切线长定理、圆与圆的位置关系上课讲义

切线长定理、圆与圆的位置关系

精品资料

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2 切线长定理、圆与圆的位置关系一、精典例题：

例1、如图正方形ABCD 边长为4cm ，以正方形一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，再过A 点作半圆的切线，与半圆切于F 点，与CD 交于E 点，求ADE 的面积。

B C F

例2、如图，AB 是半圆（圆心为O ）的直径，OD 是半径，BM 切半圆于B ，OC 与弦AD 平行且交BM 于C 。

（1）求证：CD 是半圆的切线；

（2）若AB 长为4，点D 在半圆上运动，设AD 长为x ，点A 到直线CD 的距离为y ，试求出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。

二、练习题：

中考专题——切线长定理及弦切角定理

中考复习专题——切线长定理与弦切角定理【知识要点】 1.切线长定理：过圆外一点P做该圆的两条切线，切点为A、B。AB交PO于点C，则有如下结论：（1）PA=PB （2）PO⊥AB,且PO平分AB （3）APO BPO OAC OBC ∠=∠=∠=∠;AOP BOP CAP CBP ∠=∠=∠=∠ 2.弦切角定理：弦切角（切线与圆的夹角）等于它所夹的弧所对的圆周角推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等【典型例题】【例1】如图1，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C、D是优弧 ?BC上的点，已知∠BAC=800，那么∠BDC =______. 图1 图2 图3 举一反三： 1.如图2，AB是⊙O的弦，AD是⊙O的切线，C为 ?AB上任一点，∠ACB=1080，那么∠BAD =______. 2.如图3，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC⊥PB，且与⊙O相交于D，若∠DBC=220，则∠APB=________. 【例2】如图，已知圆上的弧?? AC BD =，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明： (1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE×CD . C B O A D A D P O

举一反三： 1.如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB＝2BC. 【例3】已知：如图 7－149，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC为直径，则图中与∠PAB相等的角的个数为 A．1 个；B．2个；C．4个；D．5个．【例4】如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长．

切线长定理—知识讲解

切线长定理—知识讲解【学习目标】 1.了解切线长定义,掌握切线长定理； 2.了解圆外切四边形定义及性质； 3. 利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】要点一、切线长定理 1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 要点二、圆外切四边形的性质 1.圆外切四边形四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形. 2.圆外切四边形性质圆外切四边形的两组对边之和相等. 【典型例题】类型一、切线长定理 1．（2015秋?湛江校级月考）已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．（1）若PA=6，求△PCD的周长．（2）若∠P=50°求∠DOC．【答案与解析】解：（1）连接OE， ∵P A、PB与圆O相切， ∴PA=PB=6，同理可得：AC=CE，BD=DE， △PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12；

（2）∵PA PB与圆O相切， ∴∠OAP=∠OBP=90°∠P=50°， ∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，在Rt△AOC和Rt△EOC中，， ∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL）， ∴∠AOC=∠COE，同理：∠DOE=∠BOD， ∴∠COD=∠AOB=65°．【总结升华】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键． 2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，E为BC中点. 求证：DE是⊙O切线. 【答案与解析】连结OD、CD，AC是直径，∴OA=OC=OD，∴∠OCD=∠ODC， ∠ADC=90°，∴△CDB是直角三角形. ∵E是BC的中点，∴DE=EB=EC，∴∠ECD=∠EDC，∠ECD+∠OCD=90°， ∴∠EDC+∠ODC=90°，即OD⊥ED， ∴DE是⊙O切线. 【总结升华】自然连接OD，可证OD⊥DE. 举一反三：【变式】已知：如图，⊙O为ABC ?的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF ∠，过点A作AD BF ⊥于点D.求证：DA为⊙O的切线. F C F C 【答案】连接AO. ∵ AO BO =，∴ 23 ∠=∠.

切线长和切线长定理的应用

A 第20题 N C B D E F M O O 切线长和切线长定理的应用例（2011·济宁）如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于点E ，交AM 与于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF 。（1）求证：OD ∥BE; (2) 猜想：OF 与CD 有何数量关系？并说明理由。解：（1）证明：连接OE ∵AM 、DE 是⊙O 的切线，OA 、OE 是⊙O 的半径 ∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°…………1分 ∴∠AOD=∠EOD=2 1 ∠AOE …………2分 ∵∠ABE=2 1 ∠AOE ∴∠AOD=∠ABE ∴OD ∥BE …………3分 (2) OF = 2 1 CD …………4分理由：连接OC ∵BE 、CE 是⊙O 的切线 ∴∠OCB=∠OCE …………5分 ∵AM ∥BN ∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由（1）得 ∠ADO=∠EDO ∴2∠EDO+2∠OCE=180° 即∠EDO+∠OCE=90° …………6分在Rt △DOC 中， ∵ F 是DC 的中点 ∴OF =2 1 CD ……7分巩固提高 1、如图，AB 是半圆（圆心为O ）的直径，OD 是半径，BM 切半圆于B ，OC 与弦AD 平行且交BM 于C 。（1）求证：CD 是圆O 的切线；（2）若2OA =且6AD OC +=，求CD 的长？ C O D B A

