利用配方法求代数式最值
备战2020年中考数学解题方法之探究十法06 配方法题研究(解析版)
备战2020中考数学解题方法专题研究专题6 配方法专题【方法简介】配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。
这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用．运用配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．【真题演练】1. 用配方法解一元二次方程x 2﹣4x ﹣6＝0，变形正确的是（ ）A ．（x ﹣2）2＝0B ．（x ﹣4）2＝22C ．（x ﹣2）2＝10D ．（x ﹣2）2＝8【解答】解：x 2﹣4x ﹣6＝0，移项得：x 2﹣4x ＝6，配方得：x 2﹣4x+4＝10，即（x ﹣2）2＝10．故选：C ．2. 用配方法解下列方程：(1)x 2＋3x －4＝0； (2)x(x ＋8)＝609.【解析】解：(1)由x 2＋3x －4＝0，得x 2＋3x ＋⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫322－4＝0， 即⎝⎛⎭⎫x ＋322－254＝0，⎝⎛⎭⎫x ＋322＝254， ∴x ＋32＝±52，x ＝－32±52，∴x 1＝1，x 2＝－4.(2)原方程可化为x 2＋8x ＝609，∴x 2＋8x ＋42＝609＋42，即(x ＋4)2＝625，∴x ＋4＝±25，∴x 1＝21，x 2＝－29.3. 已知一元二次方程(x －3)2＝1的两个根恰好分别是等腰三角形ABC 的底边长和腰长，求△ABC 的周长．【解析】解：∵(x －3)2＝1，∴x －3＝±1，解得x 1＝4，x 2＝2.∵一元二次方程(x －3)2＝1的两个根恰好分别是等腰三角形ABC 的底边长和腰长，∴①当底边长和腰长分别为4和2时，4＝2＋2，此时不能构成三角形；②当底边长和腰长分别是2和4时，此时能构成三角形，∴△ABC 的周长为2＋4＋4＝10.4. 用配方法证明：不论x ，y 取何实数时，代数式x 2＋y 2＋2x －4y ＋7的值总不小于常数2. 证明：∵x 2＋y 2＋2x －4y ＋7＝(x ＋1)2＋(y －2)2＋2，又∵(x ＋1)2≥0，(y －2)2≥0，∴不论x ，y 取何实数时，x 2＋y 2＋2x －4y ＋7≥2.【名词释义】把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”．“直接开平方法”告诉我们根据完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±可以将一元二次方程化为形如2()(0)ax b c c +=≥的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法——“配方法”．它的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．用“配方法”解一元二次方程的一般步骤：1．方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；2．移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()ax b c +=的形式；4．若0c ≥，用“直接开平方法”解出；若0c <，则原方程无实数根即原方程无解．“配方法”是一种重要的数学方法，它不仅可应用于解一元二次方程，而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用．【典例示例】例题1：有n个方程：x2＋2x－8＝0；x2＋2×2x－8×22＝0；…；x2＋2nx－8n2＝0.小静同学解第1个方程x2＋2x－8＝0的步骤为“①x2＋2x＝8；②x2＋2x＋1＝8＋1；③(x＋1)2＝9；④x＋1＝±3；⑤x＝1±3；⑥x1＝4，x2＝－2.”(1)小静的解法是从步骤________开始出现错误的；(2)用配方法解第n个方程x2＋2nx－8n2＝0(用含n的式子表示方程的根)．【解析】：(1)⑤(2)x2＋2nx－8n2＝0，x2＋2nx＝8n2，x2＋2nx＋n2＝8n2＋n2，(x＋n)2＝9n2，x＋n＝±3n，x＝－n±3n，∴x1＝－4n，x2＝2n.例题2：先仔细阅读材料，冉尝试解决问题完全平方公式a2±2ab+b2＝(a±b)2及(a±b)2的值具有非负性的特点在数学学习中有着广泛的应用，例如求多项式2x2+12x﹣4的最小值时，我们可以这样处理：解：原式＝2(x2+6x﹣2)＝2(x2+6x+9﹣9﹣2)＝2[(x+3)2﹣11]＝2(x+3)2﹣22因为无论x取什么数，都有(x+3)2的值为非负数，所以(x+3)2的最小值为0，当x＝﹣3时，2(x+3)2﹣22的最小值是﹣22，所以当x＝﹣3时，原多项式的最小值是﹣22．解决问题：(1)请根据上面的解题思路探求：多项式x2+4x+5的最小值是多少，并写出此时x的值；(2)请根据上面的解题思路探求：多项式﹣3x2﹣6x+12的最大值是多少，并写出此时x的值．的值．【解析】（1）x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝(x+2)2+1，当x＝﹣2时，多项式x2+4x+5的最小值是1；（2）﹣3x2﹣6x+12＝﹣3(x2+2x+1)+3+12＝﹣3(x+1)2+15，当x＝﹣1时，多项式﹣3x2﹣6x+12的最大值是15．【归纳总结】关于配方法主要在以下几个方面进行运用，①配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用，在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。
