条件概率

条件概率

学习目标 1.理解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.

知识点一 条件概率

100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格.

令A ＝{产品的长度合格}，

B ＝{产品的质量合格}，AB ＝{产品的长度、质量都合格} 思考1 试求P (A )、P (B )、P (AB )

答案 P (A )＝93100，P (B )＝90100，P (AB )＝85

100

.

思考2 任取一件产品，已知其质量合格(即B 发生)，求它的长度(即A 发生)也合格(记为A |B )的概率.

答案 事件A |B 发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P (A |B )＝85

90

. 思考3 P (B )、P (AB )、P (A |B )间有怎样的关系. 答案 P (A |B )＝P (AB )

P (B )

.

知识点二 条件概率的性质

(1)任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P (B |A )≤1. (2)如果B 和C 是两个互斥的事件，则 P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A ).

类型一 利用定义求条件概率

例1 一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A ；事件“第二次抽到黑球”为B . (1)分别求事件A ，B ，AB 发生的概率； (2)求P (B |A ).

解 由古典概型的概率公式可知： (1)P (A )＝2

5

，

P (B )＝2×1＋3×25×4＝820＝25，

P (AB )＝2×15×4＝1

10.

(2)P (B |A )＝P (AB )P (A )

＝1

1025

＝1

4.

反思与感悟 1.在本题中，首先结合古典概型分别求出事件A 、B 的概率，从而求出P (B |A )，揭示出P (A )，P (B )和P (B |A )三者之间的关系. 2.用定义法求条件概率P (B |A )的步骤是： (1)分析题意，弄清概率模型； (2)计算P (A )，P (AB )； (3)代入公式求P (B |A )＝

P (AB )

P (A )

. 跟踪训练1 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于________. 解析 14

解析 P (A )＝C 23＋C 2

2C 2

5＝25，P (AB )＝C 22

C 25＝110

，

∴P (B |A )＝P (AB )P (A )

＝1

1025

＝1

4.

类型二 缩小基本事件范围求条件概率

例2 集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A 中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.

解 将甲抽到数字a ，乙抽到数字b ，记作(a ，b )，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个.在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P ＝915＝3

5

.

反思与感悟 将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A ，原来的事件B 缩小为AB .而A 中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P (B |A )＝n (AB )

n (A )，这里n (A )和n (AB )的计数是基于缩小

的基本事件范围的.

跟踪训练2 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率. 解 设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都

抽到舞蹈节目为事件AB .根据分步乘法计数原理得n (A )＝A 14A 1

5＝20，

n (AB )＝A 24＝12.

所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝1220＝35.

类型三 条件概率的性质及应用

例3 在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，若考生至少能答对其中的4道即可通过；若至少能答对其中5道就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率. 解 设事件A 为“该考生6道题全答对”，

事件B 为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”， 事件C 为“该考生答对了其中4道题，另两道答错”，

事件D 为“该考生在这次考试中通过”， 事件E 为“该考生在这次考试中获得优秀”， 则A 、B 、C 两两互斥，且D ＝A ∪B ∪C . 由古典概型的概率公式及加法公式可知 P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )

＝C 610C 620＋C 5

10·C 110C 620＋C 410·C 210C 6

20＝12 180C 620

. P (E |D )＝P (A ∪B |D )＝P (A |D )＋P (B |D ) ＝P (A )P (D )＋P (B )P (D )＝C 610C 62012 180C 620＋C 510·C 110

C 62012 180C 620＝13

58

. 所以他获得优秀成绩的概率是13

58

.

反思与感悟 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )便可求得较复杂事件的概率.

跟踪训练3 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则从2号箱中取出红球的概率是多少？

解 记事件A ＝“最后从2号箱中取出的是红球”， 事件B ＝“从1号箱中取出的是红球”， 则P (B )＝42＋4＝23，P (B )＝1－P (B )＝1

3，

P (A |B )＝3＋18＋1＝49，P (A |B )＝38＋1＝1

3，

从而P (A )＝P (AB )＋P (A B ) ＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B ) ＝49×23＋13×13＝11

27.