2、在Rt ABC ?中，90A ∠=?，点O 在BC 上，以O 为圆心的圆O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ，若A B a =， AC b =，则圆O 的半径为（） A 、ab B 、a b ab + C 、ab a b + D 、2 a b + C E O F B A C E O D B A P E O F D B A 例1图例2图例3图 3、如图，AB BC ⊥，DC BC ⊥，BC 与以AD 为直径的圆O 相切于点E ，9AB =，4CD =，则四边形ABCD 的面积为。 4、如图，过O 外一点P 作圆O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，在AB 、PB 、PA 上分别取一点D 、E 、F ，使AD BE =，BD AF =，连结DE 、DF 、EF ，则EDF ∠=（） A 、90P ?∠－ B 、1902P ?-∠ C 、180P ?-∠ D 、1 452 P ?∠- 5、如图，已知ABC ?中，AC BC =， CAB α∠=（定值），圆O 的圆心O 在AB 上，并分别与AC 、BC 相切于点P 、Q 。（1）求POQ ∠；（2）设D 是CA 延长线上的一个动点，DE 与O 相切于点M ，点E 在CB 的延长线上，试判断DOE ∠的大小是否保持不变，并说明理由。 N Q P O D C B A 6、如图，圆O 为Rt ABC ?的内切圆，点D 、E 、F 为切点，若6AD =，4BD =，则ABC ?的面积为。 C E O F D B A

圆切线及切线长定理

. 切线长定理第24章圆切线的性质及判定小题）一．选择题（共21D，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点?1．（2015衢州）如图，已知△ABC ，CE=4，则⊙O的半径是（）的切线交的⊙OBC于点E．若CD=5 4 3 ．C．A．DB ．与为切点，POO的切线，A枣庄校级模拟）如图，P是⊙O外一点，PA2．（2015?是⊙，则∠C 的度数为（上一点，连接CA，CB），⊙O相交于B点，已知∠P=28°C为⊙O 28°62°31°56°A．B．C．D． 3．（2015?河西区一模）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为（） 40°50°55°60°A．B．C ．D． 4．（2015?杭州模拟）如图，在△ABC中，∠BCA=60°，∠A=45°，AC=2，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点M，N，则线段MN长度的最小值是（）

3．DCA．B．．22 经过圆心．若为切点，BC的切线，的弦，OAC是⊙OA是⊙天津）如图，2014．5（?AB 的大小等于（，则∠B=25∠°C）1 / 4 . °50°40°20°25 ．．D ．B．CAAC⊥，DEO交BC的中点于D6．（2015?临淄区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，⊙，则下列结论：，连接AD于E）DE是⊙O的切线，正确的个数是（EDA=∠B；③OA=AC；④②①AD⊥BC；∠ 4个D．个C．3 个A．1 个B．2交的延长线上，弦CD的直径，点P在BA（2015?杭州模拟）已知：如图，AB是⊙O7．、交圆与GGF⊥BC，∠P=∠D，过E作弦AB于E，连接 OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC ．则下列结论：BG两点，连接CF、F．则其中正BG弦CF的弦心距等于③OD∥GF；④①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；）确的是（ ②③④①③④①②③①②④．D．C ．．AB）圆周角的度数（2永川区期末）有下列结论：?（1）平分弦的直径垂直于弦；8．（2013秋）（5）等弧所对的圆周角相等；（4）经过三点一定可以作一个圆；等于圆心角的一半；（3）垂直于半径的直线是（6三角形的外心到三边的距离相等；圆的切线．）其中正确的个数为（ 4个3个D．2．1个B．个C．A 上任意一点，为CD交于O，Q中，对角线．（2012?武汉模拟）正方形ABCDAC、BD9 ．下列

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］ 1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。（PA 长） 2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。直线AB 切⊙O 于P ，PC 、PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理 ⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于P. PA·PB＝PC·PD . 连结AC 、BD ，证：△APC∽△DPB . 相交弦定理的推论 ⊙O 中，AB 为直径，CD⊥AB 于P. PC 2 ＝PA·PB . （特殊情况）用相交弦定理.

