ的无偏估计量，否则称为θ的有偏估计量。
【解】 对一切θ∈Θ，E(^θ)=θ5.设总体为均匀分布U (0, θ )，X1 , …, X n 是样本，考虑检验问题 H0：θ ≥ 3 vs H1：θ < 3， 拒绝域取为W = { x (n)≤ 2.5}，若要使得该最大值α不超过 0.05，n 至少应取____. 答案为176． 从一批电子元件中抽取 8 个进行寿命测试，得到如下数据（单位：h ）：1050，1100，1130，1040，1250，1300，1200，1080，试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计． 解：平均寿命μ 的矩估计μˆ = x =1143.75；标准差σ 的矩估计μˆ = s* = 89.8523． 7.设随机变量X 的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他θθx x x f 0,0,2)(2，其中未知参数0>θ，n X X ,,1Λ是来自X 的样本，求θ的矩估计； 解：θθθ322)()(022===⎰⎰∞+∞-x d xx d x f x X E ， 令θ32)ˆ(==X XE ，得X 23ˆ=θ为参数θ的矩估计量。
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均匀分布u[-θ,θ]参数θ的几种估计量均匀分布u[-θ,θ]的参数θ的几种估计量包括：
1. 极大似然估计量：通过最大化样本的似然函数来估计参数θ。
在均匀分布中，样本的似然函数即为样本数据的上下界与参数θ的关系。
通过求解似然方程，可以得到θ的最大似然估计量。
2. 矩估计量：基于样本矩的统计量进行参数的估计。
在均匀分布中，可以使用样本的平均数和方差来估计参数θ。
通过求解矩方程，即样本矩与理论矩的差异，可以得到θ的矩估计量。
3. 最小二乘估计量：通过最小化样本观测值与均匀分布理论分布的平方残差之和来估计参数θ。
在均匀分布中，最小二乘估计量可以通过求解最小化平方残差的方程得到。
需要注意的是，以上估计量都是基于样本数据的统计方法，估计结果可能受到样本量大小、样本选择以及估计方法的影响。