资料：一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础
一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础）撰稿：张晓新 审稿：杜少波【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程x2-7x-1=0．【思路点拨】此题可以先将常数项右移，方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，使方程左边配成完全平方式，右边是非负数，再用直接开平方法就能解答此题．【答案与解析】将方程变形为x2-7x=1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x2-7x+=1+，所以有=1+．直接开平方，得x-=或x-=-．所以原方程的根为x=+或x=-．【点评】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：(1)把形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程中二次项的系数化为1；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；(4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x2-4x-2=0； (2)x2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为x2-4x=2．两边都加4，得x2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2=或x-2=-．于是，原方程的根为x=2+或x=2-．(2)将常数项移到方程右边x2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x2+6x+32=-8+32，∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1，∴ x=-2或x=-4．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ）Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ．【点评】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4】3．用配方法说明： 代数式 x 2+8x+17的值总大于0. 【答案与解析】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x 取何实数，代数式 x 2+8x+17的值总大于0.【点评】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.举一反三：【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4变式1】【变式】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0， ∴当（x+4）2=0时，代数式 x 2+8x+17的最小值是1.4．已知223730216b a a b -+-+=，求4a b -的值． 【思路点拨】解此题关键是把3716拆成91416+ ，可配成两个完全平方式． 【答案与解析】将原式进行配方，得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即223124a b⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴32a-=且14b-=，∴32a=，14b=．∴3131 4422422a b-=-=-=-．【点评】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出a．b的值．。
初中数学竞赛指导-第二讲-配方法
第二讲 配方法一、 方法与技巧1、配方法：把代数式通过直接变形或分拆重组、添补重组、组合重组等手段，得到完全平方式，再利用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的，从而求解出问题的结果，这重解题方法称之为配方法。
2、配方法的作用：配方法的作用在于改变代数式的原有结构形式，是代数变形的重要方式之一。
配方法的实质在于挖掘题设的隐含条件来创建非负数性质。
3、配方法的用途：①解一元二次方程；②二次函数；③因式分解；④二次根式化简求值；⑤有关最大或最小值。
4、常用的配方法：①直接配方；②分拆、填补、重组配方。
