高等数学下册第八章课后习题解答

习题8?1

1. 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所成的点集(称为导集)和边界.

(1){(x , y )|x ≠0, y ≠0};

解 开集, 无界集, 导集为R 2, 边界为{(x , y )|x =0或y =0}.

(2){(x , y )|1

解 既非开集, 又非闭集, 有界集, 导集为{(x , y )|1≤x 2+y 2≤4},

边界为{(x , y )|x 2+y 2=1或x 2+y 2=4}.

(3){(x , y )|y >x 2};

解 开集, 区域, 无界集, 导集为{(x , y )| y ≥x 2}, 边界为{(x , y )| y =x 2}.

(4){(x , y )|x 2+(y ?1)2≥1}∩{(x , y )|x 2+(y ?2)2≤4}.

解 闭集, 有界集, 导集与集合本身相同,

边界为{(x , y )|x 2+(y ?1)2=1}∪{(x , y )|x 2+(y ?2)2=4}.

2. 已知函数y

x xy y x y x f tan ),(22?+=, 试求f (tx , ty ). 解 )(tan )()()()(),(22ty

tx ty tx ty tx ty tx f ???+= ),(tan 2222y x f t y x xy y x t =??

?????+=. 3. 试证函数F (x , y )=ln x ?ln y 满足关系式:

F (xy , uv )=F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ).

证明 F (xy , uv )=ln((x , y )?ln(uv )

=(ln x +ln y )(ln u +ln v )

=ln x ?ln u +ln x ?ln v +ln y ?ln u +ln y ?ln v

=F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ).

4. 已知函数f (u , v , w )=u w +w u +v , 试求f (x +y , x ?y , xy ).

解 f (x +y , x ?y , xy )=(x +y )xy +(xy )(x +y )+(x ?y )

=(x +y )xy +(xy )2x .

5. 求下列各函数的定义域:

(1)z =ln(y 2?2x +1);

高等数学下册第八章习题解答

解 要使函数有意义, 必须y 2?2x +1>0,

故函数的定义域为D ={(x , y )|y 2?2x +1>0}.

(2)y

x y x z ?++=11; 解 要使函数有意义, 必须x +y >0, x ?y >0,

故函数的定义域为D ={(x , y )|x +y >0, x ?y >0}.

(3)y x z ?=;

解 要使函数有意义, 必须y ≥0,0≥?y x 即y x ≥, 于是有x ≥0且x 2≥y , 故函数定义域为D ={(x , y )| x ≥0, y ≥0, x 2≥y }.

(4)221)ln(y

x x x y z ??+?=; 解 要使函数有意义, 必须y ?x >0, x ≥0, 1?x 2?y 2>0,

故函数的定义域为D ={(x , y )| y ?x >0, x ≥0, x 2+y 2<1}.

(5)222222221r

z y x z y x R u ?+++???=(R >r >0); 解 要使函数有意义, 必须R 2?x 2?y 2?z 2≥0且x 2+y 2+z 2?r 2>0, 故函数的定义域为D ={(x , y , z )| r 2

(6)22arccos y

x z u +=. 解 要使函数有意义, 必须x 2+y 2≠0, 且1||

22≤+y x z 即z 2≤x 2+y 2, 故函数定义域为D ={(x , y , z )|z 2≤x 2+y 2, x 2+y 2≠0}.

6. 求下列各极限:

(1)22)1,0(),(1lim

y x xy y x +?→; 解

110011lim 22)1,0(),(=+?=+?→y x xy y x .

(2)22)0,1(),()ln(lim y

x e x y y x ++→; 解 2ln 0

1)1ln()ln(lim 22022)0,1(),(=++=++→e y x e x y y x . (3)xy y x 42lim

)0,0(),(+?→; 解 xy y x 42lim

)0,0(),(+?→)42()42)(42(lim )0,0(),(+++++?=→xy xy xy xy y x 41)42(1lim

)0,0(),(?=++?=→xy y x . (4)11lim )

0,0(),(?+→xy xy y x ; 解 11lim )0,0(),(?+→xy xy y x )11)(11()11(lim )0,0(),(?+++++=→xy xy xy xy y x 2)11lim )11(lim )0,0(),()0,0(),(=++=++=

→→xy xy xy xy y x y x . (5)y xy y x )sin(lim )