1.设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，若P (AB )＝13，P (A )＝2

3，则P (B |A )＝( )

A.12

B.29

C.19

D.4

9 答案 A

解析 P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1

323

＝1

2

.

2.把一枚硬币投掷两次，事件A ＝{第一次出现正面}，B ＝{第二次出现正面}，则P (B |A )等于( )

A.14

B.12

C.16

D.18 答案 B

解析 P (AB )＝14，P (A )＝12，

∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1

2

.

3.某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为________. 答案 16

解析 记事件A 为“周日值班”，事件B 为“周六值班”， 则P (A )＝C 16

C 27，P (AB )＝1C 27，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝16

.

4.假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有两个小孩，已知有一个是女孩，则另一个小孩是男孩的概率是________. 答案 2

3

解析 一个家庭的两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}，由题目假定可知这4个基本事件的发生是等可能的，所求概率P ＝2

3.

1.条件概率：P (B |A )＝

P (AB )P (A )＝n (AB )

n (A )

. 2.概率P (B |A )与P (AB )的区别与联系：P (AB )表示在样本空间Ω中，计算AB 发生的概率，而P (B |A )表示在缩小的样本空间ΩA 中，计算B 发生的概率.用古典概型公式，则P (B |A )＝

AB 中样本点数ΩA 中样本点数，P (AB )＝AB 中样本点数

Ω中样本点数.

一、选择题

1.已知P (B |A )＝12，P (AB )＝3

8，则P (A )＝( )

A.316

B.1316

C.34

D.1

4 答案 C

解析 由P (B |A )＝P (AB )P (A )得：P (A )＝P (AB )P (B |A )＝3

812

＝3

4

.

2.某地一农业科技实验站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子成长为幼苗的概率为( )

A.0.02

B.0.08

C.0.18

D.0.72 答案 D

解析 设“这粒水稻种子发芽”为事件A ，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件AB ，“这粒水稻种子出芽后能成长为幼苗”为事件B |A ，P (A )＝0.8，P (B |A )＝0.9，

由条件概率公式得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.9×0.8＝0.72，则这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.

3.7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是( ) A.14 B.15 C.16 D.17 答案 C

解析 记“甲站在中间”为事件A ，“乙站在末尾”为事件B ， 则n (A )＝A 66， n (AB )＝A 55， P (B |A )＝A 55

A 66＝16

.

4.一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地取出产品，每次1个，取两次，已知第1次取得一等品的条件下，第2次取得的是二等品的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.23

答案 A

解析 设事件A 表示“第1次取得的是一等品”，B 表示“第2次取得的是二等品”. 则P (AB )＝3×25×4＝310，P (A )＝3

5.

由条件概率公式知 P (B |A )＝P (AB )P (A )

＝3

1035

＝1

2.

5.在区间(0,1)内随机投掷一个点M (其坐标为x )，若A ＝?

???

??x |0

???

??x |1

4

等于( )

A.12

B.14

C.13

D.34 答案 A

解析 P (A )＝1

21＝12.∵A ∩B ＝??????x |1

4

∴P (AB )＝141＝14，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412

＝1

2

.

6.抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率为( )

A.14

B.13

C.12

D.35 答案 B

解析 红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件，其中两颗骰子点数之积大于20包含4×6,6×4,6×5,6×6共4个基本事件. 所以所求概率为412＝13.