二、题型题型一 用配方法求值1、已知251,251+=-=b a ，则722++b a 的值为（ ）A 、6B 、5C 、4D 、32、已知21,19,20+=+=+=y c y b y a ，则代数式ac bc ab c b a ---++222的值是（ ）A 、4B 、3C 、2D 、13、已知实数a 、b 、c 满足,142,238,176222=+-=+-=+a c c b b a 则c b a ++的值为（ ）A 、-8B 、-7C 、-6D 、-54、已知21,212222-=-+=-c b b a ，则222222444a c c b b a c b a ---++的值为（ ）A 、5B 、6C 、7D 、85、已知实数a 、b 、x 、y 满足5,3=-=+bx ay by ax ，则代数式()()2222y x b a ++的值为（ ）A 、33B 、34C 、35D 、-35 题型二 用配方法解方程1、若062322322323=-+++++-b ab a ba b ab a ，则a= . 2、关于x 的方程()0112=+--x k kx 有有理根，则整数k 的值为 。
题型三 用配方法求最值1、已知1214522+---+=y x xy y x z ，则z 的最小值为 。
配方法求最值
配方法求最值在数学中，我们经常会遇到求解函数最值的问题。
而配方法是一种常用的方法之一，用来求解函数的最值。
本文将介绍配方法的基本概念和应用，帮助读者更好地理解和运用这一方法。
首先，让我们来了解一下什么是配方法。
配方法，顾名思义，就是通过配对的方式来对函数进行变形，从而更容易求解最值。
通常情况下，我们会将函数进行配对，使得原函数可以被分解为两个部分，其中一个部分容易求导，另一个部分容易求积分。
这样就可以通过对函数进行变形，使得求解最值的过程更加简单。
接下来，我们来看一个具体的例子，以便更好地理解配方法的应用。
假设我们要求解函数f(x)=x^2e^x的最值。
首先，我们可以通过配方法将函数进行变形，将x^2和e^x进行配对。
我们可以将函数f(x)写成f(x)=x^2e^x=x^2e^x。
然后，我们可以对这个函数进行变形，使得其中一个部分容易求导，另一个部分容易求积分。
在这个例子中，我们可以通过配方法将x^2和e^x进行配对，然后对函数进行变形，从而更容易求解最值。
通过上面的例子，我们可以看到配方法的基本思想。
通过对函数进行配对，使得原函数可以被分解为两个部分，其中一个部分容易求导，另一个部分容易求积分。
这样就可以通过对函数进行变形，使得求解最值的过程更加简单。
除了上面的例子之外，配方法还可以应用于其他类型的函数。
无论是多项式函数、指数函数、对数函数还是三角函数，都可以通过配方法进行变形，从而更容易求解最值。
因此，配方法是一种非常实用的方法，可以帮助我们更好地求解函数的最值。
在实际应用中，我们可以通过配方法来求解各种类型的函数的最值。
无论是在求解数学问题、物理问题还是工程问题中，配方法都可以发挥重要作用。
因此，掌握配方法是非常重要的，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
总之，配方法是一种常用的方法，用来求解函数的最值。
通过对函数进行配对，使得原函数可以被分解为两个部分，其中一个部分容易求导，另一个部分容易求积分。
2020年中考复习《最值问题》压轴综合(含答案)
2020年中考复习《最值问题》压轴综合[中考真题]（2019·无锡）如图，在ABC ∆中，54,5,===∆BC AC ABABC ,D 为边AB 上一动点(B 点除外)，以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ∆面积的最大值为B[思路解析]过点C 作CG ⊥BA 于点G ，作EH ⊥AB 于点H ，作AM ⊥BC 于点M ．由AB=AC=5，BC[考点提炼] 类型一：代数最值解数学题时，我们常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点： 1. 利用绝对值求最值； 2. 运用配方法求最值；3. 构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；4. 建立函数模型求最值；5. 利用基本不等式求最值；6. 构造几何模型求最值. 类型二：几何最值几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有： 1．特殊位置与极端位置法，比如中点处、临界点； 2．几何定理(公理)法，比如垂线段最短；3．数形结合法，比如图形面积问题．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．[例题精讲]【例1】利用配方法求最值设a 、b 为实数，那么b a b ab a 222--++的最小值是 ． 【答案】-1【例2】 利用判别式法求最值设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实根，当m 为何值时，2221x x +有最小值，并求这个最小值．【答案】98 注：定义在某一范围的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形： (1)当抛物线的顶点在该取值范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；(2)当抛物线的顶点不在该取值范围内，二次函数的最值在该取值范围内两端点处取得．