切割线定理 ⊙O 中，PT 切⊙O 于T ，割线PB 交⊙O 于A PT 2 ＝PA·PB 连结TA 、TB ，证：△PTB∽△PAT 切割线定理推论 PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、C PA·PB＝PC·PD 过P 作PT 切⊙O 于T ，用两次切割线定理（记忆的方法方法）圆幂定理 ⊙O 中，割线PB 交⊙O 于A ，CD 为弦 P'C·P'D ＝r 2 －OP'2 PA·PB＝OP 2－r 2 r 为⊙O 的半径延长P'O 交⊙O 于M ，延长OP'交⊙O 于N ，用相交弦定理证；过P 作切线用切割线定理勾股定理证 8.圆幂定理：过一定点P 向⊙O 作任一直线，交⊙O 于两点，则自定点P 到两交点的两条线段之积为常数||（R 为圆半径），因为叫做点对于⊙O 的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。【典型例题】例1.如图1，正方形ABCD 的边长为1，以BC 为直径。在正方形内作半圆O ，过A 作半圆切线，切点为F ，交CD 于E ，求DE ：AE 的值。图1 解：由切线长定理知：AF ＝AB ＝1，EF ＝CE 设CE 为x ，在Rt△ADE 中，由勾股定理 ∴，，

切线长定理及其应用

切线长定理及其应用知识点一切线长定义及切线长定理 1. 切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和之间的线段长叫作这点到圆的切线长. 注意切线长和切线的区别和联系: 切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。 2. 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，即PA=PB. 推论：（1）△PAB 是等腰三角形；（2）OP 平分△APB ，即△APO=△BPO ；（3）弧AM=弧BM ；（4）在Rt OAP ?和Rt OBP ?中，由AB OP ⊥，可通过相似得相关结论；如：222222,,OA OB OE OP AP BP PE PO AE BE OE EP ==?==?==? （5）图中全等的三角形有对，分别是：题型一切线长定理的直接应用【例1】如图所示，△O 的半径为3cm ，点P 和圆心O 的距离为6cm ，经过点P 的两条切线与△O 切于点E 、 F ，求这两条切线的夹角及切线长. 【例2】如图，P A 、PB 、DE 分别切△O 于A 、B 、C ，△O 的半径长为6 cm ，PO ＝10 cm ，求△PDE 的周长．

【例3】如图所示，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为__________. 【过关练习】 1.如图所示，PA、PB是△O的切线，A、B为切点，△OAB=30°.（1）求△APB的度数.（2）当OA=3时，求AP的长. e于A、B、C三点，△O的半径为5cm，△PED的周长为24cm，2.如图所示，已知PA、PB、DE分别切O △APB=50°.求：（1）PO的长；（2）△EOD的度数.

切线长定理—知识讲解(提高)

切线长定理—知识讲解（提高）责编：康红梅【学习目标】 1.了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义； 2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】要点一、切线长定理 1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等. 要点二、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 这个三角形叫作圆的外切三角形. 2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).

【典型例题】类型一、切线长定理 1.（2015?常德）已知如图，以Rt△ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF ．（1 ）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，∠EAC=60°，求AD 的长．【答案与解析】证明：（1）如图1，连接FO ， ∵F 为BC 的中点，AO=CO ， ∴OF∥AB， ∵AC 是⊙O 的直径， ∴CE⊥AE， ∵OF∥AB， ∴OF⊥CE， ∴OF 所在直线垂直平分CE ， ∴FC=FE，OE=OC ， ∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE， ∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°， ∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°， ∴FE 为⊙O 的切线；（2）如图2，∵⊙O 的半径为3， ∴AO=CO=EO=3， ∵∠EAC=60°，OA=OE ， ∴∠EOA=60°， ∴∠COD=∠EOA=60°， ∵在Rt△OCD 中，∠COD=60°，OC=3， ∴CD=， ∵在Rt△ACD 中，∠ACD=90°，

切线长定理及弦切角

切线长定理及弦切角练习题（一）填空 1．已知：如图7－143，直线BC切⊙O于B点，AB=AC，AD=BD，那么∠A=____． 2．已知：如图7－144，直线DC与⊙O相切于点C，AB为⊙O直径，AD⊥DC于D，∠DAC=28°侧∠CAB=____ ． 3．已知：直线AB与圆O切于B点，割线ACD与⊙O交于C和D 4．已知：如图7－145，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于B和C两点，∠P=15°，∠ABC=47°，则∠C= ____．