0,2(),(→; 解 y xy y x )sin(lim )0,2(),(→221sin lim )0,2(),(=?=?=→x xy

xy y x . (6)22)()cos(1lim 2222)0,0(),(y

x y x e y x y x ++?→. 解 22221lim )cos(1lim )()cos(1lim )0,0(),(2

222)0,0(),(2222)0,0(),(y x y x y x y x y x e y x y x e y x y x →→→?++?=++? 01

sin lim cos 1lim 00==?=→→t t t t t . 7. 证明下列极限不存在:

(1)y x y x y x ?+→)0,0(),(lim

; 证明 如果动点p (x , y )沿y =0趋向(0, 0),

则 1lim lim

00

)0,0(),(==?+→=→x x y x y x x y y x ; 如果动点p (x , y )沿x =0趋向(0, 0),

则 1lim lim

00

)0,0(),(?=?=?+→=→y y y x y x y x y x . 因此, 极限y x y x y x ?+→)0,0(),(lim

不存在. (2)2

2222)0,0(),()(lim y x y x y x y x ?+→. 证明 如果动点p (x , y )沿y =x 趋于(0, 0),

则 1lim )(lim 4

4022222 )0,0(),(==?+→=→x x y x y x y x x x

y y x ; 如果动点p (x , y )沿y =2x 趋向(0, 0),

则 044lim )(lim 2

440222222 )0,0(),(=+=?+→=→x x x y x y x y x x x

y y x . 因此, 极限2

2222)0,0(),()(lim y x y x y x y x ?+→不存在. 8. 函数x

y x y z 2222?+=在何处间断？ 解 因为当y 2?2x =0时, 函数无意义,

所以在y 2

?2x =0处, 函数x y x y z 2222?+=间断. 9. 证明0lim 22)0,0(),(=+→y

x xy y x .

证明 因为22||||22222

22222y x y

x y x y x xy y x xy +=++≤+=+, 所以 02lim ||lim 022)0,0(),(22)0,0(),(=+≤+≤→→y x y

x xy y x y x . 因此 0lim 22)0,0(),(=+→y

x xy y x . 证明 因为2||22y x xy +≤, 故22||22222222y x y

x y x y x xy +=++=+. 对于任意给定的ε>0, 取δ=2ε, 当δ<+<220y x 时恒有

εδ=<+≤?+22|0|2222y x y

x xy , 所以

0lim 22)0,0(),(=+→y

x xy y x . 10. 设F (x , y )=f (x ), f (x )在x 0处连续, 证明: 对任意y 0∈R , F (x , y )在(x 0, y 0)处连续.

证明 由题设知, f (x )在x 0处连续, 故对于任意给定的ε>0, 取δ>0, 当|x ?x 0|<δ时, 有|f (x )?f (x 0)|<ε.

作(x 0, y 0)的邻域U ((x 0, y 0), δ), 显然当(x , y )∈U ((x 0, y 0), δ)时, |x ?x 0|<δ, 从而 |F (x , y )?F (x 0, y 0)|=|f (x )?f (x 0)|<ε,

所以F (x , y )在点(x 0, y 0)处连续.

又因为y 0是任意的, 所以对任意y 0∈R , F (x , y )在(x 0, y 0)处连续.

习题8?2

1. 求下列函数的偏导数:

(1) z =x 3y ?y 3x ;

解 323y y x x

z ?=??, 233xy x y z ?=??. (2)uv

v u s 22+=; 解 21)(u v v u v v u u u s ?=+??=??, 2

1)(v u u u v v u v v s ?=+??=??. (3))ln(xy z =;

解 x y x y x x x z 1ln ln 121)ln ln (?+?=+??=??)

ln(21xy x =. 同理)

ln(21xy y y z =??. (4) z =sin(xy )+cos 2(xy );

解 y xy xy y xy x

z ???+?=??)]sin([)cos(2)cos()]2sin()[cos(xy xy y ?= 根据对称性可知

)]2sin()[cos(xy xy x y

z ?=??. (5)y

x z tan ln =; 解 y x y y y x y

x

x z 2csc 21sec tan 12=??=??, y x y x y x y x y

x y z 2csc 2sec tan 12

22?=???=??. (6) z =(1+xy )y ;