【例3】利用基本不等式求最值某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x 天应付的养护与维修费为[500)1(41+-x ]元．(1)如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购买该设备费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y (元)表示为使用天数x (天)的函数； (2)按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问该设备投入使用多少天应当报废? 【答案】（1）y=874998500000++x x ； （2）2000天.注：不等式也是求最值的有效方法，常用的不等式有：(1)02≥a ； (2)ab b a 222≥+；（3）若0>a ，0>b ，则ab b a 2≥+； (4)若0>a ，0>b ，0>x ，则bab x x a 2≥+． 以上各式等号当且仅当b a = (或bxx a =)时成立． 【例4】利用函数模型求最值如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a 为l0m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为xm ，面积为sm 2．(1)求s 与x 的函数关系式；(2)如果要围成面积为45m 2的花圃，AB 的长是多少米?(3)能围成面积比45m 2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．【答案】（1）S=-3x 2+24x （8x 314<≤）；（2）AB=5m ； （3）3246max =S .能围成，围法：长10m ，宽324m.【例5】构造几何模型求最值求代数式4)3(122+-++x x 最小值．解：如图，建立平面直角坐标系，点P （x ，0）是x 轴上一点，则221)0(+-x 可以看成点P 与点A（0，1）的距离，222)3(+-x 可以看成点P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA ＋PB 的最小值．∴原代数式的最小值为32.【例6】利用特殊位置与极端位置法求最值如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ．【答案】5注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：(1)中点处、垂直位置关系等； (2)端点处、临界位置等． 【例7】利用定理或公理求最值（1）如图，∠AOB=45°，角内有一点P ，PO=10，在角的两边上有两点Q ，R(均不同于点O)，则△PQR 的周长的最小值为 ．【答案】102（2）如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC=8，B 到MN 的距离BD=5，CD=4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等于 ．【答案】5（3）如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP+BP 的最小值为( )A ．1B ．22C ．2D ．13-【答案】C（4）如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C. 则A′C 长度的最小值是 .【答案】71（5）如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．【答案】3【例8】数形结合求最值1、如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；解：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠A＝∠B＝∠C＝60°由折叠可知：DF＝DC，且点F在AC上∴∠DFC＝∠C＝60°∴∠DFC＝∠A∴DF∥AB；（2）存在，过点D作DM⊥AB交AB于点M，∵AB＝BC＝6，BD＝4，∴CD＝2∴DF＝2，∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，∴当点F在DM上时，S△ABF最小，∵BD＝4，DM⊥AB，∠ABC＝60°∴MD＝2∴S△ABF的最小值＝×6×（2﹣2）＝6﹣6∴S最大值＝﹣（6﹣6）＝3+62、综合与探究如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为．