5．已知：如图7－146，三角形ABC的∠C=90°，内切圆O与△ABC的三边分别切于D，E，F三点，∠DFE=56°，那么∠B=____． 6．已知：如图7－147，△ABC内接于⊙O，DC切⊙O于C点，∠1=∠2，则△ABC为____ 三角形． 7．已知：如图7－148，圆O为△ABC外接圆，AB为直径，DC切⊙O 于C点，∠A=36°，那么∠ACD=____．

（二）选择 8．已知：△ABC内接于⊙O，∠ABC=25°，∠ACB= 75°，过A点作⊙O的切线交BC的延长线于P，则∠APB等于 [ ] A．62.5°；B．55°；C．50°；D．40°． 9．已知：如图7－149，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC为直径，则图中与∠PAB相等的角的个数为 [ ] A．1 个；B．2个；C．4个；D．5个． 10．已知如图7－150，四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径，MN 切⊙O于C点，∠BCM=38°，那么∠ABC的度数是 [ ]

A．38°；B．52°；C．68°；D．42°． 11．已知如图7－151，PA切⊙O于点A，PCB交⊙O于C，B两点，且PCB 过点O，AE⊥BP交⊙O于E，则图中与∠CAP相等的角的个数是 [ ] A．1个；B．2个；C．3个；D．4个．（三）计算 12．已知：如图7－152，PT与⊙O切于C，AB为直径，∠BAC=60°，AD为⊙O一弦．求∠ADC与∠PCA的度数．

切线长定理(教案)

优质课教案切线长定理西平县权寨中学 2018年3月1日

切线长定理一、教学设计教材分析 “切线长定理”是人教版九年级数学上册第二十四章“圆”的第二节的内容，本节内容安排六个课时，本课时是本节内容的第五课时，本课设计主要是在切线的基础上，明确切线长的定义，通过学生动手操作，逻辑证明来明确切线长定理，引出三角形的内切圆，通过与三角形的内切圆有关的练习巩固切线长定理。学情分析我班学生来自全县各个乡镇，学生的基础参差不齐。再加上这个班是进入九年级我才接手的成绩较差的班级，基础薄弱，因而要加强动手操作探究知识来源的教学，让学生学知识学到“知其然并知其所以然”，不仅“知其所以然”，还要学以致用。教学目标一、知识与技能： 1.了解切线长的概念． 2.理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用． 3.复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理，然后根据所学三角形

角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题．二、数学思考： 1.通过操作、观察两条切线长，发展学生的合情推理能力和演绎推理能力。 2.学生经历知识的形成与运用过程，培养学生的数学语言概括、表达能力。三、解决问题 1.学生探索切线长定理过程中，学会用数形结合思想解决问题。 2.学生运用切线长定理解题，提高运用知识和技能解决问题的能力。四.情感、态度与价值观培养学生主动参与探索知识来源，获得数学知识的良好学习习惯，从而提高学生学习数学的积极性。二、教学过程复习巩固：（放投影，提问） 1．如图，PA与⊙O相切于点A，则PA_________OA。 2．如图，四边形ABCD的各边均与⊙O相切，则这个四边形叫圆的_________四边形。

切线长及切线长定理

如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，?已知PA=7cm， (1)求△PCD的周长． (2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数如图，△ABC中,∠C =90o ,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=12，AD=8，求⊙O的半径r. 如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC是切线，点A、E、B为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长. 一、选择题 1．如图，P是⊙O外一点，PA.PB分别与⊙O相切于A.B两点，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线，

分别交PA.PB于D.E,若△PDE的周长为20cm,则PA长为。 2.如图，AB.AC与⊙O相切于B.C∠A=50°，点P是圆上异于B.C的一动点，则∠BPC的度数是。 3．如图，若⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，切线CD与AB的延长线交于点D，且⊙O的半径为2，则CD的长为。 3. 一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( ) A．21 B．20 C．19 D．18 4. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有 ( ) A．1个B．2个C．3

切线的证明及切线长定理(培优)