二、填空题

7.某校高二(1)班有学生56人，其中篮球爱好者25人.全班分成4个小组，第一组有学生16人，其中篮球爱好者7人.从该班任选一人作学生代表.①选到的是第一组的学生的概率是________；②已知选到的是篮球爱好者，他是第一组学生的概率是________. 答案 ①27 ②7

25

解析 设事件B 表示“选到第一组学生”，事件A 表示“选到篮球爱好者”. ①根据古典概型概率的计算公式可得P (B )＝1656＝2

7

；

②要求的是在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率P (B |A ).不难理解，在事件A 发生的条件下(即以选到的学生是篮球爱好者为前提)，有25种不同的选择，其中属于第一组的有7种选择，因此，P (B |A )＝

725

. 8.有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为________. 答案 67

解析 设事件A 为“其中一瓶是蓝色”，事件B 为“另一瓶是红色”，事件C 为“另一瓶是黑色”，事件D 为“另一瓶是红色或黑色”， 则D ＝B ∪C ，且B 与C 互斥，

又P (A )＝C 12C 13＋C 2

2C 2

5＝7

10

， P (AB )＝C 12·C 11

C 25＝15

，

P (AC )＝C 12C 12

C 25＝25

，

故P (D |A )＝P (B ∪C |A ) ＝P (B |A )＋P (C |A ) ＝

P (AB )P (A )＋P (AC )P (A )＝67

. 9.如图，四边形EFGH 是以O 为圆心、1为半径的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则

(1)P (A )＝________；

(2)P (B |A )＝________. 答案 (1)2π (2)1

4

解析 正方形的面积为2，圆的面积为π. (1)∵A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”， ∴P (A )＝2

π

.

(2)∵B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”， ∴P (AB )＝12π，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1

4

.

10.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示，现从这20名学生中随机抽取1人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A ；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ，则P (A |B )的值为________.

答案 5

9

解析 事件B 中含有的基本事件有9个， 事件AB 包含的基本事件有5个， ∴P (A |B )＝n (AB )n (B )＝5

9

.

11.先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别是1,2,3,4,5,6点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，记事件A 为“x ＋y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，则概率P (B |A )＝________. 答案 13

解析 根据题意，事件A 为“x ＋y 为偶数”，则x ，y 两个数均为奇数或偶数，共有2×3×3＝18个基本事件.

∴事件A 发生的概率为P (A )＝2×3×36×6＝1

2，而A ，B 同时发生，基本事件有“2＋4”“2＋

6”“4＋2”“4＋6”“6＋2”“6＋4”，一共有6个基本事件，∴事件A ，B 同时发生的概

率为P (AB )＝66×6＝1

6，

∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1

612＝1

3

.

三、解答题

12.从1～100共100个正整数中，任取一数，已知取出的一个数不大于50，求此数是2或3的倍数的概率.

解 设事件C 为“取出的数不大于50”，事件A 为“取出的数是2的倍数”，事件B 是“取出的数是3的倍数”. 则P (C )＝1

2

，且所求概率为

P (A ∪B |C )＝P (A |C )＋P (B |C )－P (AB |C ) ＝

P (AC )P (C )＋P (BC )P (C )－P (ABC )

P (C )

＝2×????25100＋16100－8

100 ＝33

50

. 13.一个袋子里装有大小、形状相同的3个红球和2个白球，如果不放回地依次抽取2个球，求

(1)第1次抽到红球的概率；

(2)第1次和第2次都抽到红球的概率；

(3)在第1次抽到红球的条件下，第2次抽到红球的概率； (4)抽到颜色相同的球的概率.

解 设A ＝{第1次抽到红球}，B ＝{第2次抽到红球}， 则第1次和第2次都抽到红球为事件AB . 从5个球中不放回地依次抽取2个球的事件数为 n (Ω)＝A 25＝20，

(1)由分步乘法计数原理，n (A )＝A 13·A 14＝12， 于是P (A )＝n (A )n (Ω)＝1220＝35

.

(2)P (AB )＝n (AB )n (Ω)＝620＝3

10

.

(3)方法一 在第1次抽到红球的条件下，第2次抽到红球的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )

＝3

1035＝1

2.

方法二 P (B |A )＝

n (AB )n (A )＝612＝1

2

. (4)抽到颜色相同球的概率为

P ＝P (两次均为红球)＋P (两次均为白球) ＝3×220＋2×120＝2

5

.