（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；解：（1）∵OA＝2，OC＝6∴A（﹣2，0），C（0，﹣6）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A、C∴解得：∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣6（2）∵当y＝0时，x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝3∴B（3，0），抛物线对称轴为直线x＝∵点D在直线x＝上，点A、B关于直线x＝对称∴x D＝，AD＝BD∴当点B、D、C在同一直线上时，C△ACD＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC最小设直线BC 解析式为y ＝kx ﹣6 ∴3k ﹣6＝0，解得：k ＝2 ∴直线BC ：y ＝2x ﹣6 ∴y D ＝2×﹣6＝﹣5∴D （，﹣5）故答案为：（，﹣5）（3）过点E 作EG ⊥x 轴于点G ，交直线BC 与点F 设E （t ，t 2﹣t ﹣6）（0＜t ＜3），则F （t ，2t ﹣6） ∴EF ＝2t ﹣6﹣（t 2﹣t ﹣6）＝﹣t 2+3t∴S △BCE ＝S △BEF +S △CEF ＝EF •BG +EF •OG ＝EF （BG +OG ）＝EF •OB ＝×3（﹣t 2+3t ）＝﹣（t ﹣）2+∴当t ＝时，△BCE 面积最大∴y E ＝（）2﹣﹣6＝﹣∴点E 坐标为（，﹣）时，△BCE 面积最大，最大值为．[举一反三] 1、若32211-=+=-z y x ，则222z y x ++可取得的最小值为( ) A ．3 B ．1459 C ．29D ．6【答案】B2、正实数x 、y 满足1=xy ，那么44411yx+的最小值为( )A ．21 B ．85C ．1D ．45E ．2 【答案】C3、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE ，其中AF=2，BF=l ，在AB 上的一点P ，使矩形PNDM 有最大面积，则矩形PNDM 的面积最大值是( )A ．8B ．12C ．225D ．14 【答案】B4、如图，AB 是半圆的直径，线段CA 上AB 于点A ，线段DB 上AB 于点B ，AB=2；AC=1，BD=3，P 是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB 的最大面积是( )A ．22+B ．21+C ．23+D ．23+ 【答案】A5、当－2≤x≤l 时，二次函数()22y x m m 1=--++有最大值4，则实数m 的值为（ ） A. 74- B. 3或3- C. 2或3- D. 2或3或74-【答案】C6、如图，点P （-1，1）在双曲线上，过点P 的直线l 1与坐标轴分别交于A 、B 两点，且tan ∠BAO=1．点M 是该双曲线在第四象限上的一点，过点M 的直线l 2与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点C 、点D ．则四边形ABCD 的面积最小值为（ ） A 10 B 8 C 6 D 不能确定【答案】B7、设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22=++a ax x 的两个实数根，则)2)(2(1221x x x x --的最大值为 ． 【答案】863- 8、若抛物线1)1(2----=k x k x y 与x 轴的交点为A 、B ，顶点为C ，则△ABC 的面积最小值为【答案】19、甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p (万元)和q (万元)，它们与投入资金x (万元)的关系有经验公式x p 51=，x q 53=． 今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少?能获得多大的利润?【答案】甲：0.75万元，乙：2.25万元，最大利润1.05万元.10、已知：△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转得到△A ′B ′C ，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A ′D ⊥AC ，垂足为D ，A ′D 与B ′C 交于点E ．（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．①写出旋转角α的度数；②求证：EA′+EC＝EF；（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接P A，PF，若AB ＝，求线段P A+PF的最小值．（结果保留根号）【答案】（1）①解：旋转角为105°．理由：如图1中，∵A′D⊥AC，∴∠A′DC＝90°，∵∠CA′D＝15°，∴∠A′CD＝75°，∴∠ACA′＝105°，∴旋转角为105°．②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，∴∠CEA′＝120°，∵FE平分∠CEA′，∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，∴△FOC∽△A′OE，∴＝，∴＝，∵∠COE＝∠FOA′，∴△COE∽△FOA′，∴∠F A′O＝∠OEC＝60°，∴△A′OF是等边三角形，∴CF＝CA′＝A′F，∵EM＝EC，∠CEM＝60°，∴△CEM是等边三角形，∠ECM＝60°，CM＝CE，∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，∴∠FCM＝∠A′CE，∴△FCM≌△A′CE（SAS），∴FM＝A′E，∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，∴△A′EF≌△A′EB′，∴EF＝EB′，∴B′，F关于A′E对称，∴PF＝PB′，∴P A+PF＝P A+PB′≥AB′，在Rt△CB′M中，CB′＝BC＝AB＝2，∠MCB′＝30°，∴B′M＝CB′＝1，CM＝，∴AB′＝＝＝．