切线的判定和性质练习一一、选择题 1．如图，AB 、AC 分别与⊙O 相切于B 、C ，∠A=50°，点P 是圆上异于B ，C 的动点，则∠BPC 的度数是( ) A. 65° B. 115° C. 65°和115° D. 130°和150° 2．如图，CD 切⊙O 于B ，CO 的延长线交⊙O 于A ，若∠C=36°，则∠ABD 的度数是( ) A. 72° B. 63° C. 54° D. 36° 3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以BC 上一点O 为圆心作⊙O 与AB 相切于E ，与AC 相切于C ，又⊙O 与BC 的另一交点为D ，则线段BD 的长为( ) A. 1 B. 12 C. 13 D. 14 4. 正方形ABCD 中，AE 切以BC 为直径的半圆于E ，交CD 于F ，则CF ∶FD ＝（） A 、1∶2 B 、1∶3 C 、1∶4 D 、2∶5 5、如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，在AB 、PB 、PA 上分别取一点D 、E 、F ，使AD ＝BE ，BD ＝AF ，连结DE 、DF 、EF ，则∠EDF ＝（） A 、900－∠P B 、900－21 ∠P C 、1800－∠P D 、450－2 1 ∠P 二、填空题 6.如图，CB 切⊙O 于点B ，CA 交⊙O 于点D 且AB 为⊙O 的直径，点E 是ABD 上异于点A 、D 的一点．若∠C =40°，则∠E 的度数为 ____ ． 7.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( ) A ．21 B ．20 C ．19 D ．18 ? O F E D C B A ? P O F E D B A

切线长及切线长定理

一、切线长定理： 1．切线长概念：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的R，叫做这点到圆的切线长． 2．切线长和切线的区别切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量． 3．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．二、弦切角定理： 1．弦切角概念：理解体弦切角要注意两点：①角的顶点在圆上；②角的一边是过切点的弦，角的边一边是以切点为端点的一条射线． 2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，该定理也可以这样说：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半．如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，已知PA=7cm， (1)求△PCD的周长． (2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数如图，△ABC中,∠C =90o,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=12，AD=8，求⊙O的半径r. 如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC是切线，点A、E、B为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.

一、选择题 1．如图，P是⊙O外一点，PA.PB分别与⊙O相切于A.B两点，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线，分别交PA.PB于D.E,若△PDE的周长为20cm,则PA长为。 2.如图，AB.AC与⊙O相切于B.C∠A=50°，点P是圆上异于B.C的一动点，则∠BPC的度数是。 3．如图，若⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，切线CD与AB的延长线交于点D，且⊙O的半径为2，则CD的长为。 3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( ) A．21 B．20 C．19 D．18 4. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个 4题图5题图6题图 5．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的( ) A．三条中线的交点B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点 6.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( ) A．21 B．20 C．19 D．18

北师大版九年级数学下册3.7切线长定理公开课优质教案 (1)

切线长定理一、教学目标 1. 使学生理解切线长定义. 2. 使学生掌握切线长定理，并能初步运用. 二、教学重点和难点重点：切线长定理．难点：切线长定理及应用三、教学过程（一）情境引入： 1. 作一作：过圆O 外一点P 作出圆O 想一想，可以作几条？ .O P. （二）学习新知：圆的切线长概念上图中，P 是⊙O 外一点，__________________是⊙O 的切线，我们把线段__________________的长叫做点P 到⊙O 的切线长．注：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. （三）合作探究：【探究一】 1、探索问题1：从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，那么线段PA 和PB 之间有何关系？（1）根据条件画出图形； O P A

（2）度量线段PA和PB的长度；（3）猜想：线段PA和PB之间的关系；（4）寻找证明猜想的途径；（5）在图3中还能得出哪些结论？并把它们归类. （6）上述各结论中，你想把哪个结论作为切线长的性质？请说明理由. 2. 圆的切线长定理从圆外一点引圆的_______条切线，它们的切线长_______，圆心和这一点的连线_______两条切线的夹角．已知：（如上图）求证：证明： 3、剖析定理：（1）指出定理的题设和结论；（2）用符号语言表示定理： ∵PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点，（PA、PB分别与⊙O 相切于点A、B） ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. (3)切线和切线长区别. 切线是到圆心距离等于圆的半径的直线，而切线长是线段，指过圆外一点做圆的切线，该点到切点的距离. 【探究二】圆的外切四边形的概念及性质. 请同学们先在草稿本中作出有关已知圆O的四条切线，再互相交流与讨论你的发现与结论，并加以验证.

九年级数学第三章切线长定理

切线长定理【学习目标】 1.了解切线长定义,掌握切线长定理； 2.了解圆外切四边形定义及性质； 3. 利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】要点一、切线长定理 1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点进阶：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点进阶：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 要点二、圆外切四边形的性质 1.圆外切四边形四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形. 2.圆外切四边形性质圆外切四边形的两组对边之和相等. 【典型例题】类型一、切线长定理例1．已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．（1）若PA=6，求△PCD的周长．（2）若∠P=50°求∠DOC．

例2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，E为BC中点. 求证：DE是⊙O切线. 举一反三：【变式】已知：如图，⊙O为ABC ?的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF ∠，过点A作AD BF ⊥于点D.求证：DA为⊙O的切线. O F D C B A 3 4 2 1 O F D C B A 例3．如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（） A.12 B.24 C.8 D.6