解 121)1()1(??+=?+=??y y xy y y xy y x

z , ]1)1[ln()1ln()1ln(xy

x y xy e e y y z xy y xy y +?++=??=??++

]1)1[ln()1(xy xy xy xy y ++

++=. (7)z y

x u =;

解 )1(?=??z y x z

y x u , x x z

z x x y u z y

z y ln 11ln ?=?=??, x x z

y z y x x z u z y z y ln )(ln 22??=?=??. (8) u =arctan(x ?y )z ;

解 z z y x y x z x u 21)(1)(?+?=???, z z y x y x z y u 21)(1)(?+??=???, z z y x y x y x z u 2)(1)ln()(?+??=??. 2. 设g

l T π2=, 试证0=??+??g T g l T l . 解 因为l g l T ??=??1π, g g g l g

T 121(223??=???=???ππ, 所以 0=???=??+??g

l g l g T g l T l ππ. 3. 设)11(y x e z +?=, 求证z y

z y x z x 222=??+??. 解 因为21

1(1x

e x z y x ?=??+?, 2)11(1y e y z y x ?=??+?, 所以 z e e y z y x z x y x y x 2)11()11(22=+=??+??+?+? 4. 设y

x y x y x f arcsin )1(),(?+=, 求. )1 ,(x f x

解 因为x x x x f =?+=1arcsin )11()1 ,(, 所以1)1 ,()1 ,(==x f dx

d x f x . 5. 曲线?????=+=4

422y y x z 在点(2, 4, 5)处的切线与正向x 轴所成的倾角是多少？ 解 242x x x z ==??, αtan 1)5,4,2(==??x

z , 故4

πα=. 6. 求下列函数的22x z ??, 22y z ??, y

x z ???2. (1) z =x 4+y 4?4x 2y 2;

解 2384xy x x z ?=??, 2222812y x x

z ?=??; y x y y z 2384?=??, 2222812x y y

z ?=??; xy y x y y

y x z 16)84(232?=???=???. (2)x y z arctan

=; 解 22222)(11y x y x y x

y x z +?=??+=??, 22222)(2y x xy x z +=??; 2222)1(11y x x x x

y y z +=?+=??, 22222)(2y x xy y z +?=??; 22222222222222)

()(2)()(y x x y y x y y x y x y y y x z +?=+?+?=+???=???. (3) z =y x .

解 y y x z x ln =??, y y x

z

x 222ln =??; 1?=??x xy y z , 22

2)1(??=??x y x x y z ;

)1ln (1ln )ln (112+=?+=??=?????y x y y

y y xy y y y y x z x x x x . 7. 设f (x , y , z )=xy 2+yz 2+zx 2, 求f xx (0, 0, 1), f xz (1, 0, 2), f yz (0, ?1, 0)及f zzx (2, 0, 1). 解 因为f x =y 2+2xz , f xx =2z , f xz =2x ,

f y =2xy +z 2, f yz =2z ,

f z =2yz +x 2, f zz =2y , f zzx =0,

所以 f xx (0, 0, 1)=2, f xz (1, 0, 2)=2,

f yz (0, ?1, 0)=0, f zzx (2, 0, 1)=0.

8. 设z =x ln(xy ), 求y x z ???23及2

3y x z ???. 解 1)ln()ln(+=?+=??xy xy

y x xy x z , x xy y x z 122==??, 023???y

x z , y xy x y x z 12==???, 2

231y y x z ?=???. 9. 验证:

(1)满足nx e y t

kn sin 2?=22x

y k t y ??=??; 证明 因为nx e kn kn nx e t

y t kn t kn sin )(sin 2222??=???=????, nx ne x y t kn cos 2?=??, nx e n x

y t kn sin 2222??=??, nx e kn x

y k t kn sin 2222??=??, 所以22x y k t y ??=??. (2)222z y x r ++=满足r

z r y r x r 2222222=??+??+??.

证明 r x z y x x x r =++=??222, 322222

r x r r x r x r x r ?=???=??, 由对称性知

32222r

y r y r ?=??, 32222r z r z r ?=??, 因此 322322322222222r

z r r y r r x r z r y r x r ?+?+?=??+??+?? r r r r r z y x r 23)(33

2232222=?=++?=.