∴P A+PF的最小值为．11、如图，抛物线()21y x 312=--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D. （1）求点A ，B ，D 的坐标；（2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD.求证：∠AEO=∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙O 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标.【答案】（1）()32,0-，()32,0 ，()3,1- ；（2）证明略；（3）（5，1）；（3，1）或1913,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
北师大版九年级上册第二章知识点
九年级第二章一元二次方程一、认识一元二次方程知识点1 ：一元二次方程的意义1.一元二次方程：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax²＋bx＋c=0（a、b、c为常数，a不等于0）的形式，这样的方程叫一元一次方程。
2.一元二次方程必须同时满足三个条件：(1)是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2。
知识点2 ：一元二次方程的一般形式1.一元二次方程的一般形式：ax²＋bx＋c=0（a、b、c为常数，a不等于0）其中，ax²、bx、c分别称为二次项，一次项，常数项，a、b分别乘为二次项系数，一次项系数。
2.一元二次方程的特殊形式：特殊形式二次项系数一次项系数常数项ax²＋bx=0（a≠0，b≠0）a b0ax²＋c=0（a≠0，b≠0）a0c ax²=o（a≠0）a003 确定一元二次方程各项系数的一般步骤：原方程化简成一般形式ax²＋bx＋c=0确定a、b、c（勿漏符号）知识点3：根据实际问题列一元二次方程从实际问题中抽象出一元二次方程的一般步骤：(1)审清题意，设出合适的未知数；(2) 找出已知量与未知量之间的等量关系； (3) 列出一元二次方程，并化为一般形式。
知识点4：一元二次方程的解1 一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解。
2 判断一元二次方程的解得办法知识点5：用估算法求一元二次方程的近似解1 当x 取某一个值时，代数式ax ²＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的值无限接近于0，此时即可近似地将x 看成该方程的解。
2 用估算法求二元一次方程的近似解的步骤：(1) 先列表，再列出几组x 的值，并分别计算ax ²＋bx ＋c=0（a 、b 、c 为常数，a 不等于0）中ax ²＋bx ＋c=0的值；(2) 在列表中找出可能使ax ²＋bx ＋c 的值等于0的未知数的取值范围；(3) 在（2）中确定的取值范围内进一步列表，计算，估计取值范围，直到近似解符合题中的经确定的要求为止。
讲义1配方法
第一讲 配方法1. 利用非负数的性质求解不定方程非负数：用含有字母a 的代数式表示常见的非负数有 不定方程：一个方程含有两个或者两个以上的未知数（1）如果不限定解的性质，不定方程一般有无数多个解。
如：求二元一次方程5x+3y=23的解有 。
(2) 如果限定解的性质，不定方程的解通常为有限多个.如：求方程5x+3y=23的正整数解为：方法一： 方法二：(3)变式：若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+py x y x 2335的解均为正整数，则整数p 的值为_______ ______．应用一：两个（或几个）非负数的和为零，则这两个非负数必须同时为零。
（4）0)3(22=-+-b a ，求a+b 的值。
（5）变式：已知096-22=++-b b a 求a+b 的值。
（6）若0106222=+-++y y x x ，则x = ，y = .方法总结：以上方程为不定方程，要求解必须找特殊关系，常见方法即为：利用非负数的性质（绝对值与平方）构造特殊关系。
配方法因此而产生。
配方法：把形如2ax bx c ++的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法配方法的基本形式是完全平方公式的逆用，即2222()a ab b a b ±+=±．配方法的使用过程中需要通过观察，合理的拆项凑平方。
2.配方法在恒等变形中的应用（1）变式1：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2-2ab ＋2b 2＝2bc -c 2，则△ABC 是 三角形（2）变式2：已知△ABC 的三边a 、b 、c 满足0222=---++ac bc ab c b a ， 则△ABC 是 三角形。
（3）变式3：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边的长，并且有ac c ab b 2222+=+成立， 则△ABC 三角形（4）自主练习：请你写出三个二次三项式，并利用配方法进行配方。
方法总结：3用配方法求代数式的最值（最大值或者最小值）（1）若代数式1562+-x x 可通过以下步骤：解： 1562+-x x =6962++-x x =6)3(2+-x∵0)3(2≥-x ∴66)3(2≥+-x ∴当3=x 时，代数式1562+-x x 有最小值6仿照以上解法， 求代数式2042++-x x 的最值。
一元二次方程考点及题型分类
一元二次方程考点及题型分类考点一：一元二次方程的定义题型（一）判断一元二次方程１、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）Ａ．()()12132+=+x x Ｂ． 02112=-+x x Ｃ．02=++c bx ax Ｄ． 1222-=+x x x２、关于x 的方程2320ax x -+=是一元二次方程,则（ ）A 、0a >；B 、0a ≠；C 、1a =；D 、a ≥0．题型（二）考查一般形式３、方程20x x -=的一次项系数是 ，常数项是 ．４、方程２x x 232=-化成一般形式是 ，其中二次项系数式是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
题型（三）根据定义求字母系数的值。
（主要是利用定义及其隐含条件）5、关于x 的方程（m-n ）x 2+mx+m=0，当m 、n 满足_________时，是一元一次方程；当m 、n满足_________时，是一元二次方程考点二：一元二次方程的解方程的解满足一元二次方程的左右两边相等，反之能使左右两边相等的未知数的值是方程的解。
题型（一）利用一元二次方程的解求字母系数的值１、1.已知一元二次方程032=+-mx x 的一个根为1，则m 的值为____________.。
2、一元二次方程02=++c bx ax ，若x=1是它的一个根，则a+b+c= ,若a －b+c=０，则方程必有一根是 。
3.关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+（2m-1）x+m 2-4=0的一个根是0，则m 的值是（ )A 、2B 、-2C 、2或者-2D 、12 4、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ）A 1-B 1C c b -D a -题型（二）求代数的值1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
2、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。
3、若a 是方程012=-+x x 的一个根，则代数式2340002000a a +的值为4、已知1x =是一元二次方程2400ax bx +-=的一个解，且a b ≠，求2222a b a b --的值. 题型（三）、利用一元二次方程三种变形巧解等式求值问题（主要是降次思想的运用）1、已知，则的值是________。
知识点136 配方法的应用解答题
一．填空题（共16小题）1．x、y、z为实数且x+y+z=，则x+y+z=28．考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根。
专题：计算题。
分析：将已知等式配方为几个非负数的和为0的形式，可求x、y、z的值．解答：解：已知等式可化为（x﹣3）﹣4+4+（y﹣6）﹣2+1+（z﹣5）﹣6+9=0，配方，得（﹣2）2+（﹣1）2+（﹣3）2=0，∴﹣2=0，﹣1=0，﹣3=0，解得x=7，y=7，z=14，∴x+y+z=28．故答案为：28．点评：本题考查了配方法在等式变形中的运用．关键是利用完全平方公式将等式配方成几个非负数的和为0的形式，利用非负数的性质解题．2．a，b，c是整数，满足不等式：a2+b2+c2+3＜ab+3b+2c，则a+b+c=4．考点：配方法的应用。
分析：首先由a2+b2+c2+3＜ab+3b+2c，将其变形为（a﹣b）2+3（b﹣1）2+（c﹣1）2＜1，又由完全平方式是非负数，所以可知每个完全平方式为0，则可求得a，b，c的值，则问题得解．解答：解：∵a2+b2+c2+3＜ab+3b+2c，∴a2+b2+c2+3﹣ab﹣3b﹣2c＜0，∴（a2﹣ab+b2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1）﹣1＜0，∴（a﹣b）2+3（b﹣1）2+（c﹣1）2＜1，∵a，b，c是整数，∴a=1，b=2，c=1，∴a+b+c=4．故答案为：4．点评：此题考查了配方法与完全平方式的非负性．注意将a2+b2+c2+3＜ab+3b+2c变形为（a ﹣b）2+3（b﹣1）2+（c﹣1）2＜1，是解此题的关键．3．若P=a﹣2，Q=a2+3a（a为实数），则P、Q的大小关系为P＜Q．考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方。
专题：计算题。
分析：比较两个数的大小，取两数P、Q的差，并与0的大小进行比较．如果P﹣Q＞0，则P＞Q；如果P﹣Q＜0，则P＜Q；如果P﹣Q=0，则P=Q．解答：解：∵P=a﹣2，Q=a2+3a（a为实数），∴Q﹣P=a2+3a﹣a+2=a2﹣2a+2=（a﹣1）2+1；∵（a﹣1）2≥0，∴（a﹣1）2+1≥1，∴Q﹣P≥1，∴Q＞P，即P＜Q．故答案为：P＜Q．点评：本题考查了配方法的应用、非负数的性质﹣﹣偶次方．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．4．将代数式x2﹣5x+7化成（x﹣m）2+n的形式为（x+）2+．考点：配方法的应用。
配方法的运用
九 年 级 数 学 讲 义配方法的运用例1、已知a 、b 、c 为正整数，且a 2＋b 2＋c 2＋42＜ab ＋9b ＋8c ，求a 、b 、c 的值。
例2、设x 为正实数，求x 2－x ＋x1的最小值。
例3、已知：3x 2＋2y 2=6x ，求x 2＋y 2的最大值。
例4、△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，∠B 的角平分线交AC 、AD 于E 、F ，AH ⊥EF 于H ，△AHF 、△BDE 、△BAF 的周长分别为C 1、C 2、C 3。
求证：321c c c +≤89，当等号成立时求BFAF 的值。
例5、已知实数x 、y 满足(x 2＋2x ＋3)(3y 2＋2y ＋1)=34，求x ＋y 的值。
例6、已知x ＋y ＋z=1，求证：x 2＋y 2＋z 2≥31练 习：1、a 、b 、c 为整数，且a 2＋b 2＋c 2＋3＜ab ＋3b ＋2c ，则a ＋b ＋c= 。
2、方程x 2－2xy ＋14y 2=217的正整数解为 。
3、已知：x －y=8，xy ＋z 2=－16，则x ＋y ＋z= 。
4、已知：x ＋y=5，z 2=xy ＋y －9，则x ＋2y ＋3z= 。
5、a ＞b ＞0，a 2＋b 2=3ab ，则ba ba -+= 。
6、设a ＋b ＋c ＋3=2(11-+++c b a )，求a 2＋b 2＋c 2的值。
C7、若实数a、b、c满足a2＋b2＋c2=9，求代数式(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2的最大值。
8、解方程：5x2＋10y2－12xy－6x－4y＋13=0。
9、设a、b、c是不全相等的实数，x=a2－bc，y=b2－ac，z=c2－ab。
求证：a、b、c中至少有一个大于零。
10、某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销，拟采用每买一件这种商品时，赠送一个小礼品的办法，实验表明，礼品价格为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值每增加1元，销售量就增加10%。
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利用配方法求代数式最值
在代数学中，我们经常需要求解代数式的最值问题。
而利用配方法是一种常见且有效的求解方法。
本文将介绍如何利用配方法来求解代数式的最值问题。
一、什么是配方法？
配方法，又称配方法或配方技巧，是一种将代数式进行变形的方法，通过变形后的式子，可以更加方便地进行计算或求解。
配方法常用于求解二次函数的最值问题，也适用于其他类型的代数式。
二、如何利用配方法求解代数式的最值？
下面我们通过一个具体的例子来说明如何利用配方法求解代数式的最值问题。
例1：求解函数f(x)=x²+2x+1的最小值。
解：首先，我们可以将函数f(x)进行配方，即将x²+2x+1变形为完全平方形式。
由于(x+1)²=x²+2x+1，所以f(x)可以写成f(x)=(x+1)²。
将f(x)进行变形后，我们可以发现f(x)的最小值为0，且当x=-1时取得最小值。
因此，函数f(x)=x²+2x+1的最小值为0，当且仅当x=-1时取得最小值。
通过这个例子，我们可以看到，通过配方法将代数式进行变形，可以使问题的求解变得更加简单明了。
三、配方法的注意事项
在利用配方法求解代数式的最值问题时，我们需要注意以下几点：
1. 配方的目的是将代数式变形为完全平方形式。
完全平方形式具有明确的最值点，从而方便我们求解最值问题。
2. 配方的过程需要仔细、有条理地进行，确保每一步的变形是准确无误的。
3. 配方后的代数式可能会有多个最值点，我们需要通过进一步的计算或分析来确定最值的具体取值。
四、其他例子
除了二次函数的最值问题，配方法还可以用于其他类型的代数式求解。
例2：求解函数f(x)=x³-3x²+3x-1的最大值。
解：首先，我们可以将函数f(x)进行配方，即将x³-3x²+3x-1变形
为完全平方形式。
由于(x-1)³=x³-3x²+3x-1，所以f(x)可以写成f(x)=(x-1)³。
通过配方后，我们可以发现f(x)的最大值为0，且当x=1时取得最大值。
因此，函数f(x)=x³-3x²+3x-1的最大值为0，当且仅当x=1时取得最大值。
通过这个例子，我们可以看到，利用配方法可以轻松求解其他类型的代数式最值问题，只需将代数式变形为合适的形式，即可得出最值的取值和最值点的坐标。
五、总结
本文介绍了利用配方法求解代数式最值的方法。
通过配方将代数式变形为合适的形式，我们可以更加方便地求解最值问题。
在实际应用中，我们可以灵活运用配方法，将代数式变形为最简单的形式，从而更加高效地求解最值问题。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和应用配方法，从而在代数学的学习和问题求解中取得更好的成绩。